东南大学2016-2017随机过程期末考试卷(周后型)

随机过程考试试题及答案详解1、（15分）设随机过程C t R t X +⋅=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。

（1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。

【理论基础】 （1）⎰∞-=xdt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数；（2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(bx a a b x f ，分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=b x b x a ab a x a x x F ,1,,0)(，2)(ba x E +=，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ，分布函数⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21)(λ=x D ； （4）2)(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞=--x e x f x ,21)(222)(σμπσ，分布函数∞<<-∞=⎰∞---x dt ex F xt ,21)(222)(σμπσ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。

【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。

（1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。

由R 的取值范围可知，)(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤=其他,0,1)(tC x C t x f ，一维分布函数⎪⎩⎪⎨⎧+>+≤≤-<=t C x t C X C tCx C x x F ,1,,0)(；（2）根据相关定义，均值函数C tt EX t m X +==2)()(； 相关函数2)(231)]()([),(C t s Cst t X s X E t s R X +++==； 协方差函数12)]}()()][()({[),(stt m t X s m s X E t s B X X X =--=（当t s =时为方差函数） 【注】)()()(22X E X E X D -=；)()(),(),(t m s m t s R t s B X X X X -=求概率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)()(''y x y f x y y f x f t ==2、（15分）设{}∞<<∞-t t W ),(是参数为2σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量；且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。

东南大学概率统计与随机过程期末练习（附答案）期末练习解答(某)某12et2/2dt表示标准正态分布的分布函数，(1.645)0.05；(0)0.5；(1)0.8413(1.3)0.9032；(1.96)0.975；(2)0.9772一、填充题1)已知P(B)=P(A)=0.2，A和B相互独立,则P(A-B)=0.16;P(AUB)=0.362)一盒中有2个白球，3个黑球，每次抽取一球，从中不放回地抽取两次，则第二次取到黑球的概率为0.6，取到两个球颜色相同的概率为2/53)设随机变量某服从正态分布N(1,4),P(某1)_0.5___。

4)设W(t)是参数为的Wiener 过程，则随机过程某(t)21tW(t),t0的一维概率密度函数f(某；t)_____12e某p{某2/2}________。

5)随机变量某，Y独立同分布，都服从正态分布N(1，4)，则P(某-Y>22)=0.1587__。

6)随机变量某，Y的联合分布律为：P(某=0,Y=0)=0.2;P(某=0,Y=1)=0.3;P(某=1,Y=0)=0.3;P(某=1,Y=1)=0.2.则某+Y分布律为p(某+Y=0)=0.2;P(某+Y=1)=0.6;P(某+Y=2)=0.2。

E[某Y]=0.27)随机变量某，Y的相关系数为0.5，则5-2某，和Y-1的相关系数为-0.58)设随机变量序列{某n,n=1,2,…}独立同分布，E某1=2,D某1=2,则1222p(某1某2...某n)6n9)设总体某服从正态分布N(1,2),某1,某2,...,某10是来此该总体的样本，某,S分别22表示样本均值和样本方差，则E某1，E(某S)210)随机变量某的分布律为P(某=-1)=P(某=1)=1/2,则其分布函数为F(某)=0,某=1;第1页共7页自觉遵守考场纪律如考试作弊此答卷无效11)随机变量某服从[0,1]上的均匀分布,则Y=-2某+1的密度函数为U[-1,1],f(y)=0.5;-11(某22某22某1某241某24)服从(3)分布，若c某22~t(2)，则常数c13某413)设某假设检验问题的水平=0.1,根据样本得到的结论是拒绝原假设，则可能犯哪一类错误I(填I，II)，犯错误的概率为0.1(填数值或不能确定)。

随机过程综合练习题一、填空题（每空3分） 第一章1．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g ，则n X X X +++ 21的特征函数是 。

2．{}=)(Y X E E 。

3． X 的特征函数为)(t g ，b aX Y +=，则Y 的特征函数为 。

4．条件期望)(Y X E 是 的函数， （是or 不是）随机变量。

5．n X X X ,,21是独立同分布的随机变量，i X 的特征函数为)(t g i ，则n X X X +++ 21的特征函数是 。

6．n 维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性 。

第二章7．宽平稳过程是指协方差函数只与 有关。

8．在独立重复试验中，若每次试验时事件A 发生的概率为)10(<<p p ，以)(n X 记进行到n 次试验为止A 发生的次数， 则},2,1,0),({ =n n X 是 过程。

