第四章 周期信号频域分析
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信号与系统第4章 周期信号的频域分析(3学时)
T0 /2
0
x(t )sin(n 0t )dt
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
3、半波重迭信号
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
A t
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
特点： 只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
四、信号对称性与傅里叶系数的关系
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
~ x (t ) ~ x1 (t ) ~ x2 (t )
nπ nπt t~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
~ x1 (t )
2
x 1(t ) 2
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
三、周期信号的功率谱
一、周期信号频谱的概念
连续时间周期信号可以表示为虚指数信号之和，其 中Cn 为傅里叶系数 。
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
问题1：不同信号的傅里叶级数形式是否相同？ 相同 问题2：不同信号的傅里叶级数不同表现在哪里？ 系数
例3 课本P129
例4 已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的 Fourier级数表示式。 Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C0 4
C 1 3
C2 1
C 3 2
~ x (t )
第四章 周期信号的频域分析
c n = c n e − jϕ n 令： &
∞ 1 ∞ jnω t & & ∴ f (t ) = ∑ cn e = ∑ Fn e jnω t 2 n = −∞ n = −∞
& = 1 c 称为复傅里叶系数。 &n Fn 2
表明任意周期信号可以表示成 e jnω t 的线性组合， & 加权因子为 Fn 。
a− k e
− jkω0t
…
+ ak e
jkω0t
k 次谐波
例4－1：已知连续时间信号 f (t ) = 1 + cos ω0t + 2sin ( 3ω0t ) 求其傅立叶级数表示式及傅氏系数 ak ∞ 1 f (t ) = ∑ ak e jkω t 解： ak = ∫ f (t )e − jkω0t dt
不满足狄里赫利条件的周期信号
f (t )
狄里赫利条件 1 信号 f (t) 在任意一 个周期 T 内绝对可积
−2
f (t ) =
1 , 0 < t ≤1 t2
不满足条件 1
1
−1
0
1
2
t
2 信号 f (t) 在任意一
f (t )
个周期 T 内，只有有 限个极大和极小值点
3 信号 f (t) 在任意一
0
T1 T / 2
T
t
−T
−T1
0
T1
T
N =5
t
取 N =1, 5, 21, 81,用有限项傅氏级 数逼近连续时间周期脉冲信号 f (t)
ˆ f (t )
吉布斯（Gibbs）现象
信号的跳变点附近出现纹波 随项数增加，波纹峰值大小不 变，但被挤向信号的间断点处 信号连续点处傅氏级数收敛于信 号本身 信号跳变点处，傅氏级数收敛于 该处左极限和右极限的平均值
第四章_周期信号频域分析
C n 1 T0
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
T0 t0
t0
* f (t )e j n 0 t dt C n
1 T0
T0 t0
t0
f (t )e -j n 0 t dt
* Cn C n .
注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是共轭偶对 称”。 1 利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。 -j n 0 t j n 0 t j n 0 t f (t ) C0 Cn e Cn e C0 (Cn e Cn e j n 0 t ) (4.10)
f (t ) bn sin(n0t )
n 1
图4-5 奇对称信号
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2) ，则称为半波 重叠信号。例如，图4-6。
Cn 1 T0 1 T0
T0 / 2
T0 / 2 T0 / 2
f (t )e jn0t dt
1 T0
T0 / 2
T0 / 2
[ f (t ) cos(n0t ) jf (t ) sin(n0t )]dt
T0 / 2
f (t ) cos(n0t )dt.
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
周期信号f(t)的Fourier 级数和系数计算公式为：
f (t )
n
C e
n
j n 0 t
,
(4.5)
SSch4-1连续周期信号频域分析
因此，周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开 式为
f (t) C ne
n= jn t 0
1 2 j ( 2 m 1 ) t 0 e 2 2m [(2 m 1 ) ] =
由
j n t 0 f( t ) C 2 Re( C e n ) 0 n 1
an jb n C n 2
j n t 0 C 2 Re( C e n ) 0 n 1
n 1
由于Fourier级数的系数Fn一般为复数，记 由于 C0是实的，所以b0=0，故 2019/2/24 信号与系统
a0 C0 2
整理后得三角形式傅立叶级数，为
a 0 f ( t ) ( a cos n t b sin n t ) 量）的线性组合， 这样，不同的信号都归结为正弦分量，为不同的信号 之间进行比较提供了途径。 （2）从系统分析角度，线性时不变系统在单频正弦 信号激励下的稳态响应仍是同频率的正弦信号。在多 个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，只需利用 线性系统的迭加特性即可求得，而且每个正弦分量通 过系统后，是衰减还是增强一目了然。 2019/2/24 信号与系统
2019/2/24 信号与系统
2.
