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小学生数学应用问题解决数学是一门应用广泛的学科，对小学生的学习和生活都有着重要的影响。
小学生在学习数学应用问题时，常常会遇到一些难题和困惑。
本文将围绕小学生数学应用问题的解决方法展开讨论，帮助他们更好地解决数学难题。
一、理解问题在解决数学应用问题时，理解问题是关键。
小学生应该认真阅读题目，理解题目所给出的信息和要求。
可以用自己的话重新阐述问题，确保对问题有准确的理解。
例如，有一道题目：操场上有12个小朋友在跑步，一共跑了216圈，平均每人跑了多少圈？小学生可以通过将问题分解为小部分来理解，例如把问题简化为操场上只有1个小朋友，他跑了多少圈。
然后再将这个结果应用到12个小朋友身上。
二、思考解决方法每个数学应用问题都可以采用不同的解决方法。
小学生需要灵活运用已学过的知识和方法，选择适合的解题方法。
可以通过列式、推理、归纳、分析等方法来解决问题。
例如，有一道题目：小明有10颗苹果，小红比小明多2颗苹果，小亮比小红多2颗苹果，那么小亮一共有多少颗苹果？小学生可以通过列式解决，设小亮有x颗苹果，则小红有x-2颗苹果，小明有x-4颗苹果。
根据题目中的条件，我们可以得到方程x = 10 + (x-4)，进而解得x = 12。
三、辅助工具和图形的使用小学生在解决数学应用问题时，可以运用辅助工具和图形来帮助解题。
例如使用尺子、计算器、天平等工具，或者画图来表示问题，更加清晰地理解和解决问题。
例如，有一道题目：李华在学校门口卖了7个桔子，一共收入21元，他希望能把桔子卖出去，但每个桔子最多只能卖3元，那么他能把桔子全部卖掉吗？小学生可以用图形来表示问题，画出一条表示桔子数量的线段，再用另一条表示价格的线段。
通过观察图形，可以发现当桔子数量为7时，价格线段逐渐变小，不可能超过21元。
因此，小华无法把桔子全部卖掉。
四、反思和总结小学生在解决数学应用问题后，还需要进行反思和总结。
可以思考解题的过程中是否有更优的方法，是否有其他解题思路，及时纠正自己的错误。
应用问题解题技巧一、学习策略指引应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题．应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证．这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义．下面举出几个例题，略述一下解应用问题的技能和技巧．1．直接设未知元在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，这种设未知数的方法叫作直接设未知元法．例1：小明爸爸前年存了年利率为2.43％的二年期定期储蓄，今年到期后，扣除20%利息税后，所得利息正好为小明买了一只价值48.6元的计算器，问小明爸爸前年存了多少元?例2：某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．2．设辅助元有时为了解题方便，可设某些量为辅助量，参与列方程和运算，最后把这些辅助量约去，得出要求的值．例3：一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？专项练习（一）选择题：1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（）A．16 B、25 C、34 D、612．甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是（）A、10岁B、15岁C、20岁D、30岁3．小明买了80分与2元的邮票共16枚，化了18元8角，若设他买了80分邮票x枚，可列方程为（）A、80x+2(16—x)=188 B、80x+2(16—x)=18.8C、0.8x+2(16—x)=18.8 D、8x+2(16—x)=1884．在一个农场，母鸡的只数与猪的头数之和是70，而腿数之和是196，则母鸡比猪多（）A、14B、16C、22D、425．小明把400元钱存入银行，年利率为1.8%，到期时小明得到利息36元，则她一共存了（）A、6年B、5年C、4年D、3年（二）解答题：6．某中学初一（1）班23名同学星期天去公园游览，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）8折优惠，请你为这23名同学设计一个较好的购票方案7 .国家规定个人发表文章、出版图书获得的稿费的纳税计算方法是:(1)稿费不高于800元的不纳税;(2)稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%;(3)稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税,今知丁老师获得一笔稿费,并缴纳个人所得税420元,问丁老师的这笔稿费有多少？。
五年级数学解决应用问题的方法在五年级数学学习中，解决应用问题是一个非常重要的部分。
应用问题是将数学知识应用于实际情境中，通过解决问题来提高学生的数学能力和解决实际生活中的实际问题的能力。
本文将介绍一些解决五年级数学应用问题的方法。
一、理解问题解决应用问题的第一步是充分理解问题。
学生应该仔细阅读问题，明确问题中给出的条件和要求，同时需要思考问题的解决思路。
