人教版八年级数学下《第十七章勾股定理》单元练习含答案

人教版八年级数学下《第十七章勾股定理》单元练习含答案

一、选择题(每小题4分,共32分)

1.下列各组数据,是勾股数的是( D )

(A),, (B)32,42,52

(C)0.5,1.2,1.3 (D)12,16,20

2.线段a,b,c分别为△ABC中∠A,∠B,∠C的对边,下列不能构成直角三角形的是( C )

(A)a=5,b=12,c=13 (B)a=b=5,c=5

(C)∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 (D)∠A+∠B+∠C=135°

3.已知下列命题:①若|a|=|b|,则a2=b2;②若 am2>bm2,则a>b;③对顶角相等;④等腰三角形的两底角相等.其中原命题和逆命题均为真命题的个数是(

B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4.如图,在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中,各有一个三角形ABC,那么这四个三角形中,不是直角三角形的是( A )

5.如图,在长方形ABCD中,AD=3,M是CD上的一点,将△ADM沿直线AM对折得到△ANM,若AN平分∠MAB,则折痕AM的长为( B )

(A)3 (B)2 (C)3 (D)6 6.如图,2×2的网格中,小正方形的边长是1,点A,B,C都在格点上,则AB边上的高为( A )

(A) (B) (C) (D)

7.如图,一轮船以15海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以8海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,分别到达点B、点C处,则两船相距为( D )

(A)25海里 (B)30海里

(C)32海里 (D)34海里

8.如图,将一根长24 cm的筷子,置于底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的取值范围是( C )

(A)12 cm≤h≤19 cm (B)12 cm≤h≤13 cm

(C)11 cm≤h≤12 cm (D)5 cm≤h≤12 cm

第5题图

第6题图

第7题图

第8题图

二、填空题(每小题4分,共24分)

9.命题“等腰三角形两腰上的高相等”是

真

命题(填“真”或“假”),它的逆命题是 如果一个三角形两条边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形 .

10.如图,四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD,中间阴影部分是一个小正方形EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若AB=5,AE=4,则正方形EFGH的面积为 1 .

11.如图,△ABC中,AD=8,AC=10,DC=6,AB=17,则BC的长是 21 .

12.如图,在△ABC中,AB=AC=5,P是BC边上除点B,C外的任意一点,则AP2+PB·PC= 25 .

13.如图是由一系列直角三角形组成的,则第5个三角形的面积为

,第n个三角形的面积为 .

14.如图①,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4 cm,点E,F,G分别是AB,AA1,AD的中点,截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体(如图②),则图②中阴影部分的面积为 2 cm2.

第10题图

第11题图

第12题图

第13题图

第14题图

三、解答题(共44分)

15.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°.

(1)已知c=25,b=15,求a;

(2)已知a=,∠A=60°,求b,c.

解:(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理可得a===20.

(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,

所以∠B=30°,所以c=2b,

根据勾股定理可得a2+b2=c2,

即6+b2=(2b)2,解得b=,则c=2. 16.(6分)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个顶点叫做格点.

(1)在图(1)中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;

(2)在图(2)中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2,,,这个三角形的面积为

.

解:(1)面积为10的正方形的边长为,

因为=,

所以如图(1)所示的四边形即为所求.

(2)因为=,=,

所以如图(2)所示的三角形即为所求.

这个三角形的面积为×2×2=2.

17.(8分)如图,一个直径为10 cm的杯子,在它的正中间竖直放一根筷子,筷子露出杯子外1 cm,当筷子倒向杯壁时(筷子底端不动),筷子顶端刚好触到杯口,求筷子长度和杯子的高度.

解:设杯子的高度是x cm,那么筷子的高度是(x+1)cm, 根据勾股定理得x2+52=(x+1)2,

所以x2+25=x2+2x+1,

所以x=12,12+1=13(cm).

答:杯子高12 cm,筷子长13 cm.

18.(8分)学了勾股定理后,刘老师给学生布置了一道题:如图△ABC中,∠B=45°,∠BAC=75°,AB=,求BC的长.有些同学认为△ABC不是直角三角形,求不出BC的长,老师让学生小组合作,经过讨论形成共识:可以通过作垂直构建直角三角形求解.请你结合他们的思路完成这一问题.