指数形式傅立叶级数
jn t 0 f (t) C e n n=
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
其中
1T jn t 0 2 C f ( t ) e dt T T n T 2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
可得，周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为
周期信号频域分析
周期信号频域分析（3-5）连续时间周期信号的傅立叶综合任何满足狄里赫利条件的周期信号，可以表示成式（3-1）或（3-5）的和式形式，式（3-1）或（3-5）成为连续时间周期信号（CTFS）综合公式。
一般说来，傅立叶级数系数有无限个非零值，即任何具有有限个间断点的周期信号都一定有一个无限项非零系数的傅立叶级数表示。
但对于数值计算来说，这是无法实现的。
在实际应用中，可以用有限项傅立叶级数求和来逼近。
即：（3-7）当值取得较大时，上式就是原周期信号的一个很好近似。
式（3-7）常称做的截断傅立叶级数表示。
MATLAB的符号积分函数int()可以用来求解连续时间周期信号的截断傅立叶级数及傅立叶表示。
求积函数int()的具体使用格式如下：a.intf=int(f,v); 给出符号表达式f对指定变量v的（不带积分常数）不定积分；b.intf=int(f,v,a,b); 给出符号表达式f对指定变量v的定积分；1、利用MATLAB实现周期信号的傅立叶级数分解与综合（1）利用MATLAB求解周期矩形脉冲傅立叶级数，并绘制出各次谐波叠加的傅立叶综合波形图。
周期矩形脉冲为，式中。
采用三角形式傅立叶级数分解与综合形式，用式（3-2）~（3-4）求出傅立叶级数分解系数，运用MATLAB的符号运算功能，用式（3-7）实现信号的综合，谐波的阶数。
（a）实现流程利用MATLAB实现上述分析过程的流程如下：∙编写子函数x=time_fun_x(t)，用符号表达式表示出周期信号在第一个周期内的符号表达式，并赋值返回给符号变量x；∙编写子函数y=time_fun_e(t)，求出该周期信号在绘图区间内的信号样值，并赋值给返回变量y；∙编写求解信号傅立叶系数及绘制合成波形图的通用CTFShchsym.m，该函数流程如下：1.调用函数time_fun_x(t)，获取周期信号的符号表达式；2.求出信号的傅立叶系数；3.求出各次谐波；4.绘制各次谐波叠加波形图；5.调用函数time_fun_e(t)，绘制原信号波形图。
第四章周期信号频域分析
第四章周期信号频域分析信号分析是现代通信、电子、控制等领域中非常重要的一个方向。
在信号分析中，频域分析是一种非常常用和有效的手段。
本章将介绍周期信号的频域分析方法。
周期信号是指在时间轴上按照一定规律重复出现的信号。
周期信号可以表示为周期函数的形式，即y(t+T)=y(t)，其中T为信号的周期。
在频域分析中，我们希望能够将周期信号分解为一系列的频率组成的谐波分量，从而得到信号在不同频率上的能量分布情况。
常用的周期信号频域分析方法有傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析两种。
傅里叶级数分析是将一个周期信号表示为一系列谐波分量的和的形式。
假设一个周期信号f(t)的周期为T，可以将其分解为如下的傅里叶级数形式：f(t) = a0 + Σ(an * cos(n * ω0 * t) + bn * sin(n * ω0 * t))其中，a0表示信号的直流分量，an和bn分别表示信号在频率为n * ω0的正弦函数和余弦函数上的系数，n为谐波次数。
离散傅里叶变换分析是将一个有限长的离散时间信号表示为一系列复数形式的谐波分量的和，常用的离散傅里叶变换分析方法是快速傅里叶变换（FFT）。
假设一个有N个采样点的离散时间信号为x(n)，其离散傅里叶变换为X(k)，则有：X(k)=Σ(x(n)*e^(-j*2π*k*n/N))其中，k表示谐波次数，n为采样点的序号，N为采样点的总数。
傅里叶级数分析和离散傅里叶变换分析都可以用于分析周期信号的频域特性。
通过这些方法，我们可以得到周期信号在不同频率上的谐波分量的能量大小，从而了解信号的频谱特性。
在实际应用中，频域分析常用于信号处理、滤波、频率识别、通信系统设计等各个领域。
比如，在通信系统中，我们可以通过频域分析方法来实现信号的调制解调、滤波、信道均衡等操作。
在音频处理中，我们可以通过频域分析来进行音频变调、音频合成等操作。
总结起来，周期信号的频域分析可以帮助我们了解信号在不同频率上的分布情况，从而实现信号处理、频率识别等功能。
第四章周期信号傅里叶级数
2
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
f(t)1.5 S(anπ)conπ st()
n1 2
2
t
f (t) = f1(t) f2(t)
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f 2 (t )
1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
t
f2(t)0.5n 1S(an2π)con2 π st()
t
说明：某些信号波形经上下或左右平移 后，才呈现出某种对称特性，也有某些 信号波形可以由我们熟悉的基本信号的 波形进行简单的计算得到。因此，我们 可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的 计算。教材P147例3.6、例3.7
n 1
C 0
C nejn0t C nejn0t
C nejn0t和 C nejn0t共 轭
n1
C02 ReC(nejn0t )
n1
令
Cn
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f(t)a 2 0n 1anco n0 stn 1b nsinn0t
1(t e j n 0 t 00 e j n 0 td tt e j n 0 t 1 1 e j n 0 td )t
2 jn 0
1 1
00
(n1)2 (cons1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
n ()
Cn
1
n1
n1
1
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
