黄金分割法及其代码

机电产品优化设计课程设计姓名：学号：2908003032学院：机械电子工程学院一维搜索黄金分割法一、优化方法阐述1.原理阐述1.1基本原理设一元函数如图1所示，起始搜索区间为[a，b]，为所要寻求的函数的极小点。

在搜索区间[a，b]内任取两点与，且，计算函数与。

当将与进行比较时，可能的情况有下列三种：（1）：如图1(a)、(b)所示，这种情况下，可丢掉（，b]部分，而最小点必在区间[a，]内。

（2）：如图1(c)、(d)所示，这种情况下，可丢掉[a，）部分，而最小点必在区间[，b]内。

（3）：如图1(e)所示，这种情况下，不论丢掉[a，）还是丢掉（，b]，最小点必在留下的部分内。

图1（a）图1（b）图1（c）图1（d）图1（e）因此，只要在搜索区间内任取两点，计算它们的函数值并加以比较之后，总可以把搜索的区间缩小。

对于第（1）、（2）两种情况，经过缩小的区间内都保存了一个点的函数值，即或，只要再取一个点，计算函数值并加以比较，就可以再次缩短区间进行序列消去。

但对于第（3）种情况，区间中没有已知点的函数值，若再次缩短区间必须计算两个点的函数值。

为了简化迭代程序，可以把第(3)种情况合并到前面(1)、(2)两种情况之一中去，例如可以把上述三种情况合并为下述两种情况：（1）若，取区间[a，]。

（2）若，取区间[，b]。

这样做虽然对于第（3）种情况所取的区间扩大了，但在进一步搜索时每次只要计算一个点，和第(1)、(2)种情况一致，简化了迭代程序。

1.2 “0.618”的由来为了简化迭代计算的过程，希望在每一次缩短搜索区间迭代过程中两计算点、在区间中的位置相对于边界来说应是对称的，而且还要求丢去一段后保留点在新区间中的位置与丢去点在原区间中的位置相当。

如图2所示，设区间[a，b]全长为L，在其内取两个对称计算点和，并令l/L=称为公比，无论如图2(b)所示丢去（，b]，还是如图2(c)所示丢去[a，），保留点在新区间中相应线段比值仍为,（1）由此得解此方程的两个根，取其正根为0.6180339887这种分割称为黄金分割，其比例系数为，只要第一个试点取在原始区间长的0.618处，第二个试点在它的对称位置，就能保证无论经过多少次缩小区间，保留的点始终处在新区间的0.618处。

黄金分割法python代码黄金分割法是一种古老而神秘的比例，它可以在许多不同的领域中发挥作用。

在数学上，它是一种简单而优美的比例，被广泛用于建筑、绘画和美学等领域。

在计算机科学中，黄金分割法也被用于优化算法的设计，特别是在搜索和排序方面。

本文将介绍黄金分割法的定义、性质和应用，并提供Python代码实现。

1. 黄金分割法的定义黄金分割法是指将一条线段分割成两部分，使其中一部分与整条线段的比例等于另一部分与这部分的比值相等，即A/B = B/(A+B)。

这个比例被称为黄金比例，也被称为“神圣的比例”。

黄金比例的近似值是1.61803398875，它是一个无限不循环的小数，也是一个无理数。

黄金比例的近似值可以通过求解方程x^2=x+1来得到，其中x是黄金比例的值。

这个方程的正根就是黄金比例的值。

2. 黄金分割法的性质黄金分割法有许多有趣的性质，其中一些包括：（1）黄金比例的平方等于黄金比例加1，即φ^2=φ+1；（2）黄金比例的倒数等于黄金比例减1，即1/φ=φ-1；（3）黄金比例是一种最优比例，它可以使得两个部分的比例在视觉上感觉最为和谐和美丽。

