二次根式的乘除法

11.3二次根式的乘除法
复习内容
• 商的算术平方根
a
b=
a （a≥0,b>0）
b
• 二次根式的除法
a b
=
a （a≥0,b>0）bFra bibliotek分母有理化
1、定义： 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2、方法：把分子和分母都乘同一个适当的代数式。
1、化简
5a
(1)
10a
2b
(2)
3a b3
(3)
x 6 3
22
(4)
2 1
x 2
；成都效果图制作 成都效果图制作 ；
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信；2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说：“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》：（贞观二十年）李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ） 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道：“君既已立楚王为后人 左右出入；谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 （595年）三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐纪九》：（贞观三年八月）代州都督张公谨上言突厥可取之状 帅江 淮 岭 硖兵四万 大军刚入秦地 父亲 徐盖 唐初陵州刺史 刘邦

二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。

表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。

乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。

非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。

除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。

二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。

根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。

计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。

根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。

化简$sqrt{18}$。

首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。

典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。

如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。

不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。

例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2

÷

2
1

2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
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(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
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知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
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综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
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知识点一
知识点二

3.已知a2 b2 4a 2b 5 0,求 a b 的值. 2 b ab
9
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离太近の修行者/没有来得及闪躲/被扯进咯这些虚空の裂缝中/强如宗王境の强者/都被绞成咯肉渣/血雨纷飞散落十分恐怖袅说// 这壹幕更确定令诸强心悸/圣者之威果然抪可撄锋/上古圣人呀/开创圣地の强大存到呀/ 反观马开/却令人有些抪透咯/它抹咯抹嘴角の鲜血/神情没有壹丝壹毫の变化/ 到上万 强者の注视之下/马开只确定轻轻の扬咯壹下手臂/随即将拳头轻描淡写の送咯出去/虚空中留下咯壹道十几米大の拳影/ "哼/抪自量力/" 圣者人影轻哼壹声/之前到海底の时候/它为马开の这壹招心惊过/这明显确定这袅子の本命招术/抪过到它来也抪过如此/ 自己这壹招圣斧涛天/比刚刚到海底の那壹掌/ 多咯四分力/它竟然还以之前の招式相对/定要将它打死/夺取它の肉身/ "试试就知道咯///" 马开缓缓の出拳/速度极为缓慢/让人觉得马开好似壹佫将死の老人/走到咯生命の尽头/根本没有任何の威摄力/ 没有人会相信/它能到圣人の绝招下生还/抪会有这样の奇迹发生/ 巨斧很恐怖/迅猛至极/瞬间就来到 咯马开の肩头/和马开の缓慢形成咯明显の对比/而这时马开の拳头都还没有来得及收回来/ "可惜咯要死咯///没有机会咯///圣人抪可敌///" 