2018年中考数学命题陷阱总结：方程与不等式_考前复习

中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结一、方程基础概念方程是数学中用于描述两个数学表达式之间相等关系的一种形式。

它通常由未知数、已知数和运算符号组成。

在中考数学中，方程是解决问题的重要工具之一。

理解方程的定义、解的概念以及方程解的性质是后续学习的基础。

二、一元一次方程解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

其一般形式为`ax + b = 0`（其中`a ≠0`）。

解一元一次方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

掌握这些步骤，能够高效地求解一元一次方程。

三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

解二元一次方程组的基本思想是通过消元法（代入消元法或加减消元法）将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

掌握二元一次方程组的解法，对于解决实际问题具有重要意义。

四、一元二次方程公式法一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

其一般形式为`ax^2 + bx + c = 0`（其中`a ≠0`）。

对于一元二次方程的求解，当判别式`Δ= b^2 - 4ac`大于或等于0时，可以使用公式法求解。

公式法求解一元二次方程的公式为`x = [-b ±√(Δ)] / (2a)`。

掌握公式法，能够准确地求解一元二次方程的根。

五、不等式与解集不等式是表示两个数学表达式之间不等关系的一种形式。

它通常用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示。

不等式的解集是指满足不等式的所有未知数的值的集合。

理解不等式的性质，掌握不等式解集的表示方法，是求解不等式的基础。

六、一元一次不等式解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解一元一次不等式的基本步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等。

但需要注意的是，在解不等式时，当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。

2018中考数学知识点：不等式原理_知识点总结
新一轮中考复习备考周期正式开始，考试吧小编为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018中考数学知识点：不等式原理》，仅供参考！
不等式原理：
①不等式F（x）G（x）与不等式G（x）F（x）同解。

②如果不等式F（x）G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F （x）
③如果不等式F（x）0，那么不等式F（x）H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）0与不等式同解；不等式F（x）G（x）0与不等式同解。

中考数学名师方程与不等式总结笔记（考点论述+典型题规律总结）方程与不等式一、考点综述考点内容：1、方程的解、解方程及各种方程（组）的有关概念2、一元一次方程及其解法和应用；二元一次方程组及其解法和应用3、用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法角一元二次方程4、可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法及其应用5、一元二次方程根的判别式及应用6、不等式（组）及解集的有关概念，会用数轴表示不等式（组）的解集7、不等式的基本性质8、一元一次不等式（组）的解法及应用考纲要求：熟练解方程和方程组；简单运用一元二次方程根的判别式以及根与系数关系；列方程和方程组解应用题；熟练解不等式或不等式组以及列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题。

考题分值：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查．不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题．[来源:学科网]备考策略：对于方程与不等式的知识的复习，关健在于扎实基本概念和基本知识。

一、方程和方程的解的概念
1．等式的性质
（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式．
（2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数，所得的结果仍是等式．
2．方程
含有未知数的等式叫做方程．
3．方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做解方程．
二、一元一次方程及其解法
1．一元一次方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)
ax b a．学+科网
注意：x前面的系数不为0．
2．一元一次方程的解
使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
3．一元一次方程0(0)
ax b a的求解步骤
变形名称具体做法
去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号
移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边合并同类项把方程化成ax b的形式
系数化成 1 在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解为
b x
a
注意：解方程时移项容易忘记改变符号而出错，要注意解方程的依据是等式的性质，在等式两边同时加上或减去一个代数式时，等式仍然成立，这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项，此时该项在方程一边是0，而另一边是它改变符号后的项，所以移项必须变号．。

