2019年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合(习题课)优化练习新人教A版选修2-3

1.2.2 组合课后训练一、选择题1．6799C C 的值为( )A ．36B ．45C ．120D ．7202．4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种3．从5名男同学、4名女同学中选出3名同学组队参加课外活动，要求男、女同学都有，则不同的方案个数有( )个．A ．140B ．100C ．80D ．704．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种5．(2012山东高考，理11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．4846．(2013山东济宁模拟)某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，若至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有__________种．8．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有__________．三、解答题9．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒子放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？10．六本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆一本，一堆两本，一堆三本；(2)甲得一本，乙得两本，丙得三本；(3)一人得一本，一人得两本，一人得三本；(4)平均分成三堆；(5)平均分给甲、乙、丙三人．参考答案1答案：C 解析：67739910101098C +C C C 120321⨯⨯====⨯⨯． 2答案：B 解析：先从4人中选2人选修甲课程，有24C 种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，∴共有24C ×22＝24种方法． 3答案：D 解析：(排除法)333954C C C 70--=，故选D ．4答案：B 解析：将标号为1,2的卡片放入一个信封，有13C ＝3种，将剩下的4张卡片放入剩下的2个信封中，有24C ＝6种，共有1234C C ⋅＝3×6＝18种．5答案：C 解析：完成这件事可分为两类，第一类3张卡片颜色各不相同共有31114444C C C C 256=种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有12113434C C C C 216=种，由分类加法计数原理得共有472种，故选C ．6答案：A 解析：设男生人数为x ，则女生有(6－x )人．依题意可得336C C x -＝16，即x (x －1)(x －2)＋16×6＝6×5×4，于是x (x －1)(x －2)＝2×3×4，即x ＝4．故该小组中女生有2人．7答案：2 520 解析：从10人中选派4人有410C 种方法，对选出的4人具体安排会议有2142C C 种方法，由分步乘法计数原理知，不同的选派方法有4211042C C C 2 520=种． 8答案：10 解析：依题意，就所剩余的1本进行分类：第1类，剩余的是1本画册，此时满足题意的赠送方法有4种；第2类，剩余的是1本集邮册，此时满足题意的赠送方法有24C ＝6种．因此，满足题意的赠送方法共有4＋6＝10种．9答案：解：一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256种．答案：为保证“恰有一个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1三组，有24C 种分法；然后再从3个盒子中选一个放2个球，其余2个球两个盒子全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法12124432C C C A 144⋅⋅⋅=种． 答案：“恰有一个盒子放2个球”，即另外的3个盒子放2个球，而且每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此“恰有一个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法．答案：先从4个盒子中任意拿走两个有24C 种拿法，问题转化为“4个球，两个盒子，每个盒子必放球，有多少种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中，有3142C C ⋅种放法；第二类：有24C 种放法．因此共有312424C C C 14⋅+=种放法．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有24C ·14＝84种．10答案：解：先在六本书中任取一本，作为一堆，有16C 种取法；再从余下的五本书中任取两本，作为一堆，有25C 种取法；再从余下三本中取三本作为一堆，有33C 种取法，故共有分法123653C C C 60⋅⋅=种． 答案：由(1)知，分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得两本，丙得三本的分法亦为123653C C C 60⋅⋅=种．答案：由(1)知，分成三堆的方法有123653C C C ⋅⋅种，但每一种分组方法又有33A 种不同的分配方案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有12336533C C C A 360⋅⋅⋅=种． 答案：把六本不同的书分成三堆，每堆两本，与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本的区别在于，后者相当于把六本不同的书平均分成三堆后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此，设把六本不同的书平均分成三堆的方法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法就有x ·33A 种．而六本书分给甲、乙、丙三人每人两本的分法可以理解为：三个人一个一个地来取书，甲从六本不同的书中任取出两本的方法有26C 种，甲不论用哪一种方法取得两本书后，乙再从余下的四本书中取书有24C 种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取两本书后，丙从余下的两本中取两本书，有22C 种方法，所以一共有222642C C C 90⋅⋅=种方法，所以32223642A C C C 90x =⋅⋅=，x ＝15，即平均分成三堆有15种分法．答案：由(4)知平均分给甲、乙、丙三人有90种分法．。

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1课后导练新人教A版选修基础达标1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从2、3、5、7、11中任取两数相乘可得多少不同的积?(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少不同的商?(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果?(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种?解析：(1)不是 (2)是 (3)是 (4)是2.写出下面问题中所有可能的排列.(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数?(2)A、B、C、D四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能的站法，共有多少种? 解析：(1)所组成的两位数是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12 个.(2)所有可能的站法为：BACD、BADC、BCAD、BDAC、CABD、CADB、CBAD、CDAB、DACB、DABC、DBAC、DCAB共12种.3.从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是( )A.10B.24C.48D.60解析：由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出·=48(个)不同的方程.