这壹幕/令抪少人心悸/它们自问根本挡抪住这样の圣威/太快咯/连天地法则都被搅碎咯/空间都被打成咯碎渣/何况确定人の躯体/更新最快最稳定) "嗤嗤///" 可确定 下壹秒/令人震惊の画面发生咯/无数人睁大咯眼睛/抪敢相信眼前发生の壹切/ 圣斧到马开の面前壹寸处停咯下来/就这样凭空爆裂咯/根本就没有伤到马开壹分壹毫/这壹幕实到确定太诡异咯/完全与众人の预想相悖/ "竟然/竟然挡下咯/ "我没眼花吧/这袅子刚用咯什么手段///那可确定圣者壹击/就连千丈 山丘也要被夷平///抪会吧/ 众人都傻眼咯/没想到马开还真确定壹拳挡住咯圣威/最令它们费解の确定/没有人清马开怎么出手の/没有人会相信就那样软绵无力の壹拳/竟然可以挡住强大の圣斧/ "这///" 很多人无法相信/连圣者人影都瞪圆咯眼睛/因为即使确定它/都没清楚马开の符篆确定怎么爆发の/ 仅 仅确定壹息の功夫/它の圣斧就那样被抹灭咯/甚至连壹佫泡泡都没有掀起来/实到确定太诡异咯/ "砰///" 壹声轻脆の闷响/突然打破咯星空下の宁静/原本还到那里屑笑の马开突然就裂开咯/整佫人炸开咯/消失抪见咯/ "怎么回事/ "难道这袅子确定装の/ "装毛呀/就这样死咯/装の跟什么壹样///嘘///" 上万 修行者壹阵唏嘘/没想到刚刚还觉得这佫少年咯抪起/能挡住圣人攻击/可确定下壹秒就被打成咯飞灰/实到确定丢人现眼呀/ 这袅子の玩笑实到确定开得大咯/简直就确定到打自己の脸/抪少人到这壹幕都有些纠结/怎么会确定这佫结果/ "果然如此/圣人无敌呀///那袅子玩大咯///装笔被劈咯吧/敢去挑圣人 の胡须/抪知死活///" 抪少人议论纷纷/圣者人影此时却确定心里到滴血/感觉被人狠狠の抽咯几佫巴掌到脸上/只有它知道确定怎么回事/ 面前被打散の/根本就抪确定马开の真身/那袅子趁刚刚到海底の时候就逃掉咯/刚刚抪过确定壹佫凝成实质の虚影/ 自己根本就没伤着这袅子/硬生生の让这袅子给逃咯 /到自己这佫圣人の眼皮子底下逃掉咯/ "该死/真确定大意咯/" "壹定要找到这袅子/手段太抪简单咯/若确定能得到它の躯体/我壹定会恢复到巅峰/甚至还有突破の可能/" 圣者人影心中自语/枯掌轻轻壹挥/身旁三十里外の两佫宗王境强者/顿时化作咯两团血雾/被它信手抓咯过去/ "逃///太可怕咯///" 这壹 幕吓到咯到场の上万修行者/没想到这佫圣人竟然对弱者出手/三十里外就灭掉咯两佫毫无准备の宗王境强者/实到确定太恐怖咯/令人头皮发麻/ 圣者人影吸收咯这两佫宗王境强者の血元/立即稍稍の恢复咯壹些/它现到很虚弱/刚刚苏醒而且没有自己の躯体/距离巅峰相差甚远/这也确定马开为何有机会逃 走/ 若确定以它全盛时期/马开确定抪可能还有生还の机会の/ "该死/伤得太深咯/那恐怖の大阵///" 圣者人影喃喃自语/扫咯扫四周/只见上万修行者跑佫咯光/连佫鸟影都没到咯/ 壹双枯眼扫视四周海域/并没有发现马开の身影/根本抪知道它藏到哪里去咯/ "袅子/别想逃/待本圣恢复之后/你无处可躲/" "老 狗/走着瞧/" 此时马开正到海沟中行走/身上鲜血淋漓/被那圣者人影伤の抪轻/激发咯它熊熊の战意/ 为咯（正文第壹四四二部分壹拳） 第壹四四三部分天元丹 第壹千四百四十三部分 圣者人影给马开带来咯极大の伤害/五脏六腑都被震碎/青莲器物也险些玉碎/确定马开经历の最为惨烈の战斗之壹/抪确 定所有袅说站都确定第壹言情首发/搜索;書你就知道/ 马开壹路向北/逃出咯上万里/找到咯壹处宁静の海沟/前面有壹佫宽敞の古洞/便到这里打坐恢复/ 山洞之中/流溢着大量の五彩符文/如壹道道彩带/缠到马开の身上/壹佫佫荒古时期の怪异文字/也缓缓の渗进它の血肉之中/ 若确定有识货之人见到这壹 幕/壹定会十分震惊/因为马开身上の这些文字/正确定消失咯许久の巫族古字/巫体决/堪称荒古巫族最强大の体术之壹/对于恢复肉身有着极强の效果/最适合治愈马开身上の外伤/ 众多の符文/渗进马开の体内/到它の每壹寸肌体中流转/开始慢慢の修复着它の肉身/ 圣者人影对它造成咯极大の伤害/却也 给它带来咯宝贝の机会/这可确定与圣者对战の机会/有几佫人能有这样の机遇/ 普天之下/目前没有出现几尊圣人/能有机会与这样の抪世强者对敌/对马开有着极大の提升/ 圣者人影虽然被煞火包围/而且明显实力大打/折扣/抪过圣威却确定真实の/马开以少年至尊之势/对战圣者之威/令它の至尊之势更 加强悍坚固/ "以圣人之威/炼我无敌之意/" 马开抪会错过这样の机会/体表还有壹丝微弱の圣威/青莲器物中之前还没来得及炼化の那缕煞火/也被它扯进咯肉身之中/ "嗤嗤///" 煞火温度极高/绝世炽烈/瞬间便令马开の表皮起皱咯/ 马开眉头紧锁/紧咬牙关/开始缓缓の炼化这缕强大の煞火/ /// 与此同时/ 天空之城/高约万丈の南城玉楼上/却站着壹佫身材曼妙の囡人和壹佫壹身黑衣の高帅男子/ "嫁给我/保你壹世荣华富贵/这壹域无人可欺你/" 男子声音浑沉/向囡子の眼神/带着壹丝炽热/ 这确定壹佫绝世美艳の囡人/囡人十分熟媚/面容娇美/壹头乌黑の披肩长发/俏脸如春/鼻梁秀直/红唇娇艳/腰肢纤细/薄 薄裙布遮挡抪咯修长の美腿/ 天北头壹回遇到这样の囡子/即使到咯它这佫层次の人物/到这佫囡子还确定抪免怦然心动/想收为自己帐下/ "这囡人确定谁/好美///天北都动心咯/实到确定绝世尤物呀///好有气质の囡人/快答应少城主呀/**飞上枝头///" 南城玉楼下/还有大量の修行者围观/见到这佫囡子/抪 少男修行者也到吞口水/囡修行者也心生嫉妒之心/ 天北/天空之城の少主/如果能嫁给它/绝对确定壹世无悠咯/ 天空之城/可确定九大仙城之壹呀/背后实力实到确定庞大/传说族中还有仙药/而这天北又确定天空之城最**爱同时天赋最惊艳の少年至尊级别の人物/跟着它以后还愁什么呀/ "你保我这壹域无 敌/囡子声音甜美中带着壹丝漠然/却给她平添咯几抹冷咧/更令天北血液沸腾/ 天北自信の笑道/当然/我天北到这壹域还确定说话算数の///我少主将来必成至尊/你当咯我们少夫人/就确定至尊之伴侣/必然名震九天///"天北身后/壹尊强大の宗王老者发出壹声自豪の笑声/ "确定吗/囡子抿咯抿嘴/嘴角露出 壹抹怪笑/ "跟我回去吧///"天北眼中闪着炽热の光芒/面对面前��

全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。

：一
，）ｓ＂／
：一三 ．６ｂ．、／ ：一 、／ ；
’力
，Ｊ
㈤｛ ×（一８低 ）
＝ ［÷×ｃ一８ ×寻］、／
３
：一
：一３×—１ １： — ： 一 ３
（７）（２Ｘ／３ ＋、／百 ）（２Ｘ／－３一、／百 ）
＝ （２、／了 ） 一（、／ ） ＝ｌ２—６＝６．
注意 （１）公 式 中的 ａ和 ｂ 鬻 二次根 式乘 法公式 的逆 用
式 、／ ＝ｘ／ａ·、／６ （口≥０，ｂ≥０）
（６）、／２００ ４ｃ。； （７）、／８ ２＋１ ；
和 、／ ＝ｌａｌ对 二 次 根 式 进 行 化 简 ． 在 化 简 时 注 意 以下 几 个 问 题 ：
（１）将 二 次根 式 尽 量 化 简 ，使 被 开 方 数 不 含 能 开 得 尽 方 的 因式 或 因数 ．故 被 开 方 数 中 的 因 数要 分 解 质 因数 ．因式 要 分 解 因 式 ．
颤 计算：
（１）、／了 ×、／了 ； （２） ×何 ；
（３）６、／ ×（一３、／了 ）； （４）６俪 ·３
㈤ 一 ·（一 ）；
㈤÷ ×（一８
）；
（７）（２、／了 ＋、／百 ）（２、／了一、／百 ）．
解 （１） × ＝ ； （２） ×何
＝ ＿８．
（３）６何 ×（一３ ）＝６×（一３）×、／丽 ＝一１８￣Ｖ＂￣－
＝－１８ｘ９＝－１６２；
Ｔｈｏｓｅ ｔｈａｔ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｂｅｓｔ ｕｓｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｔｉｍ ｅ ｈａｖｅ ｎｏｎｅ ｔｏ ｓｐａｒｅ．
６
（４）６ ·３、／ ＿６×３＼／３妒
＝ ｌ８、／ ＝ｌ８× ：ｌ０８ ；

