人教版九年级数学 《圆 》中考压轴题专题练习【答案】

专题24.5 圆（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（ ）A．50°B．60°C．80°D．100°【思路点拨】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解题过程】解：在圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ）A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）【思路点拨】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可。

【解题过程】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（）A．4B．2C D．1【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】4．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）A．B．cm C．或D．或【思路点拨】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解题过程】解：连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，5．（2022·江苏·九年级）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（）A B．C．1D．2【思路点拨】【解题过程】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1的值是（）S2A．5π2B．3πC．5πD．11π2【思路点拨】【解题过程】7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（）A B C D．【思路点拨】如图，作过A、B、F作⊙O，AFB为点F的轨迹，然后计算出AFB的长度即可．【解题过程】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB∵等边ΔABC∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°∵BD=CE∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O AB=4，则BC的长是（ ）A．B．C D【思路点拨】【解题过程】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB ＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（）A B C D【思路点拨】【解题过程】10．（2022·江苏无锡·九年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝12；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【思路点拨】【解题过程】解：设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，满足奇异三角形的定义，∴等边三角形一定是奇异三角形，故①正确；在RtΔABC中，a2+b2=c2，∵c>b>a>0，∴2c2>a2+b2，2a2<b2+c2，若△ABC是奇异三角形，一定有2b2=a2+c2，∴2b2=a2+(a2+b2)，∴b2=2a2，得b=．∵c2=b2+a2=3a2，∴c，∴a：b：c=1故②错误；在RtΔABC中，a2+b2=c2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．∵D是半圆ADB的中点，∴AD=BD，∴AD=BD，∴AB2=AD2+BD2=2AD2，又∵CB=CE，AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．∴ΔACE是奇异三角形，故③正确；由③可得ΔACE是奇异三角形，∴AC2+CE2=2AE2．当ΔACE是直角三角形时，由②可得AC：AE：CE=1AC：AE：CE=1，（Ⅰ）当AC：AE：CE=1AC：CE=1AC：CB=1∵∠ACB=90∘，∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．（Ⅱ）当AC：AE：CE=1时，AC：CE=1，即AC：CB=1，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度数为60°或120°，故④错误；故选：B．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022·全国·九年级课时练习）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．【思路点拨】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．【解题过程】12．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为________cm．【思路点拨】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．【解题过程】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，13．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为___________．【思路点拨】【解题过程】14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．【思路点拨】连接BO并延长交AC于E，交AC于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【解题过程】15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为______．【思路点拨】⊙O与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边AD、BC 相切，此时BF=AE；第二种情况是圆与边AB相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长；第三种是圆与边CD相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF．【解题过程】解：①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示此时∠AEO=BFO=90°所以四边形AEFB为矩形即BF=AE=2；②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中，EM2+MF2=EF2∴BF=13．2评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（2022·全国·九年级课时练习）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．【思路点拨】【解题过程】解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD,CD；以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F，连接DF,BD,BF，如图示：（2）结论：BC=BF．理由如下：由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD=FD,∴∠DBC=∠DBF,∵四边形ABFD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.17．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【思路点拨】（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．【解题过程】解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．（1）求证：GP＝GD；（2）求证：P是线段AQ的中点；（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．【思路点拨】（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．【解题过程】（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，∴∠GPD=∠GDP；∴GP=GD；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB于E，∴∠CEB=90°，∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，∴PC=PA，∵∠ACB=90°，∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，∴∠PCQ=∠CQA，∴PC=PQ，∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；（3）连接CD，∵弧AC=弧CD，∴CD=AC，∵CD=2，∴AC=2，19．（2022·全国·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P 上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q 间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．【思路点拨】(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．(2)先理解当⊙O与线段有交点时，d(⊙O,AB)=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过A点即可求解．(3)①先确定A′位于x轴上，再求出OA′的长即可求解；②先确定A′的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙O,A')=0，确定并求出两个界点值，即可求解．【解题过程】∴∠A′NB=90°，由旋转知BA′=BA=2−(−2)=4，∵∠ABA′=30°，BA′=2,∴A′N=12∴A′位于x轴上，BN=42−22=23，∴A′M=23，∴A′O=23−2，∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O由B(2,2)，得OB=22+22=22,当⊙O与该半圆内切时，r=4−22，当⊙O经过A点时，r=22，∴4−22＜r＜22．20．（2022·四川德阳·九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD=∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB=2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．【思路点拨】【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠EBC+∠ABC=180°，∴∠D=∠EBC，∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=90°，∴∠OCE+∠E=180°，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∴CF=3，21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，以AB为直径的⊙O上有一动点C，⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作BM∥OC交⊙O于点M，连接AM，OM，BC．(1)求证：AM∥CD(2)若OA=5，填空：①当AM＝时，四边形OCBM为菱形；②连接MD，过点O作ON⊥MD于点N，若BD=，则ON＝．【思路点拨】(1)首先根据圆周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°，由切线的性质可得∠DOC+∠CDO=90°，再根据平行线的性质即可证得∠MAB=∠CDO，据此即可证得结论；(2)①根据菱形性质可得OM= OA=MB= 5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC 是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．【解题过程】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠DOC+∠CDO=90°，又∵BM∥OC，∴∠ABM=∠DOC，∴∠MAB=∠CDO，∴AM∥CD；（2）解：①若四边形OCBM为菱形，则OM=OA=MB =5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∵BD=52−5，OB=5，∴OD=OB+BD=5+5∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，22．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．(1)求证：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝OG的长．【思路点拨】【解题过程】（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，则∠OMF=∠OND=90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM=ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，∵OF=OD OM=ON，∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM=DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，23．（2022·全国·九年级课时练习）问题提出：（1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC 的面积为______．问题探究：（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=△ABC的最大面积．问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F 于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．【解题过程】24．（2022·江苏·苏州中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．(1)如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是；(2)如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．【思路点拨】【解题过程】即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD。

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆直径为d，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F．（1）求的值；（2）求证：．2．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．（1）求证：∠COB＝2∠PCB；（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．3．如图，AC为⊙O的直径，CF切⊙O于点C，AF交⊙O于点D，点B在DF上，BC交⊙O于点E，且∠CAF＝2∠BCF，BG⊥CF于点G，连接AE．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：△CBG∽△ABE；（3）若∠F＝60°，GF＝2，求⊙O的半径长．4．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：∠CAG＝∠ABE；（2）求证：CG＝CD；（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．5．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD；（2）若AB＝10，BF＝5，求DF的长；（3）若点G为AB的中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．6．如图，△ABC为⊙O的内接等腰三角形，AB＝AC，CD为⊙O的直径，DF∥AC交AB、BC于点E、F．（1）求证：DE＝EF；（2）若sin∠B＝，⊙O的半径为5，求CF的长．7．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上（不包括端点B，C），过A，C，D三点的⊙O交AB于另一点E，连接AD，DE，CE，且CE⊥AD于点G，过点C作CF∥DE交AD于点F，连接EF．（1）求证：四边形DCFE是菱形；（2）当tan∠AEF＝，AC＝4时，求⊙O的直径长．9．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F，连接BE．（1）求证：DC＝DE；（2）若AE＝4，．求：①BE的长；②cos∠BDF的值．10．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC＝AB、在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB 于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．（1）设是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB＝AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．11．如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为2，求BC的长．12．如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过B点的切线相交于D，点E是BD的中点，直线CE交直线AB于点F．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED＝3，cos F＝，求⊙O的半径．13．如图①，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE＝CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）连接AE并延长与BC的延长线交于点G（如图②所示）．若AB＝，CD＝9，求线段BC和EG 的长．14．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，且交⊙O于E，C是的中点．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若AC＝8，请直接写出CD的长．（3）若DC+DE＝6，求AE的长．15．如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PD与⊙O相切于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO，交PO的延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若PB＝3，DB＝4，求⊙O的半径．16．如图，点P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，连接OP，过点B作BC∥OP交⊙O 于点C，连接AC交OP于点D．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若PD＝cm，AC＝8cm，点E是的中点，连接CE，求CE的长．17．如图，点O是等腰△ABC的外心，AD是圆O的切线，切点为A，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，连接AD，交过点C的直线于点P，且∠BCP＝∠ACD．（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝12，BC＝8．求PC的长．18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为，ED＝2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．19．如图1，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；（2）如图2，如果∠BED＝60°，PD＝，求P A的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．21．如图，AB是⊙O的直径，延长BA至点P，过点P作⊙O的切线PC，切点为C，过点B向PC的延长线作垂线BE交该延长线于点E，BE交⊙O于点D，已知P A＝1，PC＝OC，（1）求BE的长；（2）连接DO，延长DO交⊙O于F，连接PF，①求DE的长；②求证：PF是⊙O的切线．参考答案1．（1）解：由于AD，BE，CF交于点O，∴＝，＝，＝，∴++＝1；（2）证明：如图，延长AD交⊙O于M，设R为△ABC的外接圆半径，AD，BE，CF交于点O．∵＝＝1﹣＝1﹣，同理有：＝1﹣，＝1﹣，代入++＝1，得（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝1，∴++＝2，∴++＝＝．2．（1）证明：∵CP是⊙O的切线，∴OC⊥CP，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；（2）解：如图2中，连接MA．∵点M是弧AB的中点，∴＝，∴∠ACM＝∠BAM，∵∠AMC＝∠AMN，∴△AMC∽△NMA，∴＝，∴AM2＝MC•MN，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，∵AM＝BM，AB＝6．∴2AM2＝62，∴AM2＝18，∴MC•MN＝18．3．解：（1）如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠AEB＝90°．（2）如图∵CF与⊙O相切，∴∠ACF＝90°．∴∠BCF＝90°﹣∠ACE＝∠CAE．∵∠CAF＝2∠BCF．∴∠CAF＝2∠CAE．∴∠CAE＝∠BAE．∴∠BCF＝∠BAE．∵BG⊥BF，AE⊥BC，∴∠CGB＝∠AEB＝90°．∵∠BCF＝∠BAE，∠CGB＝∠AEB，∴△CBG∽△ABE．（3）连接BD，如图2所示．∵∠DAE＝∠DCE，∠DAE＝∠BCF，∴∠DCE＝∠BCF．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°．∴CD⊥AF．∵∠DCB＝∠BCF，CD⊥AF，BGCBF，∴BD＝BG．∵∠F＝60°，GF＝2，∠BGF＝90°，∴tan∠F＝＝BG＝tan60°＝，∵BG＝2，∴BD＝BG＝2．∵∠AFC＝60°，∠ACF＝90°，∴∠CAF＝30°．∵∠ADC＝90°，∠CAF＝30°，∴AC＝2CD．∵∠CAE＝∠BAE，∠AEC＝∠AEB，∴∠ACE＝∠ABE．∴AB＝AC．设⊙O的半径为r，则AC＝AB＝2r，CD＝r．∵∠ADC＝90°，∴AD＝r．∴DB＝AB﹣AD＝2r﹣r＝（2﹣）r＝2．∴r＝4+6．∴⊙O的半径长为4+6．4．（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG+∠BAG＝90°，∵AD⊥BE，∴∠AGB＝90°，∴∠BAG+∠ABE＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，由（1）知，∠CAG＝∠ABE，∵∠CBE＝∠ACG，∴∠CGD＝∠ABC，∵∠ABC＝∠D，∴∠DGC＝∠D，∴CG＝CD；（3）解：连接AE、CE，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠EBC，∠ACG＝∠EBC，∴∠CAE＝∠ACG，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝AC，∵AC2＝BC2﹣AB2，∴AC2＝﹣42，∴AC＝6，∴AF＝×6＝3，∵BF2＝AF2+AB2，∴BF2＝32+42，∴BF＝5，∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，∴△BAG∽△BF A，∴BA：BF＝BG：BA，∴4：5＝BG：4，∴BG＝，∵FG＝BF﹣BG，∴FG＝5﹣＝．5．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠F AD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点F作BM⊥AB于点M．则∠AMF＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵∠ABE＝∠AMF＝90°，∠BAE＝∠MAF，∴△AMF∽△ABE，∴，即，设MF＝x，则AM＝2x，∴BM＝10﹣2x，∵BM2+MF2＝BF2，∴（10﹣2x）2+x2＝52，解得x＝3，即MF＝3，∵AE平分∠ABD，AD⊥BC，∴DF＝MF＝3；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，OG⊥AB，∴∠BGD＝∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．6．（1）证明：如图，连接DB，∵CD为⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∵DF∥AC，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DFB，∴EB＝EF，∵∠DBF＝90°，∴∠DBE+∠EBF＝∠EDB+∠EFB，∴∠DBE＝∠EDB，∴DE＝EB，∴DE＝EF；（2）解：如图，连接AO，EO，延长AO交BC于点G，∵AB＝AC，∴AG⊥BC，∵OC＝OD，DE＝EF，∴OE∥FC，FC＝2OE，∴∠AEO＝∠B，∵OE⊥OA，在Rt△AEO中，sin∠AEO＝，∵sin∠B＝，⊙O的半径为5，∴＝，∴AE＝，∴OE＝＝＝．