2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试
高等数学
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、已知32
lim 22=-++→x b ax x x ，则常数
b
a ,的取值分别为
（ ）
A 、2,1-=-=b a
B 、0,2=-=b a
C 、0,1=-=b a
D 、1,2-=-=b a
2、已知函数4
2
3)(22-+-=x x x x f ，则2=x 为)(x f 的
A 、跳跃间断点
B 、可去间断点
C 、无穷间断点
D 、震荡间断
点
3、设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤=0,1sin 0,
0)(x x x x x f α在点0=x 处可导，则常数α的取值范围为
（ ） A 、10<<α B 、10≤<α
C 、1>α
D 、1≥α 4
、
曲
线
2
)1(1
2-+=
x x y 的
渐
近
线
的
条
数
为
（ ） A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
5、设)13ln()(+=x x F 是函数)(x f 的一个原函数，则=+⎰dx x f
)12('
（ ） A 、
C x ++461
B 、
C x ++4
63
C 、
C x ++8
121
D 、
C x ++8
123
6
、
设
α
为非零常数，则数项级数
∑
∞
=+1
2
n n n α
（ ） A 、条件收敛 B 、绝对收敛 C 、发散 D 、敛散性与α有
关
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、已知2)(
lim =-∞
→x
x C
x x ，则常数=C . 8、设函数dt te x x t ⎰
=
20
)(ϕ，则)('x ϕ＝ .
9、已知向量)1,0,1(-=→
a ，)1,2,1(-=→
b ，则→→+b a 与→
a 的夹角为 . 10、设函数),(y x z z =由方程12
=+yz xz 所确定，则
x
z
∂∂＝ . 11、若幂函数)0(12>∑∞
=a x n
a n
n n 的收敛半径为21，则常数=a .
12、微分方程0)2()1(2
=--+xdy y ydx x 的通解为 .
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）
13、求极限：x
x x x sin lim 3
0-→
14、设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-+=+=3
2)1ln(2
t t y t x 所确定，，求22,dx y
d dx dy . 15、求不定积分：⎰
+dx x 12sin .
16、求定积分：
⎰
-10
2
22dx x
x .
17、求通过直线
1
2
213-=-=z y x 且垂直于平面02=+++z y x 的平面方程. 18、计算二重积分⎰⎰D
yd σ，其中}2,2,20),{(2
2≥+≤≤≤≤=y x y x x y x D .
19、设函数),(sin xy x f z =，其中)(x f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
∂∂∂2.
20、求微分方程x y y =-'
'的通解.
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 21、已知函数13)(3
+-=x x x f ，试求： （1）函数)(x f 的单调区间与极值； （2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点；
（3）函数)(x f 在闭区间]3,2[-上的最大值与最小值.
22、设1D 是由抛物线2
2x y =和直线0,==y a x 所围成的平面区域，2D 是由抛物线
22x y =和直线2,==x a x 及0=y 所围成的平面区域，其中20<（1）1D 绕y 轴旋转所成的旋转体的体积1V ，以及2D 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积2V . （2）求常数a 的值，使得1D 的面积与2D 的面积相等.
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）
23、已知函数⎩⎨⎧≥+<=-0
,10
,)(x x x e x f x ，证明函数)(x f 在点0=x 处连续但不可导.
24、证明：当21<-+>x x x x .
2009年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案 1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6、C 7、2ln 8、x
xe
24
9、3π 10、y
xz z +-22 11、2 12、C y y x x +-=+ln 221ln 2
13、6cos 13lim sin lim
2
030=-=-→→x
x x x x x x ，. 14、dt t dy dt t
dx )22(,11
+=+=
，
2)1(211)22(+=++=t dt t
dt t dx dy ，