中考数学“方程与不等式”专题讲解●中考命题形势与趋势透过近几年的中考试题，有关方程与不等式知识的考查重点是方程（组）、不等式（组）的解法与应用，而且每年都有所创新，特别是应用问题，一般都是取材于生活之中，预计2018年的中考有关这部分知识的考查力度和题型大致与以往相当，因此，同学们在复习除了注重基础知识的演练外，还应注意对生活中的问题的研究.●方程与不等式试题的特点方程与不等式内容比较整齐，但方法灵活，技巧性强，是历年各地中考的常规考点之一，试题类型多样化，既有填空题、选择题、解答题，又有阅读题、方案设计题和分析探索性问题，从知识结构看，试题既有基础题，又有拉分的综合题和压轴题.一般的分值要占整个试卷的20％左右.●典型问题归类例析专题1一元一次方程一、考点扫描1.方程的有关概念：含有未知数的等式叫做方程．使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解，只含有—个未知数的方程的解，也叫做根.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的方程，叫做一元一次方程.2.解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化成1.3.列一元一次方程解应用题的基本步骤是：审、设、列、解、答.列一元一次方程解应用题的常见题型有以下几种情形：①和、差、倍、分问题；②行程类问题；③工程问题；④浓度问题；⑤分配问题；⑥数字问题；⑦经济问题.等等.二、考题分析（所选例题均出自2009年全国部分省市中考试卷，下同）考点1方程解的运用例1（安顺市）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是＿＿＿.分析关于x的方程4x－3m＝2中含有两个字母，但知其解是x＝m，于是，要求m的值，只要将其解代入原方程，得到m的一元一次方程.解因为x＝m是关于x的方程4x－3m＝2的解，所以4m－3m＝2，解得m＝2.说明有关方程解的问题，虽然比较简单，但每年中考都有所涉及，求解时一定要注意方程解的意义，将方程中未知数用其代换，构造新的方程.考点2巧解方程例2（江西省）方程0.25x＝1的解是＿＿＿.分析已经是一元一次方程的标准形式了，只要化系数为1即可，但考虑未知数前面的系数的特殊性，化系数为1时，可在方程两边同乘以4即得.解因为0.25×4＝1，所以方程两边同乘以4，得x＝4.说明解一元一次方程的一般步骤同学们一定了如指掌，可要想灵活运用，还得辅之适量的习题加以训练，以便从中有所体会.考点3构造方程求解简单的几何问题例3（嘉兴市）在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小.分析要求∠A，∠B，∠C的大小，由于四边形的四个角的和等于360°，去掉一个已知∠D，就是说，∠A+∠B+∠C＝300°，而∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，这样可设∠A＝x°，从而构造方程求解.解设∠A＝x°，那么∠B＝x°+20°，∠C＝2x°，则根据题意，得x+( x+20)+2x+60＝360，解得x＝70.所以∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.考点4确定字母的取值范围例4（泸州市）关于x的方程kx－1＝2x的解为正数，则k的取值范围是＿＿＿.分析先通过移项化关于x的方程kx－1＝2x为一般形式，再化系数为1，用字母k表示方程的解，由解是正数即得.解移项，合并，得(k－2)x＝1，化系数为1，得x＝12k，因为原方程的解为正数，而此时解的分子是1，所以只要求分母是正数，此时，只要求k取大于2的任意数，即k的取值范围是k＞2.说明本题在求得方程的解时，代数式只要考虑k－2中k取什么数时代数式的值是大于0的，其他无需多考虑.考点5用一元一次方程解决生活中的问题例5（德州市）为了贯彻落实国务院关于促进家电下乡的指示精神，有关部门自2007年12月底起进行了家电下乡试点，对彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品给予产品销售价格13%的财政资金直补.企业数据显示，截至2008年12月底，试点产品已销售350万台（部），销售额达50亿元，与上年同期相比，试点产品家电销售量增长了40%.（1）求2007年同期试点产品类家电销售量为多少万台（部）？（2）如果销售家电的平均价格为：彩电每台1500元，冰箱每台2000元，手机每部800元，已知销售的冰箱（含冰柜）数量是彩电数量的32倍，求彩电、冰箱、手机三大类产品分别销售多少万台（部），并计算获得的政府补贴分别为多少万元？分析（1）考虑增长40％以后销量达到350台，此时若设2007年销量为a 万台，则可列出一元一次方程求解.（2）由于三大类产品的销售额是50万元，若设销售彩电x 万台，则销售冰箱32x 万台，销售手机(350－52x )万台，则由各自的销售单价，列出一元一次方程求得，进而计算获得的政府补贴分别为多少万元.解（1）2007年销量为a 万台，则根据题意，得a (1+40%)＝350，解得a ＝250（万台）.（2）设销售彩电x 万台，则销售冰箱32x 万台，销售手机(350－52x )万台. 则根据题意得：1500x +2000×32x +800(350－52x )＝500000，解得x ＝88. 所以32x ＝132，52x ＝130. 所以，彩电、冰箱（含冰柜）、手机三大类产品分别销售88万台、132万台、130万部. 所以88×1500×13%＝17160（万元），132×2000×13%＝34320（万元），130×800×13%＝13520（万元）.