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离散数学PPT+课后答案第12章 代数系统new - 副本

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离散数学课后习题答案(最新)

离散数学课后习题答案(最新)

习题参考解答习题1.11、（3）P：银行利率降低Q：股价没有上升P∧Q（5）P：他今天乘火车去了北京Q：他随旅行团去了九寨沟PQ（7）P：不识庐山真面目Q：身在此山中Q→P，或～P→～Q（9）P：一个整数能被6整除Q：一个整数能被3整除R：一个整数能被2整除T：一个整数的各位数字之和能被3整除P→Q∧R ，Q→T2、（1）T （2）F （3）F （4）T （5）F（6）T （7）F （8）悖论习题 1.31（3）)()()()()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q P →∨→⇔∨⌝∨∨⌝⇔∨∨⌝⇔∨→（4）()()()(())()(()())(())()()()()P Q Q R R P P R Q R P P R R P Q R P P R P R Q R Q P ∧∨∧∨∧=∨∧∨∧=∨∨∧∧∨∧=∨∧∨∧∨∧∨=右2、不， 不， 能习题 1.41(3) (())~((~))(~)()~(~(~))(~~)(~)P R Q P P R Q P P R T P R P R Q Q P R Q P R Q →∧→=∨∧∨=∨∧=∨=∨∨∧=∨∨∧∨∨、主合取范式)()()()()()()()()()()()()()())(())(()()(())()())(()((Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P Q P R Q P R P Q R P Q R R Q P R Q P R Q P R Q P Q Q P R P P Q R R R Q Q P P R Q R P P Q R P P Q R P ∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∧∧∨⌝∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝=∨⌝∧∧∨∨⌝∧⌝∧∨∨⌝∧∨⌝∧⌝=∧∨⌝∧∨⌝=∨⌝∧∨⌝=→∧→ ————主析取范式(2) ()()(~)(~)(~(~))(~(~))(~~)(~)(~~)P Q P R P Q P R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P R Q →∧→=∨∧∨=∨∨∧∧∨∨∧=∨∨∧∨∨∧∨∨ 2、()~()(~)(~)(~~)(~)(~~)P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R P R Q →∧=∨∧=∨∧∧=∨∨∧∨∨∧∨∨∴等价3、解：根据给定的条件有下述命题公式：（A →（C ∇D ））∧～（B ∧C ）∧～（C ∧D ）⇔（～A ∨（C ∧～D ）∨（～C ∧D ））∧（～B ∨～C ）∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ））∧（～C ∨～D ）⇔（（～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ）∨（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ）） ∧（～C ∨～D ）⇔（～A ∧～B ∧～C ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～C ）∨ （～A ∧～C ∧～C ）∨（～C ∧D ∧～C ∧～C ）∨（～A ∧～B ∧～D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧～B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～D ）∨ （～C ∧D ∧～C ∧～D ）（由题意和矛盾律）⇔（～C ∧D ∧～B ）∨（～A ∧～C ）∨（～C ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～B ∧～A ）∨ （～A ∧～C ∧B ）∨ （～A ∧～C ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧A ）∨ （～C ∧D ∧～A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧～D ）∨（～A ∧～C ∧～B ∧D ）∨ （～A ∧～C ∧～B ∧～D ）∨（～C ∧D ∧A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧～B ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）∨（C ∧～D ∧～B ∧～A ） ⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨ （～C ∧D ∧A ∧～B ）∨ （～C ∧D ∧～A ∧B ） ∨（C ∧～D ∧～B ∧A ）⇔（～C ∧D ∧～B ∧A ）∨ （～A ∧～C ∧B ∧D ）∨（C ∧～D ∧～B ∧A ） 三种方案：A 和D 、 B 和D 、 A 和C习题 1.51、 （1）需证()(())P Q P P Q →→→∧为永真式()(())~(~)(~())~~(~)(()(~))~(~)(~)()P Q P P Q P Q P P Q P P P Q P Q TP Q P Q T P Q P P Q →→→∧=∨∨∨∧∨=∨∨∧∨=∨∨∨=∴→⇒→∧（3）需证S R P P →∧⌝∧为永真式SR P P T S F S R F S R P P ⇒∧⌝∧∴⇔→⇔→∧⇔→∧⌝∧3A B A B ⇒∴→ 、为永真式。

