高考总复习课程--2019年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义： 第9讲 数列经典精讲

2019届高三第一轮复习《原创与经典》（苏教版）（理科）第一章集合常用逻辑用语推理与证明第1课时集合的概念、集合间的基本关系第2课时集合的基本运算第3课时命题及其关系、充分条件与必要条件第4课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第5课时合情推理与演泽推理第6课时直接证明与间接证明第7课时数学归纳法第二章不等式第8课时不等关系与不等式第9课时一元二次不等式及其解法第10课时二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第11课时基本不等式及其应用第12课时不等式的综合应用第三章函数的概念与基本初等函数第13课时函数的概念及其表示第14课时函数的定义域与值域第15课时函数的单调性与最值第16课时函数的奇偶性与周期性9第17课时二次函数与幂函数第18课时指数与指数函数第19课时对数与对数函数第20课时函数的图象第21课时函数与方程第22课时函数模型及其应用第四章 导数第23课时 导数的概念及其运算（含复合函数的导数）第24课时 利用导数研究函数的单调性与极值第25课时 函数的最值、导数在实际问题中的应用第五章 三角函数 第26课时任意角、弧度制及任意角的三角函数 第27课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式 第28课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第29课时二倍角的三角函数 第30课时三角函数的图象和性质 第31课时函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用 第32课时正弦定理、余弦定理 第33课时解三角形的综合应用第六章 平面向量 第34课时平面向量的概念及其线性运算 第35课时平面向量的基本定理及坐标表示 第36课时平面向量的数量积 第37课时平面向量的综合应用第七章 数 列 第38课时数列的概念及其简单表示法 第39课时等差数列 第40课时等比数列 第41课时数列的求和 第42课时等差数列与等比数列的综合应用 第八章 立体几何初步 第43课时平面的基本性质及空间两条直线的位置关系第44课时直线、平面平行的判定与性质第45课时直线、平面垂直的判定与性质第46课时空间几何体的表面积与体积第47课时空间向量的应用——空间线面关系的判定第48课时空间向量的应用——空间的角的计算第九章平面解析几何第49课时直线的方程第50课时两直线的位置关系与点到直线的距离第51课时圆的方程第52课时直线与圆、圆与圆的位置关系第53课时椭圆第54课时双曲线、抛物线第55课时曲线与方程第56课时直线与圆锥曲线的位置关系第57课时圆锥曲线的综合应用第十章复数、算法、统计与概率第58课时抽样方法、用样本估计总体第59课时随机事件及其概率第60课时古典概型第61课时几何概型互斥事件第62课时算法的含义及流程图第63课时复数第十一章计数原理、随机变量及其分布第64课时分类计数原理与分步计数原理第65课时排列与组合第66课时二项式定理第67课时离散型随机变量及其概率分布第68课时事件的独立性及二项分布第69课时离散型随机变量的均值与方差第十二章选修4系列第70课时选修4－1 《几何证明选讲》相似三角形的进一步认识第71课时选修4－1 《几何证明选讲》圆的进一步认识第72课时选修4－2 《矩阵与变换》平面变换、变换的复合与矩阵的乘法第73课时选修4－2 《矩阵与变换》逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量第74课时选修4－4《参数方程与极坐标》极坐标系第75课时选修4－4《参数方程与极坐标》参数方程第76课时选修4－5《不等式选讲》绝对值的不等式第77课时选修4－5《不等式选讲》不等式的证明。

第九章平面解析几何§9.1直线的方程考情考向分析以考查直线方程的求法为主，直线的斜率、倾斜角也是考查的重点．题型主要在解答题中与圆、椭圆等知识交汇出现，有时也会在填空题中出现．1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (4)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ ) 题组二 教材改编2．[P80练习T6]若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案 1解析 由题意得m －4－2－m＝1，解得m ＝1.3．[P87习题T13]过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________． 答案 3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0. 题组三 易错自纠4．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0， 所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.5．如果A ·C <0且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过第________象限． 答案 三解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．6．过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为____________． 答案 x －2y ＋2＝0或x ＝2解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.题型一 直线的倾斜角与斜率典例 (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤π4，π3解析 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为__________________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究1．若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围． 解 ∵P (－1,0)，A (2,1)，B (0，3)， ∴k AP ＝1－02－(－1)＝13，k BP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.2．若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围． 解 如图，直线PA 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)． 跟踪训练 已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为________． 答案 150° 解析 由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |1＋k2，弦长AB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2k |1＋k 22＝22－2k 21＋k 2， 所以S △AOB ＝12×|－2k |1＋k2×22－2k 21＋k 2≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1， 当且仅当(2k )2＝2－2k 2，即k 2＝13时等号成立，由图可得k ＝－33⎝⎛⎭⎫k ＝33舍去， 故直线l 的倾斜角为150°.题型二 求直线的方程典例 (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程． 解 (1)设所求直线的斜率为k ， 依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 跟踪训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)经过点P (4,1)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a . 若a ＝0，即l 过(0,0)及(4,1)两点， ∴l 的方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋ya ＝1，∵l 过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上可知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题典例 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA →|·|MB →|取得最小值时直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，则a >0，b >0， 直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0. 命题点2 由直线方程解决参数问题典例 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小．思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．跟踪训练 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 方法一 设直线方程为x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)，把点P (3,2)代入得3a ＋2b＝1≥26ab，得ab ≥24， 从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立，这时k ＝－b a ＝－23，从而所求直线的方程为2x＋3y －12＝0.方法二 由题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 且有A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， ∴S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4(－k ) ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4(－k )＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x ＋3y －12＝0.求与截距有关的直线方程典例设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示：现场纠错解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距均存在且均不为0. 直线可变为x a －2a ＋1＋y a －2＝1， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)由a －2a ＋1＝－(a －2)，得a －2＝0或a ＋1＝－1，∴a ＝2或a ＝－2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________． 答案 60°解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是________．答案 x ＝2解析 ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4， 依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2， ∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.3．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________． 答案 －13解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4．已知在平行四边形ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)，则点D 的坐标为________． 答案 (－1,6)解析 设D (a ，b )，由平行四边形ABCD ， 得k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，即⎩⎨⎧0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)．5.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．(用“<”连接)答案 k 1＜k 3＜k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.6．(2017·江苏江阴中学检测)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________________． 答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.7．已知直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点__________． 答案 (2，－2)解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．8．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，则k 的取值范围是______________． 答案 [)－3，0∪⎣⎡⎭⎫33，1解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1；当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，∴－3≤k <0. ∴k ∈[－3，0)∪⎣⎡⎭⎫33，1. 9．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为____________． 答案 x ＋13y ＋5＝0解析 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.10．直线l 过点(－2,2)且与x 轴、y 轴分别交于点(a,0)，(0，b )，若|a |＝|b |，则直线l 的方程为____________________________． 答案 x ＋y ＝0或x －y ＋4＝0解析 若a ＝b ＝0，则直线l 过(0,0)与(－2,2)两点，直线l 的斜率k ＝－1，直线l 的方程为y ＝－x ， 即x ＋y ＝0.若a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意知⎩⎨⎧－2a＋2b ＝1，|a |＝|b |，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，此时，直线l 的方程为x －y ＋4＝0.11.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.12．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解 (1)由题意，知直线l 存在斜率． 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴、y 轴上的截距分别为－4k－3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，则它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________． 答案 4x －3y －4＝0解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x－1)，即4x －3y －4＝0.14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值－2和最大值2.∴b 的取值范围是[－2,2]．15．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为________． 答案 －2解析 ∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝355，② 由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.16．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________． 