高二数学下学期第一次月考试题文新人教A版

高 二 数 学 (文科) 试 题2014年3月一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数(1)z i i =+ (i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.不等式2320x x -+<的解集是（ ）A ．{}21x x x <->-或 B ．{}12x x x <>或 C ．{}21x x -<<- D ．{}12x x << 3． “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 ( )A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件4．已知回归直线的斜率的估计值是 1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线的方程是( ) A.ˆ 1.234yx =+ B. ˆ 1.230.08y x =- C. ˆ 1.230.8y x =+ D. ˆ 1.230.08yx =+5.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线;已知直线b ⊂/平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误6．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i7．如图所示，一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π238.若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A.－2 B.2 C.－4 D.49.通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110由2222()110(40302030)7.8()()()()60506050n ad bc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得,附表：2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001k3．841 6．635 10．828参照附表，得到的正确结论是（ ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” 在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 10. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2015()=f x （ ）A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 已知),1(),1,3(x =-=，若b a ⊥，则x 等于 .12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为 .13．巳知等比数列{}n a 满足*,0N n a n ∈>，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，_______a =n .14. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：第1个第2个第3个。

图 1高 二 理科数 学 试 题2014年3月 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}4,3,0,2-=A ,{}0322=--=x x x B ，,则AB =（ ）A ．{}0B ．{}3C ．{}2,0D ． {}4,2,0 2．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ） A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题 D ．q ⌝是真命题3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（ ） A ．1y x=-B ．x y lg =C ．cos y x =D ． ||e x y =4．已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点,则该椭圆的离心率为（ ） A ．2 B ．12 C．135．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图1所示,其中俯视图是中心角为60︒的扇形,则该几何体的体积为（ ） A ． 2π B ．23πC ．πD ．3π6．执行如图2所示的程序图，若输入n 的值为6，则输出s 的值为（ ）A ．105B ．16C ．15D ．17．函数)43(sin 212π--=x y 是（ ） A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 8．直线03=-y x 截圆4)2(22=+-y x 所得劣弧所对的圆心角是（ ） A ．6π B ．3π C ． 2πD ．32π二、填空题：本大共6小题，每小题5分,满分30分．9. 已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ． 10．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 . 11.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程_________ ．12. 计算：1-=⎰．13. 设,0.()ln ,0.x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1(())g g e = ．14．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 ．第Ⅱ卷三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且ac b c a =-+222, （1）求角B 的值；（2）设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值.16.(本小题满分12分) 华罗庚中学高二排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.（1） 请根据两队身高数据记录的茎叶图,指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)以及排球队的身高数据的中位数与众数；（2） 现从两队所有身高超过178cm 的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的排球队 篮球队 18 17 10 3 6 8 93 2 9 1 0概率是多少?17.(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD . （1）证明：PA ⊥BD ；（2）若PD ＝AD ，求二面角A －PB －C 的余弦值．18. (本小题满分14分)已知函数54)(23+-+=x ax x x f ，曲线)(x f y =在点1=x 处的切线为013:=+-y x l ， （1）求a 的值； （2）求)(x f y =的极值．19.(本小题满分14分)如图．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与x 轴垂直，椭圆的离心率e =，F 为椭圆的左焦点且111=∙B F AF （1）求椭圆的标准方程；（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP ＝PQ 。

2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤03．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<14．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-46．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

高中数学学习材料唐玲出品高二数学月考试题学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（共60分）1.（5分）给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的个数是( )A.0B.2C.3D.42.（5分）“tanα=1”是“α=”的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（5分）x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）已知全集S=R,A S,B S,若命题p:∈（A∪B）,则命题“p”是…（）A. AB.∈BC.A∩BD.∈（A）∩（B）5.（5分）命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（）A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称6.（5分）方程x2+xy=x的曲线是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线7.（5分）已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PＯ|,则P点的轨迹方程是( )A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=08.（5分）方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.-16<m<25B.C.D.9.（5分）已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点,并且经过点(3,-2),则此椭圆的方程为( )A.B.C.D.10.（5分）已知点（m，n）在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是（）．A. B.C. D.11.（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.直角三角形12.（5分）(文科做)过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )A. B. C.D.(理科做)设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）．A. B. C.（2，5） D.评卷人得分二、填空题（共20分）13.（5分）命题“xR，x0≤1或”的否定为____________________________．14.（5分）已知命题p：x2－x≥6，q：x Z，“p且q”与“非q”同时为假命题，则x的取值为________．15.（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．16.（5分）已知椭圆+ =1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|=____________.评卷人得分三、解答题（共70分）17.（10分）已知p、q都是r的必要条件，s 是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？18.（12分）在直角坐标系中,求点(2x+3-x2,)在第四象限的充要条件.19.（12分）椭圆过(3,0)点,离心率e=,求椭圆的标准方程.20.（12分）椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B,C是AB的中点,若|AB|=2,OC 的斜率为,求椭圆的方程.21.（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程.22. (文科做)（12分）椭圆（a，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，，．求椭圆C的方程．(理科做)已知直线y=ａx+1与双曲线３x2-y2=1交于A、B两点,(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.高二数学参考答案一、选择题1.答案：B解析：原命题为真,逆否命题为真,逆命题,否命题为假.“a=b,c=d”的否定为“a≠b或c≠d”.2.答案：B解析：若“tanα=1”，则α=kπ+，α不一定等于;而若“α=”,则tanα=1，∴“tanα=1”是“α＝”的必要而不充分条件，选B.3.答案：B解析：若x2+(y-2)2=0x=0且y-2=0x(y-2)=0,但当x(y-2)=0时x2+(y-2)2=0,如x=0,y=3.4.答案：D解析：因为p:2∈(A∪B),所以p:2(A∪B)，即2A且2 B.所以2∈SA且2∈ B.故2∈(A)∩(B).5.答案：C解析：原函数与反函数的图象关于y=x对称的否定是存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称.6.答案：C解析：由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0.∴x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线.7.答案：A解析：设P点的坐标为(x,y),则,整理,得8x2+8y2+2x-4y-5=0.8.答案：B解析：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆,∴∴.9.答案：C解析：由题设,知椭圆的方程为(a＞b＞0),则故所求的椭圆方程为10.答案：A解析：方程可化为，故椭圆焦点在y轴上，又，，所以，故.11.答案：D解析：由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8.由题可得|PF1|-|PF2|=2，则|PF1|=5，|PF2|=3.又|F1F2|=2c=4，∴△PF1F2为直角三角形.12.答案：B解析：由P，再由∠F1PF2＝60°，有＝2a，从而可得e＝，故选B．答案：B解析：.∵a＞1，∴，∴，∴，故选B．二、填空题13.答案：x R，x＞1且x2≤414.答案：－1，0，1，2解析：∵“非q”为假命题，则q为真命题；又“p且q”为假命题，则p为假命题，∴x2－x＜6，即x2－x－6＜0且．解得－2＜x＜3且，∴x＝－1，0，1，2．15.答案：．解析：由条件知4b＝2a＋2C．∴2b＝a＋c，4b2＝a2＋c2＋2ac，4（a2－c2）＝a2＋c2＋2ac，即5c2＋2ac－3a2＝0，解得．16.答案：48解析：两焦点的坐标分别为F1（-5，0）、F2（5，0），由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.而|PF1|+|PF2|=14，∴（|PF1|+|PF2|）2=196，100+2|PF1|·|PF2|=196，|PF1|·|PF2|=48.三、解答题17.答案：解：（1）由图知：∵q s.s r q.∴s是q的充要条件.(2)∵p q,q s r,∴p是q的充要条件.（3）∵q s r p,∴p是q的必要不充分条件.解析：将已知r、p、q、s的关系作一个“”图（如图）.18.答案：解：该点在第四象限或2＜x＜3.所以该点在第四象限的充要条件是或2＜x＜3.解析：第四象限点的横、纵坐标都小于零.19.答案：解:当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=3,,∴c=.从而b2=a2-c2=9-6=3,∴椭圆的方程为当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,,∴.∴a2=27.∴椭圆的方程为.∴所求椭圆的方程为20.答案：解法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y)=0.2而,=k=,OC代入上式可得b=a.再由|AB|=|x2-x1|=2,其中x1、x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根,故()2-4·=4,将b=a代入得a=,∴b=.∴所求椭圆的方程是x2+y2=3.解法二:由得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则∵|AB|=2,∴.①设C(x,y),则x==,y=1-x=,∵OC的斜率为,∴=.代入①,得a=,b=.∴椭圆方程为.解析：点评:解法一利用了设点代入、作差,借助斜率的解题方法,称作“差点法”,解法二是圆锥曲线弦长的基本求法,是利用两点间的距离公式求得.21.答案：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是(a＞b ＞0)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.解：设椭圆方程为(a＞b＞0).由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形.于是|OB2|=|OF|，即b=c.又|FA|=,即a-c=，且a2=b2+c2.将以上三式联立，得方程组解得所求椭圆方程是.解析：点评：要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a、b、c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长等.这将有利于提高解题能力.22. 答案：(文科)解：因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为．(理科)答案：解:(1)由消去y,得(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意即且. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则∵以AB为直径的圆过原点,∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0.但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④,,.∴.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a,使A、B关于对称,则直线y=ax+1与垂直,∴a,即a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入③得x1+x2=４.∴AB中点横坐标为2,纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点(2,-3)不在直线上,即不存在实数a,使A、B关于直线对称.。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时,运行程序如下,,当时,,则,故选D.【考点】程序框图二次函数2.过点引直线分别交轴正半轴于两点，当面积最小时，直线的方程是__________．【答案】【解析】设直线方程为(当且仅当即时取等号 ) .【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.3.如图，输入时，则输出的________.【答案】【解析】由算法流程图提供的算法程序可知：当时，输出，应选答案C。