离散数学代数结构部分-PPT

离散数学代数结构部分-PPT
所以乘法运算就是封闭得。 而对于加法运算A上得 二元运算,如果对于任意得x,y∈A,都 有x*y＝y*x,则称该二元运算*就是可 交换得。
例5、2 设Q就是有理数集合,*就是Q上得 二元运算,对任意得a,b∈Q,a*b＝a+ba· b,问运算*就是否可交换。
例5、3 设A=Z,“+”就是整数中得加法: 则
“+”在Z中适合结合律。 “。”就是整数中得减法:则特取
而 运算“。”不满足结合律
➢定义5、4 设*就是定义在集合A上得 一个二元运算,如果对于任意得x∈A, 都有x*x＝x,则称运算*就是等幂得。
例5、4 设P(S)就是集合S得幂集,在P(S) 上定义得两个二元运算,集合得“并”运 算∪和集合得“交”运算∩,验证∪,∩ 就是等幂得。
➢ 定理6、19 设
例6、16 例6、17 设
➢ 定义6、18 设 例6、18 设
➢ 定义6、19 设 例6、19 4元置换
➢ 定义6、20设
➢ 定理6、20
➢ 定义6、21
例6、20 如图 进行旋转,也可以围绕她得对称轴进行翻转,但 经过旋转或翻转后仍要与原来得方格重合(方格 中得数字可以改变)。如果把每种旋转或翻转看 作就是作用在
➢定理5、2 设*就是S上得二元运算,
如果S中既存在关于运算*得左幺元 el ,
又存在关于运算得右幺元 er
则S中必存在关于运算*得幺元e并且
2、 零元 ➢定义5、8 设*就是S上得二元运算,
在自然数集N上普通乘法得零元就是0, 而加法没有零元。
➢ 定理5、3 设 *就是S上得二元运算,如果S 中存在(关于运算*得)零元,则必就是唯一得。 所以零元就是唯一得。
证明: 略。 推论6、1

离散数学12格和布尔代数

离散数学12格和布尔代数

第十二章 格和布尔代数12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨证明因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。

又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。

即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有：)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。

12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。

又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。

即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。

所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。

（2）证明因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。

又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。

从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。

即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。

因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。

10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。

证明因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。

于是有：)((b a a a a a ∧∨∧=∧)(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a =同理可证，a a a =∨。

故∨和∧也满足等幂律。

10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨证明（1）必要性因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。

离散数学答案版(全)

离散数学答案版(全)

1.2.4
0 0 1 11
Q
0 1 1 1
P Q
0 0 1 1 1.2.5 双条件联结词
P
0 1 0 1
Q
1 1 0 1
P Q
1.2.6
0 0 1 1 与非联结词↑
P
0 1 0 1
Q
1 0 0 1
PQ
1 1 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
性质： （1） P↑P ﹁（P∧P） ﹁P； （2） （P↑Q）↑（P↑Q） ﹁（P↑Q） P∧Q； （3） （P↑P）↑（Q↑Q） ﹁P↑﹁Q P∨Q。 1.2.7 或非联结词↓
定义设pq是两个命题公式复合命题pq称为命题pq的条件否定当且仅当p的真值为1q的真值为0时pq的真值为1否则pq的真值为0172最小联结词组定义设s是一些联结词组成的非空集合如果任何的命题公式都可以用仅包含s中的联结词的公式表示则称s是联结词的全功能集
第一章
命题逻辑
内容： 命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵 式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法等证明方法。 教学目的： 1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。 4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5．熟练掌握形式演绎的方法。
式中每一个析取项都是 P1，P2，…，Pn 的一个极大项，则称该合取范式为 G 的主 合取范式。通常，主合取范式用↕表示。重言式的主合取范式中不含任何极大项， 用 1 表示。 定理 任意的命题公式都存在一个唯一的与之等价的主合取范式。
1.6
公式的蕴涵

