山东省济南市高二数学上学期期末考试试题理(扫描版,无答案)
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济南外国语学校2012-2013学年度第一学期高二期末模块考试数学(理)试题(2013.1)说明:本卷为发展卷,采用长卷出题、附加计分的方式。
第Ⅰ、Ⅱ卷为必做题,第Ⅲ卷为选做题,必做题满分为 120 分,选做题满分为30分。
第Ⅰ卷为第1题 页至第 10 题,第Ⅱ卷为第11 题至第18 题,第Ⅲ卷为第19 题至第22 题。
考试时间120 分钟。
温馨提示:生命的意义在于不断迎接挑战,做完必做题后再挑战一下发展题吧,你一定能够成功!第I 卷(选择题,共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知在等差数列{}n a 中,若1a =4,45-=a ,则该数列的公差d 等于 A.1 B.53C. - 2D. 3 2.在ABC △中,已知4,6a b ==,60B =o,则sin A 的值为A.3B.2C.323. 设a b >,c d >,则下列不等式成立的是 A. a c b d ->- B. ac bd > C.a dc b>D. b d a c +<+4.在ABC △中,60,6,10A b c ===o,则ABC △的面积为A.15 D.30 5. 在等差数列{}n a 中,有67812a a a ++=,则该数列的前13项之和为 A .24 B.52 C.56 D.1046. 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ,点P (0,-2),Q (0,0),则A. P ∉D ,且Q ∉DB. P ∉D ,且Q ∈DC. P∈D,且Q ∉DD. P∈D,且Q ∈D7.在ABC △中,::4:3:2a b c =,那么cos C 的值为 A.14 B.14- C.78 D.11168. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中,首项31=a ,前三项和为321S =,则4a = A .32B.24C.27D .549.已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x ,若目标函数y x z +=2的最大值是A .6B .3 C.23D .110. 等比数列}{n a 的前n 项和n S ,若36,963==S S ,则=++987a a a A. 72 B. 81 C. 90 D. 99 提示:请将1—10题答案涂在答题卡上,11-22题写在答题纸上 第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11. 正数,x y 满足2x y +=,则x y ⋅的最大值为______ .12. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足31nn S =-,则n a = .13. 若不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-,则a b +的值为 . 14. 在ABC ∆中,若cos cos a B b A =,则ABC ∆的形状一定是三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分12分) 解下列不等式 (1)2230x x +-< ; (2)203xx -≤+. 16. (本小题满分12分)已知在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,若46,5,cos 5a b A ===-(1)求角B 的大小;(2)求边c. 17. (本小题满分13分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,365,36a S ==, (1)求数列{}n a 的通项公式;(2) 设2n an b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .18. (本小题满分13分)云南省镇雄县高坡村发生山体滑坡,牵动了全国人民的心,为了安置广大灾民,救灾指挥 部决定建造一批简易房,每间简易房是地面面积为1002m ,墙高为3m 的长方体样式,已知简易房屋顶每12m 的造价为500元,墙壁每12m 的造价为400元.问怎样设计一间简易房的地面的长与宽,能使一间简易房的总造价最低?最低造价是多少? 第Ⅲ卷(发展题,共30分)19、(3分)在下列函数中,最小值是22的是 A.12lg (0)lg y x x x =+> B. 2sin sin y x x=+()0,x π∈ C. 223y x =+ D.2xxy e e-=+20(3分)在锐角ABC ∆中,1,2,BC B A ==则AC 的取值范围为 . 21. (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a b c ,,,若2sin a b A = (1)求B 的大小;(2)求C A sin cos +的取值范围. 22. (本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}n a ,满足221120n n n n a a a a ++--= (*∈N n ),且21=a .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n n a a b 21log ⋅=,若n b 的前n 项和为n S ,求n S ;(3)在(2)的条件下,求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.济南外国语学校2012-2013学年度第一学期高二期末模块考试数学试题(2013.1) 理科答题纸二、填空题(每小题5分,共20分)11、 12、 13、 14、三、解答题(共50分)15、(12分)16、(12分)17、(13分)18、(13分)发展卷19、 20 、 (每小题3分) 21、(12分) 22、(12分)2013年1月高二期末模块考试数学试卷(理科)参考答案一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B二、填空题 11. 1 12. 132-⋅=n n a 13.14- 14、等腰三角形三、解答题15.解:(1)(3)(1)0x x +-<{|31}x x ∴-<<-----------------------------------------6分(2)203x x -≥+{|23}x x x ∴≥<-或-----------------------------------------12分 16. 解:(1)由题知54cos -=A 则53sin =A 且A 为钝角-----------------------------------------4分由正弦定理得B b A a sin sin =,21sin =B 所以ο30=B-----------------------------------------8分(2)bca cb A 2cos 222-+=整理得01182=-+c c解得433-=c-----------------------------------------12分17解: (1)设{}n a 的公差为d , 则1125656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩------------------3分 即112556a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,-----------------------------------------6分*12(1)21,()n a n n n N ∴=+-=-∈.-------------------------------8分 (2) 2122na n nb -==135212222n n T -∴=++++L--------------------------------------10分2(14)2(41)143n n --==-------------------------------------------12分 18. 解:设地面的长为x m,宽为mx100--------------------------------------2分 则总造价400)10066(500100⨯⨯++⨯=xx y --------------------------------------6分 2400)100(50000⨯++=xx y 9800024002050000=⨯+≥所以,当且仅当xx 100=时,即x=10m 时,y 取得最小值.--------------------------------------10分答:设计地面长宽均为10m 时,造价最低,为98000元。
济南市数学高二上学期理数期末考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题;共24分)1. (2分)(2016·天津文) 设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的()A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件2. (2分)按向量平移点P(﹣1,1)到Q(2,﹣3),则向量的坐标是()A . (1,﹣2)B . (﹣3,4)C . (3,﹣4)D . (3,4)3. (2分) (2018高二上·北京期中) 已知三点、、那么以、为焦点且过点P的椭圆的短轴长为()A . 3B . 6C . 9D . 124. (2分) (2015高二上·永昌期末) 设命题p:∃x∈N,x3<3x ,则¬p为()A . ∀x∈N,x3<3xB . ∃x∈N,x3≥3xC . ∀x∈N,x3≥3xD . ∃x∈N,x3=3x5. (2分) (2020高二上·青铜峡期末) 抛物线的准线方程为()A . y=B . y=C . y=D . y=6. (2分) (2018高二下·龙岩期中) 过双曲线的左焦点F作圆的切线,切点为M,又直线FM与直线相交于第一象限内一点P,若M为线段FP的中点,则该双曲线的离心率为()A .B . 2C .D . 37. (2分)已知向量,,则m=()A . 2B . -2C . -3D . 38. (2分)设G为△ABC的重心,且,则B的大小为()A .B .C .D .9. (2分)已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为()A . (, 4,-1)B . (2,3,1)C . (-3,1,5)D . (5,13,-3)10. (2分)(2017·新课标Ⅲ卷文) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A . A1E⊥DC1B . A1E⊥BDC . A1E⊥BC1D . A1E⊥AC11. (2分) (2020高二上·青铜峡期末) 已知是椭圆的两个焦点,是该椭圆上的一点,且 ,则的面积为()A .B .C .D . 212. (2分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)与双曲线C2:x2﹣=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则()A . a2=B . a2=3C . b2=D . b2=2二、填空题 (共6题;共6分)13. (1分)(2019·江门模拟) 命题“在空间中,若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.14. (1分) (2017高二上·静海期末) 双曲线的实半轴长与虚轴长之比为________.15. (1分)过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切,则圆心C的轨迹是________.16. (1分)若椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是,则椭圆的标准方程是________17. (1分) (2018高二上·武邑月考) 命题“ ”的否定是________.18. (1分) (2019高二下·滁州期末) 若椭圆:的焦距为,则椭圆的长轴长为________.三、解答题 (共5题;共40分)19. (10分) (2018高二上·武汉期中) 如图,已知是椭圆的长轴顶点,是椭圆上的两点,且满足 ,其中、分别为直线AP、QB的斜率.(1)求证:直线和的交点在定直线上;(2)求证:直线过定点;(3)求和面积的比值.20. (5分)已知命题p:存在实数a使函数f(x)=x2﹣4ax+4a2+2在区间[﹣1,3]上的最小值等于2;命题q:存在实数a,使函数f(x)=loga(2﹣ax)在[0,1]上是关于x的减函数.若“p∧q为假”且“p∨q为真”,试求实数a的取值范围.21. (10分) (2016高三上·湖州期末) 在三棱锥A﹣BCD中,点A在BD上的射影为O,∠BAD=∠BCD=90°,AB=BC=2,AD=DC=2 ,AC= .(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)若E是AC的中点,求直线BE和平面BCD所成角的正切值.22. (10分)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,2sin sin( +C)+cosC=﹣.(1)求C;(2)若c= ,且△ABC面积为3 ,求sinA+sinB的值.23. (5分) (2015高二上·船营期末) 已知等差数列{an}满足:a2=5,a5+a7=26,数列{an}的前n项和为Sn .(1)求an及Sn;(2)设{bn﹣an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案一、单选题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题;共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题;共40分) 19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
山东省济南市实验中学2020年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1. 下列条件能推出平面平面的是A.存在一条直线B.存在一条直线C.存在两条平行直线D.存在两条异面直线参考答案:D2. 一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了次球,则等于()A. B.C. D.参考答案:B略3. 等比数列的各项均为正数,且,则( ) ks5uA.12B.10C.8D.参考答案:B略4. 等差数列{a n}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前9项的和S9等于( )A.66 B.99 C.144 D.297参考答案:B【考点】等差数列的前n项和.【专题】计算题.【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27,分别得到①和②,用②﹣①得到d 的值,把d的值代入①即可求出a1,根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值.【解答】解:由a1+a4+a7=3a1+9d=39,得a1+3d=13①,由a3+a6+a9=3a1+15d=27,得a1+5d=9②,②﹣①得d=﹣2,把d=﹣2代入①得到a1=19,则前9项的和S9=9×19+×(﹣2)=99.故选B.【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值,是一道中档题.5. 设1!,2!,3!,……,n!的和为S n(且),则S n的个位数是 ( )A.1 B.3 C.5 D.7参考答案:B6. 设离散型随机变量ξ的概率分布如下:则p的值为( )A. B. C. D.参考答案:A试题分析:∵+++p=1,∴p=,故选A.考点:分布列7. 已知0<x<1,a、b为常数,且ab>0,则的最小值为()A. (a+b)2B. (a-b)2C. a+bD. a-b参考答案:A8. 从2008名学生中选取50名学生参加某项活动,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2008人中剔除8人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人,则在2008人中,每人入选的概率()A.不全相等 B.均不相等C.都相等,且为 D.都相等,且为参考答案:C略9. 已知是可导的函数,且对于恒成立,则( )A.B.C.D.参考答案:A10. 如果实数x、y满足x + y = 4,则x2 + y2的最小值是 ( )A.4.B.6.C.8.D.10.参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若异面直线所成的角为,且直线,则异面直线所成角的范围是___ .参考答案:.解析:c为和a垂直的某一平面内的任一直线.则b和平面所成角为b和c所成的最小角,如平面内和b在平面内的射影垂直的直线和b所成角最大为故异面直线所成角的范围是.12. 下面关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面面面全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱。