3. 黄金分割法的应用黄金分割法在建筑、绘画、美学等领域中有广泛的应用。

例如，在建筑中，黄金分割法可以用来设计建筑物的比例和比例关系，以创造出最美丽的效果。

在绘画中，黄金分割法可以用来设计画面的比例和构图，以创造出最和谐的效果。

在美学中，黄金分割法可以用来评估和设计美的标准。

在计算机科学中，黄金分割法也有着广泛的应用。

特别是在搜索和排序算法中，黄金分割法被用于优化算法的设计。

例如，在二分查找算法中，可以将搜索区间按照黄金比例分割，以减少搜索次数和时间复杂度。

在排序算法中，可以将数组按照黄金比例分割成多个子数组，然后使用递归算法进行排序，以减少排序时间和空间复杂度。

4. Python代码实现以下是使用Python实现黄金分割法的代码，其中使用了递归算法来计算黄金比例的近似值。

黄金分割法：公式一#include "stdio.h"#include "math.h"#include "conio.h"#define e 0.00001 //收敛精度#define tt 0.01 //一维搜索步长float function(float x){float y;y=pow(x,2)-10*x+36;//目标函数return(y);}/******返回目标函数值*************/void finding(float a[3],float f[3]){float h=tt,a1,f1,ia;int i;a[0]=0;//从零开始搜索f[0]=function(a[0]);for(i=0;;i++){a[1]=a[0]+h;f[1]=function(a[1]);if(f[1]<f[0]) break;//确定单峰区间右端点if(fabs(f[1]-f[0])>=e)//判断两端点之间精度{h=-h;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}//大于预定精度时，修改步长，反向搜索else{ if(ia==1) return;h=h/2;ia=1;}}//满足精度时,缩短步长//如果步长缩短后，还不满足，将返回。

造成a[2]的值不确定for(i=0;;i++){a[2]=a[1]+h;f[2]=function(a[2]);if(f[2]>f[1]) break;h=2*h;//加大步长a[0]=a[1];f[0]=f[1];a[1]=a[2];f[1]=f[2];}//确定另一端点if(a[0]>a[2]){a1=a[0];f1=f[0];a[0]=a[2];f[0]=f[2];a[2]=a1;f[2]=f1;}//将单峰区间右端点值存入a[2]中，左端点存入a[0]中return;}/*********进退法确定单峰区间********/float gold(float *ff){float a1[3],f1[3],a[4],f[4];float aa;int i;finding(a1,f1);a[0]=a1[0];f[0]=f1[0];a[3]=a1[2];f[3]=f1[2];a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]);//取点x1a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]);//取点x2f[1]=function(a[1]);//求F(x1)f[2]=function(a[2]);//求F(x2)for(i=0;;i++){if(f[1]>=f[2]){a[0]=a[1];f[0]=f[1];a[1]=a[2];f[1]=f[2];a[2]=a[0]+0.618*(a[3]-a[0]);f[2]=function(a[2]);}//F(x1)>F(x2),将x2赋值给x1.另求x2else{a[3]=a[2];f[3]=f[2];a[2]=a[1];f[2]=f[1];a[1]=a[0]+0.382*(a[3]-a[0]);f[1]=function(a[1]);}if((a[3]-a[0])<e){aa=(a[1]+a[2])/2;*ff=function(aa);break;}//判断两点间的精度。

黄⾦分割法及其代码线性搜索之黄⾦分割法及其应⽤摘要最优化理论和⽅法⽇益受到重视，已经渗透到⽣产、管理、商业、军事、决策等各个领域，⽽最优化模型与⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通讯和政府机关等领域。

伴随着计算机技术的⾼速发展，最优化理论与⽅法的迅速进步为解决实际最优化问题的软件也在飞速发展。

其中，MATLAB 软件已经成为最优化领域应⽤最⼴的软件之⼀。

有了MATLAB这个强⼤的计算平台，既可以利⽤MATLAB优化⼯具箱（OptimizationToolbox）中的函数，⼜可以通过算法变成实现相应的最优化计算。

在最优化计算中⼀维最优化⽅法是优化设计中最简单、最基本的⽅法。

⼀维搜索，⼜称为线性搜索，⼀维问题是多维问题的基础，在数值⽅法迭代计算过程中，都要进⾏⼀维搜索，也可以把多维问题化为⼀些⼀维问题来处理。

⼀维问题的算法好坏，直接影响到最优化问题的求解速度。

⽽黄⾦分割法是⼀维搜索⽅法中重要的⽅法之⼀，它适⽤于任何单峰函数求最⼩值的问题，甚⾄于对函数可以不要求连续，是⼀种基于区间收缩的极⼩点搜索算法。

关键词：最优化、黄⾦分割法、MATLAB软件、⼀维搜索引⾔数学科学不仅是⾃然科学的基础，也是⼀切重要技术发展的基础。

最优化⽅法更是数学科学⾥⾯的⼀个巨⼤的篇幅，在这个信息化的时代，最优化⽅法⼴泛应⽤于⼯业、农业、国防、建筑、通信与政府机关、管理等各领域；它主要解决最优计划、最优分配、最优决策、最佳设计、最佳管理等最优化问题。

⽽最优解问题是这些所有问题的中⼼，是最优化⽅法的重中之重，在求最优解问题中，有多种⽅法解决，我们在这⾥着重讨论⽆约束⼀维极值问题，即⾮线性规划的⼀维搜索⽅法之黄⾦分割法。

