概率论习题五答案

概率论与数理统计（复旦第三版）

习题五 答案

1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】设(1,2,3,4)i X i =表示第i 次掷的点数，则4

1i i X X ==∑

22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666

i i E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 从而 2

2291735()()[()].6212i i i D X E X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 又1234,,,X X X X 独立同分布.

从而 44117()()()414,2

i i i i E X E X E X =====⨯=∑∑

44113535()()()4.123

i i i i D X D X D X =====⨯

=∑∑ 所以 2

35/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达

到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产

多少件？

【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求，

令1,

,0,i i X i ⎧=⎨⎩第个产品合格第个产品不合格. 1,2,,i n =L ，

则 12,,,n X X X L 相互独立且服从相同的（0—1）分布，{}10.8i p P X ===

现要求n ,使得

10.760.840.9.n i i X P n =⎧⎫⎪⎪⎪⎪≤

≤≥⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭

∑ 根据独立同分布的中心极限定理得

0.8n i X n P ⎧⎫-⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎭

∑

0.9,=Φ-Φ≥ 整理得

0.95,10⎛Φ≥ ⎝⎭

查表

1.64,≥ n ≥, 故取n =269.

3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机

床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至

少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影

响生产.

【解】设需要供应车间至少15m ⨯个单位的电能，这么多电能最多能

同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。

把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中，

用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B ,

()2000.7140,

()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==⨯==-=⨯⨯=

根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得

0.95{}P X m P =≤=≤=Φ

查表知 1.64,42= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265（单位）.

4. 一加法器同时收到20个噪声电压k V （1,2,,20k =L ），设它们是相

互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记

20

1k k V V ==∑，求P {V ＞105}的近似值.

【解】易知: ()5,()100/12(1,2,,20)k k E V D V k ===L 。由独立同分布的中心极限定理知，随机变量

201205

~(0,1).10010020201212k k V Z N =-⨯==⨯⨯∑近似的 于是 105205{105}1010020201212P V P ⎧⎫⎪⎪-⨯⎪>=>⎨⎬⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎩⎭

1000.3871(0.387)0.348,102012V P ⎧⎫⎪⎪-⎪⎪=>≈-Φ=⎨⎬⎪⎪⨯⎪⎪⎩⎭

即有 P {V >105}≈

5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木

柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多

少？

【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，）.由棣莫弗—

拉普拉斯定理得

{30}1{30}111(2.5)0.0062P X P X P ⎧⎫≥=-<=-<≈-Φ=-Φ=

6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其

中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.

（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问 接受这一断言

的概率是多少？

（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问 接受这一断言

的概率是多少？

【解】设1,,1,2,,1000,.i i X i ⎧==⎨⎩L 第人治愈其他 ，则12100,,,X X X L 相互独

立且服从相同的(01)-分布，因此 100

1

~(100,)i i X X B p ==∑

(1)当0.8p =时， ~(100,0.8)X B ，由 棣莫弗—拉普拉斯定理得

100

1{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑

1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=

(2) 当0.7p =时， ~(100,0.7)X B ，由棣莫弗—拉普拉斯定理得

100

1{75}1{75}1111(1.09)0.1379.i i P X P X P =>=-≤=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ=∑

7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中，任