2021-2022学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知空间向量()1,,2a m m =+-,()2,1,4b =-,且a b ⊥,则m 的值为( ) A .103-B .10-C .10D .103【答案】B【分析】根据向量垂直得2(1)80m m -++-=,即可求出m 的值. 【详解】,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-. 故选:B. 2.抛物线214x y =的准线方程为( ) A .1x =- B .116x =-C .1y =-D .116y =-【答案】D 【解析】求出1216p =,即得抛物线214x y =的准线方程. 【详解】因为124p =, 所以1216p =, 故准线方程为116y =-. 故选:D310+=的倾斜角为( ) A .3π B .23π C .6πD .56π 【答案】C【分析】将直线方程转化为斜截式,进而可得倾斜角.【详解】10+=,即y =,所以倾斜角α满足tan α=,[)0,απ∈, 所以6πα=,故选:C.4.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,公比2q ,且满足2616a a =,则5a =( )A .8B .4C .2D .1【答案】A【分析】根据{}n a 是等比数列,则通项为11n n a a q -=,然后根据条件可解出112a =,进而求得58a =【详解】由{}n a 为等比数列,不妨设首项为1a由2616a a =,可得:26261216a a a =⋅=又0n a >,则有:112a = 则451282a =⨯=故选:A5.如图,在四面体OABC 中,OA a =,OB b =,OC c =,2CQ QB =,P 为线段OA 的中点,则PQ 等于( )A .112233a b c ++B .112233a b c --C .112233a b c -++D .121233a b c -++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+-2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--121233a b c =-++,故选:D .6.若圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1,则半径r 的取值范围是( ) A .()6,+∞ B .[)6,+∞C .(]4,6D .[]4,6【答案】B【分析】先求出圆心()3,5-到直线4320x y --=的距离为5,由此可知当圆的半径为516r =+=时,圆上恰有三点到直线4320x y --=的距离为1,当圆的半径516r >+= 时,圆上恰有四个点到直线4320x y --=的距离为1,故半径r 的取值范围是51=6r ≥+,即可求出答案.【详解】由已知条件得()()22235x y r -++=的圆心坐标为()3,5-,圆心()3,5-到直线4320x y --=为()2243352543d ⨯-⨯--==+,∵圆()()22235x y r -++=上至少有三个点到直线4320x y --=的距离为1, ∴圆的半径的取值范围是51r ≥+,即6r ≥,即半径r 的取值范围是[)6,+∞. 故选:B .7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线的右支上,且213PF PF =,则双曲线离心率的取值范围是( ) A .(]1,4 B .[)4,+∞ C .(]1,2 D .[)2,+∞【答案】C【分析】根据双曲线的定义求得2PF ,利用2PF c a ≥-可得离心率范围. 【详解】因为122PF PF a -=,又213PF PF =,所以13PF a =,2PF a =, 又2PF c a ≥-,即a c a ≥-,2ca≤,所以离心率(1,2]e ∈. 故选:C .8.如图甲是第七届国际数学家大会(简称ICME —7)的会徽图案,其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=,1A ,2A ,3A ,⋅⋅⋅为直角顶点,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为{}n a ,令22n n b a =-,n S 为数列{}n b 的前n 项和,则99S =( )A .8B .9C .10D .11【答案】B【分析】由题意可得n OA 的边长,进而可得周长n a 及n b ,进而可得n S ,可得解. 【详解】由1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=,可得2OA =3OA =⋅⋅⋅,n OA =所以112n n n n n a OA OA A A ++=++=, 22n n b a ===-所以前n 项和12213211n n S b b b n n n =+++=-+-+++-=+,所以9919S =, 故选:B. 二、多选题9.已知椭圆221169x y +=与椭圆()22190169x y t t t +=-<<++,则下列说法错误的是( )A .长轴长相等B .短轴长相等C .离心率相等D .焦距相等【答案】ABC【分析】分别求出这两个椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距,比较即可得到答案.【详解】由已知条件得椭圆221169x y +=中,4a =,3b =,c =则该椭圆的长轴长为28a =,短轴长为26b =,离心率为c e a ==,焦距为2c =椭圆()22190169x y t t t+=-<<++中,焦点在x 轴上,a b =c =.故选:ABC .10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则下列说法正确的是( )A .若2111n S n n =-+,则212n a n =-B .若()2,n S pn qn p q =+∈R ,则{}n a 是等差数列C .若数列{}n a 为等差数列,10a >,69S S =,则78S S >D .若数列{}n a 为等差数列,150S >,160S <,则8n =时,n S 最大 【答案】BD【分析】根据等差数列的性质,逐项分析即可得到结果.【详解】由于2111n S n n =-+,当1n =时,211111119a S ==-⨯+=-,若212n a n =-,则当1n =时,1211210a =⨯-=-,又091-≠-,故A 错误;因为()2,n S pn qn p q =+∈R ,当1n =时,11a S p q ==+;当2n ≥且*n N ∈时,()()()221112n n n a S S pn qn p n q n pn q p -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦, 当1n =时,上式亦满足,所以2n a pn q p =-+;所以()()()*12122,n n a a p n q p pn q p p n +-=+-+--+=∈⎡⎤⎣⎦N ,所以{}n a 是首项为p q +,公差为2p 的等差数列;故B 正确;若数列{}n a 为等差数列,10a >,69S S =,则96789830S S a a a a -=++==,即80a =,所以78S S =,故C 错误;若数列{}n a 为等差数列,150S >,160S <, 所以()115158151205S a a a+==>⨯,()()()1161168916160882a a a a a a S +⨯==++<=,所以80a >,890a a +<,即80a >,90a <,设等差数列{}n a 的公差为d ,所以980d a a =-<,所以等差数列{}n a 是递减数列, 所以在等差数列{}n a 中,当8n ≤且*n N ∈时0n a >,当9n ≥且*n N ∈时0n a <, 所以8n =时,n S 最大,故D 正确. 故选:BD.11.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个顶点A ,B 距离之比是常数()0,1λλλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点()2,0A -,()2,0B ,动点M 满足MA =,则下列说法正确的是( )A .点M 的轨迹围成区域的面积为32πB .ABM 面积的最大值为C .点M 到直线40x y -+=距离的最大值为D .若圆()()222:11C x y r ++-=上存在满足条件的点M ,则半径r 的取值范围为【答案】ABD【分析】根据直接法求点M 的轨迹方程,再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.【详解】由题意,设点(),M x y , 又2MA MB =, 所以()()2222222x y x y ++=⋅-+,化简可得()22632x y -+=,所以点M 的轨迹为以点()6,0N 为圆心,42为半径的圆, 所以点M 的轨迹围成的区域面积为32π,A 选项正确; 又点(),M x y 满足42,42y ⎡⎤∈-⎣⎦,所以(10,822ABMSAB y ⎤=⋅∈⎦,B 选项正确; 点()6,0N 到直线40x y -+=的距离()22604524211d -+==>+-,所以直线与圆相离,所以点M 到直线40x y -+=距离的最大值为524292+=,C 选项错误;由D 选项可知圆C 与圆N 有公共点,所以4242r CN r -≤≤+, 且()()22610152CN =++-=,即425242r r -≤≤+, 所以292r ≤≤,D 选项正确; 故选:ABD.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为侧面11BCC B 的中心,F 是棱11C D 的中点,若点P 为线段1BD 上的动点,则下列说法正确的是( )A .PE 的长最小值为12B .PE PF ⋅的最小值为148-C .若12BP PD =,则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98D .若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合,则θ的值可以是23π 【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,设1(,,)BP BD λλλλ==--,(01)λ≤≤,得(1,1,)P λλλ--,然后用空间向量法求得PE ,判断A ,求得数量积PE PF ⋅计算最小值判断B ,由线面平行得线线平行,确定截面的形状、位置,从而可计算出截面面积,判断C ,结合正方体的对称性,利用1BD 是正方体的外接球直径判断D .【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,正方体棱长为1,则11(,1,)22E ,(1,1,0)B ,1(0,0,1)D ,1(0,,1)2F ,1(1,1,1)BD =--,设1(,,)BP BD λλλλ==--,(01)λ≤≤,所以(1,1,)P λλλ--,11(,,)22PE λλλ=--,(PE λ==13λ=时,min PE =,A 错;1(1,,1)2PF λλλ=---,111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+--2713()1248λ=--,所以712λ=时,min 1()48PE PF ⋅=-,B 正确;12BP PD =,则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点,112(,,)333P ,取AC 上靠近C 的三等分点G ,则12(,,0)33G ,12(0,,)33PG =-,显然PG 与平面11CDD C 的法向量(1,0,0)垂直,因此//PG 平面11CDD C ,所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行,作//CM PG 交11C D 于点M , 设(0,,1)M k ,则(0,1,1)CM k =-,由//CM PG 得21(1)33k --=,解得12k =,则M 与F 重合,因此取11A D 中点N ,易得//NF AC ,截面为ACFN ,它是等腰梯形,2AC =,22NF =,52AN CF ==,梯形的高为22225222h ⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭324=, 截面面积为12329(2)2248S =+⨯=,C 正确;(1,0,0)A ,(0,1,0)C ,1(1,1,1)B ,(1,1,0)AC =-,1(1,1,1)BD =--,11100AC BD ⋅=-+=,1AC BD ⊥,同理11AB BD ⊥,所以1BD 是平面1ACB 的一个法向量,即1BD ⊥平面1ACB ,设垂足为1O ,则111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=,1BD 是正方体的外接球的直径,因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合,至少旋转23π.D 正确. 故选:BCD .三、填空题13.已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行,则实数m 的值为___________. 【答案】1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值. 【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行, 得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩,即1m =-. 故答案为:1-.14.已知等差数列{}n a 的公差为1,且3a 是2a 和6a 的等比中项,则{}n a 前10项的和为___________. 【答案】40【分析】利用等比中项及等差数列通项公式求出首项1a ,再利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 前10项的和.