答案：B4.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种解析：因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法，但甲、乙两人之间有种排法，由乘法原理可知，共有·=240种不同排法.选(C) 5.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法(只要求写出式子，不必计算)?解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为·种.综合运用6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种( ) A. B. C. D.解析：选把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为，故选D.7.从{1，2，3，4，…，20}中任选三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有( )A.90B.180C.200D.120解析：从其中10个奇数中任选两个作为等差数列的首项和末项，则它们的等差中项为自然数(唯一确定)，这样的等差数列有个.同理，从其中10个偶数中任选两个作为等差数列的首项和末项的等差数列，也有个，故共有个，选B.8.把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有( )A.36种B.120种C.720种D.1 440种解析：本题相当于6个不同元素站成一排，共有=720种，故选C.9.由1，2，3，4，5组成比40 000小的没有重复数字的五位数的个数是__________.解析：要比40 000小首位数只能是1，2，3，所以应为·=72个.答案：72.拓展探究10.如图，在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案.解析：给六块区域依次标上字母A，B，C，D，E，F，按间隔三块A，C，E种植植物的种数分三类：1)若A，C，E种同一种植物，有4种种法.当A，C，E种植好后，B，D，E各有3种种法.此时共有4×3×3×3=108种；2)若A，C，E种2种不同植物，有种种法.在这种情况下，若A，C种同一植物，则B有3种种法，D，F各有2种种法；若C，E或E，A种同一植物，情况相同(只是次序不同)，此时共有×3(3×2×2)=432种；3)若A，C，E种3种不同植物，有种种法.这时，B，D，F各有2种种法.此时共有×2×2×2=192种.综上所述，不同的种植方案共有N=108+432+192=732(种).拓展探究11.从6名志愿者中选出4人分别从事保健、翻译、导游、保洁四项不同工作，若其中两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( )A.280种B.240种C.180种D.96种解析：可分三类：不能从事翻译工作的两名志愿者有0人当选、1人当选、两人当选.于是选派方案共有：=240(种),故选B.12.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12解析：可分两类：一类是这两个节目相邻，另一类是这两个节目不相邻，于是不同插法的种数为=42,故选A.13.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )A.24种B.18种C.12种D.6种解析：由于黄瓜必须种植，故只需从剩下的3种蔬菜品种中再选出2种进行种植即可，不同的种植方法共有：·=18种，故选B.14.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本.将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法种数之比为( )A.1∶14B.1∶28C.1∶140D.1∶336解析：,选B.15.有三张卡片的正反两面分别写有数字1和2，4和5，7和8，将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数是__________________.解析：分两步：第一步先从每张卡片中各选一数字，第二步把这三个数字全排列，故可组成的不同的三位数有23·=48(个)，故填48.16.晚会上有8个歌唱节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数( )A. B. C. D.·解析：这是一个不相邻问题，故可用插空法来求，不同节目单的种数为,故选C.2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列课后训练新人教A版选修一、选择题1．(xx北京朝阳模拟)( )A． B．C． D．2．已知，则n的值为( )A．6 B．7C．8 D．23．爱国主义电影《太行山上》在5个单位轮流上映，每一个单位放映一场，有( )种轮映次序．A．25 B．120C．55 D．544．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!5．某节假日，某校校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表，要求每一位领导值班一天，但校长甲与乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有( )种不同的安排方法．A．240 B．264C．336 D．4086．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A．1 205秒 B．1 200秒C．1 195秒 D．1 190秒二、填空题7．由0,1,3,5,7,9这六个数字可组成__________个没有重复数字的六位奇数．8．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园排法共有__________种．三、解答题9．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？10．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？参考答案1答案：A 解析：∵，∴ ＝111111111223!3!4!(1)n n -+-+-++--…！！！！！＝1－．2答案：B 解析：由排列数公式得：n (n －1)＝7(n －4)·(n －5)，∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7，或n ＝(舍)．3答案：B 解析：由排列数的定义知，有＝5×4×3×2×1＝120种轮映次序．4答案：C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有，故选C ．5答案：C 解析：(用排除法)6252522462525224A A A A A +A A A 336--=．6答案：C 解析：由题意知，共有＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1 195秒．7答案：480 解析：0不能在首位，也不能在末位，有种排法，其余的有种排法，共有种．8答案：24 解析：分3步完成：第1步，将两位爸爸排在两端，有种排法；第2步，将两个小孩看做一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置，有种排法； 第3步，两个小孩之间有种排法．所以这6个人的入园排法共有种．9解：由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有＝24种．答案：∵总的排法数为＝120种，∴甲在乙的右边的排法数为种．10答案：解法一：依排第一节课的情形进行分类．∵第一节排数学，第六节排体育的排法有种；第一节排数学，第六节不排体育的排法有种；第一节不排数学，第六节排体育的排法有种；第一节和第六节都不排数学和体育的排法有种．∴由分类加法计数原理，所求的不同的排法有4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．解法二：依数学课的排法进行分类．∵数学排在第一节，体育排在第六节的排法有种；数学排在第一节，体育不排在第六节的排法有种；数学不排第一节，体育排在第六节的排法有种；数学、体育都不排在第一节和第六节的排法有种．∴由分类加法计数原理，所求的不同排法有4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．解法三：∵不考虑任何限制条件的排法有种，其中数学在第六节有种，体育在第一节有种，但上面两种排法中都含有数学在第六节，体育在第一节的排法有种．∴所求的不同的排法有种．答：一共有504种不同的排法．。