可以使用图表、图像等工具来辅助理解问题。
理解问题的关键是准确理解问题中所给的数据和要求。
二、寻找问题的数学模型理解问题的基础上，学生需要将实际问题转化为数学问题。
这就需要寻找问题的数学模型。
常见的数学模型包括比例关系、加法关系、乘法关系等。
通过将实际问题转化为数学问题，可以更方便地进行运算和解决问题。
三、选择适当的解决方法在确定数学模型后，接下来需要选择适当的解决方法。
常见的解决方法包括列方程、绘制图表、使用图形推理等。
选择适当的解决方法可以更快捷、准确地解决问题。
四、解决问题根据选择的解决方法，进行相应的计算和推理，得出问题的答案。
在计算过程中，学生需要注意计算的准确性和步骤的清晰性。
可以利用草稿纸来辅助计算，避免出错。
五、检查答案解决问题后，学生需要对答案进行检查。
检查的目的是确保问题的解答是否符合实际情况，以及计算的准确性。
学生可以回顾问题中给出的条件和要求，用解答的结果进行验证。
六、归纳总结解决应用问题的过程中，学生应该不断总结经验和方法，提高解决问题的能力。
可以将常见的解决方法进行分类，形成自己的解题思路。
通过不断的练习和实践，逐渐提高解决问题的能力。
七、实践运用除了课堂上的练习，学生还可以通过实践运用数学知识来解决实际问题。
例如，通过解决购物问题来学习和运用百分数的知识，通过解决交通问题来学习和运用速度和时间的概念等。
实际运用可以增加学生对数学知识实用性的认识，提高学习兴趣。
在解决应用问题的过程中，学生需要不断进行实践和练习，提高解题的能力。
数学应用解题技巧数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论是工作还是学习，数学应用解题都是必不可少的。
然而，对于很多人来说，解决数学应用题常常感到困难。
本文将给出一些常用的数学应用解题技巧，帮助读者更好地应对数学应用题，提高解题能力。
一、理清问题思路在解决数学应用题之前，首先要理清问题的思路。
要仔细阅读题目，理解题意，弄清楚需要求解的是什么。
有时候，问题会有复杂的背景故事，但我们只需要抓住关键信息即可。
理解问题的本质，有助于我们更好地运用数学知识解题。
例如，有一道题目是这样的：“小明有一些苹果，他把其中的2/3送给了小红，然后又把余下的5个苹果的1/4送给了小红。
请问，小红最后一共得到了多少个苹果？”对于这道题，我们需要明确的是，小明在两次送苹果的过程中，分别给了小红多少苹果。
只有清楚了题目要求解决的问题，才能有针对性地进行下一步解题。
二、绘图辅助对于一些几何问题或图表问题，我们可以借助绘图来解决。
通过绘图，我们可以更直观地观察问题，找到解决问题的关键。
例如，有一道题目是这样的：“在一个边长为8单位的正方形中，有一条长为6单位的线段与其一条对角线相交，交点离两侧边的距离相等。
请问，这条线段的长度是多少？”对于这道题，我们可以根据题目描述绘制一个正方形，并标出相应的线段和对角线。
通过观察图形可以得出，该线段将对角线平分为两段长为4单位的线段。
所以，答案是4。
通过绘图，我们可以更直观地理解问题，从而更容易找到解决问题的思路。
三、理解常用的数学模型在解决数学应用题时，掌握常用的数学模型是非常重要的。
有时候，我们可以将实际问题转化为数学模型，从而更好地解决问题。
例如，有一道题目是这样的：“一个底面直径为10单位的圆柱体，高为12单位，若将其分为两部分，且上半部分体积为下半部分体积的两倍。
求上半部分的体积。
”对于这道题，我们可以将圆柱体分为上下两部分，且设下半部分高为x，上半部分高为12-x。
根据题目要求，上半部分体积为下半部分的两倍，所以可以得到一个方程：π * 5² * (12-x) = 2 * π * 5² * x。
小学四年级数学应用问题解决方法数学是一门实用的学科，在小学四年级，学生开始接触到更加复杂的数学应用问题。
这些问题需要学生运用所学知识进行分析和解决。
本文将介绍一些解决这些问题的方法和技巧，帮助四年级学生更好地应对数学应用问题。
一、理解问题首先，解决数学应用问题的关键是深入理解问题。
学生需要仔细阅读题目，明确问题需要解决的目标。
常见的数学应用问题包括实际问题、逻辑推理问题、模型问题等。
在理解问题的基础上，学生可以尝试使用绘图、列式、归纳等方法来帮助解决问题。
二、寻找关键信息在阅读题目的过程中，学生应该注意寻找关键信息。
这些关键信息有助于学生快速定位问题的核心点，并且可以用来解答问题。
学生可以通过画线、做标记等方式来突出关键信息，提高解决问题的效率。
三、确定解题方法一旦学生理解了问题并找到了关键信息，下一步就是确定解题方法。
解题方法可以根据问题的性质来选择。
常用的解题方法包括图形法、组合法、套用公式法等。
学生应根据问题的特点选择最合适的方法，并合理利用所学的知识和技巧解决问题。
四、进行计算在确定了解题方法之后，学生需要进行计算。
计算的过程需要仔细、准确，避免出现粗心错误。
学生可以通过列式、画图、使用计算器等方式来辅助计算，提高计算的准确性和效率。
五、检查答案最后，学生需要对答案进行检查。
检查的目的是确保答案的正确性，并且能够解释和证明答案的正确性。
学生可以重新阅读题目，将答案代入问题中进行验证，或者使用逻辑推理和计算的方法来检查答案。
如果答案与问题要求不符，学生应该找出错误的原因并进行修正。
综上所述，解决小学四年级数学应用问题需要学生具备良好的问题理解能力，寻找关键信息的技巧，选择合适的解题方法，进行准确的计算，并对答案进行检查。