4.二项式的展开式中常数项是（）A．-28B．-7C．7D．28【答案】C【解析】常数项，故选B.【考点】二项式的展开式.5.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.6.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，||+||，利用零点分段法解不等式或者利用图象解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，则，因为时，，故恒成立，，．试题解析：（1）解：||+||，即或或或或所以原不等式的解集为[]（2）||+||对一切恒成立,,恒成立，即恒成立，当时，，【考点】1、绝对值不等式解法；2、函数的最值.7.已知函数，设为的导函数，根据以上结果，推断_____________.【答案】【解析】.8.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.9.若，则的值是（）A．6B．4C．3D．2【答案】D【解析】略10.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）A．B．C．6D．10【答案】B【解析】由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为、、，则有，解方程组得到，所以该长方体的面积为，故选B.【考点】1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.11.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【解析】由题意得，当时，不等式的左侧为，当时，不等式的左侧为，所以变成时，左边增加了，共有项，故选D.【考点】数学归纳法.12.已知圆与圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点满足直线的斜率之积为．（1）求的方程；（2）证明直线恒过定点，并求定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）确定，可得曲线是长轴长，焦距的椭圆，即可求解椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合直线的斜率之积为，即可证直线恒过定点，并求出定点的坐标．试题解析：（1）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，故，因此曲线是长轴长，焦距的椭圆，所以曲线；（2）由曲线的方程得，上顶点，记，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线，代入椭圆：①因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，故，又，，由，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线恒过定点．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系的应用、判定直线过定点问题等知识点的综合考查，解答中设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用判别式和根与系数的关系及韦达定理，结合直线的斜率之积为是解答本题的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝．（1）求cos B的值；（2）若，b＝2，求a和c的值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)∵cos＝，∴sin＝， 2分∴cos B＝1－2sin2＝. 5分(2)由可得a·c·cos B＝2，又cos B＝，故ac＝6， 6分由b2＝a2＋c2－2ac cos B可得a2＋c2＝12， 8分∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝10分【考点】解三角形点评：解决的关键是根据诱导公式以及二倍角公式和向量的数量积结合余弦定理来求解，属于中档题。

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.【考点】定积分的概念.2.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【解析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．3.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.4.已知复数，则（）A．B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【答案】C【解析】由题意可得，所以A错；C,D均错。

所以选B5.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.试题解析：(1)因为为奇函数，所以即，所以， 2分因为的最小值为，所以， 4分又直线的斜率为，因此，，∴． 6分(2)单调递增区间是和． 9分在上的最大值是，最小值是． 12分【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.6.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是 ( )A．B．C．且D．或【答案】C【解析】略7.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.8.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程为必过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】回归直线必过点（），而，，所以回归直线过点，故选D.【考点】线性回归直线方程9.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.【考点】1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.10.已知,函数,若.(1)求的值并求曲线在点处的切线方程;(2)设,求在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）在上有最大值1,有最小值.【解析】解:(1) ,由得,所以;当时,, ,又,所以曲线在处的切线方程为,即; 6分(2)由(1)得,又, , ,∴在上有最大值1,有最小值.- 12分【考点】导数的运用点评：主要是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题。

信达益阳市第十七中学2012年下学期第一次月考考试高二理科数学（问卷）时量100分钟，总分120分一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于A ．5 2B ．10 2 C.1063 D ．5 62、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于 A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°3、若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的 A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°4、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是 A ．40 B ．53 C ．63 D ．765、已知数列{}n a 的11a =，22a =且n n n a a a -=++122，则=2007a A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．20086、已知等比数列{}n a 中，1990,,n a a a >为方程210160x x -+=的两根，则205080a a a ⋅⋅的值为A 、32B 、64C 、256D 、64±7、已知b 是a,c 的等差中项，且曲线622+-=x x y 的顶点是(a,c)，则b 等于 A ．3 B ．2 C ．1 D ．08、首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 A.d ＞38 B.d ＜3 C. 38≤d ＜3 D.38＜d ≤3 二、填空题（本大题共7个小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卷中对应的横线上）9、已知△ABC 三边满足a 2＋b 2＝c 2－3ab ，则此三角形的最大内角为________10、三角形的两边分别为3，5,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根，则三角形的面积为________11、海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里12、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是________13、=⨯++⨯+⨯1091.....321211________ 14、数列{}n a 中，11,111+==-n n a a a ，则=4a ________ 15、已知等比数列{}n a 中，各项均为正数，且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式=n a ________益阳市第十七中学2012年下学期第一次月考考试高二理科数学（答卷）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

2012—2013学年第二学期第一次月考试题高二 数学注：答案全部填在答题卡上，在试卷上作答无效一.选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分。