黄⾦分割法也叫0.618法，属于区间收缩法，⾸先找出包含极⼩点的初始搜索区间，然后按黄⾦分割点通过对函数值的⽐较不断缩⼩搜索区间。

当然要保证极⼩点始终在搜索区间内，当区间长度⼩到精度范围之内时，可以粗略地认为区间端点的平均值即为极⼩值的近似值。

一维寻优法(0.618法)程序设计一维寻优法，又叫作黄金分割法或者0.618法，是一种基于比较大小的优化算法，能够在一维搜索空间中找到最优解或者一定程度上接近最优解。

这是一种简单而经典的算法，在实际应用中有很多的应用场景。

接下来我们将介绍一下如何设计一维寻优法的程序，包括算法原理、代码实现和测试结果。

### 1. 算法原理一维寻优法的核心思想是找到一段区间，通过不断缩小这个区间的范围来逼近最优解。

具体来讲，我们首先需要给出一个初始的搜索区间，假设这个区间是[a, b]。

我们可以通过计算出0.618的值（记为c），将这个区间划分为两个子区间[a, c]和[c, b]。

对于这两个子区间中的一个，我们可以进一步将其划分为两个子区间，之后对于这两个子区间分别计算其函数值，保留其中更小的一个（因为我们是要找最小值），并更新原始的搜索区间。

如此往复进行下去，直到搜索区间的长度小于一定的阈值或者我们已经满足了一定的精度要求为止。

### 2. 代码实现下面是一维寻优法的Python示例代码：```pythondef golden_section(func, a, b, epsilon=1e-5):""":param func: 要进行最优化的函数:param a: 搜索区间左边界:param b: 搜索区间右边界:param epsilon: 精度控制参数:return: 函数极小值所在的x值"""c = 0.618 # 黄金分割点x1 = a + (1 - c) * (b - a) # 初始化搜索区间x2 = a + c * (b - a)y1 = func(x1)y2 = func(x2)while abs(b - a) > epsilon:if y1 <= y2:b = x2x2 = x1y2 = y1x1 = a + b - x2y1 = func(x1)else:a = x1x1 = x2y1 = y2x2 = a + b - x1y2 = func(x2)return (a + b) / 2```代码中，我们首先计算出黄金分割点，并初始化搜索区间。

试用黄金分割法求函数f(x)=(x-1)^2的最优解，并用matlab 编程计算。

已知区间为[-1,1]，取迭代精度为0.0001。

算法简要说明：(1) 初始化搜索区间a,b,搜索精度ε;(2) 若ε<-a b ，则停止计算；(3) )(618.0),(382.0a b a r a b a l -+=-+=；(4) 若)()(r f l f >，则令l a =，否则令r b =；(5) 转（2）(6) 令最优解a =min ；程序实现：function [min,min_value]=goldensection(fun,a,b,ef)%黄金分割法：一维搜索求解无约束极值%输入参数：%fun 目标函数的M 文件%a 搜索区间左端点%b 搜索区间右端点%ef 精度k= 1;while b - a > ef,left = a + 0.382*(b-a);right= a + 0.618*(b-a);if feval(fun,left) > feval(fun,right),a =left;elseb = right;end %ifk = k + 1;end %whilemin = a; %optx=(a+b)/2;min_value=feval(fun,min);编写程序testfun1实现目标函数值计算：function r= testfun1(x)r=(x-1)^2;在Matlab 命令行中输入以下程序：[min,min_value] = goldensection('testfun1',0,2,0.0001)输出结果为：min =0.9999min_value =3.7056e-09思考题黄金分割点与牛顿法的区别？牛顿法收敛快，但要求其一阶、二阶导数，对初始点的选择要求较高；黄金分割法比较可靠，而且完全是数值计算，不考虑函数的性态，不用求导数，但是收敛较慢。

