基站选址问题的数学模型及计算

p中值模型选址计算方法
P中值模型是一种选址模型，旨在在备选设施集合中选择p个设施，使得所有需求点得到服务，并且需求点到其最近设施的加权距离总和最小。

计算方法如下：
1. 初始化：令循环数k=m，将所有m个候选位置都选中，然后将每个需求点分配给离其最近的一个候选位置。

2. 选择并取走一个位置点，满足以下条件：假如将它取走并将它的客户重新指派后，总费用增加量最小，然后令k=k-1。

以上信息仅供参考，建议咨询专业人士获取更准确的信息。

中原工学院2009年数学建模竞赛论文题目：基于0-1规划的移动通讯基站最优选址模型参赛队员：班级：信科071 姓名：李珍奇班级：信科072 姓名：王朝阳班级：信科072 姓名：曹萌2009年8月30日基于0-1规划的移动通讯基站最优选址模型摘要本文以移动通讯基站的投资成本与覆盖特性为背景，综合利用多种模型在资金和被选地址确定的情况下，对基站的选址问题进行了求解和优化。

针对问题一，我们首先对题中表1和表2所给的数据进行整理和分析，引入了0-1规划模型和排除法进行求解，在0-1规划模型中，运用布尔代数中的加法原则来避免同一社区的人口被重复计算，用lingo软件求得当在2，4，6，7号位置建设基站时，覆盖人口最多。

在这种方案下，建设基站总费用为4500万元，覆盖了2，3，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15社区，总人口为109.5千人。

在排除法解决方法中，我们根据题目中的计划资产不超过5000万元的条件下覆盖人口尽可能多的要求，通过程序输出建设三个和四个中继站的所有可能的情况，经过比较排除后，对剩下的20种可供选择的方案，依题意求出对应的建设费用M、覆盖社区、覆盖人口W。

经过比较，得出投资4500万元，在2，4，6，7这四个位置建站可以覆盖除1和4以外的所有社区，总覆盖109.5千人的最优方案。

这两种求解方法分别从不同的角度解决问题，得出了相同的建设方案。

两种方法之间相互检验，论证了它们的合理性，这也是我们模型的一大特色。

在问题二中，我们仍然引用0-1规划模型，只是对其稍加改进。

这里用布尔代数中的加法原则来避免同一社区的总通讯资费被重复计算。

用lingo软件求得在2，4，6，7号位置建设基站时，资费的收入达到最大，为83.74a百万元（a为手机使用率）。

同时绘制了基站建设方案示意图（如图2所示）。

然后我们运用枚举法把各种方案覆盖的社区及总人数和总资费收入一一列出（如表7所示），经过计算和比较最终得出了和0-1规划中同样的结果。

单设施选址模型设有n 个零售铺店，它们各自的坐标是j j x y （，）（j=1，2.。

n ）配送中心的坐标为00x y （，）.设配送中心到零售店j 的发送费用是j F ，总发送费用为T ，则有：nj j 1T F ==∑ （1）其中j F 可用下列的式子表示j j j k w d J F = （2）式中j k ——从配送中心到零售店j 的发送费率（单位吨公里的发送费）；j w ——向零售店j 的货物发送量；j d ——从配送中心到零售店之间的直线距离。

其中j d = （3） 把式（2）代入（1）得nj j j j 1k w d T ==∑ （4）联立式（3）和（4）可求出使T 最小的0x ，0yn j j 0j j j 10k w (x x )/d 0x T=∂==∂∑- （5） nj j 0j j j 10k w (y y )/d 0y T=∂==∂∑- （6） 联立（5）和（6）可求出最适合的*0x ，*0y ：njj jjj 1*0njjjj 1k w x /dx k w /d===∑∑ （7）njj jjj 1*0njjjj 1k w y /dy k w /d===∑∑ （8）由于式（7）和（8）右边含有j d ，即还有所求的0x ，0y ，可以采用迭代法莱进行计算。

迭代法计算步骤如下：（1） 给出配送中心的出初始地点0000x y （，）。

（2） 通过式（3）式（4）计算与0000x y （，）相对应的总发送费用0T 。

（3） 把0000x y （，）代入（3）、（7）和（8）中，计算配送中心的改善地点1100x y （，）。

（4） 通过式（3）、式（4）计算与1100x y （，）相对应的总发送费用1T 。

（5） 把1T 和0T 进行比较，如果1T <T ,则返回（3）进行计算，再把1100x y （，）代入式（3）（7）（8）中，计算配送中心的再改善地点2200x y （，）。