【详解】设等差数列的首项为1a ,由已知条件得2326a a a =⋅,即()()()211125a d a d a d +=++,()()()2111215a a a +=++,解得112a =-,则10110910402S a d ⨯=+=. 故答案为:40.15.如图,把正方形纸片ABCD 沿对角线AC 折成直二面角,则折纸后异面直线AB ,CD 所成的角为___________.【答案】π630° 【分析】过点E 作CE ∥AB ,且使得CE =AB ,则四边形ABEC 是平行四边形,进而DEC ∠(或其补角)是所求角,算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ,且使得CE =AB ,则四边形ABEC 是平行四边形,设所求角为02πθθ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭,于是cos |cos |DEC θ=∠.设原正方形ABCD 边长为2,取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则2BO DO =,BO AC DO AC ⊥⊥,而平面ACD ⊥平面ABC ,且交于AC ,所以DO ⊥平面ABEC ,则DO OE ⊥.易得,22BE AC ==//BE AC ,而,BO AC ⊥则.BO BE ⊥于是,2210OE BO BE =+=2223DE DO OE +=在DCE 中,2DC CE ==,取DE 的中点F ,则CF DE ⊥,所以3cos FE DEC CE ∠==即3cos θ6πθ=.故答案为:6π.16.抛物线的聚焦特点:从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后,光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面,根据光路的可逆性,平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220y px p =>,一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A 向左发出,先经抛物线反射,再经直线3y x =-反射后,恰好经过点A ,则该抛物线的标准方程为___________. 【答案】216y x =【分析】根据抛物线的聚焦特点,()3,1A 经过抛物线后经过抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,再经直线3y x =-反射后经过点A ,则根据反射特点,列出相关方程,解出方程即可.【详解】设光线与抛物线的交点为B ,抛物线的焦点为F ,则可得:1,12B p ⎛⎫⎪⎝⎭抛物线的焦点为:,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭则直线BF 的方程为:11222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭设直线BF 与直线3y x =-的交点为M ,则有: 112223p y x p p y x ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=-⎪⎪⎝⎭⎨ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩解得:2222436,2121p p p M p p p p ⎛⎫-- ⎪+-+-⎝⎭则过点M 且垂直于3y x =-的直线的方程为: 222222436563212121p p p p p y x x p p p p p p ----=-++=-++-+-+-根据题意可知:点()3,1A 关于直线2256321p p y x p p --=-++-的对称点1A 在直线BF 上设点()122,A x y ,1AA 的中点为C ,则有: 2231,22x y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭直线1AA 垂直于2256321p p y x p p --=-++-,则有:22113y x -=- 点C 在直线2256321p p y x p p --=-++-上,则有:2222135632221y x p p p p ++--=-++- 点1A 在直线BF 上,则有: 2211222p y x p p ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭化简得:()80p p -= 又0p > 故8p =故答案为:216y x =【点睛】直线关于直线对称对称,利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程,根据题意列出隐含的方程是关键 四、解答题17.已知()1,2A -,以点A 为圆心的圆被y轴截得的弦长为(1)求圆A 的方程;(2)若过点()1,2B -的直线l 与圆A 相切,求直线l 的方程. 【答案】(1)()()22124x y ++-= (2)1x =或3450x y ++=【分析】(1)根据垂径定理,可直接计算出圆的半径;(2)根据直线l 的斜率是否存在分类讨论,斜率不存在时,可得到直线方程为1x =的直线满足题意,斜率存在时,利用直线l 与圆相切,即()1,2A -到直线l 的距离等于半径,然后解出关于斜率的方程即可. (1)不妨设圆的半径为R ,根据垂径定理,可得:()22213R =+解得:2R =则圆的方程为:()()22124x y ++-= (2)当直线l 的斜率不存在时,则有:1x = 故此时直线l 与圆相切,满足题意当直线l 的斜率存在时,不妨设直线l 的斜率为k ,点()1,2B -的直线l 的距离为d 直线l 的方程为:()12y k x =--则有:22421k d k--==+解得:34k =- ,此时直线l 的方程为:3450x y ++=综上可得,直线l 的方程为:1x =或3450x y ++=18.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F 分别为线段AB ,11B C 的中点.(1)求点F 到平面1A CE 的距离;(2)求平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值. 【答案】6 6【分析】(1)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立空间直角坐标系.可根据题意写出各个点的坐标,进而求出平面1A CE 的法向量和EF 的坐标,点F 到平面1A CE 的距离||||EF n d n ⋅=.计算即可求出答案. (2)由(1)知平面1A CE 的法向量,在把平面11BCC B 的法向量表示出来,平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值为cos ||||m nm n θ⋅=⋅,计算即可求出答案.(1)以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴,建立如下图所示的空间直角坐标系.由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2和E ,F 分别为线段AB ,11B C 的中点知,1(2,0,2),(2,1,0),(0,2,0),(1,2,2)A E C F =.设平面1A CE 的法向量为(,,)n x y z =.11(2,2,2),(0,1,2)AC A E =--=-.则1122200(1,2,1)200x y z n AC n y z n A E ⎧-+-=⋅=⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎩. =(1,1,2)EF -.故点F 到平面1A CE 的距离122||6||141EF n d n -++⋅===++.(2)平面11BCC B 的法向量(0,1,0)m =, 平面1A CE 与平面11BCC B 夹角的余弦值26cos ||||6m n m n θ⋅===⋅19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为()2,0F -,点F 到短袖的一个端点的6.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,若2OA OB ⋅>-,求k 的取值范围.【答案】(1)22162x y += (2)12k >或12k <-【分析】(1)根据焦点坐标可得2c =,根据点F,然后根据222a b c =+即可;(2)先设联立直线l 与椭圆的方程,然后根据韦达定理得到A ,B 两点的坐标关系,然后根据2OA OB ⋅>-建立关于直线l 的斜率k 的不等式,解出不等式即可. (1)根据题意,已知椭圆C 的左焦点为()2,0F -,则有:2c = 点Fa =则有:b =故椭圆C 的方程为:22162x y += (2)设过点F 作斜率为k 的直线l 的方程为:()2y k x =+ 联立直线l 与椭圆C 的方程可得: ()222162y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 则有:()222231121260k x k x k +++-=,直线l 过点F ,所以0∆>恒成立,不妨设A ,B 两点的坐标分别为:()()1122,,,A x y B x y ,则有:21221231k x x k +=-+ 212212631k x x k -=+ 又1212OA OB x x y y ⋅=+且()()2121222y y k x x =++则有:()()()()222212121212121222142OA OB x x y y x x k x x k x x k k x x ⋅=+=+++=++++将21221231k x x k +=-+,212212631k x x k -=+代入后可得:2210631k OA OB k -⋅=+ 若2OA OB ⋅>-,则有:22164031k k ->+ 解得:12k >或12k <- 20.如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥,四边形ACFE 为矩形,且CF ⊥平面ABCD ,112AD CD BC CF AB =====.(1)求证:EF BC ⊥;(2)点M 在线段BF (不含端点)上运动,设直线BE 与平面MAC 所成角为θ,求sin θ的取值范围.【答案】(1)证明见解析 (2)510⎝⎦【分析】(1)过C 作CH AB ⊥,垂足为H ,利用正余弦定理可证AC BC ⊥,再利用线线垂足证明线面垂直,进而可得证;(2)以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,利用坐标法求线面夹角的正弦值. (1)证明:由已知可得四边形ABCD 是等腰梯形, 过C 作CH AB ⊥,垂足为H ,则21122BH -==, 在Rt BCH 中,221314CH BC BH =-=-=, 则332sin 1CBH ∠==60CBH ∠=°, 在ABC 中,由余弦定理可得,22212cos 4122132AC AB BC AB BC CBH =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=,则222AC BC AB +=,AC BC ∴⊥, 又CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,CF AC ∴⊥,BC CF C ⋂=,BC ,CF ⊂平面BCF ,AC ∴⊥平面BCF , 又ACFE 为矩形,//AC EF ∴,则EF ⊥平面BCF , 而BC ⊂平面BCF ,EF BC ∴⊥;(2)CF ⊥平面ABCD ,且AC BC ⊥,以C 为坐标原点,分别以CA ,CB ,CF 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则)A,()0,1,0B ,()0,0,1F,)E,M BF ∈,∴设()0,1,M a a -,则()0,1,CM a a =-,又()3,0,0CA =,设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =, 由()1030n CM a y az n CA x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩, 取y a =,得()0,,1n a a =-, 又()3,1,1BE =-,sin cos ,5BE n a BE n BE na θ⋅-∴=====⋅,()0,1a ∈,21112,1222a ⎛⎫⎡⎫∴-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,则sin θ∈⎝⎦.21.已知等差数列{}n A 的首项为2,公差为8.在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若1k a ,2k a ,⋅⋅⋅,nk a ,⋅⋅⋅是从{}n a 中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列,11k =,23k =,令n n b nk =,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)2,()n a n n N +=∈; (2)11()3424n n n S =+-⋅ 【分析】(1)由题意在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ,可知{}n a 的公差824d ==,进而可求出其通项公式; (2)根据题意可得1=23n n k a -⨯,进而得到1=3n n k -,再代入n b 中得1=3n n b n -⋅,利用错位相减即可求出前n 项和n S . (1)由于等差数列{}n A 的公差为8,在{}n A 中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列{}n a ,则{}n a 的公差824d ==,{}n a 的首项和{}n A 首项相同为2,则数列{}n a 的通项公式为22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈. (2)由于1k a ,2k a 是等比数列的前两项,且11k =,23k =,则132,6a a ==,则等比数列的公比为3, 则1=23n n k a -⨯,即112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒,1=3n n n b nk n -=⋅.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯①.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.①减去②得11213(13)1121333313()31322n n nn n n S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅-.11()3424n n n S ∴=+-⋅. 22.已知圆()22:24F x y -+=,点()2,0E -,点G 是圆F 上任意一点,线段EG 的垂直平分线交直线FG 于点T ,点T 的轨迹记为曲线C . (1)求曲线C 的方程;(2)已知曲线C 上一点()()002,0M y y >,动圆()()222:20N x y r r -+=>,且点M 在圆N外,过点M 作圆N 的两条切线分别交曲线C 于点A ,B . (i )求证:直线AB 的斜率为定值;(ii )若直线AB 与2x =交于点Q ,且2BQM AQM S S =△△时,求直线AB 的方程. 