利用MATLAB合成音乐的函数模拟实现与比对宋晓婷【摘要】文章将音乐的发声原理与数值巧妙联系,给出具体的定义及函数关系.利用数学公式计算出每个音符在不同曲调下的频率,再由MATLAB软件编译程序,结合乐理知识,结合钢琴键盘上各音符的间隔规律表示出各声调高低、延续时间、及音调间的衔接,停顿时间如果简单地用频率为0来设置,就不会有原曲的效果,经过调试,将其与时间函数联系再用0作积,可以任意控制每小节节拍,使其达到曲目要求.在此基础上,通过改进模型程序,加入指数函数使乐音听起来不再生硬,句尾会以光滑形式逐渐消失.改用傅里叶级数模拟出歌曲的原声效果,曲调欢快流畅,重音清晰,可以让人很快听出节拍,哼出曲调.文章以维吾尔族民歌《阿拉木汗》为例,通过4种不同方案的程序比对,肯定了傅里叶级数在波动模拟效果方面的优势,充分证实高等数学知识及相关软件在音乐谱曲方面的巨大作用.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)001【总页数】6页(P27-32)【关键词】MATLAB;音高频率;包络;傅里叶变换【作者】宋晓婷【作者单位】山西建筑职业技术学院,山西太原 030619【正文语种】中文【中图分类】O242.1MATLAB 是一种用于算法开发、符号运算、数据可视化、数据分析以及数值运算的高级技术计算语言和交互式环境.它的应用范围非常广,包括信号和图像处理、仿真、通讯、控制系统设计、测量和测试、建模和分析以及计算生物学等众多应用领域.它还被称为矩阵实验软件,可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等.可以编写程序或调用存储函数解决数学问题,如初等数学的代数计算、三角函数求值;高等数学中的微积分计算;线性代数求解行列式、矩阵、线性方程组;微分方程求通解、特解;进行拉普拉斯变换,傅里叶级数的计算;还可以进行数据的筛检、对数据进行插值拟合、对未来数据的估测、给出误差分析等等多方面的应用,可以说是涉及面广,功能强大.1 相关知识先介绍一下乐理方面的相关知识,关于简谱和琴键的对应关系:基本音阶(是以全音、半音以及其他音程顺次排列的一串音)为C调大音阶,在钢琴上弹奏时全用白键,中央C是小字一组的do,也有D调、F调等.音阶分为“大音阶”和“小音阶”,即“大调式”和“靶〉魇”.大音阶由7个音组成,其中第3，4(即mi和fa)音之间和第7，8(即xi和高音do)音之间是半音程,其他音之间是全音程.小音阶第2，3(即re和mi)音之间和5，6(即so和la)音之间为半音程.这里不同的音高决定不同的声音频率,在软件中用不同的数值体现,起到调节音调的作用,经过数学公式调整可以模仿出原唱的效果.2 曲谱的公式化本文在MATLAB中表示乐音所用的抽样频率为fs=22 050 Hz,也就是所1 s钟内有22 050个点,根据抽样点数的多少就可表示出每个乐音持续时间的长短.给每个乐音定义存储对应的抽样点,再用sound函数播放即可.选编歌曲《阿拉木汗》部分简谱1=F 4/4图1 琴键与简谱的对应如图,4/4分母的4表示曲谱以四分音符为一拍,分子的4表示每小节4拍.利用MATLAB编写乐音需要区别每个音的节拍,确定其震动时间,数字下两横表示这个音是四分之一拍,4个这样的音为一拍;数字下一横表示这个音是二分之一拍,即半拍,两个这样的音为一拍;数字下方无横线表示这个音是一拍.数字之间的点代表半拍,这样可知每小节各个音节均为四拍.1=F表示小字一组的f1对应do的音,依次向前向后类推得表1.表1 常用琴键调高、音高、频率的关系F调5·低音so6·低音la7·低音xi1do2re3mi4fa琴键c1d1e1f1g1a1b1降1音高60626465676970频率Hz261 6293 7329 6349 2392 0440 0466 25so6la7xi1·高音do2·高音re3·高音mi4·高音fa5·高音soc2d2e2f2g2a2b2降1c37274767779818284523 3587 3659 3698 5784 0880 0932 31046．5注:1)频率是由公式f=440×2(p-69)/12根据p的值用MATLAB计算得到的. 2)由于mi与fa、高音mi与fa均是半音程,b1降1 和b2降1表示该键左侧上方的黑键,音高只相差1.虽然低音xi与do的音高也只相差1,但在琴键上此处正好分别位于e1和f1的位置,它们正好也是半音程,所以无需降1.3)表格只列出需要音高的数据,可根据实际向前或向后适当扩展.3 函数模拟音乐效果比对利用MATLAB的m文件编写音调和节拍程序如下,这里将低音so到高音so每个音调的一拍、半拍和四分之一拍给出定义,这个范围可以包括大多数歌曲的使用.