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几类重要的随机过程汇总

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第7章 几种常用的随机过程

第7章 几种常用的随机过程
f X ( x n | x n +1 ,⋅ ⋅ ⋅, x n + k ) = f X ( x n | x n +1 )
证：因为
f X ( x n , x n +1 ,⋅ ⋅ ⋅, x n + k ) = f X ( x n + k | x n + k −1 ) ⋅ ⋅ ⋅ f X ( x n+1 | xn ) f ( x ) X n
1.6 马尔可夫过程
1.6.1马尔可夫过程的概念
随机信号分析
当已知随机过程在时刻 ti 所处的状态的条件下，过程在时刻 t (> t i ) 所 处的状态与过程在时刻 ti 以前的状态无关，而仅与过程在 ti 所处的状态 有关，则称该过程为马尔可夫过程。这种特性称为随机过程的“无后效 性”或马尔可夫性。 分为四类： 1 T和E都取连续集时，称为马尔可夫过程。 2 若T取连续集而E取离散集时，称为可列马尔可夫过程。 3 若T取离散集而E取连续集时，称为马尔可夫序列。 4 若T和E都取离散集时，称为马尔可夫链。状态可列的马尔可夫链称 为可列马尔可夫链；状态有限的马尔可夫链称为有限马尔可夫链。
即联合概率密度函数可由转移概率密度和起始时刻的一维概率密度来确 定。
第2章
随机过程
随机信号分析
二、马尔可夫序列的性质 1. 一个马尔可夫序列的子序列仍为马尔可夫序列。 证：对于马尔可夫序列 { X n , X n−1 ,⋅ ⋅ ⋅, X 1 }
f X ( x1 , x 2 ,⋅ ⋅ ⋅, x n ) = f X ( x n | x n −1 ) ⋅ f X ( x n −1 | x n − 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ f X ( x2 | x1 ) ⋅ f X ( x1 )

随机过程知识点汇总

随机过程知识点汇总

随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。

２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。

离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。

连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。

３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。

均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。

自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。

４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。

弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。

强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。

５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。

高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。

６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。

马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。

７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。

泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。

８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。

例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。

t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。

复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。

协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。

复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。

随机过程例题和知识点总结

随机过程例题和知识点总结

随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学学科，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛应用。

下面我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。

一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量都对应着某个特定的时刻。

例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，都有一个对应的随机变量 X(t)表示股票的价格。

二、常见的随机过程类型1、泊松过程泊松过程常用于描述在一定时间内随机事件发生的次数。

例如，某电话交换台在单位时间内接到的呼叫次数就可以用泊松过程来建模。

例题：假设某电话交换台在上午 9 点到 10 点之间接到的呼叫次数是一个泊松过程，平均每分钟接到 2 次呼叫。

求在 9 点 10 分到 9 点 20 分这 10 分钟内接到至少 5 次呼叫的概率。

解：设 X(t) 表示在时间段 0, t 内接到的呼叫次数，且 X(t) 是一个强度为λ ＝ 2 的泊松过程。

10 分钟内接到的呼叫次数 X(10) 服从参数为λt ＝ 2×10 ＝ 20 的泊松分布。

P(X(10) ≥ 5) ＝ 1 P(X(10) ＜ 5) ＝ 1 P(X(10) ＝ 0) ＋ P(X(10) ＝ 1) ＋ P(X(10) ＝ 2) ＋ P(X(10) ＝ 3) ＋ P(X(10) ＝ 4)通过泊松分布的概率质量函数可以计算出每个概率值，进而求得最终结果。

2、马尔可夫过程马尔可夫过程具有“无记忆性”，即未来的状态只与当前状态有关，而与过去的状态无关。

例题：一个状态空间为｛0, 1, 2} 的马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为 P ＝ 05 03 02; 02 06 02; 01 03 06 ，初始状态为 0，求经过 3 步转移后处于状态 2 的概率。

