《线性代数》教学教案—05矩阵的特征值与特征向量

矩阵特征值及特征向量教学介绍在线性代数中，矩阵特征值和特征向量是非常重要的概念。

它们不仅在数学领域有广泛的应用，也在物理、工程、计算机科学等领域中发挥着重要作用。

本文将深入探讨特征值和特征向量的概念、性质以及计算方法。

一、特征值与特征向量的定义1.1 特征值的定义给定一个n阶矩阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x使得Ax = λx，那么λ称为矩阵A的特征值，x称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

1.2 特征向量的定义特征向量是与特征值相关联的非零向量，通过矩阵与特征向量的乘法可以得到特征值的倍数。

二、特征值与特征向量的计算2.1 计算特征值的方法计算矩阵的特征值可以通过求解特征方程来实现。

特征方程是一个关于特征值的方程，形式为|A-λI|=0，其中A是给定的矩阵，λ是特征值，I是单位矩阵。

步骤： 1. 把矩阵A减去λI，得到一个新的矩阵B。

2. 计算矩阵B的行列式，即|B|。

3. 解方程|B|=0，得到特征值λ的值。

4. 验证特征值的正确性，将得到的λ代入方程(A-λI)x=0，求解x的解。

2.2 计算特征向量的方法计算矩阵的特征向量可以通过将特征值代入方程(A-λI)x=0，并解出x的解。

步骤： 1. 将特征值λ代入方程(A-λI)x=0，得到一个线性方程组。

2. 解线性方程组，求解出x的解。

3. 验证特征向量的正确性，将得到的x代入方程(A-λI)x=0，验证等式是否成立。

三、特征值与特征向量的性质特征值和特征向量有许多重要的性质，下面介绍其中的一些。

3.1 特征值的性质•矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值。

•对于实矩阵，特征值可以是复数，但是它们总是成对出现，共轭复数。

•矩阵的特征值之和等于它的迹（主对角元素之和）。

•矩阵的特征值之积等于它的行列式。

3.2 特征向量的性质•特征向量与对应的特征值共线，即它们是线性相关的。

•特征向量可以通过标量乘法来缩放，缩放因子为特征值的值。

《线性代数》矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念。

在许多实际问题的分析和求解中，特征值和特征向量扮演着重要的角色。

本文将从定义、性质和应用三个方面来详细介绍矩阵的特征值与特征向量。

一、定义给定一个n阶方阵A，若存在非零向量x和标量λ，使得满足以下等式：Ax=λx则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。

特征向量是描述线性变换的方向，在变换过程中保持方向不变，特征值是对应于特征向量的缩放因子。

二、性质1.特征值与特征向量的存在性和唯一性对于n阶方阵A，它一定存在n个特征值，但不一定有n个线性无关的特征向量。

每个特征值对应的特征向量也不一定唯一2.特征值的性质（1）特征值的和等于方阵的迹，即λ1 + λ2 + ... + λn =tr(A)。

（2）特征值的积等于方阵的行列式，即λ1 * λ2 * ... * λn = det(A)。

3.特征向量的性质（1）对于同一个特征值λ，存在无穷多个线性无关的特征向量。

（2）特征向量的线性组合仍然是一个特征向量。

三、应用矩阵的特征值与特征向量在多个学科和领域中都有广泛的应用。

1.物理学在量子力学中，特征值与特征向量的概念被用来描述量子态和量子测量。

2.工程学在结构力学中，特征值与特征向量可以用来分析弹性体的振动频率和振动模态。

3.数据分析特征值与特征向量可以用于主成分分析（PCA），以降低数据的维度并提取最重要的特征。

4.图像处理特征值与特征向量可以用于图像压缩和图像恢复等领域。

5.机器学习在机器学习算法中，特征值与特征向量可以用于降维、分类和聚类等任务。

总结：矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，具有很多实际应用。

通过特征值与特征向量，我们可以分析矩阵的性质、求解特征方程、降低数据维度等。

理解和掌握矩阵的特征值与特征向量对于深入理解线性代数以及在实际问题中的应用都具有重要意义。

【关键字】学习第五章矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设是数域P上的n阶矩阵，若对于数域P中的数，存在数域P上的非零n维列向量X，使得则称为矩阵A的特征值，称X为矩阵A属于（或对应于）特征值的特征向量注意：1）是方阵；2）特征向量X 是非零列向量；3）方阵与特征值对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A的特征值与特征向量的步骤为：（1）计算n阶矩阵A的特征多项式｜E－A｜；（2）求出特征方程｜E－A｜＝０的全部根，它们就是矩阵A的全部特征值；（3）设1 ，2 ，… ，s 是A的全部互异特征值。