离散数学-近世代数-代数结构

离散数学-近世代数-代数结构
添加标题
例：代数系统(N，+，×)。其中+，×分别代表通常数的加法和乘法。
添加标题
是否满足交换律？
添加标题
单位元( 幺元)
一个代数系统(S，*)， 若存在一个元素eU，使得对 xS，有：e * x =x * e = x，则称 e 为对于运算“ * ”的单位元,也称幺元 。 注意： 单位元是跟运算有关系的，不同的运算可能单位元是不一样的。
解： 作双射 f：A1A2，f(1)=b, f(2)=d, f(3)=c, f(4)=a
a
b
c
d
a
b
b
b
d
b
a
a
d
b
c
c
b
c
a
d
a
a
c
d
*
1
2
3
4
1
4
1
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1
4
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1
1
设代数系统V1=(A1，*)，V2=(A2，º)， 其中A1={1，2，3，4}， A2={a，b，c，d}， * 和 º 的运算分别如下表，V1 和 V2 是否同构？
等幂律
设 * 是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x * x = x，则称 * 运算是等幂的。 例: S={1,2,4}，在集合 p(S) 定义两个二元运算，∩，∪，分别表示集合的“并”运算和集合的“交”运算，∩，∪是等幂的？ 解：对于任意的A p(S) ，有A∩A=A；A∪A=A 因此运算∩，∪都满足等幂律。
性质、定理
定理 一个代数系统，其零元若存在，则唯一。 定理 一个代数系统(S，)，若集合 A 中元素的个数大于1，且该代数系统存在幺元 e 和零元θ，则θe。 证明：用反证法，设θ=e，则对于任意的xA，必有 x = ex = θx =θ= e， 即对于A中所有元素都是相同的，这与A中含有多个元素相矛盾。

离散数学代数系统-PPT

离散数学代数系统-PPT
如果存在 f : AB、 使 x, yA, f (x y) = f (x) f (y)
则称 f 就是V1到V2得一个同态映射。
如:< R+, ×> ~ < R,+> (只要定义f : R+R, f (ab) = lgab = lga+lgb = f (a)+f (b))
同态象:设V1
=
<
A,
>
～
f V2
=
<
B,
>,
则
称< f (A), > 就是V1在 f 下得同态
象、 同态的性质：设V1 = < A, > ～f V2 = < B, >,
(1) 如果f : AB就是满射,则说f为V1到V2满同态 得 (2) 如果f就是单射, 则说f 为V1到V2单同态 得 (3) 如果f就是双射, 则说f为V1与V2同构, 记作V1 V2
(z1 z1)R(z2 z2 )
三、同余关系得判定:<A, >与< B, >就是两个 代数系统。 f:AB就是同态映射。 利用f 规定A上得二元关系R:aRb当且 仅当 f (a)=f (b),则R就是同余关系。
证明:(1) R就是等价关系
(2) x, y, u, vA,如果xRy, uRv,则 (xu)R(yv)。 这就是因为:xRy即f (x)=f (y); uRv即f (u)=f (v)、 由同态映射得定义知: f (xu) = f (x) f (u) f (yv) = f (y) f (v) 所以 f (xu) = f (yv), 即(xu)R(yv)
§6、4 群
一、几个基本概念
半群:代数系统V = < A, >中, 就是非空集合 A上得二元运算, 且在A中就是可结合 得,即x, y, zA (xy) z = x (yz)

离散数学PPT教学代数系统

在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造 数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究 的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统： 半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离 不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式 语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数 学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代 数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件 设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算 的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、 描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代 数知识。
试证：*，△满足吸收律
证明：x，y∈N，
x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y =x
∴*满足吸收律
x x<y
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y =x
∴△满足吸收律
x x<y
12
§7.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
3
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
20
三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，