解：通过计算 P³得到 3 步转移概率矩阵，然后取出第 0 行第 2 列的元素即为所求概率。

几类重要的随机过程课件

几类重要的随机过程课件

分形与分形维数
分形
具有不规则形状的数学对象，其部分与 整体相似。
VS
分形维数
描述分形复杂程度的数值，通常通过盒计 数法或相似度法进行计算。
分数布朗运动的积分
定义
应用
分数布朗运动的积分是对其路径的数 学描述，可以使用路径积分或时间积 分表示。
分数布朗运动的积分在金融、物理和 工程等领域有广泛的应用，如股票价 格模型、图像处理和信号传输等。
详细描述
在泊松过程中，条件概率和等待时间是两个重要的概念。条件概率是指在已知一个事件 发生的情况下，另一个事件发生的概率。等待时间是指从上一个事件发生到下一个事件 发生的时间间隔。在泊松过程中，等待时间是一个负指数分布的随机变量，其期望值等
于平均发生率。
03
随机游走
定义与性质
定义
随机游走是一种随机过程，其中每一 步都是随机的，且每一步的取值都是 离散的。
分散随机游走
定义
分散随机游走是一种特殊类型的随机游走，其中每一步的取 值都是离散的，且每一步都是随机的。
性质
分散随机游走具有离散性，即每一步的取值都是离散的；同 时，分散随机游走具有可预测性，即可以根据历史数据预测 下一步的取值。
04
布朗运动
定义与性质
定义
布朗运动是一种随机过程，其中每一 点的运动速度和方向都受到其他所有 点的影响。
计数过程是随机过程的一种，它记录了在某个时间段内事件发生的次数。计数过程可以用来描述一系列独立事件 的发生，例如电话呼叫、网页浏览等。在泊松过程中，事件的发生是相互独立的，因此泊松过程是一种特殊的计 数过程。
条件概率与等待时间
总结词
条件概率和等待时间是泊松过程中重要的概念，它们描述了事件发生的条件概率和等待 时间。

概率论中的随机过程分类

概率论中的随机过程分类

概率论中的随机过程分类概率论中，随机过程是一个随机变量的统一序列，代表了某个随机现象的演化情况。

随机过程在许多实际问题中具有广泛的应用，并且根据不同的性质和特点可以分为几个不同的分类。

本文将介绍概率论中随机过程的常见分类，包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动和排队论。

一、马尔可夫过程马尔可夫过程是随机过程中最常见和重要的一类。

在马尔可夫过程中，将来的发展只取决于当前状态，而与过去的发展无关。

它具有无记忆性，即给定当前的状态，过去的状态不会影响未来的演化。

马尔可夫过程分为离散和连续两种类型。

离散型马尔可夫过程使用离散的时间和状态，例如随机游走问题。

连续型马尔可夫过程则是使用连续的时间和状态，如布朗运动。

二、泊松过程泊松过程是一类用来描述随机事件发生的模型。

泊松过程适用于连续时间发生独立事件的情况，比如电话交换机接到电话的情况、交通流量和排队系统中的顾客到达等。

泊松过程是满足无记忆性和稀疏性的随机过程。

泊松过程的主要特点是事件的到达是随机的，各个事件之间的发生时间是相互独立的，并且事件的到达速率是固定的。

三、布朗运动布朗运动是一种连续时间随机过程，也被称为维纳过程。

布朗运动在金融学、物理学和工程学等领域中有重要应用。

布朗运动的主要特点是连续性和无限可分性。

它是由连续时间和连续状态的随机演变构成。

布朗运动的一个重要特征是它的路径是连续、逐步变化的。

四、排队论排队论是研究随机过程在服务系统中的应用的一门学科，其目标是理解和优化排队系统中的效率和性能。

排队论广泛应用于交通、通讯、生产和运输等领域。

排队论主要关注随机过程中到达和服务的模型。

常见的排队模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等，其中M表示到达和服务时间服从指数分布，G表示到达和服务时间服从一般分布，1和c表示服务窗口数量。

五、其他分类除了以上介绍的主要分类，概率论中还有许多其他类型的随机过程，如马尔科夫跳过程、随机游走、卡尔曼滤波器等。

几种重要的随机过程

几种重要的随机过程

第三节 几种重要的随机过程随机过程可以根据参数集T 、状态空间I 是离散还是连续进行分类，也可以根据随机过程的概率结构来进行分类。

一、二阶矩过程定义2.3.1设随机过程(){}T t t X ∈,，若对T t ∈∀，()t X 的均值()t X μ和方差()t D X 均存在，则称()t X 为一个二阶矩过程。