对于每一个i，解齐次线性方程组0，求出它的一个根底解系，该根底解系的向量就是A属于特征值i的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A属于特征值i的全体特征向量.3．特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X是矩阵A属于特征值的特征向量，则kX（）也是A属于的特征向量；（2）若是矩阵A属于特征值的特征向量，则它们的非零线性组合也是A属于的特征向量；（3）若A是可逆矩阵，是A的一个特征值，则是A—1的一个特征值，是A*的一个特征值；（4）设是n阶矩阵A的一个特征值，f（x）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0为一个多项式，则是f（A）的一个特征值。

性质2（1）（2）性质3 n阶矩阵A和它的转置矩阵有相同的特征值性质4 n阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A、B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得Ｂ＝P―1ＡP则称A与B相似。

记作A∽B. 并称P为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是等价关系，满足：1°反身性：A∽A.2°对称性：若A∽Ｂ，则Ｂ∽A.3°传递性：若A∽Ｂ，B∽Ｃ则A∽Ｃ.5．矩阵相似的性质：设A、B为n阶矩阵，若A∽B，则（1） ； （2） ；（3）A 、B 有相同的迹和特征多项式，相同的特征值；（4） A ，B 或者都可逆或者都不可逆. 当A ，B 都可逆时，∽；（5）设f （x ）= amxm + am-1xm-1 + … + a1x + a0 为一个多项式，则 f （A ）∽ f （B ） ； 6．n 阶矩阵A 相似对角化的条件（1）n 阶矩阵A 与对角矩阵Λ相似的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. （2）n 阶矩阵A 与对角阵相似的充要条件是A 的每个k 重特征值恰好对应有k 个线性无关的特征向量.注（1）与单位矩阵相似的 n 阶矩阵只有单位阵 E 本身，与数量矩阵 kE 相似的 n 阶方阵只有数量矩阵 kE 本身（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。

特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。

2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。

3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。

难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。

二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。

教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。

例 1：对于相关 x 轴的反射变换σ：x10x，从几何直观上可以发现，只有x 轴y01y和平行于 y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，反射变换σ只把形如k1 和0的向量（其中 k1， k2是任意常数），分别变成与自身共线的0k2向量。

可以发现，反射变换σ分别把向量k1 ，0变成k1 ，0。

特别0k20k2的，反射变换σ把向量11变成11，把向量20变成。

用矩形的形式可表示为00111 0 1 11 1 0 0 0 。

010 0，1 111x 1 0 x 例 2：对于伸缩变换 ρ：0 2，从几何直观上可以发现，只有 x 轴和平行于 yyy轴的直线在伸缩变换 ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，伸缩变换ρ只把形如k 1 和 0 的向量（其中 k 1 ， k 2 是任意常数）分别变成与自身共线的向量。