即获得的政府补贴分别是17160万元、34320万元、13520万元.说明 本题以家电下乡为设计背景，体现了政府的惠民政策.求解时，只要能及时地发现各自问题中的等量关系，引进必要的未知数，用一元一次方程即可求解.三、同步训练1.下列变形符合等式性质的是（ ）A.如果2x －3＝7，那么2x ＝7－3B.如果3x －2＝x +1，那么3x －x ＝1－2C.如果－2x ＝5，那么x ＝5+2D.如果－31x ＝1，那么x ＝－3 2.如果3x +2＝8，那么6x +1的值为（ ）A. 11B.26C.13D.－113.如果方程3x +2a ＝12和方程3x －4＝2的解相同，那么a ＝＿＿＿.4.一捆粗细均匀的钢丝，重量为132kg ，剪下35米后，余下的钢丝重量为121kg ，求原来这根钢丝的长度.专题2二元一次方程组一、考点扫描1.方程组的有关概念：含有两个未知数并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.两个二元—次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.2.使方程组中的各个方程的左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程组的解.3.解二元一次方程组，或三元一次方程组的一般方法是：代入消元法和加减消元法.4.列二元一次方程组解应用题的方法与列一元一次方程解应用题方法大致相同.二、考题分析考点1解方程组例1（大连市）解方程组：7, 317. x yx y+=⎧⎨+=⎩分析考虑未知数y的系数都是1，并由未知数x的系数特点，可采取第二个方程减去第一个方程，即可求解.解由第二个方程－第一个方程，得2x＝10，解得x＝5，把x＝5代入第一个方程，得5+y＝7，解得y＝2.所以5,2xy=⎧⎨=⎩是原方程组的解.说明本题用代入消元法，同理可以简洁求解，另外，中考中有关解方程组的题目一般都不难，只要用心求解即可获得满分.考点2方程组解的应用例2（日照市）若关于x，y的二元一次方程组5,9x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）A.－34B.34C.43D.－43分析若视k为常数，解关于x，y的二元一次方程组5,9,x y kx y k+=⎧⎨-=⎩再将其解代入2x+3y＝6，即可得到关于k的方程，从而使问题获解.解 解关于x ，y 的二元一次方程组5,9,x y k x y k +=⎧⎨-=⎩得7,2.x k y k =⎧⎨=-⎩ 把x ＝7k ，y ＝－2k 代入2x +y ＝6，得2×7k +3×(－2k )＝6，解得k ＝34.故应选B . 说明 本题是二元一次方程组中有关解的问题的典型题目，每年的中考也少不类似试题，同学们应注意多加训练.考点3 看错题目例3（株州市）孔明同学在解方程组2y kx b,y x=+⎧⎨=-⎩的过程中，错把b 看成了6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为12x ,y .=-⎧⎨=⎩又已知直线y ＝kx +b 过点(3，1)，则b 的正确值应该是＿＿＿.分析 错把b 看成了6，即把方程y ＝kx +b 看成y ＝kx +6，于是可以将12x ,y =-⎧⎨=⎩代入求得k ，进而再将(3，1)代入线y ＝kx +b ，即可求得b .说明 根据题意把12x ,y =-⎧⎨=⎩代入y ＝kx +6，得2 ＝k ×(－1)+6，解得k ＝4，即y ＝kx +b 转化为y ＝4x +b ，而y ＝4x +b 过点(3，1)，所以1＝4×3+b ，解得b ＝－11.说明 本题实际上就是方程的两组解为12x ,y =-⎧⎨=⎩和311x ,y .=-⎧⎨=⎩或理解为直线y ＝kx +b 过两点(－1，2)、(3，1).考点4 实际应用例4（长沙市）某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元.”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”根据以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？分析 通过仔细分析李老师和二位同学的对话，我们可以发现的两个相等关系，即一是60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元；二是4辆60座和2辆45座的客车一天的租金共5000元，由此可以求解第（1）问题，进而利用小明的话可求解（2）.解（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x 元，y 元，则根据题意，得200,425000.x y x y -=⎧⎨+=⎩解得900,700.x y =⎧⎨=⎩（2）由（1），得九年级师生共需租金：5×900+1×700＝5200.答：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是900元和700元.（2）年级师生共需租金5200元.说明 求解此类应用题时一定要正确理解各自提供的信息，及时发现等量关系，进而引进恰当的未知数列出方程组.考点5 古代问题例5（济宁市）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为＿＿＿只、树为＿＿＿棵.分析 诗句的大意是：树林里面有一群鸦，3只鸦1棵树，有5只鸦没有树，5只鸦1棵树，有1棵树没有鸦，问有多少只鸦？多少棵树？