（有的书中以()[]∞<t X E 2，定义二阶矩过程，可以证明两定义是等价的）。

()[]()()t D t t XE X X ,2μ⇔∞<存在证明：“⇐”由()()[]()[]22t t X E t D X X μ-=，必要性显然成立。

“⇒”由()t X μ=()[]t X E ()[]t X E ≤ ()[]{}212t X E ≤∞<正态过程、正弦波过程、随机电报过程和平稳过程等都是二阶矩过程。

由于：()[]()t t X X μ=E ，若作()()()t t X t X X μ-=~，则有：()0~=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t X E ，()()[]t X D t X D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡~，即()t X ~是零均值的二阶矩过程。

而()t X ~的协方差函数()()2121,,~t t C t t C X X=，()()2121,,~t t R t t R X X=。

因此以后不妨假设二阶矩过程均值为零。

定理2.3.1 二阶矩过程(){}T t t X ∈,的协方差函数()21,t t C X 存在。

证明：()[]()[]()22t t X D t X E X μ+=存在。

则：()[]t XE 2存在。

由Schwarz 不等式：()222E XY E XE Y⎡⎤⎡⎤⎡⎤≤⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦有：()()()()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≤2221221tX E t X E t X t X E 即：()()()[]2121,t X t X E t t R X =存在。

则：()()()()121212,,μμ=-XX X X C t t R t t t t 存在。

几类重要的随机过程


性质： (1) W(t)为正态过程，其一维分布为正态分布。 (2) mW (t ) EW (t ) 0 2 DW (t ) DW (t ) t
CW ( s, t ) min{s, t}客数”； “在一段时间内点机器发生的故障数”等等。 而我们关心的是计数过程N(t)在[0,t]内随 机点发生的数目，N(t)满足一定的条件称为泊 松过程。
1.概念
定义：设{N(t), t≥0}表示[0 , t]时间内随机点 发 生的数目，如果N(t)具有以下性质，则称 {N(t), t≥0}是一个到达强度为λ(λ>0)的泊松 过程。 (1)齐次性： 以{N(t0, t0+t)=k}表示“在(t0, t0+t]发生k 个随机点”这一事件，则 Pk(t)=P(N(t0,t0+t)=k) (k=0,1,2,…)只与时间 区间长度t有关，而与起始点无关。
维纳过程
定义：设随机过程{W(t), t≥0}，若满足如下 条件，则称W(t)为维纳过程： (1) W(0)=0； (2) W(t)是齐次独立增量过程； (3)t s 0，W (t ) W (s)服从正态分布，
即：W (t ) W (s) ~ N (0, (t s))
2
(4) 任给t≥0，EW(t)=0。
⒊独立增量过程：设{X(t),t∈T}为一随机过程，
若n 2, t1 t 2 t n , ti T (i 1,2, , n) 有X (t 2 ) X (t1 )， ，X (t n ) X (t n 1 )这n 1个 随机变量相互独立，则称{ X (t ), t T }为独 立增量过程。
定理1：设{X(t),t≥0}是一个独立增量过程， 在P(X(0)=0)=1的条件下，X(t)的任意有限 维分布函数族可以由增量X(t)-X(s) (0<s<t) 的分布来唯一确定。

随机过程知识点汇总

第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。

独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p et g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，kk k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = n p qDX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 22)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21exp{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。