1.2排列与组合一、选择题1. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有（）A.14种B.28种C.32种D.48种答案：A解析：解答：从4名男生、2名女生中任选4人，有4615C=种不同的选派方法，其中没有女生的只有1种，所以符合条件的方法有14种，故选A分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是排列组合的原理分析计算即可.2. 我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种答案：D解析：解答：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有0112233 6656463141C C C C C C C+++=种.分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是通过分类讨论结合排列、组合的实际应用进行分析计算即可.3. 从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.24个B.36个C.48个D.54个答案：C解析：解答：若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C32A21A22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C21C32A33＝3×2×6＝36个,共计12＋36＝48个分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据排列、组合的实际应用进行分析计算即可.4. 将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（）A．12 B．24 C．36 D．72答案：C解析：解答：将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，把4个学生分成3组，有一个组有2人，另外两组个一人，不同的录取方法共有363324=A C 种，故答案为C ．分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据实际问题结合排列、组合原理计算即可.5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。

1.2排列与组合1．排列（1）排列的定义一般地，从n 个_________中取出()m m n ≤个元素，按照_________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （2）排列数、排列数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的_________叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示.一般地，求排列数A mn 可以按依次填m 个空位来考虑：假设有排好顺序的m 个空位，从n 个元素12,,,n a a a L 中任取m 个去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列，而要完成“这件事”可以分为m 个步骤来实现.根据分步乘法计数原理，全部填满m 个空位共有(1)(2)[(1)]n n n n m ----L 种填法.这样，我们就得到公式A mn =_________，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做排列数公式.n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个_________，这时公式中m n =，即有A (1)(2)321n n n n n =⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯L ，就是说，n 个不同元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示.所以n 个不同元素的全排列数公式可以写成A !nn n =.另外，我们规定0!=_________.于是排列数公式写成阶乘的形式为A mn =_________，其中,m n *∈N ，且m n ≤.注意：排列与排列数是两个不同的概念，一个排列是指“按照一定的顺序排成一列”，它是具体的一件事，排列数是指“从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数. 2．组合（1）组合的定义一般地，从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素_________，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数、组合数公式从n 个不同元素中取出()m m n ≤个元素的所有_________的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号_________表示.A (1)(2)(1)C A !m m n nmm n n n n m m ---+==L ，其中,m n *∈N ，且m n ≤.这个公式叫做组合数公式. 因为A mn =!()!n n m -，所以组合数公式还可以写成C mn =_________，其中,m n *∈N ，且m n ≤.另外，我们规定0C 1n =.（3）组合数的性质性质1：C C m n mn n -=.性质1表明从n 个不同元素中取出m 个元素的组合，与剩下的n m -个元素的组合是一一对应关系.性质2：11C C C m m m n n n -+=+.性质2表明从1n +个不同元素中任取m 个元素的组合，可以分为两类：第1类，取出的m 个元素中不含某个元素a 的组合，只需在除去元素a 的其余n 个元素中任取m 个即可，有C mn 个组合；第2类，取出的m 个元素中含有某个元素a 的组合，只需在除去a 的其余n 个元素中任取1m -个后再取出元素a 即可，有1C m n-个组合.参考答案：一、排列数公式与组合数公式的应用排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：（1）当m ，n 较大时，使用计算器快捷地算出结果；（2）对含有字母的排列数的式子进行变形.应用组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件,m n *∈N ，且m n ≤，即上标不大于下标且均为正整数.另外，注意应用组合数的性质. 【例1】求值：.【解析】由组合数的性质，可得解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式. 当n ＝5时，原式.【例2】求下列方程中的值. （1）.（2）.【解析】（1）由得.,.化简整理得，解得(舍去)..（2）由得，即，化简得,解得.,∴原方程的解是.【名师点睛】在解与排列数有关的方程或不等式时，应先求出未知数的取值范围，再利用排列数公式化简方程或不等式，最后得出问题的解. 二、无约束条件的排列、组合问题没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.【例3】从六个数字中,选出一个偶数和两个奇数,组成一个没有重复数字的三位数,这样的三位数共有个.(结果用数字作答)【解析】当选到的偶数是0时，有个；当选到的偶数不是0时，有个，故共有12+36=48个.【名师点睛】判断一个具体问题是否为排列问题，就是从n个不同元素中取出m个元素后，在安排这m个元素的时候是否有序，有序就是排列，无序就不是排列.而检验是否有序的依据就是变换元素的“位置”，看结果是否有变化，有变化就是有序，无变化就是无序.三、元素的“在”与“不在”“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.【例4】4个不同的球,4个不同的盒子,把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球,共有几种放法?（2）恰有1个盒内有2个球,共有几种放法?（3）恰有2个盒不放球,共有几种放法?