通过不断练习和掌握这些解题方法和技巧，学生可以提高解决数学应用问题的能力，进一步提升数学水平。
希望本文提供的方法和技巧能够对四年级学生在数学学习中有所帮助。
数学应用问题解决方案数学是一门应用广泛的学科，它在解决实际问题中扮演着重要角色。
无论是在科学研究、工程设计、金融管理还是日常生活中，数学应用问题都存在着。
本文将为您介绍几个数学应用问题，并提供相应的解决方案。
一、统计分析问题统计分析是数学应用领域中的一个重要部分。
一个常见的统计问题是如何确定一个样本数据集的平均值和标准差。
为此，我们可以使用数学中的统计方法来解决。
首先，计算样本数据的总和，然后除以样本数据的数量，即可得到平均值。
接下来，计算每个数据点与平均值之差的平方值，并对这些平方值求和，然后除以样本数据的数量，再开平方根即可得到标准差。
另一个统计分析问题是如何确定两组数据之间的相关性。
为此，我们可以使用皮尔逊相关系数来衡量两组数据之间的线性相关程度。
该系数的取值范围为-1到1，其中1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无相关关系。
计算皮尔逊相关系数的公式如下：r = (nΣxy - ΣxΣy) / sqrt((nΣx^2 - (Σx)^2)(nΣy^2 - (Σy)^2))其中，n表示数据点的数量，Σxy表示x和y的乘积之和，Σx和Σy分别表示x和y的总和。
二、几何问题几何问题在数学应用中也有广泛的应用。
一个常见的几何问题是如何计算一个多边形的面积。
对于一个简单的多边形，可以使用矩形法或三角形法来计算其面积。
对于复杂的多边形，可以将其划分为多个简单的多边形，然后分别计算每个简单多边形的面积，最后将这些面积相加即可得到整个多边形的面积。
此外，对于一些特殊形状的多边形，也可以使用相应的公式进行计算，比如圆的面积公式πr^2。
另一个几何问题是如何计算一个三角形的周长和面积。
对于一个三角形，可以使用三边长度或两边长度和夹角来计算其周长和面积。
根据海伦公式，一个三角形的面积可以使用以下公式计算：面积 = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，a、b和c是三角形的三条边的长度，s是三个边长的和的一半。
范文观分享小学四年级数学应用问题的解决方法和策略数学是一门需要解决问题的学科，而在小学四年级阶段，数学应用问题开始变得更加复杂。
解决这些问题需要学生掌握一系列方法和策略。
本文将分享几种解决小学四年级数学应用问题的方法和策略。
一、理解问题要解决数学应用问题，首先要对问题进行充分理解。
阅读问题时，要仔细阅读，理解问题中所给的信息，分析问题所涉及的关键概念和操作。
有时候，问题中存在一些隐藏的信息，需要将它们提取出来，这是解决问题的第一步。
举个例子，假设有这样一个问题：“小明去水果店买了5个苹果，每个苹果的价格是3元，他给了收银员20元。
请问小明应该收到多少找零？”在解决这个问题之前，我们要明确小明买了5个苹果，每个苹果价格为3元，他给了收银员20元，我们需要找出小明需要找零多少钱。
理解问题后，才能进行下一步的计算与解决。
二、建立数学模型在理解问题的基础上，我们需要建立数学模型。
数学模型是将实际问题转化为数学语言的一种方法。
通过建立适当的数学模型，可以将复杂的实际问题转化为易于计算的数学问题。
继续以上面的小明问题为例，我们可以建立一个简单的数学模型。
设小明需要找零X元，则可以列出等式：20 - 5 × 3 = X。
通过计算，我们可以得到X = 5。
所以小明应该收到5元的找零。
三、选择合适的计算方法解决数学应用问题时，我们还需要选择合适的计算方法。
例如，对于一些有关加减乘除的问题，我们可以选择常规计算、列竖式计算或者利用计算器等方法。
正确选择计算方法可以提高解决问题的效率和准确性。
四、合理利用信息在解决数学应用问题时，我们需要合理利用题目中给出的信息。
有时候，题目中给出的信息过多或过少，我们需要筛选和补充一些信息。
通过巧妙地运用题目中所给的信息，可以简化问题的解决步骤。
比如，一个问题给出：“小明从家出发骑自行车去公园，小明骑自行车的速度是每小时15公里，公园离他家有30公里，问他骑到公园需要多长时间？”这个问题中，我们可以利用速度、距离和时间的关系来解决。
中考数学模拟试题应用问题的解决方法中考数学模拟试题中的应用问题是考察学生对数学知识的应用能力和解决实际问题的能力的重要部分。
解决这类问题，除了熟练掌握基础知识外，还需要学会正确的思考和解题方法。
本文将介绍一些解决中考数学模拟试题应用问题的方法。
一、理清问题在解决应用问题之前，首先要仔细阅读题目，理解题目的意思。
特别是需要注意题目中给出的条件和要求，明确问题需要求解的目标。
只有理清问题，才能为解题提供正确的方向。
二、建立数学模型建立数学模型是解决应用问题的关键步骤。
根据问题的特点，可以采用不同的方法建立模型。
常见的模型包括：图形模型、方程模型、比例模型等。
以图形模型为例，如果题目描述了一个几何图形，我们可以通过观察图形特点，运用几何知识建立模型。
例如，问题描述了一个矩形花坛的长和宽，我们可以通过计算矩形的面积来解答问题。
三、运用数学知识在建立数学模型之后，需要根据模型中所涉及的数学知识进行推导和计算。
这需要学生对数学知识有一定的掌握和应用能力。
例如，问题中涉及到比例关系，就需要灵活运用比例的性质进行计算。
