2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题以及参考标准答案

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

全国初中数学竞赛试题（福建）及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1、已知实数x ，y 满足42423x x -=，423y y +=，则444y x+的值为（ ）。

A 、7B 、12 C 、72 D 、5 ［答］A解：因为2x ＞0，2y ≥0，由已知条件得21x ==，2y ==， 所以 444y x +＝2222223367y y x x++-=-+= 2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）。

A 、512 B 、49 C 、1736D 、12 ［答］C解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 △＝24m n -＞0，即24m n通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对，故1736p =3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（ ）。

A 、6条B 、8条C 、10条D 、12条［答］B解：如图，大圆周上有4个不同的点 A 、B 、C 、D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E 、F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与 BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线，从而这6个点可以确定的直线不少于8条。

当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线，所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。

4、已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1，以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2019 年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间2019 年 3 月 17 日9∶00－11∶00满分 150 分一、（共 5 小，每小 7 分，共 35 分）。

每道小均出了代号 A ，B， C，D 的四个，其中有且只有一个是正确的。

将正确的代号填入后的括号里，不填、多填或填都得0 分）1．若一次函数y x 2 与反比例函数y 4的像交于 A(x1，y1) ， B( x2，y2 ) 两点，xx1 x2y1 y2的（）A ．8B．6C．6D．8【答案】Dy x2【解答】由4，得x22x40⋯⋯⋯⋯⋯①。

yx依意，x1， x2是方程①的两根，于是 x1x22 ， x1 x2 4 。

∴x1 x2y1 y24416416x1 x2x1x2x1 x28。

x1x242．如，△ABCO 的内接三角形， D BC 中点， EOA 中点，ABC40 ，BCA80，OED 的大小（）A ．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】如， OC 。

（第 2 ）由 ABC40 ，BCA80 ，得BAC60。

∵ D BC 中点，∴OD BC ，DOC 1。

BOCBAC 602∴OCD 30， OD 1OC 。

2又 E OA 中点，∴OE 1OA OD 。

2（第 2 答）合ABC 40，知EOD AOC COD 2 40 60 140 ，1OED 1(180EOD )1(180140 )20。

223．已知二次函数 f ( x)2x2ax b ，若 f (a) f (b1) ，其中 a b 1 ，则 f(1) f (2) 的值为（）A ．8B．10C．12D．14【答案】A【解答】由已知条件及二次函数图像的对称性，知a b 1a。

于是， 3a2b 2 。

24所以， f (1) f (2)(2a b)(82a b)3a2b102108 。

4．如图，在四边形ABCD中，AB BC ， BCD 120，CD DA ，且 BC 6 ， CD 3 ，则四边形 ABCD 外接圆的面积为（）A ．7B．21C．63D．84【答案】B【解答】如图，设 BC 、 AD 的延长线交于点 P 。

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO ∠=︒。

将O A B △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（ ）A ．(1B ．3)C ．(3D ．1) 【答案】 B【解答】如图，设CD x ⊥轴于点D 。

依题意，CA OA ==260CAO BAO ∠=∠=︒。

所以，3CD =，AD =OD 。

因此，点C 的坐标为3)。

2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ≠，则22(1)(1)a b ++=（ ）A ．18B ．12C ．9D ．6 【答案】 A【解答】依题意，a ，b 为方程2320x x +-=的两个不同实根。

因此，由韦达定理得，3a b +=-，2ab =-。

[]22(1)(1)(123)(123)9(1)(1)91()9(132)18a b a b a b a b ab ++=+-+-=--=-++=+-=。

或解：222222222(1)(1)11()2194418a b a b a b a b ab a b ++=+++=++-+=+++=。

3．若关于x 的方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-只有一个实数根，则符合条件的所有实数a 的值的总和为（ ）A ．6-B ．30-C ．32-D ．38- 【答案】 D 【解答】方程22240224x x x ax x x +-+++=-+-化为22480x x a +++= ……………… ① 若方程①有两个相等实根，则168(8)0a =-+=△，6a =-。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A．1 B1 C．1 D．1 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得1nm=（舍负根）。

∴1nm=。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ）A ．25B ．35C ．37D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案 考试时间 2016年3月13日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(02)B ，，点A 在x 轴正半轴上且30BAO Ð=°。

