第六章《实数》总复习课件_PPT
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人教版《实数》优秀课件初中数学ppt
品比赛，小红很高兴，他 想裁出一块面积为25dm2 的正方形画布，画上自己 的得意之作参加比赛，这 块正方形画布的边长应取 多少？你能帮小明算一算 吗？
二、推进新课
填表1
正方形的边长 1 正方形的面积 1
3 0.1 9 0.01
思考:你能从表格中发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方， 这就是平方运算。
一、创设情境，导入新课 一、创设情境，导入新课 算数平方根的数学符号表示 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 第1课时 算术平方根 了解算术平方根的概念； 思考:你从表2中能发现什么？ 算术平方根具有双重非负性 算数平方根的数学符号表示 已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 了解算术平方根的概念； 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 用大小完全相同的250块正方形地板砖，铺一间面积为160 m2的地面，每块地板砖的边长是多少？ 第1课时 算术平方根 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 已知一个正数，求这个正数的平方，这就是平方运算。
已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。
算数平方根的数学符号表示
所以m+n=2
了解算术平方根的概念；
算术平方根具有双重非负性
问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方
二、推进新课
填表1
正方形的边长 1 正方形的面积 1
3 0.1 9 0.01
思考:你能从表格中发现什么共同点吗？
已知一个正数，求这个正数的平方， 这就是平方运算。
一、创设情境，导入新课 一、创设情境，导入新课 算数平方根的数学符号表示 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 第1课时 算术平方根 了解算术平方根的概念； 思考:你从表2中能发现什么？ 算术平方根具有双重非负性 算数平方根的数学符号表示 已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 了解算术平方根的概念； 问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方 形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 一个正数有两个算术平方根，且互为相反数。 用大小完全相同的250块正方形地板砖，铺一间面积为160 m2的地面，每块地板砖的边长是多少？ 第1课时 算术平方根 会用根号表示一个数的算术平方根（重点）； 已知一个正数，求这个正数的平方，这就是平方运算。
已知一个数的平方，求这个数的运算叫做开平方。
算数平方根的数学符号表示
所以m+n=2
了解算术平方根的概念；
算术平方根具有双重非负性
问题：学校要举行美术作品比赛，小红很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方
第六章 实数(复习课件)七年级数学下册(人教版)
举一反三
【7-2】如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2，且面积为30cm2?请说明理由.
解:不能.理由如下：因为大正方形纸片的面
积为( 18)2+( 18)2=36(cm2) ，
高频考点
高频考点七 实数的综合运用
(3)如果2+ 5的整数部分是a，小数部分是b，求出a-b的值.
(3)因为 4< 5< 9，即2< 5<3，
所以4<2+ 5<5，
所以2+ 5的整数部分为4，小数部分为2+ 5-4= 5-2，即a=4，b= 5-2，
所以a-b=4-( 5-2)= 6- 5.
举一反三
【7-1】若 2的整数部分为x，小数部分为y，则 2x-y的值是( C )
A.2 2-2
B.2
C.1
D. 2
【7-2】如图，用两个边长为 18cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长
方形纸片长宽之比为3:2，且面积为30cm2?请说明理由.
0
一个，为负数
3
a
可以为任何数
知识梳理
四、实数及其运算
有理数包括整数和分数，它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形
式.
5 3 27 11 9
, , , , .
2 5 4 9 11
5
2.5
2
3
0.6
5
27
6.75
4
.
11
第6章《实数》 小结与复习 人教版七年级数学下册课件(21张ppt)
(1) 25； (2) 6 1 ；(3) ( 10)2.
36
4
2. 求下列各数的立方根：
(1) 8 ；(2) 0.027；(3)1 7 .
125
8
解1题.答时案，：要(1注) 意56题；目(2)的要52；求(，3)是±求10平. 方根、立方根还是
求2算.答术案平：方(1根) ，52要；注(2意)0.所3；求(3结) 12果. 处理.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【注意】 3，, π 不属于分数而是无理数. 23
考点三 实数的估算与数轴的结合 【例3】(1) 20 位于相邻整数 4 和 5 之间.