四、思维灵活在解决应用问题的过程中，需要灵活运用不同的解题方法。
有些问题可以用逻辑推理解决，有些问题可以通过代数方程求解，有些问题可以通过几何图形解决。
学生要根据具体问题的特点，选择合适的方法进行解答。
五、多举例子解决应用问题时，可以通过多举例子来验证推论和结论的正确性。
举例子不仅能够加深对问题的理解，还能帮助学生发现问题中的规律和特点。
通过举例子，可以更好地理解问题的本质，并找到解决问题的思路。
六、反复操练提高解决应用问题的能力需要不断操练和积累。
学生可以多做一些类似的应用题，逐步提高自己的解题水平。
通过反复操练，不仅能够巩固数学知识，还能够熟悉各种解题方法，培养解决问题的思维能力。
结语：中考数学模拟试题中的应用问题是考察学生数学综合应用能力的重要环节。
要解决这类问题，学生需要理清问题、建立数学模型、运用数学知识、思维灵活、多举例子并进行反复操练。
数学中的应用问题解决方法数学作为一门学科，不仅仅是具有理论性质，更是应用广泛的学科之一。
无论是在生活中还是在工作中，我们都会遇到各种与数学相关的应用问题。
而解决这些应用问题的方法也是多样的，本文将介绍一些常见的数学中的应用问题解决方法。
一、方程求解法方程是数学中的基础概念，解决方程问题是应用数学中最常见的问题之一。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如线性方程、二次方程等等。
解决方程问题的基本方法是通过推导和运算，将未知数从方程中解出。
对于线性方程，可以使用代数运算的方法解决；对于二次方程，则可以通过配方法、求根公式等方式求解。
二、几何问题解决法几何问题是数学中的另一个重要应用领域。
几何问题的解决方法主要依赖于几何定理和几何性质。
在解决几何问题时，我们首先需要理解和掌握相关的几何定理和定律，然后根据问题的要求运用这些定理和性质进行推导和证明。
例如，对于求解三角形的问题，我们可以使用正弦定理、余弦定理、海伦公式等方式进行求解。
而对于求解平面图形的面积、体积等问题，则可以运用相关的公式和几何性质进行计算。
三、概率与统计问题解决法概率与统计是数学中的分支学科，也是我们在生活中常常遇到的应用问题。
在解决概率与统计问题时，我们需要运用相关的概率模型和统计方法进行计算和分析。
其中，概率问题主要通过计算事件发生的概率来解决，而统计问题则是通过采集数据、分析数据和进行统计推断来解决。
例如，对于概率问题，我们可以使用全概率公式、条件概率等方法进行计算。
对于统计问题，我们可以使用抽样调查、数据分析、假设检验等方法进行分析和推断。
四、优化问题解决法优化问题是应用数学中的另一类重要问题，它涉及到在一定的约束条件下，寻找使某个目标函数最大或最小的变量取值。
解决优化问题的方法主要包括极值判定、拉格朗日乘子法等。
在实际应用中，我们经常需要通过最小化成本、最大化收益、最优化资源利用等方式解决各种优化问题。
这些问题需要通过数学建模和优化算法来求解，以达到最优解。
运用初中数学解题技巧解决实际生活中的应用问题近年来，随着数学教育的普及和数学应用领域的扩大，数学在我们日常生活中扮演着越来越重要的角色。
初中数学作为数学学习的基础阶段，为我们提供了一系列解决实际生活中应用问题的技巧和方法。
本文将以一些具体的实例，详细介绍如何运用初中数学解题技巧来解决生活中的应用问题。
一、利用比例解决实际商业问题商业领域中，经常需要利用数学知识来解决实际问题，比如利润计算、折扣优惠等。
比例是解决这类问题的一种关键数学方法。
举例来说，小明想要购买一辆电动车，他发现同款电动车在不同的商家有不同的折扣力度。
商家A打八折，商家B打九折，商家C则没有折扣。
如果小明所需支付的金额为10000元，那么商家A、B和C 分别的原价是多少？解决这个问题，我们可以设置比例方程：商家A的原价 / 折后价 = 10 / 8商家B的原价 / 折后价 = 10 / 9商家C的原价 / 折后价 = 10 / 10设商家A的原价为x元，商家B的原价为y元，商家C的原价为z 元。
由比例方程解得：x / 8000 = y / 9000 = z / 10000通过求解上述方程，我们可以得到商家A、B和C分别的原价。
利用比例这一初中数学中的技巧，我们可以在实际商业交易中更好地理解价格的折扣优惠和定价策略。
二、运用方程组解决交通问题生活中，我们经常遇到交通问题，比如速度、时间、距离之间的关系。
利用初中数学的方程组方法，我们可以解决这类实际生活中的应用问题。
假设小明骑自行车的速度是15千米/小时，他想要从A地到B地的距离是60千米，小红骑自行车的速度是10千米/小时，她希望在相同的时间内从B地到A地。
请问小红需要从B地出发多长时间，才能与小明同时到达目的地？这个问题可以通过建立方程组来解决。
设小红从B地出发的时间为t小时，那么小明的时间为t+1小时。
根据速度、时间和距离之间的关系，我们可以列出方程组：15 * (t+1) = 6010 * t = 60通过求解上述方程组，我们可以得到小红从B地出发需要的时间。
数学应用性问题怎么解陕西永寿县中学 特级教师安振平数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.例1某校有教职员工150人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。