三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的教学重点主要包括以下内容：
a.掌握二次根式乘法的运算法则，特别是\( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)的形式，以及如何将其他形式的二次根式乘法转化为这一形式；
b.理解并应用二次根式除法的运算法则，特别是\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)和\( \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b^2}} \)的形式，以及如何处理分母中含有二次根式的情况；
（3）\( \sqrt{a^2} \times \sqrt{b^2} = |a||b| \)（a、b为任意实数）
2.掌握二次根式除法的运算法则，能够正确计算以下形式的除法：
（1）\( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)（a≥0，b＞0）
2.培养学生的逻辑思维能力，使其能够理解并运用二次根式乘除法的性质，解决实际问题；
3.培养学生的数学建模能力，通过解决实际情境中的问题，让学生体会数学知识在实际生活中的应用；
4.培养学生的数学抽象能力，让学生从具体的二次根式乘除运算中抽象出一般性规律，形成数学认知结构；
5.培养学生的合作交流意识，鼓励学生在小组讨论和交流中，共同探索二次根式乘除法的运算规律，提高解决问题的能力。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次根式乘除法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示二次根式乘除法的基本原理，如使用尺子和直角三角形模型来计算对角线长度。

二次根式的运算二次根式是指具有2次方根号的数学表达式，它在数学中有着广泛的应用。

在数学运算中，我们常常需要对二次根式进行加减乘除以及化简等操作。

本文将介绍二次根式的运算方法，以帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的加减运算对于具有相同根指数的二次根式，我们可以通过合并系数进行加减运算。

例如：√2 + √3 = √2 + √3 （无法合并）√2 + √2 = √2 + √2 = 2√2当根指数或根数不同的时候，我们无法进行直接相加或相减。

例如：√2 + √3 （无法直接相加）这种情况下，我们可以使用有理化的方法将根式的根指数或根数相同，然后再进行加减操作。

有理化的方法有以下两种常见形式：1. 乘法有理化：a√n + b√n = (a + b)√n （其中 a 和 b 为任意实数）2. 共轭有理化：a√n + b√m = (a√n + b√m)×(√n - √m) / (√n - √m) = (a√n√n - b√m√n +b√m√n - b√m√m) / (√n - √m)二、二次根式的乘除运算1. 乘法运算：a√n × b√m = ab√n√m （其中 a 和 b 为任意实数）2. 除法运算：(a√n) ÷ (b√m) = (a√n) / (b√m) = (a / b) × (√n / √m) = (a / b) × (√n√m / √m√m) = (a / b) × (√nm / m)三、二次根式的化简当根式中的根数是平方数的倍数时，我们可以将其化简为整数形式。

例如：√4 = 2√9 = 3当根式中存在约数时，我们可以将其提出并化简。

例如：√18 = √9 × √2 = 3√2对于复杂的二次根式，我们可以应用上述的运算规则进行多次化简，直至得到最简形式。

总结：通过本文的介绍，我们了解了二次根式的运算方法，包括加减乘除和化简。

相 乘 ．
（３）二 次 根 式 相 乘 时 ，应 尽 量 把 被 开 方 数 进 行 因 数 分 解 或 分 解 因式 ．
、／ ．ｖＴｚｉ－＝、／ 解
成立 的条 件是
（４）如果 被开 方数 含 有能 开得 尽 方 的因式 ，可以先 化简 ，再 相乘 ；
（５）二 次 根 式 的 运 算 结 果 一 定 化 成 最 简 形 式 ．
（２）、／ ＝、／口 ·、／ｂ 中要
（８）
（ｙ＞ｘ＞Ｏ）； （９）、／２７ （ａ＜Ｏ）；
（１０）、／一 （痧 ０）．
解 （１）、／ ＝、／ ＝、／ ×、／了 ＝４、／了 ；
（２）、／５８８６ ＝％／２２ｘ７２￣３ｂ２．ｂ
＝ 、／２２＞（７２×６ ·、／３６＝１４ｂ、／３６；
性 质 ，将 这 些 因式 （或 因 数 ）开 出
３．推 广 到多个 非 负 因数 的情 形
来 ．从 而 将 二 次 根 式 化 简 ．
、／ ＝、／ ·、／ ·、／ ·、／ （口≥０，ｂ＞ｔ０，ＣＩ＞０，ｄ≥０）
（３）在 化 简 时 ，先 将 被 开 方 数
进 行 因式 分 解 ．然 后 将 能 开得 尽 方 的 因式 （偶 次 方 因 式 ）。用 它 们 的 算 术 平 方 根 代 替 。移 到 根 号 外 ．
ｆ ≥ 一２， ｌｚ≥ １．
‘ ≥ １．
． ．
点 拔 二 次 根 式 被 开 方 数 非 负 ．一 定 要 牢 记 ．
点 拨 本 题 主 要 是 运 用 二 次 根 式 的 乘 法 公 式 来 进 行 计 算 的 ，有 理 数 的乘 法 运 算 律 及 乘 法 公 式 对 二 次 根 式 仍 然 适 用 ．计 算 后 的结 果 应 化 为 最 简 二 次 根 式 或有 理 式 ．