9．正交增量过程满足的条件是 。

10．正交增量过程的协方差函数=),(t s C X 。

第三章11． {X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，其均值函数为 ； 方差函数为 。

12．设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1λ，2λ，3λ且均为泊松过程，它们相互独立，若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时)，相邻绿色汽车之间的不同到达时间间隔的概率密度是 ，汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是 。

13．{X(t), t ≥0}为具有参数0>λ的齐次泊松过程，{}==-+n s X s t X P )()( 。

,1,0=n14．设{X(t), t ≥0}是具有参数0>λ的泊松过程，泊松过程第n 次到达时间W n 的数学期望是 。

15．在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司．若每次赔付金额是均值为10000元的正态分布，求一年中保险公司的平均赔付金额 。

东南大学考试卷（A卷）课程名称高等数学B期末考试学期09-10-3 得分适用专业选修高数B的各专业考试形式闭卷考试时间长度150分钟09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e4xzx x y yzπ-++=在点(0,1,2)处的法线方程是；2.设u=，则梯度；3.已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B，则A在B方向的投影；4.设闭曲线:1C x y+=，取逆时针方向，则曲线积分2d dCy x x y-⎰的值是；5.设函数(,)F x y具有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的充分必要条件是；6.二重积分()2221e cos d dxx yy xy x y+≤+⎰⎰的值是；7. 设S为球面：2222x y z R++=，则曲面积分()222dSx y z S++⎰⎰的值是；8.设C是折线11(02)y x x=--≤≤，则曲线积分dCy s⎰的值是；9.取（注：答案不唯一），可使得级数2nna∞=∑收敛，且级数2lnnna n∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x yϕ=-，其中f具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂.解11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dx xy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥. 解12．（本小题满分8分）计算二次积分1121321d e d xxyx y y -⎰⎰. 解，13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标. 解三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z ==垂直的直线方程. 解四（15）。

（本题满分7分）计算d Sx S z⎰⎰，其中S 是柱面222(0)x y ay a +=>被锥面z 和平面2z a =所截下的部分.解五（16）. （本题满分7分）计算 ()e cos d 5e sin d x x CI y x xy y y =+-⎰，其中C 为曲线x =y 增大的方向.解 六（17）（本题满分7分）计算()()222d d d d ()d d SI y xz y z z y z x x z x y =+∧++∧+-∧⎰⎰，其中S为2z =0z =所截部分，取上侧.解七（18）（本题满分6分）证明不等式1(1)eyyx x-<，01x<<，0y<<+∞.证08-09-3高数B 期末试卷（A ）参考答案09.6.8一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 曲面2cos()e 4xzx x y yz π-++=在点(0,1,2)处的法线方程是1222x y z -==-； 2.设u =(1,2,0)14,,033u⎧⎫=⎨⎬⎩⎭grad ； 3. 已知{}{}2,1,2,1,3,2=--=-A B ，则A 在B方向的投影()=B A 4. 设闭曲线:1C x y +=，取逆时针方向，则曲线积分2d d Cy x x y -⎰的值是2-； 5. 设函数(,)F x y 具有一阶连续偏导数，则曲线积分(,)(d d )ABF x y y x x y +⎰与路径无关的充分必要条件是x y xF yF =； 6. 二重积分()2221ecos d d xx y y xy x y +≤+⎰⎰的值是0；7. 设S 为球面：2222x y z R ++=，则曲面积分()222d Sxy z S ++⎰⎰的值是44R π； 8. 设C 是折线11(02)y x x =--≤≤，则曲线积分d Cy s ⎰9.取21ln n a n n =（注：答案不唯一），可使得级数2n n a ∞=∑收敛，且级数2ln n n a n ∞=∑发散.二. 计算下列各题(本题共4小题，满分30分)10．（本小题满分7分）设((),)z f x y x y ϕ=-，其中f 具有连续的二阶偏导数，ϕ具有连续导数，计算2,z zx x y∂∂∂∂∂. 解12zf f xϕ∂=+∂， 21111222()z f x f x f f x y ϕϕϕϕϕ∂'''=++--∂∂ 11．（本小题满分7分）计算2(1)d d Dxxy x y ++⎰⎰，其中{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥.解21230013(1)d d 0d d 224Dx xy x y ππϕρρπ++=++=⎰⎰⎰⎰12．（本小题满分8分）计算二次积分11213021d e d xxyx y y-⎰⎰. 解，1111111211133200222111d e d d e d e 1d e 2x x xy y y yx y y x y y y y ---⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 13. （本小题满分8分）求密度均匀分布的立体{222(,,)2,x y z z x y z z z Ω=≥++≤≥的质心坐标.解 0x y ==（1分）)22cos 340122cos 240125d sin cos d d 2518d sin d d 3r rz r rππθππθπϕθθθϕθθ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰三（14）．（本题满分7分）试求过点(3,1,2)A -且与z 轴相交，又与直线1:23L x y z==垂直的直线方程. 解 设312x y z l m n-+-==为所求直线L 的方程，（1分）由于直线L 与z 轴相交，所以三个向量{},,l m n =s ，OA 及k 共面，从而312001l m n -=，即30l m --= （1），又由于L 与1L 互相垂直，得11023l m n ++=，即6320l m n ++= （2）联立（1），（2）解得3l m =-，152n m =，所求直线L 的方程为3126215x y z -+-==-- 四（15）。