据调查统计，每次去健身房的人有10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定？讲解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第n 次去健身房的人数为a n ，去娱乐室的人数为b n ，则.150=+n n b a .3010730107)150(102109102109111111+=+=-+=+=∴------n n n n n n n n a a a a a b a a 即，于是)100(1071001-=-∴-n n a a 11)107)(100(100--=-n n a a 即.)100()107(10011-⋅+=-a a n n .故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在100人左右.100lim =∴∞→n n a 上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册301071+=-n n a a P.132第34题）已知数列的项满足{}n a⎩⎨⎧+==+dca a b a n n 11,其中，证明这个数列的通项公式是1,0≠≠c c .1)(1---+=-c d c b d bc a n n n 有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002年全国高考解答题中的应用题(下文例9)就属此类模型.例2某人上午7时乘摩托艇以匀速V 千米/小时（4≤V ≤20）从A 港出发前往50千米处的B 港，然后乘汽车以匀速W 千米/小时（30≤W ≤100）自B 港向300千米处的C 市驶去，在同一天的16时至21时到达C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 小时、y 小时，若所需经费元，那么V 、W 分别为多少时，所需经)8(2)5(3100y x p -+-+=费最少？并求出这时所花的经费.讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.由于又103,5.125.2,100450≤≤≤≤∴≤≤=x y V Vy 同理及149≤+≤y x 则z 最大时P 最小..23),23(131)8(2)5(3100y x z y x y x P +=+-=-+-+=令作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值38，∴P 有最小值93，这时V=12.5，W=30.视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.y x z 23+=例3 某铁路指挥部接到预报，24小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在24小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。
经测算，其工程量除现有施工人员连续奋战外，还需要20辆翻斗车同时作业24小时。
但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔20分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织25辆车。
问24小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由20辆车同时工作24小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为4801，设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为a 1，a 2，…, a 25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且31-=d ，化简可得.48025)(21,1480480480,2425125211≥⋅+≥+++≤a a a a a a 即则有5192821≥-a 解得.245123,51231<≥由于a 可见a 1的工作时间可以满足要求，即工程可以在24小时内完成.对照此题与2002年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.例4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A(m 2)的宿舍楼.已知土地的征用费为2388元/m 2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的2.5倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为445元/m 2，以后每增高一层，其建筑费用就增加30元/m 2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为n 层，总费用为y 元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建25.2m nA nA 5970筑费用为[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n －2）]·元，从而A nn n A )4003015(++=（元）A A nn A n A nA n A y 1000)400600015(40030155970≥++=+++=当且仅当 , n=20（层）时，总费用y 最少.nn 600015=故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时, 最少总费用为1000A 元.