研究生高等代数复习题完整版

高等代数贵师大考研题库高等代数是数学专业研究生入学考试中的一个重要科目，它涵盖了线性代数、多项式代数、群论、环论和域论等基础数学理论。

以下是一份模拟的高等代数考研题库，供同学们复习和练习。

一、选择题1. 给定线性空间 \( V \) 上的线性变换 \( T \)，若 \( T \) 的特征多项式等于其最小多项式，则 \( T \) 被称为：A. 可对角化B. 幂零C. 循环D. 正规2. 在复数域 \( \mathbb{C} \) 上，多项式 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 以下哪个选项不是群的公理：A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 存在逆元二、填空题1. 若矩阵 \( A \) 可逆，则 \( \det(A) \neq ________ \)。

2. 线性空间 \( V \) 的维数定义为 \( V \) 的一个基的________。

3. 给定一个多项式 \( f(x) \)，若 \( f(x) \) 可以表示为 \( (x - a)^n \) 的形式，则称 \( f(x) \) 为________。

三、简答题1. 简述线性空间的定义及其性质。

2. 解释什么是特征值和特征向量，并给出一个具体的例子。

3. 描述群的拉格朗日定理，并说明其在群论中的重要性。

四、计算题1. 给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的行列式和逆矩阵。

2. 证明多项式 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上恰有两个实根。

3. 给定群 \( G \) 和其子群 \( H \)，证明 \( H \) 在 \( G \) 中的左陪集和右陪集是等价的。

五、论述题1. 论述环和域的区别，并给出具体的例子。

《高等代数》考研真题详解1．设Q是有理数域，则P＝{α＋βi|α，β∈Q}也是数域，其中．（U ）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】首先0，1∈P，故P非空；其次令a＝α1＋β1i，b＝α2＋β2i其中α1，α2，β1，β2为有理数，故a±b＝（α1＋β1i）±（α2＋β2i）＝（α1±α2）＋（β1±β2）i∈Pab＝（α1＋β1i）（α2＋β2i）＝（α1α2－β1β2）＋（α1β2＋α2β1）i∈P又令c＝α3＋β3i，d＝α4＋β4i，其中α3，α4，β3，β4为有理数且d≠0，即α4≠0，β4≠0，有综上所述的P为数域．2．设f（x）是数域P上的多项式，a∈P，如果a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）并且f（a）＝0，则a是f（x）的k＋3重根．（）[南京大学研]【答案】错查看答案【解析】反例是f（x）＝（x－a）k＋3＋（x－a）2，这里f（a）＝0，并且f ‴（x）＝（k＋3）（k＋2）（k＋1）（x－a）k满足a是f（x）的三阶导数f‴（x）的k重根（k≥1）．3．设f（x）＝x4＋4x－3，则f（x）在有理数域上不可约．（）[南京大学研]【答案】对查看答案【解析】令x＝y＋1，则f（y）＝y4＋4y3＋6y2＋8y＋2，故由艾森斯坦因判别法知，它在有理数域上不可约．二、计算题1．f（x）＝x3＋6x2＋3px＋8，试确定p的值，使f（x）有重根，并求其根．[清华大学研]解：f′（x）＝3（x2＋4x＋p）．且（f（x），f′（x））≠1，则（1）当p＝4时，有（f（x），f′（x））＝x2＋4x＋4所以x＋2是f（x）的三种因式，即f（x）（x＋2）3，这时f（x）的三个根为－2，－2，－2．（2）若p≠4，则继续辗转相除，即当p＝－5时，有（f（x），f′（x））＝x－1即x－1是f（x）的二重因式，再用（x－1）2除f（x）得商式x＋8．故f（x）＝x3＋bx2－15x＋8＝（x－1）2（x＋8）这时f（x）的三个根为1，1，－8．2．假设f1（x）与f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，且x4＋x2＋1整除f1（x3）＋x4f2（x3），试求f1（x）与f2（x）的最大公因式．［上海交通大学研］解：设6次单位根分别为由于x6－1＝（x2）3－1＝（x2－1）（x4＋x2＋1），所以ε1，ε2，ε4，ε5是x4＋x2＋1的4个根.由于ε13＝ε53＝－1，且x4＋x2＋1∣f1（x3）＋x4f2（x3），所以，分别将ε1，ε5代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得从而f1（－1）＝f2（－1）＝0即x＋1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．同理，将ε2，ε4代入f1（x3）＋x4f2（x3）可得f1（1）＝f2（1）＝0，即x －1是f1（x）与f2（x）的一个公因式．所以（x－1）（x＋1）是f1（x）与f2（x）的一个公因式．又因为f1（x），f2（x）为次数不超过3的首项系数为1的互异多项式，所以（f（x），g（x））＝x2－1名校考研真题第6章线性空间一、选择题1．下面哪一种变换是线性变换（）．[西北工业大学研]A．B．C．【答案】C查看答案【解析】不一定是线性变换，比如则也不是线性变换，比如给而不是唯一的．2．在n维向量空间取出两个向量组，它们的值（）．[西北工业大学研] A．必相等B．可能相等亦可能不相等C．不相等【答案】B查看答案【解析】比如在中选三个向量组(I)：0(Ⅱ)(Ⅲ)．若选（I）（II），秩秩（II），从而否定A，若选（Ⅱ）（Ⅲ），秩（Ⅲ）＝秩（Ⅱ），从而否定C，故选B．二、填空题1．若则V对于通常的加法和数乘，在复数域C上是______维的，而在实数域R上是______维的．[中国人民大学研]【答案】2；4．查看答案【解析】在复数域上令；则是线性无关的．则此即证可由线性表出．在实数域上，令若，其中，则此即在R上线性关．可由线性表出，所以在实数域R上，有三、分析计算题1．设V是复数域上n维线性空间，V1和V2各为V的r1维和r2维子空间，试求之维数的一切可能值．[南京大学研]解：取的一组基，再取的一组基则＝秩。