答案3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以a ＝－b ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝ab ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4. §9.2 两条直线的位置关系考情考向分析 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型以填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点．1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离 P 1P 2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.知识拓展 1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．2．两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是A1B2－A2B1＝0. 3．两直线垂直的充要条件直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.4．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x ＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.5．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为－1.(×)(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(√)(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为|kx0＋b|1＋k2.(×)(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－1k，且线段AB的中点在直线l上．(√)题组二教材改编2．[P106习题T8]直线l到直线x－2y＋4＝0的距离和原点到直线l的距离相等，则直线l的方程是________．答案x－2y＋2＝0解析由题意设所求l的方程为x－2y＋C＝0.则|C－4|12＋22＝|C|12＋22，解得C＝2，故直线l的方程为x－2y＋2＝0.3．[P93练习T7]已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________. 答案 1解析由题意知m－4－2－m＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.题组三易错自纠4．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝________. 答案2或－3解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有2m＝m＋13≠4－2，故m＝2或－3.5．直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．答案32 4解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋12＝0，则两平行线间的距离为d＝⎪⎪⎪⎪2－122＝324.6．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.题型一两条直线的位置关系典例已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝43(矛盾)，∴此种情况不存在，∴k 2≠0，即k 1，k 2都存在且不为0. ∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即ab(1－a )＝－1.(*)又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.(**) 由(*)(**)联立，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2，∴直线l 1的斜率存在， k 1＝k 2，即ab＝1－a ，①又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b ，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝2.∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 跟踪训练 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3， l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧－a 2＝11－a，－3≠－(a ＋1)，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2.方法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0， 由A 1C 2－A 2C 1≠0， 得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧a (a －1)－1×2＝0，a (a 2－1)－1×6≠0，⇔⎩⎨⎧a 2－a －2＝0，a (a 2－1)≠6，可得a ＝－1，故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)方法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2， 故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23. 方法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0， 可得a ＝23.题型二 两直线的交点与距离问题1．已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－16，12解析 方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎨⎧x ＝2－4k2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1. 又∵交点位于第一象限，∴⎩⎨⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.方法二 如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴、y 轴分别交于点A (4,0)，B (0,2)．而直线方程y ＝kx ＋2k ＋1可变形为y －1＝k (x ＋2)，表示这是一条过定点P (－2,1)，斜率为k 的动直线．∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB 上(不包括端点)， ∴动直线的斜率k 需满足k PA ＜k ＜k PB . ∵k PA ＝－16，k PB ＝12.∴－16＜k ＜12.2．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为_______________________．答案x＋3y－5＝0或x＝－1解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知|2k－3＋k＋2|k2＋1＝|－4k－5＋k＋2|k2＋1，即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－13.∴直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．方法二当AB∥l时，有k＝k AB＝－1 3，直线l的方程为y－2＝－13(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．∴直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等．题型三对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________．答案 210解析 直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2,0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.命题点3 直线关于直线的对称问题典例 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． 解 在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵直线m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 思维升华 解决对称问题的方法(1)中心对称①点P (x ，y )关于Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 跟踪训练 已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程； (3)直线l 关于(1,2)的对称直线．解 (1)设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)，∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y2＋3＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95，③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴点P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)． (2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ， 得关于l 对称的直线方程为 －4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.(3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴x′＋02＝1，x′＝2，y′＋32＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．典例1 求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程．思想方法指导因为所求直线与3x＋4y＋1＝0平行，因此，可设该直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)．规范解答解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系．可以考虑用直线系方程求解．典例2 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解．规范解答解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系典例3 经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为____________．思想方法指导 可分别求出直线l 1与l 2的交点及直线l 的斜率k ，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解．解析 方法一 由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－53，y ＝79，即交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， ∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43⎝⎛⎭⎫x ＋53， 即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎨⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为⎝⎛⎭⎫－53，79， 代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9， 故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.方法三 由题意可设所求直线方程为(2x ＋3y ＋1)＋λ(x －3y ＋4)＝0， 即(2＋λ)x ＋(3－3λ)y ＋1＋4λ＝0，① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 答案 4x －3y ＋9＝01．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1,0)，B (0,2)，C (a,0)，若AB ⊥BC ，则a ＝________. 答案 4 解析 因为k AB ＝2－00－(－1)＝2，所以直线BC 的斜率存在，且k BC ＝0－2a －0＝－2a .由2·⎝⎛⎭⎫－2a ＝－1，得a ＝4. 2．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎨⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1.3．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x－2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，即反射光线所在的直线方程为x ＋2y －4＝0.4．一只虫子从点O (0,0)出发，先爬行到直线l ：x －y ＋1＝0上的P 点，再从P 点出发爬行到点A (1，1)，则虫子爬行的最短路程是________． 答案 2解析 点O (0,0)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为O ′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为O ′A ＝(1＋1)2＋(1－1)2＝2.5．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________． 答案823解析 ∵l 1∥l 2，∴a ≠2且a ≠0， ∴1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1， ∴l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.6．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2经过定点________． 答案 (0,2)解析 直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．7．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.8．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345. 9．已知直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，若l 1⊥l 2，则a ＝________，此时点P 的坐标为________．答案 1 (3,3)解析 ∵直线l 1：ax ＋y －6＝0与l 2：x ＋(a －2)y ＋a －1＝0相交于点P ，且l 1⊥l 2，∴a ×1＋1×(a －2)＝0，即a ＝1，联立方程⎩⎨⎧x ＋y －6＝0，x －y ＝0，易得x ＝3，y ＝3，∴P (3,3)．10．已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝________；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为________． 答案 －1 1 2 2解析 若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan π4＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.11．已知方程(2＋λ)x －(1＋λ)y －2(3＋2λ)＝0与点P (－2,2)．(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P 的距离d 小于4 2.