第四章 信号的频域分析 6 信号的时域抽样
(aliasing)。
信号的时域抽样和频域抽样
x(t ) x[k ]
时域抽样
CTFT DTFT
周期化
~ X (e ) X [m]
j 频域抽样
IDTFT
IDFS
X ( jw )
1 T
n
X (j
2 πn
T
)
x[k ] 周期化
1 X s ( jw ) X [ j(w nws )] T n
X s ( jw )
1 T
0 wm
w
ws 2.5wm
X [ j(w w s )]
X ( jw )
...
ws wm
0
X [ j(w w s )]
ws /2 wm ws
...
w
一、 信号的时域抽样
1、信号抽样的理论分析
一、 信号的时域抽样
3、抽样定理的工程应用 许多实际工程信号不满足带限条件
h(t ) x(t )
X ( jw )
抗 混
低通滤波器
H ( jw ) 1
0
w
x1 (t )
X 1 ( jw )
1
1
wm
0
wm w
wm
0
wm
w
一、 信号的时域抽样
3、抽样定理的工程应用 混叠误差与截断误差比较
X s ( jw )
理想抽样信号的频谱分析
抽样信号xs(t)频谱与抽样间隔T关系：
X ( jw )
1
wm
1 X s ( jw ) X [ j(w nws )] T n
X s ( jw )
信号与系统分析《信号与系统分析》吴京,国防科技大学出版社第四章-2
a↓
t
w
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
e
a t
2a ( 0) 2 a 2
a→0
a→0
a 0
lim e a|t| 1
利用A lim
0, 0 lim 2 lim 2 0 A ( ) 2 a 0 a a 0 a 2a
(t ) 1
0
(1) t
f(t)
1 0
F[1]
w
1 2 ( )
0
1 t 0
(2) w
另外还有： G ( t ) sa 2
0 sa 0 t G20 ( )
时域、频域的这种二元性，是正变换和逆变换公式中的相似性造成的。
d
1 j t F ( j ) d e 2
①：非周期信号可以分解成无穷多个 e jt 的连续和； ②：发生在一切频率上，是连续变化的； ③：各频率分量的系数 但F(jw)描述了各频率分量的相对比例关系，即描述了
1 F ( j )d 2
2
例3：单位冲激信号(t)的频谱:
(t)
(t ) 1
F[(t)]
(1) 0 t 0
1 w
分析： (t)的频谱包含了所有频率分量，且各个频率分量的相对大小相同。 称为白色谱。
例4：单位阶跃信号u(t)的频谱:
当 lim e
a 0 t
1 u( t ) u( t )，求u( t )的频谱。u( t ) ( ) j
1 a
1 u( t ) a j
t
2
信号与系统第四章连续系统的频域分析
极点对系统频率响应的影响更为显著。极点 会使系统频率响应在某些频率处产生谐振峰 或反谐振峰，具体取决于极点的位置和数量。 极点越靠近虚轴，对频率响应的影响越显著。 同时，极点的实部决定了系统的阻尼程度， 虚部决定了谐振频率。
05 连续系统频域性能指标评 价方法
幅频特性曲线绘制方法
确定系统的传递函数
周期信号频谱特性
离散性
周期信号的频谱是离散的，即只在某些特定的频率点 上有值。
谐波性
周期信号的频谱由基波和各次谐波组成，各次谐波的 频率是基波频率的整数倍。
收敛性
随着谐波次数的增加，谐波分量的幅度逐渐减小，即 周期信号的频谱具有收敛性。
02 傅里叶变换及其在频域分 析中应用
傅里叶变换定义与性质
信号调制与解调
在通信系统中，通过傅里叶 变换实现信号的调制与解调 过程，将信息加载到载波信 号上进行传输。
信号滤波与处理
利用傅里叶变换设计数字滤 波器，对信号进行滤波处理 以去除噪声或提取特定频率 成分。
03 拉普拉斯变换及其在频域 分析中应用
拉普拉斯变换定义与性质
定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于 将时间域的函数转换为复平面上的函数。 对于连续时间信号$x(t)$，其拉普拉斯变 换定义为$X(s) = int_{0}^{infty} x(t) e^{st} dt$，其中$s$是复数频率。
VS
性质
拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移 性、微分性、积分性、初值定理和终值定 理等重要性质。这些性质使得拉普拉斯变 换在信号与系统的分析中非常方便和有效 。
典型信号拉普拉斯变换举例
单位阶跃信号
指数信号
正弦信号
余弦信号
单位阶跃信号的拉普拉斯变 换为$frac{1}{s}$。
第四章(1)周期信号的傅里叶级数和频谱
1 j n jnt f ( t ) An e e 2 n
1 j n j n 令复数量 2 An e Fn e Fn
，称其为复
Fn
傅里叶系数，简称傅里叶系数。其模为
，
相角为 n ， 则得傅里叶级数的指数形式为 ：
f (t )
n
F e
n
jnt
复傅里叶系数
n 2 , 4 , 6 , 8 ,...... n 1 , 3 , 5 , 7 ,.....
, 0 bn 4 n ,
4
1 1 1 f t [sin t sin3t sin5t .... sinnt ...] 3 5 n
2
0
T 2
2 an 0 T
n 0,1 , 2 , 3,.......
2 bn T 2 T
0
T 2 T 2
f ( t ) si nnt dt
2 T2 (1) si nnt dt T
0
T 2 0
si nnt dt
T 2
2 1 2 1 cosnt cosnt T T n T n 0
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1 2 其中 an , bn 称为傅里叶系数， 。 T
那么,傅里叶系数如何求得呢?
T 2 T 2
a0 1 2 T
f ( t )dt
T 2 2 an T f ( t ) cos(nt )dt T 2 T b 2 2 f ( t ) sin( t )dt n n T T 2
A0 1 1 j n jnt j n jnt Ane e Ane e 2 2 n 1 2 n 1
信号与系统连续周期信号的频域分析
纯余弦形式傅里叶级数
a0 f (t ) An cos （n 0 t n） 2 n 1
其中
An
a b
2 n
2 n
bn n arctg a n