第一部分：数论
(一) 基础题
1.证明欧拉定理：
设n∈N，则φ(n)与n互质的正整数的数量之积等于n：
证：假设n=p1^k1*p2^k2*…*pn^kn，（p1，p2,…,pn 为不同的素数）
取任意m∈N，m<n，
m除以p1后余数r1满足0≤r1<p1
m除以p2后余数r2满足0≤r2<p2
……
m除以pn后余数rn满足0≤rn<pn
因此，m的余数组合方式有：(r1,r2,…rn)，其中r1,r2,…rn的取值范
围均为0,1,2,3,…,pn-1
由于m<n，故m和n互质，则m可以同n的不同素数分解系数
（k1,k2,…,kn）各不相同且k1≤r1,k2≤r2,……, kn≤rn
因此，以上m的余数组合方式有：(k1,k2,…kn)
另一方面，m∈Z，且m和n互质，则，任意一个r1,r2,…rn这样的余数组合方式都表示某个m∈N，m<n，m和n互质
则m的组合方式有：p1*p2*…*pn种
故有φ(n)=p1*p2*…*pn
令m= p1^k1*p2^k2*…*pn^kn，则m<n，m和n互质，故
φ(n)=p1*p2*…*pn=n
故欧拉定理成立。

2.证明：m和n互质，则最大公约数 d=1
证：设m和n互质，则，
有质数的分解式m=p1^k1*p2^k2*…*pn^kn，
有质数的分解式n=q1^j1*q2^j2*…*qm^jm
由于m和n互质，故它们的质因数不能相同，
即p1,p2,…,pn,q1,q2,…,qm均互不相同。

故最大公约数d=1
即证毕。

1.设 是数域P 上线性空间 V 的线性变换且 扌2扌，证明: (1) 的特征值为 1或0; (2)0 1(0)A （ ）| V ;（ 3）*扌"01 fllTUl £J 1 血引& 1 -4 ［D 亠 2」La V *1V 才(0)/(V).h 妙门)tb 师A 丫搦就匚由曆岭串入岂切勿门P) '：(«叫刀专壯丫]国弘0 \记出和 忙小加elV,曲此肋卜煤J-殖R H R L対&炭M A Wu 血M E 畑隔茫卜鯛皿W 伽咄 换片⑷二W 二2-如]£艸』.毎(L ；s 器对们*靱为¥^占宦函，戈中箱冋 刪內M •(tr) Sfe 込亂:'oi 绘W 叹E 砒护.如 MV A oi -A^+^IZ.貞b)+AL审a Vote A) fl 5ft 由 D I E 如心 阳p.嶽[小吊。

讹比加"十賊.2.已知 是n 维欧氏空间的正交变换，证明： 的不变子空间 W 的正交补 W 也是 的不变子空间. .呼:演M 肛坊涵凤y 詁色疑接 则站 如巒哪、 WS J 辰磯上飙询辰M 戈二Q. K 幕亍疋丹册匚沪.H 就M 丄 八厲艸)=0 “古忆 押期 卫时贱，朋4神刑. \ r 加/AG*)o 舟呻)二&<舜】"八'亠如 J-初丄匕M 七 D 1 Uy缭制严叫f%舟淀边提.6.设 A 为 n 阶 方阵，W X R "|A X 03.已知复系数矩阵 A 1 2 0 1 0 00 03 42 31 2 '0 1(1)求矩阵 A 的行列式因子、不变因子 和初等因子；(2)若当标准形.(15分) 如 [JH 心巧十5 O 0 _>-<. W X R n| (A E)X4廿M 病營竝杳/屋乩苗常歸•沖疋嘲驗I 「叫+1V1CR" 站卞E|巴火U 阶战)十叙总中 由A U-Ap =蘇-私={A _&Y =D 彌 vM-xe[6f . t [4-£Mp= f 尼A>y 刃知 A 啜E 呛 故gg 加"曲G W 古甌 A J 為骼讹 、•‘ fF?=^i+lAi.丈險皿fl 怜由密刖■触p ；由XE I 似 欲勺哎P 寺 -^-0 孕 g -略nWi斗M .、：E=lVi 费鵝，7.若设 W= f(x)|f(1) 0, f(x)R[x]n ,证明：W 是R[x]”的子空间，并求出 W 的一组基及维数.T 曲，⑴0£用「W 那艺I 仍k 卵)吗X1J 押+肿乜■\ *30+3⑷ e|V血甲他巩押老X 甲.吋g '；申』訓.故时善眈I 個繼邱^V^^weW,阳痂戒怒忑伽f+…十伽伽如由ftnm?紂口十+…+①+弘之.,\ J IMW 二 n 叫.8. 设V 是一个n 维欧氏空间，0证明A 为幂等矩阵，则 R W W .笹 tjOnLXT,』ty 对：。