几类重要的随机过程

几类重要的随机过程随机过程指的是一组随机变量的演化过程，其中每个随机变量表示在不同的时间点上观察到的随机现象。

随机过程可以分为多个类别，下面将介绍一些重要的随机过程。

1. 马尔可夫链(Markov Chains)：马尔可夫链是一种最简单的随机过程，其中未来状态只取决于当前状态，与过去的状态无关。

马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，如金融、自然语言处理和遗传算法等。

马尔可夫链具有马尔可夫性质，即转移概率只与当前状态有关。

3. 布朗运动(Brownian Motion)：布朗运动，也称为随机游走或维纳过程，是一种连续时间的连续空间随机过程。

它是以随机步长进行连续时间的随机游走，具有随机漂移和随机扩散的特性。

布朗运动在物理学、金融学和数学建模等领域中得到广泛应用。

4. 马尔科夫过程(Markov Processes)：马尔科夫过程是在一定时间间隔内演化的离散时间随机过程。

它是马尔可夫链的连续时间版本，未来状态只取决于当前状态。

马尔科夫过程包括分段常数过程、均值回归过程和随机游走等。

5. 随机差分方程(Stochastic Difference Equations)：随机差分方程是一种描述离散时间的随机变量的过程。

它是差分方程的随机扩展，用于建模具有随机性质的动态系统，如经济学中的时间序列模型和信号处理中的随机信号模型。

6. 随机微分方程(Stochastic Differential Equations)：随机微分方程是一类描述连续时间的随机变量的过程。

它是微分方程的随机扩展，包括随机常微分方程和随机偏微分方程。

随机微分方程在物理学、金融学和工程学等领域中广泛应用。

7. 随机最优控制(Random Optimal Control)：随机最优控制是一种考虑不确定性的最优控制方法。

它将最优控制理论与随机过程理论相结合，用于处理具有不确定性和随机性的控制系统，如经济学中的投资组合优化和工程学中的机器人路径规划。

维纳过程

几 种 重 要 的 随 机 过 程
维纳过程（Brown 运动） 一.维纳过程的一维数学模型及定义 花粉微粒的一维随机游动 定义: 如果随机过程 {W(t) ,t ≥0} 满足下列条件： 1 ) W 0 0 ;
2 ) EW t 0 ;
3 ) 具有平稳独立增量; 4 ) t 0 ,W t ~ N 0, 2 t ,

0
称随机过程 {W(t) ,t ≥0}是参数为2的维纳过程
几 种 重 要 的 随 机 过 程
注：1）维纳过程为平稳独立增量过程 2）平稳独立增量的有限维概率分布由其一维分布 确定，故维纳过程是正态过程。 二、维纳过程的概率分布及数字特征 一维概率分布
f (t,x )
1
2t
2 2 su 2 suv tv2 2


几 种 重 要 的 随 机 过 程
n 维概率分布
f t1 , t 2 ,...,t n ; x1 , x2 ,...,xn
1
2
n/ 2
C
1 2
1 1 exp x C x 2
1 t1 , t 2 ,...,t n ; u1 , u2 ,...,un exp uCu 2
1 2 tu2 2
e