若想保证所有曲谱的编写,只需将琴键上各个组别的音调类比给出定义即可.编写m文件如下[1]:3.1 有敲击声音,没空拍function g=key(p，n，fs)t=0∶1/fs∶4/n;g=(sin(2*pi*fre(p)*t));plot(g); %画出函数图像function f=fre(p)f=440*2＾((p-69)/12).3.2 有敲击声音,有空拍由于每小节之间停顿的时间不同,要使歌曲听起来更逼真,就需要将此部分也考虑上.在前段程序中加入条件语句if和else,给空拍增加定义,且不能简单地定义为0,它的时间受节拍的控制,因此表达式与时间t有关,用0去乘之后,既有音调的无声体现,又涵盖相应的时间延续,控制每个乐音持续的时间要符合节拍,在歌曲播放出来时就会有空拍了.function g=key(p，n，fs)t=0∶1/fs∶4/n;if p==-1 %定义空拍g=0*(sin(2*pi*fre(p)*t));elseg=(sin(2*pi*fre(p)*t));endplot(g)function f=fre(p)f=440*2＾((p-69)/12);3.3 指数函数对音乐的影响效果消除敲击声音这是由于相位不连续产生了高频分量[2].这里可以类比实际中铁轨的弯道和直线衔接处,如果直接相连则会产生曲率的突变,导致火车侧翻或出轨,通常使用一个和轨道长度及曲率半径相关的三次函数来衔接,使曲率由0逐渐增大至弯道值再相连,这样就不会有危险.我们可以采用指数衰减的包络修正每个乐音,以保证在乐音的邻接处信号幅度为0.给每个乐音加一个指数衰减的包络,使声音有个减弱的过程,音调的清晰度增加,似有回声效果.function g=key(p，n，fs)t=0∶1/fs∶4/n;tt=4/n∶-1/fs∶0;g=(sin(2*pi*fre(p)*t)).*exp(tt);plot(g);function f=fre(p)f=440*2＾((p-69)/12).3.4 傅里叶技术对音乐的影响效果利用傅里叶技术在音乐中增加一些谐波分量[2],幅度要小于基波,不能掩盖住主体的音乐声调,需要加强声音的连贯程度.各个音结束时都有相对拉长的一个减弱过程,尾部音尤其明显.添加后声音比较浑厚,圆润饱满,在不会弹钢琴的情况下也能自己谱曲,享受一下自己的劳动果实.function g=key(p，n，fs)t=0∶1/fs∶4/n;tt=4/n∶-1/fs∶0;if p==-1g=0*(sin(2*pi*fre(p)*t)+0.2*sin(6*pi*fre(p)*t)).*exp(tt);elseg=(sin(2*pi*fre(p)*t)+0.2*sin(6*pi*fre(p)*t)).*exp(tt);endplot(g);function f=fre(p)f=440*2＾((p-69)/12).如果声音还比较尖锐,有些许刺耳,可能是选择的基波频率不合适,或者可以再加入另一种频率的谐波,变换他们的系数进行调试可达到良好的效果.3.5 定义各音符频率、节拍、音调及空拍fs=22 050; %每秒振动次数,即频率t=0∶1/fs∶0.5; %每拍时间c1-4=key(60，4，fs); %低音so一拍c1-8=key(60，8，fs); %低音so半拍c1-16=key(60，16，fs); %低音so四分之一拍d1-4=key(62，4，fs); %低音la一拍d1-8=key(62，8，fs); %低音la半拍d1-16=key(62，16，fs); %低音la四分之一拍e1-4=key(64，4，fs); %低音xi一拍e1-8=key(64,8，fs); %低音xi半拍e1-16=key(64，16，fs); %低音xi四分之一拍f1-4=key(65，4，fs); %do一拍f1-8=key(65，8，fs); %do半拍f1-16=key(65，16，fs); %do四分之一拍g1-4=key(67，4，fs); %re一拍g1-8=key(67，8，fs); %re半拍g1-16=key(67，16，fs); %re 四分之一拍a1-83=key(69，8/3，fs); %mi 一拍半a1-4=key(69，4，fs); %mi 一拍a1-8=key(69，8，fs); %mi 半拍a1-16=key(69，16，fs); %mi 四分之一拍b1-4=key(70，4，fs); %fa 一拍b1-8=key(70，8，fs); %fa 半拍b1-16=key(70，16，fs); %fa 四分之一拍c2-4=key(72，4，fs); %so 一拍c2-8=key(72，8，fs); %so 