设施选址问题的数学模型与优化算法研究1. 本文概述随着全球化经济的发展和市场竞争的加剧，设施选址问题的合理解决对于企业的运营效率和成本控制具有重要意义。

本文旨在探讨设施选址问题的数学模型与优化算法，以期为实际应用提供理论支持和决策依据。

本文将综述设施选址问题的研究背景和意义，明确其在物流、供应链管理等领域的重要性。

本文将分析现有设施选址问题的数学模型，包括连续型和离散型模型，并探讨其优缺点。

接着，本文将重点研究设施选址问题的优化算法，包括启发式算法、遗传算法、粒子群优化算法等，并比较其性能和适用范围。

本文将通过实证研究，验证所提出的数学模型与优化算法的有效性和可行性，为实际应用提供参考和借鉴。

本文的研究结果将为解决设施选址问题提供新的思路和方法，对于提高企业竞争力具有重要的理论和实践价值。

2. 设施选址问题的基本概念与分类设施选址问题（Facility Location Problem, FLP）是运筹学和物流管理中的一个重要问题，它涉及到在给定一组潜在位置和相关成本或效益的情况下，选择最优的位置来设置一个或多个设施，以满足一定的服务需求。

这个问题的核心在于平衡各种成本和效益，包括建设成本、运营成本、运输成本、客户服务水平等。

目标是在满足服务要求的前提下，最小化总成本或最大化总效益。

设施选址问题可以根据不同的标准进行分类，以下是一些常见的分类方式：单设施选址问题（Single Facility Location Problem）：只设置一个设施，目标是找到最佳位置。

多设施选址问题（Multiple Facility Location Problem）：需要在多个位置设置多个设施，考虑它们之间的相互作用和整体优化。

静态选址问题：假设需求和成本等参数在问题解决期间保持不变。

随机选址问题：某些参数是不确定的，需要使用概率模型来描述。

连续选址问题：设施可以在连续的空间（如二维平面）中的任何位置设置。

多目标选址问题：需要同时考虑多个目标，如成本、服务水平、环境影响等，并寻求它们的最优平衡。

本科14组 许泽东，邹志翔，陈佳成选址问题及最佳巡视路线的数学模型摘 要本文解决的问题是缴费站、派出所选址和最佳巡视路线的确定。

合理设置缴费站，可以为居民缴费节省大量时间和精力。

派出所位置和数量的不同选择，会产生不同的建设成本和管理经费。

而最佳巡视路线的确立，可以让领导在最短时间内巡视完所有社区。

为解决以上问题，我们建立的三个最优化模型。

针对问题一，我们先用floyd 算法求出各社区间的最短路，然后用计算机枚举出所有选址方案。

对每一种选址方案都会产生一个平均距离S ，我们以此为指标对方案进行评估。

经过合理化推导，我们得出最优解11712S .=（百米），且此时应该在M,Q,W 三社区设置煤气缴费站。

针对问题二，我们在问题一求出的最短路基础上，建立了0-1线性规划模型。

然后借助matlab 软件求得最优解3=X （即应该设置3个派出所），并给出了各派出所管辖范围。

这样既满足了每个社区在3分钟内至少能得到一个派出所服务，也为派出所的建设管理节省了不少成本。

具体结果如下表3：构建了社区网络的完全图，然后考虑到最优哈密顿圈的求解极其困难，我们连续使用30次模拟退火的方法求得连接各社区的近似最优哈密顿圈。

其中，我们对每次求出的哈密顿圈都进行了合理划分，产生了三个子圈，即三组巡视路线。

最终得到近似最优解128，见表4。

接着，我们还对哈密顿圈划分方法进行了改进，求得近似最优解125（具体结果见表5）。

1.问题重述问题背景 社区已是现代都市的的基础，随着城市社会经济的飞速发展，社区与人们生活的联系越来越密切，人们需要在社区解决日常生活涉及的各种利益和需要，因而人们对社区社会生活服务提出更高的要求，而政府也希望能够更好的指导和管理城市社区，社区生活服务建设以及安全保障等问题便由此而生。

据某项调查显示，我国七成以上的家庭表示需要更多更好的社会化社区服务，其范围涉及食、住、行、工、学、医、娱、境、安等居民生活的各个方面。

重心法选址计算模型
使用方法：
初始数据填写
1.自行填入节点名称，如不需这么多节点空着即可
2.自行填入X坐标，Y坐标，如没有的节点空着即可
3.自行填入运输量，运输费率，如没有的节点空着即可
初始坐标填写计算1.自动计算出Ti和初始坐标一次迭代计算
2.自动计算出Ti和初始坐标
3.与初始坐标Ti进行对比，是否小于初始坐标，如小于根据一次
迭代结果进行二次迭代二次迭代1.复制一次迭代表（1）
第一个数据的公式内B列和D 列行数改成一次迭代计算结果行数例：SQRT(SUM SQ($B$43 -
B78,$D$4 3-C78))改成SQRT(SUM SQ($B$73 -
B78,$D$7 3-C78)) 3.将计算结果填充，及右下角变成十字后下拉
4.对比Ti 是否小于一次迭代如果小于做三次迭代，否则一次迭代为最佳选址地址
5.复制一次迭代表（2），计算出坐标
结果
1.直到迭代Ti结果大于上面迭代，否则持续迭代
代结果大于上面，则上面的迭代坐标为最佳选址
3.如果计算结果坐标为有东西，则向上找最小的Ti选择没东西的坐标。