请将正确答案的序号填写在答题卡上）1．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--=（ ）A f ′(x 0)B 2f ′(x 0)C －2f ′(x 0)D 02.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为 （ ） A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y4．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ）A ．54B ．52C ．51D ．535．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 6．函数3y x x =+的递增区间是 （ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞7．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 8．已知二次函数)(x f y =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为 （ ）A ．2π5B ．43 C.32 D ．π29.=⎰dx x2022sin π（ ）A ．4π B ．12-π C.42-π D ．210.由曲线x y =，直线2-=x y 及y 轴所围成的图形面积 （）A ．310 B ．316C.4D ．6 二．填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）11. 设xx y sin 12-=，则='y ．12．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 ．13．函数63315)(23+--=x x x x f 的单调区间为 ． 14、已知函数2()321f x x x =++，若11()2()f x d x f a -=⎰成立，则a ＝__________.三．解答题（本题共4小题，其中15、16题10分，其余均为12分，满分44分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设函数()()()，则和的定义域分别是和N M x x x g xx f 221262log 11-+=-=N C M R ⋂=( )A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3221，B ．（－1，1）C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3221，D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--132211，，2.若a <12，则化简4(2a －1)2的结果是( )A ．2a －1B ．－2a －1C ．1－2aD ．－1－2a3.已知函数4)(2+-=ax x x f ，若)1(+x f 是偶函数，则实数a 的值为( )A ．1B ．1-C ．2-D ．2【答案】D 【解析】4.已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(2x x x x f x ，若21)(=a f ，则a ＝( )A ．－1B ． 2C ．－1或 2D ．1或－ 25.已知,024:,01:≤-+≤-m q xx p x x p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[)+∞,6B ． (]22,+∞-C ． [)+∞,2D ．()+∞+,226.设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是( )A ．),0(+∞B ．)0,(-∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a【答案】D 【解析】8.下列说法错误．．的是( ) A ．命题“若1,0232==+-x x x 则”的逆否命题为：“若1x ≠则2320x x -+≠”B ．命题2:,10p x R x x ∈++<“存在使得”则2:,10p x R x x ⌝∈++≥“任意均有”C ．若0,a ≠则“a ca b ⋅=⋅”是“c b =”的充要条件D ．若“q p 且” 为假命题，则,p q 至少有一个为假命题9.已知函数31,0()9,0x x f x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若关于x 的方程2(2)()f x x a a R +=∈有六个不同的实根，则a 的取值范围是( )A ．)9,8(B ．(]8,9C ．(]2,9D ．(]2,810.对于函数k x x f +-=23)(，当实数k 属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存．．．在．实数对,a b （0a b <<），使得当函数()f x 的定义域为[],a b 时，其值域也恰好是[], a b ( )A ． [)2,0-B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--121,2 C ．),121(+∞-D ．)0,121(-．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上） 11.函数2()23f x x x =+-的单调递减区间是 .12.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++且4)2(=f ，则)2(-f = .13.已知集合},,,,{321n a a a a A =，其中)2,1(>≤≤∈n n i R a i ，)(A l 表示和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数．设集合}8,6,4,2{=P ，则=)(P l .【答案】5 【解析】试题分析：i j a a + 表示集合中任意两个不同元素的和，而由,1486,1284,1064,1082,862,642=+=+=+=+=+=+ 所以得5)(=P l .考点：集合元素的特征性质.14.已知函数()()1||xf x x R x =∈+ 时，则下列结论正确的是 .(1）x R ∀∈，等式()()0f x f x -+=恒成立(2）(0,1)m ∃∈，使得方程|()|f x m =有两个不等实数根 (3）12,x x R ∀∈，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠(4）(1,)k ∃∈+∞，使得函数()()g x f x kx =-在R 上有三个零点15.已知()2xf x =()x R ∈可以表示为一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和，若不等式()()20a g x h x ⋅+≥对于[,]12x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____________.【答案】176a ≥-12()1t tt t---- ，即a ≥12[()]1t tt t--+-在t ∈[2,4]上恒成立，考点：１.函数的奇偶性；２.不等式的性质；3.导数的性质.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）定义域为R 的函数()f x 满足)(3)2(x f x f =+,当x ∈[]2,0时，x x x f 2)(2-=(1）当x ∈[]2,4--时，求()f x 的解析式； (2）当x ∈[]2,4--时，()f x ≥)3(181t t-恒成立，求实数t 的取值范围．17.（本小题满分12分）已知幂函数223()()m m f x x m Z -++=∈为偶函数，且在区间(0,)+∞上是单调增函数． ⑴求函数()f x 的解析式； ⑵设函数1)12()()(--++=b x b x f x g ，若()0g x =的两个实根分别在区间(32)(01)--，，，内，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）4()f x x = （2）1557b << . 【解析】18.（本小题满分13分）已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=． (1）求a 、b 的值；(2）若不等式02)2(≥⋅-xxk f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围.因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ，解得⎩⎨⎧==01b a ．19.（本小题满分13分）某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求，使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①()xf x p q =⋅；②2()1f x px qx =++；③2()()f x x x q p =-+．（以上三式中,p q 均为常数，且1q >） （1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)（2）若(0)4f =，(2)6f =，求出所选函数()f x 的解析式（注：函数定义域是[0,5]．其中0x =表示8月1日，1x =表示9月1日，…，以此类推）；内价格下跌.20.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且4A π=, b s in （4π+C ）－c s in （4π+B ）=a ， (1) 求证：2B C π-=(2) 若2a =,求ABC ∆的面积.21.（本小题满分13分）已知函数R a x a x x x f ∈++=,ln 22)(. (1）若函数)(x f 在),1[+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.(2）记函数]22)([)(2-+'=x x f x x g ，若)(x g 的最小值是6-，求函数)(x f 的解析式.；。

四川省乐山一中2013-2014学年高二下学期第一阶段考试数学试题（文科）第Ⅰ卷选择题一、选择题（每小题5分，共计50分）复平面内，复数iZ-=2对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限已知曲线2212-=xy上一点P（1，23-），则过点P的切线的倾斜角为（）A. 300B. 450C. 1350D. 1650函数23)(23+-=xxxf在区间][1,1-上的最大值是（）A. 2- B. 0 C. 2 D. 4复数Z满足iZi34)43(+=-，则Z的虚部位（）A. i4B. 4C.i54D.54函数xxxy sincos-=的导数为（）A.xx sin B. xx sin- C. xx cos D. xx cos-Z是复数Z的共轭复数，若Z×Z i＋Z=2Z，则Z=（）A.i+1 B. i-1 C. i+-1 D. i--1函数()xxxf ln22-=的递增区间是（）A.)21,0(B.),21(),21,0(+∞C.),21(+∞D.)21,0(),21,(-∞8. 设函数)(xf在R上可导，其导函数为)(xf'且函数)()1(xfxy'-=的图像如图所示，则下列结论一定成立的是（）A. 函数)(xf的极大值是)2(f，极小值是)1(fB. 函数)(x f 的极大值是)2(-f ，极小值是)1(fC. 函数)(x f 的极大值是)2(f ，极小值是)2(-fD. 函数)(x f 的极大值是)2(-f ，极小值是)2(f若函数1)(23+-=ax x x f 在)2,0(上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A.3≥aB. 3=aC.3≤aD. 30＜a＜ 10. 若函数c bx ax x x f +++=23)(有极值点21,x x ，且211)(＜x x x f =，若关于x 的方程[]0)(2)(32=++b x af x f 的不同实数根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（共5个小题，25分）x y 1=在点（1,1）处的切线方程已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是函数2x y =)0(x ＞的图像在点2,(kk a a ）处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a （*∈N k ）若161=a ，则321a a a ++=设21,Z Z 是复数，命题①若021=-Z Z ,则21Z Z =②若21Z Z =则21Z Z =③若21Z Z =，则2211Z Z Z Z =④若21Z Z =,则2221Z Z =,以上真命题序号15.若函数a bx ax x x f +++=23)(在1=x 处有极值10，则=+b a三、解答题：（共6个小题，75分）16.（12分）已知复数2(1)(23)z m m m m i =-++-（m R ∈） ⑴若z 是实数，求m 的值； ⑵若z 是纯虚数，求m 的值；⑶若在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围。