(1)解 显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线． ∵方程可变形为2x －y －6＋λ(x －y －4)＝0，∴⎩⎨⎧ 2x －y －6＝0，x －y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，故直线经过的定点为M (2，－2)．(2)证明 过P 作直线的垂线段PQ ，由垂线段小于斜线段知PQ ≤PM ，当且仅当Q 与M 重合时，PQ ＝PM ，此时对应的直线方程是y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0. 但直线系方程唯独不能表示直线x －y －4＝0，∴M 与Q 不可能重合，而PM ＝42，∴PQ <42，故所证成立．12．已知三条直线：l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值；(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由．解 (1)直线l 2：2x －y －12＝0，所以两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪a －⎝⎛⎭⎫－1222＋(－1)2＝7510，所以⎪⎪⎪⎪a ＋125＝7510，即⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72， 又a ＞0，解得a ＝3.(2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)． 若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12×⎪⎪⎪⎪c ＋125，即c ＝132或116， 所以直线l ′的方程为2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0；若点P 满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0；由于点P 在第一象限，所以3x 0＋2＝0不可能． 联立方程2x 0－y 0＋132＝0和x 0－2y 0＋4＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12(舍去)； 联立方程2x 0－y 0＋116＝0和x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝19，y 0＝3718.所以存在点P ⎝⎛⎭⎫19，3718同时满足三个条件．13．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为________． 答案 (2,4)解析 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x 2，解得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)， ∴AC 所在直线方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎨⎧ 3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．14．(2017·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 答案 3 2解析 当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组⎩⎨⎧kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0，得两直线交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k 1＋k 2，2＋2k 1＋k 2， 所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k 1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12，为求得最大值，考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝11k＋k ≤12，当且仅当k ＝1时取等号， 所以4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×322＝3 2.15.如图，已知直线l 1∥l 2，点A 是l 1，l 2之间的定点，点A 到l 1，l 2之间的距离分别为3和2，点B 是l 2上的一动点，作AC ⊥AB ，且AC 与l 1交于点C ，则△ABC 的面积的最小值为________．答案 6解析 以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设B (a ，－2)，C (b,3)．∵AC ⊥AB ，∴ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a .Rt △ABC 的面积S ＝12a 2＋4·b 2＋9＝12a 2＋4·36a 2＋9＝1272＋9a 2＋144a 2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．16．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是______________． 答案 6x －8y ＋1＝0解析 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，将直线l 1沿x 轴正。

讲义参考答案第1讲 集合与简易逻辑金题精讲题一：1．题二： ①16；②29．题三：B ． 题四：B ．题五：C ．题六：A ．题七：A ．第2讲 函数及其性质经典精讲题一：[3,1];[0,2];[3,1]---题二：（3）题三：2题四：（3）（4）题五：（3）（4）题六：（1）(5,1) （2）2，左，1（3）x = -1第3讲 函数及其性质2018新题赏析金题精讲题一：C题二：B题三：[1,3]题四：(0,1][3,)+∞题五:9(,]2-∞题六：8第4讲 平面向量金题精讲题一：．题二： 4，题三：A ． 题四：6．题五：B ．题六：3．题七：① 1Q ；② 2p ．第5讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲金题精讲 题一：75题二：56-题四：A题五：A题六：(1)6x 5π=；(2)0x =时，()f x 取得最大值为3，56x π=时，()f x 取得最小值为- 题七：2第6讲 三角函数与三角恒等变换2018新题赏析金题精讲题一：79- 题二：D题三：D题四：A题五：(1)2；(2) 最小正周期为π，单调递增区间为[,]()63k k k π2ππ+π+∈Z 第7讲 解三角形金题精讲题一：3π 题二：B题三：A题四：75°题六：(1) 23；(2)3+ 第8讲 不等式经典精讲题一：(1)[24,)+∞ (2)(0,81]题二：(1)(,2-∞- (2)7[,)2+∞ (3)4 题三：不对，正确解法如下： 因为3ab a b =++，所以31a b a +=-， 所以 2233(1)5(1)4111a a a a a ab a a a a ++-+-+===--- 495=(1)5=(1)5111a a a a a -++-++----因为9(1)1a a -+≥-，当且仅当4a =时，“=”成立， 又因为51y a =--在(4,)+∞上单调递增， 所以53y ≥-，所以5286533ab ≥+-=， 故ab 的取值范围是28[,)3+∞. 题四：(0,1) 第9讲 线性规划经典精讲题一：4题二：(1，3]题三：7 题四：4,135⎡⎤⎢⎥⎣⎦第10讲 数列经典精讲金题精讲题一：－24．题二： 21n n +． 题三：(1)32n a n =-，2n n b =；(2) 1328433n n +-⨯+． 题四：(1)证明：因为{}n a 是等差数列，所以112n n n a a a -++=①；222n n n a a a -++=②； 332n n n a a a -++=③，由①+②+③可得：3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=于是得到等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;(2)证明：因为数列{}n a 是“(2)P 数列”，所以21124n n n n n a a a a a --+++++=①； 又因为数列{}n a 是“(3)P 数列”，所以3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=②，由②-①得332n n n a a a -++=，于是得到33,,n n n a a a -+是等差数列，故147,,a a a 、258,,a a a 、369,,a a a …成等差数列，设147,,a a a 的公差为13d ，258,,a a a 的公差为23d ，369,,a a a 的 公差为33d ，…，当3n =时，124534a a a a a +++=④，当4n =时，235644a a a a a +++=⑤，当5n =时，346754a a a a a +++=⑥…将首项和公差代入上述式子可得：1212322334a a d d a +++=⑦2323112233412a a d d a d +++=+⑧1331222239412a a d d a d +++=+⑨由⑦+⑧+⑨可得：23d d =，将23d d =代入分别代入⑦、⑧、⑨整理可得13d d =， 于是有123d d d ==，将123d d d ==代入1331222239412a a d d a d +++=+ 可得到2132a a a =+，故数列123,,a a a 是等差数列，设其公差为d '， 于是有2131,2a a d a a d =+=+''，将其代入⑦可得1d d ='，于是有123d d d d ==='， 故数列{}n a 是等差数列.第11讲 数列2018新题赏析金题精讲题一： 4．题二： 3．题三： A ．题四： (1)221n a n =-；(2)数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为 221n n T n =+． 题五： (1)12n n x -=；(2)(21)212n n n T -⨯+=． 第12讲 导数及其应用经典精讲题一：4题二： 题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=-(2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1- (3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方 只需证 2()e 210x f x x x x -+++<，即要证e 20ln x x x x x +<-，所以只要证e 2ln 0x x +-<，令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x x h x '=-， 根据函数1xy =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤， 又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=---也就是()0x h <恒成立，此题得证.第13讲 导数及其应用2018新题赏析金题精讲题一：①④ 题二：1[1,]2-题三：(1)()f x 在(－∞，－ln a )单调递减，在(－ln a ，+∞)单调递增；(2) (0，1)第14讲 巧用导数解决实际应用问题题一：(1)3312m ；(2)；题二：(1)2(S r x =+，定义域为(0,)r ；2. 第15讲 空间立体几何经典精讲,24π题三：（Ⅰ）证法一：因为E ，F 分别是P A ，PD的中点，所以EF∥AD.又因为AD∥BC，所以EF∥BC.因为E，H分别为P A，AB的中点，所以EH∥PB，又因为PB∩BC=B，EF∩EH=E，所以平面EFH∥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC∥平面EFH.证法二：连接AC，BD，设交点为O，连接HO，FO，因为O，H分别是BD，AB的中点，E，F分别是P A，PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，OH∥AD，OH=12AD，所以OH∥EF，OH=EF，所以点O在平面EFH上，所以证PC∥平面EFH，即证PC∥平面EFOH.因为O，E分别是AC，AP的中点，所以EO∥PC，又因为直线PC⊄平面EFOH，所以PC∥平面EFOH.(Ⅱ)证明：因为AP=AD，点F是PD的中点，所以AF⊥PD. 因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥AB.因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面APD，所以AB⊥PD，即AH⊥PD，又AF⊥PD，AF∩AH=A，所以PD⊥平面AHF，又PD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面AHF.题四：（Ⅰ）证明：因为DE⊥面ACD，AF⊂面ACD，所以DE⊥AF，又因为AF⊥CD，所以AF⊥面BCDE，所以AF BE⊥.（Ⅱ）线段AB上存在点Q，使AC⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取AC AB，的中点G Q，，则GQ//BC，且GQ=12 BC，又因为DE//BC，12DE BC=，所以GQ //DE 且GQ =DE ，因为AD =CD ，所以DG ⊥AC ，因为DE ⊥面ACD ，所以DE ⊥AC ，所以AC ⊥面EDGQ ，即AC ⊥平面DEQ ．第16讲 空间向量法解立体几何题经典精讲题一：④ 题二：23题三：(1)当P 为AC 中点时，PF 与BC 所成的角是60︒ (2) 60︒题四：(1)证明：∵ABC -A 1B 1C 1为直棱柱，∴C 1C ⊥面ABC ，∴C 1C ⊥AC ，C 1C ⊥CB ，即︒=∠=∠90DCB DCA ，∵底面为等腰直角三角形，且90ACB ∠=︒，∴CA = CB ，在△DCA 和△DCB 中⎪⎩⎪⎨⎧︒==∠=∠=CB CA DCB DCA DC DC 90∴△DCA ≌△DCB （SAS ），∴DA =DB ，又∵G 为ABD ∆的重心，∴DG ⊥AB ，∵E 在面ABD 上的射影为G ，∴EG ⊥面ABD ，∴EG ⊥AB ，∵DG ⊥AB ，EG ⊥AB ，∴AB ⊥面DEG .第17讲 空间立体几何2018新题赏析金题精讲题一：A题二：C题四：②③题五：(1)证明：∵∠BAP =∠CDP =90°，∴PA ⊥AB ，PD ⊥CD ， ∵AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ，又∵PA ∩PD =P ，且PA ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，又AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ；(2) 第18讲 直线与圆经典精讲题一：(,[1,)-∞⋃+∞，π2π[,]43题三：(1)24 (2)24题四：(1)320x y ++= (2)22(2)8x y -+= (3)221(22x y x -=≤ 第19讲 椭圆经典精讲金题精讲题一：D题三：1题四：.题六：(±.第20讲 双曲线与抛物线经典精讲金题精讲题一：B 题二：221312x y -=；2y x =± 题三：C题四：C题六：证明：如图，设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，直线:AB l x my t =+，由22x my ty px =+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=， ∴2221212122,22y y y y pt x x t p p=-==， 又∵121k k =-，∴12120x x y y +=，∴220t pt -=，∴2t p =，（0t =舍），∴:2AB l x my p =+，∴AB l 恒过点(2,0)p .题七：(1) 证明：设直线:AB l x my t =+，由22x my ty px=+⎧⎨=⎩，得2220y pmy pt --=，∴122y y pt =-， 又∵122y y p =-，∴1t =，∴:1AB l x my =+，∴AB l 恒过点(1,0). (2)（0，4）.