【答案】(1)2213y x -=(2)(i )答案见解析(ii )4623310x y ++=或2211130x y +-=【分析】(1)通过几何关系可知2ET TF -=,且42EF =>,由此可知点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点,且实轴长为2的双曲线,通过双曲线的定义即可求解;(2)(i )设点()11,A x y ,()22,B x y ,直线AB 的方程为y kx m =+,将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及0MA MB k k +=求出()()2230k k m ++-=,即得到直线AB 的斜率为定值;(ii )由(i )可知124x x m +=,由已知可得122122AQM BQMS x S x -==-△△,联立方程即可求出1x ,2x 的值,代入2123x x m =+即可求出m 的值,即可得到直线方程.(1)由题意可知2ET TF TG TF FG -=-==, ∵4EF ==,且2EF >,∴根据双曲线的定义可知,点T 的轨迹是以点E 、F 为焦点,且实轴长为2的双曲线, 即1a =,2c =,2223b c a =-=, 则点T 的轨迹方程为2213y x -=; (2)(i )设点()11,A x y ,()22,B x y ,直线AB 的方程为y kx m =+, 联立2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩得()2223230k x kmx m ----=, 其中230k -≠,且()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>,12223km x x k +=-,212233m x x k+=--, ∵曲线C 上一点()()002,0M y y >,∴()2,3M ,由已知条件得直线MA 和直线MB 关于2x =对称,则0MA MB k k +=, 即121222033x x y y --+=--,整理得()()()()121223320x y y x --+--=, ()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=, ()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--,()()221230k m k m +++-=,即()()2230k k m ++-=, 则2k =-或32m k =-,当32m k =-,直线方程为()3223y kx k k x =+-=-+,此直线过定点()2,3,应舍去, 故直线AB 的斜率为定值2-.(ii )由(i )可知124x x m +=,2123x x m =+由已知得12AQM BQMS S =△△,即122122AQM BQM S x S x -==-△△, 当122122x x -=-时,2122x x =-, 1211224x x x x m +=+-=,即1423m x +=,2823m x -=, 2124282333m m x x m +-=⋅=+,解得1m =或3123m =-, 但是当1m =时,0∆=,故应舍去,当3123m =-时,直线方程为4623310x y ++=, 当122122x x -=--时,2162x x =-,即164x m =-,286x m =-, ()()21264863x x m m m =--=+,解得1m =(舍去)或1311m =, 当1311m =时,直线方程为2211130x y +-=,故直线AB 的方程为4623310x y ++=或2211130x y +-=.。
2021-2022学年山东省济南市高二(上)期末数学试卷一、单选题(本大题共9小题,共45分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1.已知空间向量,,且,则m 的值为( )A. B.C. 10D.2.抛物线的准线方程为( )A. B.C.D.3.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.4.直线的倾斜角为( )A.B.C.D. 5.已知等比数列的各项均为正数,公比,且满足,则( )A. 8B. 4C. 2D. 16.如图,在四面体OABC 中,,,,,P 为线段OA 的中点,则等于( )A. B.C. D.7.若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1,则半径r 的取值范围是( )A. B. C. D.8.设双曲线的左、右焦点分别为,,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.9.如图甲是第七届国际数学家大会简称的会徽图案,其主体图案是由图乙的连串直角三角形演化而成的.已知…,,,,…为直角顶点,设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为,令,为数列的前n项和,则( )A. 8B. 9C. 10D. 11二、多选题(本大题共4小题,共20分。
在每小题有多项符合题目要求)10.已知椭圆与椭圆,则下列说法错误的是( )A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等11.已知数列的前n项和为,则下列说法正确的是( )A.若,则B. 若,则是等差数列C. 若数列为等差数列,,,则D.若数列为等差数列,,,则时,最大12.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个定点A,B距离之比是常数的点M的轨迹是圆.若两定点,,动点M满足,则下列说法正确的是( )A. 点M的轨迹围成区域的面积为B. 面积的最大值为C. 点M到直线距离的最大值为D. 若圆上存在满足条件的点M,则半径r的取值范围为13.在棱长为1的正方体中,E为侧面的中心,F是棱的中点,若点P 为线段上的动点,则下列说法正确的是( )A. PE的长最小值为B. 的最小值为C. 若,则平面PAC截正方体所得截面的面积为D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合,则的值可以是三、填空题(本大题共4小题,共20分)14.已知直线:,:,若,则实数m的值为__________.15.已知等差数列的公差为1,且是和的等比中项,则前10项的和为__________.16.如图,把正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角,则折纸后异面直线AB,CD所成的角为__________.17.抛物线的聚焦特性:从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后,光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面,根据光路的可逆性,平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线,一条平行于抛物线对称轴的光线从点向左发出,先经抛物线反射,再经直线反射后,恰好经过点A,则该抛物线的标准方程为__________.四、解答题(本大题共6小题,共70分。
山东省济南市高二上学期期末数学试卷(理科)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共12题;共24分)1. (2分) (2017高二下·山西期末) 对两个变量x , y进行回归分析,得到一组样本数据:(x1 , y1),(x2 , y2),…(xn , yn),则下列说法中不正确的是()A . 由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心B . 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C . 用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好D . 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1.2. (2分) (2017高二上·绍兴期末) 在空间中,下列命题正确的是()A . 经过三个点有且只有一个平面B . 经过一个点和一条直线有且只有一个平面C . 经过一条直线和直线外一点的平面有且只有一个D . 经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个3. (2分)(2017·湖北模拟) 已知随机变量η满足E(1﹣η)=5,D(1﹣η)=5,则下列说法正确的是()A . E(η)=﹣5,D(η)=5B . E(η)=﹣4,D(η)=﹣4C . E(η)=﹣5,D(η)=﹣5D . E(η)=﹣4,D(η)=54. (2分)某电视台连续播放6个广告,其中4个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且2个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有()A . 720种B . 48种C . 96种D . 192种5. (2分)已知△ABC三顶点坐标A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB中点,N为AC中点,则直线MN的方程为()A . 2x+y-8=0B . 2x-y+8=0C . 2x+y-12=0D . 2x-y-12=06. (2分)在空间直角坐标系中,若A(2,﹣2,1),B(4,2,3),C(x,y,2)三点共线,则 =()A .B . 2C .D . 27. (2分)(2018·凯里模拟) 直线和圆的位置是()A . 相交且过圆心B . 相交但不过圆心C . 相离D . 相切8. (2分) (2017高二下·寿光期中) 若(1+2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6 ,则a0+a1+a3+a5=()A . 364B . 365C . 728D . 7309. (2分) (2019高二上·长治期中) 已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法中正确的是()A . 若,则B . 若C . 若,,则D . 若,,10. (2分) (2016高二下·鹤壁期末) 如图所示,现有一迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次,只能进入3处,若在3处,则跳动一次可以等机会进入1,2,4,5处),则它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是()A .B .C .D .11. (2分)若随机变量X服从两点分布,且成功的概率p=0.5,则E(X)和D(X)分别为()A . 0.5和0.25B . 0.5和0.75C . 1和0.25D . 1和0.7512. (2分) (2018高二下·通许期末) 现有男、女学生共人,从男生中选人,从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有种不同方案,那么男、女生人数分别是()A . 男生人,女生人B . 男生人,女生人C . 男生人,女生人D . 男生人,女生人二、填空题: (共4题;共4分)13. (1分)设随机变量X满足正态分布X~N(﹣1,σ2),若P(﹣3≤x≤﹣1)=0.4,则P(﹣3≤x≤1)=________ .14. (1分)甲、乙两门高射炮同时向一敌机开炮,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.8,敌机被击中的概率为________.15. (1分)(2017·日照模拟) 已知下列命题:①∀x∈(0,2),3x>x3的否定是:∃x∈(0,2),3x≤x3;②若f(x)=2x﹣2﹣x ,则∀x∈R,f(﹣x)=﹣f(x);③若f(x)=x+ ,∃x0∈(0,+∞),f(x0)=1;④在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B.其中真命题是________.(将所有真命题序号都填上)16. (1分) (2016高一下·大丰期中) 已知两点A(﹣2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2﹣2x=0上的任意一点,则△ABC的面积最小值是________.三、解答题: (共6题;共55分)17. (15分) (2016高一下·承德期中) 某公司的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据x24568y3040605070回归方程为 =bx+a,其中b= ,a= ﹣b .(1)画出散点图,并判断广告费与销售额是否具有相关关系;(2)根据表中提供的数据,求出y与x的回归方程 =bx+a;(3)预测销售额为115万元时,大约需要多少万元广告费.18. (5分)(2016·静宁模拟) 已知p:|1﹣|≤2,q:(x﹣1+m)(x﹣1﹣m)<0(m>0)且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.19. (5分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是边长为3的菱形,∠DAB=60°,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD所成角为60°.(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;(Ⅱ)求二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值.20. (10分)抛掷一枚质地均匀的骰子,用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次,求E(X)和D(X);(2)若抛掷10次,求E(X)和D(X).21. (10分) (2016高二下·邯郸期中) 已知展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.22. (10分) (2016高三上·兰州期中) 随着苹果6手机的上市,很多消费者觉得价格偏高,尤其是一部分大学生可望而不可及,因此“国美在线”推出无抵押分期付款购买方式,某分期店对最近100位采用分期付款的购买者进行统计,统计结果如下表所示:付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数3525a10b已知分3期付款的频率为0.15,并且店销售一部苹果6,顾客分1期付款,其利润为1千元;分2期或3期付款,其利润为1.5千元;分4期或5期付款,其利润为2千元,以频率作为概率.(1)求事件A:“购买的3位顾客中,至多有1位分4期付款”的概率;(2)用X表示销售一该手机的利润,求X的分布列及数学期望E(x)参考答案一、选择题: (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题: (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题: (共6题;共55分) 17-1、17-2、17-3、18-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2022-2023学年山东省济南市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已知空间向量,且,则的值为( )()()1,,2,2,1,4a m m b =--=-a b ⊥m A .B .C .6D .103-6-103【答案】B【分析】根据向量垂直得,即可求出的值.2(1)80m m --+-=m 【详解】因为空间向量,且()()1,,2,2,1,4a m m b =--=-a b⊥ .2(1)806m m m ∴--+-=⇒=-故选:B.2.已知等比数列各项均为正数,公比,且满足,则( ){}n a 2q =2616a a =3a =A .8B .4C .2D .1【答案】C【分析】根据等比数列的性质可得,根据各项均为正数,得到,则,进而2416a =44a =432a a q ==求解.