∴CF＝2OE＝．7．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为．8．解：（1）证明：∵CE⊥AD，∴EG＝CG，∵CF∥DE，∴∠DEG＝∠FCG，∵∠FGC＝∠DGE，∴△DEG≌△FCG（ASA），∴ED＝FC，∴四边形DCFE为平行四边形，又∵CE⊥DF，∴四边形DCFE是菱形；（2）∵AG⊥EC，EG＝CG，∴AE＝AC＝4，∵四边形AEDC内接于⊙O，∴∠BED＝∠BCA＝90°，∵四边形DCFE是菱形，∴EF∥DC，DE＝DC，∴∠AEF＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠AEF＝，在Rt△BED中，设DE＝3a，则BE＝4a，∴DC＝3a，BD＝＝5a，∵BC2+AC2＝AB2，∴（5a+3a）2+42＝（4a+4）2，解得a＝或a＝0（舍去），∴DE＝DC＝2，∴AD＝＝＝2．即⊙O的直径长为2．9．解：（1）证明：连接OD，BE，∵OD⊥AC，且DH是⊙O的切线，∴∠ODH＝∠DHA＝90°，∴OD∥CA，∴∠C＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠C，∵∠OBD＝∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DC＝DE；（2）①由（1）可知：OD∥AC，∴∠AEF＝∠ODF，∴∠AFE＝∠OFD，∴△AFE∽△OFD，∴，∵AE＝4，∴OD＝6，∵AB为⊙O的直径，∴；∴BE的长为8；②在Rt△AEB中，，∵∠BDF＝∠BAE，∴．10．解：（1）0＜x＜90，（2）连接BD，可证△BDF∽△ADB，得＝，∵∠DBE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°﹣∠ADE，∴△BDE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴BE＝BF．11．（1）证明：连接OB，如图所示：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA+∠OBA＝90°，即PB⊥OB，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵⊙O的半径为2，∴OB＝2，AC＝4，∵OP∥BC，∴∠C＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴＝，即＝，∴BC＝2．12．（1）证明：连CB、OC，如图，∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∵E为BD的中点，∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC+∠CBE＝∠OCB+∠BCE＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线；（2）解：CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，cos F＝，tan F＝＝，∴BF＝4，∴EF＝＝5，∴CF＝CE+EF＝8，在Rt△OCF中，tan F＝＝，∴OC＝6，即⊙O的半径为6．13．（1）证明：如图1，连接OE，OC；∵CB＝CE，OB＝OE，OC＝OC∴△OEC≌△OBC（SSS）∴∠OBC＝∠OEC又∵DE与⊙O相切于点E∴∠OEC＝90°∴∠OBC＝90°∴BC为⊙O的切线．（2）解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，∵AD，DC，BG分别切⊙O于点A，E，B∴DA＝DE，CE＝CB，在Rt△DFC中，CF＝＝1，设AD＝DE＝BF＝x，则x+x+1＝9，x＝4，∵AD∥BG，∴∠DAE＝∠EGC，∵DA＝DE，∴∠DAE＝∠AED；∵AD∥BG，∵∠AED＝∠CEG，∴∠EGC＝∠CEG，∴CG＝CE＝CB＝5，∴BG＝10，在Rt△ABG中，AG＝＝6，∵AD∥CG，∴＝＝，∴EG＝×6＝．14．（1）证明：连接OC．∵C是的中点，∴AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴DA∥OC，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥DC，∵OC为半径，∴DC为⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴AB＝10，∠ACB＝90°＝∠ADC，∴BC＝＝6，又∵∠DAC＝∠OAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝4.8．（3）如图，连接EC，作CF⊥AB于F．∵CA平分∠BAD，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF，∵＝，∴CE＝BC，∴Rt△CDE≌Rt△CFB，∴DE＝BF，∴CF+BF＝CD+DE＝6，设BF＝x，则CF＝6﹣x，由△ACF∽△CBF，可得CF2＝AF•BF，∴（6﹣x）2＝（10﹣x）•x，解得x＝2或9（舍弃），∴BF＝DE＝2，CD＝CF＝4，易证AF＝AD＝8，∴AE＝AD﹣DE＝6．15．（1）证明：∵∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠DEO＝∠PBO，∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）由（1）知，PB是⊙O的切线，∴∠PBD＝90°，∵PB＝3，DB＝4，∴PD＝5，∵PC和PB都是⊙O的切线，∴PC＝PB＝3，∠OCD＝90°，∴CD＝2，设⊙O的半径为x，则OC＝x，OD＝4﹣x，则22+x2＝（4﹣x）2，解得，x＝，即⊙O的半径是．16．（1）证明：如图，连接OC，∵P A切⊙O于A．∴OA⊥P A，∴∠P AO＝90°，∵OP∥BC，∴∠AOP＝∠OBC，∠COP＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠AOP＝∠COP，在△P AO和△PCO中，∴△P AO≌△PCO（SAS），∴∠P AO＝∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：连接EA、EB，作BH⊥CE于H，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠AEB＝90°，∵OP∥BC，∴PO⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝4，在Rt△P AD中，P A＝＝＝，∵∠APO＝∠DP A，∴Rt△P AD∽Rt△POA，∴P A：PO＝PD：P A，即：PO＝：，解得PO＝，∴OD＝PO﹣PD＝3，∵AO＝BO，OD∥BC，∴BC＝2OD＝6，在Rt△ACB中，AB＝＝10，∵点E是的中点，∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝45°，∴AE＝BE，∴△BCH和△ABE都是等腰直角三角形，∴CH＝BH＝BC＝3，BE＝AB＝5，在Rt△BEH中，EH＝＝4，∴CE＝CH+EH＝3+4＝7．17．解：（1）直线PC与圆O相切，理由为：过C点作直径CE，连接EB，如图，∵CE为直径，∴∠EBC＝90°，即∠E+∠BCE＝90°，∵AB∥DC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠E，∠BCP＝∠ACD．∴∠E＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCE＝90°，即∠PCE＝90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切；（2）∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝4，∴AC＝AB＝12，在Rt△AMC中，AM＝＝8，设圆O的半径为r，则OC＝r，OM＝AM﹣r＝8﹣r，在Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝，∴CE＝2r＝＝9，OM＝8﹣＝，∴BE＝2OM＝7，∵∠E＝∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴＝，即＝∴PC＝．18．解：（1）证明：连接OD，∵OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD，交OE于M，在Rt△ODE中，∵OD＝，DE＝2，∴OE＝＝＝，∵OE∥AB，∴△COE∽△CAB，∴＝，∴AB＝5，∵AC是直径，∴∠ADC＝90°，∴cos∠BAC＝＝＝，∴AD＝，∴CD＝＝，∵EF∥AB，∴，∴CM＝DM＝CD＝，∴EF＝OE+OF＝4，BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，∴S△ADF＝S梯形ABEF﹣S梯形DBEF＝（AB+EF）•DM﹣（BD+EF）•DM＝×（5+4）×﹣×（+4）×＝．∴△ADF的面积为．19．解：（1）直线PD是否为⊙O的切线．理由如下：连接OD，如图1，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∵∠PDA＝∠PBD，∴∠1＝∠PDA，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠2+∠1＝90°，∴∠PDA+∠2＝90°，即∠PDO＝90°，∴OD⊥PD，∴PD为⊙O的切线；（2）如图2，连接OD，∵ED和EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，而∠BED＝60°，∴△EDB为等边三角形，∴∠EBD＝60°，∴∠PBD＝30°，∴∠PDA＝30°，而∠ADB＝90°，∴∠P＝30°，在Rt△OAD中，OD＝PD＝×＝1，OP＝2OD＝2，∴P A＝PO﹣OA＝2﹣1＝1．20．证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．21．解：（1）设圆的半径是r，则OP＝P A+r＝1+r，OC＝r，PC＝r．∵PC是圆的切线，∴∠PCO＝90°，∴在直角△PCO中，PC2+OC2＝OP2，即（r）2+r2＝（1+r）2，解得：r＝1或r＝﹣（舍去负值）．在直角△OPC中，cos∠POC＝＝，∴∠POC＝60°，∵∠PCO＝90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠B＝∠POC＝60°，∴＝＝，∴BE＝OC＝；（2）①在△OBD中，OB＝OD，∠B＝60°，∴△OBD是等边三角形，BD＝OB＝1，∠BOD＝60°．∴DE＝BE﹣BD＝﹣1＝；②∵在△OPC和△OPF中，，∴△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP＝∠OCP＝90°，∴PF是⊙O的切线．。

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴题》解答题专题训练（附答案）1．如图．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD．以CD为直径作⊙O，分别与AC，BC相交于点M，N．过点N作⊙O的切线交AB于点E．（1）求证：∠BEN＝90°．（2）若AB＝10，请填空：①迮接OE，ON，当NE＝时，四边形OEBN是平行四边形；②连接DM，DN，当AC＝时，四边形CMDN为正方形．2．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作CD∥AB，且CD ＝OB．连接AD，分别交OC，BC于点E，F，与⊙O交于点G，若∠ABC＝45°．（1）求证：①△ABF∽△DCF；②CD是⊙O的切线．（2）求的值．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D为半径OA上一点，过点D作AB的垂线交AC于点E，交BC的延长线于点P，点F在线段PE上，且PF＝CF．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）连接AP与⊙O相交于点G，若∠ABC＝2∠P AC，求证：AB＝BP；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，BC＝3，求CF的长．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为6，AF＝2，求AC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接AD．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）求证：△FBD∽△FDA．（3）若DF＝4，BF＝2，求⊙O的半径长．6．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：2OB2＝BC•BF；（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，DG＝2.5时，求DE的长．7．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且AD⊥BC于点D．（1）如图1，求证：∠B＝∠C；（2）如图2，点E在上，连接AE，CE，∠ACE＝∠ACB，求证：∠CAE＝2∠ACE；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作AF⊥CE交CE的延长线于点F，若AE＝5，AB＝13，求AF的长．8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，点M是AB上的动点，以M为圆心，MB为半径作圆交BC于点D，（1）若圆M与AC相切，如图1，求圆的半径；（2）若AM＝2MB，连接AD，如图2．①求证：AD与圆M相切；②求阴影部分的面积．9．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D是AB上的一点，DE⊥AB于D，DE交BC于F，且EF＝EC．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）求证：△OAC∽△ECF；（3）若BD＝4，BC＝8，圆的半径OB＝5，求EC的长．10．如图，已知以BC为斜边的Rt△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AB的延长线于点E，连接DB，DC．（1）求证：ED为⊙O的切线；（2）求证：BC2＝2ED•FC；（3）若tan∠ABC＝2，AD＝，求BC的长．11．已知△ABC内接于⊙O，D是弧AC上一点，连接BD、AD，BD交AC于点M，∠BMC ＝∠BAD．（1）如图1，求证：BD平分∠ABC；（2）如图2，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点F，求证：DF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，BC是⊙O的直径，连接DC，AM＝1，DC＝，求四边形BFDC的面积．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，P为弧AD上一点．（1）如图1，连接AC、PC、P A，求证：∠APC＝∠ACD；（2）如图2，连接PB，PB交CD于E，过点P作⊙O的切线交CD的延长线于点F，求证：FE＝PF；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，且∠P AE＝∠F，过点A作AG⊥PF，垂足为G，若PG＝6，，求BH的长．13．如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．（1）求证：直线AC是⊙O的切线；（2）求△ABC的面积；（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．14．如图所示，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF ⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠F AB．（2）求证：BC2＝CE•CP．（3）当AB＝4时，求劣弧BC长度（结果保留π）．15．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．（1）求证：∠D＝∠AEC；（2）求证：CE2＝EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值．（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．（1）求证：△DEF∽GDF；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）若cos∠CAE＝，DF＝10，求线段GF的长．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，过圆心O的直线PF⊥AB于D，交⊙O于E，F，PB是⊙O的切线，B为切点，连接AP，AF．（1）求证：直线P A为⊙O的切线；（2）求证：AC2＝4OD•OP；（3）若BC＝6，，求AC的长．19．如图，AB是半圆O的直径，AB＝10．C是弧AB上一点，连接AC，BC，∠ACB的平分线交AB于点P，过点P分别作PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为E、F．（1）求证：四边形CEPF是正方形；（2）当sin A＝时，求CP的长；（3）设AP的长为x，图中阴影部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出y 的最大值．20．问题提出（1）如图①，△ABC为等边三角形，若AB＝2，则△ABC的面积为．问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥BD交BC边于点E．若AD＝1，求图中阴影部分的面积．问题解决（3）如图③，是某公园的一个圆形施工区示意图，其中⊙O的半径是4米，公园开发部门计划在该施工区内设计一个四边形绿化区域ABCD，连接AC、BD，现准备在△ADC 区域种植花卉供游人欣赏．按设计要求，A、B、C、D四个点都在圆上，∠ADB＝∠BDC ＝60°．设BD的长为x米，△ADC的面积为y平方米．①求y与x之间的函数关系式；②按照设计要求，为让游人有更好的观赏体验，△ADC花卉区域的面积越大越好，那么请求出花卉区域△ADC面积的最大值．参考答案1．（1）证明：如图，连接ON，DN，∵CD是⊙O的直径，∴∠CND＝∠DNB＝90°，∵NE是⊙O的切线，∴∠ONE＝90°，∴∠BNE＝∠OND，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠ODN＝∠BNE，∵D是斜边AB的中点，∴CD＝AD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵∠BCD+∠ODN＝90°，∴∠B+∠BNE＝90°，∴∠NEB＝90°；（2）解：①∵四边形OEBN是平行四边形，∴BE＝ON＝，∵E为BD的中点，∴N为BC的中点，∴NE为△BCD的中位线，∴NE∥CD，且NE＝CD＝．故答案为：；②∵四边形CMDN为正方形，∴∠MCD＝∠MDC＝45°，∠CMD＝90°，∴MC＝MD＝CD，∵AD＝DC，∴M是AC的中点，AC＝2MC＝CD，∴CD＝AB＝5，∴AC＝5．故答案为：5．2．（1）证明：①∵CD∥AB，∴∠F AB＝∠D，∵∠AFB＝∠DFC，∴△ABF∽△DCF；②∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCO＝∠AOC＝90°，∵OC是半圆的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH∥AB交OC于H，设圆的半径为2a，∵CD＝OB＝OA，CD∥AB，∴CE＝OE＝a，AE＝DE，由勾股定理得：AE＝＝a，∴AD＝2a，∵△ABF∽△DCF，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∵FH∥AB，∴＝＝，∴EF＝，∵CD是⊙O的切线，∴DC2＝DG•DA，即（2a）2＝DG•2a，解得：DG＝，∴FG＝a﹣﹣＝，∴＝＝．3．（1）证明：连接OC，∵PF＝FC，OC＝OB，∴∠PCF＝∠CPF，∠OCB＝∠OBC，∵PD⊥AB，∴∠PDB＝90°，∴∠CPF+∠OBC＝90°，∴∠PCF+∠OCB＝90°，∴∠FCO＝90°，∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）证明：连接BG，∵，∴∠P AC＝∠PBG，∵∠PBA＝2∠P AC，∴∠PBA＝2∠PBG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB＝∠PGB＝90°，∴∠APB＝∠P AB，∴AB＝BP；（3）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝BP＝5，∴PC＝2，∵∠PDA＝∠PCA＝90°，P A＝P A，∠APB＝∠P AB，∴△APC≌△APD（AAS），∴AD＝PC＝2，PD＝AC＝4，∠P AC＝∠APD，∴AE＝PE，设DE＝x，AE＝PE＝4﹣x，在Rt△AED中，AD2+DE2＝AE2，即22+x2＝（4﹣x）2，解得x＝，∴EP＝4﹣x＝，∵∠PEC＝90°﹣∠EPC，∠FCE＝90°﹣∠PCF，即∠PEC＝∠FCE，∴EF＝CF＝PF，∴CF＝．4．解：（1）直线AF与⊙O相切．理由如下：连接OC，∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠B，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∴∠AOF＝∠COF，∵在△AOF和△COF中，，∴△AOF≌△COF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF＝90°，∴AF⊥OA，又∵OA为圆O的半径，∴AF为圆O的切线；（2）∵∠AOF＝∠COF，OA＝OC，∴E为AC中点，即AE＝CE＝AC，OE⊥AC，∵∠OAF＝90°，OA＝6，AF＝2，∴tan∠AOF＝，∴∠AOF＝30°，∴AE＝OA＝3，∴AC＝2AE＝6；（3）∵AC＝OA＝6，OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，OC＝6，∵∠OCP＝90°，∴CP＝OC＝6，∴S△OCP＝OC•CP＝＝18，S扇形AOC＝＝6π，∴阴影部分的面积为S△OCP﹣S扇形AOC＝18﹣6π．5．（1）证明：连接OD，如图所示：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∴AD⊥BC．∵AB＝AC，∴CD＝BD＝BC．∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC．∵EF⊥AC，∴EF⊥OD．∵OD是半径，∴EF与⊙O相切．（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∵OD⊥DE，∴∠FDB+∠ODB＝90°，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠BAD＝∠FDB，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA；（3）解：设⊙O的半径为r，则AB＝2r，∵△FBD∽△FDA，∴，∵DF＝4，BF＝2，∴，∴r＝3．6．解：（1）CG与⊙O相切，理由如下：如图1，连接CO，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ACF＝90°，∵点G是EF的中点，∴GF＝GE＝GC，∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵OF⊥AB，∴∠OAC+∠AEO＝90°，∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，∵OC是圆的半径，∴CG与⊙O相切；（2）证明：∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，∴∠OAE＝∠F，又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△FBO，∴，即BO•AB＝BC•BF，∵AB＝2BO，∴2OB2＝BC•BF；（3）由（1）知GC＝GE＝GF，∴∠F＝∠GCF，∴∠EGC＝2∠F，又∵∠DCE＝2∠F，∴∠EGC＝∠DCE，∵∠DCE＝∠AOD＝45°，∴∠EGC＝45°，又∵∠OCG＝90°，∴△OCG为等腰直角三角形，∴GC＝OC，OG＝OC，∴OD+DG＝OC，即OC+2.5＝OC，解得OC＝，∵GF＝GE＝GC＝OC，∴DE＝GE﹣DG＝OC﹣DG＝．7．（1）证明：∵AD⊥BC，AD过圆心O，∴BD＝CD，且AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C；（2）证明：连接BE，设∠ACE＝α，则∠ACB＝3α，∴∠ABC＝∠ACB＝3α，∵∠ABE＝∠ACE＝α，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝3α﹣α＝2α，∴∠CAE＝∠CBE＝2α＝2∠ACE；（3）解：过点E作EG⊥AC于点G，在CG上截取GH＝AG，连接EH，∴EH＝AE＝5，∴∠AHE＝∠EAH＝2α，∴∠CEH＝∠AHE﹣∠ECH＝2α﹣α＝α＝∠ECH，∴CH＝EH＝5，∵AC＝AB＝13，∴AH＝AC﹣CH＝13﹣5＝8，∴AG＝GH＝4，∴CG＝4+5＝9，在Rt△AEG中，EG＝＝＝3，在Rt△CEG中，CE＝＝＝3，∵，∴，∴．8．解：（1）过点M作MN⊥AC于点N，∵圆M与AC相切，∴MN＝MB，∵∠ACB＝90°，AC＝6，∠B＝30°，∴AB＝12，设MN＝MB＝R．∴AM＝12﹣R，∵∠ACB＝90°，MN⊥AC，∴MN∥BC，∴∠B＝∠AMB＝30°，∴，∴，解得R＝24﹣36．（2）①连接DM，由题意可知MB＝MD，∴∠B＝∠MDB＝30°，∴∠AMD＝60°，∵AM＝2MB，∴AM＝2MD，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC，∠BAC＝60°，∴△AMD∽△ABC，∴∠ADM＝∠ACB＝90°，∴AD与圆M相切；②∵AB＝12，AM＝2MB，∴BM＝4，AM＝8，∵∠ADM＝90°，∴AD＝＝4，∴S阴影部分＝4．9．