可以发k 2现，伸缩变换 ρ把向量k1，0 变成 k 1 ， 2 0 。

特别地，伸缩变换 ρ把向k 2 0 2k 2量 210 变成221 0 1 1变成 1，把向量 21 2 。

第五章 矩阵的特征值与特征向量第一讲 特征值与特征向量教 学 目 的：通过本节的学习，使学生理解特征值与特征向量及相似矩阵基本概念，掌握特征值与特征向量的求解方法及其主要性质教学重点与难点：特征值与特征向量的求解 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：一、基本概念定义1 设A 是n 阶方阵，若对于数λ，存在n 维非零向量ξ，使得A ξλξ= （1）成立，则称数λ为方阵A 的一个特征值，非零向量ξ称为A 的属于特征值λ的一个特征向量.说明：（1）式可以等价地写成： 0)(0=-ξλA E ， （2） 而（2）式存在非零列向量的充分必要条件是0||=-A E λ， （3）即0212222111211=---------nnn n nna a a a a a a a a λλλ. 定义2 设λ是一个未知量，矩阵A E -λ称为A 的特征矩阵，行列式||A E -λ称为矩阵A 的特征多项式，方程0||=-A E λ称为A 的特征方程，它的根称为A 的特征根，A 的特征根即为A 的特征值.说明：1、特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n 阶方阵A 在复数范围内有n 个特征值.2、 若ξ是A 的属于特征值λ的特征向量，则ξ的任何一个非零倍数(0)k k ξ≠也是A 的属于特征值λ的特征向量. 且可以推广到有限个的情形(1122s s k k k ξξξ++⋅⋅⋅+).3、特征向量不是被特征值所唯一决定. 相反，特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特征向量只能属于一个特征值.二、求解方法根据上述定义和讨论，即可得出n 阶方阵A 的特征值和特征向量的求法：1、计算A 的特征多项式||A E -λ，求出特征方程0||=-A E λ的全部根，即A 的全部特征值；2、对每个求出的特征值i λ，求齐次线性方程组()0i E A x λ-=的一组基础解系12,,,s ξξξ⋅⋅⋅，则 1122s s k k k ξξξ++⋅⋅⋅+12,(,,s k k k ⋅⋅⋅不全为)0是A 的属于特征值i λ的全部特征向量.例1：求矩阵3452A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的特征值和特征向量.[解] 特征多项式为：234514(7)(2)52E A λλλλλλλ---==--=-+--, 所以A 的特征值为127,2λλ==-.当17λ=时，由1273405720x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 解得12x x =，求得基础解系为 111ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以1ξ是A 的属于特征值17λ=的一个特征向量，而111(0)k k ξ≠是A 的属于特征值17λ=的全部特征向量.当22λ=-时，由1223405220x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1254x x =-，求得基础解系为 245ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.所以2ξ是A 的属于特征值22λ=-的一个特征向量，而222(0)k k ξ≠是A 的属于特征值22λ=-的全部特征向量.例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量.[解] A 的特征多项式为 2110430(2)(1)12E A λλλλλλ+--=-=----, 所以A 的特征值为1232,1λλλ===.当12λ=时，解方程(2)0E A x -=，由3101002410010100000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求得基础解系为：1(0,0,1)T ξ=.所以111(0)k k ξ≠是A 的属于特征值12λ=的全部特征向量.当231λλ==时，解方程()0E A x -=，由210101420012101000E A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，求得基础解系为:2(1,2,1)T ξ=--.所以222(0)k k ξ≠是A 的属于特征值231λλ==的全部特征向量.例3：求矩阵211020413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值与特征向量.三、主要性质性质1 n 阶矩阵A 与它的转置矩阵T A 的特征值相同.[证明] 因为()T T E A E A E A λλλ-=-=-,所以A 与T A 的特征多项式相同，从而它们的特征值相同.性质2 设n 阶矩阵)(ij a A =的特征值为12,,,n λλλ ，则有 (1)121122n nn a a a λλλ+++=+++ ； (2)12||n A λλλ= .推论 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的任一特征值不为零.性质3 设λ是n 阶矩阵A 的特征值，则2λ是2A 的特征值；当A 可逆时，λ1是1-A 的特征值.推论1 设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，则Aλ是*A 的特征值.推论2 设λ是A 的特征值，则mλ是mA 的特征值；()ϕλ是()A ϕ的特征值，其中()x ϕ是λ的多项式，()A ϕ是矩阵A 的多项式.例4：设3阶矩阵A 的特征值为1,1,2-，求*|32|A A E +-.定理1 设12,ξξ是方阵A 的属于两个不同特征值12,λλ的特征向量，则12,ξξ线性无关.定理2 设12,,,m ξξξ 是n 阶矩阵A 的属于互不相等的特征值12,,,m λλλ 的特征向量，则12,,,m ξξξ 线性无关.说明：属于矩阵不同特征值的特征向量是线性无关的. 另外，定理5.1.2还可以进一步推广为:定理3 设12,,,m λλλ 是n 阶矩阵A 的不同特征值，而12,,,i i i ik ξξξ 是A 的属于特征值(1,2,,)i i m λ= 的线性无关的特征向量，则向量组12111212122212,,,,,,,,,,,,,mk k m m mk ξξξξξξξξξ 也线性无关.例5：设12,λλ是方阵A 的两个不同的特征值，12,ξξ是A 的分别属于12,λλ的特征向量，证明12ξξ+不是A 的特征向量..四、相似矩阵定义3 设,A B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P ，使得：1P AP B -=成立，则称A 与B 相似. 对A 进行运算1P AP -称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵.例如 矩阵3452A ⎛⎫= ⎪⎝⎭与矩阵7002B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭相似，因为存在可逆矩阵1415P ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，使得154341470991152150299P AP B -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.说明：1、若A 与B 相似，则B 也与A 相似.所以我们常说,A B 相似，也就是指对,A B 中的任一个矩阵总可以找到可逆矩阵P ，通过相似变换化为另一个矩阵.2、相似矩阵具有以下基本性质： （1）相似矩阵的转置矩阵也相似； （2）相似矩阵的幂也相似； （3）相似矩阵的多项式也相似； （4）相似矩阵的秩相等； （5）相似矩阵的行列式相等；（6）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似.（7）若n 阶矩阵,A B 相似，则A 与B 的特征多项式相同，从而A 与B 的特征值相同. （8）若n 阶矩阵A 与对角矩阵12n λλλ⎛⎫ ⎪⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭相似，则12,,,n λλλ 即是A 的n 个特征值.3、若矩阵A 与对角矩阵Λ相似，即有可逆矩阵P ，使1P AP -=Λ，或1A P P -=Λ，则 11,()()k k A P P A P P ϕϕ--=Λ=Λ，其中()A ϕ是A 的多项式. 而对于对角矩阵Λ，有1122()(),()()kkkk n n ϕλλϕλλϕϕλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪Λ=Λ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此可方便地计算kA 及A 的多项式()A ϕ.4、哈密尔顿－凯莱定理设()f λ是n 阶矩阵A 的特征多项式，若A 与对角矩阵相似，则()f A O =. 事实上，若A 与对角矩阵相似，即有可逆矩阵P ，使121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 其中i λ为A 的特征值，有()0(1,2,,)i f i n λ== .由1A P P -=Λ得12111()()()()()n f f f A Pf P P P POP O f λλλ---⎛⎫ ⎪⎪=Λ=== ⎪ ⎪⎝⎭. 哈密尔顿－凯莱（Hamilton-Cayley ）定理：设A 是n 阶矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则11122()()(1)n n n nn f A A a a a A A E O -=-+++++-= .第二讲 矩阵相似对角化的条件教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解矩阵相似对角化的条件，并掌握矩阵对角化的过程.教学重点与难点：矩阵相似对角化的条件 教学计划时数：2课时 教 学 过 程：由于相似的矩阵的特征值相同，且对角矩阵的特征值为其主对角线上的元素。