【详解】因为,由等比数列的性质可得:,2616a a =242616a a a ==又因为数列各项均为正数,所以,因为公比,则,{}n a 44a =2q =432a a q ==故选:.C3的倾斜角是10+=A .B .C .D .56π6π3π23π【答案】A【详解】试题分析:直线的斜率k ==56π【解析】直线的斜率与倾斜角的关系4.抛物线的准线方程为( )24y x =A .B .1y =-=1x -C .D .116x =-116y =-【答案】D【分析】将抛物线转化成标准式,由定义求出准线.【详解】由得,故抛物线的准线方程为.24y x =214x y =24y x =116y =-故选:D5.如图,在四面体中,,,,,为线段的中点,则OABC OA a = OB b = OC c = 2CQ QB =P OA 等于( )PQA .B .C .D .112233a b c ++ 112233a b c --112233a b c-++121233a b c-++【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】由已知2132PQ OC CQ OP c CB OA =+-=+- 2121()()3232c OB OC a c b c a=+--=+--,121233a b c=-++ 故选:D .6.若圆上恰有两个点到直线的距离为1,则半径的取值范围是222(3)(5)x y r -++=4320x y --=r ( )A .B .C .D .()6,+∞[)6,+∞()4,6[]4,6【答案】C【分析】作图,根据几何意义分析求解.【详解】如图,与直线 平行的距离为1的直线有2条: ,1l23,l l 圆C :的圆心是,依题意及图:圆 与 必有2个交点,与 相离,()()22235x y r -++=()3,5-C 3l 2l圆心C 到 的距离 , ;1l 5d 46r ∴<<故选:C.7.已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,且22221(0,0)x y a b a b -=>>12,F F P ,则双曲线离心率的取值范围是( )125PF PF =A .B .C .D .31,2⎛⎤⎥⎝⎦3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(]1,2[)2,+∞【答案】A【分析】由条件结合双曲线的定义求,根据,即可求出结果.12,PF PF 1212+≥PF PF F F 【详解】因为点在双曲线的右支上,由双曲线的定义可得,P 122PF PF a-=又,所以,即,则,125PF PF =242PF a=22aPF =152a PF =因为双曲线中,,1212+≥PF PF F F 即,则,即,32a c ≥32c a ≤32e ≤又双曲线的离心率大于,所以.1312e <≤故选:A.8.如图甲是第七届国际数学家大会(简称ICME -7)的会徽图案,会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点,设这些直角三1122334455667781232,,,OA A A A A A A A A A A A A A A A A A =========角形的周长从小到大组成的数列为,令为数列的前项和,则( ){}n a 2,2n nn b S a =-{}n b n 120S=A .8B .9C .10D .11【答案】C【分析】由题意可得的边长,进而可得周长及,进而可得,可得解.n OA n a n b n S 【详解】由,1122334455667782OA A A A A A A A A A A A A A A ========⋅⋅⋅=可得,,2OA =3OA =⋅⋅⋅n OA =所以,112n n n n n a OA OA A A ++=++=所以,22n n b a===-所以前项和,n 1211n n S b b b =+++== 所以,120110S ==故选:C.二、多选题9.已知椭圆,则的值可能为( )221mx y +=m A B .C .5D .2515【答案】BC【分析】先将椭圆方程化为标准方程,然后分和两种情况结合离心率的定义列方程1m >01m <<求解即可.【详解】可化为.221mx y +=2211x y m +=当时,,椭圆;1m >101m <<221mx y +==5m =当时,,椭圆.01m <<11m >221mx y +==15m =故选:BC.10.已知数列的前项和为,则下列说法正确的是( ){}n a n n S A .若,则211n S n n =-212n a n =-B .若,则当时,是等比数列(),0n n S p q r p q =⋅+≠r p =-{}n a C .若数列为等差数列,,,则{}n a 10a >69S S =78S S >D .若数列为等差数列,,,则时,最大{}n a 150S >160S <8n =n S 【答案】AD【分析】利用题设条件及等差等比数列性质以及前项和公式,一一验证即可.n 【详解】对于选项A :, ,211n S n n =- ()()()221111113122n S n n n n n -∴=---=-+≥,又,()12122n n n S S a n n -∴-==-≥1111110S a ==-=- 则时也符合,故若,则,故选项A 正确;1n =212n a n =-211n S n n =-212n a n =-对于选项B :当时,,此时,,1r p q =-=01nn S p p ⋅-==0n a =数列不是等比数列,故选项B 错误;{}n a 对于选项C :数列为等差数列,,,{}n a 10a >69S S =,,,,11615936a d a d ∴+=+170a d ∴=->8170a a d ∴=+=78S S ∴=故选项C 错误;对于选项D :数列为等差数列,,,{}n a 150S >160S <,即,()151158151502S a a a ∴=+=>80a >,即,()()1611689880S a a a a =+=+<890a a +<,时,最大,故选项D 正确;90a ∴<8n ∴=n S 综上所述:选项AD 正确,故选:AD.11.数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义:平面内,到两个定点距离之比是常数,A B的点的轨迹是圆.若两定点,动点(0,1)λλλ>≠M ()()2,0,2,0A B -M 说法正确的是( )A .点的轨迹围成区域的面积为M 32πB .面积的最大值为ABMC .点到直线距离的最大值为M 40x y -+=D .若圆上存在满足条件的点,则半径的取值范围为222:(1)(1)C x y r +++=M r 【答案】ACD【分析】设点的轨迹为以点为圆心,(),M x y M ()6,0N圆,可判断A ;得可判断B ;求出点到直线y ⎡∈-⎣(12ABM S AB y =⋅∈ ()6,0N 的距离可判断直线与圆相离,求出点到直线距离的最大值可判断C ;由40x y -+=M 40x y -+=D 选项可知圆与圆可判断D.C N r CN r-≤≤【详解】由题意,设点(),M x y=化简可得,()22632x y -+=所以点的轨迹为以点为圆心,M ()6,0N 所以点的轨迹围成的区域面积为,A 选项正确;M 32π又点满足,(),M x y y ⎡∈-⎣所以,面积的最大值为B 选项错误;(12ABM S AB y =⋅∈ ABM点到直线的距离,()6,0N 40x y -+=d >所以直线与圆相离,所以点到直线距离的最大值为C 选项正确;M 40x y -+==由D 选项可知圆与圆,C N r CN r-≤≤且==CN,r r-≤≤D 选项正确;r ≤≤故选:ACD.12.在棱长为1的正方体中,为侧面的中心,是棱的中点,若点1111ABCD A B C D -E 11BCC B F 11C D 为线段上的动点,则下列说法正确的是( )P 1BDA .的长最小值为PE 12B .的最小值为PE PF ⋅ 148-C .若,则平面截正方体所得截面的面积为12BP PD =PAC 98D .若正方体绕旋转角度后与其自身重合,则的值可以是1BD θθ23π【答案】BCD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系,设,,得1(,,)BP BD λλλλ==--(01)λ≤≤,然后用空间向量法求得,判断A ,求得数量积计算最小值判断B ,由(1,1,)P λλλ--PE PE PF ⋅线面平行得线线平行,确定截面的形状、位置,从而可计算出截面面积,判断C ,结合正方体的对称性,利用是正方体的外接球直径判断D .1BD 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,正方体棱长为1,则,,,11(,1,22E (1,1,0)B 1(0,0,1)D ,1(0,,1)2F ,设,,所以,1(1,1,1)BD =--1(,,)BP BD λλλλ==--(01)λ≤≤(1,1,)P λλλ--,11(,,)22PE λλλ=--时,A 错;=13λ=min PE = ,1(1,,1)2PF λλλ=---,111()(1)()()(1)222PE PF λλλλλλ⋅=--+-+-- 2713()1248λ=--所以时,,B 正确;712λ=min 1()48PE PF ⋅=-,则是上靠近的三等分点,,12BP PD =P 1BD 1D 112(,,333P 取上靠近的三等分点,则,AC C G 12(,,0)33G ,显然与平面的法向量垂直,因此平面,12(0,,33PG =- PG 11CDD C (1,0,0)//PG 11CDD C 所以截面与平面的交线与平行,作交于点,PAC 11CDD C PG //CM PG 11C D M 设,则,由得,解得,(0,,1)M k (0,1,1)CM k =- //CM PG 21(1)33k --=12k=则与重合,因此取中点,易得,截面为,它是等腰梯形,M F11A D N //NF AC ACFN ,梯形的高为AC =NF=AN CF ==h ==截面面积为,C 正确;1928S ==,,,,,(1,0,0)A (0,1,0)C 1(1,1,1)B (1,1,0)AC =-1(1,1,1)BD =-- ,,同理,11100AC BD ⋅=-+=1AC BD ⊥ 11AB BD ⊥ 所以是平面的一个法向量,即平面,设垂足为,则1BD 1ACB 1BD ⊥1ACB 1O ,是正方体的外接球的直径,因此正方体绕旋转角度后111123AO C CO B B OA π∠=∠=∠=1BD 1BD θ与其自身重合,至少旋转.D 正确.23π故选:BCD .三、填空题13.已知直线:,,当时,的值为__________.1l60x my ++=2:l ()1220m x y m -++=12l l ∥m 【答案】或1-2【分析】由一般式方程下两直线平行公式进行运算并检验即可.【详解】∵:,,1l60x my ++=2:l ()1220m x y m -++=∴当时,有,解得或,12l l ∥()1210m m ⨯--⨯=1m =-2m =当时,:,,∴满足题意;1m =-1l60x y -+=2:l 10x y -+=12l l ∥当时,:,,∴满足题意.2m =1l260x y ++=2:l 240x y ++=12l l ∥∴当时,的值为或.12l l ∥m 1-2故答案为:或.1-214.已知等差数列的公差为,且是和的等比中项,则前项的和为__________.{}n a 13a 2a 6a {}n a 20【答案】180【分析】利用等差数列的基本量,结合已知条件,即可求得等差数列的首项和公差,再求其前项的和即可.20【详解】由等差数列的公差为,{}n a 1且是和的等比中项,故可得3a 2a 6a ,解得.()()()2111152a a a ++=+112a =-故数列的前项的和{}n a 20.201201920118022S ⨯⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故答案为:.18015.如图,把正方形纸片沿对角线折成直二面角,则折纸后异面直线,所成的角ABCD AC AB CD 为___________.【答案】##60°3π【分析】过点E 作CE ∥AB ,且使得CE =AB ,则四边形ABEC 是平行四边形,进而(或其补DEC ∠角)是所求角,算出答案即可.【详解】过点E 作CE ∥AB ,且使得CE =AB ,则四边形ABEC 是平行四边形,设所求角为,于是.02πθθ⎛⎫<≤⎪⎝⎭cos |cos |DCE θ=∠设原正方形ABCD 边长为2,取AC 的中点O ,连接DO ,BO ,则BO DO ==,而平面平面,且交于AC ,所以平面ABEC ,则.,BO AC DO AC ⊥⊥ACD ⊥ABC DO ⊥DO OE ⊥易得,,而则BE AC ==//BE AC ,BO AC ⊥.BO BE ⊥于是,.OE ==DE ==在中,,取DE 的中点F ,则,所以DCE △2DC CE ==CF DE ⊥cos FE DEC CE ∠==,2,63DEC DCE ππ∠=∠=于是.3πθ=故答案为:.3π16.已知F 为抛物线C :的焦点,过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ,抛物24y x =线在点A ,B 处的切线分别为和,若和交于点P ,则的最小值为______.1l 2l 1l 2l 2164PFAB+【答案】4【分析】设直线:,利用韦达定理求得,设,利用判别式l 1x my =+AB()()111:0l y y k x x k -=-≠求得直线的方程,进而得到的坐标,从而可得,再利用基本不等P 2221644164444PFm AB m ++=++式即得.【详解】由题可知,设直线:,(1,0)F l 1x my =+直线:与联立消,得,l 1x my =+24y x =x 2440y my --=设,,则,,()11,A x y ()22,B x y 124y y m +=124y y =-∴,()212122444AB x x m y y m =++=++=+设,()()111:0l y y k x x k -=-≠由,可得,()1124y y k x x y x ⎧-=-⎨=⎩2114440y y y x k k -+-=∴,又,21144440y x k k ⎛⎫⎛⎫∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2114y x =∴,12k y =∴,即,()11112:l y y x x y -=-1122y y x x =+同理可得,2:l 2222=+y y x x 所以可得,即,()1212111,242P P x y y y y y m ==-=+=()1,2P m -,∴,当且仅当,即取等号.2222216441641444441PF m m AB m m ++=+=++≥++22411m m +=+1m =±故答案为:4.四、解答题17.已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点.C 10x y --=23100x y +-=()2,2P (1)求圆的方程;C (2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4,求直线的方程.()3,2Q --l C AB l 【答案】(1)()22113x y ++=(2)或3x =-43180x y ++=【分析】(1)根据圆的圆心在直线上,设圆心为,再根据圆与直线C 10x y --=(),1a a -相切于点求解;23100x y +-=()2,2P (2)分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况,利用弦长公式求解.【详解】(1)解:因为圆的圆心在直线上,C 10x y --=所以设圆心为,(),1a a -又因为圆与直线相切于点,23100x y +-=()2,2P 所以d 解得,0a =所以圆心为,半径为,()0,1-r =所以圆的方程;C ()22113x y ++=(2)当直线的斜率不存在时:直线方程为,3x =-圆心到直线的距离为,3d =所以弦长为,成立;4AB ==当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,2(3)y k x +=+320kx y k -+-=圆心到直线的距离为d所以弦长为,4AB ===解得,43k =-所以直线方程为:,43180x y ++=所以直线的方程为 或.l 3x =-43180x y ++=18.