高二数学月考试卷答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某公共汽车上有15位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有() A．515种B．155种C．50种D．50625种【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有515种可能的下车方式，故选A.【答案】A2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有() A．6种B．12种C．18种D．24种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选C.【答案】C3．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()A．32B．－32C．0D．－64【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.【答案】B4．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人中至少有一人达标的概率是()A．0.04B．0.16C．0.24D．0.96【解析】三人都不达标的概率是(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.【答案】D5．正态分布密度函数为f(x)＝122πe－x－128，x∈R，则其标准差为()A．1B．2C．4D．8【解析】根据f(x)＝1σ2πe－x－μ22σ2，对比f(x)＝122πe－x－128知σ＝2.【答案】B6．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A.16B．11C．2.2D．2.3【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.【答案】A7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()A．18种B．24种C．45种D．90种【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．【答案】D8．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140B．240C．360D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】B9．设随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝2.4，D(ξ)＝1.44，则参数n，p 的值为()【导学号：97270066】A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1【解析】由二项分布的均值与方差性质得＝2.4，1－p＝1.44，＝6，＝0.4，故选B.【答案】B10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是()A.16B.18C.112D.124【解析】由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A44A22＝12种不同的密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P＝1 12 .【答案】C11．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是()自然状况概率方案盈利(万元)S i PiA1A2A3A4S10.255070－2098S20.3065265282S30.45261678－10A.A1B．A2C．A3D．A4【解析】利用方案A 1，期望为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6；因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C.【答案】C12.如图12，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．264种B．360种C．1240种D．1920种【解析】由于A 和E 或F 可以同色，B 和D 或F 可以同色，C 和D 或E 可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C 13C 12A 55种；当五种颜色选择四种时，选法有C 45C 13×3×A 44种；当五种颜色选择三种时，选法有C 35×2×A 33种，所以不同的涂色方法共C 13C 12A 55＋C 45C 13×3×A 44＋C 35×2×A 33＝1920.故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】514．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于________．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a0＋a2＋a4＝16，①－②得a1＋a3＋a5＝－16，故(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于－256.【答案】－25615．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.9的3次方×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.1的4次方.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析：②中恰好击中目标3次的概率应为C34×0.93×0.1＝0.93×0.4，只有①③正确．答案：①③16.抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400<X<450)＝0.3，则P(550<X<600)＝________.【解析】由下图可以看出P(550<X<600)＝P(400<X<450)＝0.3.【答案】0.3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10x n ＝C 2xn ，x ＋1n ＝113C x －1n，试求x ，n 的值.【解】∵C x n ＝C n －x n ＝C 2xn ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得n ！x ＋1！n －x －1！＝113·n ！x －1！n －x ＋1！，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．18．(本小题满分12分)要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录同学甲击中目标的环数为X 1的分布列为X 15678910P 0.030.090.200.310.270.10同学乙击目标的环数X 2的分布列为X 256789P 0.010.050.200.410.33(1)请你评价两位同学的射击水平(用数据作依据)；(2)如果其它班参加选手成绩都在9环左右，本班应派哪一位选手参赛，如果其它班参赛选手的成绩都在7环左右呢？（1）利用期望和方差公式求出两变量的期望和方差；（2）根据第（1）问的结论选择水平高的选手解：（1）EX 1＝，EX 2＝=8DX 1=1.50DX 2=0.8两位同学射击平均中靶环数是相等的，同学甲的方差DX1大于同学乙的方差DX2，因此同学乙发挥的更稳定。

专题01 流程图与算法语句一、选择题1．【某某自治区北方重工业集团某某第三中学2017-2018学年高二3月月考】如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】B第九次，，满足条件，，第十次，，满足条件，；由条件知不满足条件．故判断框内应填入的条件是．选B．2．【某某八中乌兰察布分校2017-2018学年高二下学期第一次调考】以下是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则处的关系式是( )A . y ＝x 3B . y ＝3－xC . y ＝3xD . y ＝【答案】C3．【某某某某市第三中学2017-2018学年高二下学期第一次月考】如图所示，程序框图的输出值S =（ ）A . 15B . 22C . 24D . 28【答案】C【解析】由程序框图，数据初始化： 1,020i S ==<； 第一次循环： 3,320i S ==<；第二次循环： 5,820i S ==<； 第三次循环： 7,15i S ==20<； 第四次循环： 9,2420i S ==>； 此时结束循环，输出S 值为24. 本题选择C 选项.4．【某某省某某市2018届高三教学质量检查第二次统考】执行下面的程序框图，如果输入1a =， 1b =，则输出的S =（ ）A . 7B . 20C . 22D . 54【答案】B5．【某某省外国语学校2017-2018学年高二下学期入学考试】阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（ ）A . 2014n ≤B . 2015n ≤C . 2016n ≤D . 2018n ≤【答案】A故选A .6．【人教B 版高中数学必修三同步测试】给出一个算法的程序框图如图所示,该程序框图的功能是( )A . 求出a ,b ,c 三数中的最小数B . 求出a ,b ,c 三数中的最大数C . 将a ,b ,c 从小到大排列D . 将a ,b ,c 从大到小排列【答案】A【解析】由图框可知，第一步判断中的较小数，第二步判断中的较小数与的比较后的较小数。