《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为 。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

随机过程期末复习题随机过程期末复习题库（2015）⼀、填空题1.对于具有常数均值的⼆阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当⼆元函数只与有关, ⽽与和⽆关。

2.对于具有常数均值的⼆阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当⼆元函数只与有关, ⽽与和⽆关。

3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 .4.已知随机变量的⼆阶矩存在，且的矩母函数为，则.5.已知随机变量的⼆阶矩存在，且的特征函数为，则.6.设是平稳序列，其协⽅差函数为，请给出的均值具有遍历性的⼀个充分条件：．7.设是平稳过程，其协⽅差函数为，请给出的均值具有遍历性的⼀个充分条件：．8.已知平稳过程的均值，协⽅差函数为，则该过程的⾃相关函数．9.设为两个随机事件，，则 0.6 ．10.设为⼆随机变量，，则 2 ．11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的泊松分布．12.是⼆维正态分布，即，．13.设随机变量的数学期望均存在，则．14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则．15.在强度为的泊松过程中，相继事件发⽣的间隔时间是相互独⽴的随机变量，且服从均值为的同⼀指数分布.16.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则的分布函数为.17.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则．18.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则．解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发⽣的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独⽴同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有19.是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.则.解题思路：注意到与独⽴，且同服从参数为的指数分布即得．20.设，是速率为的泊松过程. 则对于，.21.设，是速率为的泊松过程. 对于，.解对于，有增量与独⽴22.是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.则对，.解题思路：注意到与独⽴，且同服从参数为的指数分布即得．23.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，则.24.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则.25.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则服从参数为和的分布.26.⾮齐次泊松过程，其强度函数为，则.解对于，有27.设是⼀个强度函数为的⾮齐次泊松过程，为过程均值函数的反函数，则随机过程是⼀个强度为 1 的泊松过程．28.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，如果每次事件发⽣时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．如以表⽰到时刻被记录下来的事件总数，则是⼀个强度为的泊松过程．29.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，如果每次事件发⽣时能够以概率被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．如以表⽰到时刻被记录下来的事件总数，则的均值函数．30.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发⽣被记录到的概率是，若以表⽰到时刻记录的事件数，则计数过程是⾮时齐的泊松过程，的分布，31.设是⼀个速率为的泊松过程，并且假设在时间发⽣的⼀个事件独⽴于前发⽣的事件，并以概率计数．以记直到时间为⽌被计数的事件个数，则计数过程是⼀个强度函数为的⾮时齐的泊松过程．32.设是⼀个速率为的泊松过程，并且假设在时间发⽣的⼀个事件独⽴于33.设和是独⽴的泊松过程，分别具有强度和，则是具有强度的泊松过程.34.设和是独⽴的泊松过程，分别具有强度和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件以概率来⾃过程．35.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和，则是具有强度函数的⾮时齐泊松过程.36.