（1）证明：∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB，∵DE⊥AB，∴∠OBC+∠DFB＝90°，∵EF＝EC，∴∠ECF＝∠EFC＝∠DFB，∴∠OCB+∠ECF＝90°，∴OC⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BFD＝90°，∴∠BFD＝∠A，∴∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A＝∠BFD＝∠ECF＝∠EFC，∴△OAC∽△ECF；（3）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OB＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝6，∵cos∠ABC＝，∴，∴BF＝5，∴CF＝BC﹣BF＝3，∵△OAC∽△ECF，∴，∴EC＝＝．10．（1）证明：如图1，连接OD．∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∵AD平分∠BAC，∴．∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥ED，又∵OD为半径，∴ED为⊙O的切线；（2）证明：由（1）可得△BCD为等腰直角三角形．∵DE∥BC，∴∠E＝∠ABC＝∠ADC，∠BDE＝∠DBC＝∠DCB＝45°．∴△BED∽△FDC，∴，即BD2＝DE•FC，又，∴BC2＝2ED•FC；（3）解：如图2，过点D作DG⊥AD，交AC的延长线于点G．∴∠CDG+∠ADC＝90°，∠DGC＝∠DAG＝45°．又∵∠ADB+∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠GDC，∵DB＝DC，∠BAD＝∠DGC＝45°，∴△ABD≌△GCD（AAS），∴AB＝CG．∵∠DAG＝45°，∠ADG＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴AB+AC＝AG＝AD＝＝3，∵tan∠ABC＝2，∴设AB＝x，则AC＝2x．∴3x＝3，∴x＝1．即AB＝1，AC＝2．∴BC＝＝＝．11．（1）证明：∵∠BMC＝∠BAD，又∵∠BMC＝∠BAC+∠ABD，∠BAD＝∠BAC+∠DAM，∴∠ABD＝∠DAC，又∵弧DC＝弧DC，∴∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：连接OA、OB、OD，OD交AC于点N，∵FD是⊙O的切线，D为切点，OD是⊙O的半径，∴OD⊥FD，∴∠FDO＝90°，又∵∠AOD＝2∠ABD，∠DOC＝2∠DBC，∠ABD＝∠CBD，∴∠AOD＝∠COD，又∵AO＝CO，∴ON⊥AC，∴∠ANO＝90°，∴∠ANO＝∠FDO，∴AC∥FD；（3）解：连接OD，交AC于N，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠F AC＝180°﹣∠BAC＝90°，又∵∠ANO＝∠FDN＝90°，∴四边形ANDF是矩形，∴AF＝DN，∠F＝90°，又∵ON⊥AC，∴AN＝CN，∴设MN＝a，则AN＝CN＝MN+AM＝a+1，∴CM＝MN+CN＝2a+1，在Rt△MDC中，cos∠ACD＝，在Rt△NDC中，cos∠ACD＝，∴，解得a1＝﹣（舍去），a2＝1，∴MN＝1，CN＝a+1＝2，∴DN＝AF＝＝，又∵MN＝AM＝1，∠AMB＝∠NMD，∠BAM＝∠MND＝90°，∴△BAM≌△DNM（AAS），∴BA＝ND＝，∴BF＝AB+AF＝2，∴AN＝FD＝a+1＝2，∴BD＝＝2，∴S△BFD＝，S△DBC＝BD•CD＝＝3，∴S四边形BFDC＝S△BFD+S△BDC＝2．12．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴∠ACD＝∠DC，∵，∴∠APC＝∠ADC，∴∠APC＝∠ACD；（2）证明：连接OP，∵PF是⊙O的切线，∴OP⊥PF，即∠EPF+∠OPE＝90°，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠HEB+∠HBE＝90°，∵∠PEF＝∠HEB，∴∠PEF＝∠FPE，∴FE＝PF；（3）解：过E作EM⊥PF，垂足为M，∵AG⊥PF，∴∠GAP+∠GP A＝90°，∵∠APE＝90°，∴∠GP A+∠EPM＝90°，∵∠AGP＝∠EMP＝90°，∴△GP A∽△MEP，∴，∵∠P AE＝∠F，∴tan∠P AE＝tan∠F，则，∵，∴，∴MF＝PG＝6，设PM＝x，∵PE2﹣PM2＝EF2﹣FM2，∴，解得：x1＝﹣10，x2＝4，即PM＝4，∴EM＝＝8，∵，即，∴P A＝3，∵CD⊥AB，AB是直径，∴∠BHE＝∠APB＝90°，∴∠HEB＝∠BAP，∵∠MPE＝∠HEB，∴tan∠P AB＝，即，∴PB＝6，∴BE＝PB﹣PE＝2，∵sin∠HEB＝，即，∴BH＝4．13．（1）证明：连接OC，如图1，∵AD＝CD，∠A＝30°，∴∠ACD＝30°，∴∠CDB＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝60°，∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，∵OC是半径，∴直线AC是⊙O的切线；（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，∴△DCO是等边三角形，∴CD＝AD＝OD＝1，作CH⊥BD于点H，则DH＝，如图2，∴CH＝＝＝，∵AB＝AD+BD＝3，∴S△ABC＝＝．（3）①当点E运动到与点C关于直径AB对称时，CE⊥AB于点K，如图3，∵BD为⊙O的直径，CK＝，∴CE＝2CK＝，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠CDB＝∠CEB＝60°，∴CF＝CE•tan60°＝＝3，②∵点E在上运动过程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，在Rt△ECF中，tan60°＝，∴CF＝CE，∴当CE最大时，CF取得最大值，∴当CE为直径，即CE＝2时，CF最大，最大值为2．14．（1）证明：连接AC，BC，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP＝∠F＝90°，∴AF∥OC，∴∠F AC＝∠OCA，∴∠F AC＝∠OAC，∴CA平分∠F AB．（2）证明：∵CD是直径，∴∠CBD＝90°，∴∠CBP＝90°，∵CE⊥OB，∴∠CEB＝∠CBP＝90°，∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB＝∠CAB，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠CAB＝90°，∠BCE+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝∠BCE，∴∠PCB＝∠BCE，∴△BCE∽△PCB，∴，∴BC2＝CE•CP；（3）解：，设CF＝3a，CP＝4a，∵BC2＝CE•CP＝3a•4a＝12a2，∴BC＝2a，在Rt△BCE中，sin∠CBE＝，∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴△COB是等边三角形，∵AB＝4，∴OB＝BC＝2，∴劣弧BC的长＝＝π．15．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠OBD＝90°，∠ABC+∠DBC＝90°，∵BC⊥OD，∴∠D+∠DBC＝90°，∴∠ABC＝∠D，∵∠AEC＝∠ABC，∴∠D＝∠AEC；（2）证明：连接AC，如图所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，∵cos∠BCE＝，∴cos∠BAE＝＝，∴AE＝8，∴BE＝＝＝6，∵，∴BE＝CE＝6，∵CE2＝EH•EA，∴EH＝，在Rt△BEH中，BH＝．∵OG⊥BE，OB＝OE，∴BG＝3，∴OG＝＝＝4，∴BF•OE，∴BF＝，∴HF＝BH﹣BF＝．16．解：（1）∵点A（0，8），∴AO＝8，∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD，∴∠ABO＝∠ABE在△ABE和△ABO中，，∴△ABE≌△ABO（AAS），∴AE＝AO＝8；（2）∵∠ABE＝∠FDE，∴AB∥DF，∴△CAB∽△CDF，∴，又∵∠ABE＝∠FDE，∠AEB＝∠FED∴△DEF∽△BEA，∴，∴EF＝2AE＝16；（3）设BO＝x，则AB＝x+4，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得：82+x2＝（x+4）2，解得：x＝6，∴OB＝BE＝6，AB＝10，∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠EAB＝∠ACB，∵∠BF A＝∠AFC，∴△BF A∽△AFC，∴；设EF＝m，则AF＝8+m，BF＝（8+m），∵在Rt△BEF中，BE2+EF2＝BF2，∴62+m2＝[（8+m）]2，解得：m＝，即EF＝，∴tan∠AFC＝．17．（1）证明：如图1，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（2）证明：如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线；（3）解：如图3，连接OF、AF，∵AD为直径，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD为等腰直角三角形，∵DF＝10，OA＝OD∴AD＝DF＝×10＝20，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝10，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD•cos∠CAE＝20×＝10，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝10+OG，∴10+OG＝GF，∴OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝102+（GF﹣10）2，解得：GF＝或（不符合题意，舍去），∴线段GF的长为．18．（1）证明：连接OB，∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°，∵OA＝OB，BA⊥PO于D，∴AD＝BD，∠POA＝∠POB，又∵PO＝PO，∴△P AO≌△PBO（SAS），∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵OA为圆的半径，∴直线P A为⊙O的切线；（2）证明：∵∠P AO＝∠PDA＝90°，∴∠OAD+∠AOD＝90°，∠OP A+∠AOP＝90°，∴∠OAD＝∠OP A，∴△OAD∽△OP A，∴，∴OA2＝OD•OP，又∵AC＝2OA，∴AC2＝4OD•OP；（3）解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，∴OD＝BC＝3，设AD＝x，∵tan∠F＝，∴FD＝2x，OA＝OF＝2x﹣3，在Rt△AOD中，由勾股定理，得，（2x﹣3）2＝x2+32，解之得，x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），∴AD＝4，OA＝2x﹣3＝5，∵AC是⊙O的直径，∴AC＝2OA＝10．∴AC的长为10．19．（1）证明：∵∠ACB＝90°，PE⊥AC，PF⊥BC，∴四边形PECF是矩形，∵CP平分∠ACB，PE⊥AC，PF⊥BC，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形；（2）解：∵sin A＝，AB＝10，∴，∴BC＝8，∴AC＝＝＝6，∴tan A＝，设PE＝CE＝m，则AE＝6﹣m，∴tan A＝，∴m＝，∴PC＝PE＝；（3）解：∵四边形CEPF是正方形，∴PE＝PF，∠APE+∠BPF＝90°，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴将△APE绕点P顺时针旋转90°，得到△A′PF，P A′＝P A，如图所示：则A′、F、B三点共线，∠APE＝∠A′PF，∴∠A′PF+∠BPF＝90°，即∠A′PB＝90°，∴S△P AE+S△PBF＝S△P A′B＝P A′•PB＝x（10﹣x），∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣+5x，∵y＝﹣+5x＝﹣，∴x＝5时，y有最大值为．20．解：（1）如图①，AD⊥BC，∵△ABC为等边三角形，AB＝2，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，＝sin B＝sin60°，∴＝，∴AD＝，∴△ABC的面积＝AB•AD＝×2×＝，故答案为：；（2）如图②，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠ABC＝90°，BD是△ABC的角平分线，∴∠DBC＝∠ABD＝45°，∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DEB+∠DBE＝90°，∴∠DEB＝90°﹣∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∴BD＝ED，∵DH⊥BC，∴BH＝EH，∴DH＝BE＝BH＝EH，设DH＝BH＝EH＝a，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵DH⊥BC，∴AB∥DH，∴△CDH∽△CAB，∴＝＝，∵AD＝1，AC＝3，∴CD＝3﹣1＝2，∴＝＝，∴AB＝a，CE＝a，∴BC＝CE+BE＝a+2a＝3a，∵AB2+BC2＝AC2，∴a2+9a2＝9，∴a2＝1，∴S阴影＝S△ABC﹣S△BDE＝AB•BC﹣BE•DH＝×a•3a﹣×2a•a＝a2﹣a2＝a2＝1；（3）①设AC与BD相交于点E，连接OB，OA，OC，过点O作OH⊥AB于点H，∵∠ADB＝∠BDC＝60°，∴AB＝BC，∠BAC＝∠BDC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，在△ABO和△ACO中，，∴△ABO≌△ACO（SSS），同理△ABO≌△CBO（SSS），∴S△ABO＝S△ACO＝S△CBO，∴S△ABC＝3S△ABO，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠AOB＝120°，在Rt△OAH和Rt△OBH中，，∴Rt△OAH≌Rt△OBH（HL），∴∠AOH＝∠BOH，AH＝BH，在Rt△OAH中，OA＝4，∠AOH＝∠AOB＝60°，∴cos∠AOH＝cos60°＝＝，sin∠AOH＝sin60°＝＝，∴OH＝OA＝2，AH＝OA＝2，∴AB＝2AH＝4，∴S△ABC＝3S△ABO＝3××4×2＝12，∵∠ABE＝∠DBA，∠BAE＝∠BDA＝60°，∴△ABE∽△DBA，∴＝＝＝，即S△DBA＝S△ABE，∵∠CBE＝∠DBC，∠BCE＝∠BDC＝60°，∴△CBE∽△DBC，∴＝＝＝，即S△DBC＝S△CBE，∴S四边形ABCD＝S△DBA+S△DBC＝S△ABE+S△CBE，＝（S△ABE+S△CBE）＝S△ABC＝×12＝x2，∴S△ADC＝S四边形ABCD﹣S△ABC＝x2﹣12，即y＝x2﹣12；∵BD的长度大于AB，小于等于直径，∴4＜x≤8，∴y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12（4＜x≤8）；②由①知，y与x之间的函数关系式为y＝x2﹣12，则对称轴为y轴，∵＞0，∴x＞0时，y随x的增大而增大，∵4＜x＜8，∴当x＝8时，y有最大值，即当BD为⊙O的直径时，y取最大值，即y＝×82﹣12＝4，∴花卉区域△ADC面积的最大值是4．。

《圆》压轴题综合培优训练1．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC 交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．（1）求证：E为BC的中点；（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．2．如图，在△ABC中，CA＝CB，E是边BC上一点，以AE为直径的⊙O经过点C，并交AB 于点D，连结ED．（1）判断△BDE的形状并证明．（2）连结CO并延长交AB于点F，若BE＝CE＝3，求AF的长．3．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD 的延长线于点E．（1）求证：∠BDC＝∠A；（2）若CE＝2，DE＝2，求AD的长．（3）在（2）的条件下，求弧BD的长．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆⊙O，交BC于点D，连接AD．过点D作DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）当⊙O半径为3，CE＝2时，求BD长．6．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD＝CF．7．如图，AH是圆O的直径，AE平分∠FAH，交⊙O于点E，过点E的直线FG⊥AF，垂足为F，B为直径OH上一点，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和CD上．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若AD＝8，EB＝5，求⊙O的直径．8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OA，垂足为点M，连接并延长CO交⊙O于点E，分别连接DE，BE，DB，其中∠EDB＝30°，∠CDE的平分线DN交CE于点G，交⊙O于点N，延长CE至点F，使FG＝FD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O半径r为8，求线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．9．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．（1）求证：DE＝DB：（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长10．在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F＝50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F＝36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．11．如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．12．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：BC＝4：3，O是BC上一点，⊙O交AB于点D，交BC 延长线于点E．连接ED，交AC于点G，且AG＝AD．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）设⊙O与AC的延长线交于点F，连接EF，若EF∥AB，且EF＝5，求BD的长．13．Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE，OD．（Ⅰ）如图①，求∠ODE的大小；（Ⅱ）如图②，连接OC交DE于点F，若OF＝CF，求∠A的大小．14．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB是圆O的直径，C是圆上的一点，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．（1）求证：DE是圆O的切线．（2）若AB＝6，AE＝4.8，求BD和BC的长．15．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．参考答案一．解答题1．解：（1）连接BD、OE，∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，∴∠DBC＝∠CAB，∴∠EDB＝∠EBD，则∠BDC＝90°，∴E为BC的中点；（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，∴AD：BM＝，而△ADH∽△MBH，∴DH：BH＝，则DH＝HM，∴HM：BH＝，∴∠BMH＝30°＝∠BAC，∴∠C＝60°，E是直角三角形的中线，∴DE＝CE，∴△DEC为等边三角形，⊙O的面积：12π＝（AB）2π，则AB＝4，∠CAB＝30°，∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．2．（1）证明：△BDE是等腰直角三角形．∵AE是⊙O的直径∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴∠BDE＝180°﹣90°＝90°．∵CA＝CB，∴∠B＝45°，∴△BDE是等腰直角三角形．（2）过点F作FG⊥AC于点G，则△AFG是等腰直角三角形，且AG＝FG．∵OA＝OC，∴∠EAC＝∠FCG．∵BE＝CE＝3，∴AC＝BC＝2CE＝6，∴tan∠FCG＝tan∠EAC＝．∴CG＝2FG＝2AG．∴FG＝AG＝2，∴AF＝2．3．【解答】（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠CAD，即AD平分∠CAB；（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC＝60°，OA＝OE，∴△AEO是等边三角形，∴AE＝OA，∠AOE＝60°，∴AE＝AO＝OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD＝60°，∴S△AEM ＝S△DMO，∴S阴影＝S扇形EOD＝＝π．4．（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O切线，∴∠ODC＝90°，即∠ODB+∠BDC＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠ODB+∠ADO＝90°，∴∠BDC＝∠ADO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDC＝∠A；（2）∵CE⊥AE，∴∠E＝∠ADB＝90°，∴DB∥EC，∴∠DCE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠A，∴∠A＝∠DCE，∵∠E＝∠E，∴△AEC∽△CED，∴＝，∴EC2＝DE•AE，∴（2）2＝2（2+AD），∴AD＝4．（3）∵直角△CDE中，tan∠DCE＝＝＝，∴∠DCE＝30°，又∵△AEC∽△CED，∴∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DOB＝2∠A＝60°，BD＝AD•tan A＝4×＝，∴△OBD是等边三角形，则OD＝BD＝，则弧BD的长是＝．5．（1）证明：连接OD，如图，∵AB为⊙0的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴AD平分BC，即DB＝DC，∵OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙0的切线；（2）证明：∵∠B＝∠C，∠CED＝∠BDA＝90°，∴△DEC∽△ADB，∴，∴BD•CD＝AB•CE，∵BD＝CD，∴BD2＝AB•CE，∵⊙O半径为3，CE＝2，∴BD＝＝2．6．证明：（1）连接OA，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠EAC＝30°+60°＝90°，∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．7．解：（1）如图1，连接OE，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∵AE平分∠FAH，∴∠EAO＝∠FAE，∴∠FAE＝∠AEO，∴AF∥OE，∴∠AFE+∠OEF＝180°，∵AF⊥GF，∴∠AFE＝∠OEF＝90°，∴OE⊥GF，∵点E在圆上，OE是半径，∴GF是⊙O的切线．（2）设AB＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝x，BC＝AD＝8，∴CE＝BC﹣BE＝3，∵AE是∠BAF的角平分线，BE⊥AB，EF⊥AF，∴EF＝BE＝5，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CF＝4，∴DF＝CD﹣CF＝x﹣4，在Rt△ABE和Rt△AFE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AFE（HL），∴AF＝AB＝x，在Rt△ADF中，x2﹣（x﹣4）2＝64，∴x＝10，∴AB＝10，设⊙O的半径为r，∴OB＝10﹣r，在Rt△BOE中，r2﹣（10﹣r）2＝25，∴r＝，∴⊙O的直径为．8．（1）证明：连接OD，∵CD垂直平分OA，∴OM＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°，∵CE为⊙O的直径，∴∠CDE＝90°，∵DN平分∠CDE，∴∠CDN＝45°，∴∠ODN＝45°﹣30°＝15°，∵OD＝OC，∴∠DCO＝∠ODC＝30°，∴∠FGD＝45°+30°＝75°，∵FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝75°，∴∠ODF＝∠ODN+∠FDG＝15°+75°＝90°，∴DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠EDB＝30°，∴∠EOB＝60°，Rt△CDE中，∠DEC＝60°，∴∠DEC＝∠EOB＝60°，∴DE∥AB，∴S△DOE ＝S△ODE，∴S阴影＝S扇形ODE＝＝；答：线段DB，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积是，9．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，∴DB＝DE；（2）解：连接CD，如图，∵∠BAC＝90°，∴BC为直径，∴∠BDC＝90°，∵∠1＝∠2，∴DB＝BC，∴△DBC为等腰直角三角形，∴BC＝BD＝4，∴△ABC外接圆的半径为2；（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，∴△DBF∽△ADB，∴＝，即＝，∴AD＝9．10．