a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
则有
微分特性
f (t ) C n
f ' (t ) jn0 Cn
二、傅里叶级数的基本性质
对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号
则 | C n || C n |
Cn C n n
n
二、傅里叶级数的基本性质
例4－1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t) 的傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。
n0 1 T 1 A jn0t jn0t C n 2T f (t )e dt 2 Ae dt Sa( ) T 2 T 2 T 2
2 其中：a0 T
T /2
T / 2
f (t )dt
2 an T 2 bn T
T /2
T / 2 T /2
f (t ) cos(n0 t )dt f (t ) sin(n0 t )dt
(n = 1,2) (n = 1,2)
T / 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
a0 f (t ) An cos （n 0 t n） 2 n 1
其中
An
a b
2 n
2 n
bn n arctg a n
a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
则有
微分特性
f (t ) C n
f ' (t ) jn0 Cn
二、傅里叶级数的基本性质
对称特性
(1) 若 f(t) 为实信号
则 | C n || C n |
Cn C n n
n
二、傅里叶级数的基本性质
例4－1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t) 的傅里叶级数展开式。
f (t )
A
-T
0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。
n0 1 T 1 A jn0t jn0t C n 2T f (t )e dt 2 Ae dt Sa( ) T 2 T 2 T 2
2 其中：a0 T
T /2
T / 2
f (t )dt
2 an T 2 bn T
T /2
T / 2 T /2
f (t ) cos(n0 t )dt f (t ) sin(n0 t )dt
(n = 1,2) (n = 1,2)
T / 2
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
第四章 周期信号的频域分析
试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2π /τ)内谐波分 例4-7 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽 π 内谐波分 量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。 量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其 中A=1，T=1/4，τ=1/20。 ， ， 。
f (t )
A
−T
−
τ
2
τ
2
T
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 nω 0τ Aτ
(2)幅度衰减特性 (2)幅度衰减特 幅度衰减
当周期信号的幅度频谱 随着谐波 ω0增 随着谐波nω 不断衰减，并最终 大 时，幅度频谱|Cn|不断衰减 不断衰减 趋于零。 若信号时域波形变化越平缓 时域波形变化越平缓，高次谐波 时域波形变化越平缓 成分就越少，幅度频谱衰减越快 幅度频谱衰减越快；若信 幅度频谱衰减越快 号时域波形变化跳变越多，高次谐波成 分就越多，幅度频谱衰减越慢。
4 4
P1 = ∑ | C n | =
2 n = —4
2 C0
+ 2 ∑ | Cn |2
n =1
= 0.1806
Cn
Aτ / T
−
2π
2π
4.3.1 周期信号频谱的概念 周期信号频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号 周期信号 可以分解为不同频率虚指数信号之和 可以分解为不同频率虚指数信号之和
f ( t ) = ∑ C n e jn ω 0 t
n=−∞ n = −∞ ∞
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数 不同， 傅里叶级数的系数C 不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数 n不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 是频率的函数， 的幅度和相位随频率变化的规律， 频谱函数。 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
4-2信号的频域分析-周期信号频域分析
N=4
N=5
k 0123
k 01234
奇对称
f [k] f [k] f [N k]
N=4 3k
012
N=5 34 k
012
30
三、DFS的基本性质
4. 周期卷积定理
DFSf1[k] ~ f 2[k] DFS{ f1[k]}DFS{ f 2[k]}
DFSf1[k]
•
f 2 [k ]
1 N
响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦
信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通
过系统后，是衰减还是增强一目了然。
2
三、周期信号的频谱及其特点
1. 频谱的概念
周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和
f (t)
Cn
e jn0t
n=
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。
T
Cn
A / T
t
Cn
A
T
Sa( n0
2
)
2π
2π
0 2π / T
n 0
5