第21讲解析几何2018新题赏析金题精讲题一：(0,1][9,)+∞题二：2y x =± 题四：(1) 抛物线C 的方程为y 2 = x ，焦点坐标为(14，0)，准线为x =－14； (2) 设过点(0，12)的直线方程为y = kx +12(k ≠ 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， ∴直线OP 为y = x ，直线ON 为y = 22y x x ，由题意知A (x 1，x 1)，B (x 1，122x y x )， 由212y kx y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得k 2x 2+(k －1)x +14= 0，∴x 1+x 2 =21k k -，x 1x 2 =214k ， 要证A 为线段BM 的中点，只需证211122y x y x x =+，即证2111211222kx x kx x x +=++， 即证1212212111222x x kx x x kx x x =+++， 即证12121(22)()2k x x x x -=+， 而12122221111222(1)(22)()(22)02244k k k k x x x x k k k k ------+=-⋅-⋅==∴ A 为线段BM 的中点．第22讲 排列、组合及二项式定理 经典精讲金题精讲题一：14题二：C题三：D题四：-2题五：10 题六：710. 题七：证明：设a n =2n ，b n =n +2，∴数列{a n }是以2首项，公比为2的等比数列，∴a 1=2．a 2=4．a 3=8，知a 1、a 2显然不是数列{b n }中的项．∵a 3=8=3×2+2，∴a 3是数列{b n }中的第2项，设a k =2k 是数列{b n }中的第m 项，则2k =3m +2（k 、m ∈N *）， ∵a k+1=2k+1=2×2k =2（3m +2）=3（2m +1）+1，∴a k+1不是数列{b n }中的项，∵a k +2=2k +2=4×2k =4（3m +2）=3（4m +2）+2，∴a k +2是数列{b n }中的项，∴c 1=a 3，c 2=a 5，c 3=a 7，…，c n =a 2n +1，∴数列{c n }的通项公式是c n =22n +1（n ∈N *），∴{c n }是等比数列.题八：(1)72；432.(2) 有五位数，无六位数.(3)4012第23讲 统计与两个概型经典精讲金题精讲 题一：B题二：（I ）1315；（II ）78 题三：B题四：（1）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图如下：B 地区用户满意度评分的频率分布直方图通过直方图比较可以看出，B 地区满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值，B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散；（2）A 地区的满意度等级为不满意的概率大，理由略. 题五：23题六：(I) 1.2 3.6y t =+$；(II)10.8(千亿元).第24讲 离散型随机变量及 其分布列、期望经典精讲金题精讲题一：1.96．题二：(1)0.3；(2)ξ的分布列如下：E (ξ)=1；(3) 100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大． XE (X )=12； (2)1148． 题四：(1)518； (2)XEX =2．题五：(1) 23； (2)X数学期望EX =236． 第25讲 概率统计2018新题赏析金题精讲题一：25题二：59题三：π8 题四：A题五：B题六：(1)0.4；(2)20；(3)3:2．题七：(1)0.6；(2) Y 的所有可能值为900,300,－100；Y 大于零的概率为0.8．第26讲 几何证明选讲(选修4-1)题一：点P 的轨迹是223(0)x y y +=≠所表示的两个半圆.题二：题三：43题四：11第27讲 矩阵与变换(选修4-2)题一：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1 题二：（Ⅰ）1a =，1b =-；（Ⅱ）(1,0)题三：1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦题四：（1）312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）32223⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎣⎦题五：矩阵A ＝1120-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，其另一个特征值为1. 第28讲 坐标系与参数方程（选修4-4）金题精讲题二：1题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-，2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；（2）12题四：78第29讲 不等式选讲(选修4-5)金题精讲题一：(,8]-∞题二：1a ≤时，x ∈∅；12a <≤时，533a a x +-<<； 2a >时，5533a a x -+<< 题三：（Ⅰ）2|23x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）(2,)+∞. 第30讲 复数题二：(31)-，题三：i题四：i题五：−3题六：1第31讲 定积分都考啥题一：2题三：3ln 22- 题四：13 第32讲 算法金题精讲题一：8.题二：②.题三：(1) {1,3,5,7,9,11,13}，a n =2n -1（n ∈N +且n ≤7）；(2) a =2；(3) a =a +3. 题四：12n a a a n+++…；样本平均数. 题五：2.第33讲 高考数学一轮复习综合 验收题精讲(一) 金题精讲题一：1 题二：12题三：7或8题四：（Ⅰ）π；（Ⅱ）最大值为2，最小值为－1.题五：（Ⅰ）2y x =； （Ⅱ）令3()()2()3x g x f x x =-+， 则4222()()2(1)1x g x f x x x ''=-+=-，因为()0g x '>(01)x <<，所以()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(0)0g x g >=，(0,1)x ∈，即当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+；（Ⅲ）2.第34讲 高考数学一轮复习综合验收题精讲(二) 金题精讲 题一：3Rπ 题二：1a题三：2sin 4y x =+题四：7题五：14题六：（1）连接BD ，∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵BB 1⊥底面ABCD ，∴BB 1⊥AC ，∵BD ∩BB 1=B ，∴ AC ⊥面DBB 1，∴AC ⊥B 1D ；（2）60°.题七：（Ⅰ）37；（Ⅱ）1049；（Ⅲ）11a =或18a =. 第35讲 集合与常用逻辑用语经典回顾题一：(){2,4,8}U A B =ð．第36讲 函数的概念及其性质经典回顾题一：-8．题二：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =； （Ⅱ）()f x 是奇函数,证明：因为2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----= 所以(1)0f -=()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=- 因此()f x 是奇函数题三：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明：设1212,,x x x x <∈R ， 212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--∵210x x ->∴2121()1,()10f x x f x x ->--> 所以21()()f x f x >因此()f x 在R 上是增函数.第37讲 数列经典回顾开心自测题一：24. 题二：!2n 金题精讲题一： 60.题二：（Ⅰ）13n na ∴=； （Ⅱ）1(21)3344n n n S +-∴=+． 题三：（Ⅰ）*65()n a n n N =-∈；（Ⅱ）10．第38讲 导数及其应用经典回顾金题精讲题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+； （Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9． 题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞， 增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，， 由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =，从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞， 即221e 0x x ax -+-＞，故221e x x ax -+＞. 第39讲 复数与算法初步经典回顾金题精讲题一：30．题二：3．第40讲 推理与证明问题经典回顾开心自测 题一：81248,T T T T ． 题二：证明：假设T 为奇数,则1271,2,,7a a a ---均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数()()()()()1271271271027a a a a a a -+-++-+++-=+=+=+， 但0≠奇数,这一矛盾说明T 为偶数.金题精讲题一：2222ABC ACD ADB BCD S S S S ++=△△△△．题二：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-． 题三：1()(())n n f x f f x -==(21)2n n x x -+. 题四：（1）13{,}a a 是E 的第5个子集．（2）E 的第211个子集是12578{,,,,}a a a a a ． 题五：证明：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ， 则有0≤++c b a ， 而222222(2)(2)(2)236(1)(1)(1)()3236a b cx y y z z x x y z ππππππ++=-++-++-+=-+-+-+++- =3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0.第41讲 选修4经典回顾开心自测题一：{11}x x -≤≤．题二：98a ． 金题精讲题一：CE题二：3)4π． 题三：（Ⅰ）2a =．（Ⅱ）m 的取值范围是(,5]-∞．。

第9讲 对数与对数函数考试要求 1.对数的概念及其运算性质，换底公式及应用(B 级要求)；2.对数函数的概念、图象与性质(B 级要求)；3.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数(A 级要求).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数( ) (3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 解析 (1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错. (4)当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2.(2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log 23＋log 43＝________. 解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12； 2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 33.(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.解析 由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，故所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，324.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a >b >0，0<c <1，则log c a 与log c b 的大小关系为________.解析 ∵0<c <1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴log c a <log c b . 答案 log c a <log c b5.(2017·徐州月考)函数y ＝log 0.5（4x －3）的定义域为________. 解析 由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1知 识 梳 理1.对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.考点一 对数的运算【例1】 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.(2)(2018·淮阴中学期中)求值：2723－(3－125)2－2log 23×log 218＋log 23×log 34. (1)解析 由已知得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10. 答案10(2)解 2723－(3－125)2－2log 23×log 218＋log 23×log 34 ＝(33)23－(－5)2－3×log 22－3＋lg 3lg 2×2lg 2lg 3 ＝9－25－3×(－3)＋2＝－5规律方法 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 (1)(2017·无锡期末)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f (2＋log 23)的值为________.(2)(2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.(2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.答案 (1)24 (2)－1考点二 对数函数的图象及应用【例2】 (1)(2017·苏北三市第三次模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________.(2)(2018·苏、锡、常、镇调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)由题设可得⎩⎨⎧y C ＝y B ，x A＝x B，x C －x B＝2，y A－y B＝2，即⎩⎨⎧log a x C ＝2log a x B ，x A＝x B，x C－x B＝2，3log a x A－2log a x B＝2，化简可得x B＝2，log a x B＝2，所以a 2＝2，故a ＝2(负值舍去).(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点. 答案 (1)2 (2)(1，＋∞)规律方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.在x 轴上方，底数a 越大，图象越靠近x 轴.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是________(填序号).(2)(2018·宿迁模拟)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是________. 解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除①，②；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除④.(2)由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示).当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 (1)③ (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1考点三 对数函数的性质及应用(多维探究) 命题角度1 比较大小【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷改编)若a >b >0，0<c <1，给出下列关系式： ①log a c <log b c ；②log c a <log c b ；③a c <b c ；④c a >c b . 其中正确的关系式是________(填序号).解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，③，④不正确. ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，②正确.log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定，①不正确. 答案 ②命题角度2 解不等式【例3－2】 (江苏省淮阴中学2015～2016学年度第一学期期中考试)求不等式的解集：(1)33－x <2； (2)log 5(x －1)<12.解 (1)33－x <2，∴33－x <3log 32，∴3－x <log 32， ∴x >3－log 32，解集为(3－log 32，＋∞).(2)log 5(x －1)<12，∴log 5(x －1)<log 5 5.∴0<x －1<5，∴1<x <5＋1，解集为(1，5＋1). 命题角度3 对数型函数的性质【例3－3】 (2018·仪征中学高三期初检测)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a .(1)当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2)若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0有且仅有一解，求a 的值；(3)设a >0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1>1，得1x ＋1>2，解得0<x <1.故不等式的解集为{x |0<x <1}.(2)log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a ＋log 2x 2＝0有且仅有一解，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a x 2＝1有且仅有一解，等价于ax 2＋x －1＝0有且仅有一解. 当a ＝0时，x ＝1，符合题意；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14. 综上，a ＝0或－14.(3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减.故函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1).则f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1成立. 因为a >0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，所以t ＝12时，y 有最小值，为34a －12，由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 规律方法 (1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是________. (2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数， 由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f (x )min ＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 (1)c >a >b (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83一、必做题1.(2017·如东高级中学第二次学情调研)函数f (x )＝1log 2（3－x ）的定义域为________.解析 由题设可得⎩⎨⎧3－x >0，3－x ≠1，解之得x <3且x ≠2，所以答案为(－∞，2)∪(2，3).答案 (－∞，2)∪(2，3)2.(2017·泰州中学第二次质量检测)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的________条件(在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填写).解析 由x >1得x ＋2>3，所以log 12(x ＋2)<0，由log 12(x ＋2)<0可得x ＋2>1，即x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分不必要条件.答案 充分不必要3.(2018·淮阴中学期中)已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝________.解析 易知点A (2，0)，又因为点A 在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，所以22＋b ＝0，∴b ＝－4，所以f (x )＝2x －4，则f (log 23)＝2log 23－4＝3－4－＝－1. 答案 －14.(2017·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________.解析 由图象可得⎩⎨⎧f （－3）＝log a （－3＋b ）＝0，f （0）＝log a b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝4，则a ＋b ＝92.答案 925.(2018·南京、盐城模拟)设f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________.解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1，1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x <1，∴－1<x <0.答案 (－1，0)6.(2018·扬州质检)设f (x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则p ，q ，r 的大小关系为________. 解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ， 又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ， 故p ＝r <q . 答案 p ＝r <q7.(2018·淮阴中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 3x |，0<x <3，－x ＋4，x >3，若a <b <c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则(ab ＋2)c 的取值范围是________.解析 画出函数f (x )的大致图象(图略)，结合图象并由a <b <c 且f (a )＝f (b )＝f (c )，得13<a <1<b <3<c <4且－log 3a ＝log 3b ，所以ab ＝1，故(ab ＋2)c ＝3c ，又c ∈(3，4)，所以3c ∈(27，81).故(ab ＋2)c 的取值范围是(27，81). 答案 (27，81)8.(2017·通东中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________.解析 当a >0，即－a <0时，由f (a )>f (－a )知log 2a >log 12a ，在同一坐标系中画出函数y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图象(图略)，由图象可得a >1；当a <0，即－a >0时，同理可得－1<a <0，综上可得，a 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞).答案 (－1，0)∪(1，＋∞)9.(2018·淮海中学第一次阶段性考试)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝lg(2＋x )－lg(－x ).(1)求函数f (x )的解析式及定义域；(2)解不等式f (x )<1.解 (1)令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，所以f (t )＝lg(1＋t )－lg(1－t )，即f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x )，由⎩⎨⎧1＋x >0，1－x >0得－1<x <1， 所以f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x )，其定义域是(－1，1).(2)由f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x )＝lg1＋x 1－x<1， 即⎩⎨⎧1＋x 1－x <10，－1<x <1，解得－1<x <911. 所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <911. 10.(2017·扬州期中)函数f (x )＝log 3(x 2＋2x －8)的定义域为A ，函数g (x )＝x 2＋(m ＋1)x ＋m .(1)当m ＝－4时，g (x )≤0的解集为B ，求A ∩B ；(2)若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12使得不等式g (x )≤－1成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)由x 2＋2x －8>0得x <－4或x >2，则A ＝(－∞，－4)∪(2，＋∞)，当m ＝－4时，g (x )＝x 2－3x －4，由x 2－3x －4≤0得－1≤x ≤4，则B ＝[－1，4]. 所以A ∩B ＝(2，4].(2)存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12使得不等式x 2＋(m ＋1)x ＋m ≤－1成立，即存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12使得不等式－m ≥x 2＋x ＋1x ＋1成立，所以－m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x ＋1x ＋1min. x 2＋x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1≥1， 当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号. 所以－m ≥1，解得m ≤－1.二、选做题11.(2017·镇江期末)不等式log a x －(ln x )2<4(a >0，且a ≠1)对任意x ∈(1，100)恒成立，则实数a 的取值范围为________.解析 ∵不等式log a x －(ln x )2<4，∴ln x ln a <(ln x )2＋4，令t ＝ln x ，∵x ∈(1，100)，∴t ＝ln x ∈(0，ln 100)，∴t ln a <t 2＋4在t ∈(0，ln 100)上恒成立，当0<a <1时，ln a <0，显然成立，当a >1时，ln a >0，故ln a >t t 2＋4在t ∈(0，ln 100)上恒成立， 令g (t )＝t t 2＋4，t ∈(0，ln 100)， 则g ′(t )＝－t 2＋4（t 2＋4）2， 令g ′(t )>0，解得0<t <2，令g ′(t )<0，解得t >2，故g (t )在(0，2)上递增，在(2，ln 100)上递减，故g (t )≤g (2)＝14，故ln a >14，解得a >e 14，故实数a 的取值范围为(0，1)∪(e 14，＋∞).答案 (0，1)∪(e 14，＋∞)12.(一题多解)(2018·江苏运河中学一诊)已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是________.解析 法一 由f (m )＋f (2n )＝3得log 2[(m －2)(2n －2)]＝3⇒(m －2)(2n －2)＝23，即(m －2)(n －1)＝4，由已知得m >2，n >1，由基本不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －2＋n －122≥4(当且仅当m －2＝n －1＝2，即m ＝4，n ＝3时等号成立)， 从而m ＋n ≥7.故m ＋n 的最小值是7.法二 同上得(m －2)(n －1)＝4，由 已知得m >2，n >1，所以m ＝4n －1＋2，m ＋n ＝4n －1＋2＋n ＝4n －1＋n －1＋3≥24n －1·（n －1）＋3＝4＋3＝7，当且仅当4n －1＝n －1时，等号成立，此时n ＝3，m ＝4. 答案 7。

第11讲导数及其应用经典精讲题一：已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，求a 的值.题二：函数21()ln 4f x x x =-的单调减区间为. 题三：已知函数 42)(23-++=x x x x f ，8)(2-+=x ax x g .(1)求函数)(x f 的极值；(2)若对任意的[0,)x ∈+∞都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围.题四：已知函数2()ln 1f x x x ax =+-，且(1)1f '=-.(1)求()f x 的解析式；(2)若对于任意(0,)x ∈+∞，都有1()f x mx --≤，求m 的最小值；(3)证明：函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方.导数及其应用经典精讲题一：4题二： 题三：(1)极大值为(1)4f -=-，极小值为1112()327f -=-(2)a ≤5 题四：(1)2()ln 1f x x x x =-- (2)1-(3)证明：要证函数2()e x y f x x x =-+的图象在直线21y x =--的下方 只需证 2()e 210x f x x x x -+++<， 即要证e 20ln x x x x x +<-， 所以只要证e 2ln 0x x +-<， 令e 2()ln x h x x +=-，则1e ()x x h x '=-， 根据函数1x y =和e x y =的图象，可知 0(0,1)x ∃∈，使得0001e 0()x x x h ='=-所以0()()x x h h ≤， 又因为001e x x =，所以00e x x -=，故 00000002000200e 21212(21)(1)0()ln ln x x x x x x x x x x x x h +=+=-+--+=--=<=--- 也就是()0x h <恒成立，此题得证.。

第27讲 坐标系与参数方程（选修4-4）
金题精讲
1、最重要的事情是转化
题一：已知圆C 的极坐标方程为2sin()404
ρθπ+--=，求圆C 的半径.
题二：在极坐标系中，点π(2)3‚到直线(cos )6ρθθ=的距离为． 2、关注考查的新趋势——了解本质，简单应用
题三：在直角坐标系xOy 中，
直线1C ：x ＝－2，
圆2C ：22
(1)(2)1x y -+-=，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求1C ，2C 的极坐标方程；
（2）若直线3C 的极坐标方程为 ()4
θρπ=∈R ，设2C 与3C 的交点为
M ,N ，求2C MN ∆的面积.
题四：,,A B C 为椭圆22
143
x y +=上的三个点，(2,0)A ，且,,OA OB OC 两两夹角为 120，则222
111||||||OA OB OC ++的值 为.
（2）坐标系与参数方程（选修4-4）
金题精讲
题二：1
题三：（1）1C ：cos 2ρθ=-，
2C ：22cos 4sin 40ρρθρθ--+=；
（3）12 题四：78。