解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF＝90°，∵OA⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣50°＝130°，∵OA＝OB，∴∠1＝∠A＝（180°﹣130°）＝25°，∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，∴∠BGF＝180°﹣∠2﹣∠F＝180°﹣65°﹣50°＝65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB＝180°﹣∠F＝180°﹣36°＝144°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝（180°﹣144°）＝18°，∵∠AOB＝∠OHA+∠OAH，∴∠OAH＝144°﹣90°＝54°，∴∠BAC＝∠OAH+∠OAB＝54°+18°＝72°，∴∠BDG＝∠BAC＝72°．11．（1）证明：连接OB．∵CD⊥OA，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CE＝CB，∴∠CBE＝∠CEB＝∠AED，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC．（2）解：连接OF．∵AD＝OD，FD⊥OA，∴FA＝FO＝AO，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠ABF＝∠AOF＝30°．（3）解：延长AO交⊙O于H，连接BH．∵AH是直径，∴∠ABH＝∠ADE＝90°，∵∠DAE＝∠HAB，∴△DAE∽△BAH，∴＝，∴AE•AB＝AD•AH＝×6＝9．12．（1）证明：连结OD，∵∠ACB＝90°，∴∠OED+∠EGC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AG＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGD＝∠EGC，∴∠OED+∠EGC＝∠ADG+∠ODE＝∠ADO＝90°，∴OD⊥AB，∵OD为半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接OF，∵EF∥AB，AC：BC＝4：3，∴CF：CE＝4：3，又∵EF＝5，∴CF＝4，CE＝3，设半径＝r，则OF＝r，CF＝4，CO＝r﹣3．在Rt△OCF中，由勾股定理，可得r＝，∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B，∵∠ECF＝∠ODB＝90°，∴△CEF∽△DBO，∴＝，∴＝，∴BD＝．13．证明：（Ⅰ）连接OE，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∵E点是BC的中点，∴DE＝BC＝BE，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△ODE≌△OBE，∴∠ODE＝∠OBE，∵∠ABC＝90°，∴∠ODE＝90°；（Ⅱ）∵CF＝OF，CE＝EB，∴FE是△COB的中位线，∴FE∥OB，∴∠AOD＝∠ODE，由（Ⅰ）得∠ODE＝90°，∴∠AOD＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝．14．解：（1）如图，连接OC，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠BA C；又在圆中OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，由AE⊥DC知OC⊥DC，∴DE是⊙O的切线．（2）∵∠D＝∠D，∠E＝∠OCD＝90°，∴△DCO∽△DEA，∴＝，∴＝，∴＝，∴BD＝2；∵Rt△EAC∽Rt△CAB，∴＝，∴＝∴AC2＝，由勾股定理得：BC＝＝．15．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，∴∠M＝90°，在Rt△AMB中，AB＝，∴AB＝10．∴OB＝5，∵OB＝ON，又∵∠NOB＝60°，∴△NOB是等边三角形，∴NB＝OB＝5．（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．理由：方法一：如图2中，画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．∵MC⊥AB，又∵OM＝OQ，∴MC＝CQ，即C是MQ的中点，又∵P是MQ的中点，∴CP是△MQN的中位线，∴CP∥QN，∴∠MCP＝∠MQN，∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，∴∠MQN＝∠MBN，∴∠MCP＝∠MBN，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．∵P是MN中点，又∵OM＝ON，∴OP⊥MN，且∠MOP＝∠MON，∵MC⊥AB，∴∠MCO＝∠MPO＝90°，∴设OM的中点为Q，则QM＝QO＝QC＝QP，∴点C，P在以OM为直径的圆上，在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，又∵∠MOP＝∠MON，∴∠MCP＝∠MON，在半圆O中，∠NBM＝∠MON，∴∠MCP＝∠NBM，∵AB是直径，∴∠ANB＝90°，∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB ∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。

（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为A （6，0）、B （0，2），点C （x ，y ）在线段AB 上，计算（x+y ）的最大值。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．图 1 和图 2 中，优弧AB纸片所在⊙O 的半径为 2，AB＝23，点P为优弧AB上一点（点P 不与A，B 重合），将图形沿BP 折叠，得到点A 的对称点A′．发现：（1）点O 到弦AB 的距离是，当BP 经过点O 时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O 相切时，如图 2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN 剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M， N 重合）为半圆上一点，将圆形沿NP 折叠，分别得到点M，O 的对称点A′， O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图 3，判断A′C 与半圆O 的位置关系，并说明理由；（2）如图 4，当α＝ °时，NA′与半圆O 相切，当α＝ °时，点O′落在NP上．（3）当线段NO′与半圆O 只有一个公共点N 时，直接写出β的取值范围．【答案】发现：（1）1，60°；（2）3；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】【分析】发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展：（1）过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．用含30°角的直角三角形的性质可得OD=A'H=12A'N=12MN=2可判定A′C与半圆相切；（2）当NA′与半圆相切时，可知ON⊥A′N，则可知α=45°，当O′在PB时，连接MO′，则可知NO′=12MN，可求得∠MNO′=60°，可求得α=30°；（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【详解】发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,∵⊙O的半径为2，AB=23，∴OH=22OB HB-=222(3)1-=在△BOH中，OH=1，BO=2∴∠ABO=30°∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°．∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°．∴∠A′BP=∠ABP=60°．∴∠OBP=30°．∴OG=12OB=1．∴3．∵OG⊥BP，∴3．∴3．∴折痕的长为3拓展：（1）相切．分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示，∵A'C∥MN∴四边形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=12A'N=12MN=2∴A'C与半圆（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′，∴∠ONA′=2α=90°，∴α=45当O′在PB上时，连接MO′，则可知NO′=12 MN，∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°，∴α=30°，故答案为：45°；30°．（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B；当α增大到45°时N A′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B．当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．2．如图，在ABC中，90ACB∠=，BAC∠的平分线AD交BC于点D，过点D作DE AD⊥交AB于点E，以AE为直径作O．()1求证：BC是O的切线；()2若3AC=，4BC=，求tan EDB∠的值．【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=． 【解析】【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．【详解】()1证明：连接OD ，如图，AD 平分BAC ∠，12∴∠=∠，OA OD =，23∴∠=∠，13∴∠=∠，//OD AC ∴，AC BC ⊥，OD BC ∴⊥，BC ∴是O 的切线；()2解：在RtACB 中，22345AB =+=， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，//OD AC ， BDO ∴∽BCA ，OD ∴：AC BO =：BA ，即r ：()35r =-：5，解得158r =， 158OD ∴=，258OB =， 在Rt ODB 中，2252BD OB OD =-=， 32CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD 中，312tan 132CD AC ∠===， AE 为直径，90ADE ∴∠=，90EDB ADC ∴∠+∠=，190ADC ∠+∠=，1EDB ∴∠=∠，1tan 2EDB ∴∠=． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．3．如图1，在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=6cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连结DE ，点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE 运动，到点E 停止，点P 在AD 上以5cm/s 的速度运动，在DE 上以1cm/s 的速度运动，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为_____cm ．（用含t 的代数式表示） （2）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣38t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=103s．【解析】分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．详解：（1）由勾股定理可知：AB=22AC BC=10．∵D、E分别为AB和BC的中点，∴DE=12AC=4，AD=12AB=5，∴点P在AD上的运动时间=55=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．故答案为t﹣1．（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP时，重叠部分为五边形，∴3＞t﹣1，t＜4，DP＞0，∴t﹣1＞0，解得：t＞1，∴1＜t＜4．∵△DFN∽△ABC，∴DNFN=ACBC=86=43．∵DN=PN﹣PD，∴DN=3﹣（t﹣1）=4﹣t，∴4t FN -=43，∴FN =344t -（）， ∴FM =3﹣344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．由（1）可知，DP =（t ﹣1）cm ，则PE =CQ =（5﹣t ）cm ，MQ =3cm ，∴MC =MQ +CQ =5﹣t +3=（8﹣t ）cm ，∴1+0.2t =8﹣t ，解得：t =356s ． ∵P 到E 点停止，∴t ﹣1≤4，即t ≤5，∴t =356s （舍）． 综上所述：当t =103s 时，⊙O 与正方形PQMN 的边所在直线相切． 点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．4．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．5．已知：如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，∠APB是平分线分别交BC，AB于点D、E，交⊙O于点F，∠A=60°，并且线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣3 =0的两根（k为常数）．（1）求证：PA•BD=PB•AE；（2）求证：⊙O的直径长为常数k；（3）求tan∠FPA的值．【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）tan∠FPA=2﹣3 .【解析】试题分析：（1）由PB切⊙O于点B，根据弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可证得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的对应边成比例，证得PA•BD=PB•AE；（2）易证得BE=BD，又由线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），即可得AE+BD=k，继而求得AB=k，即：⊙O的直径长为常数k；（3）由∠A=60°，并且线段AE、BC的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），可求得AE与BD的长，继而求得tan∠FPB的值，则可得tan∠FPA的值．试题解析：（1）证明：如图，∵PB切⊙O于点B，∴∠PBD=∠A，∵PF平分∠APB，∴∠APE=∠BPD，∴△PBD∽△PAE，∴PB：PA=BD：AE，∴PA•BD=PB•AE；（2）证明：如图，∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，∴∠BED=∠BDE．∴BE=BD．∵线段AE、BD的长是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的两根（k为常数），∴AE+BD=k，∴AE+BD=AE+BE=AB=k，即⊙O直径为常数k．（3）∵PB切⊙O于B点，AB为直径．∴∠PBA=90°．∵∠A=60°．∴PB=PA•sin60°=PA，又∵PA•BD=PB•AE，∴BD=AE ，∵线段AE 、BD 的长是一元二次方程 x 2﹣kx+2=0的两根（k 为常数）． ∴AE•BD=2， 即AE 2=2，解得：AE=2，BD=，∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，在Rt △PBA 中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．在Rt △PBE 中，tan ∠BPF===2﹣， ∵∠FPA=∠BPF ，∴tan ∠FPA=2﹣． 【点睛】此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及根与系数的关系等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．6．如图，AB 是半圆O 的直径，半径OC ⊥AB ，OB ＝4，D 是OB 的中点，点E 是弧BC 上的动点，连接AE ，DE ．（1）当点E 是弧BC 的中点时，求△ADE 的面积；（2）若3tan 2AED ∠= ，求AE 的长； （3）点F 是半径OC 上一动点，设点E 到直线OC 的距离为m ，当△DEF 是等腰直角三角形时，求m 的值.【答案】（1）62ADE S =2）1655AE =3）23m =，22m =71m =.【解析】【分析】（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故AF AD EF BD=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.【详解】解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，∵点E 是弧BC 中点，∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，∴EH ＝OH ＝2+a ，在Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ），解得a ＝222±-，∴a ＝222-，EH=22，S △ADE ＝1622AD EH =;（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE设EF ＝2x ，DF ＝3x∵DF ∥BE∴AF AD EF BD = ∴622AF x ==3 ∴AF ＝6x 在Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2（6x ）2+（3x ）2＝（6）2解得x 255AE ＝8x 1655（3）当点D 为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH＝a由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH，∴∠DFO=∠EDH∴△ODF≌△HED∴OD＝EH＝2在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（2）2＝（6+a）•（2﹣a）-解得a＝±232m＝23当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFG≌△DEH设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）解得a＝222±-∴m＝22当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFM≌△FDO设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2∴EH＝a+2在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）解得a＝71m71【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.7．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∴∠ECA＝1∠AOE＝15°，2∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACE＝12∠ACB＝60°，∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，已知△ABC，AB=2，3BC ，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是DF的中点，求:BD CD的值；（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．【答案】(1) 2442y x x(0≤x≤3); (2) 45; (3) BD的长是11+5.【解析】【分析】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式．（2）由勾股定理求得：AC=22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和Rt △AHC 推知12DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答．【详解】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos AD DF x x ADF ==-+∠ ∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ． ∵BC=3，∴312HC =-=．∴225AC AH HC +=．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ DCQ CQ ∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵35k =，53k =，∴2253DC DQ CQ =+=． ∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形 则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD DF DC =． ∵2DF AD =，DC BC BD =-． ∴2AD BC BD =-．即()222-23x x x +=-,整理得 210x x --=，解得 15x ±=（负数舍去）． 综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或1+52． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．9．如图，已知,,BAC AB AC O ∆=为ABC ∆外心，D 为O 上一点，BD 与AC 的交点为E ，且2·BC AC CE =．①求证：CD CB =；②若030A ∠=，且O 的半径为33+，I 为BCD ∆内心，求OI 的长．【答案】①证明见解析； ②3【解析】【分析】①先求出BC CE AC BC =，然后求出△BCE 和△ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A =∠CBE ，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A =∠D ，然后求出∠D =∠CBE ，然后根据等角对等边即可得证；②连接OB 、OC ，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC =60°，然后判定△OBC 是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC 经过点I ，设OC 与BD 相交于点F ，然后求出CF ，再根据I 是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF ，然后求出CI ，最后根据OI =OC ﹣CI 计算即可得解．【详解】①∵BC 2=AC •CE ，∴BC CE AC BC=． ∵∠BCE =∠ECB ，∴△BCE ∽△ACB ，∴∠CBE =∠A ．∵∠A =∠D ，∴∠D =∠CBE ，∴CD =CB ；②连接OB 、OC ．∵∠A =30°，∴∠BOC =2∠A =2×30°=60°．∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形．∵CD =CB ，I 是△BCD 的内心，∴OC 经过点I ，设OC 与BD 相交于点F ，则CF =BC ×sin30°12=BC ，BF =BC •cos30°3=BC ，所以，BD =2BF =23⨯BC 3=BC ，设△BCD 内切圆的半径为r ，则S △BCD 12=BD •CF 12=（BD +CD +BC ）•r ，即12•3BC •12BC 12=（3BC +BC +BC ）•r ，解得：r 3223=+（）BC 233-=BC ，即IF 233-=BC ，所以，CI =CF ﹣IF 12=BC 2332--BC =（23-）BC ，OI =OC ﹣CI =BC ﹣（23-）BC =（3-1）BC ． ∵⊙O 的半径为33+，∴BC =33+，∴OI =（3-1）（33+）=33+3﹣3323-=．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC 经过△BCD 的内心I 是解题的关键．10．已知AB ，CD 都是O 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=，D E 90∠∠∴+=，2D 2E 180∠∠∴+=，AOD COB ∠∠=，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR 和ODG 中，A AOD ∠∠=，ARO OGD 90∠∠==，OA DO =，AOR ∴≌ODG ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===，AF//OC//BT ∴，OA OB =，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=， CD 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=，tan E tan CBT ∠∠∴=，BT CT ET BT∴=， BT 3m m BT∴=，BT ∴=负根已经舍弃)，tan E ∠∴== E 60∠∴=，CWD HDE H ∠∠∠=+，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==，MON 2HCN 60∠∠∴==，OM ON =，OMN ∴是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN 中，CN 48==，在Rt CHN 中，CN 48tan H HN HN∠===HN ∴=在Rt KNH 中，1KH HN 2==NK 24==，在Rt NMK 中，MK 7===，HM HK MK 7∴=+=．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.。