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
3 2
1
Cn
4 3 2 1
n
3
2
1
0
1
2
3
解： 由图可知 C0 4 C1 3 C2 1 C3 2
f (t)
Cne jn0t
n
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。
第4章-2信号频域分析
fk (t)dt
t2 t1
fk (t) 2 dt
定理2.
若f(t)可用完备正交函数集{ f1(t) ，…， fn(t) }
表示，则:
t2 f
t 2dt
n
t2 Ckfk(t)2dt
t1
k1 t1
物理意义：
（Parserval定理）
一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在 完备正交函数集中各分量能量（功率)之和。
0
T
1
2
t
e jnt dt 1
T T
T
2
1
T 0 T
t
f
(t)
T
(t)
n
1e T
jnt
周期信号频谱特点：
1）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成；
2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的 整数倍；
3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减25 。
二. 周期矩形脉冲的频谱
本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。
三. 用完备正交函数集表示任意信号
定理1. 若{f1(t) ，…， fn(t) }在区间( t1，t2)上
为完备正交函数集，则在 ( t1，t2)上任意函数 f(t) 可表示为: (广义傅立叶级数)
f(t) C1f1(t) C2f2(t)Ckfk(t) Cnfn(t)
其中
Ck
t2 t1
f (t)
单位频带上的频谱值
TFn T
f (t)e j tdt
F( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
（1）可写为：
f
(t)
TFn
n
1 e jnt T
第四章信号的频域分析(2)
c
1、从傅里叶级数到傅里叶变换
1 Cn T0
T0
T0 2 T 0 2
~ x (t )e jn0 t dt
jn0t ~ x (t )e dt lim x(t )e jt dt T0
lim T0Cn lim
T0 2 T T0 0 2
1 2 0 1n
2n
微分特性
若 则有
~ x (t ) Cn ~ x ' (t ) jn0Cn
例1 求图示周期信号的傅里叶级数
~ x (t )
2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
nπ nπt ~ x (t ) 1.5 Sa ( ) cos( ) 2 2 n 1
t
信号的频域分析
连续周期信号的频域分析 连续非周期信号的频域分析 离散周期信号的频域分析 离散非周期信号的频域分析 信号的时域抽样和频域抽样
连续周期信号的频域分析
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
三、傅里叶级数的基本性质
线性特性
若 ~ x1 (t ) C1n , ~ x2 (t ) C2n
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p /t)内
谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率 的百分比。其中A=1，T0=1/4，t=1/20。
~ x (t )
A
T0
t
2
t
2
T0
t
解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为 n0t At Cn Sa ( ) T0 2 将A=1，T0=1/4，t = 1/20，0= 2p/T0 = 8p 代入上式
第4章 周期信号的频域分析
(2) 原点对称信号（奇对称信号）f(t)=f(t)
f(t) A
T0 / 2
0 T0 / 2 -A
t
2 an T0 2 bn T0
T0 2 T 0 2 T0 2 T 0 2
f (t ) cos n0tdt 0 4 f (t ) sin n0tdt T0
T0 2 0
4
相位谱的作用
幅度谱决定图像(信号) 中各种频率分量的多少
相位谱决定每一种频率 分量在图像(信号)中的位置
四、周期信号的功率谱
• 帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理
1 P T0
T0 2 T 0 2
f (t ) dt
2
n
Cn
2
物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含 的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱： |Cn|2 随n0 分布情况称为周 期信号的功率频谱，简称功率谱。
直接画出信号各次谐波对应的 Cn , n线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn Cn e jn
幅频特性 相频特性
例1周期矩形脉冲信号的频谱图
n0 A Cn Sa( ) T0 2
Cn
A / T
2
2
n 0
0 2 / T
周期信号的频谱
f(t) A
A n Cn Sa( ) T 2
T
0
T0 / 2
2 20 4 an T0 f (t ) cos n0tdt T0 2 T0 T0 2 2 bn T0 f (t ) sin n0tdt 0 T0 2
T0 2 0
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周期信号：给定连续信号f(t), 若存在一个正常数T0 , 使得
f (t T0 ) f (t0 ), t R
则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。
0 2 / T0 : f (t )的基波角频率(Fundamental Angular Frequency) ;
N 0
n N
N
Cn e jn0t ,
lim | f (t ) f N (t ) |2 dt 0.