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件以概率来⾃过程．37.保险公司接到的索赔次数服从⼀个泊松过程，每次要求赔付的⾦额都相互独⽴，且有相同分布，每次的索赔数额与它发⽣的时刻⽆关，表⽰时间内保险公司需要赔付的总⾦额，则随机过程是⼀个复合泊松过程．38.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均每⽉两次的速率的泊松过程到达保险公司．每次赔付服从均值为10000元的正态分布，则⼀年中保险公司的平均赔付额是240000元．解题思路：索赔次数为⼀速率为（次⽉）泊松过程，每次的赔付⾦额,总索赔⾦额为⼀复合泊松过程，故⼀年中保险公司的平均赔付额为39.设顾客以每分钟6⼈的平均速率进⼊某商场，这⼀过程可以⽤泊松过程来描述．⼜设表⽰进⼊该商场的第位顾客在该商场所花费的⾦额（单位：元），且有，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进⼊该商场的顾客数⽆关．则该商场⼀天（12⼩时）的平均营业额为432000 元．解题思路：到达顾客数为⼀速率为（⼈⼩时）泊松过程，每个顾客的消费⾦额,商场营业⾦额为⼀复合泊松过程，故该商场⼀天（12⼩时）的平均营业额为40.假设家庭以每星期的泊松速率移民到⼀个地区．如果每个家庭的⼈数是独⽴的，⽽且分别以概率取值1，2，3，4，那么在固定的5个星期中移民到这个地区的平均⼈数为25 ．解题思路：移民家庭数为⼀速率为（户星期）泊松过程，每个家庭的平均⼈数为移民⼈数为⼀复合泊松过程，故在固定的5个星期中移民到这个地区的平均⼈数为41.设是复合泊松过程，存在，则．42.设是复合泊松过程，，则．43.在任意给定的⼀天，加⾥的⼼情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是⼀般的(so-so，S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率0.5，0.4，0.1是C，S，G．如果今天他感觉⼀般，则明天他分别以概率0.3，0.4，0.3为C，S，G．如果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率0.2，0.3，0.5为C，S，G．以记加⾥在第天的⼼情，则马尔可夫链的状态空间，，，⼀步转移概率矩阵.44.假设明天下⾬的机会只依赖于前⼀天的天⽓条件，即今天是否下⾬，⽽不依赖过去的天45.的概率解释是：为从出发经步⾸次到达的概率.46.的概率解释是：从出发，经有限步⾸次到达的概率.47.设系统有三种可能状态. “1”表⽰系统运⾏良好，“2”表⽰运⾏正常，“3”表⽰系统失效. 以表⽰系统在时刻的状态，并设是⼀马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其⾃然转移概率矩阵为则系统初始处于运⾏良好状态，在内运⾏的概率为.解题思路：系统初始处于运⾏良好状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运⾏良好状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运⾏的概率为48.设系统有三种可能状态. “1”表⽰系统运⾏良好，“2”表⽰运⾏正常，“3”表⽰系统失效. 以表⽰系统在时刻的状态，并设是⼀马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其⾃然转移概率矩阵为则系统初始处于运⾏正常状态，在内运⾏的概率为.解题思路：系统初始处于运⾏正常状态，在时刻1失效的概率为：系统初始处于运⾏正常状态，在时刻2失效的概率为：故系统在内运⾏的概率为49.如果，则 0 ；反之亦然.50.如果，则 >0 ；反之亦然.51.如果，则对，有 0 .52.状态是周期的，且周期为，则对，当不能被整除时，使 0 .53.如果状态是常返的，则 0 .54.如果状态是零常返的，则从出发再回到的平均回转时间.55.如果状态是正常返的，则从出发再回到的平均回转时间.56.马尔可夫链从出发到达的平均次数为.57.状态是常返的充要条件是.58.状态是⾮常返的充要条件是.59.为从状态出发经有限步返回的概率．如果，则.60.设马⽒链的⼀步转移概率矩阵，步转移概率矩阵，⼆者之间的关系为.61.设为马尔可夫链，状态空间，初始分布为，的概率分布为==(=), ，步转移概率矩阵()=，三者之间的关系为.⼆、单选题1.下⾯的随机过程中不⼀定是⼆阶矩过程的是（A）A. 严平稳过程B. 宽平稳过程C. 正态过程2.设与分别是事件与是否发⽣的⽰性函数，即若发⽣若不发⽣，若发⽣若不发⽣如果，则（C）是不正确的.A. B.C. D.解题思路：注意到：，；，，以及即得.3.设与分别是事件与是否发⽣的⽰性函数，即若发⽣若不发⽣，若发⽣若不发⽣如果，则（C）是不正确的.A. B.C. D.4.对于任意两个随机变量和，若，则( B ).A、B、C、和独⽴D、和不独⽴5.已知标准正态分布随机变量的矩母函数为，则的矩母函数（A）.A. B.C. D.6.已知参数为的泊松随机变量的矩母函数为，设与分别是以和为参数的独⽴的泊松随机变量，则的矩母函数( B ).A. B.C. D.7.已知是维纳过程，则下⾯错误的是( B ).A. 是独⽴增量过程B. 是平稳过程C. 是平稳增量过程D.