(2) 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
a b (b a)2 -2a .
a 0b
1. 实数与数轴上的点是一一对应的关系； 2. 在数轴上表示的数，右边的数总是比左边的数大.
深学细悟 请回顾、整理你曾在实数运算中出现的错误，通过错 题本等形式并尝试分类归纳，总结若干关于实数运算 的经验教训，并与其他同学分享. 错题本示例：
开立方运算时要注意小数点的变化规律，开立方是三 位与一位的关系，开平方是二位与一位的关系.
【例6】计算：
2 2
2 3
2 4
5 2 12
.
练一练
4. 用计算器计算：
(1) 7 π (精确到0.01)；
(2) 6 π (精确到0.01)；
答案：(1) 5.79； (2) 5.48.
练一练 5.(1) 2 2 的相反数是__2__2__，2 3 的相反数是_3____2_，
对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据 结果去判断.
练一练 2.（1）在 23，0.618，π，3 8， 3 中，
第六章实数复习(公开课)ppt课件
在几何图形中，我们也需要使用在绘制函数图像时，我们需要使用实 数。例如，绘制一次函数、二次函数 、三角函数等图像时都需要用到实数 。
科学问题中的实数应用
物理测量
在物理学中，许多物理量都是用 实数来表示的。例如，物体的速 度、加速度、力等都需要用到实
总结词
实数减法的运算律
详细描述
实数减法具有一些重要的运算律，如差不变性质、减法结 合律和减法交换律等。这些运算律可以帮助我们简化复杂 的减法计算，提高计算的准确性和效率。
实数的乘法
总结词
实数乘法的定义与性质
详细描述
实数乘法是数学中的基本运算之一，它具有结合律、交换 律和分配律等性质。实数乘法可以用来解决许多实际问题 ，如计算面积、解决概率问题等。
根式的化简
化简根式是指将根式化简为一个最简 形式的过程。例如，√8=2√2，因为8 可以分解为4×2，而4的平方根是2， 所以√8=2√2。
Part
05
实数的应用
生活中的实数应用
长度测量
在日常生活中，我们经常需要测 量物体的长度、宽度和高度等， 这些都需要用到实数。例如，测 量房间的尺寸、家具的大小等。
总结词
实数乘法的几何意义
详细描述
实数乘法的几何意义可以理解为将数轴上的点进行拉伸或 压缩。在数轴上，一个数乘以另一个数的结果等于一个数 覆盖另一个数的长度。
总结词
实数乘法的运算律
详细描述
实数乘法具有结合律、交换律和分配律。结合律是指 (ab)c=a(bc)；交换律是指ab=ba；分配律是指 a(b+c)=ab+ac。这些运算律可以帮助我们简化复杂的乘 法计算，提高计算的准确性和效率。
在数轴上进行乘法运算时，将数 轴上的每个点乘以一个正数或负 数，长度会相应地扩大或缩小。
人教版七年级数学下册全册第六章《实数》PPT课件
… 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的 算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数 的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小 数点就向左移动 1 位.
(2)用计算器计算 3(精确到0.001),并利用你在(1) 中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你 能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
导入新课
万物皆数
导入新课
情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想
裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得 意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你能帮小明算一算吗？
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
所以正数 t 4 2 (秒). 即铁球到达地面需要2秒.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的 算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数 的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小 数点就向左移动 1 位.
