角的度量与单位换算

教案一、学习目标：1.理解度分秒之间的换算进制，能进行角度的单位换算；2.会比较两个角的度数大小；3.体验解决钟面上的夹角问题．二、知识回顾：1. 我们用测量角的大小．角的度量单位是．2. 1周角= 平角= 直角= ，1平角= ，1直角= .三、知识梳理：1.角的度量我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位．把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．1周角=360°，1平角=180°；1°=60′，1′=60″；如∠ａ的度数是48度56分37秒，记作∠ａ=48°56′37″．度、分、秒是常用的角的度量单位，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.注意：角的度、分、秒与时间的时、分、秒一样，都是60进制.2. 钟面上角度大小的计算问题（1）时钟的表面被均分成12 大格、60小格，若把钟表表面看错以表心为顶点的周角，则每一大格对应的角度是30°，每一小格对应的角度是是6°.（2）时钟上有时针和分钟，其中时针每小时转360=3012，每分钟转30=0.560；分针每分钟转360=660．用时针与分针所走的时间分别乘它们的速度，即它们各自转过的角度．四、典例探究1．角的换算【例1】（1）把26.29°转化为度分秒表示的形式；（2）37°14′24″转化为度的形式.总结：1.角度是60进制,1°=60′， 1′=60″.2.将度用度、分、秒表示时，按60进制，用乘法：整数部分保留,将度的小数部分转化为分，将分的小数部分化为秒. 注意化成度、分、秒时，数字全是整数.角的换算3.将度、分、秒用度表示时，按60进制，用除法：先将秒化为分，再将分化为度.练1 18°27′＝_________°，51.6°＝_________°__________′．2.角的度数的比较【例2】若∠A=20°18′，∠B=20°15′30〞，∠C=20.25°，则（）A．∠A＞∠B＞∠C B．∠B＞∠A＞∠CC．∠A＞∠C＞∠B D．∠C＞∠A＞∠B总结：1.比较角的大小时，若角的单位不统一，则不要盲目比较，一定要注意统一单位后再比较．2.若统一成以度为单位，则按照数的大小比较即可；若统一成以度分秒为单位，则依次比较度、分、秒的大小. 练2已知∠α=12°12′，∠β=12.12°，∠γ=12.2°，则下列结论正确的是（）A．∠α=∠β B．∠α＜∠β C．∠α=∠γ D．∠β＞∠γ3．某时刻时针与分针夹角度数【例3】同学们，闹钟都见过吧！它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，可你是否知道时针每分钟走多少度？分针每分针走多少度？当你弄清楚这个问题后，你能解决很多关于闹钟有趣的问题：（1）3点整时时针与分针所夹的角是_______度．（2）7点25分时针与分针所夹的角是_______度．总结：1.整点时刻求两针夹角.因为分针始终指向12，时针指向对应整点时刻，所以只要数出时针与分针之间所夹几个大格，再乘30°即可求出两针夹角.注意：夹角是指小于180度的角.2.任意时刻求两针夹角.（1）看时针和分针之间相隔几个大格，再乘30°即可求出两针夹角.（2）首先弄清楚时针每小时、每分钟转过的角度，分针每分钟转过的角度，然后以12时为起点，求出分针和时针从12时起转过的角度差，即为两针夹角.分针转过的角度为：分钟数×6°，时针转过的度数为：小时数×30°+分钟数×0.5°.练3 时钟在3点半时，分针与时针所夹的角的度数是（）A．67.5° B．75° C．82.5° D．90°练4钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是（）A．77.5° B．77°5′C．75° D．以上答案都不对4. 钟面上时针与分钟重合问题【例4】你知道时钟的分针与时针一昼夜重合几次吗？总结：1.分针和时针从上一次重合到下一次重合，相当于分针比时针多转了360°.2.这是一个钟面上的追及问题，可以套用环形跑道追及问题解决，用方程的思想来解.设重合一次的时间为x分钟，等量关系是分针转过的角度-时针转过的角度=360°，然后用一昼夜的时间除以重合一次的时间（注意单位统一，可以均以分为单位），即可得到一昼夜重合的次数.练5钟面上的角的问题．（1）8点15分，时针与分针的夹角是多少？（2）从12点整始，至少再过多少时间，分针与时针再一次重合？五、课后小测一、选择题1．若∠P=25°12′，∠Q=25.12°，∠R=25.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P=∠Q B．∠Q=∠R C．∠P=∠R D．∠P=∠Q=∠R2．