是正态过程8.( A )的有限维分布关于时间是平移不变的.B. 宽平稳过程C. 平稳增量过程D. 独⽴增量过程9.设是泊松过程，下述结论不正确的是（B）.A. 是平稳独⽴增量过程B. 宽平稳过程C. 是独⽴增量过程D. ⼆阶矩过程10.设是泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻，则下⾯正确的是( B ).A. B.C. D.11.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，表⽰第个事件发⽣的时刻，，则下⾯正确的是( B ).12.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔，表⽰第个事件发⽣的时刻，，则下⾯错误的是( D ).解题思路注意到在条件下，对，有且在条件下，服从上的均匀分布，故有＝13.设是强度函数为的⾮齐次泊松过程，则下⾯错误的是( D ).服从参数为的泊松分布．14.设是强度函数为的⾮齐次泊松过程，则下⾯错误的是( B ).是独⽴增量过程；是平稳增量过程；是⼀个泊松随机变量．15.设和是独⽴的⾮时齐的泊松过程，分别具有强度函数和．如果过程在时间发⽣⼀个事件，则这个在时间发⽣的事件是来⾃过程的概率为( A ).16.设是复合泊松过程，，则下⾯说法错误的是( B ).A. B.C. D.17.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法⼀定正确的是( D ).A. 所有状态都是遍历状态C. 所有状态都是正常返状态D. 没有零常返状态18.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法⼀定正确的是( C ).A. 所有状态都是遍历状态B. 所有状态都是⾮常返状态C. ⼀定存在常返状态D. 所有状态都是正常返状态19.设马尔可夫链的状态满⾜，表⽰从状态出发再回到状态的平均回转时间，若，称为( C ).A. 遍历状态B. ⾮常返状态C. 正常返状态D. 零常返状态20.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类( B )．A. 和B. ，和C. ，和D. ，和21.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：则该链的状态分类为( A )．A. 1和2都是遍历状态，3和4是⾮常返状态；B. 1和2都是遍历状态，3和4是零返状态；C. 1和2都是零常返状态，3和4是正常返状态；D. 1和2都是⾮常返状态，3和4是遍历状态．三、判断题1.设与为⼆随机变量，且与独⽴，则＝. ( )2.设与为⼆随机变量，且与独⽴，则＝. ( )3.设与为⼆随机变量，则关于的条件期望是的函数. ( )4.严平稳过程⼀定是宽平稳过程． ( )5.⼆阶矩存在的严平稳过程⼀定是宽平稳过程． ( )6.平稳增量过程是平稳过程． ( )7.宽平稳过程是平稳增量过程． ( )8.严平稳过程是平稳增量过程． ( )则的均值具有遍历性． ( )10.设是平稳过程，其协⽅差函数为，若，则的均值具有遍历性． ( )11.平稳过程的均值具有遍历性． ( )12.平稳过程的均值函数和⽅差函数均为常数． ( )13.对于严平稳过程⽽⾔，有限维分布关于时间是平移不变的． ( )14.平稳独⽴增量过程的均值函数⼀定是时间的线性函数． ( )15.随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述． ( )16.设是⼀计数过程，表⽰第个事件与第个事件发⽣的时间间隔. 如果是独⽴且参数同为的指数随机变量，则是强度为的泊松过程. ( )17.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻. 在的条件下，的条件分布函数与个在上相互独⽴同均匀分布的顺序统计量的分布函数相同. ( ) 18.设是强度为的泊松过程，表⽰第个事件发⽣的时刻. 则在的条件下，服从上的均匀分布. ( )19.时齐泊松过程是独⽴平稳增量过程. ( )20.时齐泊松过程是平稳过程. ( )21.⾮时齐泊松过程是独⽴平稳增量过程. ( )22.⾮时齐泊松过程是独⽴增量过程. ( )23.设为⾮齐次泊松过程，则的分布与⽆关. ( )24.设为⾮齐次泊松过程，则的分布与⽆关. ( )25.由时齐泊松过程的时间的抽样可⽣成⼀个⾮时齐的泊松过程. ( )26.⼀个强度函数为有界的⾮时齐泊松过程可以由⼀个时齐泊松过程的时间的抽样⽣成．( )27.复合泊松过程是独⽴增量过程. ( )28.复合泊松过程是计数过程. ( )29.如果，则对，必有. ( )30.令为不可约、⾮周期Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步转移概率矩阵的所有元素都⾮零. ( )31.令为不可约、⾮周期、有限状态Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步转移概率矩阵的所有元素都⼤于零. ( )32.如果为零常返状态，且，则必有. ( )33.如果为遍历状态，且，则必有. ( )34.如果为常返状态，且，则必有． ( )35.为⾮周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限36.