角的度量与单位换算

教案一、学习目标：1.理解度分秒之间的换算进制，能进行角度的单位换算；2.会比较两个角的度数大小；3.体验解决钟面上的夹角问题．二、知识回顾：1. 我们用测量角的大小．角的度量单位是．2. 1周角= 平角= 直角= ，1平角= ，1直角= .三、知识梳理：1.角的度量我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．1周角=360°，1平角=180°；1°=60′，1′=60″；如∠ａ的度数是48度56分37秒，记作∠ａ=48°56′37″．度、分、秒是常用的角的度量单位，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.注意：角的度、分、秒与时间的时、分、秒一样，都是60进制.2. 钟面上角度大小的计算问题（1）时钟的表面被均分成12 大格、60小格，若把钟表表面看错以表心为顶点的周角，则每一大格对应的角度是30°，每一小格对应的角度是是6°.（2）时钟上有时针和分钟，其中时针每小时转360=3012，每分钟转30=0.560；分针每分钟转360=660．用时针与分针所走的时间分别乘它们的速度，即它们各自转过的角度．四、典例探究1．角的换算【例1】（1）把26.29°转化为度分秒表示的形式；（2）37°14′24″转化为度的形式.总结：1.角度是60进制,1°=60′， 1′=60″.2.将度用度、分、秒表示时，按60进制，用乘法：整数部分保留,将度的小数部分转化为分，将分的小数部分化为秒. 注意化成度、分、秒时，数字全是整数.角的换算3.将度、分、秒用度表示时，按60进制，用除法：先将秒化为分，再将分化为度.练1 18°27′＝_________°，51.6°＝_________°__________′．2.角的度数的比较【例2】若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B总结：1.比较角的大小时，若角的单位不统一，则不要盲目比较，一定要注意统一单位后再比较．2.若统一成以度为单位，则按照数的大小比较即可；若统一成以度分秒为单位，则依次比较度、分、秒的大小. 练2已知∠α=12°12′，∠β=12.12°，∠γ=12.2°，则下列结论正确的是（）A．∠α=∠β B．∠α＜∠β C．∠α=∠γ D．∠β＞∠γ3．某时刻时针与分针夹角度数【例3】同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）3点整时时针与分针所夹的角是_______度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是_______度．总结：1.整点时刻求两针夹角.因为分针始终指向12，时针指向对应整点时刻，所以只要数出时针与分针之间所夹几个大格，再乘30°即可求出两针夹角.注意：夹角是指小于180度的角.2.任意时刻求两针夹角.（1）看时针和分针之间相隔几个大格，再乘30°即可求出两针夹角.（2）首先弄清楚时针每小时、每分钟转过的角度，分针每分钟转过的角度，然后以12时为起点，求出分针和时针从12时起转过的角度差，即为两针夹角.分针转过的角度为：分钟数×6°，时针转过的度数为：小时数×30°+分钟数×0.5°.练3 时钟在3点半时，分针与时针所夹的角的度数是（）A．67.5° B．75° C．82.5° D．90°练4钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（）A．77.5° B．77°5′C．75° D．以上答案都不对4. 钟面上时针与分钟重合问题【例4】你知道时钟的分针与时针一昼夜重合几次吗？总结：1.分针和时针从上一次重合到下一次重合，相当于分针比时针多转了360°.2.这是一个钟面上的追及问题，可以套用环形跑道追及问题解决，用方程的思想来解.设重合一次的时间为x分钟，等量关系是分针转过的角度-时针转过的角度=360°，然后用一昼夜的时间除以重合一次的时间（注意单位统一，可以均以分为单位），即可得到一昼夜重合的次数.练5钟面上的角的问题．（1）8点15分，时针与分针的夹角是多少？（2）从12点整始，至少再过多少时间，分针与时针再一次重合？五、课后小测一、选择题1．若∠P=25°12′，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P=∠Q B．∠Q=∠R C．∠P=∠R D．∠P=∠Q=∠R2．下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′3．用度、分、秒表示91.34°为（）A．91°20′24″ B．91°34′ C．91°20′4″ D．91°3′4″4．若∠P=65°12′，∠Q=65.12°，∠R=65.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P=∠Q=∠R B．∠Q=∠R C．∠P=∠Q D．∠P=∠R5．已知：∠1=35°18′，∠2=35.18°，∠3=35.2°，则下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠1、∠2、∠3互不相等6．下列算式正确的是（）①33.33°=33°3′3″②33.33°=33°19′48″③50°40′33″=50.43°④50°40′33″=50.675°A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④7．甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是（）A．甲说3点时和3点30分B．乙说6点15分和6点45分C．丙说9时整和12时15分D．丁说3时整和9时整8．现在是一点整，从现在开始到三点，时针与分针成90°角的次数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．将8.35°用度、分、秒表示正确的是（）A．8°20′ B．8°21′ C．8°3′5″ D．8°30′5″10．已知∠1=28°24′，∠2=28.24°，∠3=28.4°，下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3二、填空题11．22.5°=____度______分；12°24′=______度．12．用度、分、秒表示26.34°=____度____分____秒．13．25.14°=°′″；下午1点24分，时针与分针所组成_______度．14．用“＞”、“＜”或“=”号填空（1）38°15′______38.15°；（2）38°9′_______38.15°；（3）19°4′30″×2=_________（用度表示）.15．1800″等于______分，等于______度．16．65°25′12″用度表示为________．17．已知α=38°15′，β=38.25°，则α_____β（填“＞”，“＜”或“=”）18．聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了________分钟．19．（1）23°30′=______°；（2）0.5°=_____′=______″．三、解答题20．计算：（1）将24.29度化为度、分、秒．（2）将36度40分30秒化为度．21．同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识．（1）如图1，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于________°；（2）请在图2中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是______，时钟的时针转过的度数是________；（3）“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明．22．钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？23．观察常用时钟，回答下列问题：（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？24．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：（1）分针每分钟转了几度？（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？（3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？25．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关问题．（1）分针每分钟转，时针每分钟转°；（2）12：00整，时针和分针在同一直线上，至少经过多长时间会再次出现时针和分针在同一直线上的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？。