【解析】（1）为保证“恰有1个盒不放球”,先从4个盒子中任意取出去一个,问题转化为“4个球,3个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把4个球分成2,1,1的三组,然后再从3个盒子中选1个放2个球,其余2个球放在另外2个盒子内,由分步计数原理,共有放法.（2）“恰有1个盒内有2个球”,即另外3个盒子放2个球,每个盒子至多放1个球,也即另外3个盒子中恰有一个空盒,因此,与“恰有1个盒不放球”是同一件事,所以共有144种放法.（3）确定2个空盒有种方法.4个球放进2个盒子可分成两类,第一类有序不均匀分组有种方法;第二类有序均匀分组有种方法,故共有(种)放法.【名师点睛】本题（3）中的属于不均匀分组，解题时只需先分组，后排列即可；属于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以22A (2为均分的组数)，避免重复计数.另外，对于部分均分的问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数. 四、元素的“相邻”与“不相邻”解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素互不相邻1()k n k ≤-+，求不同排法种数的方法是：先将()n k -个元素排成一排,然后把k 个元素插入1n k -+个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.【例5】喜羊羊家族的四位成员与灰太狼、红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排).（1）要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？ （2）要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？ 【解析】（1）把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素,排法为. 又因为四位成员交换顺序产生不同排列,所以共有种排法.（2）第一步,将喜羊羊家族的四位成员排好,有种排法；第二步,让灰太狼、红太狼插入四人形成的空(包括两端)中,有种排法, 所以共有种排法.五、重复计数与遗漏计数【例6】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A ．1260B ．2025C ．2520D ．5040 【错解】分三步完成：第1步,从10人中选出4人，有410C 种方法.第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有24A 种方法. 第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A 种方法.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有410C 24A 22A 5040=种.故选D.【错因分析】错解中对“排列”、“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A 应为24C .【正解】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有2111087C C C 2520=种.故选C.【名师点睛】计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.1．已知2A 20n =，则A ．7B ．6C ．5D ．42．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A ．12种B ．10种 C ．9种D ．8种3．从0，1，2，3，4这5个数字中选出4个不同的数字组成四位数，其中大于3200的数有 A ．36个B ．30个 C ．28个D ．24个4．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包,每人最多抢一个红包,且红包全被抢光,4个红包中有两个2元,两个5元(红包中金额相同视为相同的红包),则甲、乙两人都抢到红包的情况有A．36种B．24种C．18种D．9种5．《中国诗词大会》（第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有A．144种B．288种C．360种D．720种6．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法数是__________．（用数字做答）7．某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种__________种（用数字做答）．8．用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，则一共有__________种不同的涂色方法．（用数字做答）9．判断下列各事件是排列问题还是组合问题：（1）10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？（2）10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？（3）从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？（4）从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？10．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？（1）老师甲必须站在中间或两端； （2）2名女生必须相邻而站； （3）4名男生互不相邻；（4）若4名男生的身高都不等，按从高到低的顺序站.11．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A ．81 B ．83 C ．85D ．87 12．现从男、女共8名学生干部中选出3名同学(要求3人中既有男同学又有女同学)分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,共有270种不同的安排方案,那么8名学生中男、女同学的人数分布可能是A．男同学1人,女同学7人B．男同学2人,女同学6人C．男同学3人,女同学5人D．男同学4人,女同学4人13．某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名专家中有4名是骨科专家.（1）抽调的6名专家中恰有2名是骨科专家的抽调方法有多少种？（2）至少有2名骨科专家的抽调方法有多少种？（3）至多有2名骨科专家的抽调方法有多少种？14．已知整数n≥4,集合M＝{1,2,3,…,n}的所有含有4个元素的子集记为A1,A2,A3,…,.设A1,A2,A3,…,中所有元素之和为S n.（1）求，并求出S n;（2）证明：S4＋S5＋…＋S n＝.15．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A．24 B．48C ．60D ．7216．（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅有一条毕业留言，那么全班共写了____条毕业留言.（用数字作答） 17．（2016江苏）（1）求3467–47C C 的值；（2）设m ，n N *，n ≥m ，求证：（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C mm ++n –1C m n +（n +1）C mn =（m +1）+2+2C m n .1．C 【解析】∵，∴.2．A 【解析】第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法， 故不同的安排方案共有种，故选A ．3．A 【解析】∵从5个数字中选出4个不同的数字组成大于3200的数，∴本题需分类求解， 当千位上的数字是4时，满足题意的数字有个；当千位上的数字是3，百位上的数字是4时，个位和十位上的数字可以从余下的三个数字中任意选，满足题意的数字有个；当千位上的数字是3，百位上的数字是2时，满足题意的数字有个.综上可知，共有个.4．C 【解析】甲、乙两人都抢到2元红包,共种情况;甲、乙两人抢到2元、5元红包,共种情况;甲、乙两人都抢到5元红包,共种情况.所以甲、乙两人都抢到红包的情况有=18种.选C.5．A 【解析】《将进酒》、《望岳》和另外确定的两首诗词共有44A 种排法，满足《将进酒》排在《望岳》的《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里（最后一个空不排），有24A 种排法，则后六场的排法有 A. 6．