离散数学 代数系统 ppt课件


1
33 0 1 2 8
代数系统举例
设A={1，2，3，4，6，12} A上的运算*定义为：a*b=|a-b| （1）写出二元运算的运算表； （2）<A,*>能构成代数系统吗？
9
解答
由运算表可知*运算在集合A上不封闭
所以： <A,*>不能构成代数系统
* 1 2 3 4 6 12
1 0 1 2 3 5 11
U=<I,+, > 证明：V=< m,+m, m >
满同态
g:I→Nm 对于所有的iI,有：
g(i)=(i)(modm)
32
证明
类型映射f定义为：f(+)=+m,f()=m (1)显然U=<I,+, >和V=< Nm,+m, m >同类型
(2)运算的象=象的运算
对任意的x,yI: g(x+y)=g(x) +m g(y) g(x y)=g(x) m g(y)
12
4、同类型的代数系统
V1=<S1，Ω1>:代数系统 类型映射 V2=<S2，Ω2>:代数系统 同元运算
存在一个双射函数f: Ω1 → Ω2 每一个ω∈Ω1和f(ω) ∈Ω2具有相同的阶 ωf V1和V2是同类型的代数系统
13
同类型的代数系统举例
V1=<Nm,+m , m > 和V2=<R,+, >是 同类型的代数系统吗？其中：
41
满同态举例（续）
(5)对“＋”存在e=0,则: 对“+3”存在e=g(0)=0; (6)对“”存在e=1,则: 对“3”存在e=g(1)=1; (7)对“”存在零元=0,则: 对“3”存在零元=g(0)=0;

离散数学课后答案

离散数学课后答案第一章离散数学基础题目1问题：证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A 和集合B的基数的乘积。

答案：设集合A的基数为|A|，集合B的基数为|B|。

我们要证明集合A和集合B的笛卡尔积的基数等于集合A和集合B的基数的乘积，即|(A x B)| = |A| * |B|。

首先，我们可以将集合A x B表示为{(a, b) | a∈A, b∈B}。

由于A和B是两个集合，集合A x B中的元素可以看作是将A 中每个元素与B中每个元素组成的有序对。

因此，集合A x B 中的元素个数等于A中元素的个数乘以B中元素的个数，即|(A x B)| = |A| * |B|。

题目2问题：对任意两个集合A和B，证明A∩(A∪B) = A。

答案：要证明A∩(A∪B) = A，首先我们需要理解集合的交和并的定义。

- 集合的交：集合A∩B表示同时属于集合A和集合B的元素组成的集合。

- 集合的并：集合A∪B表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。

现在，我们开始证明。

首先，根据集合的并的定义，A∪B 表示属于集合A或集合B的元素组成的集合。

因此，任意属于集合A的元素也一定属于A∪B，即A⊆A∪B。

其次，根据集合的交的定义，A∩(A∪B)表示同时属于集合A和集合A∪B的元素组成的集合。

由于A⊆A∪B，所以A中的元素一定属于A∪B，因此A∩(A∪B) = A。

综上所述，对任意两个集合A和B，A∩(A∪B) = A成立。

第二章命题逻辑题目1问题：证明合取命题的真值表达式。

答案：合取命题的真值表达式表示命题P和命题Q同时为真时合取命题为真，否则为假。

假设命题P和命题Q的真值分别为真（T）或假（F），那么合取命题的真值可以通过以下真值表得出：P Q P∧QT T TT F FF T FF F F从上述真值表可以看出，只有P和Q都为真时，合取命题才为真。