一维搜索一维优化一般分为两大步骤：（1）确定初始搜索区间[a，b]，该区间应是包括一维函数极小点在内的单峰区间；（2）在搜索区间[a,b]内寻找极小点。

搜索区间的确定—进退法基本思路是：由单峰函数性质可知，在极小点a*左边函数值应严格下降，而在极小点右边函数值应严格上升。

因此，可从某一个给定的初始点a0出发，以初始步长h0沿着目标函数值的下降方向，逐步前进或后退，直到找到相继的3个试点的函数值按“大---小----大”变化为止。

一：确定搜索区间的外推法•首先确定函数的单谷性•然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向。

•如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。

搜索区间的确定流程图确定搜索区间的程序代码void findqujian(float a[3],float f[3]) {float t=steplength, a1,f1,ia;a[0]=0;f[0]=fc(a[0]);for(int i=0;;i++){a[1]=a[0]+t;f[1]=fc(a[1]); if(f[1]<f[0]) break;if(fabs(f[1]-f[0])>=e){t=-t;a[0]=a[1];f[0]=f[1];}else{ if(ia==1)return;t=t/2;ia=1;}}for(i=0;;i++){a[2]=a[1]+t;f[2]=fc(a[2]);if(f[2]>f[1]) break;t=2*t;a[0]=a[1]; f[0]=f[1];a[1]=a[2]; f[1]=f[2];}if(a[0]>a[2]){a1=a[0];f1=f[0];a[0]=a[2];f[0]=f[2];a[2]=a1; f[2]=f1;}return;}一、黄金分割法黄金分割法是通过不断缩短搜索区间的长度来寻求一维函数的极小点，这种方法的基本原理是：在搜索区间[a,b]内按如下规则对称地取两点a1和a2a1=a+0.382(b-a); a2=a+0.618(b-a);黄金分割法的搜索过程是：1）给出初始搜索区间[a,b] 及收敛精度e ，将赋以0.618 2）计算a1 和a2，并计算起对应的函数值f(a1),f(a2); ，3）根据期间消去法原理缩短搜索区间，为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名城的代换，并在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。

python 实现黄⾦分割法的⽰例代码⼀.问题使⽤黄⾦分割法来计算⼆.代码12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546#黄⾦分割法python 求解PPT 上第⼀个例题#因为函数要求解最⼤值⽽这个⽅法⼀般求解最⼩值所以把函数取负 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt rate = 0.618034 def f(x): #求解体积函数公式，乘1.0将结果变为浮点数 return -1.0*x*(350-2*x)*(260-2*x) def tarceback(f,a0,b0,accuracy): a = a0 b = b0 x2 = a+rate*(b-a) x1 = b-rate*(b-a) f1 = f(x1) f2 = f(x2) print(x1,x2)arr = search(f,a,b,x1,x2,f1,f2,accuracy)printFunc(f,a,b,arr[0],arr[1])def search(f,a,b,x1,x2,f1,f2,accuracy):if f1<=f2:if x2-a<accuracy:print(x1,f1)return (x1,f1)else: b = x2 x2 = x1 f2 = f1 x1 = a+b-x2 f1 = f(x1) print(x1,x2) return search(f,a,b,x1,x2,f1,f2,accuracy) else:if b-x1<accuracy:print(x2,f2)return (x2,f2)else:a = x1x1 = x2f1 = f2x2 = a+b-x1f2 = f(x2)4647484950515253545556575859f2 =f(x2)print(x1,x2) returnsearch(f,a,b,x1,x2,f1,f2,accuracy) def printFunc(f,a,b,x,y): t = np.arange(a,b,0.01) s = f(t) plt.plot(t,s) plt.plot([x],[y],'ro') plt.plot([x,x],[y,0],'k--')plt.plot([0,x],[y,y],'k--')# plt.annotate(r'$(x,y)$',xy=(x,y)) plt.show() tarceback(f,0,130,0.05)三.结果到此这篇关于python 实现黄⾦分割法的⽰例代码的⽂章就介绍到这了,更多相关python 黄⾦分割法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。

黄金分割法python代码黄金分割法Python代码黄金分割法是一种优化算法，它可以在最短时间内找到函数的最小值。

这种算法的原理是将函数的区间分成两个部分，然后选择其中一个部分进行计算，直到找到最小值。

在这个过程中，每次选择的区间都是原区间的黄金分割点。

黄金分割法的优点是可以在较短的时间内找到函数的最小值，而且不需要对函数进行求导。

这种算法的缺点是需要对函数进行多次计算，因此在计算复杂度上可能会比较高。

下面是黄金分割法的Python代码：```pythonimport mathdef golden_section_search(f, a, b, tol=1e-6):"""Golden section search algorithm to find the minimum of a function fon the interval [a, b]."""# Define the golden ratiophi = (1 + math.sqrt(5)) / 2# Define the initial pointsx1 = b - (b - a) / phix2 = a + (b - a) / phi# Define the initial function valuesf1 = f(x1)f2 = f(x2)# Loop until the interval is small enough while abs(b - a) > tol:# Choose the smaller function value if f1 < f2:b = x2x2 = x1f2 = f1x1 = b - (b - a) / phif1 = f(x1)else:a = x1x1 = x2f1 = f2x2 = a + (b - a) / phif2 = f(x2)# Return the minimum pointreturn (a + b) / 2```这个函数接受四个参数：函数f、区间的左端点a、区间的右端点b 和容差tol。