下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′3．用度、分、秒表示91.34°为（）A．91°20′24″ B．91°34′ C．91°20′4″ D．91°3′4″4．若∠P=65°12′，∠Q=65.12°，∠R=65.2°，则下列结论中正确的是（）A．∠P=∠Q=∠R B．∠Q=∠R C．∠P=∠Q D．∠P=∠R5．已知：∠1=35°18′，∠2=35.18°，∠3=35.2°，则下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠1、∠2、∠3互不相等6．下列算式正确的是（）①33.33°=33°3′3″②33.33°=33°19′48″③50°40′33″=50.43°④50°40′33″=50.675°A．①和②B．①和③C．②和③D．②和④7．甲、乙、丙、丁四个学生判断时钟的分针与时针互相垂直时，他们每个人都说了两个时间，说对的是（）A．甲说3点时和3点30分B．乙说6点15分和6点45分C．丙说9时整和12时15分D．丁说3时整和9时整8．现在是一点整，从现在开始到三点，时针与分针成90°角的次数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．将8.35°用度、分、秒表示正确的是（）A．8°20′ B．8°21′ C．8°3′5″ D．8°30′5″10．已知∠1=28°24′，∠2=28.24°，∠3=28.4°，下列说法正确的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3二、填空题11．22.5°=____度______分；12°24′=______度．12．用度、分、秒表示26.34°=____度____分____秒．13．25.14°=°′″；下午1点24分，时针与分针所组成_______度．14．用“＞”、“＜”或“=”号填空（1）38°15′______38.15°；（2）38°9′_______38.15°；（3）19°4′30″×2=_________（用度表示）.15．1800″等于______分，等于______度．16．65°25′12″用度表示为________．17．已知α=38°15′，β=38.25°，则α_____β（填“＞”，“＜”或“=”）18．聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了________分钟．19．（1）23°30′=______°；（2）0.5°=_____′=______″．三、解答题20．计算：（1）将24.29度化为度、分、秒．（2）将36度40分30秒化为度．21．同学们，日常生活中，我们几乎每天都要看钟表，它的时针和分针如同兄弟俩在赛跑，其中蕴涵着丰富的数学知识．（1）如图1，上午8：00这一时刻，时钟上分针与时针所夹的角等于________°；（2）请在图2中大致画出8：20这一时刻时针和分针的位置，思考并回答：从上午8：00到8：20，时钟的分针转过的度数是______，时钟的时针转过的度数是________；（3）“元旦”这一天，城区某中学七年级部分学生上午八点多集中在学校门口准备去步行街进行公益服务，临出发时，组长一看钟，时针与分针正好是重合的，下午两点多他们回到学校，进校门时，组长看见钟的时针与分针方向相反，正好成一条直线，那么你知道他们去步行街进行公益服务共用了多少时间吗？通过计算加以说明．22．钟表在12点钟时三针重合，经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分？23．观察常用时钟，回答下列问题：（1）早晨7时整，时针和分针构成多少度的角？（2）时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？（3）从7：00到7：40，分针转动了多少度？24．时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：（1）分针每分钟转了几度？（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？（3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？25．小华是个数学迷，最近他在研究钟面角（时针与分针组成的角）问题，他想和大家一起来讨论相关问题．（1）分针每分钟转，时针每分钟转°；（2）12：00整，时针和分针在同一直线上，至少经过多长时间会再次出现时针和分针在同一直线上的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？。