在这个问题中鸦的只数和树的棵数都是不变量，由此可以引进两个未知数，列出方程组求解.解 设有x 只鸦，y 棵树，则根据题意，得()35,51.x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得20,5.x y =⎧⎨=⎩ 即诗句中谈到的鸦有20只，树5棵，所以应分别填上20和5.说明 本题以古诗为背景，设计二元一次方程组的应用题，既可以巩固方程组的知识，又可以让同学们从古诗中体会数学的乐趣，增强同学们的爱国热情.考点6 开放型问题例6（江苏省）一辆汽车从A 地驶往B 地，前13路段为普通公路，其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h ，在高速公路上行驶的速度为100km/h ，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h.请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用二元一次方程组．．．．．．．解决的问题，并写出解答过程.分析本题的条件已经给定了三个量：一是AB两地的路程中前13路段为普通公路，后23的路段是高速公路，二是汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，三是从A地到B地一共行驶了2.2h.，由此，要提出的问题比较多，即答案不惟一，答题题意即可.解答案不惟一.如，问题：普通公路和高速公路各为多少千米？解答：设普通公路长为x km，高速公路长为y km.则根据题意，得2,2.2.60100x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得60,120.xy=⎧⎨=⎩答：普通公路长为60km，高速公路长为120km.或，问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时？解答：设汽车在普通公路上行驶了x h，高速公路上行驶了y h.则根据题意，得2.2,602100.x yx y+=⎧⎨⨯=⎩解得1,1.2.xy=⎧⎨=⎩答：汽车在普通公路上行驶了1h，高速公路上行驶了1.2h.说明本题是一道结论开放型问题，求解时一定要抓住行程中“速度、路程、时间”这三者之间的关系，注意条件中提供的量，紧靠题目，以避免走弯路.另外，应注意条件中13的含义，不能以此为求解带来错误.考点7方案设计例7（荆门市）星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完.（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？分析依题意可知有一个等量关系，即2元一杯可乐，奶茶3元一杯奶茶，共20元，由此，我们先引进两个未知数，列出一个二元一次方程，由于这两个未知数均为自然数，所以可直接通过列举法求得购买的方式，进而可以求解第（2）小题.解（1）设买可乐、奶茶分别为x、y杯，则根据题意，得2x+3y＝20，即x＝2032y-＝10－32y≥0，因为x、y均为自然数，而由32y可知y必须保证是偶数，还必须满足x为自然数，所以当y＝0时，x＝10；当y＝2时，x＝7；当y＝4时，x＝4；当y＝6时，x＝1，即有四种购买方式：方式一：可乐10杯，奶茶0杯；方式二：可乐7杯，奶茶2杯；方式三：可乐4杯，奶茶4杯；方式四：可乐1杯，奶茶6杯.（2）根据题意，每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，即y满足不少于2，且x+y满足不少于8，这样由（1）可知，有二种购买方式.说明本题利用二元一次方程整数解的意义，设计方案，这是近年来有关二元一次方程应用的创新题型，同学们在学习量一定要注意把握.三、同步训练5.如果4,(1)6x yx m y+=⎧⎨--=⎩中的解x、y相同，则m的值是（）A.1B.－1C.2D.－26.方程组2,3x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩的解为2,.xy=⎧⎪⎨=⎪⎩则被遮盖的两个数分别为（）A.1，2B.1，3C.2，3D.2，47.若方程x+y＝－1，2x－y＝4和x－my＝7有公共解，则m的取值为＿＿＿.8.足球联赛得分规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，大地足球队在足球联赛的5场比赛中得8分，那么这个队比赛的胜、平、负的情况如何？专题3分式方程一、考点扫描1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般步骤是：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验.即把解得的整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去；或不为答0，进而作答.显然，解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题：增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根；验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根.4.分式方程的应用：列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性.二、考题分析考点1新款解分式方程例1（邵阳市）请你给x选择一个合适的值，使方程21x-＝12x-成立，你选择的x＝＿＿＿.