在数列中,,当时,其前n 项和满足.{}n a 11a =2n ≥n S 212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求证:是等差数列;1n S⎧⎫⎨⎬⎩⎭(2)设,求的前n 项和.21nn S b n =+{}n b n T 【答案】(1)证明见解析;(2)21n n +【分析】(1)利用可将已知等式整理为,结合可证得结论;1n n n a S S -=-1112n n S S --=11111S a ==(2)由(1)得到,进而求得,再采用裂项相消法求得结果.n S n b 【详解】(1)证明:∵当时,,2n ≥1nn n a S S -=-212n n n S a S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即:()22111111222n n n n n n n n n S S S S S S S S S ---⎛⎫∴=--=--+ ⎪⎝⎭112n nn n S S S S ---=,又111112112n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S ------∴-===11111S a ==数列是以为首项,为公差的等差数列∴1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12(2)解:由(1)知:()112121n n n S =+-=-121n S n ∴=-∴()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==⨯-⎪-+-+⎝⎭11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭19.已知椭圆的中心是坐标原点,它的短轴长,焦点,点,且C O (),0F c 10,0A c c⎛⎫- ⎪⎝⎭2.OF FA = (1)求椭圆的标准方程;C (2)是否存在过点的直线与椭圆相交于两点,且以线段为直径的圆过坐标原点,若A C ,P Q PQ O 存在,求出直线的方程;不存在,说明理由.PQ 【答案】(1);(2)答案见解析.22162x y +=【详解】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去2OF FA =2c =b =a 椭圆的标准方程.(2) 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,PQ ()3y k x =-利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.k 【试题解析】(1)由题意知,()10,0,,0b F c A c c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()10,0,2,0OF c FA c c ⎛⎫==- ⎪⎝⎭由,得,解得:2OF FA = 204c c c =- 2.c =椭圆的方程为2226,a b c ∴=+=∴22162x y+==(2),设直线的方程为()3,0A PQ ()3y k x =-联立,得()223162y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩()222213182760k x k x k +-+-=设,则()()1122,,,P x y Q x y 2212122218276,1313k k x x x x k k -+==++()22222121212222276543399131313k k k y y k x x x x k k k k ⎡⎤-⎡⎤=-++=-+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦由已知得,得,即OP OQ ⊥12120x x y y +=22222227633060131313k k k k k k--+==+++解得:k=符合直线的方程为.0,∆>∴PQ )3y x =-20.如图所示,在梯形中,,,四边形为矩形,且平面ABCD //AB CD 120BCD ∠=︒ACFE CF ⊥,.ABCD 112AD CD BC CF AB =====(1)求证:;EF BC ⊥(2)点在线段(不含端点)上运动,设直线与平面所成角为,当M BF BE MAC θsin θ=定此时点的位置.M 【答案】(1)证明见解析;(2)点为线段的中点.M BF 【分析】(1)由,求得,在中,用余弦定理求得,再//AB CD 120BCD ∠=︒60ABC ∠=︒ABC AC 使用勾股定理证得,即可证出;AC BC ⊥EF BC ⊥(2)建立空间直角坐标系,设,根据直线与平面BM BF λ=BE MAC 出实数的值即可.λ【详解】(1)在梯形中,∵,,∴,ABCD //AB CD 120BCD ∠=︒60ABC ∠=︒在中,∵,,ABC 2AB =1BC =∴由余弦定理,2222212cos 2122132AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴,∴,222AB AC BC =+AC BC ⊥∵四边形为矩形,∴,ACFE //AC FE ∴.EF BC ⊥(2)由第(1)问,,又∵平面,AC BC ⊥CF ⊥ABCD ∴以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,C CA CB CF x y z 则由已知,,,,,()0,0,0C )A()0,1,0B )E ()0,0,1F ∵点在线段(不含端点)上运动,M BF ∴设,,()()0,1,10,,BM BF λλλλ==-=-()0,1λ∈∴,()()()0,1,00,,0,1,CM CB BM λλλλ=+=+-=-又∵,)CA =∴设平面的一个法向量,则MAC (),,n x y z =,令,则,,00n CM n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ⇒()100y z λλ⎧-+=⎪=y λ=0x =1z λ=-∴,()0,,1n λλ=-又∵,直线与平面所成角为,当)1,1BE =- BE MAC θsin θ=∴,sin cos ,n BE n BE n BE θ⋅====解得,12λ=∴,即点为线段的中点.12BM BF= M BF 21.已知等差数列的首项为2,公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数{}n A {}n A 列的项一起构成一个新的等差数列.{}n a (1)求数列的通项公式;{}n a(2)若,,,,是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列,1k a 2k a ⋅⋅⋅nk a ⋅⋅⋅{}n a ,,令,求数列的前项和.11k =23k =n n b nk ={}n b n n S 【答案】(1);2,()n a n n N +=∈(2)11()3424n n n S =+-⋅【分析】(1)由题意在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数列的项一起构成一个新的{}n A 等差数列,可知的公差,进而可求出其通项公式;{}n a {}n a 824d ==(2)根据题意可得,进而得到,再代入中得,利用错位相减即可求1=23n n k a -⨯1=3n n k -n b 1=3n n b n -⋅出前项和.n n S 【详解】(1)由于等差数列的公差为8,在中每相邻两项之间插入三个数,使它们与原数{}n A {}n A 列的项一起构成一个新的等差数列,则的公差,的首项和 首项相同为{}n a {}n a 824d =={}n a {}n A 2,则数列的通项公式为.{}n a 22(1)2,()n a n n n N +=+-=∈(2)由于,是等比数列的前两项,且,,则,则等比数列的公比为1k a 2k a 11k =23k =132,6a a ==3, 则,即,.1=23n n k a -⨯112=23=3n n n n k k --⨯⨯⇒1=3n n n b nk n -=⋅①.01221132333(1)33n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ②.12313132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①减去②得.11213(13)1121333313()31322n n nn nn S n n n --⨯--=++++-⋅=+-⋅=-+-⋅- .11()3424nn n S ∴=+-⋅22.已知圆,点,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线交直()22:24F x y -+=()2,0E -G F EG 线于点,点的轨迹记为曲线.FG T T C (1)求曲线的方程;C (2)已知曲线上一点,动圆,且点在圆外,过点C ()()002,0M y y >()()222:20N x y r r -+=>M N 作圆的两条切线分别交曲线于点,.M N C A B (i )求证:直线的斜率为定值;AB(ii )若直线与交于点,且时,求直线的方程.AB 2x =Q 2BQM AQMS S=△△AB 【答案】(1)2213y x -=(2)(i )答案见解析(ii )或4623310x y ++=2211130x y +-=【分析】(1)通过几何关系可知,且,由此可知点的轨迹是以点、2ET TF -=42EF =>T E 为焦点,且实轴长为的双曲线,通过双曲线的定义即可求解;F 2(2)(i )设点,,直线的方程为,将直线方程与双曲线方程联立利()11,A x y ()22,B x y AB y kx m =+用韦达定理及求出,即得到直线的斜率为定值;0MA MB k k +=()()2230k k m ++-=AB (ii )由(i )可知,由已知可得,联立方程即可求出,的值,124x x m +=122122AQMBQM S x Sx -==-△△1x 2x 代入即可求出的值,即可得到直线方程.2123x x m =+m 【详解】(1)由题意可知,2ET TF TG TFFG -=-==,且,4=2EF >∴根据双曲线的定义可知,点的轨迹是以点、为焦点,且实轴长为的双曲线,T E F 2即,,,1a =2c =2223b c a =-=则点的轨迹方程为;T 2213y x -=(2)(i )设点,,直线的方程为,()11,A x y ()22,B x y AB y kx m =+联立得,2213y x y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩()2223230k x kmx m ----=其中,且,230k -≠()()22224433k m k m ∆=+-+()221230m k =-+>,,12223kmx x k +=-212233m x x k +=--∵曲线上一点,∴,C ()()002,0M y y >()2,3M 由已知条件得直线和直线关于对称,则,MA MB 2x =0MA MB k k +=即,整理得,12122233x x y y --+=--()()()()121223320x y y x --+--=()()()()121223320x kx m kx m x -+-++--=,()()()1212223430kx x m k x x m +--+--=,()()()2222322343033k m km m k m k k +---+--=--,即,()()221230k m k m +++-=()()2230k k m ++-=则或,2k =-32m k =-当,直线方程为,此直线过定点,应舍去,32m k =-()3223y kx k k x =+-=-+()2,3故直线的斜率为定值.AB 2-(ii )由(i )可知,124x x m +=2123x x m =+由已知得,即,12AQMBQMS S =△△122122AQMBQMS x S x -==-△△当时,,122122x x -=-2122x x =-,即,,1211224x x x x m +=+-=1423m x +=2823m x -=,解得或,2124282333m m x x m +-=⋅=+1m =3123m =-但是当时,,故应舍去,当时,直线方程为,1m =Δ0=3123m =-4623310x y ++=当时,,即,,122122x x -=--2162x x =-164x m =-286x m =-,解得(舍去)或,()()21264863x x m m m =--=+1m =1311m =当时,直线方程为,1311m =2211130x y +-=故直线的方程为或.AB 4623310x y ++=2211130x y +-=。
2023-2024学年济南市高二数学上学期期末质量检测试卷2024年1月全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线10x y -+=的倾斜角是()A.30︒B.45︒C.60︒D.120︒2.已知双曲线2212y x -=,则其渐近线方程为()A.12y x=±B.y x =C.y =D.2y x=±3.已知正项等比数列{}n a 中,2816⋅=a a ,则5a 等于()A.2B.4C.5D.84.在三棱柱111ABC A B C -中,若AC a = ,AB b = ,1AA c =,则1CB = ()A.a b c +-r r r B.a b c-+r r rC.a b c -+- D.a b c-++5.2023年10月29日,“济南泉城马拉松”在济南大明湖路拉开序幕,约3万名选手共聚一堂,在金秋十月享受了一场酣畅淋漓的马拉松盛会.某赞助商在沿途设置了10个饮水补给站,第一个补给站准备了1千瓶饮用水,第二站比第一站多2千瓶,第三站比第二站多3千瓶,以此类推,第n 站比第n 1-站多n 千瓶(2n ≥且*N n ∈),第10站准备的饮用水的数量为()A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶6.已知(2,0)A ,(8,0)B ,若直线y kx =上存在点M 使得0AM BM ⋅=,则实数k 的取值范围为()A.33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.44,33⎡⎤-⎢⎣⎦C.33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D.44,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>,其中A、2F 分别为双曲线的左顶点、右焦点,P 为双曲线上的点,满足2PF 垂直于x 轴且222AF PF =,则双曲线的离心率为()A.32B.43C.2D.38.如图所示为正八面体的展开图,该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形,在该几何体中,P 为直线DE 上的动点,则P 到直线AB 距离的最小值为()A.22B.63C.74D.105二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.一条光线从点(2,3)A -射出,射向点(1,0)B ,经x 轴反射后过点(,1)C a ,则下列结论正确的是()A.直线AB 的斜率是1-B.AB BC⊥C.3a =D.||||AB BC +=10.已知1F ,2F 分别是椭圆22:12516x y C +=的左,右焦点,P 为椭圆C 上异于长轴端点A,B 的动点,则下列结论正确的是()A.椭圆C 的焦距为6B.12PF F △的周长为16C.128PF ≤≤D.12PF F △的面积的最大值为1611.