角的度量换算方法
角度是描述两条辐线在空间中相对位置的度量，通常使用度数、弧度或梯度三种不同
的方式来表示和计算角度。

一、度数
角度度数通常是指以每个直角为90度，整个圆周为360度的度量方式。

在角的度量中，角度度数是最为常用的一种，通过度数可以直观地表示出角的大小。

其换算方法如下：
1度 = 60分
360度= 2π弧度约等于6.28318
例如将角的度数从60度换算为弧度：
60度= 60 x π/180 = π/3弧度
二、弧度
弧度是指半径长的一段圆弧所对应的圆心角的大小。

通常以弧长与半径之比表示弧度，也可表示为角度的比率。

例如，一段弧长为l，半径为r的圆弧，对应的角度度数为θ，
则所对应的弧度为：
θ（弧度）= l/r
弧度换算方法如下：
三、梯度
梯度是指一圆周等分成400份，每份所对应的圆心角大小，即为1梯度。

与角度和弧
度不同，梯度是一种少用的角度度量单位，大多数应用中仅限于一些特定的行业和领域。

360度 = 400梯度
以上为角的度量换算方法，不同的应用场景和需要计算的角度大小，可以选择适合的
换算方式，便于角度的表示和计算。

角角：由一点引出两条射线形成的图形叫做角。

这两条射线叫做角的。

这一点叫做角的。

角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。

角的表示方法：（1）用三个大写英文字母表示；（2）用一个大写英文字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写希腊字母表示。

角的度量单位：1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.角的表示方法：①用三个大写字母表示:如∠AOB②用一个大写字母表示:如∠O（只适用单独一个角）③用弧线加数字来表示: 如∠1④用弧线加希腊字母来表示:如∠a角的度量单位的换算：1° = 1′ = 1周角= 1平角=平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.它们之间的关系是：1周角=2平角=4直角=360º1平角=2直角=180º 1直角=90º换算方法：（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化成高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，越级转化容易出错。

角的平分线：余角和补角：余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。

补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。

余角和补角的性质1、同角或等角的余角相等。

2、同角或等角的补角相等。

例1、把一个周角7等分,每一份是多少（精确到分）例2、19°36′= °56°37′= °38°15′和38.5°一样大吗？例3、⑴150°20′25″+ 11°39′35″⑵90°21′16″－26°10′6″⑶12°5′×6⑷16°18′÷3例4、如图：AOB是一条直线，∠AOC=900，∠D OE=900，写出∠AOD、∠C OD、∠AOC、∠AOB、∠B OD中某些角之间的两个等量关系。

角的度量单位之间的换算关系
角是一个常见的几何概念，用于度量平面上的旋转。

角的度量单位有三种：度（°）、弧度（rad）和梯度（grad）。

它们之间的换算关系如下：
1. 弧度和度的换算关系：
一个圆的周长是2π，也就是360°。

因此，一个圆周对应的弧度是2π。

弧度和度之间的换算关系是：1弧度= 180°/π，或者1° = π/180弧度。

2. 弧度和梯度的换算关系：
梯度是以直角为单位的角度度量，一个直角等于100梯度。

弧度和梯度之间的换算关系是：1梯度= π/200弧度，或者1弧度= 200/π梯度。

通过上述换算关系，可以很方便地在不同的角度度量单位之间进行转换。

例如，如果要将一个角的度数换算为弧度，可以使用如下公式：
弧度 = 度数× π/180
同样地，如果要将一个角的弧度换算为度数，可以使用如下公式：度数 = 弧度× 180/π
而如果要将一个角的梯度换算为弧度，可以使用如下公式：
弧度 = 梯度× π/200
反之，如果要将一个角的弧度换算为梯度，可以使用如下公式：
梯度 = 弧度× 200/π
通过这些换算关系，我们可以在不同的角度度量单位之间灵活地进行转换，以适应不同的计算需求和问题求解。