人教版九年级数学上册第二十四章圆压轴题专题练习1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．参考答案1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，连接OD，过点C作CF⊥AB于点F，∵，∴∠DAB＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，设∠ABC＝α，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，∵∠CAD＝∠CBA＝α，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+α，∴，∴α＝30°，∴CF＝，∵，∴OD＝CF，∵，∴AD＝BD，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP⊥AB，∴CF∥OD∴四边形ODCF是矩形，∴∠ODC＝90°，∴直线l是⊙O的切线；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于点G，由（1）知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，∴∠ADC＝∠EAB＝45°，则△ACD∽△BEA，∴，∴AE＝CD，∵∠DAB＝45°、∠ABC＝30°，∴BE＝2EG＝2×AE＝AE＝CD＝2CD，∴．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB＝OA，∴∠OBD＝∠ODB，∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠CDA+∠ODA＝∠ODC＝90°．∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CBD＝30°，∠OBD＝∠ODB，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°，∴∠C＝30°．∵∠ODC＝90°．∴OD＝OB＝OC，∴OB＝BC，∵BC＝3，∴OB＝1，∴⊙O半径为1．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【解答】解：（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点M，连接MD，如图，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠M＝∠BAD，∵∠EAD＝∠HAD．∴∠M＝∠EAD，∵AM为直径，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝90°，∴∠EAD+∠MAD＝90°，即∠MAE＝90°，∴AM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）∵∠EAD＝∠HAD，DH⊥AH，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AHD≌△AED（AAS）∴DE＝DH，AH＝AE，设DE＝x，AH＝y，则DH＝x，AE＝y，∵∠EPD＝∠HP A，∠PED＝∠PHA＝90°，∴Rt△PED∽Rt△PHA，∴＝＝，即＝＝，∴解得x＝，y＝，即DE的长为，AH＝，设圆的半径为r，则OH＝r﹣，在Rt△OAH中，（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．答：⊙O的半轻和DE的长分别为：，．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF＝＝＝，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．【解答】（1）证明：连接OD，AD．∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵D是半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，∴∠AHF＝90°．∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠G+∠ABF＝90°，∴∠G＝∠BAF，又∠AHF＝∠GAB＝90°，∴△AFH∽△GBA，∴，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．∵AC＜AB，∴上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，∴≤，即的最大值为．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝AD•BD+＝+2π＝3+2π．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵O B＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵＝，∴设AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵△ACD的面积为6，∴AD•CD＝＝6，∴x＝1（负值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴＝，连接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝＝，∴DE＝4﹣＝，∴BD＝＝．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．【解答】解：（1）连接OD、BD，如图所示．∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD•AC，∴62＝AD×10，∴AD＝．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直径＝3．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接BD，OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDF＝∠AEB＝90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，∵点D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠ABE＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABE＝∠CDE，∴DE＝CE，∵点F是CD中点，∴EF⊥CD，∵BD⊥CD，∴EF∥BD，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴CE＝BE，∵AO＝BO，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴四边形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，又OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，BD∥EF，∴∠OGE＝90°，即OE⊥BD，∴DE＝BE，＝，∴弓形BE的面积＝弓形DE的面积，∴阴影部分面积＝S△DEF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠CAE＝30°，∵DE＝OA＝2，∴DF＝DE＝1，EF＝，∴图中阴影部分的面积＝＝．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．【解答】解：（1）如图，设圆I与AC切于点M，与BC切于点N，由切线长定理可知：AD＝AM，CM＝CN，BN＝BD，∴AD+AM＝AB+BC+CA﹣CM﹣CN﹣BN﹣BD＝a+b+c﹣2a＝b+c﹣a，∴AD＝，∴BD＝．（2）连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴c2＝a2+b2，∴四边形DEFG是正方形，∴ED⊥AB，由射影定理可知：DE2＝AD•BD＝×＝ab．∴正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于点M，连接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F为CD中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，设GE＝x，则AG＝x，∴DG＝x，BG＝√x，GC＝3x，DC＝x，DM＝x，OD＝x，∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．【解答】（1）证明：连接DN，∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD＝∠BDN，∵CD为∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACD＝∠MND，∴∠MND＝∠BDN，∴MN∥AB；（2）解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵CD为∠ACB的平分线，∴＝，∴＝，∴AD＝6，∵AD2＝AC•AM，∴62＝12AM，∴AM＝3，∴CM＝9，∴＝，∴MN＝．。

九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习附答案解析一、圆的综合1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．2．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5=,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴223635+=∴PB=OB-OE=353.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.4．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA ，∴AE ∥OC （内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD 为菱形．理由是： ∵，∴∠DCA=∠CAB ，∴CD ∥OA ，又∵AE ∥OC ，∴四边形AOCD 是平行四边形，∵OA=OC ，∴平行四边形AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD ．∵四边形AOCD 为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD ，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH ⊥AB 于点F ，AB 为直径，∴DH=2DF ，在Rt △OFD 中，sin ∠AOD=， ∴DF=ODsin ∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2． 考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．6．如图1O e ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC o ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当»»DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O e 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD V 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==o ，求出答案即可；②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，//OP PD PD AB ⊥Q ，，90POB ∴∠=o ，O Q e 的直径12AB =，6OB OD ∴==，在Rt POB V 中，30ABC o ∠=，3tan30623OP OB ∴=⋅==o 在Rt POD V 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，»»DC AC =Q ，30DBC ABC ∴∠=∠=o ，60ABD o ∴∠=，OB OD =Q ，OBD ∴V 是等边三角形，OD FB ∴⊥，12BE AB =Q ， OB BE ∴=，//BF ED ∴，90ODE OFB o ∴∠=∠=，DE ∴是O e 的切线；②由①知，OD BC ⊥，3cos306332CF FB OB ∴==⋅=⨯=o 在Rt POD V 中，OF DF =， 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD V 是等边三角形是解题关键．7．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动．（1）当t =0时，点F 的坐标为 ；（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离；（3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标； （2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论； （4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°， ∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t=，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．8．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO=，cos∠EOD=35ODOE=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣18 5=325，EA=EO+OA=10+6=16．∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EMGA EA=，即24325516GA，解得GA=12．点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．9．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC=2 4=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．10．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π11．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数12．如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．（1）求tan∠AOD的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②22 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．13．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（m，0）（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是_____；（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵303303tan60︒--===3333tan60︒-==，∴点S，T与A点互为“向善点”．故答案为S，T．（2）根据题意得：303 |1|m=-解得：m1＝0，m2＝2，经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：3k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩或320k bk b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：3kb⎧=⎪⎨=⎪⎩或323kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．∵∠BOE＝60°，∴sin60°＝32BEOB=，∴OB＝2，∴m＝﹣2或m＝2；当⊙B与直线y＝﹣3x+23相切时，过点B作BF⊥直线y＝﹣3x+23于点F，如图3所示．同理，可求出m＝0或m＝4．综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况考虑．14．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值． ②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<．【解析】 【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQk CQ=计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===，可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<． 【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，2212122k +∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥． (1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．15．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD=3，BD=4，求△ABC 的面积． 解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x ．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x 2+7x=12． 所以S △ABC =12AC•BC =12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝34[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．已知：如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线BD 上，以OD 的长为半径的⊙O 与AD ，BD 分别交于点E 、点F ，且∠ABE=∠DBC ．（1）判断直线BE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin ∠ABE=33，CD=2，求⊙O 的半径．【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为3． 【解析】分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；（2）连接EF ，方法1：∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3sin ABE ∠= ∴23DCBD sin CBD∠==在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =．∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， 由勾股定理求得6BE =．在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．设⊙O 的半径为r ，则222623r r +=-（）（），∴r =3， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==，，则2BC x =．∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222DC AE AEAE BC AB ，，=∴=∴=， ∴E 为AD 中点．∵DF 为直径，∠FED =90°，∴EF ∥AB ，∴132DF BD ==，∴⊙O 的半径为3．点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．3．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法； （2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π． 【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB 的垂直平分线；②作线段BC 的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆O 即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC ＝3，如图弦AC 所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．4．如图，△ABC中，∠A=45°，D是AC边上一点，⊙O经过D、A、B三点，OD∥BC．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若OD=15，AE=7，求BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠DOB度数，根据平行线性质求出∠CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长BO交⊙O于点F，连接AF，求出∠ABF，解直角三角形求出BE．详解：（1）证明：连接OB．∵∠A=45°，∴∠DOB=90°．∵OD∥BC，∴∠DOB+∠CBO=180°．∴∠CBO=90°．∴直线BC是⊙O的切线．（2）解：连接BD．则△ODB是等腰直角三角形，∴∠ODB=45°，BD=OD=15，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴BD2=BE•BA，∴（15）2=（7+BE）BE，∴BE=18或﹣25（舍弃），∴BE=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．5．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．6．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切（2）如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．2．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ．(1)如图(1),求证:AD ∥BC ；(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ；(3)在(2)的条件下,若DG 平分∠3∠3,求⊙O 的半径。