考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 B．5C．5D ．162．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为 A ．720 B．20 CD5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14C ．4-D ．47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 B ．6CD8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ． BC ．6-D9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B ．15CD ．5-11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．6 B ．23CD ．1212．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13C ．12D 13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为A ．12BC ．10D ．1014．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34C ．14D ．1315．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．217．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O ，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为A ． BC ．D 18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．3021．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A BCD23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为 A ．13 B ．22C ．324D ．1224．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，2AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC 与PD 所成角的余弦值是A 3B 6C 6D ．2225．在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A ．427 B 15 C 3D 6二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD '''' C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1AC D ．//CD 平面11AB C5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．6．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，AB =2BC =，若E ，F 是PC 的三等分点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值________．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为________．10．四棱锥P -ABCD 的底面是一个正方形，P A ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱P A 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是________．11．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为________．13．已知(0,1,2)AM =，(1,0,2)CN =，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是__________．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是________．15．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是________．四、双空题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．2．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =________，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________． 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为________．4．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为________，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为________．5．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC ==，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为________，异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．五、解答题1．如图，在三棱锥D -ABC 中，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥且2BC =，3AB =，4=AD ．（1）证明：BCD △为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且2AE =，45EAD ∠=︒，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．2．如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积．考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 BCD ．16【试题来源】A 佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测【答案】D【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，2a c ⋅=，2b c ⋅=，从而1AB a c =+， 1BC b c a =+-，22112AB BC a b b c c a ⋅=⋅+⋅+-=，22124AB a c a c =++⋅=+=22212224BC a b c b c a b a c =+++⋅-⋅-⋅=+=所以1111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ⋅==．故选D ．2．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒【试题来源】四川省自贡市2019-2020学年高二年级上学期期末（理） 【答案】B【解析】如图，根据条件，1AB =，令AB =，11B B =；又1111()AB B A B B =-+，1111C B B C B B =-+；2211111111111111211102AB C B B A B C B A B B B B B C B B ∴=-+-=⨯-=-=；∴11AB C B ⊥；1AB ∴和1C B 所成的角的大小为90︒．故选B ．3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---， 由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<，故选A. 4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为A ．720B ．20C．20D．20【试题来源】第八单元 立体几何 （A 卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】C【解析】如下图所示，设3AD =，取BC 的中点O ，B C ''的中点M ，连接OA 、OM ，在正三棱柱ABC A B C '''-中，//BB CC ''且BB CC ''=， 则四边形BB C C ''为平行四边形，//BC B C ''∴且BC B C ''=， 由于O 、M 分别为BC 、B C ''的中点，则//OB MB '且OB MB '=， 所以，四边形OBB M '为平行四边形，则//OM BB '且OM BB '=，BB '⊥平面ABC ，则OM ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且O 为BC 的中点，则OA BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、30,,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,32C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，3,12AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1EC '=-，77cos ,2010AD EC AD EC AD EC -'⋅'<>===-'⋅，2sin ,1cos ,120AD EC ADEC ''<>=-<>==， 因此，异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为20．故选C ．5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE 中，过F 作//FG AE 交AB 于G ，连接CG ，则CFG ∠或其补角为异面直线AE 与CF 所成的角．设1EF =，则3AB =，2AD =．因为//EF AB ，//AE FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以2FG AE AD ===，1AG =，2BG =，又AB BC ⊥，所以GC =，又2CF BC ==，所以222CG GF CF =+，所以2CFG π∠=．解法二：如图，以矩形ABCD 的中心O 为原点，CB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，ADE 和BCF △都是正三角形，所以EF ⊂平面yOz ，且Oz 是线段EF 的垂直平分线．设3AB =，则1EF =，2AD =，31,,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，10,2E ⎛- ⎝，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝，所以(AE =-，(1,CF =-，所以111(1)AE CF ⋅=-⨯+⨯-0=，所以AE CF ⊥，所以异面直线AE 与CF所成的角为2π．故选D ．6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14 C．4-D．4【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题 【答案】B【解析】以A 为原点，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(0A ，0，0)，1(0,0,2)A，B ，1(0C ,2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 BC ．3D ．3【试题来源】河北省深州市中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥， 所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-， 设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈，则||cos||||PE BD PE BD θ⋅==6=．所以异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为6．故选A ． 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ．18-BC ．6-D 【试题来源】河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 【答案】B【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系所以()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,1P B C E ，所以()()2,2,1,2,4,2=-=-BE PC ， 则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为6⋅=BE PC BE PCB ． 9．已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试 【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1 (0,1,2)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(1,1,2)AC =-，(1,0,1)BE =-， 设1AC 与BE 所成角为θ，则11cos 6||AC BE AC BE θ⋅===⋅，所以30θ=︒． 所以异面直线1AC 与BE 所成的角为30．故选A ． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC ABBC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A．5B．15 CD ． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理） 【答案】A【解析】如图：以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,00B ，()10,1,1C ，()10,1,1BC =， 因为120ABC ∠=，则cos1201A y AB ==-，sin1203A xAB == 即)1,0A-，()1AB =-，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，1111cos 5AB BC AB BC θ⋅===A ．11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．6B ．23C ．2D ．12【试题来源】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1,0,2)B ，1(0,1,C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC AB BC AB BC ⋅<>===． 所以直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13 C ．12D 【试题来源】河北省沧州市第三中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,1E ，()2,2,1F ，()0,2,0D，()10,2,0D ，∴ ()0,2,1ED =-，()12,0,1D F =，∴直线ED 与1D F 所成角θ的余弦值为111c 5os 0ED D ED D F Fθ⋅===⋅．故选A ．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为 A ．12B ．2 CD ．10【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（文） 【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB ＝2．A （0，0，0），C （2，2，0）．因为E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，所以E （0，1，2），F （1，1，2），所以()()0,1,2,1,1,2AE CF ==--，所以cos ,1AE CF AE CF AE CF⋅===． 所以异面直线AE 与CF ．故选C ． 14．直三棱柱111ABC A B C -中，1ABAC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34 C ．14D ．13【试题来源】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】C【解析】因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ， 所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =112BA AC ⋅=，所以异面直线1BA 和1AC所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选C ．15．