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人教版八年级数学上册《第十四章 整式的乘除与分解因式》知
识点总结
1.基本运算：
⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=
⑵幂的乘方：()n
m mn a a = ⑶积的乘方：()n
n n ab a b =
2.整式的乘法：
⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
3.计算公式：
⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-
⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+
4.整式的除法：
⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=
⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.
⑷多项式÷多项式：用竖式.
5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.
6.因式分解方法：
⑴提公因式法：找出最大公因式.
⑵公式法：
①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-
②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± ③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+
④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++
⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法
⑸添项法。
人教版八年级上数学说课稿《第14章整式的乘法与因式分解》一. 教材分析《人教版八年级上数学》第14章整式的乘法与因式分解，是在学生掌握了有理数的运算、整式的加减、幂的运算等知识的基础上进行学习的。
这一章的内容包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式、因式分解等。
整式的乘法与因式分解在数学中占有重要的地位，它不仅在初中数学中有着广泛的应用，而且对高中数学的学习也有很大的帮助。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的加减、幂的运算等知识有一定的了解。
但是，学生在学习这一章的内容时，可能会觉得比较困难，因为这一章的内容既有运算，又有公式的记忆，还有因式分解的方法，需要学生对知识进行深入的理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式的乘法运算，理解并掌握平方差公式、完全平方公式，学会因式分解的方法。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的美。
四. 说教学重难点1.教学重点：整式的乘法运算，平方差公式、完全平方公式的记忆，因式分解的方法。
2.教学难点：平方差公式、完全平方公式的推导，因式分解的方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用自主学习、合作交流、教师讲解等教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习整式的加减、幂的运算等知识，引导学生进入整式的乘法与因式分解的学习。
2.教学新课：讲解整式的乘法运算，引导学生推导平方差公式、完全平方公式，教授因式分解的方法。
3.练习巩固：布置相关的练习题，让学生进行自主练习，巩固所学知识。
4.课堂小结：对本节课的内容进行总结，帮助学生加深对知识的理解。
5.布置作业：布置适量的作业，让学生在课后进行复习和巩固。
第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第2课时一、教学目标【知识与技能】1.在掌握了因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.【过程与方法】1.经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.2.在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.【情感、态度与价值观】1.培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.2.进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识.二、课型新授课三、课时第2课时，共2课时。
四、教学重难点【教学重点】运用完全平方公式法进行因式分解.【教学难点】观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解.五、课前准备教师：课件、直尺、矩形图片等。
学生：三角尺、练习本、铅笔、钢笔。
六、教学过程（一）导入新课我们知道，因式分解与整式乘法是反方向的变形，我们学习了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究运用完全平方公式分解因式教师问1：什么叫因式分解？（出示课件4）学生回答：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式.教师问2：我们已经学过哪些因式分解的方法？学生回答：提公因式法、平方差公式：a2–b2=(a+b)(a–b)教师问3：把下列各式分解因式：(1)ax4－a；(2)16m4－n4.学生回答：(1)ax4－a=a(x2+1)(x+1)(x-1)；(2)16m4－n4=(4m2+n)(2m+n)(2m-n).教师问4：结合上题思考因式分解要注意什么问题？学生回答：①一提二看三检查；②分解要彻底.教师问5：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.学生回答：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2教师讲解：这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.教师问6：你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？（出示课件5）学生讨论后拼出下图：教师问7：这个大正方形的面积可以怎么求？学生回答：（a+b）2=a2+2ab+b2教师问8：将上面的等式倒过来看，能得到什么呢？学生回答：a2+2ab+b2=（a+b）2（出示课件6）教师问：观察这两个多项式：a2+2ab+b2；a2–2ab+b2，请回答下列各题：（出示课件7）(1)每个多项式有几项？学生回答：三项(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？学生回答：这两项都是数或式的平方，并且符号相同.