【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129【解析】试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，得到AB=DE．再证明ΔCDE是等边三角形，ΔBGE是等边三角形，通过解三角形ABE，得到AB，HB，AH，HE的长，由EC=DE=AB，得到HC的长．在Rt△AHC中，由勾股定理求出AC的长．作直径AP，连接CP，通过解△APC即可得出结论．试题解析：解：(1)连接AC．∵AB=CD，∴弧AB=弧CD，∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC．（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．∵AD∥BC，DG∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，∴DN=BE．∵ABCD是圆内接四边形，∴∠NDC=∠B．∵AB=CD，∴ΔABE≌ΔCND，∴AE=CN．∵DN=AD，AF=FC，∴DF=1CN，∴AE=2DF．2（3）连接BG，过点A作AH⊥BC，由（2）知∠AEB=∠ANC，四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE．∵DF∥CN，∴∠ADF=∠ANC，∴∠AEB=∠ADF，∴tan∠AEB= tan∠ADF=3DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠CDG．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∠NDC=∠DCE．∵∠ABC=∠NDC，∴∠ABC=∠DCE．∵AB∥DG，∴∠ABC=∠DEC，∴∠DEC=∠ECD=∠EDC，∴ΔCDE是等边三角形，∴AB=DE=CE．∵∠GBC=∠GDC=60°，∠G=∠DCB=60°，∴ΔBGE是等边三角形，BE= GE=53．∵tan∠AEB= tan∠ADF=43，设HE=x，则AH=43x．∵∠ABE=∠DEC=60°，∴∠BAH=30°，∴BH=4x，AB=8x，∴4x+x=53，解得：x=3，∴AB=83，HB=43，AH=12，EC=DE=AB=83，∴HC=HE+EC=383+=93．在Rt△AHC中，AC=222212(93)AH HC+=+=343．作直径AP，连接CP，∴∠ACP=90°，∠P=∠ABC=60°，∴sin∠P=AC AP，∴3432129sin6032ACAP===︒，∴⊙O的半径是129．3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD ⊥AB 即可证明DA 是⊙O 切线；（2）由∠DAC =∠DCE ，∠D =∠D 可知△DEC ∽△DCA ；（3）由题意可知AO =1，OD =3，DC =2，由勾股定理可知AD =2，故此可得到DC 2=DE •AD ，故此可求得DE 的长，于是可求得AE 的长．详解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB +∠B =90°．∵∠DAC =∠B ，∴∠CAB +∠DAC =90°，∴AD ⊥AB ．∵OA 是⊙O 半径，∴DA 为⊙O 的切线；（2）∵OB =OC ，∴∠OCB =∠B ．∵∠DCE =∠OCB ，∴∠DCE =∠B ．∵∠DAC =∠B ，∴∠DAC =∠DCE ．∵∠D =∠D ，∴△CED ∽△ACD ；（3）在Rt △AOD 中，OA =1，sin D =13，∴OD =OA sinD =3，∴CD =OD ﹣OC =2． ∵AD =22OD OA -=22． 又∵△CED ∽△ACD ，∴AD CD CD DE =，∴DE =2CD AD=2， ∴AE =AD ﹣DE =22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC ∽△DCA 是解题的关键．4．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．3831343n 【解析】 分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为32 ∴a1.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵h ＝2a 2，∴1＝2－1)2＋14a 22，解得a 2 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2， 即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ .∵h a n ，∴1＝14a n 2＋212n ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，解得a n5．（1）问题背景如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AB=AC ，P 为BmC 上一动点（不与B ，C 重PA=PB+PC ．小明同学观察到图中自点A 出发有三条线段AB ，AP ，AC ，且AB=AC ，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：第一步：将△PAC 绕着点A 顺时针旋转90°至△QAB （如图①）；第二步：证明Q ，B ，P 三点共线，进而原题得证．请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．（2）类比迁移如图②，⊙O 的半径为3，点A ，B 在⊙O 上，C 为⊙O 内一点，AB=AC ，AB ⊥AC ，垂足为A ，求OC 的最小值．（3）拓展延伸如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=43AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为．【答案】（1）证明见解析；（2）OC最小值是32﹣3；（3）32．【解析】试题分析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①），只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题；（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，在△BOQ中，利用三边关系定理即可解决问题；（3）如图③构造相似三角形即可解决问题．作AQ⊥OA，使得AQ=43OA，连接OQ，BQ，OB．由△QAB∽OAC，推出BQ=43OC，当BQ最小时，OC最小；试题解析：（1）将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；∵BC是直径，∴∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，∵∠PCA+∠PBA=180°，∴∠QBA+∠PBA=180°，∴Q，B，P三点共线，∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，∴QP2=AP2+AQ2=2AP2，∴2AP=QB+BP=PC+PB，∴2．（2）如图②中，连接OA，将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，∵AB ⊥AC,∴∠BAC=90°,由旋转可得 QB=OC ，AQ=OA ，∠QAB=∠OAC ，∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°， ∴在Rt △OAQ 中，OQ=32，AO=3 ，∴在△OQB 中，BQ≥OQ ﹣OB=32﹣3 ， 即OC 最小值是32﹣3；（3）如图③中，作AQ ⊥OA ，使得AQ=43OA ，连接OQ ，BQ ，OB ．∵∠QAO=∠BAC=90°，∠QAB=∠OAC ，∵QA AB OA AC ==43， ∴△QAB ∽OAC ，∴BQ=43OC ， 当BQ 最小时，OC 最小，易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ ﹣OB ，∴OQ≥2，] ∴BQ 的最小值为2，∴OC 的最小值为34×2=32， 故答案为32． 【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识，能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.6．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 和点P ，给出如下定义：点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点．如果以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点，我们就称点P 是线段MN 的“关联点”．如图，M （1，2），N （4，2）．（1） 在点P 1（1，3），P 2（4，0），P 3（3，2）中，线段MN 的“关联点”有 ；（2） 如果点P 在直线1y x =+上，且点P 是线段MN 的“关联点”，求点P 的横坐标x 的取值范围；（3） 如果点P 在以O （1，1-）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，直接写出⊙O 半径r 的取值范围．【答案】（1）P 1和P 3；（2）3311x -≤≤；（3）333 3.r +≤≤ 【解析】【分析】 （1）先根据题意求出点P 的横坐标的范围，再求出P 点的纵坐标范围即可得出结果； （2）由直线y=x+1经过点M （1，2），得出x≥1，设直线y=x+1与P 4N 交于点A ，过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C ，则在△AMN 中，MN=3，∠AMN=45°，∠ANM=30°，设AB=MB=a ，tan ∠ANM=AB BN ，即tan30°=3a a-，求出a 即可得出结果； （3）圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，分别求出两个距离即可得出结果．【详解】（1））如图1所示：∵点A 是线段MN 上一个动点，过点A 作线段MN 的垂线l ，点P 是垂线l 上的另外一个动点，M （1，2），N （4，2），∴点P 的横坐标1≤x≤4，∵以点P 为旋转中心，将垂线l 沿逆时针方向旋转60°后与线段MN 有公共点， 当∠MPN=60°时，PM=60MN tan ︒33 同理3，∴点P 的纵坐标为2-3或2+3，即纵坐标2-3≤y≤2+3，∴线段MN 的“关联点”有P 1和P 3；故答案为：P 1和P 3；（2）线段MN 的“关联点”P 的位置如图所示，∵ 直线1y x =+经过点M （1，2），∴ x ≥1.设直线1y x =+与P 4N 交于点A .过点A 作AB ⊥MN 于B ，延长AB 交x 轴于C .由题意易知，在△AMN 中，MN = 3，∠AMN = 45°，∠ANM = 30°.设AB = MB = a ，∴ tan AB ANM BN ∠=，即tan303a a ︒=-， 解得333.2a = ∴ 点A 的横坐标为33333111x a --=+=+= ∴331x - 综上 3311.2x ≤≤ （3）点P 在以O （1，-1）为圆心，r 为半径的⊙O 上，且点P 是线段MN 的“关联点”，如图3所示：连接P 4O 交x 轴于点D ，P 4、M 、D 、O 共线，则圆心O 到P 4的距离为r 的最大值，由（1）知：MP 4=NP 5=3， 即OD+DM+MP 4=1+2+3=3+3，圆心O 到MP 5的距离为r 的最小值，作OE ⊥MP 5于E ，连接OP 5，则OE 为r 的最小值，MP 5=225MN NP +=223(3)+=23，OM=OD+DM=1+2=3， △OMP 5的面积=12OE•MP 5=12OM•MN ，即12×OE×23=12×3×3， 解得：OE=33， ∴332≤r≤3+3． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了旋转、直角三角形的性质、勾股定理、最值等知识，熟练掌握“关联点”的含义，作出关于MN 的“关联点”图是关键．7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD =90°，AD 、BC 的延长线交于点F ，点E 在CF 上，且∠DEC =∠BAC ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）当AB =AC 时，若CE =2，EF =3，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（235． 【解析】【分析】（1）先判断出BD 是圆O 的直径，再判断出BD ⊥DE ，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F =∠EDF ，根据等腰三角形的判定得到DE =EF =3，根据勾股定理得到CD 225DE CE =-=，证明△CDE ∽△DBE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）如图，连接BD ．∵∠BAD =90°，∴点O 必在BD 上，即：BD 是直径，∴∠BCD =90°，∴∠DEC +∠CDE =90°． ∵∠DEC =∠BAC ，∴∠BAC +∠CDE =90°．∵∠BAC =∠BDC ，∴∠BDC +∠CDE =90°，∴∠BDE =90°，即：BD ⊥DE ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线；（2）∵∠BAF =∠BDE =90°，∴∠F +∠ABC =∠FDE +∠ADB =90°．∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ．∵∠ADB =∠ACB ，∴∠F =∠FDE ，∴DE =EF =3．∵CE =2，∠BCD =90°，∴∠DCE =90°，∴CD 225DE CE =-=．∵∠BDE =90°，CD ⊥BE ，∴∠DCE =∠BDE =90°．∵∠DEC =∠BED ，∴△CDE ∽△DBE ，∴CD BD CE DE =，∴BD 5335⨯==，∴⊙O 的半径35=．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE =EF 是解答本题的关键．8．如图，在中，，以为直径作，交边于点，交边于点，过点作的切线，交的延长线于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）4．【解析】试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴△FOD∽△FAE，∴，∴，整理得R2﹣R﹣12=0，∴R=4或（﹣3舍弃）．∴⊙O的半径为4．考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．9．我们知道，如图1，AB是⊙O的弦，点F是AFB的中点，过点F作EF⊥AB于点E，易得点E是AB的中点，即AE＝EB．⊙O上一点C（AC＞BC），则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”．（1）当点C在弦AB的上方时（如图2），过点F作EF⊥AC于点E，求证：点E是“折弦ACB”的中点，即AE＝EC+CB．（2）当点C在弦AB的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．（3）如图4，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H，交AB于点M，当∠PAB＝45°时，求AH的长．【答案】（1）见解析；（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，见解析；（3）AH313．【解析】【分析】（1）在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，证明△FAG ≌△FBC ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FC ，根据等腰三角形的性质得到EG ＝EC ，即可证明.（2）在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，证明△FCG ≌△FCB ，根据全等三角形的性质得到FG ＝FB ，得到FA ＝FG ，根据等腰三角形的性质得到AE ＝GE ，即可证明. （3）分点P 在弦AB 上方和点P 在弦AB 下方两种情况进行讨论.【详解】解：（1）如图2，在AC 上截取AG ＝BC ，连接FA ，FG ，FB ，FC ，∵点F 是AFB 的中点，FA ＝FB ，在△FAG 和△FBC 中，,FA FB FAG FBC AG BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FAG ≌△FBC （SAS ），∴FG ＝FC ，∵FE ⊥AC ，∴EG ＝EC ，∴AE ＝AG+EG ＝BC+CE ；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，理由：如图3，在CA 上截取CG ＝CB ，连接FA ，FB ，FC ，∵点F 是AFB 的中点，∴FA ＝FB ， FA FB =,∴∠FCG ＝∠FCB ，在△FCG 和△FCB 中，,CG CB FCG FCB FC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FCG ≌△FCB （SAS ），∴FG ＝FB ，∴FA ＝FG ，∵FE ⊥AC ，∴AE ＝GE ，∴CE ＝CG+GE ＝BC+AE ；（3）在Rt △ABC 中，AB ＝2OA ＝4，∠BAC ＝30°， ∴12232BC AB AC ===，， 当点P 在弦AB 上方时，如图4，在CA 上截取CG ＝CB ，连接PA ，PB ，PG ，∵∠ACB ＝90°，∴AB 为⊙O 的直径，∴∠APB ＝90°，∵∠PAB ＝45°，∴∠PBA ＝45°＝∠PAB ，∴PA ＝PB ，∠PCG ＝∠PCB ，在△PCG 和△PCB 中， ,CG CB PCG PCB PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PCG ≌△PCB （SAS ），∴PG ＝PB ，∴PA ＝PG ，∵PH ⊥AC ，∴AH ＝GH ，∴AC ＝AH+GH+CG ＝2AH+BC ，∴2322AH=+，∴31AH=-，当点P在弦AB下方时，如图5，在AC上截取AG＝BC，连接PA，PB，PC，PG∵∠ACB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠PAB＝45°，∴∠PBA＝45°＝∠PAB，∴PA＝PB，在△PAG和△PBC中，,AG BCPAG PBCPA PB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAG≌△PBC（SAS），∴PG＝PC，∵PH⊥AC，∴CH＝GH，∴AC＝AG+GH+CH＝BC+2CH，∴2322CH，=+∴31CH=-，∴()233131AH AC CH=-=--=+，即：当∠PAB＝45°时，AH的长为31-或3 1.+【点睛】考查弧，弦的关系，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，注意分类讨论思想方法在解题中的应用.10．在△ABC中，0090,60ACB BAC∠=∠=，AC=2，P为△ABC所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC．（1）如图1,已知，APB BPC APC∠=∠=∠，以A为旋转中心，将APB∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②27；（2）31312PQ PQ -≤≤+≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 的最小值为3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB≌△AMN，△APM是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．的取值范围是且∴≤≤≠PQ31PQ31PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

人教版九年级数学上册第24章圆压轴题专题练习题1．如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且弧EC=弧BC，连接AE，AC．过点C 作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段A B上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．3．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．5．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E 的大小．6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，弧AC=弧CD=弧DB，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．7．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．8．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为弧AC上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．10．如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是弧AC上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分弧AC；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．12．已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB交⊙O于点E，连接AE．（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB 的大小．13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，点E是劣弧BC的中点，连接AE，CE．（1）求证：∠DAC＝∠AEC；（2）延长CE，AB交于点G，使得GB＝12AB，若AC＝2，求⊙O的半径．14．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，过点B作⊙O的切线，与⊙O的直径CE所在的直线相交于点D，连接BE，其中BE＝BD＝3，∠D＝30°．（1）求∠A的大小；（2）点A在圆上移动时，当△ABC与△BCD恰巧全等，求AE的长．15．点B是⊙O外一点，BP是∠ABC的角平分线，BA与⊙O的一个交点为D，过D作BP 的垂线交BP于E，交BC于F，交⊙O于G．（1）如图1，BC与⊙O交于点M和点N，当点G是弧MN的中点时，求证：BA是⊙O 的切线；（2）如图2，当BC过点O时，画出点O到BP的距离d，猜想线段FG与d有怎样的数量关系，并证明．参考答案1．如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且弧EC=弧BC，连接AE，AC．过点C 作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD【解答】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥O C，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵弧EC=弧BC，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD∴BE＝，∴AE＝＝＝2，∴AE＝12 AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵弧EC=弧BC，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝3CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段AB上，⊙O交AB于点E，交AC于点F．（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝8，AE＝10，求BD的长．【解答】解：（1）BC与⊙O相切，理由：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为半径，∴BC是⊙O切线；（2）连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，∵∠EAD＝∠DAC，∴△ADE∽△ACD，∴＝，＝，∴AC＝，∴CD＝＝＝，∵OD⊥BC，AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC，∴，∴＝，∴BD＝．3．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）CB与⊙O相切，理由：连接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠CPB＝∠APO，∴∠CBP＝∠APO，在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，即：∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是半径，∴CB与⊙O相切；（2）∵∠A＝30°，∠AOP＝90°，∴∠APO＝60°，∴∠BPD＝∠APO＝60°，∵PC＝CB，∴△PBC是等边三角形，∴∠PCB＝∠CBP＝60°，∴∠OBP＝∠POB＝30°，∴OP＝PB＝PC＝1，∴BC＝1，∴OB＝＝，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC﹣S扇形OBD＝1×﹣＝﹣．4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF．【解答】证明：（1）∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形；（2）连接AE，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，∴∠EC F+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF．5．在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°．（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，∴∠C＝∠APC﹣∠ABC＝100°﹣63°＝37°，由圆周角定理得：∠BAD＝∠C＝37°，∠ADC＝∠ABC＝63°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝90°﹣63°＝27°；（2）连接OD，如图②所示：∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣63°＝27°，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴∠ODE＝90°，∵∠BOD＝2∠PCB＝54°，∴∠E＝90°﹣∠BOD＝90°﹣54°＝36°．6．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D 作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．7．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段AD上的点，过点E的弦FG⊥AB于点H．（1）求证：∠C＝∠AGD；（2）已知BC＝6，CD＝4，且CE＝2AE，求EF的长．【解答】（1）证明：如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠C+∠CAB＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵∠AGD＝∠ABD，∴∠AGD＝∠C；（2）解：∵∠BDC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，∴＝，∴AC＝9，∴AB＝＝3，∵CE＝2AE，∴AE＝3，CE＝6，∵FH⊥AB，∴FH∥BC，∴△AHE∽△ABC，∴，∴＝＝，∴AH＝，EH＝2，如图2，连接AF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AEH+∠BFH＝∠AFH+∠F AH＝90°，∴∠F AH＝∠BFH，∴△AFH∽△FBH，∴＝，∴＝，∴EF＝﹣2．8．在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为上一点，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，连接AD，若AD＝CD，∠P＝30°，求∠CAP的大小．【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP＝90°，∴∠P＝90°﹣∠COP＝36°；（Ⅱ）连接OC，OD，∵AD＝CD，∴∠AOD＝∠COD，∵OA＝OD＝OC，∴∠OAD＝∠ADO＝∠ODC＝∠DCO，∵∠P＝30°，∴∠P AD+∠ADP＝150°，∴∠COP＝∠DCO﹣∠P＝20°，∵∠CAP＝COP，∴∠CAP＝10°．