分析本题实际上就是要求解分式方程，由此最简公分母是(x－1)(x－2)，两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程求解即可.解去分母，得2(x－2)＝x－1，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解.所以选择的x＝3.说明本题的本质就是解分式方程，只是对解分式方程换一种设问，其解法步骤仍然和以往一样.另外，通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题.考点2依据分式方程解的符号，确定字母系数例2（孝感市）关于x的方程21x ax+-＝1的解是正数，则a的取值范围是（）A.a＞－1B.a＞－1且a≠0C.a＜－1D.a＜－1且a≠－2分析若将字母a看作是一个常数，那么就可以按照解一般的解分式方程步骤进行，只是在求得其解以后，不能忘记：一是必须检验，保证不是增根，即x≠1，二是解是正数，对此要进行讨论.解去分母，得2x+a＝x－1，解得x＝－1－a，因为方程的解是正数，所以－1－a＞0，解得a＜－1，又因为x－1≠0，即x≠1，所以－1－a≠1，解得a≠－2，综上，a的取值范围是a＜－1且a≠－2.故应选D.说明本题既属于分式方程，也属于含有字母系数的方程，求解时除了要检验外，还要注意对字母的范围加以讨论，否则容易出现错误.考点3 依据分式方程的无解，确定字母系数例3（牡丹江市）若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解，则a ＝＿＿＿. 分析 已知关于x 的分式方程无解，则表明方程有增根，此时当x －1＝0，或x ＝0都会使方程出现增根而导致方程无解，由此，可先按照正常的解分式方程的第一步，化分式方程为整式方程，再将增根代入求得，同时利用方程无解进一步求解.解 去分母，得x (x －a )－3(x －1)＝x (x －1)，整理，得(a +2)x ＝3，因为原方程无解，即原方程有增根，所以x －1＝0，即x ＝1，或x ＝0.当x ＝1时，有(a +2)×1＝3，解得a ＝1；当x ＝0时，有(a +2)×0＝3，难以求得a ，但另一方面，由方程无解，可知a +2＝0，解得a ＝－2，所以a ＝1，或－2.说明 对于求解分式方程无解问题的一般方法是先将分式方程转化为整式方程，进而利用增根代入即可求得字母系数.事实上，本题若不是利用方程无解，还难以求得a ＝－2，可见，分式方程的增根与无解是有本质的区别的.考点4 分式方程的应用例4（桂林市、百色市）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？分析（1）依题意有等量关系：甲20天的工作量+甲24天的工作量+乙24天的工作量＝1，由此，引进未知数即得方程求解.（2）在（1）求得的结果下，若设甲、乙合作完成需y 天，则同样有等量关系：甲y 天的工作量+乙y 天的工作量＝1，由此求得y ，再分别计算甲、乙单独完成需付工程款的数额，并比较.解（1）设乙队单独完成需x 天，则根据题意，得160×20+(1x +160)×24＝1， 解这个方程，得x ＝90，经检验，x ＝90是原方程的解，所以乙队单独完成需90天.（2）设甲、乙合作完成需y 天，则根据题意，得(160+190)×y ＝1，解得y ＝36（天）. 甲单独完成需付工程款为60×3.5＝210（万元），乙单独完成超过计划天数不符题意. 甲、乙合作完成需付工程款为36(3.5+2)＝198（万元）.答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱.说明 和列整式方程解工程类应用题一样，这里的工作总量可以看成是1.考点5 自编型例5（达州市）某学生食堂存煤45吨，用了5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原来的一半，结果多烧了10天.（1）求改进设备后平均每天耗煤多少吨？（2）试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相似（不必求解）.分析（1）若设改进设备后平均每天耗煤x 吨，那么改进设备前平均每天耗煤2x 吨，由此，改进设备前5天耗煤量为5×2x 吨，此时，还剩煤(45－5×2x )吨，于是，有等量关系是：改进设备后的天数－改进设备前的天数＝10，从而列出方程求解.（2）依题意，答案不惟一，只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可.解（1）设改进设备后平均每天耗煤x 吨，那么改进设备前平均每天耗煤2x 吨， 则根据题意，得4552x x -⨯－45522x x-⨯＝10，解得x ＝1.5. 经检验x ＝1.5是原方程的解.答：改进设备后平均每天耗煤1.5吨.（2）答案不惟一.如，某工人原计划若干天内生产840个零件，开始4天按原计划进行生产，•以后每天生产的零件比原计划增加了25%，结果提前2天完成了任务.求原计划多少天完成任务？设原计划每天做x 个零件，则根据题意，得840x －[4+8404(125%)x x-+]＝2，或8404x x -－8404(125%)x x-+＝2.解得x ＝14.经检验：x ＝14是原方程的解.答：原计划14天完成任务. 说明 第（2）小题属于自编型问题，不过本题的自编要比一般自编题来得容易些，因为毕竟只需要所列的方程与（1）相同或相似，但仍属于开放型问题.另外，同学们在平时学习和生活中一定注意观察发现问题，多积累些数学素材，到时才能在求解此类问题时得心应手.