第一节集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．授课提示：对应学生用书第1页◆教材通关◆1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系A B[必记结论]集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个真子集(除集合本身)，有2n －1个非空子集，有2n －2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)．3．集合的基本运算(1)A ∩∅＝∅，A ∪∅＝A ；(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅；(3)A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[小题诊断]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <32D ．A ∪B ＝R解析：因为A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案：A2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：由已知得集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，所以M ⊆N ，故选C.答案：C3．(2018·唐山模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，B ＝{2,5}，则(∁U A )∪B ＝( ) A ．{3,4,5} B ．{2,3,5} C ．{5}D ．{3}解析：因为U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，所以∁U A ＝{3,5}，又B ＝{2,5}，所以(∁U A )∪B＝{2,3,5}．答案：B4．(2018·衡水中学联考)若集合B＝{x|x≥0}，且A∩B＝A，则集合A可能是()A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R解析：由A∩B＝A得A⊆B，因为B＝{x|x≥0}，所以集合A可能是{1,2}，故选A.答案：A5．已知全集U＝R，集合A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A．{0,1} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}解析：由Venn图可知，阴影部分的元素由属于A且不属于B的元素构成，所以用集合表示为A∩∁U B.∵U＝R，A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，∴A∩∁U B＝{0,1}，故选A.答案：A6．已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，y＝4x2－1}，则A∩B 的元素个数是________．解析：集合A是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B是抛物线y＝4x2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A∩B中含有3个元素．答案：3◆易错通关◆1．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．2．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．3．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．设全集U＝R，集合A＝{x|7－6x≤0}，集合B＝{x|y＝lg(x＋2)}，则(∁U A)∩B等于()A.⎝⎛⎭⎫－2，76 B ．⎝⎛⎭⎫76，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎫－2，－76 解析：依题意得A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥76，∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜76；B ＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，因此(∁U A )∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2＜x ＜76. 答案：A2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x ≤0}，则满足A ∪B ＝{0,1,2}的集合B 的个数为________． 解析：由A 中的不等式解得0≤x ≤2，x ∈N ，即A ＝{0,1,2}．∵A ∪B ＝{0,1,2}，∴B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：8授课提示：对应学生用书第2页考点一 集合的概念与关系 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．已知集合A ＝{1，－1}，B ＝{1,0，－1}，则集合C ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，当a ＝1，b ＝1时，a ＋b ＝2；当a ＝1，b ＝0时，a ＋b ＝1；当a ＝1，b ＝－1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，a ＋b ＝－1；当a ＝－1，b ＝－1时，a ＋b ＝－2.因此集合C ＝{2,1,0，－1，－2}，共有5个元素．故选D.答案：D2．(2018·兰州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：A ＝{x |x ＞－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . 答案：D3．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∪N ＝N解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ x ＝(2k ＋4)8π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪ x ＝2k π8－π4或⎭⎪⎬⎪⎫x ＝(2k －1)8π－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B.答案：B4．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}， 而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a ＞4，即c ＝4. 答案：41．集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．如题组中1易错．2．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．如题组中2,4均用了数轴进行分析求解．考点二 集合的基本运算 多维探究 题点多变考点——多角探明[锁定考向] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合运算求参数或范围． 角度一 集合的基本运算1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.答案：B2．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32x≤1，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{－1,2} C ．{－2,1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2x －32x≥0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}，故选C.答案：C3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( ) A.⎣⎡⎭⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析：A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)， B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫0，12， 所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 答案：D解决集合运算的两个方法角度二 利用集合运算求参数或范围4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．答案：C5．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案：D6．(2017·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎡⎦⎤12，1 C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A. 答案：A根据集合运算的结果确定参数的取值范围解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到．解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn 图进行求解．[即时应用]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4}D ．{1,3,4}解析：由题意得A ∪B ＝{1,2,3,4}． 答案：A2．(2017·高考浙江卷)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，则P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2) 解析：P ∪Q ＝(－1,2)． 答案：A3．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1) 解析：由4－x 2≥0，解得－2≤x ≤2，由1－x ＞0，解得x ＜1，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ＜1}．故选D.答案：D4．(2018·长沙模拟)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C．3 D．1或2解析：当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，所以a的值为2，故选B.答案：B5．设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x＞a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是() A．a≤1 B．a≥1C．a≥0 D．a≤0解析：由A∩B＝∅知0∉B,1∉B，∴a≥1，故选B.答案：B考点三集合的新定义问题创新探究交汇创新考点——突破疑难与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决此类题型的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用.[典例]设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A 的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．答案：C[即时应用]1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝()A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：∵A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}＝{x |2＜x ＜5}，A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，∴A －B ＝{0,1,2,5}．故选D. 答案：D2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ⊗Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P ⊗Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素，所以选B.答案：B课时作业单独成册 对应学生用书第187页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1,2,4} C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}， ∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}． 答案：B2．(2018·成都市模拟)设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1}D ．{0} 解析：因为集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }＝{－1,0}，所以A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.答案：B3．设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x －1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，3) B ．[2,3) C ．(－∞，2)D ．(－1,2)解析：A ＝{x |x ＜2}，因为y ＝2x －1＞－1，所以B ＝{y |y ＝2x －1}＝(－1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选D.答案：D4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴ba＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C. 答案：C5．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，B ＝{x |x ＋1x －2＜0}，则A ∩B ＝( )A ．{－2，－1,0,1,2,3}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,2}D ．{0,1}解析：由题意，得B ＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{0,1}，故选D. 答案：D6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3}D ．{1,4}解析：由题意，得B ＝{1,4,7,10}，∴A ∩B ＝{1,4}． 答案：D7．(2018·长沙市模拟)已知集合P ＝{x |－2 016≤x ≤2 017}，Q ＝{x | 2 017－x ＜1}，则P ∩Q ＝( )A ．(2 016,2 017)B ．(2 016,2 017]C ．[2 016,2 017)D ．(－2 016,2 017)解析：由已知可得Q ＝{x |0≤2 017－x ＜1}＝(2 016，2 017]，则P ∩Q ＝(2 016,2 017]． 答案：B8．(2018·石家庄模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A．(1,2] B．[1,2]C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：使x－2有意义的实数x应满足x－2≥0，∴x≥2，∴M＝[2，＋∞)，y＝ln(1－x)中x应满足1－x＞0，∴x＜1，∴N＝(－∞，1)，所以M∪N＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.答案：D9．(2018·沈阳市模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x＜6}，则集合(∁U A)∩B ＝()A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝R，A＝{x|x≥2}，∴∁U A＝{x|x＜2}．又B＝{x|0≤x＜6}，∴(∁U A)∩B＝{x|0≤x ＜2}．故选C.答案：C10．(2017·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝()A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝()A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．(2018·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B )＝()A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.答案：B13．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.答案：{－1,2}14．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，∴A∪∁U B＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}15．