特征值与特征向量【教学目标】1．亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。

2．掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。

3．能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。

难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。

【教学过程】一、新课引入教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不变？是否存在向量，使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种“不变性”？为了解决我们的问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。

二、讲授新课教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？学生：伸缩变换，反射变换等等。

教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。

例1：对于相关x 轴的反射变换σ：，从几何直观上可以发现，只有x 1001x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴和平行于y 轴的直线在反射变换σ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

因此，反射变换σ只把形如和的向量（其中，是任意常数），分别变成与自身共10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭1k 2k 线的向量。

可以发现，反射变换σ分别把向量，变成，。

10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫= ⎪⎝⎭10k α⎛⎫= ⎪⎝⎭20k β⎛⎫-= ⎪-⎝⎭特别的，反射变换σ把向量变成，把向量变成。

用矩形的形式可110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭110ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭201ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭01⎛⎫⎪-⎝⎭表示为，。

101110100⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭100010111⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭例2：对于伸缩变换ρ：，从几何直观上可以发现，只有x 轴和平行于y 1002x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭轴的直线在伸缩变换ρ的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。

“矩阵的特征值与特征向量”的教学实录与教学后记教学实录：时间：2024年10月25日地点：XX中学授课内容：矩阵的特征值与特征向量对象：高中数学教师培训班学员教学过程：1.引入：今天我们要讲解的是矩阵的特征值与特征向量，这是高中数学中一个非常重要的概念。