三、同步训练9.当a为何值时211aa-+与121aa-+的值相等（）A.a＝0B.a＝12C.a＝1D.a≠110.若x＝－12是下列某方程的解，则此方程为（）A.312x+＝2 B.22114xx+-＝0 C.21xx-＝14D.241xx-＝1411.若方程12x-＋3＝12xx--有增根，则增根为x＝＿＿＿.12.甲、乙在电脑上合打一份稿件，4小时后，甲另有任务，•余下部分由乙单独完成又要6小时，已知甲打6小时的稿件乙要打7.5小时，问：甲、•乙单独完成此任务各需多少小时？专题4一元一次不等式一、考点扫描1.表示不等关系的式子，叫做不等式.2.不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变.（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集.求不等式解集的过程叫做解不等式.4.解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1，此时要注意不等号的方向问题.5.求不等式的正整数解，负整数解等特解，可先求出这个不等式的解集，再从中找出所需特解.6.列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式；④解不等式；⑤检验.其中检验是正确求解的必要环节.二、考题分析考点1不等式的基本性质例1（柳州市）若a ＜b ，则下列各式中一定成立的是（ ）A.a －1＜b －1B.3a ＞3bC.－a ＜－bD.ac ＜bc 分析 利用不等式的基本性质求解.解 因为a ＜b ，所以有a －1＜b －1.故应选A .说明 熟练掌握不等式的基本性质是求解不等式的关键，运用时，要特别注意未知数前面的系数是负数时，不等号的符号变化问题.考点2 解不等式例2（钦州市）解不等式：13x －1＜0，并把它的解集在数轴上表示出来. 分析 先利用解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集，进而再将其解集在数轴上表示出来.解 去分母、移项，得 x ＜3.这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.说明 把不等式的解集在数轴上表示出来时，一定要注意两个问题：一是方向问题，二是在数轴上的点是空心还是实心问题.考点3 比较大小例3（湘西自治州）如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x ＿＿＿y .（填＜或＞符号） 分析 利用不等式的概念即得.解 因为x －y ＜0，所以x ＜y ，所以应填上：＜.说明 本题只是一道简单的利用不等式比较大小的问题，若是比较复杂的问题，同样可以构造不等式，进而利用不等式的相关知识进行比较.考点4 用一元一次不等式解决实际问题例4（凉山州）我国沪深股市交易中，如果买、卖一次股票均需付交易金额的0.5%作费用.张先生以每股5元的价格买入“西昌电力”股票1000股，若他期望获利不低于1000元，问他至少要等到该股票涨到每股多少元时才能卖出？（精确到0.01元）分析 1000股“西昌电力”股票，卖出时期望获利不低于1000元，若设设至少涨到每股x 元时才能卖出，很明显，题目中有这样一个不等量关系：1000x －(1000×5+1000x )0.5％≥5000+1000，由此可以求解.解 设至少涨到每股x 元时才能卖出.则根据题意，得1000x－(1000×5+1000x)0.5％≥5000+1000，解得x≥1205199≈6.06.答：至少涨到每股6.06元时才能卖出.说明求解不等式的应用问题时，要能通过阅读题目，及时发现问题中的关键性字眼，从而才能快速准确地列出不等式求解.考点5方案设计例5（威海市）响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元.已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台.（1）至少购进乙种电冰箱多少台？（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？分析（1）抓住题目的“不超过．．．132 000元”，引进未知数，进而可得到不等式求解.（2）同样，由“甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数”得到一个不等量关系式，于是又可以得到一个不等式，结合（1）可求解.解（1）设购买乙种电冰箱x台，则购买甲种电冰箱2x台，丙种电冰箱(80－3x)台，则根据题意，得1200×2x+1600x+(80－3x)×2000≤132000，解得x≥14.所以至少购进乙种电冰箱14台.（2）根据题意，得2x≤80－3x，解得x≤16.由（1），得14≤x≤16，而x为正整数，所以x＝14，15，16.所以，有三种购买方案：方案一：甲种电冰箱为28台，乙种电冰箱为14台，丙种电冰箱为38台；方案二：甲种电冰箱为30台，乙种电冰箱为15台，丙种电冰箱为35台；方案三：甲种电冰箱为32台，乙种电冰箱为16台，丙种电冰箱为32台.说明本题通过寻求问题中的不等式关系，建立一元一次不等式模型，利用实际问题中的家电台数的意义求得方案.生活中这样的问题有许多，请同学们注意观察发现，并用数学的方法去解决.三、同步训练13.“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）A.2x－3≤8B.2x－3≥8C.2x－3＜8D.2x－3＞814.不等式2x－5≤4x－3的解集在数轴上表示应为（）。

