《近世代数》模拟试题1及答案

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近世代数模拟试题

一、单项选择题(每题5分,共25分)

1、在整数加群(Z,+)中,下列那个就是单位元( )、

A、0

B、 1

C、-1

D、1/n,n就是整数

2、下列说法不正确的就是( )、

A 、G只包含一个元g,乘法就是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群;

B 、G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群;

C 、G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群;

D、G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群、

3、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )、

A 、反身性B、对称性C、传递性D、封闭性

4、对整数加群Z来说,下列不正确的就是( )、

A、Z没有生成元、

B、1就是其生成元、

C、-1就是其生成元、

D、Z就是无限循环群、

5、下列叙述正确的就是( )。

A、群G就是指一个集合、

B、环R就是指一个集合、

C、群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,

逆元存在、

D、环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,

逆元存在、

二、 计算题(每题10分,共30分) 1、 设G 就是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作

成的群,试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,

的阶、

2、 试求出三次对称群

{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群、

3、若e就是环R的惟一左单位元,那么e就是R的单位元不?若就是,请给予证明、

三、证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分)、

1、证明: 在群中只有单位元满足方程

2.

x x

=

2.设G就是正有理数乘群,G就是整数加群、证明:

:2n b

n a

ϕ

就是群G到G的一个满同态,其中,a b就是整数,而(,2)1

ab=、

3.设S就是环R的一个子环、证明: 如果R与S都有单位元,但不相等,则S的单位元必为R的一个零因子、

近世代数模拟试题答案

2008年11月

一、单项选择题(每题5分,共25分)

1、 A

2、 D

3、 D 4 、 A 5 、 C

二、 计算题(每题10分,共30分) 1、 解:

易知 c 的阶无限, (3分)

d 的阶为2、 (3分)

但就是 11,01cd ⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

(2分)

的阶有限,就是2、 (2分) 2. 解:3S 的以下六个子集

{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),

H H H ===

{}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === (7分)

对置换乘法都就是封闭的,因此都就是3S 的子集、 (3分) 3. 解: e 就是R 的单位元。

事实上,任取,,a b R ∈ 则因e 就是R 的左单位元,故

()(),ae a e b a eb ab eb ab ab b b -+=-+=-+=

即 ae a e -+也就是R 的左单位元。故有题设得 ,.ae a e e ae a -+=∴= 即 e 就是R 的单位元、 三、证明题(每小题15分共45分)

1. 证明:

设e 就是G 的单位元,则e 显然满足所说的方程 (3分) 另外, 设a G ∈且2

a a =,则有

121,a a a a --= 即,a e = (5分)

即只有e 满足方程 2

.x x

= (2分)

2、 证明: ϕ显然就是G 到G 的一个满射 (3分)

又由于 当(,2)1,(,2)1ab cd ==时有

(,2)1abcd = (4分)

(22)(2)(2)(2).

n m n m n m b d bd

n m a c ac

b d

a c

ϕϕϕϕ+⋅⋅⋅=⋅

=+=⋅⋅ (6分)

故 ϕ就是群G 到G 的一个同态满射。 (2分)

3 证明:

分别用e 与e '表示R 与S 的单位元,且e e '≠,

于就是e '不就是R 的单位元。 (3分) 因此,存在0a R ≠∈,使

ae a '≠或e a a '≠ (5分)

如果ae a '≠,则0ae a '-≠,且

()0,ae a e ae ae ''''-=-= (4分) 即e '就是R 的(右)零因子。 (3分) 同理,如果,e a a '≠则e '就是R 的(左)零因子、 (5分)