36 【解析】由题意可知，分组方案为两名学生，一名学生，一名学生分别分到3个班，7．7【解析】设素菜n 种，则225C C 200n ≥，即(1)40n n -≥，所以n 的最小值为7．故填7．8．732【解析】如图，记六个区域的涂色数为6a ，若,A F 涂色相同，则相当于5个区域涂色，记5个区域的涂色数为5a ，同理只有4个区域时涂色数记为4a ，易知413244244A C A A 84a =++=，则()55454654434343434384732a a a =⨯-=⨯-⨯-=⨯-⨯+=．9．【解析】（1）是组合问题.因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别. （2）是排列问题.因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的.（3）是组合问题.因为3个代表之间没有顺序的区别.（4）是排列问题.因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的. 10．【解析】（1）先考虑甲，有种站法，再考虑其余6人全排，故不同的站法共有160(种)；（2）2名女生站在一起，有种站法,视为一个元素与其余5人全排,有种站法,所以不同的站法有440(种)；（3）先站老师和女生,有种站法,再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,则插入方法有种,所以不同的站法共有(种)；（4）7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有种,而由高到低排列时，从左到右和从右到左是不同的,所以不同的站法共有(种).11．D 【解析】由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种不同的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有1242C A 8=种不同的结果；（2）周六、周日各2人，有24C 6=种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益活动有8614+=种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为147168=，选D ． 12．C 【解析】设男生有x 人,则女生有8−x 人,分2男1女和1男2女共两类,则2131238383C C A C C A 270x x x x --+=，即,解得x =3或x =5.则男生有3名,女生有5名,或男生有5名,女生有3名,故选C.13．【解析】（1）分两步：第一步,从4名骨科专家中任选2名,有种选法；第二步,从除去骨科专家的6人中任取4人,有种选法,所以共有种抽调方法.（2）方法一(直接法)：第一类：有2名骨科专家,共有种选法；第二类：有3名骨科专家,共有种选法； 第三类：有4名骨科专家,共有种选法.根据分类加法计数原理,共有种抽调方法.方法二(间接法)：不考虑是否有骨科专家,共有种选法.考虑选取1名骨科专家,有种选法；没有骨科专家,有种选法,所以共有种抽调方法.（3）“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况： 第一类：没有骨科专家,共有种选法；第二类：有1名骨科专家,共有种选法； 第三类：有2名骨科专家,共有种选法.根据分类加法计数原理,共有种抽调方法.14．【解析】（1）当n ＝4时,集合M 只有1个符合条件的子集,＝1＋2＋3+4＝10；当n ＝5时,集合M 每个元素出现了次,＝＝60；当n ＝6时,集合M 每个元素出现了次,＝＝210. 所以,当集合M 有n 个元素时,每个元素出现了次,故S n ＝.（2）因为S n ＝＝,所以S 4＋S 5＋…＋S n ＝10()=.15．D 【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72=，故选D.16．1560 【解析】两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选2人的排列数，所以全班共写了240A 40391560=⨯=条毕业留言.17．【解析】（1）3467654765474740.321C C 4321⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时，11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(1)(1)]C !C m m k k k k k k m m k m m n m k m m k m +++⋅++==+=+=++-++-+又因为122112C C C ,m m m k k k +++++++=所以2221C C C (1)(1)(),1,+2,.m m m k k k k m k m m n +++++=+-=+，因此1212(1)(2)(3)(1)(1)C C C C C C [(2)(3)C m m mm m m mm m m n m m m m m m n m m m ++++++++++++=++++++(1)C ]m n n ++2222222223243212C C C C C (1)(1)[()()()](1).C C C m m m m m m m m m m m m m n n n m m m ++++++++++++++++=+++-+-++-=+。

第一章 1.2 1.2。

1 第2课时1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为（ A ）A．36 B．30C．40 D．60[解析］奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4。

故奇数有错误!A 错误!＝36个．2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ D ）A．144 B．120C．72 D．24［解析]就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A错误!＝24种不同坐法,故选D．3．（2020·江西省樟树中学）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（ D ）A．12 B．24C．36 D．48[解析］设6种产品分别为a，b,c，d,e，f，画出图形如下图所示,根据题意,安全的分组方法有{ab，cf，de}，｛ab，cd,ef｝,｛ac，be,df｝,{ac，bf，de｝,｛ad，ef，bc},｛ad,eb，cf｝，｛ae，dc，bf}，{ae，df,bc}，共8种,每一种分组方法安排到3个仓库，有A3，3种方法,故总的方法种数有8×A错误!＝48种，故选D．4．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1，2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析］可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列,共有A错误!种排法；第二步：再将4，6插空排列，共有2A错误!种排法;第三步：将1，2放入3，5，4，6形成的空中，共有A错误!种排法；由分步乘法计数原理得,共有A222A错误!A错误!＝40种不同的排法．。