特征值与特征向量是矩阵在变换中的一些特殊性质，对于理解矩阵变换以及解决相关问题具有重要意义。

2.讲解特征值与特征向量的定义：特征值是矩阵对应的线性变换中的一个标量，而特征向量是与特征值对应的非零向量。

特征值与特征向量满足线性变换A对特征向量的作用仅仅是拉伸或缩小，并且对特征向量的方向没有改变。

3.讨论特征值与特征向量的性质：-特征值可以为零；-矩阵的特征值个数等于矩阵的秩；-特征向量所在的空间称为特征空间；-相似矩阵具有相同的特征值。

4.讲解如何求解特征值与特征向量：-求解特征值需要解特征方程，A-λE，=0；-求解特征向量需要解线性方程组(A-λE)x=0；-讲解以一个具体的实例进行演示。

5.应用实例解决问题：-结合实际问题，讨论如何利用特征值与特征向量的概念解决矩阵变换问题。

教学后记：本次教学培训中，参与学员对于矩阵的特征值与特征向量有了更深入的了解，掌握了求解特征值与特征向量的方法并能灵活运用于实际问题中。

通过讲解实例、讨论性质、提出问题等教学方法，加深了学员对于这一概念的认识，并能更好地应用于教学实践中。

在教学过程中，学员积极参与讨论，认真听讲，在实例演示环节也能积极尝试解题，对于矩阵的特征值与特征向量有了更深刻的理解。

同时，在教学中也发现了一些问题，比如针对不同层次的学员可能需要调整教学内容的深度与难度；在实例演示环节可以添加更多的案例以提高学员的应用能力等。

总的来说，本次教学培训为学员提供了一个系统全面的学习机会，培养了他们对于矩阵特征值与特征向量的兴趣与理解，为他们将来的教学工作打下了坚实的基础。

希望学员们能够继续加强对于这一知识点的学习，并能够在今后的教学实践中灵活运用。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０线性代数中特征值与特征向量的教学设计线性代数中特征值与特征向量的教学设计Һ张林丽１㊀原乃冬２㊀张晶晶１㊀白忠玉２㊀（１．海南大学应用科技学院，海南㊀儋州㊀５７１７３７；２．海口经济学院网络学院，海南㊀海口㊀５７１１２７）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的特征值与特征向量是线性代数中两个重要的概念．本文通过人口迁移问题的引入，采用问题驱动法和启发式教学构造出特征值与特征向量的概念，勉励学生努力践行社会主义核心价值观，培养学生严谨的科学态度和创造能力；利用研究式和启发式的教学方法推导特征值与特征向量的求法，引导学生树立崇高的学习志向，建立正确的人生观，培养学生提出问题㊁分析问题和解决问题的能力；采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，通过特征值与特征向量在人口迁移问题中的应用，培养学生应用知识解决实际问题的能力．本文将课程思政元素与线性代数相结合，在教学实践中落实立德树人的任务．ʌ关键词ɔ特征值；特征向量；课程思政元素ʌ基金项目ɔ海南大学应用科技学院教育教学改革研究项目（ＨＤＹＫＪＧ２０２００１，ＨＤＹＫＪＧ２０２００５），海南大学教育教学改革研究项目（ｈｄｊｙ２０７４）本文以线性代数中 矩阵的特征值与特征向量 这一节教学内容为例，从学情分析㊁教学目标㊁教学重难点和教学过程这四个方面设计教学模型，在教学实践中落实立德树人的任务．一㊁学情分析线性代数是高校理工类㊁经济管理类专业必学的一门公共课，它为学生今后的专业课学习提供必需的数学知识，同时培养学生的逻辑推理能力㊁抽象思维能力㊁空间想象能力以及用所学知识分析㊁解决实际问题的能力．方阵的特征值和特征向量是线性代数中一个重要的概念，它在方阵的对角化㊁微分方程组的求解和工程技术中的振动等问题中都有着重要的应用．本节课授课对象为大二年级理工类㊁经济管理类学生，他们已经学习了高等数学的相关知识．他们的优势是年轻㊁专注㊁有梦想，动手操作能力强，劣势是抽象思维能力㊁空间想象能力不足，数学应用能力弱，尤其对纯数学概念的学习缺乏兴趣．二㊁教学目标知识目标：让学生理解矩阵的特征值与特征向量的概念和性质；掌握方阵的特征值与特征向量的求法．能力目标：在特征值和特征向量的求法教学中，使学生的计算能力得到进一步提高．情感目标：在教学的过程中渗透变形法的数学思想，提高学生的应用意识以及 立体 的学习习惯．三㊁教学重难点教学重点：特征值与特征向量的概念㊁求法和应用．教学难点：特征值与特征向量的求法．四㊁教学过程（一）复习预备知识１．计算：Ａｘ１＝１１０２æèçöø÷１１æèçöø÷＝２２æèçöø÷＝２１１æèçöø÷＝２ｘ１．２．计算行列式：λ－３１２－２λ２－２１λ＋１＝λ（λ－１）２．３．求方程组－３ｘ１＋ｘ２＋２ｘ３＝０，－２ｘ１＋２ｘ３＝０，－２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＝０ìîíïïï的基础解系？基础解系：ξ１＝１１１æèççöø÷÷；全部非零解：ｋ１ξ１（ｋ１ʂ０）．教学设计：课前复习的作业是本节课要用到的知识，目的是减少课内简单计算所用的时间，充分突出重点；同时也是本着 笨鸟先飞 的原则，使计算能力较差的学生提前练习，达到复习的目的，保障课堂教学任务的完成；通过计算和观察增加对特征值和特征向量的感性认识，达到分散难点的目的．（二）课题引入引例（人口迁移模型）㊀假设一个省的总人口是固定的，人口的分布因居民在城市和农村之间迁徙而变化．假设每年有５％的城市人口迁移到农村（９５％仍留在城市），有１２％的农村人口迁移到城市（８８％仍留在农村），记ｒｉ，ｓｉ分别表示第ｉ年的城市与农村人口数，则ｒｉ＋１＝０．９５ｒｉ＋０．１２ｓｉ，ｓｉ＋１＝０．０５ｒｉ＋０．８８ｓｉ，{将该方程组写成矩阵方程的形式：ｘｉ＋１＝Ａｘｉ，其中迁移矩阵Ａ＝０．９５０．１２０．０５０．８８æèçöø÷，ｘｉ＝ｒｉｓｉæèçöø÷．设海南省２０１０年的人口分布为ｘ０＝５０００００７８００００æèçöø÷，计算海南省２０３０年的人口分布．解㊀ｘ２０＝Ａ２０ｘ０．难点：Ａ２０难计算．