将OAB △沿直线AB 折叠得CAB △，则点C 的坐标为（的坐标为（ ））A ．(13)，B ．(33)，C ．(33)，D ．(31)，2．若实数a ，b 满足232a a +=，232b b +=，且a b ¹，则22(1)(1)a b ++=（ ）） A ．1818 B ．1212 C ．9 D ．63．若关于x 的方程22240224x x x a x x x +-+++=-+-只有一个实数根，只有一个实数根，则符合条件的所有实数则符合条件的所有实数a 的值的总和为（值的总和为（ ））A ．6-B ．30-C ．32-D ．38-4．如图，在ABC △中，6AB =，3BC =，7CA =，I 为ABC △的内心，连接CI 并延长交AB 于点D 。

记CAI △的面积为m ， DAI △的面积为n ，则mn=（ ）） A ．32 B ．43 C ．53 D ．745．已知x ，y 为实数，且满足2244x xy y -+=，记224u x xy y =++的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ））A ．403B ．6415C ．13615D ．315二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．在平面直角坐标系内有两点(11)A ，，(23)B ，，若一次函数2y kx =+的图像与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 。

ABC DI。

的最大值是 。

福建省初中数学竞赛试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列数中，是无理数的是（）A. √9B. √16C. √2D. √12. 下列函数中，奇函数是（）A. y = x²B. y = x³C. y = |x|D. y = x² + 13. 下列等式中，正确的是（）A. a² + b² = (a + b)²B. (a + b)² = a² + 2ab + b²C. (a b)² = a² 2ab + b²D. a² b² = (a + b)(a b)4. 一个等差数列的前三项分别是1、3、5，那么第10项是（）A. 19B. 21C. 23D. 255. 下列图形中，面积和周长都不变的是（）A. 正方形B. 长方形C. 圆D. 三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 两个负数相乘，结果是正数。

（）2. 平行线的性质是同位角相等。

（）3. 任何两个奇数相加都是偶数。

（）4. 一次函数的图像是一条直线。

（）5. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若a：b=3：4，则（a+b）：b=______。

2. 已知x² + x = 12，则x² + 2x + 1 = ______。

3. 一次函数y = 2x + 3的图像与y轴的交点坐标是______。

4. 若等腰三角形的底边长为10，腰长为8，则其面积为______。

5. 一个正方体的体积是64立方厘米，则其表面积是______平方厘米。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请解释有理数的概念。

2. 简述平行线的性质。

3. 什么是二次方程？请举例说明。

4. 如何求解一元一次不等式？5. 简述三角形相似的判定条件。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有3个苹果，小红的苹果数量是小明的2倍，他们一共有多少个苹果？2. 一辆汽车行驶100千米，速度为60千米/小时，求汽车行驶这段路程所需的时间。

2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221-3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25B ．35C ．37D ．474．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ）A ．23B ．22C ．4D ．31+5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对D ．6对 HOBCA（第4题图）（第2题图） EGB D （第3题图）6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。

若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。

7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。

若函数4y x=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。

8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得21nm=+（舍负根）。

∴ 21nm=+。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．1 【答案】 A【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。

因此，2310m m ++=。

∴ 231m m =--，231m m +=-。

∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。

2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221- 【答案】 B【解答】依题意，点C 坐标为()2mm ，，点F 的坐标为()2mn n -+，。

由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得222()2m am m n a n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，消去a ，得2220n mn m --=。

∴ 2()210n n m m -⨯-=，解得21nm=+（舍负根）。

∴ 21nm=+。

（第2题图）3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47【答案】 D【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。

∵ G 为ABC △的重心，且12BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且21AG GF =，DB BF FC ==。

2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。

每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．12．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。

坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。

若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则nm=（ ） A ．31+ B ．21+ C ．231- D ．221-3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且12BD BC =，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AEAC=（ ） A ．25B ．35C ．37D ．474．如图，H 、O 分别为ABC △的垂心、外心，45BAC ∠=︒，若ABC △外接圆的半径 为2，则AH =（ ）A ．23B ．22C ．4D ．31+5．满足方程22419151x xy y -+=的整数对()x y ，有（ ） A ．0对 B ．2对 C ．4对D ．6对 HOBCA（第4题图）（第2题图） EGB D （第3题图）6．已知a ，b ，c 为正整数，且a b c >>。

若b c +，a c +，a b +是三个连续正整数的平方，则222a b c ++的最小值为 。

7．如图，ABCD 为矩形，E 为对角线AC 的中点，A 、B 在x 轴上。

若函数4y x=（0x >）的图像过D 、E 两点，则矩形ABCD 的面积为 。

8．如图，ABC △是边长为8的正三角形，D 为AB 边上一点，1O ⊙为ACD △的内切圆，2O ⊙为CDB △的边DB 上的旁切圆。