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．答案：816．已知集合U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝__________. 答案：{1,2,3,5}B 组——能力提升练1．已知全集U ＝{0,1,2,3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( ) A ．{1,3} B ．{0,1,3} C ．{0,3}D ．{2}解析：M ＝{0,1,3}． 答案：B2．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2C ．0或2D ．0或1或2 解析：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴m ＝0或m ＝2. 答案：C3．(2018·南昌市模拟)已知集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}，则(∁A B )∩Z ＝( )A ．{4}B ．{5}C ．[4,5]D ．{4,5}解析：∵集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}＝{x |0＜x ＜4}，∴∁A B ＝{x |4≤x ≤5}，∴(∁A B )∩Z ＝{4,5}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．(－1,1]D ．[－1,1]解析：依题意，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8解析：由题意知，B＝{0,1,2}，则集合B的子集的个数为23＝8.故选D.答案：D6．(2018·太原市模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2,1)B．[－1,0]∪[1,2)C．(－2，－1)∪[0,1]D．[0,1]解析：因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2,1]，A∩B＝[－1,0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0,1]，故选C.答案：C7．(2018·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()解析：由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N M，故选B.答案：B9．已知集合A满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4,5}，则集合A的个数为()A．8 B．7C．4 D．3解析：由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A 可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A ＝{2,0,1,4}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D ． 2解析：若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．给出下列四个结论： ①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x∈N 是有限集． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误； 对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x 可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Q ⎪⎪6x ∈N 是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A. 答案：A12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，所以集合A中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．答案：C13．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________. 解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}． 答案：{7,9}14．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案：－315．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.答案：1或－18第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、 否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．授课提示：对应学生用书第4页◆ 教材通关 ◆1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．[必记结论]由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[提醒]易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．充分条件、必要条件与充分必要条件的概念qpp1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是() A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案：A2．命题“若a2＜b，则－b＜a＜b”的逆否命题为()A．若a2≥b，则a≥b或a≤－bB．若a2＞b，则a＞b或a＜－bC．若a≥b或a≤－b，则a2≥bD．若a＞b或a＜－b，则a2＞b解析：因为“a 2＜b ”的否定为“a 2≥b ”，“－b ＜a ＜b ”的否定为“a ≥b 或a ≤－b ”，所以逆否命题为“若a ≥b 或a ≤－b ，则a 2≥b ”． 答案：C3．(2018·唐山模拟)已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3＜b 3⇔a ＜b ⇔2a ＜2b ，即“a 3＜b 3”是“2a ＜2b ”的充要条件．答案：C4．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B5．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q p ．故p 是q 的充分不必要条件．答案：A6．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B◆ 易错通关 ◆1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且BA )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同．[小题纠偏]1．设a ，b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 的方向相同”的________条件． 答案：必要不充分2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 都是锐角”的否命题为：________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，C ＝90°， 结论：A ，B 都是锐角．否命题是否定条件和结论， 即“在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角”． 答案：在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角授课提示：对应学生用书第5页考点一 命题及其关系 自主探究 基础送分考点——自主练透[题组练通]1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．答案：D2．(2018·焦作质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 2)(1＋q 2＋q 4)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1(1－q 6)1－q ＝7·a 1(1－q 2)1－q ，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.答案：B3．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A1.判断命题真假的方法(1)判定一个命题是真命题，需经过严格推理证明，而要说明它是假命题，只需举出一个反例即可．(2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接判断．2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．考点二 充分必要条件的判定 互动探究 重点保分考点——师生共研[典例] (1)(2018·合肥教学质检)“x ≥1”是“x ＋1x ≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2018·衡阳联考)设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.(2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的必要不充分条件．(3)∵x 2－x －20＞0，∴x ＞5或x ＜－4，∴p ：x ＞5或x ＜－4.∵log 2(x －5)＜2，∴0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，∴q ：5＜x ＜9，∵{x |5＜x ＜9}{x |x ＞5或x ＜－4}，∴p 是q 的必要不充分条件．故选B.答案：(1)A (2)C (3)B充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件.[即时应用]1．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.答案：A2．设a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是“2a －b ＞1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：log 2a ＞log 2b ⇔a ＞b ＞0,2a －b ＞1⇔a ＞b ，所以“log 2a ＞log 2b ”是“2a －b ＞1”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x 2＋x x －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由x 2＋x x －1≥0，即x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x ＞1.∵log 3(2x ＋1)≤0，∴0＜2x ＋1≤1，解得－12＜x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B. 答案：B考点三 根据充分、必要条件求参数的取值范围 变式探究 母题变式考点——多练题型[典例] (2018·济南月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．是否存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件？若存在，求出m 的取值范围．解析：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}．要使x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件，则P ＝S ，即{x |－2≤x ≤10}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，此时，m 不存在，即不存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件．[变式探究1]母题条件若改为“x ∈P 是x ∈S 的必要条件”，问题不变．解析：∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即x ∈S ⇒x ∈P ，∴S P ，∴1－m ＞1＋m 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴m ≤3.[变式探究2] 母题条件若改为“綈P 是綈S 的必要不充分条件”，问题不变．解析：∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴S 是P 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P S ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＞1－m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9.利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端点值的检验.[即时应用]1．(2018·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1， ∴命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1，∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞1或x ＜12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12， 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，12.答案：⎣⎡⎦⎤0，12 2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜2x ＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案：(2，＋∞)课时作业单独成册 对应学生用书第189页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|≤1，得0≤x ≤2，∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤20≤x ≤2， 故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”是真命题B ．逆命题“若m ≤1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D ．逆否命题“若m ＞1，则函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题 解析：命题“若函数f (x )＝e x －mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.答案：C7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．3解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.答案：D8．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.答案：A9．(2018·武汉市模拟)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a 1＞0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )＜0⇒1＋q ＜0⇒q ＜－1⇒q ＜0，而a 1＞0，q ＜0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )＞0.故“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的必要不充分条件．答案：B10．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B11．(2018·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.答案：A12．(2018·洛阳统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，而当m ＝3时，m 2＋1＝4，∴“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝b sin B，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B ．答案：充要14．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的__________条件． 解析：由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________．答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1B 组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x )，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x ＋7－x 为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．故选C.答案：C3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A. 答案：A5．若a ，b 为正实数，且a ≠1，b ≠1，则“a ＞b ＞1”是“log a 2＜log b 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。