思想：Ａ２０转化ңＤ２０（Ｄ为对角矩阵）．教学设计：采用问题驱动法，由人口迁移问题，设想：（１）将迁移矩阵转化为对角矩阵？这个方法的实施感觉很渺茫；（２）能否将迁移矩阵线性化呢？继续寻求解决问题的思路，培养学生分析问题和解决问题的能力．在作业题第（１）题中：ＡＸ＝２Ｘ，左边是矩阵相乘的非线性运算，右边是数乘矩阵的线性运算，它启发我们可以将非线性运算简化成线性运算，由数２乘向量Ｘ等于矩阵Ａ乘向量Ｘ，也就是说，数２具备矩阵Ａ的特征，我们就把数２称为矩阵Ａ的特. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １０征值，非零向量Ｘ称为矩阵Ａ的属于特征值２的特征向量．从直观的例子出发，让学生理解了特征值和特征向量的概念．再从２阶推广到ｎ阶，引导学生构造出特征值和特征向量的一般概念．（三）特征值与特征向量的概念定义㊀设Ａ是ｎ阶方阵，如果数λ和ｎ维非零向量Ｘ，使ＡＸ＝λＸ成立，则称数λ为方阵Ａ的特征值，非零向量Ｘ称为Ａ的对应于特征值λ的特征向量（或称为Ａ的属于特征值λ的特征向量）．说明：（１）Ａ是方阵；（２）特征向量是非零向量；（３）特征向量与特征值是对应关系．教学设计：采用启发式教学，引导学生构建特征值与特征向量的概念，达到分散难点的目的，也培养了学生的创造力．通过三点补充说明，培养学生严谨的科学态度．特征值和特征向量在振动㊁经济学等领域有着重要作用．例如，用乐器演奏音乐时，需要对乐器进行调音，使得各种乐器的频率相匹配，才能演奏出动听和谐的音乐，这里的频率就是特征值．和谐的东西是美的，和谐的社会是稳定的，我们应勉励学生努力践行社会主义核心价值观，共同维护当今来之不易的和谐文明社会，提醒学生要审慎地看待自己与身边人的关系，与社会的关系，牢牢树立和谐的观念，促进学生全面和谐的发展．（四）特征值与特征向量的求法有了特征值和特征向量的概念之后，学生会产生疑问：（１）方阵Ａ的特征值是否唯一？（２）属于特征值λ的特征向量是否唯一？（３）如果不唯一，如何求方阵Ａ的所有特征值和特征向量？下面，我们来回答这些问题．由定义可知：ＡＸ＝λＸ⇔λＸ－ＡＸ＝０⇔λＥ－Ａ()Ｘ＝０有非零解⇔λＥ－Ａ＝０．按照上面的分析，我们得出求特征值和特征向量的思路．（１）求特征值：求解特征方程λＥ－Ａ＝０的根；ｎ阶方阵Ａ在复数范围内有ｎ个特征值．（２）求λｉ的特征向量：齐次线性方程组λｉＥ－Ａ()Ｘ＝０的每个非零解都是方阵Ａ的属于λｉ的特征向量；它的全部非零解即为方阵Ａ的属于特征值λｉ的全部特征向量．例１㊀求Ａ＝１１０２æèçöø÷的特征值和特征向量．对比我们求得的方阵Ａ的属于特征值λ２＝２的特征向量ξ２＝１１æèçöø÷和作业题第（１）题中找到的特征向量ｘ１＝１１æèçöø÷，可以验证我们的求法正确．由例１可以引导学生给出求ｎ阶方阵Ａ的特征值和特征向量的步骤：（１）计算特征多项式λＥ－Ａ，求特征方程λＥ－Ａ＝０的根，即为Ａ的全部特征值；（２）对每个不同特征值λｉ，求齐次线性方程组λｉＥ－Ａ()Ｘ＝０的基础解系ξ１，ξ２， ，ξｎ－ｒ（ｒ＝ｒ（λｉＥ－Ａ）），则ｋ１ξ１＋ｋ２ξ２＋ ＋ｋｎ－ｒξｎ－ｒ（ｋ１， ，ｋｎ－ｒ不全为０），即是方阵Ａ的属于特征值λｉ的全部特征向量．例２㊀求矩阵Ａ＝３－１－２２０－２２－１－１æèççöø÷÷的特征值和特征向量．教学设计：采用研究式和启发式教学法，引导学生给出求ｎ阶方阵Ａ的特征值和特征向量的步骤．求特征值的关键是计算行列式，而行列式的计算我们在第一章学过．求特征向量的关键是求齐次方程组的基础解系，而基础解系的求解我们在第三章学过，从而达到用旧知识解决新问题的目的，分散本节课的难点．例２中行列式的计算可利用作业第二题的结果，简化课堂黑板板书运算过程．由λＸ－ＡＸ＝０⇔（λＥ－Ａ）Ｘ＝０，可以看到单位矩阵Ｅ在矩阵运算中起着雷锋 的作用，可引导学生树立正确的人生观，我们要做单位矩阵式的人，低调做人，认真做事，做一个有思想有抱负的人，在祖国和人民需要的时候做出应有的贡献．（五）应用回归起点，解决开始提出的问题，让学生完整体会科学研究中提出问题㊁分析问题和解决问题的全过程．例３㊀（人口迁移模型）已知Ａ＝０．９５０．１２０．０５０．８８æèçöø÷，ｘ０＝５０００００７８００００æèçöø÷，求ｘ２０＝Ａ２０ｘ０．解㊀矩阵Ａ的特征值为λ１＝１，λ２＝０．８３，其对应的特征向量分别是ｐ１＝２．４１æèçöø÷，ｐ２＝１－１æèçöø÷，令ｐ＝（ｐ１，ｐ２）＝２．４１１－１æèçöø÷，Ｄ＝１０００．８３æèçöø÷，则Ａ＝ＰＤＰ－１，Ａ２０＝ＰＤＰ－１()ＰＤＰ－１() ＰＤＰ－１()＝ＰＤ２０Ｐ－１，ʑｘ２０＝Ａ２０ｘ０＝ＰＤＰ－１ｘ０ʈ８９３８１５３８６１８５æèçöø÷，即２０３０年海南省人口分部情况为：城市人口为８９３８１５人，农村人口为３８６１８５人．教师提问：随着时间的流逝，预测海南省人口分布是否会趋于稳定？教学设计：采用启发式教学，将数学建模的思想渗透到教学之中，继续深化知识，研究解的稳定性．再次提到稳定的社会也是和谐的社会，勉励学生努力践行社会主义核心价值观．（六）小结特征值可以取代特征向量，让我们的世界变得简单；特征向量并不因此产生 嫉恨 ，用它包容和博大的胸怀，协同特征值改变了世界，数学的美体现了人性的真善美．其实，它们的魅力不仅如此，在后面 相似矩阵 和 对角矩阵 中它们联手作战，将ｎ阶方阵推向一个又一个高潮．如果你对它们感兴趣，就努力从特征值和特征向量做起吧，从做那个对了的特征值开始，去储藏更大的能量，为对了的事业做出自己的贡献．ʌ参考文献ɔ［１］崇金凤，卓泽朋．方阵的特征值和特征向量［Ｊ］．洛阳师范学院学报，２０１５，３４（１１）：２４－２６．［２］刘素兵，曲娜，曹大志．关于特征值与特征向量教学的探讨［Ｊ］．高师理科学刊，２０１７，３７（１０）：６２－６５．［３］同济大学数学系．工程数学：线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．. All Rights Reserved.。