如果其中一个或两个命题为假，则合取命题为假。

题目2问题：证明命题的等价关系。

《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件


解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
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2018/10/8
16
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
10
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
运算表
•当集合A和B有限时，一个A×B到C的代数运算，可 以借用一个表，称为运算表（乘法表 ）来说明。 •设“”是A×A→C的运算，A = {a1, a2, … , an}, B = {b1, b2, … , bm},则运算“”可用下表说明。
运算表 a1 b1 a1 b1 b2 a1 b2 … … bm a1 bm
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离散数学
电子科技大学 示
计算机科学与工程学院
范 性 软 件 学 院
2018年10月8日星期一
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第五篇
代数系统
由于数学和其他科学的发展，人们需要对若干不 是数的事物，用类似普通计算的方法进行相似的 计算。如矩阵、向量等。
研究代数系统的学科称为“近世代数”或“抽象
代数”。
2018/10/8
2
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第五篇 代数系统内容
1
2 3 4
代数系统与性质 集合的概念 集合的表示方法 半群与群 环与域 格与布尔代数
2018/10/8
3
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
第十二章 代数系统
2018/10/8
6
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
代数运算
一个二元运算就是一个特殊的映射 ，该映射 能够对aA和b B进行运算 ，得到C中的一 个元c , 即 (a, b)＝c 。 中缀方法表示为 a b＝ c
2018/10/8
7
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
例12.2.1
电子科技大学离散数学课程组——国家精品课程
定义12.2.5
设A是非空集合，1, 2, …, m分别是定义在A上k1, k2,…, km元封闭运算，ki是正整数，i = 1, 2, …, m。称集合A和1, 2, …, m所组成的系统称为代数 系统，简称代数，记为<A, 1, 2, …, m >。 当A是有限集合时，该代数系统称为有限代数系统， 否则称为无限代数系统 注意：判断集合A和其上的代数运算是否是代数 系统，关键是判断两点：一是集合A非空，二是 这些运算关于A是否满足封闭性。
a2
…
2018/1Leabharlann /8a2 b1… an b1
a2 b2
… an b2 …
…
…
a2 bm
… an bm
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an
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定义12.2.2
设 A1 , A 2 , … , An ， A 是 非 空 集 合 ， A1×A2×…×An 到 A 的 一 个 映 射 ( 或 函 数 ) ： A1×A2×…×An→A称为一个 A1×A2×…×An 到 A 的 n 元代数运算，简称 n 元运算。当 n = 1 时，称为 一元运算。
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代数系统与子代数 集合的概念 运算性质与特殊元 同态与同构
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12.1 本章学习要求
重点掌握 一般掌握 了解
1 1 代数系统与 子代数 2 二元运算律 3 特殊元 4 同态与同构
2 同类型代数系 统
3 同态与同构的 应用
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判别下面的映射或表是否是二元运算：
（1）设A = {0, 1}, B = {1, 2}, C = {奇, 偶}， 定义映射: A×B→C，其中 (0, 1) = 奇， (0, 2) = 偶， (1, 1) = 偶， (1, 2) = 奇。 分析 “”是一个A×B到C的映射，因此，按定义 12.2.1，则“”是一个A×B到C的运算。
(an)
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代数运算：封闭性
定义12.2.3 的二元运算。 定义12.2.4 设“”是一个A1×A2×…×An到A的n 元代数运算，如果A1＝A2＝…＝An＝A，则称代数运 算“”对集合A是封闭的，或者称是A上的n元代数 运算。 如果“”是A×A到A的二元运算，则 称运算“”对集合A是封闭的，或者称“”是A上
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例12.2.1（续）
分析 设集合A = {五角，一元}，集合C = {纯净 水，矿泉水，橘子水}，则表12.2.1实质上是 A×A→C的映射，也就是A×A到C的一个运算 “”。 解 (1)、(2)中定义的映射是二元运算。
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说
明
一般通常用大写的英文字母表示集合，用符号 “+”、“-”、“*”、“/”、“∩”、“∪”、 “∧”、“∨”、“┐”、“★”、“☆”、 “о ”、“⊕”、“+”、“”、“”等抽象的符 号来表示一个抽象的运算。
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1元代数运算表
1元运算表 当元素有限时，一元运算也可
以用运算表来说明。 设“”是A到A的一元运算，其 中 A = {a1, a2, …, an} ， 则 一元运算“”可以用右表说明。
a a1 a2 …
an
(a) (a1) (a2) …
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例12.2.1（续）
（2）一架自动售货机，能 接受五角和一元硬币， 而所对应的商品是纯净 水、矿泉水、橘子水， 当人们投入上述硬币中 的任何两枚时，自动售 货机供应出相应的商品 (右表)。 表 五角 一元
五角
一元
纯净水
矿泉水
矿泉水
橘子水
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代数运算
•称自然数集合N上的加法“+”为运算，这是因为给 定两个自然数a, b, 由加法“+”，可以得到唯一的 自然数c = a + b。 • 加法“+” 是映射吗？ • N上的加法运算“+”本质上是一个N×N→N的映射 定义12.2.1 设A, B, C是非空集合，从A×B到C的 一个映射（或函数） ：A×B→C称为一个A×B到 C的二元代数运算，简称二元运算。