这些角度度量单位的使用也便于我们在不同的数学、物理和工程问题中进行准确的角度计算和描述。

角的度量单位之间的换算关系是角度学中的基本知识，掌握这些换算关系可以帮助我们更好地理解和应用角度的概念，进行准确的角度计算和问题求解。

角的度量单位及换算角是平面上由两条射线共同起点构成的形状。

角的度量是用角度来表示的，而角度是一个单位，用于测量角的大小。

角度的单位主要有度（°）、弧度（rad）、百分度（%）和直角度（grad）。

1. 度（°）：度是角度的基本单位，一个完整的圆周（360°）被平均分成360个等份，每一份为1度（°）。

度数可以用小数、分数或整数来表示。

例如，一个直角是90度，一个钝角是大于90度小于180度。

2. 弧度（rad）：弧度是另一种角度的度量单位，用于在数学上进行计算。

一个圆的周长是2π个半径长度，一周是2π弧度，所以一个圆周用2π弧度来表示。

一个弧度等于从圆心沿圆弧上的一段长度等于半径长的弧长所对应的角。

换句话说，一个半径长的圆弧对应一个弧度。

弧度可以用π的倍数来表示，如π弧度、2π弧度等。

在一般情况下，弧度可以通过度数与π之间的换算来转换。

一个角度等于π/180弧度，一个弧度等于180/π度。

3. 百分度（%）：百分度是另一种角度的度量单位，将一个角度等分为100份。

百分度的换算公式是：1百分度= 1/100度。

百分度主要用于工程计算和一些特殊的实际问题中。

4. 直角度（grad）：直角度是角度的一种度量单位，也叫做梯度。

一个直角等于100直角度，一个直角度等于1/4度。

直角度用于一些工程测量中。

除了以上常见的角度度量单位，还可以通过换算关系来转换角度的度量单位。

例如，1度=π/180弧度≈0.017度；1弧度=180/π度≈57.3度；1百分度=0.01度；1度≈0.9直角度。

在实际生活中，角度的度量单位用于描述和测量旋转、转角、方向等概念。

例如，在航空导航中，航班方向通常用度数表示，方向360°对应正北，顺时针方向逐渐增加；在几何学中，角度用于描述图形的形状、位置和变化等，与直线、曲线等元素有关。

总之，角度是角的度量单位，主要有度、弧度、百分度和直角度。

同步课程˙角的相关概念一、角的定义：二、角平分线：一、角的表示方法① 利用三个大写字母来表示，如图1．1．∠AOB图1.1B注意：顶点一定要写在中间．也可记为BOA ∠，但不能写成BAO ∠或ABO ∠等． ② 利用一个大写字母来表示，如图1．2．∠A图1.2A角的相关概念知识回顾知识讲解同步课程˙角的相关概念注意： 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③ 用数字来表示角，如图2．1．∠1图2.11④ 用希腊字母来表示角，如图2．2．∠α图2.2α二、单位换算1度＝60分（160︒=') 1分=60秒（160'="） 三、角的度量（1） 度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）（2） 角的度量单位及其换算角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角（3） 角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．四、两角的和．差．倍．分（1）两角的和．差．倍．分的度数等于它们的度数的和．差．倍．分． （2）从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线． （3）角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线．说说为什么这条线平分∠PQR ？五、用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点； （2）分别以A ．B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点； （3）过C 点作射线OC ．所以，射线OC 就是所求作的．OCBA六、余角、补角（1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角．简称“互补”． （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”． （3）补角．余角的性质：同角或等角的补角相等．同角或等角的余角相等． 七、 方位角方位角一般以正北．正南为基准，描述物体运动方向．即“北偏东⨯⨯度”．“北偏西⨯⨯度”．“南偏东⨯⨯度”．“南偏西⨯⨯度”，方位角α的取值范围0900≤≤α．“北偏东45度”为东北方向．“北偏西45度”西北方向．“南偏东45度”为东南方向．“南偏西45度”为西南方向． 八、 钟表角度问题时针12小时转动360度，每小时转动30度； 分针60分钟转动360度，每分钟转动6度． 秒针60秒钟转动360度，每秒钟转动6度．一、 角的概念【例1】 角是由有 的两条射线组成的图形，两条射线的 是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线 ．【例2】 下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关．②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个． ④两条射线组成的图形叫做角A ①．②B ①．③C ①．④D ②．③【例3】 如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【变式练习】在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【变式练习】如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA同步练习【例4】下图中，以A为顶点的角是_________．有一边与射线FD在同一条直线上的角有__________个．HGFEDCBA【例5】判断（）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角．（）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒．（）由两条射线组成的图形叫做角．（）延长一个角的两边．（）平角就是一条直线；周角就是一条射线．二、角的分类【例6】下列语句正确的是（）A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．小于平角的角是钝角D．一周角等于四个直角【例7】如图，图中包含小于平角的角的个数有（）D CBAA．4个B．5个C．6个D．7个【例8】如图，∠AOB是平角，则图中小于平角的角共有（）A．4个B．7个C．9个D．10个【例9】如图，必须用三个大写字母表示且小于180°的角共有（）A．10个B．15个C．20个D．25个H NMFGEDCBA【例10】如图，∠CAE=90°，锐角有（）个，钝角至少有（）个．A．4，3 B．3，2 C．6，3 D．4，2三、角度的换算及运算【例11】（1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【变式练习】（1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=；（3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．【例12】（1）2020'4______︒⨯=．（2）4437'3______︒÷=【变式练习】（1）77423445______''︒+︒=；（2）108185623_______''︒-︒=；（3）180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=；（6）135********______''︒⨯+︒÷=（7）57.32_________'''︒=︒；（8）122342_______'''︒=︒【例13】在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（）个A．