T0
周期信号f(t)的Fourier 级数存在条件 1. f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：
T0 t0
t0
| f (t ) | dt 0.
2. f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极 小值点的个数有限(强Dirichlet条件)
n 1
(4.11)
6
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由于Fourier级数的系数Cn一般为复数， 记 an jbn a0 Cn , C0 , 2 2
将上式代入(4.11), 得
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
en (t ) e jn0t , n 0, 1, 2, (4.2)
易知， en (t（ ) 0）是周期信号，它的基波频率为nf0 , 基波周期为T0 / n。
2
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由这些信号的线性组合构成的信号
是一个周期为T0的信号。
f (t )
n
n
其三角形式的Fourier级数为
f (t ) ( A / T0 ) (2 A / T0 )Sa(n0 / 2)cos(n0t ).
n1
10
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-2 求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数 表示式。 解: 由图4-2 可知T0=2, 所以
n 1
公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。 注: 对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；
三角形式的Fourier 级数的系数是实数；
分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。
8
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-1 求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。 解: 在(4.6)中取t0 T0 / 2,则有
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj jn t f (t ) sin( n / 2) e . 2 2 n , n 0 n 其三角形式的Fourier级数为
13
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 注： 在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且
在信号的连续点处， Fourier级数收敛于信号真值；在信号
不连续点处， Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如 图4-3所示。
14
4.1 连续周期信号的Fourier级数
j T0 /2 f (t )sin(n0t )dt. T /2 T0 0
图4-5 奇对称信号
19
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号 Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有
Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为
f (t ) bn sin(n0t )
1 T0 /2 Cn f (t )e jn0t dt T0 T0 /2
图4-1 周期矩形脉冲
1 /2 jn0t A /2 Ae dt e jn0t |tt /2 T0 /2 T0 ( jn0 ) A (e jn0 /2 e jn0 /2 ) T0 (n0 / 2)(2 j )
Cn C .
* n
(4.7)
证明:
1 T0 t0 1 T0 t0 j n 0 t * C n f (t )e dt C n f (t )e-j n 0 t dt T0 t0 T0 t0
* Cn C n.
5
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数 注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是 共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。
3
4.1 连续周期信号的Fourier级数
根据{en(t)} 的正交性，有
T0
0
en (t )e (t )dt e j( n k ) 0 t dt T0 [n k ]
* k 0
T0
1 因此，得： Ck T0
T0
0
f (t )e -j k 0 t dt.
(4.4)
结论 : 如果一个周期信号f (t )的Fourier级数表示式成立, 则其系数可由(4.4)计算.
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
C e
n
j n 0 t
(4.3)
在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量； n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量 或一次谐波分量； n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波 分量； n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。 周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。 Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。
A sin(n0 / 2) A Sa(n0 / 2) T0 n0 / 2 T0
9
4.1 连续周期信号的Fourier级数
因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为
f (t )
jn0 t ( A / T )Sa( n / 2) e . 0 0
第四章 周期信号的频域分析
主 要 内 容
1. 连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质 2. 连续周期信号的频谱分析
3. 离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*
4. 基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法
1
4.1 连续周期信号的Fourier级数
一、指数形式的Fourier级数
0 2 / 2 .