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【试题来源】浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在线为y 轴，DP 所在线为z 轴，建立空间坐标系，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，令1PD AD ==，(1A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)∴(1PA =，0，1)-，(1BD =-，1-，0)，·1cos 22PA BD PA BDθ∴===-⨯，故两向量夹角的余弦值为12，即两直线PA 与BD 所成角的度数为60︒．故选C ．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考 【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ， 所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos AC CD a AC CD θ⋅-===⋅．故选C. 17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABAD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为 A． BC ．D 【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AB AD ==，12AA =，所以()11,0,2A ，()1,1,0B ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,2D ， 111,,222A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,2BD =--，则11cos ,9A O BD ==．故选D ．18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考 【答案】C 【解析】两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，∴·3312(2)19u v =⨯+⨯+-⨯=，231u =+=，232v =+=，又两条异面直线所成的角为(0,]2πθ∈，∴·9cos cos ,14·14u v v u vθ====⋅，sin 14θ=．故选C ．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考【答案】D【解析】以B 为原点．1,,BC BA BB 分别为..x y z 轴建立空间直角坐标系： 令12AB BC AA ===，则(0,0,0)B ，(0,1,0)E ，(0,0,1)F ，1(2,0,2)C ， 所以(0,1,1)EF =-，1(2,0,2)BC =， 所以111cos ,||||EF BC EF BC EF BC ⋅<>=12==，所以直线EF 和1BC 所成的角为60．故选D ．20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．30【试题来源】山东省青岛市第十七中学2019-2020学年高一下学期期中考试 【答案】C【解析】连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，．因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45，故选C ．21．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．3 BCD【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考【答案】C【解析】四面体A BCD -是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M ，(1,1,1),(0,2,0)BM CD ==，cos ,3||BM CD BM CD BM CD⋅〈〉===⋅0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以异面直线BM 与CD C ．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为A ．13 B．3 CD ．12【试题来源】天津市第二十中2020-2021学年高二（上）期中 【答案】B【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅，∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．24．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC与PD 所成角的余弦值是ABCD【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理） 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥ 平面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形， 所以()))()(0,0,0,,,0,1,0,A BCD P ，因为点E 是棱PB的中点，22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ ，所以(22,1,,0,1,EC PD⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以11cos ,31PD EC PD ECPD EC⋅===⋅，所以异面直线EC 与PD ．故选B. 25．在棱长为2的正方体1111—ABCD A BC D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A．7 BCD【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】B【解析】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2F OE D =-=-，所以111cos ,53FD OE OE OE FDFD ⋅<>===，所以异面直线OE 和1FD ，故选B ． 二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】BCD【解析】对于选项A ，由题意以A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1A 、A 1D 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A 1(0，0，0)，D (0，2，2)，D 1(0，2，0)，A (0，0，2)，B (2，0，2)，C (2，2，2)，则P (2，1，2)，设Q (x 0，y 0，0)，则AP =(2，1，0)，1D Q =(x 0，y 0－2，0)，由AP ⊥1D Q ，可得10AP DQ ⋅=，即2x 0+y 0－2=0，对于选项A ，由DP =(2，－1，0)，可得1cos DP DQ =，，45===，为定值，所以选项A 错误；对于选项B ，四面体ABPQ 的体积111122123323A BPQ Q ABP ABP V V S AA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，为定值，即体积不变 ，所以选项B 正确；对于选项C ，因为AA 1⊥A 1Q ，且A 1Q=11111222AA QS AA AQ ∆=⨯⨯=⨯===，因为[]002x ∈，，所以15AA Q S ∆≥=，所以选项C 正确；对于选项D ，如图，因为点Q 满足2x 0+y 0－2=0，即点Q 在直线2x 0+y 0－2=0上运动，取A 1B 1的中点为E ，即点Q 在D 1E 上，因为点P 到D 1E 的距离为2，E (1，0，0)，1D E =(1，－2，0)，11D E =+=，11122PD EE SD ∴⨯⨯== 则平面D 1PQ 截正方体所得截面为1FED G ，其中12CG GD =，112BF FB =， 所以，1EFGD 且1EF GD =，又由P 为中点，,BF CG PB PC ==，90B C ∠=∠=︒，所以，PEF 和1PGD 全等，所以，PF PG =，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FED G ，该四边形的面积为2△D 1PE ，则截面面积为 2△D 1PE =115122222PD ESD E ⨯⨯⨯==，则截面面积为定值，所以选项D正确．故选BCD ．2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD ''''的截面面积为4C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AC【解析】以A '为坐标原点，以A D ''，A B ''，A A '为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz '-，则(0A ，0，1)，1(2M ，1，1)，(1D '，0，0)，(0B '，1，0)，∴1(2AM =，1，0)，(1D B ''=-，1，0)，cos AM ∴<，·10AM D B D B AM D B ''''>==''，AM ∴与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确； 取CC '的中点N ，则////MN BC AD ''，故梯形MND A '为过A 、M 、D '的正方体的截面，2MN =，AD '=，AM D N ='=，∴梯形MND A '的高为=，∴梯形MND A '的面积为19)228⨯=，故B 错误； 四面体A C BD ''的体积为111414111323D A C D V V -'''-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，又四面体A C BD ''的所有棱长均为，∴四面体A C BD ''的表面积为244⨯⨯=A C BD ''的内切球半径为r ，则123⨯13r =，解得r =，∴四面体A C BD ''的内切球的表面积为243r ππ=，故C 正确；MAC PAC ∠'=∠'，P ∴点在以AC '为轴，以AM 为母线的圆锥的侧面上， (1AC '=，1，1)-，1(2AM =，1，0)，故·15cos AM AC MAC AM AC '∠'=='设AC '与平面A B C D ''''的夹角为α，则2cos cos 353A C AC A AC α''=∠''===>'， MAC α∴<∠'，P ∴点在平面A B C D ''''上的轨迹是双曲线，故D 错误．故选AC ．3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】ABD【解析】如图1所示，由题意，11//C D CD ，11C D ⊂/平面CHD ，CD ⊂平面CHD ，所以11//D C 平面CHD ，所以A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB =，则1(1AC =-，1，1)，(1BD =-，1-，0)，1(1DA =，0，1)； 所以11100AC BD =-+=，111010AC DA =-++=，所以1AC BD ⊥，11AC DA ⊥，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以B 正确；三棱锥11D BA C -的体积为1111114D BA C ABCD A B C D V V --=-三棱锥正方体11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 错误；(1E ，12，0)，(0F ，0，1)2，所以(1EF =-，12-，1)2，1(1BC =-，0，1)，所以cos EF <，111110||||3EF BC BC EF BC ++>===⨯ 所以EF 与1BC 所成的角是30，所以D 正确．故选ABD ．4．如图，在三棱柱111ABCA BC -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1ACD ．//CD 平面11AB C【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】AC【解析】A ：因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥，A 正确；以D为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1A -，()1,0,0A -，(1C，(1B，所以(11,0,A D =，(11,AC=，所以111111cos ,7A D ACA D AC A D AC ⋅===，所以异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14，B 不正确，C 正确； 因为(1AB =，(11,AC=，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则1120n AB xn AC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2n =-，因为()0,CD =，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选AC ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【试题来源】山东省新泰市第一中学（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--，因为1DC =，212BC ==，所以1113cos ,17DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为17，故答案为17． 2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．【试题来源】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B 、()0,2,2E 、()1,1,0F ，()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，111111cos ,2A E BF A E B F A E B F⋅<>===⋅，因此，直线1A E 与直线1B F ． 3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用） 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥、PA BC⊥， 过点A 作//AE CB ，又CB AB ⊥，则AP 、AB 、AE 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()000A ，，、()002P ，，、(400)B ，，、(420)C -，，， 又D 为PB 中点，则(201)D ，，，故(422)PC =--，，，(201)AD =，，，所以cos 102PC AD PC AD PC AD⋅===⋅，，故答案为104．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】19【分析】建立空间直角坐标系，利用公式11sin DM A N DM A Nθ⋅=⋅，进行求解即可【解析】如图，设正方体的边长为a ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立坐标系得，(,0,0)D a ，(0,,)2a M a ，1(,,)A a a a ，(0,0,)2a N ，所以，(,,)2a DM a a =-，1(,,)2a A N a a =--，所以，11sin 9a DM A N DM A N θ⋅==⋅19=，故答案为19. 5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习考点扫描 【答案】45【分析】以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得出(,,1)DH m m =，()1001CC =，，，进而根据向量的乘积公式求解【解析】如图，以D 点为原点，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：()()()1000100001D DA CC ==，，，，，，，，，连接11BD B D ，，在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于点H ，设(,,1)DH m m =，(0)m >，DP 与1CC 所成角为θ 由已知60HDA ∠=︒，根据cos DA DH DA DH HDA ⋅=∠，可得221m m =+，解得21m DH⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1112cos 2C DH D C co C H DH s CC C θ⋅===⋅，， ∴45θ=︒，故答案为456．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP359】【数学】 【答案】15【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,,0,2,0,0,1,2A EC F ，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF ==-，所以1cos ,55AE CF AE CFAE CF⋅===⋅，故答案为15．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．。