实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.例5在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h ，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h ，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.设船速为v ，显然时人是不可能追上小船，当km/h 时，人不必在h km v /4≥20≤≤v 岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情42<<v 况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。
设船速为v ，人追上船所用时间为t ，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间)10(<<k kt 为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.t k )1(-由余弦是理得,||,)1(2||,4||vt OB t k AB kt OA -== ︒⋅⋅-+=15cos ||||2||||||222OB OA OB OA AB 即4264.2)()4()1(42222+⋅⋅-+=-vt kt vt kt t k 整理得.04]8)26(2[1222=-+-+-v k v k 要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且112402<-<v 0)4(124]8)26(2[22≥-⋅⋅--+=∆v v 解得.h km v v /22,222max =≤<即 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追]22,2(OABv t2(1－k )t4k t15°上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km /h 时, 人可以追上小船.h km /22涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.例6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比，与它的厚度d 的平方成正比，与它的长度l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R ）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？讲解:（1）安全负荷为正常数） 翻转k l ad k y (221⋅=222,90lda k y ⋅=︒后，安全负荷变大.…4分当 ，安全负荷变2121,0,y y a d ady y <<<∴=时当12,0y y d a <<<时小.（2）如图，设截取的宽为a ，高为d ，则.22222244,)2(R d a R d a=+=+即 ∵枕木长度不变，∴u =ad 2最大时，安全负荷最大. )(24422422222d R d d R d a d u -=-==3222222223)(224)(224⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++≤-⋅⋅d R d d d R d d ，当且仅当，即取，3934R =2222d R d -=R d 36=取时，u 最大， 即安全负荷最大.R d R a 332222=-=三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.例7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素A 、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克，y 千克，z 千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B.甲乙丙维生素A （单位/千克）600700400维生素B （单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（1）用x ，y 表示混合食物成本c 元；（2）确定x ，y ，z 的值，使成本最低.adl讲解:（1）依题意得 .100,4911=++++=z y x z y x c 又y x c 57400++=∴（2）由 , 得{y x z z y x z y x --=≥++≥++100,6300050040080056000400700600及，{130332064≥-≥+y x y x .45057≥+∴y x ,85045040057400=+≥++=∴y x c 当且仅当时等号成立., {{2050,130332064==≥-=+y x y x y x 即 ∴当x =50千克，y =20千克，z =30千克时，混合物成本最低为850元.