(2)用计算器计算 3(精确到0.001),并利用你在(1) 中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你 能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
导入新课
万物皆数
导入新课
情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想
裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得 意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你能帮小明算一算吗？
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
所以正数 t 4 2 (秒). 即铁球到达地面需要2秒.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
第六章实数复习(公开课)ppt课件
19世纪
数学家逐步完善实数理论 ，形成了完备的实数体系 ，为数学分析、连续函数 等研究奠定了基础。
减法运算
总结词
减法运算的基本性质
详细描述
实数的减法运算可以转化为加法运算，即a-b=a+(-b)。
总结词
减法运算的运算律
详细描述
减法运算同样满足交换律和结合律，即a-b=b-a和(ab)-c=a-(b+c)。
总结词
减法运算的运算性质
详细描述
减法的可逆性也是减法的一个重要性质，每一个数都有 唯一的相反数；另外，0是减法的单位元，任何数与0 相减都等于它本身。
总结词
加法运算的运算律
详细描述
加法运算还有一些特殊的运算律，例如，任何数与0相加 都等于它本身，即a+0=a；相反数相加等于0，即a+(a)=0。
总结词
加法运算的运算性质
详细描述
加法运算还有一些重要的运算性质，例如，加法的可逆性 ，即每一个数都有加法逆元，与它相加等于0；加法的单 位元，即有一个特殊的数0，任何数与它相加都等于它本 身。
实数在几何学中有着广泛的应用，例如在计算长度 、面积和体积时，需要使用实数表示测量值。
函数定义域与值域
实数可以用来定义各种数学函数，包括代数函数、 三角函数、指数函数和对数函数等，同时函数的值 域也由实数构成。
数学分析基础
实数对于数学分析来说是必不可少的基础，极限、 连续性和可微性的定义都离不开实数。
在物理中的应用
80%
测量与计算
在物理学中，实数常被用于表示 和计算各种物理量，如长度、时 间、质量、电荷等。
100%
物理定律的数学表达
许多物理定律可以用实数表示的 数学公式来描述，例如牛顿第二 定律 F=ma。
《实数》ppt课件
指数运算法则可以用于简化复杂的数 学表达式。
03
CATALOGUE
实数的分类
有理数和无理数
有理数
可以表示为两个整数之比的数， 包括整数、有限小数和无限循环 小数。
无理数
无法表示为两个整数之比的数， 常见于无限不循环小数，如π和 √2。
正数、负数和零
01
02
03
正数
大于零的实数，包括正整 数、正小数和正无理数。
其结果仍为实数。
详细描述
实数的加法运算与整数、有理 数类似，遵循交换律和结合律 ，即a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
总结词
正数与负数相加，结果的符号 取决于绝对值较大的数。
详细描述
如果a>0，b<0，则a+b=a-(b)；如果a<0，b>0，则 a+b=b-(-a)。
减法运算
总结词
《实数》PPT课件
目 录
• 实数的基本概念 • 实数的运算 • 实数的分类 • 实数在生活实数的基本概念
实数的定义
实数的定义
实数是包括有理数和无理数在内的所有数的集合，即实数集。实数集可以用实数轴来表 示，实数轴上的每一个点都对应一个实数，每一个实数都可以在实数轴上找到一个点来
乘法运算
总结词
乘法运算在实数范围内具有封闭性， 即任何两个实数相乘，其结果仍为实 数。
详细描述
实数的乘法运算遵循交换律和结合律 ，即ab=ba，(ab)c=a(bc)。
总结词
正数与负数相乘得负数，负数与负数 相乘得正数。
详细描述
正数乘以正数得正数，如2*3=6；正 数乘以负数得负数，如2*(-3)=-6； 负数乘以负数得正数，如(-2)*(3)=6。
人教版初中数学《实数》_精品课件
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二、探究新知
2.实数的分类
(1)分一分. 回忆并画出有理数的分类图.
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二、探究新知
有限小数及无限循环小数
整数
有理数
正整数 0
负整数
正分数
实
分数
数
负分数
正无理数
无理数 负无理数
自然数
无限不循环小数 (1)含π的数 (2)开方开不尽的数
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例1 (1)你能尝试着找出三个无理数吗？
2、3、π
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二、探究新知
(2)下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数？
-π，31 ，3.1,0.101 001 000 1…(相邻两个1之间的0的
个数逐次加1），2 ，3 8 ，36 ，3 25 ，π .