x2 2 2 t
0 t , x R t , u源自 e0 t , u R
W t W s ~ N 0, 2 t s


几 种 重 要 的 随 机 过 程
C s , t 2 mins , t
注意: 协方差矩阵C 的表示。
几 种 重 要 的 随 机 过 程
三、维纳过程的性质 性质1： 维纳过程 { X( t ) ,t ≥0}为平稳独立增量过程
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E[Y ] aμ, D[Y ] aCa 。
若e=(ejk)是m × n矩阵, Z eX 是m × 1的列矩阵，即m 维向量，则， E[Z] eμ, D[Z] eCe 。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
定理1：X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布N(μ,C)
f (x)
1
n
1 ( x-μ)C-1 (x-μ )
1 e2
(2 ) 2 | C | 2
, X n )
其中， x (x1, x2 , , xn ) μ (1, 2 , , n ) 为均值向量，
C (cij )nn , cij cov( X i , X j )为协方差矩阵， 则称X服从n维正态分布，称X为n维正态随机变量 。
即
n
X
i
Zn
i 1
n
的极限分布为标准正态分布N(0,1)；
近似地服从正态分布 N (n, n 2 )。
i 1
该定理表明，若有大量相互独立的随机变量，且每个随
机变量对它们之和的影响足够小时，则当这些随机变量的个
数趋于无穷大时，这些随机变量的和服从正态分布，而与每
个随机变量的分布无关。
4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质：
其中， 为均值； 2 为方差。分布函数为
F(x) 1
x
e
(
t )2 2 2
dt
(
x
)
2
当 0, 2 1 时的正态分布称为标准正态分布，记 为 X N(0,1)。分布函数 F(x) (x)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义2：如果n维随机变量 X ( X1, X 2 , 的概率密度为
态分布 N (eμ,eCe。)
正态分布随机变量的线性变换不变性
4.1.2 正态随机过程（高斯过程）
定义：若随机过程{X(t), t∊T},对于任意n个时刻t1, t2,…, tn ∊T, n维随机变量[X(t1), X(t2),…, X(tn) ]的联合概率分布为n 维正态分布，则称{X(t), t∊T}为正态过程（或高斯过程）。
数
0, 当i k,
C
(ti
,
tk
)
2 i
,
当i k.
C 012
0
2 2
0 0
n
| C |
2 i
i 1
f (x1, x1, , xn;t1,t2,
0
0
2 n
1
2 1
C1
0
0
1
2 2
0 0
0
0
1
2 n
,
tn
)
(2
)n
1
2
|
C
|1
2
e
(2
4 几种重要的随机过程
正态过程（高斯过程） 独立过程 独立增量过程 维纳过程 泊松过程 马尔可夫过程 生灭过程
4.1 正态过程(高斯过程)
4.1.1 正态分布（高斯分布）
定义1：如果随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
2
x
则称X为服从参数的正态分布，记为 X N (, 2，)
C(t1, tn )
C
(t2
,
tn
)
C(tn , tn )
特征函数：
(u1 , u2 ,
,
un
)
exp(iμu
1 2
uCu)
4.1.2 正态随机过程（高斯过程）
性质：
（1）正态过程{X(t), t∊T}的n维概率密度及特征函数完全
由它的均值向量和协方差矩阵所确定。（二阶矩过程）
（2）对于正态过程，独立性和不相关性是等价的。
Cb是保留C的第k1,k2,…,km行和列所得到的m×m矩阵
4.1.1 正态分布（高斯分布） n维正态随机变量的性质：
（2）（独立性）
定理1：n维正态分布的随机变量 X1, X 2 , , X n 相互 统计独立的充要条件是它们两两互不相关。
定理2：若X是正态分布的随机向量，X1和X2是X的两 个子向量，即 X (X1, X2 ) ，则X1与X2相互统计独立的充要 条件是它们的互协方差矩阵为0。
n
的充要条件是它的任何一个线性组合 Y ak X k aX
k 1
服从一维正态分布 n
nn
N ( ak k ,
ak aiCki )
k 1
k 1 i1
。
定理2：若 X ( X1, X 2 , , X n )服从n维正态分布
N(μ,，C)而若e=(ejk)是m×n矩阵,则 Z eX服从m维正
)n
1
21
2
n
exp[ 1 2
n i1
( xi
mi
2 i
)2
]
n
i1
1
2 i
exp[
(xi mi
2
2 i
)2
]
n i1
f (xi ,ti )
n维正态概率密度 等于n个一维正态 概率密度的乘积。
n维正态分布完全由一阶矩和二阶矩所确定。
4.1.1 正态分布（高斯分布）
中心极限定理：设 X1, X 2 , , X n 是n个相互独立同分布的
随机变量，每个随机变量的均值为 ，方差为 2 ，则
n
Xi n
lim P{ i1
x}
1
x t2
e 2 dt (x)
n n n
2
Xi n
概率分布：
f (x1, x2,
, xn;t1,t2,
,
tn
)
(2
)n
1
2
|
C
|1
2
exp[
1 2
(x
μ)C-1(x
μ)]
m(t1 )
μ
m(t2
)
m(tn
)
C(t1, t1) C C(t2 , t1)
C(tn , t1)
C(t1, t2 ) C(t2 , t2 )
C(tn , t2 )
（1）（n维正态分布的边沿分布）
设 X ( X1, X 2 , , X n )是 n维正态随机向量，则X的 任一子向量 Xb ( X k1 , X k2 , , X km ) (m n) 也服从 正态分布。
X N(u,C) Xb N (ub , Cb )
μb (k1 , k2 , , km )
若一个正态过程{X(t), t∊T}在任意n个时刻t1, t2,…, tn ∊T,
采样，所得的n维随机变量X(t1), X(t2),…, X(tn) 两两互不相关， 则，这些随机变量也是相互独立的。
对于多个正态过程，若两两互不相关，则两两相互独立。
[证明] X(t1), X(t2),…, X(tn) 两两互不相关，则协方差函
4.1.1 正态分布（高斯分布）
n维正态随机变量的性质：
（3）（线性变换）
设 X ( X1, X 2 , , X n )是n维正态随机变量，均值
为 E[X] μ (1, 2 , , n )，协方差矩阵为C。
n
若 Y ak X k aX ，其中 a (a1, a2 ,
, an )，则
k 1