2015艺考生高考数学总复习讲义全
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2015艺考生高考数学总复习讲义
第一章、集合基本运算
一、基础知识:
1.元素与集合的关系:用∈或∉表示;
2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.
3.集合的分类:
①按元素个数分:有限集,无限集;②按元素特征分;数集,点集。如数集{y |y =x 2
},表示非负实数集,点集{(x ,y )|y =x 2}表示开口向上,以y 轴为对称轴的抛物线; 4.集合的表示法:
①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N +={0,1,2,3,…}; ②描述法:一般格式:{}()
x A p x ∈,如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x 2+1},…;
描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合
③字母表示法:常用数集的符号:自然数集N ;正整数集*N N +或;整数集Z ;有理数集Q 、实数集R;
5.集合与集合的关系:用⊆,≠⊂,=表示;A 是B 的子集记为A ⊆B ;A 是B 的真子集记为A ≠⊂B 。
常用结论:①任何一个集合是它本身的子集,记为A A ⊆;②空集是任何集合的子集,记为A ⊆φ;空集是任何非空集合的真子集;
③如果B A ⊆,同时A B ⊆,那么A = B ;如果A B ⊆,B C ⊆,
A C ⊆那么. ④n 个元素的子集有2n 个;n 个元素的真子集有2n -1个;n 个元素的非空真子集有2n -2个.
6.交集A ∩B={x |x ∈A 且x ∈B};并集A ∪B={x |x ∈A ,或x ∈B};补集C U A={x |x ∈U ,且x ∉A },集合U 表示全集. 7.集合运算中常用结论:
;A B A B A ⊆⇔=A B A B B ⊆⇔=
注:本章节五个定义
1.子集
定义:一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集合A ,记作A ⊆B (或B ⊇A ),即若任意x ∈A,有x ∈B ,则A ⊆B(或A ⊂B)。这时我们也说集合A 是集合B 的子集(subset )。
如果集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A,就记作A ⊈B (或B ⊉A ),即:若存在x ∈A,有x ∉B ,则A ⊈B(或B ⊉A)
说明:A ⊆B 与B ⊇A 是同义的,而A ⊆B 与B ⊆A 是互逆的。
空集是指不含任何元素的集合。(}0{、φ和}{φ的区别;0与三者间的关系)
规定:空集∅是任何集合的子集,即对于任意一个集合A 都有∅⊆A 。(注意:
B A ⊆,讨论时不要遗忘了φ=A 的情况。)
2.真子集:
由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论: (1)A ⊆A (任何集合都是其自身的子集);
(2)若A ⊆B ,而且A ≠B (即B 中至少有一个元素不在A 中),则称集合A 是集合B 的真子集(p r o p e r s u b s e t ),记(
3)对于集合
A ,
B ,
C ,
若
A ⊆
B ,B ⊆
C ,
3并集的定义:
一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与集合B 的并集(union set )。记作:A ∪B (读作:“A 并B ”),即 {},A B x x A ⋃=∈∈或x B 这样,在问题(1)(2)中,集合A ,B 的并集是C ,即 A B ⋃= C 例.A ={x|x>3},B ={x|x<6},则A ∪B = 。 4,交集的定义: 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,叫作集合A 、B 的交集(intersection set ),记作A ∩B (读“A 交B ”)即: A ∩B ={x|x ∈A ,且x ∈B}
例,已知集合A ={(x ,y )|64=+y x },B ={(x ,y )|723=+y x },求A ∩B 。 5,补集的定义:
对于一个集合A ,由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合,叫作集合A 相对于全集U 的补集(complementary set ),记作:U C A ,
读作:“A 在U 中的补集”,即
{},U C A x x U x A =∈∉且
例.设U ={x|x<8,且x ∈N},A ={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则U C A = ;
三.考题精选
一、选择题
1、(2012文科卷2)已知集合M={1,2,3,4},N={-2,2},下列结论成立的是( D )
A.N ⊆M
B.M ∪N=M
C.M ∩N=N
D.M ∩N={2} 2、已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ,集合}5,3,1{=A ,}6,5,4{=B ,则结合)(C U B A =( B ) A .}6,4,2{
B .}2{
C .}5{
D .}6,5,4,3,1{
3、有下列结论:( A )
(1)空集没有子集;(2)空集是任何集合的真子集; (3)任何一个集合必有两个或两个以上的子集;
(4)如果N M ⊆,则不属于集合M 的元素必不属于集合N 。 A 、 0个 B 、 1个 C 、2个 D 、 3个
4、设集合A={x |x ∈Z 且-10≤x ≤-1},B={x |x ∈Z ,且|x |≤5},则A ∪B 中的元素个数是( C )
(A)11 (B)1 (C)16 (D) 18
5、设{}
220,M x x x x R =++=∈,a =lg(lg10),则{a }与M 的关系是( B ) (A){a }=M (B)M ⊆{a } (C){a }∈M (D)M ⊇{a
}