有理数：31 ，3.1，3 8 ， 36 2
无理数： -π ， 0.101 001 000 1…(相邻两个1
之间的0的个数逐次加1）
，
2
，3
25
，π 2
思考： 用根号形式表示的数一定是无理数吗？
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人教版七年级数学下册课件第六章《实数》单元复习
②按正负分类:
正实数
正有理数
正无理数
实数 0
负实数
负有理数
负无理数
(3)实数与数轴上的点是一一对应的.
6.把下列各数填入相应的大括号中(只填序号):
①－3,②
·
,③ ,④0,⑤0.7,⑥ ,⑦π,⑧－1..
(1)整数:{ ②③④ …};
(2)负分数:{ ①⑧ …};
(3)无理数:{ ⑥⑦ …}.
所示:
化简:2 (b-a)2 ＋|b＋c|－ (a-c)2 －2|a|.
解:原式＝2(b－a)＋b＋c＋a－c＋2a
＝2b－2a＋b＋c＋a－c＋2a
＝3b＋a.
A.0.09 的平方根是 0.3
B. 16＝±4
C.0 的立方根是 0
D.1 的立方根是±1
3
5.计算: -8＝ －2
.
知识点三:实数
(1)实数的概念:有理数和 无理
数统称为实数.
(2)实数的分类
①按定义分类:
实数
正有理数
有理数 0
有限小数或无限循环小数
负有理数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
第六章
实数
单元复习
知识要点
知识点一:算术平方根与平方根
(1)算术平方根:a 的算术平方根记为 a.
①正数有 1
②负数 没有
个算术平方根;
算术平方根;
③0的算术平方根是 0 .
(2)平方根:正数 a 的平方根记为± a.
①一个正数有 2
②负数 没有
个平方根,它们互为 相反
平方根;
③0的平方根是 0 .
(1)实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘
第六章《实数》总复习,ppt课件
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
aaBiblioteka 3aa≥ 0a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =
a 2 a
a a0 0 a0
.
六、无理数的整数部分与小数部分
1、π的整数部分为3，则它的
小数部分是 π－3 ； 2、 5的整数部分2是，
则它的小数部分5 是2 ；
3、记2 3的 整 数 部 a， 分小 为数 部 分b为 ,求 代 数 a(a式 b) 的 值 .
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
aaBiblioteka 3aa≥ 0a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =
a 2 a
a a0 0 a0
.
六、无理数的整数部分与小数部分
1、π的整数部分为3，则它的
小数部分是 π－3 ； 2、 5的整数部分2是，
则它的小数部分5 是2 ；
3、记2 3的 整 数 部 a， 分小 为数 部 分b为 ,求 代 数 a(a式 b) 的 值 .
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(1)、
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、. 类似0.于 01001000000 110
下列各数中有理数是
:
3 2 ， 7，，-22，2，
7
20， - 5， -38，4， 0.
3
9
••
0.3737737773…… 0.3 21;
.
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数； （5）无理数都是实数; （6）没有根号的数. 都是有理数.
.
补充练习
(1)、（3 4） 3
(2)2(5 5 2 2) (2 5 3 2)
(3)、 (-2)2(3)2(32)34
(4) 2 3 3 2 3 .
1、x3 y30， 求x y
2、 3 x33 y30， 求x y
3 、 |x 3 |y 2 0 ， 求 x 2 2 x y y 2
则 3 52的 50值17.是 38
注意平方根和立方根的移位法则
.
学以致用
1.若12.53.53， 51.251.118 那么125 11.8 ；0 .125 0.3 535 。
2.若已7.知 452.72， 9y27.92； 那y么 74500 。
.
3.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
.
若点A在数轴上表示的数为3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为 4 5
解:（ 1 ） 2232 （ 23 ） 22
(2)｜ 2 ｜3 2 2 3 22 2 3 2
.