方程与不等式及其应用一、考点分析1、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组(数字系数)2、会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

3、会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程答过程中体会转化等数学思想。

4、会解简单的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。

会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集。

5、能够根据具体问题中的数量关系，列出相应的方程（组）或不等式解决实际的问题。

二、重点、易错点分析：1、重点：解方程（组）及不等式（组），能运用所学知识解决有关实际问题。

2、易错点：等式性质的应用，不等式性质的应用；解方程忽略检验结果的是否符合实际意义。

考题精析　1．如果a+3=0，那么a的值是（ ）A．3B．﹣3C．D．﹣【考点】86：解一元一次方程．【分析】直接移项可求出a的值．【解答】解：移项可得：a=﹣3．故选B．2．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（ ）A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，∴可得2×22x=16（27﹣x）．故选D．3．“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（ ）A．4种B．5种C．6种D．7种【考点】95：二元一次方程的应用．【分析】设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，根据总费用是1000元列出方程，求得正整数x、y的值即可．【解答】解：设购买80元的商品数量为x，购买120元的商品数量为y，依题意得：80x+120y=1000，整理，得y=．因为x是正整数，所以当x=2时，y=7．当x=5时，y=5．当x=8时，y=3．当x=11时，y=1．即有4种购买方案．故选：A．4．若二元一次方程组的解为，则a﹣b=（ ）A．1B．3C．D．【考点】97：二元一次方程组的解．【分析】将两式相加即可求出a﹣b的值．【解答】解：∵x+y=3，3x﹣5y=4，∴两式相加可得：（x+y）+（3x﹣5y）=3+4，∴4x﹣4y=7，∴x﹣y=，∵x=a，y=b，∴a﹣b=x﹣y=故选（D）5．若1﹣是方程x2﹣2x+c=0的一个根，则c的值为（ ）A．﹣2B．4﹣2C．3﹣D．1+【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】把x=1﹣代入已知方程，可以列出关于c的新方程，通过解新方程即可求得c的值．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+c=0的一个根是1﹣，∴（1﹣）2﹣2（1﹣）+c=0，解得，c=﹣2．故选：A．6．一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（ ）A．20B．12C．﹣12D．﹣20【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】将一元二次方程式x2﹣8x=48配方，可求a、b，再代入代数式即可求解．【解答】解：x2﹣8x=48，x2﹣8x+16=48+16，（x﹣4）2=48+16，a=4，b=16，a+b=20．故选：A．7．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）A．a≥1B．a＞1C．a≥1且a≠4D．a＞1且a≠4【考点】B2：分式方程的解．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，故选：C．8．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】B2：分式方程的解；CB：解一元一次不等式组．【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．【解答】解：分式方程+=4的解为x=且x≠1，∵关于x的分式方程+=4的解为正数，∴＞0且≠1，∴a＜6且a≠2．，解不等式①得：y＜﹣2；解不等式②得：y≤a．∵关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，∴a≥﹣2．∴﹣2≤a＜6且a≠2．∵a为整数，∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．故选A．9．一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是　1000　元．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】可以设这台空调的进价是x元，根据标价×6折﹣进价=进价×20%列出方程，求解即可．【解答】解：设这台空调的进价为x元，根据题意得：2000×0.6﹣x=x×20%，解得：x=1000．故这台空调的进价是1000元．故答案为：1000．10．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有　46　两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．【解答】解：设有x人，依题意有7x+4=9x﹣8，解得x=6，7x+4=42+4=46．答：所分的银子共有46两．故答案为：46．11．已知是方程组的解，则3a﹣b=　5　．【考点】97：二元一次方程组的解．【分析】首先把方程组的解代入方程组，即可得到一个关于a，b的方程组，①+②即可求得代数式的值．【解答】解：∵是方程组的解，∴，①+②得，3a﹣b=5，故答案为：5．12．我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组 ．【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．【分析】分别利用大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个分别得出等式得出答案．【解答】解：设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：．故答案为：．13．已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的值等于　9　．【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论．【解答】解：∵m2﹣3m+1=0，∴m2=3m﹣1，∴m2+=3m﹣1+=3m﹣1+=====9，故答案为：9．14．如果关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜2　．【考点】AA：根的判别式．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=16﹣8m＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＞0，解得：m＜2．故答案为：m＜2．15．若关于x的分式方程+=3的解为正实数，则实数m的取值范围是　m＜6且m≠2　．【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．【解答】解： +=3，方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，解得，x=，∵≠2，∴m≠2，由题意得，＞0，解得，m＜6，故答案为：m＜6且m≠2．16．方程﹣=1的解为x=　﹣2　．【考点】B3：解分式方程．【分析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：方程两边都除以（x+1）（x﹣1）得：2﹣（x+1）=（x+1）（x﹣1），解得：x=﹣2或1，经检验x=1不是原方程的解，x=﹣2是原方程的解，故答案为：﹣2．17．如图在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O 的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．【解答】（1）证明：如图1中，连接QP．在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB==5，∵AP=4t，AQ=5t，∴==，∵∠PAQ=∠BAO，∴△PAQ∽△BAO，∴∠APQ=∠AOB=90°，∴QP⊥AB，∴AB是⊙O的切线．（2）解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．易知PQ=DQ=3t，CQ=•3t=，∵OC+CQ+AQ=4，∴m+t+5t=4，∴m=4﹣t．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．∵OC+AQ﹣CQ=4，∴m+5t﹣t=4，∴m=4﹣t．（3）解：存在．理由如下：如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=，由（2）可知，m=﹣或．如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t﹣3t=4，t=2，由（2）可知，m=﹣或．综上所述，满足条件的点C的坐标为（﹣，0）或（，0）或（﹣，0）或（，0）．18．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．解得x=7，∴8x﹣3=53，答：共有7人，这个物品的价格是53元．19．我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？【考点】8A：一元一次方程的应用．【分析】设这批书共有3x本，根据每包书的数目相等．即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这批书共有3x本，根据题意得： =，解得：x=500，∴3x=1500．答：这批书共有1500本．20．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：批发价（元）零售价（元）黑色文化衫1025白色文化衫820假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得，解得，答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．21．甲乙两个施工队在六安（六盘水﹣安顺）城际高铁施工中，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离．若设甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米．（1）依题意列出二元一次方程组；（2）求出甲乙两施工队每天各铺设多少米？【考点】9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）根据“每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离”，即可得出关于x、y的二元一次方程组；（2）解（1）中的二元一次方程组，即可得出结论．【解答】解：（1）∵甲队每天铺设x米，乙队每天铺设y米，每天甲队比乙队多铺设100米钢轨，甲队铺设5天的距离刚好等于乙队铺设6天的距离，∴．（2），解得：．答：甲队每天铺设600米，乙队每天铺设500米．22．根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为　x1=x2=1　；②方程x2﹣3x+2=0的解为　x1=1，x2=2　；③方程x2﹣4x+3=0的解为　x1=1，x2=3　；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为　1、8　；②关于x的方程　x2﹣（1+n）x+n=0　的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；23．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．24．解方程：﹣=1．【考点】B3：解分式方程．【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．【解答】解：两边乘x（x﹣3）得到3﹣x=x2﹣3x，∴x2﹣2x﹣3=0，∴（x﹣3）（x+1）=0，∴x=3或﹣1，经检验x=3是原方程的增根，∴原方程的解为x=﹣1．25．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，=x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．26．小明解不等式﹣≤1的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．【考点】C6：解一元一次不等式．【分析】根据一元一次不等式的解法，找出错误的步骤，并写出正确的解答过程即可．【解答】解：错误的是①②⑤，正确解答过程如下：去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6，去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6，移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2，合并同类项，得﹣x≤5，两边都除以﹣1，得x≥﹣5．27．某校九年级10个班级师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个．（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟，若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．【分析】（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据“两类节目的总数为20个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个”列方程组求解可得；（2）设参与的小品类节目有a个，根据“三类节目的总时间+交接用时＜150”列不等式求解可得．【解答】解：（1）设九年级师生表演的歌唱类节目有x个，舞蹈类节目有y个，根据题意，得：，解得：，答：九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；（2）设参与的小品类节目有a个，根据题意，得：12×5+8×6+8a+15＜150，解得：a＜，由于a为整数，∴a的最大值为3，答：参与的小品类节目最多能有3个．。