高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量本文将介绍高中数学备课教案线性代数中的特征值与特征向量，包括定义、求解方法和相关应用。

一、特征值与特征向量的定义在矩阵运算中，特征值与特征向量是非常重要的概念，下面将对其进行详细定义。

设$A$为$n$阶矩阵，如果存在数$\lambda$和$n$维非零向量$\boldsymbol{x}$，使得$A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$\boldsymbol{x}$为矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。

二、特征值与特征向量的求解方法在实际应用中，特征值与特征向量的求解十分重要，下面将分别介绍求解的方法。

1. 求解特征值设$\boldsymbol{x}$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，根据定义可得：$$A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$$将两边同乘$\boldsymbol{x}^T$，即：$$\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}$$由于$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，所以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} \neq 0$，因此可以将上式两边同时除以$\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x}$，即：$$\frac{\boldsymbol{x}^T A\boldsymbol{x}} {\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{x}} = \lambda$$上式右侧的$\lambda$即为对应的特征值，左侧的式子可以通过变形，变为关于$\lambda$的一元高次方程，进一步求解。

2. 求解特征向量在已知$A$的特征值$\lambda$的情况下，要求对应的特征向量$\boldsymbol{x}$，也是十分关键的一步。

《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计所属学科及专业：数学学科各专业所属课程：《高等代数》适用对象：本专科院校数学各专业学生一、教学背景首先，本节课的主讲内容“矩阵特征值与特征向量的定义与性质”是矩阵的运算和性质的简单应用，它是更好地理解线性变换的特征值与特征向量概念的前提和基础，是理解矩阵和线性变换的特征值和特征向量计算原理的基石，也为进一步学习和理解实二次型化标准型提供了一定的理论支持。

其次，通过之前线性变换和矩阵之间关系的学习，学生已感受到了矩阵的重要地位和作用，这为本节课的学习做了铺垫。

另外，矩阵的加法、数乘和乘法等运算及其性质的掌握为本节课的展开提供了理论支持。

再次，现今的大学数学教育，大部分学生的学习仍是被动学习，以学习知识为目的，不注重数学思想方法的领会，脱离了学习的最终目的和宗旨。

作为大学数学的授课教师，尤其是基础学科教师，应该尽其所能向学生展示数学知识的形成和发展过程，达到教育和学习的真正目的。

二、教学目标及教学重难点根据所讲内容在教材中的地位和作用，结合学生的认知水平，设定下列教学目标。

（一）知识目标1、通过总结、归纳和剖析，深刻理解矩阵特征值和特征向量的概念；2、通过激发学生的好奇心和求知欲，熟悉并掌握矩阵特征值和特征向量的相关性质。

（二）能力目标1、通过基本概念的学习，提高仔细观察和深入思考的能力；2、通过性质的学习过程，培养学生自己提出问题、分析问题和解决问题的能力，增加学习动力和热情。

（三）情感目标1、通过对概念的剖析，培养学生一丝不苟的学习态度和严谨求实的数学素养，最终形成老老实实做人，踏踏实实做事的工作学习作风；2、通过性质的学习，让学生感受从不同角度观察和认识事物，培养其多角度分析、解决实际问题处世技能。

根据教学目标和学生特点，将特征值与特征向量的性质作为本节课的教学重点和教学难点。

三、教学方法针对要讲解的两大知识点（特征值和特征向量的概念和性质），结合人类认识事物的规律，采取以问带学，边学边问的启发、探索式授课。

高三数学教案2023最新：线性代数中的矩阵运算及其特征值特征向量随着科技的跨越发展，线性代数作为一门重要的数学学科，不断地应用于各个领域中，如工程、科学、经济和社会学等。