练习：计算：
(1)3 22 2
(2) 4 5 5
(3) (3 22 3)4 2
(4) 3 2(2 24 2)
.
练习：计算下列各式的值:
(1) 3 2 23 2
(2) 22(1 2)
(3)、 292 52
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5 、 已 知 57 的 小 数 部 分 是 a ？ 57 的 小 数 部 分 是 b ？ 求 ab 的 值1
变 式 ： 已 知 9 1 3 和 9 1 3 的 小 数 部 分 分 别 为 a 和 b
求 a b 的 相 反 数 的 立 方 根 1
一、概念
❖ 算术平方根，平方根， ❖ 被开方数，根指数， ❖ 开平方，开立方， ❖ 无理数，实数
.
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根
立方根
.
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
.
五、比较大小的方法
❖有理化法 估算法 求差法 v 1、有理化法比较大小
(1) 5 > 2 6 < (2) 2 3 3 2
v 2、估算法比较大小
比较 和4 1的大小 .
5
.
3、求差法比较大小
例：比较大小：4 2 5 与 2 3 5
解： （ 42 5） （ 23 5）
425235
2 5 < 0
< 42 5 23 5
3 27
x 2 3 125
y 3
3
y21或y32
3
3
3
27
x 25
33
x1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解 .
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这 个数？ 3.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
2
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23
.
下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根 D. a2一定没有平方根
.
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8；
64____8_ -64的立方根是__-_4__ 9 __3__
9 的平方根是 。3
2、 64 的立方根是（ 2），
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
ab (ab)2 －2b
.b a
ox
求下列数的相反数、倒数和绝对值： （1）3－ 8的相反2数 ； 倒 是数 12是 ；
绝对值 2 .是
（2） 3 的倒数是 3 ； （3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ； （4）若 x 2 5 ,y 1 2 ， x y 且 0 ， x ＋ y 则 ＝ 8或－5
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
（5） 2 5 9
5和 5 33
2.说出下列各数的立方根
（1） -0.008
（2） 0.512
（ 3） - 27 64
（4） -15 5 8
.
4、下列运算中，正确的是（ A） (A） 1 25 1 1 144 12
（B） (4)2 4
（ C ） 22222
（D） 11 119 16 25. 4 5 20
6 、 设 a 和 b 互 为 相 反 数 ， c 和 d 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 5 ，
则 代 数 式 x 2 （ a b c d ） x （ a b 3c d ） _ _ _ 4_ _ _ _ _ 5_ _ _ .
七、实数的计算
(1)2 2 3 2
(2)｜ 2 3 2 2
5、 (5) 2 的平方根是（D）
(A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D)
(A)3 13 1 (B)3 33 3
(C)3 13 1 (D)39
3 0.008
( 4 )2 13
2、若M＝ab2 a＋8是（a＋8）的算术平方
3 34.2 3.246，求下列各式的值。
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 －324.6
（3） 3 0.00342 －0.1507
4.已 知 3 32.83.20， 313.281.48， 6 3 0.3280.689， 36x14.86， 3 y68.96， 则x 3280 ； ｙ 3 28000 。
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
.
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数轴上两点A，B分别表示实数 3 和 3 1 ，求A，B两点之间的距离。
3( 31)1 .
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
| 3|3,|0|0,|-|.
a (a0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
.
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（ 1） 169 （ 2）0.16 （ 3 ）
（ 4 ） 1 02
（ 5 ） 2 7 9
2 14 25
（1）169
13和13
64 （2）0.16 （3）2 5
0.4和0.4
8和 8 55
： （4）100 10和10
N＝2ab4 b3是（b3）的立方根，求： MN的值.
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
.