1.2.4 组合（二）课后导练基础达标1.班级英语兴趣小组有5名男生5名女生，现在要从中选4名学生参加学校的英语演讲比赛，要求男、女生都有，则不同选法有( )A.210种B.200种C.120种D.100种解析：选法可分为三类：1男3女有·种方法，2男2女有·种，3男1女有·种，共有·+·+·=200种.故选B.2.某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜，两种蔬菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法总数是( )A.22B.56C.210D.420解析：·+·=210故选C.3.有15个队参加篮球赛，首轮平均分成三组进行单循环赛，然后由各组前2名共6个队进行单循环决赛，且规定同组的两个队不再赛第二场，则所进行的比赛共有 ( )A.42场B.45场C.22场D.25场解析：首轮比赛共有×3=30场第二轮有-3=12场故共有30+12=42场比赛，选A.4.从全班40名学生中选一名市级三好学生，2名区级三好学生，三名校级三好学生(共选出6人)，共有多少种不同的选法?对这道题：甲列式为··；乙列式为··；丙列式为··，对他们的评价应是( )A.甲、乙、丙都正确B.仅甲、乙正确C.仅乙、丙正确D.仅甲正确答案：A5.如图，某市为改善生态环境，计划对城市外围A，B，C，D，E，F六个区域进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个区域实施退耕还林，根据要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方案有__________种.解析：综合运用6.如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有( )A.12对B.24对C.36对D.48对解析：由于六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配.第一步，从6条侧棱中任取一条，有种；第二步，从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有种，由乘法原理知有=24对，故选B.7.四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3点，使它们和点A在同一平面上，不同取法有( )A.30种B.33种C.36种D.39种解析：符合条件的取法可分为两类：①4个点(含A)在棱锥的同一侧面上，有3=30种；②4个点(含A)在侧棱与对棱中点的截面上，有3种.由加法原理知不同取法共有33种，故选B.8.某池塘内有A、B、C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今有3个成人和2个儿童分别乘这些船只，若每船必须坐人，且为安全起见，儿童必须由大人陪同方可乘坐，则他们分乘这些船只的方法有__________种.解析：可分两类情形：(1)2个儿童分乘A、B两船，有种方法，因为儿童必须由大人陪同，故从3个成人中选2人分别乘A，B两船，有种方法，余下1个成人必须乘C船；(2)2个儿童乘A船，从3个成人中选1人乘A船有种方法，两个成人分乘B、C两船，有种方法，所以共有·+·=18种乘这些船的方法.拓展探究9.某商场为促销设计两套方案：(1)全场九折；(2)购物100元摸彩球打折，8个红色和8个绿色的玻璃球放在一个盒子里，顾客任意摸出8个球，仅有抽出的红球、绿球个数相等时不打折，两者相差一个时打9折，两者相差2个或2个以上时打8折，问商场应选择哪种方案更有利可图?解析：应选第二种方案.此题实质上是计算满足一定条件的组合.其中摸出的红球、绿球相等，可分两步完成，即第一步：在8个红球中取出4个红球；第二步在8个绿球中取4个绿球.所以有=4 900种.类似地同求得取5个红球和3个绿球的组合数为·=3 136；取3个红球，5个绿球的组合数为=3 136；取6个红球2个绿球或2个红球6个绿球的组合数都为·=784；取7红球1个绿球或1个红球7个绿球的组合数都为=64；取8个红球或8个绿球的组合数均为1.从而不打折的有4 900种选法，打9折的有2×3 136=6 272种选法，打8折的有2×(1+64+78。

1.2.3 组合（一）课后导练基础达标1.20个不加区别的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子内，要求每个盒内的球数不小于盒子的编号数，则不同的投放方法有_____________种.解析：先取出3个球，再将剩下的17个球排成一列，这17个球中间有16个空隙，从中任取两个空隙添置隔板“｜”（如图所示），这17个球被○○｜○○○｜○○○…○分成三块，第一块给1号盒，第二块给2号盒，第三块给3号盒；然后将先取出3个球中的1 个球放入2号盒内，再将其余的2个球放入3号盒内，确保每盒内球的个数不小于盒子的编号数.即所求投放方法的种数等价于在17个元素中插入互不相邻的两个元素（两端的空隙除外）的组合数，故C2=120种不同投法为所求.162.8本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中有两人各得3本，一人得2本，不同分法的总数为( )A.1 680B.3 360C.280D.560解析：从三人中先选出1人，再让他从8本中选2本书；第二步，让剩下的2人中某人在剩下的6本书中选出3本；第三步，把剩余的三本书给第3个人，故共有C1·C2·C1·C3·C 338263=3 360种分法.答案：B3.从3名成人4名小孩中选四人游园，至少要有一名成人，不同的选法种数为( )A.12B.34C.35D.186解析：C74C4=34 选B.44.从5名学生中，选出2名或3名去农村做社会调查，不同的选法有( )A.10种B.30种C.20种D.40种解析：分类去求，共有C2+C3=20（种）选法，故选C.55综合运用5.设A={a,b}，B={a,b,c,d,e,f}，集合M满足A M B，这样的集合有( )A.12个B.14个C.13个D.以上都错解析：经分析，集合M至少含3个元素，最多含5个元素，则共有C1+C2+C3=14(个).444故选B.6.马路上有编号为1，2，3，4…，9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法有( )A.7种B.8种C.9种D.10种解析：在6只亮着的灯形成的5个空中插入3只熄灭的灯，即C3=10.5答案：D7.满足x i∈N*（i=1,2,3,4)，且x1＜x2＜x3＜x4＜10的有序数组(x1,x2,x3,x4)共有( )1A.C 4 个B.A 4 个C.C 4 个D.A 4 个991010解析：本题看似与顺序有关，其实只有一种顺序，这样的一个数组(x 1,x 2,x 3,x 4)对应从 1， 2，…，9中选出 4个数的一个组合，故共有C 4 个不同的数组，选 A.98.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为( )A.56B.52C.48D.40解析：从正方体的 8个顶点中任取 3个顶点可构成C 3 个三角形，其中非直角三角形的有两类. 8①上底面的每个顶点所在的两侧面对角线与下底面相应的对角线构成 1个正三角形，上底面的 4个顶点共构成 4个非直角三角形；②下底面的 4个顶点所在的两侧面对角线与上底面相应的对角线共构成 4个非直角三角形. 故所求直角三角形共有C 3 -4-4=48个.选 C.8拓展探究9.四面体的顶点和各棱中点共 10个点，在其中取 4个不共面的点，不同的取法共有( )A.150种B.147种C.144种D.141种 解析：从 10个点中任取 4个点有C 4 =210种取法，应剔除下面三类共面点：10①从四面体的每个面上的 6个点中任取 4个点必共面有 4C 4 =60种取法；6②四面体的每条棱上 3个点与对棱中点共面有 6种取法；③6 个中点连线有 3对平行线段共面，故从这 6个点中取 4个共面点有 3种取法. 故符合条件取法共 210-60-6-3=141种.选 D. 备选习题10.有甲、乙、丙三项任务，甲需 2人承担，乙、丙各需 1人承担，从 10人中选出 4人承担这 三项任务，不同的选法种数有( ) A.1 260种 B.2 025种 C.2 520种 D.5 040种解析：先从 10人中选出两人承担甲项任务，再从剩下的 8人中选 1人承担乙项任务，第三步 从另外 7人中选 1人承担丙项任务，不同的选法共有10 C C 1 C21=2 520（种），故选 C.8 711.某乒乓球队共有男女队员 18人，现从中选出男、女队员各 1人组成一对双打组合，由于在 男队员中有 2人主攻单打项目，不参与双打组合，这样一共有 64种组合方式，则乒乓球队中 男队员的人数为( ) A.10人 B.8人 C.6人 D.12人 解析：设男队员 x+2人，由题意可列式11C=64，解得 x=8，故男队员是 10人.选 A.xC18x212.平面凸 n 边形的对角线的条数为_____________.解析：从 n 个顶点中任选 2个可形成C 2 条线段，其中有 n 条线段是凸 n 边形的边，故对角线n条数为C2 -n=nn (n 23) 条.13.现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名，(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？2(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解析：(1)C2=45种不同的选法；10(2)共有C2·C2=90种不同的选法.6414.如图所示，按棋盘格子形排列着16个点子，若从中每次选取不在一直线上的3个点，作为一个三角形的顶点，试问一共可作出多少个三角形？解析：正面不好考虑，可考虑反面，即选取3个点不能构成一个三角形顶点的情形，即三点共线的情形，反面情形可分为两类：（1)最多有4个点在同一直线上，有4行和4列和两对角线上的4点在同一直线上，如图（1），从这样的4点中选取三点的不同情形有(4+4+2)×C3=40.4(2)最多有3个点在同一直线上，如图（2），只有4种不同情形.而从16个点中任取3个点有C 316=560，减去不能构成三角形的上述二种情形，∴不在同一直线的三点共有560-（40+4）=516（组），故共可作出516个三角形.15.从7个不同的红球，3个不同的白球中取出4个球，问：（1）一共有多少种不同的取法？（2）其中恰有一个白球的取法有多少种？（3）其中至少有两个白球的取法有多少种？10987解析：（1）共有C4==210(种)；104!765(2)共有C1·C3=3×=105(种)；373!(3)直接法：有两个白球的取法为C2·C2=3×21=63(种)；有3个白球的取法为C3·C13737=7(种)，故共有63+7=70种取法.间接法：C4-C1·C3-C4=210-105-35=70(种)103773。