f(t)在区间(-1/2, 3/2)的表达式为
| t | 1 / 2 2 At , f (t ) 2 A(1 t ), 1 / 2 t 3 / 2 由 f(t) 的波形知，C0=0。
取t0= -1/2, 则Fourier系数为
图4-2 周期三角形脉冲
T0 /2
T0 /2 T0 /2
f (t )e jn0t dt [ f (t ) cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt f (t ) cos(n0t )d T0
T0 /2
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
n 1
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
20
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2)，则 称为半波重叠信号。例如，图4-6。
图4-6 半波重叠信号 易知，这种信号的基波周期T1=T0/2, 对应的角频率为
f 0 1/ T0 : f (t )的基波频率(Fundamental Frequency)
虚指数信号 f (t ) e j0t
(4.1)
( 联想单位圆)
是周期信号, 其基波频率为f0 0 / 2 , 基波周期为T0 1/ f0 。 将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号
n 1
易知
2 an T0
T0 t0
t0
f (t ) cos( n0t )dt ,
(4.15)
2 T0 t0 bn f (t )sin(n0t )dt , (4.16) t T0 0
7
4.1 连续周期信号的Fourier级数
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
8A f (t ) 2 2 sin(n / 2)sin(n t ) n 1 n 8A 1 1 1 2 [sin( t ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) ]. 9 25 49
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 Fourier级数的部分和为 f N (t ) 在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指
f (t T0 ) f (t0 ), t R
则称f(t)为周期信号。满足上式的最小T0称为周期信号的基波周期。
0 2 / T0 : f (t )的基波角频率(Fundamental Angular Frequency) ;
N 0
n N
N
Cn e jn0t ,
lim | f (t ) f N (t ) |2 dt 0.
T0
周期信号f(t)的Fourier 级数存在条件 1. f(t)在一个周期内绝对可积(软Dirichlet条件)，即：
T0 t0
t0
| f (t ) | dt 0.
2. f(t)在一个周期内不连续点的个数有限、极大值和极 小值点的个数有限(强Dirichlet条件)
n 1
(4.11)
6
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由于Fourier级数的系数Cn一般为复数， 记 an jbn a0 Cn , C0 , 2 2
将上式代入(4.11), 得
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
图4-3所示
15
4.1 连续周期信号的Fourier级数
图4-3所示
16
4.1 连续周期信号的Fourier级数
四、 信号的对称性和Fourier系数的关系 周期信号的对称性分为两类。
第一类：整个周期对称性(例如，奇函数或偶函数)； 第二类：前半周期和后半周期相同或成镜像关系。
下面，讨论不同的对称情况下，Fourier系数的性质。
en (t ) e jn0t , n 0, 1, 2, (4.2)
易知， en (t（ ) 0）是周期信号，它的基波频率为nf0 , 基波周期为T0 / n。
2
4.1 连续周期信号的Fourier级数
由这些信号的线性组合构成的信号
是一个周期为T0的信号。
f (t )
n
n
其三角形式的Fourier级数为
f (t ) ( A / T0 ) (2 A / T0 )Sa(n0 / 2)cos(n0t ).
n1
10
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-2 求图4-2所示周期三角形脉冲信号的Fourier级数 表示式。 解: 由图4-2 可知T0=2, 所以
n 1
公式(4-14)称为三角形式的Fourier级数表示式。 注: 对实信号而言，两种形式的Fourier级数是等效的；
三角形式的Fourier 级数的系数是实数；
分析时用指数形式的，数值计算时用三角形式的。
8
4.1 连续周期信号的Fourier级数
例4-1 求图4-1所示幅度为A、周期为T0、脉冲宽度为 的周期矩形脉冲的Fourier级数表示式。 解: 在(4.6)中取t0 T0 / 2,则有
11
4.1 连续周期信号的Fourier级数
1 1/2 1 3/2 jn t Cn 2 Ate dt 2 A(1 t )e jn t dt 2 1/2 2 1/2 4 Aj 2 2 sin(n / 2). n
因此，该信号的指数形式的Fourier级数为 4 Aj jn t f (t ) sin( n / 2) e . 2 2 n , n 0 n 其三角形式的Fourier级数为
13
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 注： 在满足以上两个条件下，信号的Fourier级数收敛。且
在信号的连续点处， Fourier级数收敛于信号真值；在信号
不连续点处， Fourier级数收敛于左右极限的平均值。例如 图4-3所示。
14
4.1 连续周期信号的Fourier级数
j T0 /2 f (t )sin(n0t )dt. T /2 T0 0
图4-5 奇对称信号
19
4.1 连续周期信号的Fourier级数
2 奇对称信号 Fourier级数的系数Cn是纯虚数，虚部是奇对称的，且有
Cn=-jbn/2。Fourier级数可简化为
f (t ) bn sin(n0t )
1 T0 /2 Cn f (t )e jn0t dt T0 T0 /2
图4-1 周期矩形脉冲
1 /2 jn0t A /2 Ae dt e jn0t |tt /2 T0 /2 T0 ( jn0 ) A (e jn0 /2 e jn0 /2 ) T0 (n0 / 2)(2 j )
Cn C .
