导数定义

函数导数的定义
函数导数的定义（Derivative），也叫导函数值。

又名，是中的重要
基础概念。

当函数y=f（x）的x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数
输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的a如果存在，a即为在x0处的函数导数的定义，记作f'（x0）或df（x0）/dx。

函数导数的定义是函数的局部性质。

一个函数在某一点的函数导数的
定义描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都
是实数的话，函数在某一点的函数导数的定义就是该函数所代表的曲线在
这一点上的。

函数导数的定义的本质是通过极限的概念对函数进行局部的
线性逼近。

例如在中，物体的对于时间的函数导数的定义就是物体的。

不是所有的函数都有函数导数的定义，一个函数也不一定在所有的点
上都有函数导数的定义。

若某函数在某一点函数导数的定义存在，则称其
在这一点，否则称为不可导。

然而，可导的函数一定；不连续的函数一定
不可导。

说明了求原函数与积分是等价的。

求导和积分是一对互逆的操作，它
们都是微积分学中最为基础的概念。

导数的三种定义形式
导数的三种定义形式包括：
1.导数（函数的变化率）定义为函数在某一点处的瞬时变化率，即函数在该
点的切线斜率。

这个定义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。

2.导数定义为函数对于自变量的导数，即函数在某一点处的变化率。

这个定
义可以通过求函数图像上某一点处的切线斜率来直观理解。

3.导数定义为函数的极限，即当自变量趋近于某一点时，函数的变化率趋近
于一个极限值。

这个定义涉及到极限的概念，需要一定的数学基础才能理解。

这三种定义形式实际上是等价的，只是从不同的角度来描述导数的性质。

在实际应用中，可以根据需要选择不同的定义形式来解决问题。

高等数学导数的定义
导数（Derivative），也叫导函数值。

又名微商，是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

导数的定义与运算1.导数的定义: 函数()y f x =在0x 处的瞬时变化率0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00. 如果当Δx →0时，xy∆∆有极限，我们就说函数y =f （x ）在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作0()f x '或0x x y ='即 0()f x '=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00.（2）函数在区间内可导: 如果函数f （x ）在开区间（a ,b ）内每一点都可导，就说 f （x ）在开区间（a ,b ）内可导。

这时对于开区间（a ,b ）内每一个确定的值x 0,都对应着一个确定的导数0()f x ',这样就在开区间（a ,b ）内构成一个新的函数，这一新函数叫做f （x ）在开区间（a ,b ）内的导函数，记作()f x ',即()f x '=0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.（3）用定义求函数的导数的步骤：a.求函数的变化量Δy ；b.求平均变化率xy ∆∆.c.取极限，得导数f '（x 0）=0lim →∆x x y ∆∆.2.几种基本初等函数的导数⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x c o s )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸x xx 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹221(cot )'csc sin x x x -==-；⑺x x e e =)'(； ⑻a a a xx ln )'(=；⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．3.导数的四则运算法则：''')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f += )()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=4.复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数之间的关系是x u x y y u '''=，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。

导数的定义和求导规则一、导数的定义1.1 极限的概念：当自变量x趋近于某一数值a时，函数f(x)趋近于某一数值L，即称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作：lim (x→a) f(x) = L1.2 导数的定义：函数f(x)在点x=a处的导数，记作f’(a)或df/dx|_{x=a}，表示函数在某一点的瞬时变化率。

定义如下：二、求导规则2.1 常数倍法则：如果u(x)是可导函数，c是一个常数，则cu(x)也是可导函数，且(cu(x))’ = c*u’(x)。

2.2 幂函数求导法则：如果u(x) = x^n，其中n为常数，则u’(x) = n*x^(n-1)。

2.3 乘积法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x)v(x))’ = u’(x)v(x) +u(x)v’(x)。

2.4 商法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，且v(x)≠0，则(u(x)/v(x))’ =(u’(x)v(x) - u(x)v’(x))/(v(x))^2。

2.5 和差法则：如果u(x)和v(x)都是可导函数，则(u(x) + v(x))’ = u’(x) + v’(x)，(u(x) - v(x))’ = u’(x) - v’(x)。

2.6 链式法则：如果y = f(u)，u = g(x)，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (dy/du) * (du/dx)。

2.7 复合函数求导法则：如果y = f(g(x))，则y关于x的导数可以表示为dy/dx = (df/dg) * (dg/dx)。

2.8 高阶导数：如果f’(x)是f(x)的一阶导数，则f’‘(x)是f’(x)的一阶导数，以此类推。

2.9 隐函数求导法则：如果方程F(x,y) = 0表示隐函数，则y关于x的导数可以表示为(dy/dx) = -F_x / F_y，其中F_x和F_y分别是F(x,y)对x和y的偏导数。

三、导数的应用3.1 函数的单调性：如果f’(x) > 0，则f(x)在区间内单调递增；如果f’(x) < 0，则f(x)在区间内单调递减。

导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。

在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。

可导的函数一定连续。

不连续的函数一定不可导。

导数也叫导函数值。

又名微商，是微积分中的重要基础概念。

当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f（x0）或df（x0）/dx。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。

如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

导数的几何意义：函数y=f(x) 在x=x0处的导数f′(x0)，表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。