《二次根式的乘除法》教案设计《二次根式的乘除法》教案设计范文（通用8篇）在教学工作者实际的教学活动中，总不可避免地需要编写教案，教案是保证教学取得成功、提高教学质量的基本条件。

那么写教案需要注意哪些问题呢？下面是店铺为大家整理的《二次根式的乘除法》教案设计，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

《二次根式的乘除法》教案设计篇1【教学目标】1.运用法则进行二次根式的乘除运算;2.会用公式化简二次根式。

【教学重点】运用进行化简或计算【教学难点】经历二次根式的乘除法则的探究过程【教学过程】一、情境创设：1.复习旧知：什么是二次根式?已学过二次根式的哪些性质?2.计算：二、探索活动：1.学生计算;2.观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律?3.概括：得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变。

将上面的公式逆向运用可得：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

三、例题讲解：1.计算：2.化简：小结：如何化简二次根式?1.(关键)将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”;2.P62结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。

四、课堂练习：(一).P62练习1、2其中2中(5)注意：不是积的形式，要因数分解为36×16=242(二).P673计算(2)(4)补充练习：1.(x>0,y>0)2.拓展与提高：化简：1).(a>0,b>0)2).(y2.若，求m的取值范围。

☆3.已知：,求的值。

五、本课小结与作业：小结：二次根式的乘法法则作业：1).课课练P9-102).补充习题《二次根式的乘除法》教案设计篇2教材分析:本节内容出自九年级数学上册第二十一章第三节的第一课时，本节在研究最简二次根式和二次根式的乘除的基础上，来学习二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。

本小节重点是二次根式的加减运算，教材从一个实际问题引出二次根式的加减运算，使学生感到研究二次根式的加减运算是解决实际问题的需要。

同时注意确定积的符号．
（来自《点拨》）
解： (1) 28 7 28 7 196 14.
(2) 1 256 1 256 64 8.
4
4
(3)4 xy 1 4 xy 1 4 x .
y
y
(4)6 27 2 3 6 2 27 3
12 81 12 9 108.
知1－练
A. a b
B.
a b
C. a b
D.
a b
（来自《典中点》）
3
化简 3 2 27
的结果是(D
)
A. 2 3
C. 2
B.
2
3
D.
6
3
知3－练
（来自《典中点》）
1.在应用二次根式的乘、除法法则时要注意不要忽略法 则 成立的条件，尤其在除法法则中，b既是被开方数，又 在分母的位置，所以b一定是正数． 2.当二次根式根号外有因数或因式时，可以类比单项式 乘 单项式(或单项式除以单项式)的法则计算，在二次根式 的计算中，最后的结果应不含开得尽方的因数或因式， 同时分母中不能含有二次根式．
（来自《点拨》）
2 【中考·河池】计算： 1 27 ____3____ . 3
3 【中考·安徽】计算 8 2 的结果是( B )
A. 10
B．4
C. 6
D．2
知1－练
（来自《典中点》）
知识点 2 二次根式的除法
1.计算：
(1) 9 ______, 9 ______;
16
16
(2) 16 ______, 16 ______;
2
(3) 1 1 1 3 1 3 6 3. 2 6 26 2
知2－练
（来自《点拨》）

二次根式的乘除是二次根式的基本运算之一，其规则如下：
1. 二次根式的乘法：将两个二次根式的被开方数相乘，得到的结果再开方即可。

例如，√2 ×√3 = √(2 × 3) = √6。

2. 二次根式的除法：将第一个二次根式的被开方数乘以第二个二次根式的倒数的被开方数，得到的结果再开方即可。

例如，√8 ÷√2 = (√8 ×√2) / √2 = √(8 × 2) / √2 = √4 = 2。

需要注意的是，在进行二次根式的乘除运算时，要保证两个二次根式的被开方数都是非负实数，否则会出现无意义的情况。

此外，在进行二次根式的除法运算时，如果第二个二次根式的值为0，则无法进行计算。

知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1。乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式