线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法, 试试看.例8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人a 2（140<<420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提a 2a b 下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年b 01.0万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的b 4.043经济效益，该公司应裁员多少人？讲解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则x y bxbx b x a y 4.0)01.0)(2(-+-= =ab x a x b2])70(2[1002+---依题意 ≥x a -2a243⋅ ∴0<≤.x 2a又140<<420, 70<<210.a 2a (1)当0<≤,即70<≤140时， , 取到最大值;70-a 2aa 70-=a x y (2)当>,即140<<210时， , 取到最大值;70-a 2a a 2ax =y 综上所述，当70<≤140时，应裁员人；当140<<210时，应裁员人.a 70-a a 2a在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？例9 某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?讲解 设2001年末汽车保有量为万辆，以后各年末汽车保有量依次为万辆，1b 2b 3b万辆，……，每年新增汽车万辆，则x，301=b xb b n n +=+94.01所以，当时，，两式相减得：2≥n x b b n n +=-194.0()1194.0-+-=-n n n n b b b b （1）显然，若，则，即012=-b b 011==-=--+ n n n n b b b b 301===b b n ，此时.8.194.03030=⨯-=x （2）若，则数列为以为首项，012≠-b b {}n n b b -+18.106.0112-=-=-x b x b b 以为公比的等比数列，所以，.94.0()8.194.01-⋅=-+x b b nn n （i ）若，则对于任意正整数，均有，所以，012<-b b n 01<-+n n b b ，此时，3011=<<<+b b b n n .8.194.03030=⨯-<x （ii ）当时，，则对于任意正整数，均有，所万8.1>x 012>-b b n 01>-+n n b b 以，，3011=>>>+b b b n n 由，得()8.194.01-⋅=-+x b b nn n ()()()()()3094.0194.01112112211+---=+-++-+-=----n n n n n n b b b b b b b b b b ，()()3006.094.018.11+--=-n x 要使对于任意正整数，均有恒成立，n 60≤n b 即()()603006.094.018.11≤+---n x 对于任意正整数恒成立，解这个关于x 的一元一次不等式 , 得n ,8.194.018.1+-≤nx 上式恒成立的条件为：，由于关于的函数上的最小值在N n nx ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-≤8.194.018.1n 单调递减，所以，.()8.194.018.1+-=nn f 6.3≤x 本题是2002年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题.例10 为促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下：贷款期(年数)公积金贷款月利率(‰)商业性贷款月利率(‰)……1112131415…………4.3654.4554.5454.6354.725…………5.0255.0255.0255.0255.025……汪先生家要购买一套商品房，计划贷款25万元，其中公积金贷款10万元，分十二年还清；商业贷款15万元，分十五年还清．每种贷款分别按月等额还款，问： (1)汪先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生家还清了公积金贷款，如果他想把余下的商业贷款也一次性还清；那么他家在这个月的还款总数是多少?