1.2.2 组合[课时作业] [A 组 基础巩固]1．某中学一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( ) A ．C 25＋C 28＋C 23 B ．C 25C 28C 23 C ．A 25＋A 28＋A 23D ．C 216解析：分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求． 答案：A2．已知平面内A ，B ，C ，D 这4个点中任何3点均不共线，则以其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．12 D ．24解析：C 34＝4. 答案：B3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种D ．8种解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法． 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)． 答案：A4．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320 C ．C 420D ．C 421解析：原式＝(C 04＋C 14)＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 15＋C 25)＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421.答案：D5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( ) A ．140种 B ．120种 C ．35种D ．34种解析：分三种情况：①1男3女共有C 14C 33种选法．②2男2女共有C 24C 23种选法．③3男1女共C 34C 13种选法．则共有C 14C 33＋C 24C 23＋C 34C 13＝34种选法． 答案：D6．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．答案：607．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法有C 44C 146种；有3件次品的抽法有C 34C 246种，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4 186种不同的抽法． 答案：4 1868．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________． 解析：从四个数中任取两个数的取法为C 24＝6. 答案：69．已知C 5n －1＋C 3n －3C 3n －3＝345，求n . 解析：原方程可变形为C 5n －1C 3n －3＋1＝195，即C 5n －1＝145C 3n －3， 即n －n －n －n －n －5！＝145·n －n －n －3！，化简整理得n 2－3n －54＝0.解得n ＝9或n ＝－6(不合题意，舍去)． 所以n ＝9.10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选． 解析：(1)∵甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男当选时，应分三类：第一类是3男2女，有C36C24种选法；第二类是2男3女，有C26C34种选法；第三类是1男4女，有C16C44种选法．由分类加法计数原理知，共有C36C24＋C26C34＋C16C44＝186种选法.[B组能力提升]1．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法是( ) A．C25C26B．C25A26C．C25A22C26A22D．A25A26解析：分两步进行：第一步：选出两名男选手，有C25种方法；第2步，从6名女生中选出2名且与已选好的男生配对，有A26种．故有C25A26种．答案：B2．某单位拟安排6位员工在2016年端午节3天假期值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值第一日，乙不值最后一日，则不同的安排方法共有( )A．30种B．36种C．42种D．48种解析：所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日，再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法，即有C26C24－2×C15C24＋C14C13＝42(种)排法．答案：C3.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD 符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C36－C34＝16(种)．答案：164．如图，在排成4×4方阵的16个点中，中心4个点在某一圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任取3个点构成三角形，其中至少有一个点在圆内的三角形共有________个．解析：有一个点在圆内的有：C14(C212－4)＝248(个)．有两个顶点在圆内的有：C24(C112－2)＝60(个)．三个顶点均在圆内的有：C34＝4(个)．所以共有248＋60＋4＝312(个)．答案：3125．现有10件产品，其中有2件次品，任意取出3件检查． (1)若正品A 被取到，则有多少种不同的取法？ (2)恰有一件是次品的取法有多少种？ (3)至少有一件是次品的取法有多少种？ 解析：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件，有C 12种取法，从8件正品中任取2件，有C 28种取法，由分步乘法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56种．(3)解法一 含1件次品的取法有C 12×C 28种，含2件次品的取法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理得，不同的取法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64种．解法二 从10件产品中任取3件，取法有C 310种，不含次品的取法有C 38种，所以至少有1件次品的取法有C 310－C 38＝64种．6．某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净胜球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负． 全部赛程共需比赛多少场？解析：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C 26＝2×6×51×2＝30(场)． (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A 22＝2×1×2＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．。

2019-2020年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1课时达标训练新人教
A版
1.下列问题是组合问题的有( )
①从5名同学中选4名组成代表团参加对外交流;
②一个小组有7名学生,现抽调5人参加劳动;
③从5名同学中选4名组成代表团去4个单位参加对外交流.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【解析】选A.①②是组合问题,③是排列问题.