4个B．7个C．11个D．16个【例14】如右图，AOB是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB∠的度数．123A BCDO四、 余角和补角【例15】 如图，OE AB ⊥于O ，OF OD ⊥，OB 平分DOC ∠，则图中与AOF ∠互余的角有______个；互补的角有_________对；FEDCB AO【例16】 如下图，A ，O ，B 在一条直线上，AOC ∠是锐角，则AOC ∠的余角是（ ）A ．12BOC AOC ∠-∠B ．1322BOC AOC ∠-∠C ．1()2BOC AOC ∠-∠D ．1()3BOC AOC ∠+∠A CO【例17】 一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是【例18】 一个锐角的一半与这个锐角的余角及这个锐角的补角的和等于平角，求这个锐角的度数．【例19】 如果一个角的补角与余角的和，比它的补角与余角的差大60︒，求这个角的余角度数．【变式练习】一个角a 与50︒角之和的17等于65︒角的余角，求a ．【变式练习】已知α的余角是β的补角的13，并且32βα=，试求αβ+的度数．【例20】已知两角互补，试说明：较小角的余角等于两角差的一半．五、角平分线【例21】从一个角的顶点出发，把它分成两个角的直线叫做这个角的平分线．（填“正确”或“错误”）【例22】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．35°B．55°C．70°D．110°【例23】如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．100°【例24】如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，如果BD为∠ABE的平分线，则∠CBD=（）A．80°B．90°C．100°D．70°【例25】 如图，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，∠A=44°，那么∠BDC 的度数为（ ）A ．68°B ．112°C ．121°D ．136°【例26】 下列说法正确的是（ ）A ．两点之间直线最短B ．用一个放大镜能够把一个图形放大，也能够把一个角的度数放大C ．将一个角分成两个角的射线叫角的平分线D ．直线l 经过点A ，那么点A 在直线l 上六、 方位角【例27】 下面图形中，表示北偏东60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 西北南60︒C 东西北南60︒D东西北南【例28】 下列说法不正确的是（ ）A ．OA 方向是北偏东30︒B ．OB 方向是北偏西15︒C ．OC 方向是南偏西25︒D ．OD 方向是东南方向【例29】 如图，平面内有两点A B ，（1）分别画出点A 处北偏东70︒的方向和点B 处北偏西40︒的方向． （2）点A 位于B 的什么方向（精确到1︒）BAO 东25︒75︒45︒30︒D CBA【例30】 如图，A 、B 、C 、D 是北京奥运会场馆分布图，请结合图形回答问题．为了方便指明每个场馆的位置，以天安门为中心（即点O 的位置）建立了位置指示图，直线CODE 相交于O ，90COD ∠=︒，请按要求完成下列问题：①若在图上测得20mm OA =，54mm OB =，36BOC AOE ∠=∠=︒，则可知场馆B 的位置是北偏西36︒，据中心54mm ，可简记为（54mm ，北偏西36︒）．据此方法，场馆A 的位置可简记为（_________，________）． ②可求得BOA ∠=________；③在现有的图形中（不增加新的字母），AOD ∠与_____________是互补的角．EAO BD东西北C七、 共定点角的相关计算【例31】 如图，在直线AB 上取一点O ，在AB 同侧引射线OC ，OD ，OE ，OF 使COE ∠和BOE ∠互余，射线OF 和OD 分别平分COE ∠和BOE ∠，求证：3AOF BOD DOF ∠+∠=∠．ABC DEO 图2F E B【变式练习】如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作DOE BOD ∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求EOF ∠．A BCDE FO同步课程˙角的相关概念【例32】 如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【例33】 如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GABC D E 图2F【例34】 已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠=②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA同步课程˙角的相关概念【例35】BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM ．ON 分别平分AOC ∠．BOC ∠． （1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【例36】 已知：OA ．OB ．OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠．【例37】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AOC∠的度数．【例38】 已知,αβ都是钝角，计算()1+6αβ，正确的结果只可能是（ ） A ．26︒ B ．40︒ C ．72︒ D ．90︒【变式练习】α．β．γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒．24︒．25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例39】 在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数．【例40】 以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数．八、 钟表角度问题【例41】 从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（ ）A ．30B ．60°C ．90°D ．120°【例42】 下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（ ）A ．90°B ．105°C ．120°D ．135°【例43】 由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【例44】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针夹成60︒的角？分别是几点几分？【例45】 钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分，则x 的值是多少?【习题1】一个角的补角和它的余角的3倍的和等于周角的1112，求这个角．【习题2】下列图形中，表示南偏西60︒的是（ ）60︒A 东西北南60︒B 东西北南60︒C东西北南60︒D东西北南【习题3】下列说法中，正确的是（ ）A ．一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线B ．两个锐角的和为钝角C ．相等的角互为余角D ．钝角的补角一定是锐角【习题4】一个角的余角的2倍和它的补角的12互为补角，求这个角的度数．【习题5】已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于多少？【习题6】如图，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAC D E图2图1F课后练习。