选址问题数学模型选址问题数学模型摘要本题是用图论与算法结合的数学模型，来解决居民各社区生活中存在三个的问题：合理的建立3个煤气缴费站的问题；如何建立合理的派出所；市领导人巡视路线最佳安排方案的问题。

通过对原型进行初步分析，分清各个要素及求解目标，理出它们之间的联系.在用图论模型描述研究对象时，为了突出与求解目标息息相关的要素，降低思考的复杂度。

对客观事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程.建立图论模型是为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题针对问题1：0-1规划的穷举法模型。

该模型首先采用改善的Floyd-Warshall算法计算出城市间最短路径矩阵见附录表一；然后，用0-1规划的穷举法获得模型目标函数的最优解，其煤气缴费站设置点分别在Q、W、M社区，各社区居民缴费区域见表7-1，居民与最近的缴费点之间平均距离的最小值11.7118百米。

针对问题2：为避免资源的浪费，且满足条件，建立了以最少分组数为目标函数的单目标最优化模型，用问题一中最短路径的Floyd算法，运用LINGO软件编程计算,得到个社区之间的最短距离，再经过计算可得到本问的派出所管辖范围是2.5千米。

最后采用就近归组的搜索方法，逐步优化，最终得到最少需要设置3个派出所，其所在位置有三种方案，分别是：（1）K区，W区，D区；（2）K区，W区，R区；（3）K区，W区，Q区。

最后根据效率和公平性和工作负荷考虑考虑，其第三种方案为最佳方案，故选择K区，W区，Q区，其各自管辖区域路线图如图8-1。

针对问题3：建立了双目标最优化模型。

首先将问题三转化为三个售货员的最佳旅行售货员问题，得到以总路程最短和路程均衡度最小的目标函数，采用最短路径Floyd算法，并用MATLAB和LINGO软件编程计算，得到最优树图，然后按每块近似有相等总路程的标准将最优树分成三块，最后根据最小环路定理，得到三组巡视路程分别为11.8 、11 和12.5 ，三组巡视的总路程达到35.3 ，路程均衡度为12%,具体巡视路线安排见表9-1和图9.2 。

基站选址的统计理论方法研究：基站选址的统计理论方法研究一、引言近年来，移动通信技术可谓是发展迅猛，然而通讯信号的发出与接收需要基站的接力中转. 不仅如此，雷达、卫星等等的通讯工具都有一定的信号接收范围，而其昂贵的造价容不得其过多的采用. 如何用最少数量的中转基站保证信号质量和覆盖率是值得研究的问题.上述实际问题可通过解决下述数学问题来解决，即：设Ω是一半径为R的大圆，用n个半径为r的小圆Ω1，Ω2，…，Ωn（n是正整数）完全覆盖大圆Ω，即 .对于不同的R和确定的r试确定n的最小值（即小圆的最小个数）.1.基站选址的理论分析（1）基于抽屉原理的等分圆周法（适用于n=2，3，4）小圆个数较少时，情况相对简单，我们可以用根据抽屉原理来解决这个问题。

为方便起见，我们令大圆Ω的半径为1，先讨论在n一定的情况，r的最小值.根据文献《用小圆覆盖大圆》，加以作图1、图2说明，我们容易得到：在n=2，3，4时，最小半径分别为r2=1，现已求出给定一大圆半径，分别用2，3，4个小圆覆盖大圆时的最小小圆半径. 这与我们一开始提出的求给定一大圆半径，用已知半径的小圆覆盖大圆时的小圆的最小个数等价. 不妨设小圆的半径为1，大圆的半径为R，记此时所需要小圆的最小个数是f（R）（它是R的函数）. 则根据上面的讨论，我们有：代写论文但是此方法不能推广到n≥5时，原因是当n≥5时，按照上述方法求出的半径为的小圆不能覆盖大圆的全部，例如n=5，时，有图3所示的结果，而其最优方案应该如图4，它的最优性也在1983年时被Károly Bezdek证明. 其证明过程繁杂，并且小圆的半径r很难求出，但是我们可以知道它的半径范围为：对于n≥5的情形一般很难讨论，于是我们下面提出用数学统计法来确定小圆的最小半径。

2.基于Monte Carlo法的数学统计法首先我们研究覆盖面积的统计分布，令大圆小圆的圆心O1，…，Om，相互独立且服从二维正态分布：式（3）中的σ12，…，σm2为方差，I2为R2的单位矩阵. 令S表示大圆Ω被m 个随机小圆覆盖的阴影面积. 这个阴影部分的面积S就是我们要研究的对象. 当的数目在增加时，利用统计中的Monte Carlo方法，可得S的近似分布。