那么在高三数学教案中，线性代数中的矩阵运算及其特征值特征向量的内容，又有哪些重要的知识及应用？本文将为您做详细的介绍。

一、矩阵的基本运算矩阵在线性代数中有广泛的应用，它描述的是一种线性变换，它是由行和列构成的矩形数组，同时也是我们学习线性代数的基础。

在矩阵的基本运算中，包括了加、减、数乘、乘法等。

（1）加减法假设有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即都为mxn，则可以进行加减法运算，其形式如下：A+B = [a11+b11, a12+b12, …, a1n+b1n;a21+b21, a22+b22, …, a2n+b2n;…am1+bm1, am2+bm2, …, amn+bn]A-B = [a11-b11, a12-b12, …, a1n-b1n;a21-b21, a22-b22, …, a2n-b2n;…am1-bm1, am2-bm2, …, amn-bn]（2）数乘对于一个数k，又称为标量，我们可以将其与矩阵中的所有元素相乘，其形式如下：kA = [ka11, ka12, …, ka1n;ka21, ka22, …, ka2n;…kam, kam2, …, kan]（3）矩阵乘法在矩阵乘法中，我们需要注意的是，两个矩阵的维度需要满足一定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

在具体操作中，我们可以将第一个矩阵中的每一行分别与第二个矩阵中的每一列进行相乘，然后再将它们相加即可得到新的矩阵。

其形式如下：A xB = [a11b11+a12b21+…+a1nb1n, a11b21+a12b22+…+a1nb2n, …,a11bm+a12bm2+…+a1nbm;a21b11+a22b21+…+a2nb1n, a21b21+a22b22+…+a2nb2n, …,a21bm+a22bm2+…+a2nbm;…am1b11+am2b21+…+amnb1n, am1b21+am2b22+…+amnb2n, …,am1bm+am2bm2+…+amnbm]二、特征值和特征向量（1）特征向量在线性代数中，特征向量表示一个矩阵在某个变换下不发生变化的向量，即线性变换后，该向量只发生标量倍数的变化。

第五章特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1)则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n n n a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T)(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,, 1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==n i i A 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵.相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化. 定理5.3.2实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.二、教学内容及学时分配：第一节线性变换的特征值和特征向量 2学时第二节特征值和特征向量的性质 2学时第三节相 似 矩 阵 2学时三、教学内容的重点及难点：1、重点：特征根及特征向量的求法2、难点：什么时候可以将矩阵对角化四、教学内容的深化和拓宽：大部分矩阵不能对角化,那么什么时候可以对角化,对角化在实际中的例子.五、思考题与习题1 (3)(4)(5) 3警 4 6 8 9 10 11 13 14六、教学方式（手段）本章主要采用讲授新课的方式。

线性代数中特征值与特征向量的教学设计《线性代数中特征值与特征向量的教学设计》一、线性代数中特征值与特征向量的概念特征值（eigenvalue），即特征根或者特征数，是指一个矩阵的线性变换下的某个特殊的复数，用denotationlambda表示，它满足矩阵A与列向量x的某种关系：A*x=lambda*x。

特征向量（eigenvector）是一个实向量，表达线性变换中关于A的任意倍数x，它满足A*x=lambda*x，其中lambda是矩阵A的某个特征值。

二、特征值与特征向量的实践应用特征值和特征向量非常实用，能被广泛应用在计算机科学，图论，生物学，信号处理，数据挖掘，模式识别，机器学习，机械工程，系统分析和网络优化等研究领域中。

特征值和特征向量 often used in principal components analysis (PCA)研究来确定矩阵中最重要的特征，在多维数据分析中得到广泛的应用。

另外，有些科学研究和实际应用中，特征值也可以用来判断系统的稳定性。

三、特征值与特征向量的教学设计（一）理论知识篇首先，给学生介绍线性代数中的特征值和特征向量的概念，包括它的定义，限制条件和属性。

然后，为了让学生更好地理解这两个概念，介绍几何意义和计算过程，以及更深入的概念，如矩阵特征值分解，特征值与特征向量之间的有限关系，特征向量的归一化，叉乘定理等内容。

（二）实践演练篇学习理论知识后，学生可以用一些练习题和习题熟悉这些内容，并用一些实际案例进行实践练习。

学生可以自己实现求特征值或特征向量的算法，并探讨算法的时空复杂度，或者学生可以编程求解一些实际的问题，如矩阵最大特征值，最大特征向量等。

（三）应用实践篇学生可以对某些给定的矩阵计算特征值和特征向量，并对矩阵进行分析。

另外，学生要学习如何将特征值和特征向量应用在实际问题中，如运动学，图论和通信等领域，以及如何重新组合它们来解决实际问题。