(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？学生回答：是第一项和第三项底数的积的±2倍.教师讲解：我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.教师问9：把下列各式分解因式：(1)a2＋2ab＋b2；(2)a2－2ab＋b2.学生回答：(1)a2＋2ab＋b2=（a+b）2；(2)a2－2ab＋b2=（a-b）2.教师问10：将整式乘法的平方差公式反过来写即是分解因式的平方差公式.同样道理，把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式.能不能用语言叙述呢？学生回答后，师生共同讨论后解答如下：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.即a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.教师问11：下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2－4a＋4；(2)x2＋4x＋4y2；(3)4a2＋2ab＋14b2；(4)a2－ab＋b2；(5)x2－6x－9；(6)a2＋a＋0.25.学生讨论后回答如下：(1)a2－4a＋4；是，原式=（a-2）2 (2)x2＋4x＋4y2；不是(3)4a2＋2ab＋14b2；是，原式=（2a+12b）2(4)a2－ab＋b2；不是(5)x2－6x－9；不是(6)a2＋a＋0.25.是，原式=（a+0.5）2教师问12：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？学生讨论后回答，师生共同归纳如下：①三项式；②两项为两个数的平方和的形式；③第三项为加(或减)这两个数的积的2倍.总结点拨：（出示课件8）完全平方式:a²±2ab+b²完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.（出示课件9）凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例1：分解因式：（出示课件12）(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.师生共同解答如下：（1）分析：(1)中，16x2=(4x)2，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.(2)–x2+4xy–4y2=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.例2：如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是()（出示课件15）A.11B.9C.–11D.–9师生共同解答如下：解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.答案：B总结点拨：（出示课件16）本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．例3：把下列各式分解因式：（出示课件18）(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.师生共同解答如下：分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b 看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62=(a+b–6)2.总结点拨：利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（出示课件19）例4：把下列完全平方式分解因式：（出示课件21）(1)1002–2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.师生共同解答如下：解：(1)原式=(100–99)²=1(2)原式＝(34＋16)2＝2500.总结点拨：本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.例5：已知:a 2+b 2+2a–4b+5=0，求2a 2+4b–3的值.（出示课件23）师生共同解答如下：分析：从已知条件可以看出，a 2+b 2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.（出示课件24）解：由已知可得(a 2+2a+1)+(b 2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=01020a b +=⎧∴⎨-=⎩12a b =-⎧∴⎨=⎩∴2a 2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7总结点拨：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数性质来解答．（三）课堂练习（出示课件27-31）1.下列四个多项式中，能因式分解的是()A．a 2＋1B．a 2–6a＋9C．x 2＋5yD．x 2–5y 2.把多项式4x 2y–4xy 2–x 3分解因式的结果是()A．4xy(x–y)–x 3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y 2–x 2)D．–x(–4xy＋4y 2＋x 2)3.若m＝2n＋1，则m 2–4mn＋4n 2的值是________．4.若关于x 的多项式x 2–8x＋m 2是完全平方式，则m 的值为_________．5.把下列多项式因式分解.(1)x 2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y 2+2y+1–x 2;6.计算：(1)38.92–2×38.9×48.9＋48.92.（2）20142-2014×4026+201327.分解因式:(1)4x 2＋4x＋1；(2)13x 2–2x＋3.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b 2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a 3b＋2a 2b 2＋ab 3的值．小聪:小明:参考答案：1.B2.B3.14.±45.解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;(2)原式=[2(2a+b)]²–2·2(2a+b)·1+1²=(4a+2b–1)2;(3)原式=(y+1)²–x²=(y+1+x)(y+1–x).6.解：(1)原式＝(38.9–48.9)2＝100.(2)原式=20142-2×2014×2013+20132=（2014-2013）2=17.解:(1)原式＝(2x)2＋2•2x•1＋1＝(2x+1)2 (2)原式＝13(x2–6x＋9)＝13(x–3)28.解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a2±2ab＋b2＝(a±b)2一提，二看，三检查。