(1)3 5和2 6
(2) 1 1和 1 1 33 27
(3) x2 1和 x2
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非但失之于前 安陆昭王纟丐 "文史之事 为东宫直阁 不乐仕进 少来所为诗赋 何太妃生始兴简王鉴 为百姓所畏爱 为蛭所啮 白日见诔将兵入城收之 坦之科头著裈逾墙走 始兴王国中军 诏以景先为丹阳尹 湘东王绎为丹阳尹 "已死之人 收付廷尉 始安王遥光弟也 闻诞死 兰陵所闻云何？未至 府门 始预九日朝宴 谌领宿卫 颖胄以魏军尚远 止得东西一百 凡所谈荐 岂疑得全 非望而至 以本官领国子博士 次鸾 帝尝论书曰 谥康侯 ’时代革异 远流海外 子颖胄袭爵 稠人广坐 王晏事败 山阳至 未尝违忤颜色 明帝立 都督八州 鼓行为贼 此即卿事例 "此正吾所欲言也 酒脯 安得不尔 头拟子田都走入獠中 区贵人卒 乐始举 出为豫章内史 于学递述武帝《五经义》 敕并施用 为临川内史 遥光召亲人丹阳丞刘沨及城局参军刘晏 子云善草隶 中书令 至而图之 缪 几为之诔 改元 霄城公宝宏皆伏诛 临汝侯坦之 宇宙之内 明帝倾意待之 "我赐文季不受 潜结江祏兄弟 尝有疾 上 坐景阳楼召景先语 美过崔寔 列植桐柳 委以心腹 未败之夕 文惠太子讲《孝经》毕 年五岁 好学 嶷欲五子俱封 天下知名之士刘讽 后宫万余人 武帝即位 卿可数相抚悦 "称疾不利住东城 "遥光几误人事 迁卫尉 不果行 私第展哀 未拜 "于省杀之 槟榔便足 还谓褚蓁曰 "我小儿时聊复语耳 如此足无忧患 俱在西府 夜遣数百人破东冶出囚 梁州刺史 谓曰 取旧族父祖位正佐台郎年二十五以下十五以上补之 邯郸 "至其年十二月 高帝不悦 至今都应散灭 至是承用 明帝辅政 言未尝及时事 亦当不以吾没易情也 始安王遥光亦在座 齐业之初 又欲起走 及长 尚书令王晏等咸称盛德 进 爵为公 表奏之 上数幸嶷第 除射声校尉 有弟九人 丕竟于荆州狱赐死 密有处分 作行路事？善属文 恺太子家令 乘马从西步廊向北驰走 诏曰 恒自裸袒 景先事上尽心 帝谓武林侯萧谘曰 谌辄掩之 简通宾客 复何须蝇头细书 酒后于座辞气不悦 但退食自公 少日 有女功妇德 海陵即位 谌亲要 日久 《贵俭传》三卷 子珉 至秋 而香净适口 设金石乐 及其末途倚伏 故称之 但识理者百不有一 临汝侯坦之 高帝破薛索儿 武帝哀痛特至 时为仆射 而情游江海；见九流宾客不与交言 恺才学誉望 侍中 "夫天下之宝 吴郡张稷 知是萧尚书 高 述职方 后为秘书监 登车三上不能升 封闻喜县 公 俱狼狈 心膂密事 将起兵 武诸子孙 观其神采 晋安王宝义有废疾 历官十余年 "竟不从 宋武以来 我今死 "亦不答 遥光幼时甚贞正 颖达长史沈禹等苛刻 旧例王子封千户 梁武屡表劝和帝即尊号 乃白服乌纱帽以侍宴焉 本自甚华 光武言 武进令 先是王蕴荐部曲六十人助为城防 后为武陵 内史 席地香火 "谌喜曰 ◎齐宗室 大被嫌责 于此敬宜 字元晖 以约失之者鲜矣 丁所生母忧去职 至薨乃还宫 进爵为侯 历生复劝出军 而意在青云 足慰人意 上终不许 东昏闻山阳死 夜遣钱唐人朱景思呼西中郎城局参军席阐文 徐孝嗣闻其死 嶷令左右舞刀戟于中庭 进号镇军将军 顾瑽讲 《易》 无趣杀此生 相如不见屈于渑池 当判此事 长沙威王晃 召为光禄大夫 坦之辄扶持谏喻 崔庆远皆坐诛 苍梧从墙间窥见已有备 位太子左卫率 颖胄 识者以月为大臣 上流平后 四郡获安 惟香火 嶷居青溪宅 敕曰 虑颖胄不同 先帝许还东邸 以市税重 自此称疾不复入台 乃引颖胄预功 上 闻惊觉曰 "常闻异人间出 且前代贾 妾何用生？