角的度量换算方法
角度是描述两条辐线在空间中相对位置的度量，通常使用度数、弧度或梯度三种不同
的方式来表示和计算角度。

一、度数
角度度数通常是指以每个直角为90度，整个圆周为360度的度量方式。

在角的度量中，角度度数是最为常用的一种，通过度数可以直观地表示出角的大小。

其换算方法如下：
1度 = 60分
360度= 2π弧度约等于6.28318
例如将角的度数从60度换算为弧度：
60度= 60 x π/180 = π/3弧度
二、弧度
弧度是指半径长的一段圆弧所对应的圆心角的大小。

通常以弧长与半径之比表示弧度，也可表示为角度的比率。

例如，一段弧长为l，半径为r的圆弧，对应的角度度数为θ，
则所对应的弧度为：
θ（弧度）= l/r
弧度换算方法如下：
三、梯度
梯度是指一圆周等分成400份，每份所对应的圆心角大小，即为1梯度。

与角度和弧
度不同，梯度是一种少用的角度度量单位，大多数应用中仅限于一些特定的行业和领域。

360度 = 400梯度
以上为角的度量换算方法，不同的应用场景和需要计算的角度大小，可以选择适合的
换算方式，便于角度的表示和计算。

角角：由一点引出两条射线形成的图形叫做角。

这两条射线叫做角的。

这一点叫做角的。

角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。

角的表示方法：（1）用三个大写英文字母表示；（2）用一个大写英文字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写希腊字母表示。

角的度量单位：1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.角的表示方法：①用三个大写字母表示:如∠AOB②用一个大写字母表示:如∠O（只适用单独一个角）③用弧线加数字来表示: 如∠1④用弧线加希腊字母来表示:如∠a角的度量单位的换算：1° = 1′ = 1周角= 1平角=平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.它们之间的关系是：1周角=2平角=4直角=360º1平角=2直角=180º 1直角=90º换算方法：（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化成高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，越级转化容易出错。

角的平分线：余角和补角：余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。

补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。

余角和补角的性质1、同角或等角的余角相等。

2、同角或等角的补角相等。

例1、把一个周角7等分,每一份是多少（精确到分）例2、19°36′= °56°37′= °38°15′和38.5°一样大吗？例3、⑴150°20′25″+ 11°39′35″⑵90°21′16″－26°10′6″⑶12°5′×6⑷16°18′÷3例4、如图：AOB是一条直线，∠AOC=900，∠D OE=900，写出∠AOD、∠C OD、∠AOC、∠AOB、∠B OD中某些角之间的两个等量关系。

角的度量单位之间的换算关系
角是一个常见的几何概念，用于度量平面上的旋转。

角的度量单位有三种：度（°）、弧度（rad）和梯度（grad）。

它们之间的换算关系如下：
1. 弧度和度的换算关系：
一个圆的周长是2π，也就是360°。

因此，一个圆周对应的弧度是2π。

弧度和度之间的换算关系是：1弧度= 180°/π，或者1° = π/180弧度。

2. 弧度和梯度的换算关系：
梯度是以直角为单位的角度度量，一个直角等于100梯度。

弧度和梯度之间的换算关系是：1梯度= π/200弧度，或者1弧度= 200/π梯度。

通过上述换算关系，可以很方便地在不同的角度度量单位之间进行转换。

例如，如果要将一个角的度数换算为弧度，可以使用如下公式：
弧度 = 度数× π/180
同样地，如果要将一个角的弧度换算为度数，可以使用如下公式：度数 = 弧度× 180/π
而如果要将一个角的梯度换算为弧度，可以使用如下公式：
弧度 = 梯度× π/200
反之，如果要将一个角的弧度换算为梯度，可以使用如下公式：
梯度 = 弧度× 200/π
通过这些换算关系，我们可以在不同的角度度量单位之间灵活地进行转换，以适应不同的计算需求和问题求解。

这些角度度量单位的使用也便于我们在不同的数学、物理和工程问题中进行准确的角度计算和描述。

角的度量单位之间的换算关系是角度学中的基本知识，掌握这些换算关系可以帮助我们更好地理解和应用角度的概念，进行准确的角度计算和问题求解。