第2讲四种命题和充要条件考试要求 1.命题的概念，命题的四种形式及相互关系(A级要求)；2.充分条件、必要条件、充要条件的含义(B级要求).诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(课本习题改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________.解析原命题的结论和条件互换得逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数. 答案若一个数的平方是正数，则它是负数.3.(课本习题改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件.解析a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分而不必要条件.答案充分而不必要4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________.解析原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案 25.(2018·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件.解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0， 所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件.答案 充要知 识 梳 理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 q4.即条件的充分性)它的逆命题成立(即条件的必要性).考点一 四种命题的关系及其真假判断【例1】 (1)命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为________.(2)(2017·课标全国Ⅰ理改编)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2；p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为________.解析 (1)根据逆否命题的定义可知逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”；由x 2－3x －4＝0，得x ＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)对于命题p 1：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R 成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i ∈R ，得a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z －2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z －＝a ∈R 成立，故命题p 4正确.答案 (1)“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”为假命题(2)p 1，p 4规律方法 (1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p ，则q ”的形式，应先改写成“若p ，则q ”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】 (1)(2017·扬州模拟)下列命题：①若“a 2<b 2，则a <b ”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；④“若3x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.其中正确的命题是________(填序号).(2)(2018·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________.解析(1)对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.答案(1)③④(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3考点二充分条件与必要条件的判定【例2】(1)(2018·南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).(2)(2018·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.答案(1)必要不充分(2)③规律方法 充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件.【训练2】 (1)(2017·北京卷改编)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m·n <0”的________(填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”).(2)(2017·天津卷改编)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的________(填“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”).解析 (1)由存在负数λ，使得m ＝λn ，可得m 、n 共线且反向，夹角为180°，则m ·n ＝－|m ||n |<0，故充分性成立.由m ·n <0，可得m ，n 的夹角为钝角或180°，故必要性不成立.故填充分而不必要条件.(2)由2－x ≥0，得x ≤2，由|x －1|≤1，得－1≤x －1≤1，即0≤x ≤2，因为[0，2] (－∞，2]，所以“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件. 答案 (1)充分而不必要条件 (2)必要而不充分条件考点三 充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件，则S ⊆P .∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0.综上，可知0≤m ≤3时，“x ∈P ”是“x ∈S ”的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件？解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.若“x ∈P ”是“x ∈S ”的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9，这样的m 不存在.【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件，∴P ⇒S 且SP .∴[－2，10] [1－m ，1＋m ].∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10，∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}.p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.解 化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1配方得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2. ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}.∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，解得m ≥34，或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞一、必做题1.(2018·南京模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立.答案 必要不充分2.(2018·江苏六校联考)已知函数y ＝ln(x －4)的定义域为A ，集合B ＝{x |x >a }，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.解析 由题意得x －4>0，则x >4，所以A ＝{x |x >4}，因为集合B ＝{x |x >a }，x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，所以a <4.答案 (－∞，4)3.(2017·泰州中学质检)设实数a >1，b >1，则“a <b ”是“ln a －ln b >a －b ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析 ln a －ln b >a －b ，则ln a －a >ln b －b ，构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，当x >1时，f ′(x )<0，函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴1<a <b ⇔f (a )>f (b )，即1<a <b ⇔ln a －ln b >a －b ，故“a <b ”是“ln a －ln b >a －b ”的充要条件.答案 充要4.(2018·扬州中学月考)函数f (x )＝13x －1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既非充分又非必要”).解析f(x)＝13x－1＋a(x≠0)为奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0，即13－x－1＋a＋13x－1＋a＝0，所以a＝12，此时f(1)＝13－1＋12＝1，反之也成立.因此填“充要”.答案充要5.已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________(填序号).①否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题.解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.答案④6.(2017·苏北四市联考)已知m∈R，则“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y ＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).解析由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.由于函数y＝log m x在(0，＋∞)上是减函数，所以0<m<1.因此“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件.答案必要不充分7.(2017·如东、徐州联考)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析 充分性不成立，如y ＝|f (x )|＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y ＝f (x )是奇函数，则|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称.答案 必要不充分8.(2018·泰州中学期中)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”).解析 因为a 2n －1＋a 2n ＝a 2n －1(1＋q )＝a 1q 2n －2(1＋q )，a 1>0，故当q <0时，a 2n －1＋a 2n 未必小于0，故充分性不成立；当a 2n －1＋a 2n <0时，a 1q 2n －2(1＋q )<0，又a 1>0，所以q <－1<0，故必要性成立，故填必要不充分.答案 必要不充分9.(2018·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(1)若a ＝3，求A ∪B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x <1，故A ＝(－3，1).当a ＝3时，由|x ＋3|<1，得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)，所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎨⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎨⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[0，2].10.设函数f (x )＝x |x －a |＋b .求证：f (x )为奇函数的充要条件是a 2＋b 2＝0. 证明 充分性：若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，所以f (x )＝x |x |.因为f (－x )＝－x |－x |＝－x |x |＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )是奇函数.所以充分性成立.必要性：若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即－x |－x －a |＋b ＝－x |x －a |－b .令x ＝0，得b ＝－b ，所以b ＝0；令x ＝a ，得a |2a |＝2b ＝0，∴a ＝0，故a 2＋b 2＝0，∴必要性成立.综上，f (x )为奇函数的充要条件为a 2＋b 2＝0.二、选做题11.(2017·北京卷)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数.若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________.解析 答案不唯一，如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3，满足a >b >c ，但不满足a ＋b >c . 答案 －1，－2，－3(答案不唯一)12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立.∴a n ＝p n －1(p －1)，n ∈N *.又a n ＋1a n＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ， ∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p .∴p （p －1）p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1. 综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。