* n
(4.7)
证明:
1 T0 t0 1 T0 t0 j n 0 t * C n f (t )e dt C n f (t )e-j n 0 t dt T0 t0 T0 t0
* Cn C n.
5
4.1 连续周期信号的Fourier级数
二、 三角形式的Fourier级数 注: (4.7)指出“当信号f(t)为实函数时， f (t)的Fourier系数是 共轭偶对称”。利用此性质，可进一步表示指数Fourier级数。
3
4.1 连续周期信号的Fourier级数
根据{en(t)} 的正交性，有
T0
0
en (t )e (t )dt e j( n k ) 0 t dt T0 [n k ]
* k 0
T0
1 因此，得： Ck T0
T0
0
f (t )e -j k 0 t dt.
(4.4)
结论 : 如果一个周期信号f (t )的Fourier级数表示式成立, 则其系数可由(4.4)计算.
1 2 / T1 20
21
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号
信号的 Fourier级数可写为
f (t )
C e
n
j n 0 t
(4.3)
在(4.3)式中，n=0的项称为信号的直流分量； n=+1和n=-1的两项的基波频率都为f0，两项之和称为信号的基波分量 或一次谐波分量； n=+2和n=-2的两项的基波频率都为2f0，两项之和称为信号的2次谐波 分量； n=+N和n=-N的两项之和称为信号的N次谐波分量。 周期信号的Fourier级数：若一个连续周期信号可以表示为(4.3)的形式。 Fourier级数的系数Cn可由{en(t)}的正交性求得。
A sin(n0 / 2) A Sa(n0 / 2) T0 n0 / 2 T0
9
4.1 连续周期信号的Fourier级数
因此，周期矩形脉冲信号的指数形式的Fourier级数为
f (t )
jn0 t ( A / T )Sa( n / 2) e . 0 0
第四章 周期信号的频域分析
主 要 内 容
1. 连续周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质 2. 连续周期信号的频谱分析
3. 离散周期信号的Fourier(傅里叶)级数及其基本性质*
4. 基于Matalab软件的周期信号频谱的计算方法
1
4.1 连续周期信号的Fourier级数
一、指数形式的Fourier级数
0 2 / 2 .
f(t)在区间(-1/2, 3/2)的表达式为
| t | 1 / 2 2 At , f (t ) 2 A(1 t ), 1 / 2 t 3 / 2 由 f(t) 的波形知，C0=0。
取t0= -1/2, 则Fourier系数为
图4-2 周期三角形脉冲
T0 /2
T0 /2 T0 /2
f (t )e jn0t dt [ f (t ) cos(n0t ) jf (t )sin(n0t )]dt f (t ) cos(n0t )d T0
T0 /2
Fourier级数的系数Cn是实偶对称的，且Cn=an/2。因此，
n 1
注：实奇对称信号的Fourier级数展开式中只含正弦项。
20
4.1 连续周期信号的Fourier级数
3 半波重叠信号 周期为T0的信号f(t), 若具有关系 f (t ) f (t T0 / 2)，则 称为半波重叠信号。例如，图4-6。
图4-6 半波重叠信号 易知，这种信号的基波周期T1=T0/2, 对应的角频率为
f 0 1/ T0 : f (t )的基波频率(Fundamental Frequency)
虚指数信号 f (t ) e j0t
(4.1)
( 联想单位圆)
是周期信号, 其基波频率为f0 0 / 2 , 基波周期为T0 1/ f0 。 将虚指数信号经过整数倍因子的尺度变换后，可得一组复信号
n 1
易知
2 an T0
T0 t0
t0
f (t ) cos( n0t )dt ,
(4.15)
2 T0 t0 bn f (t )sin(n0t )dt , (4.16) t T0 0
7
4.1 连续周期信号的Fourier级数
f (t ) a0 / 2 [ an cos( n0t ) bn sin( n0t )]. (4.14)
8A f (t ) 2 2 sin(n / 2)sin(n t ) n 1 n 8A 1 1 1 2 [sin( t ) sin(3 ) sin(5 ) sin(7 ) ]. 9 25 49
12
4.1 连续周期信号的Fourier级数
三、 Fourier级数的收敛条件 Fourier级数的部分和为 f N (t ) 在能量意义下fN(t)收敛于f(t)是指