半拍c2-16=key(72，16，fs); %so四分之一拍d2-4=key(74，4，fs); % la一拍d2-8=key(74，8，fs); % la半拍d2-16=key(74，16，fs); %la四分之一拍e2-4=key(76，4，fs); %xi一拍e2-8=key(76,8，fs); %xi半拍e2-16=key(76，16，fs); %xi四分之一拍f2-4=key(77，4，fs); %高音do一拍f2-8=key(77，8，fs); %高音do半拍f2-16=key(77，16，fs); %高音do四分之一拍g2-4=key(79，4，fs); %高音re一拍g2-8=key(79，8，fs); %高音re半拍g2-16=key(79，16，fs); %高音re四分之一拍a2-83=key(81，8/3，fs); %高音mi一拍半a2-4=key(81，4，fs); %高音mi一拍a2-8=key(81，8，fs); %高音mi半拍a2-16=key(81，16，fs); %高音mi四分之一拍b2-4=key(82，4，fs); %高音fa一拍b2-8=key(82，8，fs); %高音fa半拍b2-16=key(82，16，fs); %高音fa四分之一拍c3-4=key(84，4，fs); %高音so一拍c3-8=key(84，8，fs); %高音so半拍c3-16=key(84，16，fs); %高音so四分之一拍k-4=key (-1,4,fs); %空一拍k-8=key (-1,8,fs); %空半拍k-16=key (-1,16,fs); %空四分之一拍3.6 合成音乐part1=[c2-16 c2-16 c2-16 c2-16 c2-8 b1-8 a1-83 f2-8];%第十一部分重复part2=[e2-16 d2-16 a2-16 g2-16 f2-16 d2-16 e2-8 f2-8 k-8 k-4];part3=[c1-16 f1-16 f1-16 f1-16 e1-16 f1-16 g1-8 a1-83 f2-8];part4=[e2-16 d2-16 c2-16 b1-16 a1-16 f1-16 g1-8 f1-4 k-4];%第十部分重复part5=[k-8 c2-16 c2-16 c2-8 d2-8 f2-16 f2-16 f2-8 k-4];part6=[k-4 f2-16 f2-16 f2-8 d2-16 f2-16 d2-16 c2-16 c2-8 k-4];part7=[k-8 f2-16 f2-16 f2-8 f2-8 d2-16 f2-16 d2-16 c2-16 c2-8 a1-8]; part8=[k-8 c2-16 c2-16 a1-8 a1-8 g1-16 g1-16 a1-8 k-4];part9=[c1-16 f1-16 f1-16 f1-16 f1-8 g1-8 a1-83 f2-8];part12=[e2-16 d2-16 a2-16 g2-16 f2-16 d2-16 e2-8 f2-4 k-4];part13=[c2-16 c2-16 c2-16 c2-16 c2-8 b1-8 a2-83 f2-8];part14=[e2-16 f2-16 g2-16 a2-16 g2-16 d2-16 e2-8 f2-4 k-4];line1=[part3 part4 part3 part4 part5 part6 part7 part8 part9 part4];line2=[part1 part12];line3=[part13 part14];legend=[line1 line2 line3];sound(legend,fs)4 频谱分析图2 fs=1000波形振动图像频率可适当调整,图2是当fs=1 000临界值时的波形振动图像.频率越大图像越密,声音越流畅,更接近原声,通常取8 000,14 400等;频率取值越小图像分割越粗糙,声音不流畅,间隔明显,听起来与原声相差甚远.如fs=200则出错,低于1 000为无效的样本率.利用clear sound命令可以随时停止音乐播放.5 总结本设计用MATLAB构建的音乐合成程序简单易懂,可灵活多变,成功地实现了音乐的简单合成、音乐的降噪处理以及音乐的加傅里叶变换谐波处理,使得生涩的音乐逐步调整为优美动听的声音.利用软件的强大功能实时给出相应频率分析图像,更清晰地显示曲子的频率与曲调的关系.我们可以充分发挥自己的创新能力,通过选取不同的加工算法,对音乐分别处理,抑制噪声,改善音乐质量,便于人们欣赏品鉴.参考文献：【相关文献】[1] 杨晓华,孔令泉，王志刚，等.MATLAB权威指南[M].北京：机械工业出版社,2013[2] 李敏，张维维，姜明新，等.基于MATLAB的音乐分析与合成实验设计[J].大连民族学院学报,2010，12(3)：269-271。