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P,Q 分别满足111D P D B λ= ,1DQ DA λ= ,则()A.()0,1λ∃∈,使1PQ A D ⊥且11PQ B D ⊥B.()0,1λ∀∈,//PQ 平面11ABB A C.()0,1λ∃∈,使PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为23D.()0,1λ∀∈,BP 与AQ 是异面直线12.已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ,{}*32,B x x n n ==-∈N .将A B ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列说法正确的是()A.23a =B.46n n a a +-=C.20233035a =D.若2024n S >,则52n ≥三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知(2,1,1)a = ,(6,,3)b λ=-- ,若a b ∥ ,则λ的值为.14.已知等差数列{}n a 首项17a =,公差2d =-,则前n 项和n S 的最大值为.15.已知圆22:4C x y +=,直线:10l mx y m +--=,直线l 被圆C 截得的最短弦长为.16.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F,过点F 作与x 轴不垂直的直线l 交C 于点A,B,过点A 做垂直于x 轴的直线交C 于点D,若点M 是ABD △的外心,则||||AB MF 的值为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a ,满足25215a a +=,47a =.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令(1)nn n b a =-,求{}n b的前2n 项和2n T .18.已知圆心为C 的圆经过()0,0O,(0,A 两点,且圆心C在直线:l y =上.(1)求圆C 的标准方程;(2)点P 在圆C 上运动,求22PO PA+的取值范围.19.已知抛物线的准线方程为2x =-,直线l 与抛物线交于,A B 两点,O 为坐标原点.(1)若OAB 为等腰直角三角形,求OAB 的面积;(2)若OA OB ⊥,证明:直线l 过定点P,并求出定点P 的坐标.20.如图(1)所示PAB 中,AP AB ⊥,12AB AP ==.,D C 分别为,PA PB 中点.将PDC △沿DC 向平面ABCD上方翻折至图(2)所示的位置,使得PA =.连接,,PA PB PC 得到四棱锥P ABCD -.记PB 的中点为N ,连接CN .(1)证明:CN ⊥平面PAB ;(2)点Q 在线段CN 上且2QC QN =,连接,AQ PQ ,求平面PAQ 与平面ABCD 的夹角的余弦值.21.设数列{}n a ,其前n 项和为n S ,2233n S n n =+,{}n b 为单调递增的等比数列,123729b b b =,1236b a b a +=-.(1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;(2)记mc 为{}n b 在区间(]()*0,m a m ∈N 中的项的个数,求数列{}m c 的前100项和100T.22.在平面直角坐标系.xOy 中,设1A ,2A 两点的坐标分别为(2,0)-,(2,0).直线1A M,2A M相交于点M,且它们的斜率之积是12-.(1)求动点M 的轨迹方程;(2)记动点M 的轨迹为曲线E,过(1,0)P 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,1l与曲线E 交于A、B 两点,2l 与曲线E 交于C、D 两点,求AC BD ⋅ 的最大值.1.B【分析】根据直线的一般方程与斜率的关系,结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】直线10x y -+=的斜率为1,故倾斜角为45︒.故选:B 2.C【分析】利用双曲线方程,求解渐近线方程即可.【详解】由于双曲线为2212y x -=,所以其渐近线方程为2y =±.故选:C.3.B【分析】根据等比中项的性质计算即可.【详解】由题意易知228516a a a ⋅==,又{}n a 各项为正数,所以54a =.故选:B4.D【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.【详解】由题可知111CB CC CB AA AB AC a b c =+=+-=-++ .故选:D5.C【分析】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ,由题意得:11a =,212a a -=,323a a -=,L,10910a a -=,然后利用累加法即可求解.【详解】设第n 站的饮用水的数量为n a (1,2,3,,10)n = ,由题意得:11a =,212a a -=,323a a -=,L ,10910a a -=,以上等式相加得:,()()()()10121321091101012310552a a a a a a a a +⨯=+-+-++-=++++== ,即1055a =.故选:C6.A【分析】由题可得点M 的轨迹方程,再由直线与圆有公共点建立不等式,求解即可.【详解】因为0AM BM ⋅=,所以AM BM ⊥,则点M 在以AB 为直径的圆上,因为AB 的中点坐标为(5,0),6AB =,所以点M 的轨迹方程为22(5)9x y -+=,由题可知,直线y kx =与圆22(5)9x y -+=3≤,解得:3344k -≤≤.故选:C7.A 【分析】设()0,P c y ,代入双曲线方程求出y ,根据222AF PF =可得答案.【详解】设()0,P c y ,则220221y c a b -=,解得20b y a =,即22b PF a =,2AF a c =+,因为222AF PF =,所以22+=b a c a ,可得()2222a ac c a +=-,2230e e --=,解得32e =.故选:A.8.B【分析】作出该几何体,确定直线DE 和直线AB 为异面直线,再根据平面ABC //平面DEF ,结合等体积法求得D 到平面ABC 的距离即可.【详解】把平面展开图还原为空间八面体,如图所示:由题意,P 到直线AB 距离的最小值即直线DF 到直线AB 的距离,又DF //AC ,AC ⊂平面ABC ,DF ⊄平面ABC ,故DF //平面ABC .又1BC BD EC ED ====,故四边形BCED 为菱形,则DE //BC .BC ⊂平面ABC ,DE ⊄平面ABC ,故DE //平面ABC .又DF DE D = ,,DF DE ⊂平面DEF ,故平面DEF //平面ABC .故直线DF 到直线AB 的距离为平面DEF 到平面ABC 的距离.则D 到平面ABC 的距离即为P 到直线AB 距离的最小值.设AF 与CD 交于O ,则易得O 为正四棱锥B ADFC -中心.则1BA BC BD AC AD =====,CD ===,故BCD △为直角三角形,故2OB =.设D 到平面ABC 的距离为h ,则由B ACDD ABC V V --=,故1133ACD ABC S BO S h ⋅=⋅ ,故12311224h ⨯⨯⨯=,解得h =.故选:B9.ABD【分析】选项A 应用斜率公式计算即可;选项B,先求得点A 关于x 轴的对称点,进而求得反射光线所在直线的斜率,应用两条直线垂直的斜率公式判断即可;选项C,求得反射光线所在直线的方程,进而求得点C 的坐标;选项D 应用两点间距离公式求解即可.【详解】由于(2,3)A -、(1,0)B ,由斜率公式得:0311(2)AB k -==---,选项A 正确;点(2,3)A -关于x 轴的对称点1A 的坐标为(2,3)--,经x 轴反射后直线BC 的斜率为:10(3)11(2)BC A B k k --===--,且1BC AB k k ⋅=-,所以AB BC ⊥,选项B 正确;直线BC 即直线1A B的方程为:01(1)y x -=⨯-,即1y x =-,将1y =代入得:2x =,所以点(2,1)C ,2a =,选项C 不正确;由两点间距离公式得:||||AB BC +=选项D 正确;故选:ABD.10.AB【分析】由椭圆方程求得a ,b ,c 的值,根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解.【详解】由椭圆22:12516x y C +=,得5a =,4b =,3c =,∴椭圆C 的焦距为26c =,故A 正确;又P 为椭圆C 上异于长轴端点A ,B 的动点,∴△12PF F 的周长为2216a c +=,故B 正确;12||8a c PF a c =-<<+=,故C 错误;当P 为椭圆C 的短轴的一个端点时,△12PF F 的面积取最大值为12122c b bc ⨯⨯==,故D 错误.故选:AB.11.BCD【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量一一计算判定选项即可.【详解】如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意可知()()()()()()11,,1,,0,,1,0,1,0,0,1,1,1,0,1,0,0P Q A D B A λλλλ,则()()()()10,,1,1,0,1,1,1,1,1,0,PQ DA BP AQ λλλλλλ=--==--=-,平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m = ,平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n = ,对于A,若1PQ A D⊥,则()()10,,11,0,110PQ DA λλλ⋅=--⋅=-=()10,1λ⇒=∉,故A 错误;对于B,易知()()0,,11,0,00PQ m λλ⋅=--⋅=恒成立,且PQ ⊄平面11ABB A ,则//PQ 平面11ABB A ,故B 正确;对于C,设PQ 与平面ABCD 所成角为π0,2αα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭,若2tan sin 3αα=⇒=,即sin cos ,PQ nPQ n PQ nα⋅====⋅,解之得35λ=或3λ=,显然()0,1λ∃∈,使得结论成立,故C 正确;对于D,因为()()1,1,1,1,0,BP AQ λλλλ=--=-,若,BP AQ 共线,则存在实数k ,使得()11101k BP k AQ k k λλλλ⎧-=-⎪=⇒-=⨯⎨⎪=⎩ ,解得()10,1λ=∉,所以()0,1λ∀∈,,BP AQ不共线,故D 正确.故选:BCD12.ABD【分析】求得,A B A B 中的一些元素,结合等差数列的定义、通项公式、求和公式,对选项逐一判断即可.【详解】由题意可得:{}*65,A B x x n n ⋂==-∈N ,可得{}1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,A B ⋃= ,则123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 对于选项A:易得23a =,故A 正确;对于选项B:易得46n n a a +-=,故B 正确;对于选项C:由46n n a a +-=,可得202335056430303034a a =+⨯=+=,故C 错误;对于选项D:易得数列{}n a 每隔四个一组求和,可构成等差数列,其首项为13,公差为24,由11312121124107020242⨯+⨯⨯⨯=<,11313131224204120242⨯+⨯⨯⨯=>,则2024n S >,此时有52n ≥,故D 正确.故选:ABD.【点睛】关键点点睛:关键是通过123456781,3,4,5,7,9,10,11,,a a a a a a a a ======== 找到46n n a a +-=,由此借助等差数列的相关知识,进而求解即可.13.3-【分析】根据向量共线即可求解.【详解】由(2,1,1)a = ,(6,,3)b λ=-- ,a b ∥ ,可得3b a =-r r ,故3λ=-,故答案为:3-14.16【分析】利用等差数列前n 项和公式和,结合二次函数的性质即可求解.【详解】等差数列{}n a 首项17a =,公差2d =-,22(1)7(2)8(4)162n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+.则前n 项和nS 的最大值为16.故答案为:16.15.【分析】先求出直线l 过定点()1,1A ,数形结合得到当AC 与故直线l 垂直时,直线l 被圆C 截得的弦长最短,求出最短弦长.【详解】:10l mx y m +--=变形为()110m x y -+-=,故直线l 过定点()1,1A ,故当AC 与故直线l 垂直时,直线l 被圆C 截得的弦长最短,其中22:4C x y +=的圆心为()0,0C ,半径为2,此时弦长为=.故答案为:16.2【分析】设直线():10l x my m =+≠,联立方程,利用韦达定理求AB以及点M 的坐标,即可得结果.【详解】由题意可知:抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F ,可知直线l 与抛物线必相交,设直线():10l x my m =+≠,()()1122,,,A x y B x y ,可得()11,A x y -,联立方程241x xy y m =+=⎧⎨⎩,消去x 得2440y my --=,则12124,4y y m y y +==-,可得()241AB m =+,1222y y m +=,且212212x x m +=+,即线段AB 的中点()221,2m m +,则线段AB 的中垂线方程为()2221y m m x m -=---,由题意可知:点M 在x 轴上,令0y =,可得223x m =+,即()223,0M m +,则()221MF m =+,所以()()2241221m AB MF m +==+.故答案为:2.【点睛】方法点睛:对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解,在使用根与系数的关系时,在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算,但要注意直线斜率是否存在.17.(1)21n a n =-(2)22n T n=【分析】(1)由题意得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩,代入等差数列通项公式即可求解;(2)由(1)(21)n n b n =--,代入求和即可.【详解】(1)由已知,得()111241537a d a d a d ⎧+++=⎪⎨+=⎪⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,故21n a n =-(2)由(1)得(1)(21)nn b n =--,所以122122(1)(41)(1)(43)41(43)2n n n n b b n n n n --=--+--=--+-=,得21234212()()()2n n n T b b b b b b n-=++++++= .18.(1)()(2214x y -+=(2)[]8,24【分析】(1)利用圆的对称性先确定圆心,再求半径即可;(2)设P 坐标,利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【详解】(1)圆经过()0,0O,(0,A 两点,得圆心在OA的中垂线y =又圆心C在直线:l y =上,联立直线方程有y y ⎧⎪⎨⎪⎩,得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩即圆心坐标为(C ,又224r CO ==,故圆C 的标准方程为()(2214x y -+=.