解:如图过点A作AD⊥BC于点D,

在Rt△ABD中,∠B=45°,所以DA=DB,

由勾股定理得AD2+BD2=AB2=6,

解得AD=DB==.

因为∠B=45°,∠BAC=75°,所以∠C=60°,

所以∠DAC=30°,所以CD=AC,

由勾股定理得AD2+CD2=AC2,

即3+CD2=4CD2,解得CD=1.则BC=BD+CD=+1. 19.(8分)小红同学要测量A,C两地的距离,但A,C之间有一水池,不能直接测量,于是她在A,C同一平面上选取了一点B,测量得到AB=80米,BC=20米,∠ABC=120°,请你帮助小红同学求出A,C两点之间的距离(参考数据:≈4.5,≈4.6)

解:如图,过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D,

因为∠ABC=120°,所以∠CBD=60°.

在Rt△BCD中,∠BCD=90°-∠CBD=30°,

所以BD=BC=×20=10(米),

所以CD==10(米),

所以AD=AB+BD=80+10=90(米).

在Rt△ACD中,AC=≈92(米).

答:A,C两点之间的距离约为92米.

20.(8分)台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为300 km 和400 km,又AB=500 km,以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域.

(1)海港C受台风影响吗?为什么?

(2)若台风的速度为20 km/h,台风影响该海港持续的时间有多长?

解:(1)海港C受台风影响.

理由:如图,过点C作CD⊥AB于D,

因为AC=300 km,BC=400 km,AB=500 km,

所以AC2+BC2=AB2.

所以△ABC是直角三角形.

所以AC·BC=CD·AB,所以300×400=500CD,

所以CD==240(km).

因为以台风中心为圆心周围250 km以内为受影响区域,所以海港C受到台风影响.

(2)当EC=250 km,FC=250 km时,正好影响海港C,

因为ED==70(km),所以EF=140 km,

因为台风的速度为20 km/h,所以140÷20=7(h),

即台风影响该海港持续的时间为7小时.

附加题(共20分) 21.(10分)如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点B′处,点A落在点A′处;

(1)求证:B′E=BF;

(2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的一种关系,并给予证明.

(1)证明:由题意得B′F=BF,∠B′FE=∠BFE,

在长方形ABCD中,AD∥BC,所以∠B′EF=∠BFE,

所以∠B′FE=∠B′EF,所以B′F=B′E,所以B′E=BF.

(2)解:a,b,c三者存在的关系是a2+b2=c2.

证明:由(1)知B′E=BF=c,A′E=AE=a,A′B′=AB=b,

在△A′B′E中,∠A′=90°,所以A′E2+A′B′2=B′E2,所以a2+b2=c2.

22.(10分)已知:△ABC是等腰直角三角形,动点P在斜边AB所在的直线上,以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解决下列问题:

(1)如图①,若点P在线段AB上,且AC=1+,PA=,则

①线段PB= ,PC= ;

②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之间的数量关系为 ;

(2)如图②,若点P在AB的延长线上,在(1)中所猜想的结论仍然成立,请你利用图②给出证明过程.

解:(1)①因为△ABC是等腰直角三角形,AC=1+,

所以AB===+,

因为PA=,所以PB=AB-PA=,

如图(1),过C作CD⊥AB于点D,则AD=CD=AB=,

所以PD=AD-PA=,

在Rt△PCD中,PC==2.

②PA2+PB2=PQ2.证明如下:

如图(1),因为△ACB为等腰直角三角形,CD⊥AB,

所以CD=AD=DB,

因为PA2=(AD-PD)2=(CD-PD)2=CD2-2CD·PD+PD2,

PB2=(BD+PD)2=(CD+PD)2=CD2+2CD·PD+PD2,

所以PA2+PB2=2(CD2+PD2),

在Rt△PCD中,由勾股定理可得PC2=CD2+PD2,

所以PA2+PB2=2PC2,

因为△CPQ为等腰直角三角形,且∠PCQ=90°,∠CPQ=45°,

所以PQ=PC,所以2PC2=PQ2,

所以PA2+PB2=PQ2.