2021届高二新题数学人教A版2019专题01,空间向量与立体几何（选择题、填空题）（9月解析版）题专题01空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单选题1．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，11AA，则直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为A．63B．102C．155D．105【答案】D【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线,所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解析】以D点为坐标原点，以1,,DADCDD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),ABCC(0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BCACA C为平面11BBDD的一个法向量．1410cos,558BCAC．直线1BC与平面11BBDD所成角的正弦值为105.故选D．【点睛】此题重点考查了利用空间向量，抓住直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角之间的关系,利用向量方法解决立体几何问题．2．（广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，在平行六面体ABCDABCD中，AC 与BD的交点为O，点M在BC上，且2BMMC，则下列向量中与OM相等的向量是A．172263ABADAA B．151263ABADAA C．112263ABADAA D．111263ABADAA【答案】C【分析】在平行六面体ABCDABCD中，根据空间向量加法合成法则，对向量OM进行线性表示即可【解析】因为2BMMC，所以23BMBC，在平行六面体ABCDABCD中，OMOBBM"23OBBC"12()23DBADAA"12()()23ABADADAA 112263ABADAA，故选C【点睛】此题考查了空间向量的加法运算问题，解题时应结合图形进行解答，属于基础题.3．（河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，则1l和2l的位置关系是A．平行B．相交C．垂直D．不确定【答案】A【分析】由212v，可知两直线的位置关系是平行的【解析】因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为11,0,1-，22,0,2，所以212v，即2与1v共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.4．（河南省商丘市回民中学2019-2020学年高二期末考试数学（理）试题）已知向量1,1,01,0,2ab，且2kabab与互相垂直，则k的值是A．75B．2C．53D．1【答案】A【分析】由向量垂直，可得对应向量数量积为0，从而可求出结果.【解析】因为1,1,01,0,2ab，，所以1ab，25ab，，又2kabab与互相垂直，所以20kabab，即22220kakababb，即4250kk，所以75k;故选A【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.5．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）,,abc为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是A．,,aabab B．,,bababC．,,cabab D．,,2ababab【答案】C【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A,B,D三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 选项中的向量不共面【解析】对于A，因为()()2ababa，所以,,aabab共面，不能构成基底，排除A，对于B，因为)()2ababb(，所以,,babab共面，不能构成基底，排除B，对于D，312()()22ababab，所以,,2ababab共面，不能构成基底，排除D，对于C，若,,cabab共面，则()()()()cababab，则,,abc共面，与,,abc为空间向量的一组基底相矛盾，故,,cabab可以构成空间向量的一组基底，故选C【点睛】此题考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决此题的关键，属于基础题.6．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为A．(－1，2，3)B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，－3)D．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy平面对称的点的,xy坐标不变，只有z坐标相反．【解析】点P(1，2，3）关于xOy平面的对称点的坐标为(1,2,)3．故选D．【点睛】本题考查空间直角坐标系，考查空间上点关于坐标平面对称或关于坐标轴对称问题，属于简单题．7．（河南省开封市第二十五中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系Oxyz中，记点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点B，则OB A．5B．10C．13D．14【答案】B【分析】求出B点坐标，然后计算OB．【解析】点1,2,3A在xOz平面内的正投影为点(1,0,3)B，则2210310OB．故选B.【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．8．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）在正方体1111ABCDABCD 中，异面直线AC与1BD所成的角为A．6B．4C．3D．2【答案】D【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AC与1BD所成的角.【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），B1（1，1，1），AC＝（﹣1，1，0），1BD＝（﹣1，﹣1，﹣1），设异面直线AC与B1D所成的角为，则cos ＝11||||||ACBDACBD＝0，＝2.异面直线AC与B1D所成的角为2.故选D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.9．（浙江省绍兴市鲁迅中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，长方体1111ABCDABCD中，14AAAB，2AD，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与GF所成角的余弦值是A．0B．105C．22D．155【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【解析】如图12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以12,0,2,2,2,2AEGF所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110AEGFAEGF故选A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.10．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是A．(－3,4，－10)B．(－3,2，－4)C．311(,,)222D．(6，－5,11)【答案】A【解析】A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(023,122,324)(3,4,10)，选A.11．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）若向量,ab的坐标满足2,1,2ab，4,3,2ab，则ab等于A．5B．5C．7D．1【答案】B【分析】直接利用向量的关系式，求出向量a、b的坐标，再根据向量数量积运算公式求解即可.【解析】因为2,1,2ab，4,3,2ab，两式相加得22,4,0a，解得1,2,0a，3,1,2b，所以1321025ab，故选B.【点睛】本题主要考查空间向量的基本运算，数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题.12．（上海市上海交通大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末数学试题）在平行六面体1111ABCDABCD中，M为11AC与11BD的交点，若,ABaADb,1AAc，则与BM相等的向量是A．1122abc B．1122abc C．1122abc D．1122abc 【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算，用,,abc作基底表示BM即可得解.【解析】根据空间向量的线性运算可知11BMBBBM11112AABD1111112AABAAD112AAAB AD因为,ABaADb,1AAc，则112AAABAD1122abc即1122BMabc，故选D.【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.13．（黑龙江省海林市朝鲜族中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在空间直角坐标系中，点(1,3,5)P关于xOy面对称的点的坐标是（）A．(1,3,5)B．(1,3,5)C．(1,3,5)D．(1,3,5)【答案】C 【解析】1,3,5P关于xOy面对称的点为1,3,514．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）如图，空间四边形OABC中，,,OAaOBbOCc，且2OMMA，BNNC，则MN A．221332abc B．111222abc C．211322abc D．12 1232abc【答案】C【分析】根据MNONOM，再由2OMMA，BNNC，得到2211,3322aOMOAONOBOCcb，求解.【解析】因为MNONOM，又因为2211,3322aOMOAONOBOCcb，所以211322MNabc.故选C【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15．（江西省南昌市八一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）设,xyR，向量(,1,1),b(1,,1),c(2,4,2)axy，,cacb P，则||ab A．22B．10C．3D．4【答案】C【分析】根据,cacb P，结合向量的坐标运算可求得参数,xy的值，再结合向量的加法与模长运算即可求解【解析】,241,2,(1,2,1)bcyyb P，,ac214+ 20,acx1x，(1,1,1),(2,1,2)aab，222||2(1)23ab，故选C.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题16．（河北省石家庄市第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在正方体1111ABCDABCD中，MN，分别为AD，11CD的中点，O为侧面11BCCB的中心，则异面直线MN与1OD所成角的余弦值为()A．16B．14C．16D．14【答案】A【分析】以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，求出1MNOD，的坐标，由数量积求夹角公式求解．【解析】如图，以D为坐标原点，分别以1,,DADCDD 所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则1100,012,121,002MNOD，，，，，，，，，11,1,2,1,2,1MNOD．则11111cos,666MNODMNODMNOD．异面直线MN与1OD所成角的余弦值为16,故选A．【点睛】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，关键是正确标出所用点的坐标，是中档题．17．（新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题）长方体1111ABCDABCD中12,1ABAAAD，E为1CC的中点，则异面直线1BC与AE所成角的余弦值为A．1010B．3010C．21510D．31010【答案】B【解析】建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，1BC＝(－1,0,2)，AE＝(－1，2,1)．cos〈1BC，AE〉＝＝3010.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为3010.18．（湖北省黄石市第二中学2019-2020学年高二下学期5月月考数学（理）试题）已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C （－1，3，1），则A．AB与AC是共线向量B．AB的单位向量是1,1,0C．AB与BC夹角的余弦值是5511D．平面ABC的一个法向量是1,2.5【答案】D【分析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.【解析】由题意，对于A中，2,1,0,1,2,1ABAC，所以ABAC，则AB与AC不是共线向量，所以不正确；对于B中，因为2,1,0AB，所以AB的单位向量为255,,055或255,,055，所以是错误的；对于C中，向量2,1,0,3,1,1ABAC，所以55cos,11ABBCABBCABBC，所以是错误的；对于D中，设平面ABC的一个法向量是,,nxyz，因为2,1,0,1,2,1ABAC，所以200200xynABxyznAC，令1x，所以平面ABC的一个法向量为125n，，，所以是正确的，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．（福建省莆田第七中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题）如图，平行六面体中1111ABCDABCD中，各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，则对角线1BD的长为A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，利用空间向量的加法运算得到11BDBABBBC，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，由2211BDBABBBC222111222BABBBCBABBBCBABBBC求解.【解析】在平行六面体中1111ABCDABCD中，因为各条棱长均为1，共顶点A的三条棱两两所成的角为60，所以111111cos120,11cos6022BABBBABCBCBB，所以11BDBABBBC，所以2211BDBABBBC，222111222BABBBCBABBBCBABBBC，113+22+2222，所以12BD，故选B【点睛】本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，2BCBD，AB与平面ACD所成角的正切值为12，则点B到平面ACD 的距离为A．32B．233C．55D．255【答案】D【分析】首先以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，BAt=，根据AB与平面ACD所成角的正切值为12得到2t，再求B到平面ACD 的距离即可.【解析】以B为原点，BC，BD，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt=，0t，0,0,0B，2,0,0C，0,2,0D，()0,0,At.()0,0,ABt=-，()2,0,CAt=-，()2,2,0CD=-.设平面ACD的法向量,,nxyz，则20220nCAxtznCDxy，令1x，得1y，2zt，故21,1,nt.因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12，所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为55.即2255211ABnABntt，解得2t.