(2)设()00,P x y ,易知[]01,3x ∈-,则((22222222000000226PO PA x y x y x y +=+++-=++(*),因为点P 在圆C 上运动,则()(220014x y -+=,故(*)式可化简为,()2222000||||22416412PO PA x x x ⎡⎤+=+--+=+⎣⎦,由[]01,3x ∈-得22PO PA+的取值范围为[]8,24.19.(1)64(2)证明见解析,(8,0)P 【分析】(1)先根据准线方程求得抛物线方程,再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得AOB 90∠=,OA OB =,从而求得,A B 坐标计算面积即可;(2)设直线l 方程及,A B 坐标,与抛物线方程联立,由垂直关系及韦达定理计算即可.【详解】(1)因为抛物线的准线为2x =-,可得抛物线的方程为:28y x =,又AOB 为等腰直角三角形,根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知:AOB 90∠=,OA OB =,且,A B 两点关于横轴对称,则直线:OA y x =.于是28y x y x =⎧⎨=⎩得()8,8A ,则()8,8B -,所以()1888642OAB S =⨯⨯+= .(2)设直线:l x my n =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立28x my n y x =+⎧⎨=⎩,得2880y my n --=,264320m n +∆=>,且128y y m +=,128y y n ⋅=-又因为OA OB ⊥,则12121OA OB y y k k x x ⋅==-,即12120y y x x +=.由28y x =,得2118y x =,2228y x =,222121264y y x x n ==,即2121280y y x x n n +=-=,解得8n =或0n =(舍去).当8n =时,满足0∆>.此时,直线l 的方程8x my =+.则l 过定点(8,0)P .20.(1)证明见解析(2)31919【分析】(1)根据空间中的垂直关系的转化,结合线面垂直的判定即可求证,(2)建立空间直角坐标系,利用法向量的夹角即可求解平面的夹角.【详解】(1)取AB 中点M,连接NM,CM.则//,CD AM CD AM =,即四边形AMCD 为平行四边形,所以CM AD ∥,又因为AB AD ⊥,所以AB CM ⊥,由PD CD ⊥,CD AB ∥,即AB PD ⊥,又AB AD ⊥,=PD AD D ⋂,,PD AD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥平面PAD ,又AP ⊂平面PAD ,故AB AP ⊥,又因为NM AP ∥,则AB NM ⊥,又NM CM M = ,,NM CM ⊂平面NCM所以AB ⊥平面NCM ,又CN ⊂平面NCM ,所以CN AB ⊥,又在PCD 中,6PD CD ==且PD CD ⊥,在BCM 中,6CM BM ==且⊥CM BM ,则PC BC ==N 为PB 中点,所以CN PB ⊥,又AB PB B ⋂=,,AB PB ⊂平面PAB ,所以CN ⊥平面PAB .(2)由6PD AD ==,AP =222PD AD AP +=,即PD AD ⊥,又PD CD ⊥,AD CD ⊥,故以D 为坐标原点,以,,DA DC DP 所在直线x 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,6)P ,(0,0,0)D ,(0,6,0)C ,(6,0,0)A ,(6,12,0)B ,(3,6,3)N ,故(3,0,3)CN = ,(6,0,6)PA =- ,因为2(2,0,2)3CQ CN ==,所以(2,6,2)Q ,(2,6,4)PQ =-,设平面PAQ 的法向量()1111,,n x y z =,平面ABCD 的法向量()2222,,n x y z =,则111116602640PA n x z PQ n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩,取13x =,解得1(3,1,3)n = ,易知DP ⊥平面ABCD ,即2(0,0,1)n =,所以12319cos ,19n n ==,所以平面PAQ 与平面ABCD的夹角的余弦值为.21.(1)3n a n=,()*3n n b n =∈N (2)384【分析】(1)根据,n na S 的关系即可求解3n a n=,根据等比数列基本量的计算即可求解()*3n n b n =∈N ,(2)利用列举法即可逐一求解{}m c 的前100项,即可求和得解.【详解】(1)对于数列{}n a ,因为2233n S n n =+①,所以2123(1)3(1)n S n n -=-+-,2n ≥,*n ∈N ②-①②得()*32,n a n n n =≥∈N由①式,当1n =时,得13a =,也满足3n a n=,所以()*3n a n n =∈N .因为数列{}n b 为等比数列,由等比数列的性质得31232729b b b b ==,得29b =,设数列{}n b 的公比为q ,又因为26a =,618=a ,所以1236b a b a +=-即96918q q +=-,解得3q =或13-,又因为{}n b为单调递增的等比数列,所以3q =,所以()*3n n b n =∈N (2)由于133=,239=,3327=,4381=,53243=,63729=,所以1c ,2c 对应的区间为(0,3],(0,6],则121c c ==,即有2个1;3c ,4c ,…,8c 对应的区间为(0,9],(0,12],…,(0,24],则3482c c c ==⋅⋅⋅==,即有6个2;9c ,10c ,…,26c 对应的区间为(0,27],(0,30],…,(0,78],则910263c c c ==⋅⋅⋅==,即有18个3;27c ,28c ,…,80c 对应的区间为(0,81],(0,84],…,(0,240],则2728804c c c ==⋅⋅⋅==,即有54个4;81c ,82c ,…,100c 对应的区间为(0,243],(0,246],…,(0,300],则81821005c c c ==⋅⋅⋅==,即有20个5;所以1001226318454520384T =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22.(1)221(0)42x y y +=≠(2)4-【分析】(1)设出点M 的坐标为(,)x y ,根据斜率之积得到方程,求出轨迹方程,注意0y ≠;(2)设1:(1)l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立椭圆方程,得到两根之和,两根之积,设()33,C x y ,()44,D x y,同理得到两根之和,两根之积,根据直线1l ,2l 相互垂直,得到()()()222291212k AC BD kk -+⋅=++,利用基本不等式求出最大值.【详解】(1)设点M 的坐标为(,)x y ,因为直线1A M ,2A M的斜率之积是12-,所以1222y y x x ⋅=-+-,所以22142x y +=,因为点M 与1A ,2A 两点不重合,所以点M 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠.(2)显然直线1l,2l 的斜率都存在且不为0,设1:(1)l y k x =-,21:(1)l y x k =--,()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,联立22142(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,得()2222214240k x k x k +-+=-,显然()()4222164212424160k k k k ∆=-+-=+>,所以212221224212421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,所以()()()2222221121212222224431111212121k k k y y k x x k x x x x k k k k ⎣⎛⎫ -⎪--=--=-++=+=⎡⎭⎦⎝⎤+++,同理23422223422234221442121124242121133,2121k x x k k k k x x k k k y y k k ⎧⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎪+==⎪+⎛⎫-+⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪-- ⎪-⎪⎝⎭==⎨+⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-- ⎪⎪-⎝⎭⎪==+⎪⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎩,因为直线1l ,2l 相互垂直,所以0AP PD PC BP ⋅=⋅=,所以()()AC BD AP PC BP PD AP BP PC PD ⋅=+⋅+=⋅+⋅()()()()121234341111x x y y x x y y =--++--+()()12121234343411x x x x y y x x x x y y =-++++-+++22222222222443244311212121222k k k k k k k k k k ----=-+++-++++++++22223333212k k k k ----=+++,则()()()()()()222222222911942122122k kAC BD k k k k -++⋅=≤-=-++⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦,当且仅当22212k k +=+,即1k =±时取得等号,所以AC BD ⋅的最大值为4-.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法:(1)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义,则考虑利用几何法来解决;(2)代数法,若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值或范围.。
济南市高二上学期期末数学试卷(理科)A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题;共16分)1. (2分)已知F1,F2为双曲线C:的左、右焦点,点P在C上,,则P到x轴的距离为()A .B .C .D .2. (2分)下列说法中正确的是()A . 如果两个平面α、β只有一条公共直线a,就说平面α、β相交,并记作α∩β=aB . 两平面α、β有一个公共点A,就说α、β相交于过A点的任意一条直线C . 两平面α、β有一个公共点A,就说α、β相交于A点,并记作α∩β=AD . 两平面ABC与DBC相交于线段BC3. (2分)以下命题(其中a , b表示直线,α表示平面):①若a∥b , b⊂α ,则a∥α;②若a∥α ,b∥α ,则a∥b;③若a∥b ,b∥α ,则a∥α;④若a∥α , b⊂α ,则a∥b.其中正确命题的个数是()A . 0B . 1C . 2D . 34. (2分)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A .B .C .D .5. (2分)以椭圆的焦点为顶点,离心率为2的双曲线方程()A .B .C . 或D . 以上都不对6. (2分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A . 10 cm3B . 20 cm3C . 30 cm3D . 40 cm37. (2分) (2020高三上·天津期末) 直线与圆相交于、,则弦的长度为()A .B .C . 2D . 48. (2分)中心在原点的双曲线,一个焦点为,一个焦点到最近顶点的距离是,则双曲线的方程是()A .B .C .D .二、填空题 (共6题;共7分)9. (2分)设两直线l1:(3+m)x+4y=5﹣3m与l2:2x+(5+m)y=8,若l1∥l2 ,则m=________ ,若l1⊥l2 ,则m=________ .10. (1分) (2016高二上·大庆期中) 已知双曲线 =1上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是________.11. (1分)下列结论不正确的是________(填序号).①各个面都是三角形的几何体是三棱锥;②以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥;③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥;④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线.12. (1分) (2017高二下·晋中期末) 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为 ________.13. (1分)(2013·辽宁理) 已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF、BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF= ,则C的离心率e=________.14. (1分) (2015高二上·昌平期末) 已知直线l:kx﹣y+1=0(k∈R).若存在实数k,使直线l与曲线C 交于A,B两点,且|AB|=|k|,则称曲线C具有性质P.给定下列三条曲线方程:①y=﹣|x|;②x2+y2﹣2y=0;③y=(x+1)2 .其中,具有性质P的曲线的序号是________.三、解答题 (共5题;共35分)15. (5分) (2018高二上·合肥期末) 已知,设命题:指数函数≠ 在上单调递增.命题:函数的定义域为.若“ ”为假,“ ”为真,求的取值范围.16. (10分) (2016高二上·蕲春期中) 圆x2+y2=8内有一点P0(﹣1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦;(1)当时,求AB的长;(2)当弦AB被点P0平分时,求直线AB的方程.17. (5分) (2016高二上·青海期中) 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(Ⅰ)证明:BE⊥DC;(Ⅱ)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值;(Ⅲ)若F为棱PC上一点,满足BF⊥AC,求二面角F﹣AB﹣P的余弦值.18. (10分) (2016高二上·苏州期中) 如图,经过B(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2 , l1交y 轴正半轴于点A,l2交x轴正半轴于点C.(1)若A(0,1),求点C的坐标;(2)试问是否总存在经过O,A,B,C四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.19. (5分) (2017高二上·张家口期末) 如图四棱锥E﹣ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,△BCE为等边三角形,△ABE是以∠A为直角的等腰直角三角形,且AC=BC.(Ⅰ)证明:平面ABE⊥平面BCE;(Ⅱ)求二面角A﹣DE﹣C的余弦值.参考答案一、单选题 (共8题;共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题;共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题;共35分) 15-1、16-1、16-2、18-1、18-2、19-1、第11 页共11 页。