高等代数第四版考研题库高等代数作为数学学科中的核心课程之一，其考研题库的构建对于学生掌握和深化理论知识至关重要。

以下是针对高等代数第四版教材的考研题库内容概要：一、线性代数基础1. 向量空间的定义及其性质2. 基和维数的概念3. 线性变换及其矩阵表示4. 特征值和特征向量5. 内积空间和正交性二、行列式1. 行列式的定义和性质2. 行列式的展开定理3. 克莱姆法则及其应用4. 行列式与线性变换的关系三、矩阵理论1. 矩阵的运算和性质2. 逆矩阵和伴随矩阵3. 矩阵的秩和零空间4. 矩阵分解方法（如LU分解、QR分解）四、线性方程组1. 线性方程组的解的存在性与唯一性2. 高斯消元法和高斯-约当消元法3. 线性方程组的几何解释五、特征值问题1. 特征值和特征向量的求解方法2. 特征多项式及其应用3. 矩阵的对角化问题六、二次型1. 二次型的定义和性质2. 正定二次型和半正定二次型3. 配方法和正交变换七、线性空间和线性变换1. 线性空间的公理化定义2. 线性变换的映射性质3. 线性变换的不变子空间八、欧几里得空间1. 欧几里得空间的定义和性质2. 正交投影和最小二乘法3. 傅里叶级数和傅里叶变换九、张量分析1. 张量的概念和性质2. 张量的运算规则3. 张量在物理和工程中的应用十、群论基础1. 群的定义和性质2. 子群和陪集3. 群的表示理论结语高等代数的考研题库不仅涵盖了基础理论，也包括了实际应用和高级概念。

通过系统地学习和练习这些题目，学生可以更好地准备研究生入学考试，并为未来的学术和职业生涯打下坚实的数学基础。

希望这份题库能够成为学生们学习高等代数的有力助手。

高等代数第三版考研题库一、线性代数部分1. 矩阵理论- 矩阵的运算：加法、乘法、转置、求逆等。

- 矩阵的秩：证明矩阵秩的性质，求解矩阵的秩。

- 线性方程组：解线性方程组，证明解的存在性与唯一性。

2. 向量空间- 向量空间的定义与性质。

- 基和维数：确定向量空间的基，计算维数。

- 线性变换：定义线性变换，计算线性变换的矩阵表示。

3. 特征值与特征向量- 特征值和特征向量的概念。

- 特征多项式：计算矩阵的特征多项式。

- 对角化：证明矩阵对角化的条件，求解对角化后的矩阵。

二、多项式代数部分1. 多项式的基本性质- 多项式的定义，次数，系数。

- 多项式的运算：加法、乘法、除法。

2. 多项式的根- 根的概念，实根与复根。

- 韦达定理：应用韦达定理求解多项式的系数与根的关系。

3. 多项式的因式分解- 因式分解的方法：配方法、公式法、分组法等。

- 多项式的最大公因式。

三、群论部分1. 群的定义与性质- 群的定义，单位元，逆元，封闭性，结合律。

2. 子群与陪集- 子群的定义，判定子群的方法。

- 陪集的概念，拉格朗日定理。

3. 群的同态与同构- 群同态的定义，同构群的概念。

四、环论部分1. 环的定义与性质- 环的定义，加法和乘法的运算规则。

2. 理想与商环- 理想的定义，主理想与零理想。

- 商环的概念，构造商环的方法。

3. 环的同态与同构- 环同态的定义，同构环的概念。

五、域论部分1. 域的定义与性质- 域的定义，域的加法和乘法运算。

2. 多项式在域上的根- 多项式在域上的分解，有限域与无限域。

3. 域的扩张- 域扩张的概念，代数扩张与超越扩张。

结束语本题库覆盖了高等代数的核心概念和理论，旨在帮助考生系统复习和深入理解高等代数的知识点，为考研做好充分准备。

希望考生能够通过练习这些题目，提高解题能力和数学思维。

请注意，这只是一个示例题库，实际的考研题库可能会根据具体的教材版本和考试大纲有所不同。