8是 64 的平方根
不 64的平方根是
±8
要 64的值是 8 搞
错 64的立方根是 -4 了
大于 17小于11的所有整数 ＿＿-04,＿＿1,-,32＿＿为 ,,-32. ,-1,
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =
一般有三种情况 2、“ ”，“3 ”开不尽的数
(3)、. 类似0.于 01001000000 110
下列各数中有理数是
:
3 2 ， 7，，-22，2，
7
20， - 5， -38，4， 0.
3
9
••
0.3737737773…… 0.3 21;
.
判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）实数都是无理数； （5）无理数都是实数; （6）没有根号的数. 都是有理数.
.
补充练习
(1)、（3 4） 3
(2)2(5 5 2 2) (2 5 3 2)
(3)、 (-2)2(3)2(32)34
(4) 2 3 3 2 3 .
1、x3 y30， 求x y
2、 3 x33 y30， 求x y
3 、 |x 3 |y 2 0 ， 求 x 2 2 x y y 2
则 3 52的 50值17.是 38
注意平方根和立方根的移位法则
.
学以致用
1.若12.53.53， 51.251.118 那么125 11.8 ；0 .125 0.3 535 。
2.若已7.知 452.72， 9y27.92； 那y么 74500 。
.
3.已知3 0.342 0.6993，3 3.42 1.507，
一、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。
（）
3.无理数都是无限小数。
（）
4.带根号的数都是无理数。
（）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来， 数轴上所有的点都表示有理数。（ ）
.
若点A在数轴上表示的数为3 5， 点B在数轴上对应的数为 5， 则A，B两点的距离为 4 5
解:（ 1 ） 2232 （ 23 ） 22
(2)｜ 2 ｜3 2 2 3 22 2 3 2
.
练习：计算：
(1)3 22 2
(2) 4 5 5
(3) (3 22 3)4 2
(4) 3 2(2 24 2)
.
练习：计算下列各式的值:
(1) 3 2 23 2
(2) 22(1 2)
(3)、 292 52
A.2或12 B.2或-12 C.-2或12 D.-2或-12
5 、 已 知 57 的 小 数 部 分 是 a ？ 57 的 小 数 部 分 是 b ？ 求 ab 的 值1
变 式 ： 已 知 9 1 3 和 9 1 3 的 小 数 部 分 分 别 为 a 和 b
求 a b 的 相 反 数 的 立 方 根 1
一、概念
❖ 算术平方根，平方根， ❖ 被开方数，根指数， ❖ 开平方，开立方， ❖ 无理数，实数
.
乘方
互 为 逆 运 算
开方
实数
有理数 无理数
平方根
立方根
.
定义
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a（x2 = a），那么这个正数 x 就叫做
a 的 算术平方根
a 的算术平方根记作 a
读作 “ 根号a ”
.
五、比较大小的方法
❖有理化法 估算法 求差法 v 1、有理化法比较大小
(1) 5 > 2 6 < (2) 2 3 3 2
v 2、估算法比较大小
比较 和4 1的大小 .
5
.
3、求差法比较大小
例：比较大小：4 2 5 与 2 3 5
解： （ 42 5） （ 23 5）
425235
2 5 < 0
< 42 5 23 5
3 27
x 2 3 125
y 3
3
y21或y32
3
3
3
27
x 25
33
x1
当方程中出现平方时，若有解，一般都有 两个解
当方程中出现立方时，一般都有一个解 .
自测： 1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这 个数？ 3.已知y= 1 2x1 12x 求2（x+y）的平方根
2
4.已知5+ 11 的小数部分为 m, 7- 23
.
下列说法正确的是( B ) A. 16的平方根是4
B. 6表示6的算术平方根的相反数
C.任何数都有平方根 D. a2一定没有平方根
.