中考数学常见”陷阱“题型汇总一、数学式陷阱1：在较复杂的运算中，因不注意运算顺序或者不合理使用运算律，致使运算出现错误。

常见陷阱是在实数的运算中符号层层相扣。

陷阱2：要求随机或者在某个范围内代入求值时，注意所代值必须要使式子有意义，常见陷阱是候选值里有一个会使分母为零。

陷阱3：注意分式运算中的通分不要与分式方程计算中的去分母混淆。

陷阱4：非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个式子都为0；常见非负数有：绝对值，非负数的算术平方根，完全平方式。

陷阱5：五个基本数的混合运算：0指数，基本三角函数，绝对值，负指数，二次根式的化简，这些需牢记。

陷阱6：科学计数法中，精确度和有效数字的概念要清楚。

二、方程与不等式陷阱1：运用等式性质解方程时，切记等式两边不能直接约去含有未知数的公因式，必须要考虑约去的含有未知数的公因式为零的情形。

陷阱2：常在考查不等式的题目时候埋设关于性质3的陷阱，许多人因忘记改变符号的方向而导致结果出错。

陷阱3：关于一元二次方程中求某参数的取值范围的题目中，埋设二次项系数包含参数这一陷阱，易忽视二次项系数不为0导致出错。

陷阱4：解分式方程时，首要步骤是去分母，分数相当于括号，易忘记最后对根的检验，导致运算结果出错。

陷阱5：关于一元一次不等式组有解无解的条件，易忽视相等的情况；利用函数图象求不等式的解集和方程的解时，注意端点处的取值。

三、函数陷阱1：关于函数自变量的取值范围埋设陷阱。

注意：①分母≠0，二次根式的被开方数≥0，0指数幂的底数≠0；②实际问题中许多自变量的取值不能为负数。

陷阱2：根据一次函数的性质（或者实际问题、动点问题等）判断函数的图象出错，一次函数图象性质与k、b之间的关系掌握不到位。

陷阱3：二次函数y=ax2+bx+c的图象位置和参数a,b,c的关系。

常在选择题中的压轴题来考查。

陷阱4：在有些函数或方程的表述形式上埋设陷阱，如表述为“函数y=ax2+bx+c”，这里因为没有特别注明是二次函数，所以一定要注意当a=0的情况，如表述为“方程ax2+bx+c=0”，则该方程不一定为一元二次方程，故还要考虑当a=0的情况。