(参考数据：1.004455144＝1.8966，1.005025144＝2.0581，1.005025180＝2.4651) 讲解 设月利率为r ，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款期限为n 月 第1月末欠款数 A (1＋r )－a 第2月末欠款数 [A (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝ A (1＋r )2－a (1＋r )－a 第3月末欠款数 [A (1＋r )2－a (1＋r )－a ](1＋r )－a ＝A (1＋r )3－a (1＋r )2－a (1＋r )－a …… 第n 月末欠款数 0)1()1()1()1(21=-+--+-+-+--a r a r a r a r A n n n得：1)1()1(-+⨯+=n n r r r A a 对于12年期的10万元贷款，n ＝144，r ＝4.455‰ ∴37.9421004455.1004455.0004455.1100000144144=-⨯⨯=a 对于15年期的15万元贷款，n ＝180，r ＝5.025‰ ∴22.12681005025.1005025.0005025.1150000180180=-⨯⨯=a 由此可知，汪先生家前12年每月还款942.37＋1268.22＝2210.59元，后3年每月还款1268.22元． (2)至12年末，汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 a r a r a r a r A X -+--+-+-+=)1()1()1()1(142143144 其中A ＝150000，a ＝1268.22，r ＝5.025‰ ∴X ＝41669.53再加上当月的计划还款数2210.59元，当月共还款43880.12元．需要提及的是，本题的计算如果不许用计算器，就要用到二项展开式进行估算，这在2002年全国高考第（12）题中得到考查.例11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表. 已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的98%．（1）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？（精确到天）（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（精确到天）已知：lg 2=0.3010．讲解 （1）由题意病毒细胞关于时间n 的函数为, 则由12-=n y ,10281≤-n 两边取对数得 n 27.5,,82lg )1(≤-n ≤ 即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）由题意注入药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞为,%2226⨯再经过x 天后小白鼠体内病毒细胞为,x 2%2226⨯⨯由题意≤108，两边取对数得x 2%2226⨯⨯，2.6,82lg 22lg 2lg 26≤≤+-+x x 得故再经过6天必须注射药物，即第二次应在第33天注射药物．本题反映的解题技巧是“两边取对数”，这对实施指数运算是很有效的.例12 有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V 立方米，每天流出湖泊的水量都是r 立方米，现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合，用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称为在时刻t 时的湖水污染质量分数，已知目前污染源以每天p 克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )=rp +［g (0)- ］·e (p ≥0),其中，g (0)是湖水污染的初始质量分数.rpt v r-（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数； （2）求证：当g (0)<时，湖泊的污染程度将越来越严重； rp（3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%？讲解（1）∵g (t )为常数, 有g (0)-=0, ∴g (0)= .r p rp (2) 我们易证得0<t 1<t 2, 则g (t 1)-g (t 2)=［g (0)- ］e -［g (0)- ］e =［g (0)- ］［e -e ］=［g (0)-r p 1t v r-r p 21t v r-rp1t v r-21t v r-］,rp )(2112)(t t vrt vr vree e +-∵g (0)·<0,t 1<t 2,e >e ,rp 21t v r1vr∴g (t 1)<g (t 2).天数t 病毒细胞总数N1234567…1248163264…故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即P =0，g (t )=g (0)·e ,设经过t 天能使湖水污染下降到初始污染水平5%t vr -即g (t )=5% g(0)∴=e ，∴t = ln20，201t v r-rv故需要 ln20天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.rv高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线..。