所以平面ACD的法向量21,1,2n，故B到平面ACD 的距离为22551112ABndn.故选D【点睛】本题主要考查向量法求点到面的距离，同时考查线面成角问题，属于中档题.21．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学试题）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点M为棱1CC 的中点，则直线1BM与平面11ADM所成角的正弦值是A．215B．25C．35D．45【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2ADMB11(1,0,0)AD，11(0,1,)2DM，11(1,0,)2MB设平面11ADM的法向量为(,,)mxyz则1110=01002xADmyzDMm令1y可得2z，所以(0,1,2)m设直线1BM与平面11ADM所成角为，1112sin5552mMBmMB故选B【点睛】本题考查了空间中的角线面角的求法，考查了空间想象能力和数学运算技能，属于一般题目.22．（四川省叙州区第二中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（文）试题）一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是0,0,0，1,2,0，0,2,2，3,0,1，则该四面体中以yOz平面为投影面的正视图的面积为A．3B．52C．2D．72【答案】A【解析】根据平行投影的知识可知:该四面体中以yOz平面为投影面的正视图为一个上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，所以面积为3.23．（四川省内江市2020届高三高考数学（理科）三模试题）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，BAC＝90，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A．16+8B．32+16C．32+8D．16+16【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线BD和1AB所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111ADBCO.依题意半圆柱体底面直径4,,90BCABACBAC，D为半圆弧的中点，所以1111,ADBCADBC且1,OO分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OOOBOOOAOAOB，以1,,OBOAOO为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为0hh，则12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,BDhABh，所以12,2,,2,2,BDhABh，由于异面直线BD和1AB 所成的角的余弦值为23，所以212212388BDABhBDABhh，即2222,16,483hhhh.所以几何体的体积为2112442416822.故选A【点睛】本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.24．（吉林省长春市2020届高考数学二模试卷（文科））在正方体1111ABCDABCD中，点E，F，G分别为棱11AD，1DD，11AB的中点，给出下列命题：①1ACEG；②//GCED；③1BF平面1BGC；④EF和1BB成角为4.正确命题的个数是A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.【解析】设正方体边长为2，建立空间直角坐标系如下图所示，12,0,0,0,2,2,2,1,2ACG，10,2,0,1,0,2,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,2,0CEDBFB.①，112,2,2,1,1,0,2200ACEGACEG，所以1ACEG，故①正确.②，2,1,2,1,0,2GCED，不存在实数使GCED，故//GCED不成立，故②错误.③，112,2,1,0,1,2,2,0,2BFBGBC，1110,20BFBGBFBC，故1BF平面1BGC不成立，故③错误.④，11,0,1,0,0,2EFBB，设EF和1BB成角为，则1122cos222EFBBEFBB，由于0,2，所以4，故④正确.综上所述，正确的命题有2个.故选C【点睛】本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.25．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）如图，三棱锥VABC的侧棱长都相等，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则cos的最大值是A．33B．23C．53D．63【答案】D【分析】连接BE，以E为原点，EB 为x轴，EC为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面VBC的一个法向量m，平面VEF的一个法向量n，利用cosmnmn即可求解.【解析】底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，则RtABCRtVAC，所以VAVCBABC设2VAVCBABCVB，由E为线段AC的中点，则2VEBV，由222VEBEVB，所以VEEB，以E为原点，EB为x轴，EC为y 轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则0,2,0C，2,0,0B，0,0,2V，设,2,0Fxx，0,2,2VC，2,0,2VB，0,0,2EV，,2,2VFxx，设平面VBC的一个法向量111,,mxyz，则00mVCmVB，即1111220220yzxz，令11x，则11y，11z，所以1,1,1m.设平面VEF的一个法向量222,,nxyz，则00nEVnVF，即222220220zxxxyz，解得20z，令21y，则221xx，所以21,1,0nx，平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则22cos22232mnxmnxx，将分子、分母同除以1x，可得2222322226626xxxx令2226626632fxxxx，当22x时，min3fx，则cos的最大值为：2633.故选D【点睛】本题考查了空间向量法求二面角、考查了基本运算求解能力，解题的关键是建立恰当的空间直角坐标系，属于中档题.26．（陕西省渭南市大荔县2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PMPN的取值范围为A．0,4B．0,2C．1,4D．1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO，根据正方体的特点可确定PO的最大值和最小值，代入即可得到所求范围.【解析】设正方体内切球的球心为O，则1OMON，2PMPNPOOMPOONPOPOOMONOMON，MN为球O的直径，0OMON，1OMON，21PMPNPO，又P在正方体表面上移动，当P为正方体顶点时，PO最大，最大值为3；当P为内切球与正方体的切点时，PO最小，最小值为1，210,2PO，即PMPN的取值范围为0,2.故选B.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题.27．（河南省新乡市2020届高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题）连续掷三次骰子，先后得到的点数分别为x，y，z，那么点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为A．427B．7216C．1172D．16【答案】B【分析】根据空间中两点间的距离公式结合古典概型的概率公式，即可得出答案.【解析】点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3，则2223xyz，即2229xyz连续掷三次骰子，得到的点的坐标共有666216个其中(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,2,1),(2,1,2)满足条件则点(,,)Pxyz到原点O的距离不超过3的概率为7216P故选B 【点睛】本题主要考查了古典概型概率公式的应用，涉及了空间中两点间距离公式的应用，属于中档题.28．（浙江省2020届高三下学期强基联考数学试题）已知非负实数x，y，z满足01xyz，则有序实数对,,xyz围成几何体的体积为A．12B．13C．16D．以上都不对【答案】C【分析】由已知条件可知有序实数对围成几何体为三棱锥，由棱锥体积公式可得结果.【解析】若01x，01y，01z，则有序实数对,,xyz围成几何体是棱长为1的正方体1111ABCDABCD,若非负实数x，y，z满足01xyz，有序实数对,,xyz围成几何体为三棱锥111BDCD,则111111=111=326BDCDV，故选C【点睛】本题考查空间向量和锥体体积公式的应用，考查空间想象能力和分析推理能力，属于中档题.29．（浙江省舟山中学2020届高三下学期6月高考仿真模拟数学试题）在正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB上，满足2AEEB，点F为线段AC上的动点.设直线DE与平面DBF所成的角为，则A．存在某个位置，使得DEBF B．存在某个位置，使得4FDB C．存在某个位置，使得平面DEF平面DACD．存在某个位置，使得6【答案】C【分析】设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果.【解析】如下图所示，设正四面体DABC的底面中心为点O，连接DO，则DO平面ABC，以点O为坐标原点，OB、OD所在直线分别为x、z轴建立空间直角坐标系，设正四面体DABC的棱长为2，则3,1,03A、23,0,03B、3,1,03C、260,0,3D、31,,033E，设3,,03F，其中11，对于A选项，若存在某个位置使得DEBF，3126,,333DE，3,,0BF，1103DEBF，解得3，不合乎题意，A选项错误；对于B选项，若存在某个位置使得4FDB，326,,33DF，2326,0,33DB，22212cos,2323DFDBDFDBDFDB，该方程无解，B选项错误；对于C选项，设平面DAC的一个法向量为111,,mxyz，326,1,33DA，326,1,33DC，由111111326033326033mDAxyzmDCxyz，取11z，得22,0,1m，设平面DEF的一个法向量为222,,nxyz，3126,,333DE，326,,33DF，由22222231260333326033nDExyznDFxyz，取46y，则2262,46,31n，若存在某个位置，使得平面DEF平面DAC，则2190mn，解得31,17，合乎题意，C选项正确；对于D选项，设平面DBF的一个法向量为333,,uxyz，2326,0,33DB，326,,33DF，由333332326033326033uDBxzuDFxyz，令z，则2,6,u，若存在某个位置，使得6，即22612131sincos,6227272363uDEuDEuDE，整理得254120，162400，该方程无解，D选项错误.故选C.【点评】本题考查利用空间向量法求解空间角以及利用空间向量法处理动点问题，计算量大，属于难题.30．（浙江省杭州市2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题）如图，直三棱柱111ABCABC的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱11BC 上靠近1C点的三分点，M是棱1CC上的动点，则二面角AFME的正切值不可．．能．是A．3155B．2155C．6D．5【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，求得二面角AFME的余弦值，进而求得二面角AFME的正切值，求得正切值的最小值，由此判断出正确选项.【解析】取BC 的中点O，连接OA，根据等边三角形的性质可知OABC，根据直三棱柱的性质，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则0,33,0,1,0,2AF，设3,0,02Mtt.则1,33,2,2,0,2AFFMt.设平面AMF的一个法向量为,,mxyz，则3320220mAFxyzmFMxtz，令1y，得633363,1,66tmtt.平面FME的一个法向量是0,1,0n，所以22216cos,28120252633363166mntmnmnttttt，所以2sin,1cos,mnmn222710821628120252tttt，所以二面角AFME的正切值为22sin,271082166cos,mnttfttmn211540216 2766tt.因为02t，所以111466t，216125405结合二次函数的性质可知当1165t时，ft有最小值为11315540216272555；当1166t时，ft有最大值为11540216276366，所以315,65ft，所以二面角AFME的正切值不可能是2155.故选B.【点睛】本小题主要考查二面角的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二、多选题31．（辽宁省葫芦岛市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）若1,,2a，2,1,1b，a与b的夹角为120，则的值为（A．17B．－17C．－1D．1【答案】AC【分析】求出ab，以及,ab，代入夹角公式cos,ababab即可求出.【解析】由已知224ab，22145,4116ab，241cos120256abab，解得17或1，故选AC.【点睛】本题考查向量夹角公式的应用，是基础题.32．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末数学试题）对于任意非零向量111,,axyz，222,,bxyz，以下说法错误的有()A．若ab，则1212120xxyyzz B．若//abrr，则111222xyzxyz C．121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxyD．若1111xyz，则a为单位向量【答案】BD【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可判断A、C选项的正误；利用空间共线向量的坐标表示可判断B选项的正误；利用空间向量模的坐标公式可判断D选项的正误.综合可得出结论.【解析】对于A选项，因为ab，则1212120abxxyyzz，A选项正确；对于B选项，若20x，且20y，20z，若//abrr，但分式12xx无意义，B选项错误；对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知121212222222111222cos,xxyyzzxyzazbxy，C 选项正确；对于D选项，若1111xyz，则2221113a，此时，a不是单位向量，D选项错误.故选BD.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，涉及空间共线向量的坐标表示和数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.33．（江苏省苏州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知向量abbcac，3,0,1b，1,5,3c，下列等式中正确的是A．abcbc B．abcabc C．2222abc abc D．abcabc【答案】BCD【分析】根据坐标求出3030abacbc，根据向量的运算法则即可判定.【解析】由题3030bc，所以0abbcac0,0abcbc不相等，所以A选项错误；0abcabcabbcabac，所以abcabc，所以B选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，所以C选项正确；2222222222abcabcabbcacabc，即22abcabc，abcabc，所以D选项正确.故选BCD【点睛】此题考查空间向量的运算，根据运算法则进行运算化简即可.34．（江苏省连云港市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知点P是△A BC所在的平面外一点，若AB＝(﹣2，1，4)，AP＝(1，﹣2，1)，AC＝(4，2，0)，则A．APABB．APBPC．BC＝53D．AP//BC【答案】AC【分析】根据向量的定义，平行，垂直和模长的定义可以对每个选项逐个判断，进而得出答案。