为⾮周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在，且极限与状态⽆关. ( )37.为不可约⾮周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在，且极限与状态⽆关. ( )38.为有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在.( )39.为⾮周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限⼀定存在.( )40.对任何Markov链，极限⼀定存在. ( )41.对任何Markov链，极限⼀定存在. ( )42.马尔可夫链的初始分布是平稳分布，则该马尔可夫过程是严平稳过程. ( )43.马尔可夫链是严平稳过程，则该马尔可夫链的初始分布必是平稳分布. ( )44.不可约⾮周期的有限状态Markov链⼀定存在平稳分布. ( )45.不可约⾮周期正常返的Markov链⼀定存在唯⼀的平稳分布. ( )46.如果状态是零常返的，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )47.如果状态是遍历状态，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )48.如果状态是零常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )49.如果状态是⾮常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )50.如果状态可达状态，则状态具有与状态相同的状态分类性质. ( )51.如果状态与状态互通，则状态与状态具有相同的状态分类性质. ( )52.若状态是常返的，则必有．( )53.如果为常返状态，且，则必为常返状态，且. ( )四、计算题1.设随机过程，其中相互独⽴，同服从，试求的均值函数和协⽅差函数.解据题意，于是2.设为维纳过程，试求的均值函数和协⽅差函数，并讨论其平稳性．解因为维纳过程，故满⾜：(1) ；(2) 有平稳独⽴增量；(3) 对每个，服从正态分布．于是，的均值函数和协⽅差函数为增量独⽴性，3.设，是参数为的泊松过程，，计算.解4.设，是速率为的泊松过程. 对于，求(1)； (2)；(3)； (4).解 (1)；(2)(3)(4)⾸先，在的条件下，服从参数为⼆项分布. 事实上故，5.设是⼀个强度为泊松过程．记. 计算.解：的均值函数为：⼜，，有＋不妨设．当时，区间与不相交，故由独⽴增量性，与独⽴．从⽽当时，＋6.设和是强度分别为与的泊松过程，且两个泊松过程独⽴．试求(1) 的概率分布；(2) 的数学期望与⽅差；(3) 在的任⼀相邻事件发⽣的时间间隔内，有两个事件发⽣的概率．解：(1) 据题意，，，，且与独⽴，于是，由泊松分布的可加性知，，其概率分布为(2) 的数学期望与⽅差为；(3) 设表⽰过程的第个事件与第个事件发⽣的时间间隔.表⽰过程的第个事件发⽣的时刻．则在的任⼀相邻事件发⽣的时间间隔内，有两个事件发⽣的概率为7.事件的发⽣形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发⽣被记录到的概率是，且每次事件发⽣时，对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独⽴．若以表⽰到时刻被记录的事件总数，求．解显然，．设．由于每次事件是否被记录是独⽴的，则在的条件下，可以看作在次独⽴试验中有次成功（被记录）和次失败（不被记录）的概其中是每次试验成功的概率．由定理3.2.3，在已知内发⽣了次事件的前提下，各次事件发⽣的时刻（不排序）可看作相互独⽴的随机变量，且都服从上的均匀分布．因此事件在内发⽣且被记录事件在内发⽣且被记录事件在时刻发⽣于是有＝其中．8.设Markov链的状态空间为，初始分布为，转移概率矩阵为(1) 画出状态转移图；(2) 求；(3) 求．解(1) 状态转移图如下：(2)(3) 因初始分布为，于是的分布为：所以，9.设马尔可夫链的状态空间为，转移概率矩阵为(1) 画出状态转移图；(2) 是否为遍历链？说明理由；(3) 分析说明的各状态是什么状态？解 (1) 状态转移图如下：(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，⽽即状态4是⾮常返状态，故不是遍历链.(3) ⼜因故状态3和状态4为⾮常返状态，状态1和2都是正常返状态，且⾮周期，从⽽状态1和2是遍历状态.解法⼆(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，⽽，即该链是可约的，故不是遍历链.(3) ⼜因所以，状态3和状态4为⾮常返状态．再由，及该链是有限状态空间的马⽒链知，状态1和2都是正常返状态，且⾮周期，从⽽状态1和2是遍历状态.10.设马尔可夫链，，转移概率矩阵为：(1) 求；(2) 求；(3) 求.解(1) 因，故，于是的分布为所以，(2) 由于故⽽的分布：所以，的分布律为：(3) 由于从⽽，的分布律为：11.设马尔可夫链，，，的转移概率矩阵为：（1）求和；（2）该链的平稳分布是否存在？该链的极限分布是否存在？为什么？（3）求该链各状态的平均返回时间。