练习：1、—8是64 的平方根, 64的平方根是±8；
64____8_ -64的立方根是__-_4__ 9 __3__
9 的平方根是 。3
2、 64 的立方根是（ 2），
练习：已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示。 化简：
ab (ab)2 －2b
.b a
ox
求下列数的相反数、倒数和绝对值： （1）3－ 8的相反2数 ； 倒 是数 12是 ；
绝对值 2 .是
（2） 3 的倒数是 3 ； （3） 3 －2的绝对值是 2－ 3 ； （4）若 x 2 5 ,y 1 2 ， x y 且 0 ， x ＋ y 则 ＝ 8或－5
｛ x≤2
X-2≥0
2-x≥0
∴x=2
当x=2时，y=3 yx 321
.
四、扩大，缩小
已 知 1.7201.31, 11.72014.14,7
掌 那0么 .0017的 20平 1 方 0.0根 414是 7 握 已知 2.361.53,623.64.85,8 规 若x0.485,则 8x是 0.236 律 已3知 5.251.73,385.253.74,4
（5） 2 5 9
5和 5 33
2.说出下列各数的立方根
（1） -0.008
（2） 0.512
（ 3） - 27 64
（4） -15 5 8
.
4、下列运算中，正确的是（ A） (A） 1 25 1 1 144 12
（B） (4)2 4
（ C ） 22222
（D） 11 119 16 25. 4 5 20
6 、 设 a 和 b 互 为 相 反 数 ， c 和 d 互 为 负 倒 数 ， x 的 绝 对 值 为 5 ，
则 代 数 式 x 2 （ a b c d ） x （ a b 3c d ） _ _ _ 4_ _ _ _ _ 5_ _ _ .
七、实数的计算
(1)2 2 3 2
(2)｜ 2 3 2 2
5、 (5) 2 的平方根是（D）
(A) 5 (B) 5 (C) 5 (D) 5
6、下列运算正确的是( D)
(A)3 13 1 (B)3 33 3
(C)3 13 1 (D)39
3 0.008
( 4 )2 13
2、若M＝ab2 a＋8是（a＋8）的算术平方
3 34.2 3.246，求下列各式的值。
（1）3 0.000342
0.06993
（2）3 34200000 －324.6
（3） 3 0.00342 －0.1507
4.已 知 3 32.83.20， 313.281.48， 6 3 0.3280.689， 36x14.86， 3 y68.96， 则x 3280 ； ｙ 3 28000 。
的平方根是 （ 3）
4.若 （ 3 x7） 37x,则 x的值 _ X=7_是 ___
5.一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则
a= 1 , x=
4
.
1. 9(3y)2 4
解: (3 y)2 4 9
3 y 4 9
2
2. 2（ 7x2） 31250 解: 27(3x2)3 125
3 (x2)3 125
.
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数轴上两点A，B分别表示实数 3 和 3 1 ，求A，B两点之间的距离。
3( 31)1 .
三、相反数、（负）倒数、绝对值、
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有 理数的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
例如： a、b互为相反数，c与d互为倒数
则a+1+b+cd= 2 。
| 3|3,|0|0,|-|.
a (a0)
a0
3 a 3 a a为任何数
3 a 3 a a为任何数
.
1.说出下列各数的平方根和算术平方根：
（ 1） 169 （ 2）0.16 （ 3 ）
（ 4 ） 1 02
（ 5 ） 2 7 9
2 14 25
（1）169
13和13
64 （2）0.16 （3）2 5
0.4和0.4
8和 8 55
： （4）100 10和10
N＝2ab4 b3是（b3）的立方根，求： MN的值.
3、如果一个数的平方根是a＋3和 2a－15，求这个数的立方根。
.
8是 64 的平方根
不 64的平方根是
±8
要 64的值是 8 搞
错 64的立方根是 -4 了
大于 17小于11的所有整数 ＿＿-04,＿＿1,-,32＿＿为 ,,-32. ,-1,
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a的取值
正数
性
0
质
负数
a
a
3a
a≥ 0
a≥ 0 a是任何数
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
0
0
0
没有
没有
负数（一个）
开方
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方
是本身
0,1
0
.
0,1,-1
a2 a =