高等数学 一 微积分 考试必过归纳总结 要点重点

高等数学(一)微积分

一元函数微分学( 第三章、第四章)

一元函数积分学（第五章）

第一章函数及其图形第二章极限和连续

多元函数微积分（第六章）

高数一串讲

教材所讲主要内容如下：

全书内容可粗分为以下三大部分：

第一部分 函数极限与连续（包括级数） 第二部分 导数及其应用（包括多元函数）

第三部分 积分计算及其应用 （包括二重积分和方程）

第一部分 函数极限与连续

一、关于函数概念及特性的常见考试题型： 1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

二、 极限与连续 常见考试题型：

1、求函数或数列的极限。

2、考察分段函数在分段点处极限是否存在， 函数是否连续。

3、函数的连续与间断。

4、求函数的渐进线。

5、级数的性质及等比级数。

6、零点定理。

每年必有的考点

第三部分导数微分及其应用

常见考试题型：

1、导数的几何意义；

2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。

3、求函数的导数：复合函数求导，隐含数求导，参数方程求导；

4、讨论函数的单调性和凹凸性，求曲线的拐点；

5、求闭区间上连续函数的最值；

6、实际问题求最值。

每年必有的考点

第四部分积分计算及应用

考试常见题型

1、不定积分的概念与计算；

2、定积分的计算；

3、定积分计算平面图形的面积；

4、定积分计算旋转体的体积；

5、无穷限反常积分

6、二重积分

7、微分方程

最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。

第一部分函数极限与连续

一、关于函数概念及特性的常见考试题型：

1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

例1..函数___________. 2007.7

知识点：定义域

约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。 解 要使根式函数有意义必须满足23log log 0x ≥，

要使23log log 0x ≥成立， 只有3log 1x ≥，即3x ≥.

注：我们所求定义域的函数一般都是初等函数，而初等函数：由基本初等函数，经过

有限次的＋－×÷运算及有限次的复合得到的函数称为初等函数。这就需要我们把基本初等函数的定义域、值域等搞清楚。

基本初等函数的性质与图形如下表所示(T 表周期)：

(,)(0,)R R +=-∞+∞=+∞

例2 求函数()ln(1),0.f x x x =-≤的值域 2007.4

解：由0.x ≤可知11x -≥，所以ln(1)0x -≥，故()ln(1),0.f x x x =-≤的值域为[0,)+∞

例3 . 1.下列函数中在所给的区间上是有界函数的为（ ）

A ．f (x )=

1

1

+x [0，1] B ．f (x )=

1

1

+x （-1，0） C ．f (x )=e x (-∞，+∞) D ．f (x )=ln x (0，+∞)

知识点：函数的有界性

注：函数的有界性是指值域的有界性。

解：A 1111+1212+1

x x x ≤≤≤≤⇒≤≤当0时，，故f (x )=

11

+x 在[0，1]上为有界函数。 B ． -11lim

=+1x x →∞故f (x )=

1

1

+x 在（-1，0）上为无界函数。 CD 结合函数图像判断。

例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明： （1）、()()(),(,)g x f x f x x a a =+-∈-是偶函数

（2）、()()(),(,)g x f x f x x a a =--∈-是奇函数

知识点：奇偶性

若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。若对于任何x ，恒有()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．

奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称 分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：

（1）()()g x g x -= （2）()()g x g x -=-

只证（1）：()()(())()()()g f f f f x x x x x g x =+-=+=---- 偶函数。

例5、求函数44log 2log y =+. 07.10 知识点：反函数

求反函数的步骤是：先从函数()y f x =中解出1()x f y -=，再置换x 与y ，就得反 函数1()y f x -=。

解：由44411log 2log log 22y x =+=

+ ，可得41

2()log 2

y x -=，所以214y x -=，上式中x 与y 的记号互换，即得反函数为

214x y -=

例6．1. 设f (x )=x 3-x ，x x 2sin )(=ϕ，则f [)4

(π-ϕ]=( )

A.-2

B.2

2

-

C.0

D.2