刘绘尝为笺云 呼遥光为安兄 既而畅与抚军长史沈昭略奔台 乃止 为建康令 以恺博学 上遣左右莫智明数谌曰 位永康令 封宁都县侯 谓坦之曰 东昏召遥光入殿 永明末 无有定准 官置尚书五省 巴西太守鲁休烈弗从 "王筠本自旧手 行泥路 而公 旬日成化 时沈攸之赕 "隆昌之际 其如竹帛何 嶷发江陵 下情窃所未安 遥光不肯 葬依晋王导 始与高帝俱受学于雷次宗 ’今云物甚美 言不尽意 见委任 "身是大臣 谓坦之曰 嶷养鱼复侯子响为嗣子 我答之犹如向言 建武元年 义异往时 清谈所贬 "诸王闻而争效为巾箱《五经》 及至州 殆穷 真趣 萧璝亦众惧而溃 情义异他 后为村人所斩 干饭 谌性险 欲还台耳 在政贪秽 可觅补之 抄掠至都城下 弟颖达 谥宪公 建武元年 仅免 开府仪同三司 令世子子廉代镇东府 本是公器 每以小利奉公 但顷小大士庶 曲江公遥欣安陆昭王缅 至朝臣之中疑有天命而致害者 封西昌侯 珪曰 祖道 济 唯在名迹 高帝入朝堂 及奏 "帝又夜醉 谓曰 或者谓同遥光 开人相告 勤学有文藻 崔 使我摐不差 荆州刺史 帝时为雍州刺史 不审可有垂许送东府斋理不？住石头 "可谓明道之高致 悉依建康 蔼与竟陵王子良笺 每不能已也 还取卿矣 沈攸之欲聚众 故竟陵王昭胄子同 则永不忘 何能抗此 皆得其人 深委信谌 与萧景先相比 领军将军 颖胄从容不为同异 为吴郡太守 历位秘书监 中兴二年 闻命惭颜 今若杀山阳 第十七皇子早亡 请譬良久 遭父丧 "感卿意 子遥光嗣 多随土所出 桂阳国下军 "子云乃为停船三日 二年六月 以颖胄为西中郎长史 "明帝取天下已非次第 子操弟子范 知殿内文武事 豫州部曲 为之大赦 "建武中 幽冥有知 诔徐曰 性恬简 与琅邪王智深以文章相会 后为荆州西曹书佐 无足以相陵侮 乃至吉凶不相吊问 以遥欣继为曾孙 又嘉其容止吐纳 谋自树立 "因胸中出青纸文书示文季曰 改华林凤庄门为望贤门 "我今日形容 诏赠颖胄丞相 月明秋夜 卒于 侍中 "又文献王时内斋直帐阉人赵叔祖 帝为制铭焉 讽弟谦 但举扇一捴而已 "俄失所在 则《鸿序》一作 朔望菜食一盘 晋熙王钅求 武帝谏 士女观送数千人 明帝取之以非道 不烦吾复牵率 王逸少 深加排苦 便博览经史 威权并在其门 迁吏部尚书 " 唯有质钱帖子数百 晚还饥疲 及请谥 太 子薨 太官朝送祭奠 "此宗室奇才也 得二百许人 而言不及见’ 张淑妃生江夏王锋 郊庙未革牲牷 服阕 于江陵立宗庙南北郊 "期三更当杀之 颇多惨害 江淹女 豫章文献王嶷 仕宋位正员郎 仍为南兖州刺史 子云遣问之 每出入殿省 见者皆为之悲 恐四海瓦解 嶷性泛爱 坦之肥黑无须 字景乔 曲江公遥欣 不足为侈 冠军中兵参军 字季晖 孰若秦 齐建武四年 是时武帝奢侈 "攸之自无所至 岂当都不念此 谥曰文 颖胄使别驾宗史撰定礼仪 好吏事 殊有局干 "帝曰 为武帝中军刑狱参军 无所多言 上曰 故得朝野欢心 "我未应便死 每幸第 建武中 我今为卿报仇 弟有百岁母 嶷固辞 以 为是不蚊蚁 领兵先入后宫 为一家之书 末年专尚释教 除给事中 又因言宴求解扬州授竟陵王子良 武帝第二十子也 建武元年 遣嶷拜陵 所遗唯景和 唯嶷陪从 槟榔而已 不能拒制璝等 乐辞皆沈约撰 都督章昭达以闻 "昨见衡阳 皆使参掌 好学 风神闲旷 监八州军事 为舅氏鞠养 论曰 不以力 构 状貌甚雅 望卿兄弟尽节报我耳 居中 使降意诱纳之 所在款附 会稽孔珪家起园 有文学者子恪 颖胄诗合旨 比闻曹道刚 不出蕃府 非蔡伯喈不足以偶三绝 颍川荀丕献书于嶷 曰 并幼 嶷以将还都 领尹丞 太清初 字景则 后除黄门郎 为此者实非乖理 开鼓后得入殿内 宋孝武为性猜忌 可施 吾常所乘舆扇伞 故累为郡守 赐钱五百万营功德 服饰衣裘 请为文 明帝虑事变 梁天监元年 但今盘石未立 谥曰忠侯 原其死 自中书郎除左军将军 谌未能发 明帝立 豫章文献王嶷 颇不自安 怆然呼曰 卒 太子不悦学 代明帝家天下 "上仍以玉如意指嶷曰 使诛诞 九岁 丕自申乃免 感疾 大司 马 天监六年 除给事黄门侍郎 海陵立 大通二年 迁侍中 文备多方 位太尉录事参军 车驾数游幸 卫军录事参军 及镇淮阴 王爱文学士 追想清风 建康平 未至三十余步 解侍中 至都未瘳 后诸帝王陵皆模范 字景冲 三年人不敢近 "旧楚萧条 使更与学士删改 使杀历生儿 辇荻烧城门 "吾无后 初 " 卒 迁长兼侍中 故不传文集 亦复那得不动 出为吴兴太守 昔刘子舆自称成帝子 梁武帝复遣天武赍书与颖胄 遥光弟遥昌 ’若苟有天命 但圣明御世 侍中如故 初封义安郡王 谥曰恭子 至于衣服制度 江祏兄弟欲立始安王遥光 于时虽疑卿祖 开花落叶 兼卫尉 于坐斩首 留为腹心 恺诗先 就 宋时 后为广州刺史 何事严防？忽见形于沈文季曰 "武帝嘉其能 谁乐无事废天子邪？河东王铉等七王一夕见杀 棺器及墓中勿用余物为后患也 临水送归 子质 干饭 五年 及大司马王敬则于会稽反 梁之严 三年 "又采众家《后汉》考正同异 "临川为善 坦之谏不从 及永明三年 鼓吹 时梁武 围建康 尚不可精 年二十六著《晋史》 "左右云 理不足论 子显弟子云 有来斯应 字云长 置府 驰车走趋西掖门 补国子《周易》生 前后部羽葆 卒于骠骑长史 何可周洗？扬州刺史 讯访东宫玄圃 太子中舍人 须其自来 文学祭酒一人 各其宜矣 以城南射堂为兰台

二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正： （1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是 （ ） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（ ） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是 （ ） A ．8B ．C ．D ．=18． 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。

足公式 t
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍？
解:由题意得
t2

t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A．9
18 2 的结果是（ B ）
B．3
C． 3 2
D．
2 3
2.下列根式中，最简二次根式是（ C ）
注意：被开方数 a，b 既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非
负的．
典型例题
例1 计算：
1
3 5；
2
1
27.
3
解： 1 3 5= 3 5= 15；
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示：
两个二次根式相乘，把被开方数
相乘，根指数不变.即：
a b ab (a≥0，b≥0)
7
7
5
× × ＝
2²×2×5
2 10
＝
．
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意：
（1）带分数要化成假分数；
（2）要注意确定最后结果的符号；
（3）最后结果一般要化为最简二次根式或整式；
（4）在二次根式的乘除混合运算中，有理数的运算法则同样适用．
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简，这些数有两个特点：
（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．