2.下列计算结果为28的为( )
A.+
B.
C.
D.
【解析】选D.==28.
3.+的值为( )
A.20
B.24
C.28
D.49
【解析】选C.+===28.
4.若=则m=__________.
【解析】因为=,
所以m=m-3或15-m=m-3,
所以m=9.
答案:9
5.从3,5,7,11这四个数中任取两个数相乘,可以得到不相等的积的个数为________.
【解析】属于组合问题,从四个数中任取两个数的取法为=6.
答案:6
6.求+的值.
【解析】依题意
解得:7≤m≤8.
当m=7时,原式=+=10+1=11.
当m=8时,原式=+=1+10=11.
综上可知:+=11.。

第一章第 1 课时组合 ( 一)A 级基础坚固一、选择题1． (2018 ·沙坪坝区校级月考 ) 方程2C x－x＝ C5x16－5的解集是 (D )16A． {1,3,5,7}B． {1,3,5}C． {3,5}D． {1,3}[ 剖析 ] ∵方程 C x2－x16＝ C5x16－5，∴x2－ x＝5x－5①或( x2－ x)＋(5 x－5)＝16②，解①得 x＝1或 x＝5(不合题意，舍去)，解②得 x＝3或 x＝－7(不合题意，舍去)；∴该方程的解集是 {1,3} ．应选 D．2．从正方形四个极点及其中心这 5 个点中，任取2 个点，则这 2 个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为 ( C )12A．B．5534C．5D．5[剖析]如图，基本事件共有C25＝ 10 个，小于正方形边长的事件有OA、OB、OC、OD 共4个，∴＝1－4＝3．P1053．某研究性学习小组有 4 名男生和 4 名女生，一次问卷检查活动需要精选 3 名同学参加，其中最少一名女生，则不同样的选法种数为( C )A． 120B． 84C． 52D． 48[剖析]间接法： C38－ C34＝52 种．4．平面上有12 个点，其中没有 3 个点在一条直线上，也没有 4 个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( A )A． 220 个B． 210 个C． 200 个D． 1320 个[剖析]C312＝ 220，应选 A．5． (2018 ·潍坊高二检测)5 个代表分 4 张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( D )A． A45种B．45种C．54种D． C45种[剖析]由于 4 张同样的参观券分给 5 个代表，每人最多分一张，从 5 个代表中选4个即可知足，故有C45种．6． (2018 ·佛山高二检测) 将标号为A、 B、 C、D、 E、 F 的6张卡片放入 3 个不同样的信封中，若每个信封放 2 张卡片，其中标号为A、 B的卡片放入同一信封，则不同样的放法共有 ( B )A．12 种C．36 种B．18种D．54种[剖析]由题意，不同样的放法共有C13C24＝3×4×3＝18 种．2二、填空题7． ( 遂宁市2018学年高二) 以以下图，机器人亮亮从 A 地搬动到 B 地，每次只搬动一个单位长度，则亮亮从 A 搬动到 B 近来的走法共有__80__种．[ 剖析 ]分步计算，第一步A→C 近来走法有 2 种；第二步C→ D近来走法有C63＝20种；第三步D→ B 近来走法有2 种，故由 A→B 近来走法有2×20× 2＝ 80 种．故答案为 80．8．已知 C4n， C5n，C6n成等差数列，则C12n ＝ __91__．[ 剖析 ]∵ C4n，C5n，C6n成等差数列，∴2C5n＝ C4n＋ C6n，n ！n ！n ！∴2× 5！－ ！＝4！ －！＋6！－！整理得n 2－21n ＋98＝0，解得 ＝ 14， ＝ 7( 舍去 ) ，n n则 C 142＝C214＝ 91．9．对全部知足 1≤ m <n ≤ 5 的自然数 m ， n ，方程 x 2＋ y 2Cmn ＝1 所表示的不同样椭圆的个数为 __6__．[剖析]∵ 1≤ m <n ≤ 5，所以Cmn 能够是C12，C13， C23，C14， C24， C34， C15，C25， C35， C45，其中C 13＝ C23，C14＝ C34， C15＝ C45， C25＝ C35，∴方程x 2＋ Cmn y 2＝ 1 能表示的不同样椭圆有6 个．三、解答题10．平面内有 10 个点，其中任何3 个点不共线，(1) 以其中随意 2 个点为端点的线段有多少条？ (2) 以其中随意两个点为端点的有向线段有多少条？(3) 以其中随意三个点为极点的三角形有多少个？[ 剖析 ](1) 所求线段的条数， 即为从 10 个元素中任取 2 个元素的组合， 共有 C210＝10×92×1＝ 45( 条) ，即以 10 个点中的随意 2 个点为端点的线段共有45 条．(2) 所求有向线段的条数，即为从10 个元素中任取 2 个元素的排列，共有A210＝10× 9＝ 90( 条 ) ，即以 10 个点中的 2 个点为端点的有向线段共有90 条．(3) 所求三角形的个数， 即从 10 个元素中任选 3 个元素的组合数， 共有 C310＝120( 个 ) ． B 级 修养提升一、选择题1．袋中共有 15 个除了颜色外完好同样的球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球， 1 个红球的概率为 ( B )510A ． 21B ． 2111C ． 21D ． 1[剖析]从袋中任取 2 个球共有C215＝ 105 种，其中恰巧 1 个白球 1 个红球共有C105010 C15＝ 50 种，所以恰巧1 个白球1 个红球的概率为P ＝ 105＝ 21，应选B ．2． (2018 ·合肥三模) 如图，给7 条线段的5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能够同色，现有4 种不同样的颜色可供选择，则不同样的涂色方法种数有( C )A． 24B． 48C． 96D． 120[ 剖析 ] 第一类：若，同样，先涂E 有4 种涂法，再涂，有 3种涂法，再涂BA D A D有 2 种涂法，C只有一种涂法，共有4×3× 2＝ 24 种，第二类，若 A，D不同样，先涂 E 有4种涂法，再涂 A 有3种涂法，再涂 D有3种涂法，当 B 和 D同样时， C有1种涂法，当 B 和 D不同样时， B， C只有一种涂法，共有4×3×3×(1＋ 1) ＝ 72 种，依照分类计数原理可得，共有24＋ 72＝ 96种，应选 C．二、填空题3．四个不同样的小球放入编号为1、 2、 3、 4 的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 __144__种 ( 用数字作答 ) ．[ 剖析 ]先从四个小球中取两个放在一同，有C24种不同样的取法，再把取出的两个小球与其他两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A34种不同样的放法，据分步计数原理，共有C24·A43＝144 种不同样的放法．4．一条街道上共有12 盏路灯，为节俭用电又不影响照明，决定每天夜晚十点熄灭其中的 4 盏，并且不能够熄灭相邻两盏也不能够熄灭两头两盏，则不同样熄灯方法有__35__种．[ 剖析 ]记熄灭的灯为0，亮灯为 1，则问题是 4 个 0 和 8 个 1 的一个排列，并且要求 0 不相邻，且不排在两头，故先将 1 排好，在 8 个 1 形成的 7 个空中，采纳 4 个插入 0，共有方法数 C47＝ 35 种．三、解答题5． (2018 ·遵义高二检测) 现有 5 名男司机， 4 名女司机，需选派 5 人运货到某地．(1)若是派 3 名男司机、 2 名女司机，共有多少种不同样的选派方法？(2)最罕有两名男司机，共有多少种不同样的选派方法？[剖析](1) 利用分步乘法计数原理得C35C24＝60种．(2) 利用分类加法与分步乘法计数原理C25C34＋C35C24＋ C45C14＋ C5C04＝ 121 种．Cxn＝ C2xn ，6．已知11，求x和n的．Cxn＋ 1＝3 Cxn－ 1[ 剖析 ] 由 Cxn＝ C2xn得x ＝ 2或x＋2x＝，x n即 x＝0或 n＝3x，然 x＝0 Cxn－1没心，1111把 n＝3x 代入Cxn＋1＝3Cxn－ 1得 Cx3x＋1＝3 Cx3x－ 1，即＋！1∴x＋ 1＝化 m！＋！＝11！－·－！＋！！311，解得 x＝5.∴n＝15．＋C能力拔高＋！＋！＋！1！＋2！＋⋯＋n！．[ 剖析 ]原式＝m！×(1＋C1m＋1＋C2m＋2＋⋯＋Cnm＋n)＝m！×(C m0＋1＋C1m＋1＋C2m＋2＋⋯＋Cmn＋m)＝m！×(C m1＋2＋C2m＋2＋⋯＋Cnm＋n)＝m！×(C m2＋3＋C3m＋3＋⋯＋Cnm＋n)＝⋯⋯＋ n＋！＝ m！×C mn＋n＋1＝＋！。