《随机过程期末考试卷》1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。

2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则这个随机过程的状态空间。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ij P (p )=，二者之间的关系为。

7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为。

8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为。

10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t+a 。

评卷人二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A )=P(B A )P(C AB)。

2.设{X (t ),t ?0}是独立增量过程,且X (0)=0,证明{X (t ),t ?0}是一个马尔科夫过程。

3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ijik kjk Ip p p l l ∈=∑，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。

一．填空题（每空2分，共20分）1．设随机变量X~U(a,b)，则X 的特征函数为itbitaeei(b-a)t-。

2．设随机过程X(t)=Asint,-<t<∞∞ 其中A 是随机变量，具有概率分布列:则X (t)的数学期望为2sint 。

3．强度为λ的泊松过程{}X (t),t 0≥,{}n T ,n 1≥是对应的时间间隔序列，则随机变量n T (n =1,2,) 是独立同分布均值为_λ___的指数分布。

4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X (t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从参数为n 与λ的___Γ___分布。

5．设随机过程 X (t)只有两条样本曲线，1X (t,)=acost,ω2X (t,)=-acost,ω其中常数a>0，且12P ()=3ω，21P ()=3ω，则这个随机过程的状态空间I=[]a,a -。

6．马氏链{}n X ,n 0≥，状态空间I ,记初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率j n p (n )P(X =j)=，n 步转移概率(n)ij p ，则j p (n )=(n)iiji Ip p∈∑7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，记初始概率i 0p P(X =i)=，一步转移概率{}ij n+1n p p X j X i ===，则{}0011n n P X =i ,X =i ,,X i == 00112n-1n i i i i i i i p p p p8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ijn=1f f∞=∑，若ii f 1=，称状态i 为_常返____________。

9．遍历状态的定义为不可约非周期的正常返状态。

10．如果状态j 非常返或零常返，则(n)ij n lim p →∞=__0_____，i I ∀∈。

《随机过程期末考试卷》1 •设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 _________ 。

2•设随机过程X(t)=Acos( t+G),rvt<::其中为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和门服从在区间∣0,11上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。

3.强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_的同一指数分布。

4•设:W n)是与泊松过程fX(t),t 一0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。

5•袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，Γ对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3,如果t时取得红球，则这个随机过(e t, 如果t时取得白球程的状态空间__________ 。

6 •设马氏链的一步转移概率矩阵P=(P i j)，n步转移矩阵Pg=(P(；)),二者之间的关系为。

7•设CX n)n -0?为马氏链，状态空间I ,初始概率P i= P(X°=i),绝对概率P j(n) =P「X n =j?，n步转移概率P j n),三者之间的关系为________________ 。

8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t20则P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______t9 •更新方程K t =H^O K^SdFS解的一般形式为___________________ C 10•记亠-EX n)对一切a—0,当t—：时，M t+a -M t > _____________3. 设］X n)n — 0为马尔科夫链，状态空间为I ,则对任意整数n — 0,仁I Vn和i,j I ,n步转移概率P j n)=V P fk)P k n-I),称此式为切普曼一科尔莫哥洛夫方程,底I证明并说明其意义、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式:P(BC A)=P(B A)P(C AB) C2.设｛X(t), t_0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是一个马尔科夫过程。