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC 于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝3CD，BF＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∵AC＝AB，∴CD＝BD，∵AC＝3CD，∴AB＝3BD，设BD＝x，则AB＝3x，∴AD＝2x，∵∠BDF+∠1＝∠ADO+∠1＝90°，∴∠BDF＝∠ADO，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠BDF＝∠DAF，∵∠F＝∠F，∴△ADF∽△DBF，∴＝，∴＝＝，∴DF＝4，x＝2，∴AB＝14，∴⊙O的半径为7．10．如图1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DE⊥AB于点E，交AC 于点F，连结BD交AC于点G，且AF＝FG．（1）求证：点D平分；（2）如图2所示，延长BA至点H，使AH＝AO，连结DH．若点E是线段AO的中点．求证：DH是⊙O的切线．【解答】证明：（1）如图1，连接AD、BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝∠ABD，又∵AF＝FG，即点F是Rt△AGD的斜边AG的中点，∴DF＝AF，∴∠DAF＝∠ADF＝∠ABD，又∵∠DAC＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC，∴＝，∴即点D平分；（2）如图2所示，连接OD、AD，∵点E是线段OA的中点，∴，∴∠AOD＝60°，∴△OAD是等边三角形，∴AD＝AO＝AH，∴△ODH是直角三角形，且∠HDO＝90°，∴DH是⊙O的切线．11．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．12．已知在△ABC中，BC⊥AB．AB是⊙O的弦，AC交⊙O于点D，且D为AC的中点，延长CB交⊙O于点E，连接AE．（I）如图①，若∠E＝50°，求∠EAC的大小；（1）如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．若CF＝2CD，求∠CAB 的大小．【解答】解：（1）连接ED，如图1，∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE＝90°，∴AE是⊙O的直径，∴ED⊥AC，∵AD＝DC，∴AE＝CE，∴∠AED＝∠CED＝AEC＝＝25°，∴∠EAC＝90°﹣∠AED＝90°﹣25°＝65°；（2）连接ED，如图2，∵D为AC的中点，∴∠ABE＝90°，∴AE是直径，∵EF是⊙OO的切线，∴∠AEF＝90°，∵D为AC的中点，∴AC＝2CD，∵CF＝2CD，∴AC＝CF，∴CE＝＝AC，由（1）得AE＝CE，∴AE＝CE＝AC，∴∠EAC＝60°，∵AB⊥EC，∴∠CAB＝＝30°13．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，BC，AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，点E是劣弧BC的中点，连接AE，CE．（1）求证：∠DAC＝∠AEC；（2）延长CE，AB交于点G，使得GB＝AB，若AC＝2，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AD⊥AB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．即AC⊥BD．∴∠DAC＝∠ABC＝∠AEC．即∠DAC＝∠AEC．（2）解：过B作BF∥AC，交CG于F，连接OE．∵BG＝AB，AC＝2，∴BF＝AC＝×2＝．∵点E是弧BC的中点，∴OE⊥BC．∵AC⊥BD，∴OE∥AC．∵O是AB的中点，∴OE是梯形ABFC的中位线．∴OE＝．所以⊙O的半径为．14．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，过点B作⊙O的切线，与⊙O的直径CE所在的直线相交于点D，连接BE，其中BE＝BD＝3，∠D＝30°．（1）求∠A的大小；（2）点A在圆上移动时，当△ABC与△BCD恰巧全等，求AE的长．【解答】解：（1）∵BE＝BD，∠D＝30°，∴∠BEC＝∠D＝30°，∴∠A＝∠E＝30°；（2）连接OB，∵DB是⊙O的切线，∴∠CBD＝∠E＝30°，∴BC＝CD，当△ABC≌△DCB时，AB＝CD，∴AB＝BC，∴∠ACB＝∠A＝30°，∵CE是⊙O的直径，∴∠EBC＝90°，∵∠E＝30°，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵CE是⊙O的直径，∴∠EAC＝90°，∴AE＝EC，在Rt△EBC中，∠E＝30°，则BE＝EC，∵BE＝3，∴EC＝2，∴AE＝CE＝；当△ABC≌△DBC时，同理证得∠ACE＝60°，AE＝EC＝3，综上，AE的长为或3．15．点B是⊙O外一点，BP是∠ABC的角平分线，BA与⊙O的一个交点为D，过D作BP 的垂线交BP于E，交BC于F，交⊙O于G．（1）如图1，BC与⊙O交于点M和点N，当点G是的中点时，求证：BA是⊙O的切线；（2）如图2，当BC过点O时，画出点O到BP的距离d，猜想线段FG与d有怎样的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：连接OD，OG，∵BP是∠ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠FBE，∵DG⊥BP，∴∠BED＝∠BEF＝90°，∵BE＝BE，∴△DBE≌△FBE（ASA），∴∠BDE＝∠BFE，∵∠BFE＝∠GFN，∴∠GFN＝∠BDE，∵点G是的中点，∴OG⊥MN，∴∠G+∠GFN＝90°，∵OD＝OG，∴∠G＝∠ODG，∴∠ODG+∠BDF＝90°，∴∠BDO＝90°，∴BA是⊙O的切线；（2）解：FG＝2d，过O作OH⊥BP于H，交AB于M，∴∠BHM＝∠BHO＝90°，∵BP是∠ABC的角平分线，∴∠MHB＝∠OHB，∵DG⊥BP，∵BH＝BH，∴△MBH≌△OBH（ASA），∴OH＝HM，∠BMH＝∠BOH，∴OM＝2OH，连接OD，OG，∵OD＝OG，∴∠ODG＝∠OGD，∵OM⊥AB，DG⊥AB，∴OM∥DG，∴∠ODG＝∠DOM，∠BOM＝∠BFD，∴∠DOM＝∠G，∴∠BMO＝∠DFO，∴∠DMO＝∠OFG，∵OD＝OG，∴△ODM≌△GOF（AAS），∴OM＝FG，∴FG＝2OH，即FG＝2d，。

2023-2024学年数学九年级上册人教版圆压轴题经典题型1．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是BC的中点，连接AE，DE，CE.（1）求证：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积.2．如图，已知⊙O的弦CD垂直于直径AB，点E在CD上，且EC = EB .（1）求证：△CEB∽△CBD ；（2）若CE = 3，CB=5 ，求DE的长.3．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA ，CD 的延长线相交于点E .（1）求证：DC 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝1，ED ＝3，求⊙O 的半径．4．如图1，△ABC 是⊙O 内接三角形将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，其中点D 在圆上，点E 在线段AC 上．（1）求证：DE=DC ；（2）如图2，过点B 作BF ∥CD 分别交AC 、AD 于点M 、N ，交⊙O 于点F ，连结AF ．求证：AN·DE=AF·BM ：（3）在(2)的条件下，若AB AC =13时，求BF BC 的值．5． 如图1，C ，D 是半圆ACB 上的两点，若直径AB 上存在一点P ，确足∠APC ＝∠BPD ，则称∠CPD 是CD 的“美丽角”．（1）如图2，AB 是⊙O 的直径，弦CE ⊥AB ，D 是BC 上一点，连结ED 交AB 于点P ，连结CP ，∠CPD 是CD 的“美丽角”吗？请说明理由；（2）设CD 的度数为α，请用含α的式子表示CD 的“美丽角”度数；（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB ＝5，CD 的“美丽角”为90°，当DE =722时，求CE 的长．6．已知：如图，在半圆O 中，直径AB 的长为6，点C 是半圆上一点，过圆心O 作AB 的垂线交线段AC 的延长线于点D ，交弦BC 于点E.（1）求证：∠D ＝∠ABC ；（2）记OE ＝x ，OD ＝y ，求y 关于x 的函数表达式；（3）若OE ＝CE ，求图中阴影部分的面积.7．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB=CD.（1）如图1，连接AD.求证：AM=DM.（2）如图2，若AB⊥CD，点E为弧BD上一点，BE=BC=α°，AE交CD于点F，连接AD、DE.①求∠E的度数(用含α的代数式表示).②若DE=7，AM+MF=17，求△ADF的面积.8．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．（1）求AE的长．（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．①求y关于x的表达式．②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．9．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．若AB=23，∠AOE=30°，求PE的长．10．已知△ABC内接于⊙O，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H．（1）如图1，求证：OF⊥AC；（2）如图2，AD是△ABC的高，延长AD交⊙O于点K，若∠CAD=2∠BAD，求证：AK=AC；（3）如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E，连接EK，点M在CH上，连接OM．若∠OMH=3∠DKE，BE=OH，AM=247，求HF的长．511．在⊙O中，弦AB、CD交于点E，连接AD、AC、BC，∠ACB−∠ABC=2∠DAB，DH⊥AB于点H.（1）求证：∠BAC=2∠EDH；（2）M为弦BC中点，过点M作MF⊥DC，连接HF，并延长HF交AC于G，3AG=2BH，求证：FH=FG；（3）在(2 )的条件下，若BC=2CE，EF=2，求⊙O的直径。

2022-2023学年人教版中考数学复习《圆综合压轴题》解答题专题突破训练（附答案）1．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，连接AD，AG，GD，BC．（1）若G是弧AC上任意一动点，请找出图中和∠G相等的角（不在原图中添加线段或字母），并说明理由．（2）当点C是弧BG的中点时，①若∠G＝60°，求弦DG的长，②连接BG，交CD于点F，若BE＝2，求线段CF的长．2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，连结OC，过点B作AC的垂线，交⊙O于点D，交OC于点M，交AC于点E，连结AD．（1）若∠D＝α，请用含α的代数式表示∠OCA；（2）求证：CE2＝EM•EB；（3）连接CD，若BM＝4，DM＝3，求tan∠BAC的值及四边形ABCD的面积与△BMC 面积的比值．3．已知：AB为⊙O的直径，＝，D为弦AC上一动点（不与A、C重合）．（1）如图1，若BD平分∠CBA，连接OC交BD于点E．①求证：CE＝CD；②若OE＝2，求AD的长．（2）如图2，若BD绕点D顺时针旋转90°得DF，连接AF．求证：AF为⊙O的切线．4．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4．求⊙O的半径；（3）在（2）条件下，求BE、DE、弧围成的阴影部分的面积．5．如图1，⊙O的弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点且sin∠BAC＝，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E．（1）求证：点P为的中点；（2）如图2，求⊙O的半径和PC的长；（3）若△ABC不是锐角三角形，求P A•AE的最大值．6．如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，连接AC、FC，AC与BD相交于点G．（1）求证：∠ACF＝∠ADB；（2）求证：CF＝DF；（3）∠DBC＝°；（4）若OB＝3，OA＝6，则△GDC的面积为．7．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．（1）求证：BM与⊙O相切；（2）当∠BAC＝60°时，求弦AB和弧AB所夹图形的面积；（3）在（2）的条件下，在弧AB上取一点F，使∠ABF＝15°，连接OF交弦AB于点H，求FH的长度是多少？8．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，∠BCP＝∠BAC．∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：△PEC是等腰三角形；（3）若AC+BC＝2时，求CD的长．9．圆内接四边形ABCD，AB为⊙O的直径．（1）如图1，若D为弧AB中点，AB＝4．①求∠DCB的度数；②求四边形ABCD面积的最大值．（2）如图2，对角线AC，BD交于点E，连结OE并延长交CD于点F，若OE＝3EF＝3，求AB的长．10．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，⊙O 是△ACD的外接圆；（1）若⊙O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；（2）如图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最大，并求当AD＝2，时，⊙O 的半径．11．如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连结AC并延长，与BD 的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）连结AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．12．如图，线段AB＝6，以AB为直径作⊙O，C为⊙O上一点，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点D，连接BC．（1）求证：△BCD∽△ABD；（2）若∠D＝50°，求的长．（3）点P在线段AC上运动，直接写出△PBD的外心运动的路径长．13．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，3），点B在x轴正半轴上，且∠ABO＝30°，C为线段OB上一点，作射线AC交△AOB的外接圆于点D，连接OD，∠COD＝∠OAD．（1）求∠BAD的度数；（2）在射线AD上是否存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，直径AE交BC于点H，点D 在弧AC上，过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF的长；（3）在（2）的条件下，直接写出CD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，P A是⊙O的切线，连接OP交⊙O于点E，点C在⊙O上，四边形OBCE为菱形，连接PC．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）连接BP交⊙O于点F，交CE于点G．①连接OG，求证：OG⊥CG；②若OB＝3，求BF的长．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线m：y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在直线m上，以点O为圆心，OP为半径的⊙O交x轴于点C、D（点C 在点D的左侧），与y轴负半轴交于点E，连接PE，交x轴于点F，且AF＝AP．（1）判断直线m与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求∠PEB的度数；（3）若点Q是直线m上位于第一象限内的一个动点，连接EQ交x轴于点G，交⊙O于点H，判断EG•EH是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．17．如图，线段AB是⊙O的直径，过点B作一条射线BC与AB垂直，点P是射线BC上的一个动点，连接PO交⊙O于点F，连接AF并延长交线段BP于点E，设⊙O的半径为r，PB的长为t（t＞0）．（1）当r＝3时，①若∠F AO＝∠EPF，求的长，②若t＝4，求PE的长；（2）设PE＝n2t，其中n为常数，且0＜n＜1，若t﹣r为定值，求n的值及∠EAB的度数．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径作⊙O，⊙O 与BC相切于点E，连结AE，过点C作CG⊥AB于点G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB于点P．（1）求证：∠BED＝∠EAD；（2）求证：CE＝EP；（3）连接PF，若CG＝8，PG＝6，求四边形CFPE的面积．19．如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，AB＝AC．（1）求证：DE⊥AC；（2）延长CA交⊙O于点F，点G在上，．①连接BG，求证：AF＝BG；②经过BG的中点M和点D的直线交CF于点N，连接DF交AB于点H，若AH：BH＝3：8，AN＝7，试求出DE的长．20．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC 于点F，连结BE．（1）求证：∠AEB＝∠AFD．（2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长．（3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF：FC的值．参考答案1．解：（1）∠AGD＝∠B，理由如下：连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠AGD＝∠B；（2）连接OC，OG，OD，OC交CD于M，∵∠AGD＝∠B＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，∵点C是的中点，∴∠COG＝∠COB＝∠BOD＝60°，∴CD是⊙O的直径，∴CD＝AB＝10；（3）连接BG，交CD于F，连接AC，∵＝＝，∴∠BCD＝∠GBC，∴CF＝BF，∵∠ACD＝∠ABC，∠AEC＝∠BEC，∴△ACE∽△CBE，∴CE2＝AE×BE＝8×2＝16，∵CE＞0，∴CE＝4，设BF＝CF＝x，则EF＝4﹣x，∴（4﹣x）2+22＝x2，解得x＝，∴CF＝．2．（1）解：如图，连接OA，OB，在△AOB与△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SSS），∴∠OAB＝∠OAC＝，∵，∴∠ACB＝∠D＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝α，∴∠BAC＝180°﹣2α，∴∠OAC＝90°﹣α，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝90°﹣α；（2）证明：∵BD⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＝90°﹣∠ACB＝90°﹣α，∴∠OCA＝∠CBE，∵∠CEM＝∠CEB，∴△CEM∽△BEC，∴，∴CE2＝EM•EB；（3）解：如图，连接AO并延长交BD于点N，连接CN，CD，∵AB＝AC，∠OAB＝∠OAC，∴AO垂直平分BC，∴BN＝CN，∵∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠DMC＝∠ABD＝∠ACB，∵，∴∠BAC＝∠CDM，∴∠DCM＝∠ABC，∴∠DCM＝∠DMC，∴CD＝DM＝3，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEN，∵∠OAC＝∠DAC，AE＝AE，∴△AEN≌△AED（ASA），∴EN＝ED，∴AC垂直平分DN，∴CN＝CD＝3，∴BN＝CN＝3，∴MN＝BM﹣BN＝4﹣3＝1，由EN＝DE得：MN+EM＝DM﹣EM，∴1+EM＝3﹣EM，∴EM＝1，∴EB＝BM+EM＝4+1＝5，DE＝DM﹣EM＝3﹣1＝2，由（2）知，CE2＝EM•EB＝1×5＝5，∴CE＝（负值已舍），∵∠BAC＝∠BDC，∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴，∴AE＝，在Rt△ABE中，tan∠BAC＝，由（2）知，∠OCA＝∠CBE＝∠CAD，∴AD∥OC，∴＝，∴CE＝，∴S四边形ABCD＝AC×BD＝＝，S△BMC＝＝＝2，∴四边形ABCD的面积与△BMC面积的比值为．3．（1）①证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵＝，∴∠CBA＝∠BAC＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝45°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA＝22.5°，∵∠CED＝∠CBD+∠BCE＝67.5°，∠CDE＝∠ABD+∠BAC＝67.5°，∴∠CED＝∠CDE，∴CE＝CD；②解：如图1，取BD中点G，连接OG，∵O为AB的中点，∴OG∥AD，AD＝2OG，∴∠OGE＝∠CDE，∵∠OEG＝∠CED，∠CED＝∠CDE，∴∠OGE＝∠OEG，∴OG＝OE＝2，∴AD＝2OG＝4；（2）证明：如图2，在BC上截取BP＝AD，连接DP，∵＝，∴BC＝AC，∴CP＝CD，∵∠ACB＝90°∴∠CPD＝45°，∴∠BPD＝135°，由旋转性质得，∠BDF＝90°，BD＝FD，∴∠BDC+∠FDA＝90°，∵∠BDC+∠CBD＝90°，∴∠CBD＝∠ADF，∴△DF A≌△BDP（SAS），∴∠F AD＝∠BPD＝135°，∴∠F AB＝∠F AD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，∴OA⊥AF，又∵OA为半径，∴AF为⊙O的切线．4．解：（1）连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BCD中，BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBD+∠DBO＝90°，∴∠EDB+∠DBO＝90°，∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠EDB+∠BDO＝90°，即∠ODF＝90°，∴DF⊥OD，∵OD为⊙O的半径，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OB＝2OD，∴sin F＝＝，∴∠F＝30°，∴OB＝BF＝EF•cos F＝4×cos30°＝2，即⊙O的半径为2；（3）由（2）知，OD＝2，∠BOD＝90°﹣∠F＝60°，∴DF＝OD•tan∠BOD＝2×＝6，∵EF＝4，∠F＝30°，∴BE＝EF•sin30°＝2，∵阴影部分的面积＝三角形ODF的面积﹣三角形FEB的面积﹣扇形BOD的面积，∴S阴＝S△ODF﹣S△FEB﹣S扇形BOD＝OD•DF﹣BF•BE﹣π•OD2＝＝4﹣2π，∴阴影部分的面积为4﹣2π．5．（1）证明：①如图1，连接OC，AB，∵AP平分∠BAF，∴∠BAP＝∠P AF，∵∠P AF+∠P AC＝180°，∠P AC+∠PBC＝180°，∴∠P AF＝∠PBC，又∠BAP＝∠PCB，∴∠PBC＝∠PCB，∴PB＝PC，∴＝，∴点P为的中点；（2）解：连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴OM垂直平分BC，∴BM＝CM＝BC＝3，∠BOM＝∠BOC＝∠BAC，∵sin∠BAC＝，∴sin∠BOM＝＝，∴OB＝5，∴⊙O的半径是5，在Rt△OMC中，OM＝＝4，在Rt△PMC中，PM＝OM+OP＝9，∴PC＝＝3；（3）∵∠ACE+∠BCA＝∠BPE+∠BCA＝180°，∴∠ACE＝∠BPE，同理，∠CAE＝∠PBC＝∠P AB，∴△ACE∽△APB，∴＝，∴P A•AE＝AC•AB，如图4，过C作CQ⊥AB于Q，∵sin∠BAC＝，∴CQ＝AC•sin∠BAC，∴S△ABC＝AB•CQ＝AB•AC，∴P A•AE＝S△ABC，∵△ABC非锐角三角形，且BC＝6，∴当A运动到使∠ACB＝90°时，△ABC面积最大，在Rt△ABC中，BC＝6，AB＝10，∴AC＝＝8，∴S△ABC＝BC•AC＝24，∴此时，P A•AE＝80，即P A•AE的最大值为80．6．（1）证明：连接AB，∵OP⊥BC，∴BO＝CO，∴AB＝AC，又∵AC＝AD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，又∵∠ABD＝∠ACF，∴∠ACF＝∠ADB；（2）证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠ACF＝∠ADF，∵∠ACD﹣∠ACF＝∠ADC﹣∠ADF，即∠FCD＝∠FDC，∴CF＝DF；（3）解：连接AF，由（2）知CF＝DF，则点F在CD的垂直平分线上，∵AC＝AD，∴点A在CD的垂直平分线上，∴AF是CD的垂直平分线，∴AF平分∠CAD，∴∠CAF＝45°，∴∠CBD＝45°，故答案为：45；（4）解：作CH⊥BD于H，∵OB＝OC＝3，∠DBC＝45°，∴CH＝BH＝3，∵OA＝6，OC＝3，∴AC＝3，∴CD＝AC＝3，∴DH＝，∴DB＝BH+DH＝9，∵∠ACD＝∠DBC，∠CDG＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴DC2＝DG•DB，∴（3）2＝DG•9，∴DG＝5，∴△GDC的面积为＝15，故答案为：15．7．（1）证明：如图，连接OB，∵⊙O是直角三角形ABC的外接圆，∴∠ABC＝∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，M为CD的中点，∴BM＝MC，∴∠MBC＝∠MCB．又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∵CD为⊙O的切线，∴∠ACD＝90°．∴∠MCB+∠OCB＝∠MBC+∠OBC＝90°，即OB⊥BM．又∵OB为⊙O的半径，∴BM与⊙O相切；（2）解：∵∠BAC＝60°，OA＝OB，∴△ABO为等边三角形，∴∠AOB＝60°．∵AC＝4，∴OA＝2，∴弦AB和弧AB所夹图形的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝．（3）解：连接OB，∠ABF＝15°时，∠AOF＝30°，∴等边△ABO中，OF平分∠AOB，∴OF⊥AB．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，∴AH＝1，∴OH＝，∴FH＝．8．（1）证明：连接OC，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP＝∠ACO，∴∠BCP+∠OCB＝90°，∴OC⊥PC，∵OC为半径，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠PCE＝∠PCB+∠BCD，∠PEC＝∠BAC+∠ACD，∴∠PEC＝∠PCE，∴△PEC是等腰三角形；（3）解：作DM⊥AC于M，DN⊥CB交CB的延长线于N，∵CD平分∠ACB，DM⊥∠AC，DN⊥CB，∴DM＝DN，，∵∠AMD＝∠BND＝90°，∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），∴AM＝BN，∵∠DMC＝∠MCN＝∠CND＝90°，∴四边形CMDN为矩形，∵DM＝DN，∴矩形CMDN为正方形，∴CN＝，∵AC+BC＝CM+AB+CB＝2CN，∴AC+BC＝CD，∵AC+BC＝2，∴CD＝．9．解：（1）①∵AB为直径，D为的中点，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝180°﹣45°＝135°，②连接BD，AC交于点E，当四边形ABCD面积最大时，即△BCD面积最大，当OC⊥BD时，CE最大，∵AB＝4，∴BD＝AD＝2，∴OE＝，∴S，∴S四边形ABCD的最大值为：S；（2）直线OF交⊙O于点M，N，过F作PQ∥AB交直线BD，AC于点P，Q，∵∠Q＝∠A＝∠CDE，∴△PFD∽△CFQ，∴PF•FQ＝FD•FC，∵∠N＝∠MDF，∠MFD＝∠CFN，∴△MFD∽△CFN，∴MF•FN＝FD•FC，∴PF•FQ＝MF•FN，∴，∴FP＝FQ＝，设半径为r，∴（r﹣4）（r+4）＝，∵r＞0，∴r＝3，∴AB＝6．10．解：（1）连接AE，∵∠AEC+∠ADC＝180°，∠BDC+∠ADC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC，∵∠CBD＝∠ABE，∴△ABE∽△CBD，∴，∵BC＝，AD＝2，BD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3，∴，∴BE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝；（2）BN是⊙O的切线，理由如下：连接CO并延长交⊙O于点F，连接DF，则∠CDF＝90°，∴∠CFD+∠FCD＝90°，∵∠BCA＝∠BDC，∠B＝∠B，∴∠BAC＝∠BCD，∵∠CAD＝∠CFD，∴∠CFD＝∠BCD，∴∠FCB＝∠FCD+∠BCD＝∠FCD+∠CFD＝90°，∴BC⊥OC，∵OC是半径，∴BC是⊙O的切线，即BN是⊙O的切线；（3）过点A，C，D三点作⊙O，当BC是⊙O的切线时，∠ACD最大，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，DG，则∠CDG＝90°，∠CAG＝90°，∴∠CGD+∠DCG＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OC，∴∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝90°，∴∠BCD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD•BA，∵AD＝2，∴BA＝BD+AD＝BD+2，∴BC2＝BD（BD+2）＝BD2+2BD，∵BC2+BA2＝AC2，AC＝2BD，∴BC2＝AC2﹣BA2＝（2BD）2﹣（BD+2）2＝11BD2﹣4BD﹣4，∴11BD2﹣4BD﹣4＝BD2+2BD，∴5BD2﹣3BD﹣2＝0，∴BD＝﹣（舍去）或BD＝1，∴BD＝1，∴BA＝BD+AD＝1+2＝3，AC＝2BD＝2，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CG⊥BC，∴CG∥AB，∴∠BAC＝∠ACG，∵∠B＝∠CAG＝90°，∴△BAC∽△ACG，∴，∴，∴CG＝4，∴OC＝2，即⊙O的半径为2．11．（1）证明：如图1中，连接BC．∵点D是弧BC的中点．∴＝，∴∠DCB＝∠DBC，∵AB是直径，∴∠ACB＝∠BCE＝90°，∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠E＝∠DCE，∴CD＝ED；（2）①证明：如图2中，∵CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF，∵∠CFH＝∠CAF+∠ACF，∠CHA＝∠BAH+∠ABH，∵∠CAD＝∠BAH，∴∠ACO＝∠OBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴AC＝BC，∵∠ACH＝∠BCE＝90°，∠CAH＝∠CBE，∴△ACH≌△BCE（ASA），∴CH＝CE；②解：如图3中，连接OD交BC于G．设OG＝x，则DG＝2﹣x．∵＝，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OB，∴OD⊥BC，CG＝BG，在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，∴x＝，即OG＝，∵OA＝OB，∴OG是△ABC的中位线，∴OG＝AC，∴AC＝．12．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠DCB＝90°，∵BD切⊙O于点B，∴∠ABD＝90°，∴∠DCB＝∠ABD，∵∠D＝∠D，∴△BCD∽△ABD；（2）解：连接OC，∵∠D＝50°，∠ABD＝90°，∴∠A＝40°，∴∠COB＝2∠A＝80°，∵直径AB＝6，∴半径r＝3，∴的长为＝；（3）解：取BD的中点E，AD的中点F，连接EF，当点P在点C处时，△PBD为直角三角形，E为△PBD的外心，当点P在点A处时，△ABD为直角三角形，F为△PBD的外心，∵AB＝6，EF为△ABD的中位线，∴EF＝AB＝3，∴△PBD的外心运动的路径长为3．13．解：（1）∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，∴∠OAB＝90°﹣∠ABO＝60°，∵＝，∴∠COD＝∠BAD，∵∠COD＝∠OAD，∴∠BAD＝∠OAD＝，即∠BAD的度数为30°；（2）如图，存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，∵∠AOB＝90°，∴AB是△AOB外接圆的直径，∴AB⊥PB，∴∠ABP＝90°，∴∠PBC＝90°﹣∠ABO＝90°﹣30°＝60°，由（1）得，∠OAC＝30°，∴∠ACO＝90°﹣∠OAC＝60°，∴∠PCB＝∠ACO＝60°，∴△PBC是等边三角形，∵A（0，3），∴OA＝3，∴OC＝OA•tan∠OAC＝3×＝，在Rt△AOB中，OA＝3，∠OAB＝60°，∴OB＝OA•tan60°＝3，∴BC＝OB﹣OC＝3﹣＝2，作PQ⊥BC于Q，∴PQ＝CQ•tan∠PCB＝×＝3，∴OQ＝OC+CQ＝2，∴P（3，﹣2）．即：存在点P，使得直线BP与△AOB的外接圆相切，此时点P（3，﹣2）．14．（1）证明：∵AB＝AC，∴，∵AE是直径，∴，∴∠BAE＝∠CAE，又∵AB＝AC，∴AE⊥BC，又∵EF∥BC，∴EF⊥AE，∵OE是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接OC，设⊙O的半径为r，∵AE⊥BC，∴HG＝HC+CG＝4，∴AG＝＝＝5，在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，∴（3﹣r）2+1＝r2，解得：r＝，∴AE＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△AHG，∴，∴，∴EF＝；（3）解：∵AH＝3，BH＝1，∴AB＝＝＝，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDG＝180°，∴∠B＝∠CDG，又∵∠DGC＝∠AGB，∴△DCG∽△BAG，∴，∴，∴CD＝．15．（1）证明：连接OC，∵四边形OBCE为菱形，∴OB＝BC，OB∥CE，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC＝∠COE＝60°，∴∠AOP＝∠COP＝60°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△APO≌△CPO（SAS），∴∠PCO＝∠BAP，∵AB是⊙O的直径，P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，∴∠PCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）①证明：由（1）知，∠AOP＝60°，∠P AO＝90°，∴∠APO＝30°，∵OA＝OP，∴OE＝PE，∴PE＝BC，∵PO∥BC，∴∠PEG＝∠BCG，∠EPG＝∠CBG，∴△PEG≌△BCG（ASA），∴EG＝CG，∴OG⊥CG；②解：∵OB＝3，∴OA＝OB＝3，∴OP＝2OA＝6，∴AP＝＝3，∴PB＝＝＝3，连接AF，∵AB是⊙O的直径，∴AF⊥PB，∵S△APB＝AP•AB＝PB•AF，∴AF＝＝＝，∴BF＝＝＝．16．解：（1）直线m与⊙O相切，理由：连接PO，∵AP＝AF，∴∠APF＝∠AFP，∵∠AFP＝∠EFO，∴∠APF＝∠EFO，∵OP＝OE，∴∠OPF＝∠OEF，∵∠FOE＝90°，∴∠OFE+∠OEF＝∠OPF+∠APF＝90°，∴∠APO＝90°，∴PO⊥直线AB，∵OP是⊙O的半径，∴直线m与⊙O相切；（2）∵y＝x+与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴令y＝0，得x＝﹣2，令x＝0，得y＝，∴A（﹣2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∴∠AOP＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOP＝30°，∵OP＝OE，∴∠OPE＝∠EOP，∵∠BOP＝∠OPE+∠OEP＝2∠PEB＝30°，∴；（3）连接CE、CH，∵CD⊥BE，∴∠COE＝∠DOE＝90°，∴∠CHE＝∠ECG＝90°＝45°，∵∠CEG＝∠HEC，∴△CEG∽△HEC，∴．∴EG•EG＝CE•EC＝2．17．解：（1）①∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠POB＝∠OAF+∠OF A＝2∠OAF，∴∠POB＝2∠EPF，∵BC⊥AB，∴∠OBP＝90°，∴∠POB+∠EPF＝90°，∴2∠EPF+∠EPF＝90°，∴∠EPF＝30°，∴∠POB＝60°，∴n＝60，∵r＝OB＝3，∴的长为；②延长FO交⊙O于点G，连接BF，BG，∵FG是⊙O的直径，∴∠FBG＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠AFB+∠GBF＝180°，∴AF∥BG，∴，∵OP＝＝5，∴PF＝OP﹣OF＝2，∵PB＝4，∴，∴PE＝1；（2）∵t﹣r的值为定值，∴t﹣r＝0，∴t＝r，∴OB＝BP，∴∠POB＝＝45°，∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∴∠POB＝∠OAF+∠OF A＝2∠OAF，∴∠EAB＝∠OAF＝＝22.5°，由②同理得AF∥BG，∴，∵OP＝＝＝r，∴PF＝OP﹣OF＝（﹣1）r，PG＝OP+OG＝（+1）r，∴，∴n，∵0＜n＜1，∴n＝﹣1，∴∠EAB＝22.5°．18．（1）证明：连结OE，∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠BED+∠OED＝90°，∵AD是直径，∴∠AED＝90°，∴∠EAD+∠ADE＝90°，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ADE，∴∠BED＝∠EAD；（2）证明：∵AC⊥BC，OE⊥BC，∴AC∥OE，∴∠CAE＝∠AEO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠AEO，∴∠CAE＝∠EAO，又∵EP⊥AB，EC⊥AC，∴CE＝EP；（3）解：连结PF，∵∠ACB＝90°，CG⊥AB，∴∠CAE+∠AEC＝∠AFG+∠EAP＝90°，∵∠CAE＝∠EAP，∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，∴CF＝CE，∵CE＝EP，∴CF＝PE，∵CG⊥AB，EP⊥AB，∴CF∥EP，∴四边形CFPE是平行四边形，又∵CE＝EP，∴平行四边形CFPE是菱形，∴CF＝PF，设CF＝x，则PF＝x，FG＝8﹣x，在Rt△PFG中，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+62，解得：x＝，∴四边形CFPE的面积＝CF•PG＝．19．（1）证明：如图1，连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠DEC＝∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；（2）①证明：如图2，连接BF，AG，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB＝∠BGA＝90°，∵．∴∠ABD＝∠DBG，∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝∠DBG，∴CF∥BG，∴∠FNG+∠BF A＝180°，∴∠FBG＝90°，∵∠FBG＝∠AFB＝∠BGA＝90°，∴四边形AFBG为矩形，∴AF＝BG；②解：如图3，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵CF∥BG，∴∠NCD＝∠MBD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（ASA），∴BM＝CN，过点C作CP∥DH交BA的延长线于点P，∴＝，∴BH＝HP，∵AH：BH＝3：8，∴AH：AP＝3：5，∵FH∥CP，∴＝＝，∵AB＝AC，∴＝，设AB＝5k，则AC＝5k，F A＝BG＝3k，连接FB，∵∠BF A＝90°，∴BF＝＝4k，∵M为BG中点，∴BM＝BG＝k，∴CN＝k，∴AN＝AC﹣CN＝5k﹣k＝k＝7，则k＝2，∵∠DEC＝∠BFC＝90°，∴DE∥BF，∴＝，∴EF＝EC，∴DE＝BF＝2k，∴DE＝4．20．（1）证明：∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°，∴∠AFD+∠F AD＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD；（2）解：如图1，过点B作BM⊥AE于点M．∵∠AFD＝∠BFE，∠AFD＝∠AEB，∴∠BFE＝∠AEB，∴BF＝BE＝5，∵AB＝10，∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝5，∵，∴BM＝＝2，∴EM＝FM＝＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝5﹣2＝3，∵∠BMF＝∠ADF＝90°，∠AFD＝∠BFM，∴△BFM∽△AFD，∴，∴，∴AD＝6；（3）解：∵∠ADB＝90°，G为AB的中点，∴AG＝DG＝BG，∵O为AE的中点，G为AB的中点，∴OG∥BE，∵∠ABE＝90°，∴∠AGD＝90°，∴△ADG为等腰直角三角形，∴∠GAD＝45°，∴∠ABD＝45°，过点F作FH⊥AB于点H，如图2，∵AF平分∠BAD，∴FD＝FH，∵∠ABD＝45°，∴BF＝FH＝FD，∵∠AFD＝∠AEB，∠AEB＝∠C，∴∠AFD＝∠C，∴AF＝AC，又∵AD⊥BC，∴FD＝DC，设FD＝DC＝x，则BF＝x，∴．。

2022-2023学年九年级数学中考复习《圆综合压轴解答题》专题提升训练（附答案）1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若，求的值．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，射线CM⊥BC，点D是边BC 上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD交射线CM于点E，连接DE．（1）求证：点A、E、C、D在同一圆上；（2）若BD＝1，则AE＝．（3）①当△CDE面积的最大时，求BD的长；②当点D从点B运动到点C时，直接写出△ACE的外接圆圆心经过的路径长．3．如图①，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，过点B 作BD∥AC，交⊙O于点D，连接DO，并延长DO交⊙O于点E，连接AE．已知BD＝2，⊙O的半径为3．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AE的长；（3）如图②，若点M是⊙O上一点，且BM＝3，过A作AN∥BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是．4．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在△ABC和△DEF中，若∠A+∠E＝∠B+∠D＝90°，且AB＝DE，则△ABC和△DEF是余等三角形．（1）图2，等腰直角△ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上任意一点（不与点A、B重合），则图中△和△是余等三角形，并求证：AD2+BD2＝2CD2．（2）图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为5，且AD2+BC2＝100，①求证：△ABC和△ADC是余等三角形．②图4，连接BD交AC于点I，连接OI，E为AI上一点，连接EO并延长交BI于点F，若∠ADB＝67.5°，IE＝IF，设OI＝x，S△EIF＝y，求y关于x的函数关系式．5．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD平分∠BAC，AD交BC于点E，且BE＝CE．（1）如图1，求证：AD为⊙O的直径；（2）如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，GH⊥PF于点H，求证：PH＝FH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DF，且∠DFB＝3∠P AD，点R在CG上，连接DR，DR交CH于点N，RN＝RG，HN＝1，DF＝5，求DE的长．6．已知△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，点D是线段AB上一个动点，以BD为直径的⊙O与边BC交于点F，连接DF．（1）如图1，证明：DF∥AC；（2）如图2，当AD＝时，判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，若E是边AC上任意一点，连接DE，EF，求△DEF面积的最大值．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，且与BC相切于点D，连接OF．解答下列问题：（1）∠BAC与∠OF A之间的关系是；（2）求证：∠AFO＝2∠BAD；（3）若＝，求tan的值．8．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，与边AC相切于点C，交AB边于点D，E为AC中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）点P是线段BC上一动点，当DP+EP最小时，请在图中画出点P的位置；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）（3）在（2）的条件下，若CD＝5，tan B＝，求出CP的长度．9．定义：如果三角形三边的长a、b、c满足，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为．（2）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，交AB的延长线于E，求证：EF是⊙O的切线；（3）在（2）的条件下，若，判断△AEF是否为“匀称三角形”？请说明理由．10．在△ABC中，∠B＝90°，D是△ABC外接圆上的一点，且点D是∠B所对的弧的中点．（1）尺规作图：在图1中作出点D；（要求：不写作法，保留作图痕迹）（2）如图2，连接BD，CD，过点B的直线交边AC于点M，交该外接圆于点E，交CD 的延长线于点P，BA，DE的延长线交于点Q．①若＝，AB＝4，BC＝3，求BE的长；②若DP＝（AB+BC），DP＝DQ，求∠PDQ的度数．11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，＝，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CE•CA；（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．12．如图，四边形ABEC是平行四边形，过A、B、C三点的⊙O与CE相交于点D．连接AD、OD，DB是∠ADE的角平分线．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）求证：BE是⊙O的切线；（3）如果AB＝，BE＝8，求⊙O的半径．13．已知：AB是⊙O直径，AC＝AD．（1）求证：AB平分∠CAD；（2）E是弧AD上一点，连接CE、DE，作BK∥DE交CE于K，求证：BK＝EK；（3）在（2）的条件下，连接AE，若∠DAE+4∠DAB＝90°，AD＝，KE＝1，求⊙O的半径．14．如图1，E点为x轴正半轴上一点，⊙E交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P 点为劣弧上一个动点，且A（﹣2，0），E（2，0）．（1）的度数为°；（2）如图2，连结PC，取PC中点G，连结OG，则OG的最大值为；（3）如图3，连接P A，PC．若CQ平分∠PCD交P A于Q点，求线段AQ的长；（4）如图4，连接P A、PD，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90，过点A作AH⊥BC于点H，以AH为直径作⊙O，分别交AB，AC于点E，F．过点F作⊙O的切线交BC于点G．（1）求证：△FGC为等腰三角形．（2）填空：①当H为的中点时，∠FGC＝°；②若AB的长为4，当H为的三等分点时，FC的长为．16．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．17．问题提出：（1）如图1，P是半径为5的⊙O上一点，直线l与⊙O交于A、B两点，AB＝8，则点P到直线l的距离的最大值为．问题探究：（2）如图2，在等腰△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝45°，F是高AD和高BE的交点，求S△ABF：S△BFD的值．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是某区的一处景观示意图，AD∥BC，∠ABC＝60°，∠BCD ＝90°，AB＝60m，BC＝80m，M是AB上一点，且AM＝20m．按设计师要求，需在四边形区域内确定一个点N，修建花坛△AMN和草坪△BCN，且需DN＝25m．已知花坛的造价是每平米200元，草坪的造价是每平米100元，请帮设计师算算修好花坛和草坪预算最少需要多少元？18．如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC 的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G．（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；（2）求证：①BD＝CF；②BD2＝DE2+AE•EG．19．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B（不与P、Q重合），连接AP、BP．若∠APQ＝∠BPQ．（1）如图1，当∠APQ＝45°，AP＝1，BP＝2时，求⊙O的半径；（2）在（1）的条件下，求四边形APBQ的面积；（3）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN＝90°，探究直线AB与ON的位置关系，并说明理由．20．△ABC内接于圆O，直径CO交劣弧AB于点G，G为劣弧AB中点．（1）如图1，求证：CB＝CA；（2）如图2，点D为劣弧BC上一点，连接DC并延长至点E，连接BE交圆O于点F，连接CF，若CF平分∠ACE，求证：∠BAD＝2∠DEB；（3）如图3，在（2）的条件下，当AD经过圆心O，AB：CD＝8：5，CF＝，连接OE，求线段OE的长．参考答案1．（1）证明：∵D是弧BC的中点，∴∠CAD＝∠DAB＝∠CAB，∵∠DAB＝∠DOB（圆心角定理），∴∠CAB＝∠DOB，∴DO∥AC．（2）证明：∵D是弧BC的中点，∴∠DCB＝∠DAC，在△DCE和△DAC中，，∴△DCE∽△DAC，∴，即DE•DA＝DC2．（3）解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴tan∠CAD＝＝，由（2）可知△DCE∽△DAC，∴＝＝，设CD＝2m，则AD＝4m，DE＝m，AE＝AD﹣DE＝3m，∵DO∥AC，∴∠CAD＝∠FDE，在△ACE和△DFE中，，∴△ACE∽△DFE，∴＝＝＝3．2．（1）证明：根据题意可知∠DCE＝90°，∠DAE＝90°，∵∠DCE+∠DAE＝180°，∴点A、E、C、D在以DE为直径的同一圆上．（2）如图1，过点A作AF⊥CM，垂足为点F，∵BC⊥CM，BC⊥AB，∴AF∥BC，AF⊥AB，∵∠EAF+∠DAF＝90°，∠BAD+∠DAF＝90°，∴∠EAF＝∠DAB，∴Rt△AEF∽Rt△ADB，∴，∵BD＝1，AB＝3，AF＝BC＝6，AD＝＝，∴，解得AE＝2，故答案为：2．（3）①由（2）可知Rt△AEF∽Rt△ADB，∴，设DB＝x，则EF＝2x，EC＝2x+3，DC＝BC﹣BD＝6﹣x，∴S△CDE＝（6﹣x）（2x+3）＝﹣（x﹣）2+，∴当△CDE面积最大时，x＝，即BD＝．②如图2所示，由（1）可知△ACE外接圆的圆心O是DE的中点，OA＝OC，∴点O在AC的垂直平分线上运动，∴点O的运动路径为O1O2，根据题意BC＝6，AB＝3，∴AC＝＝3，∵∠CO2O1，+∠O2CO1＝90°，∠O2CO1+∠ACB＝90°，∴∠CO2O1＝∠ACB，又∠CO1O2＝∠ABC＝90°，∴△CO1O2∽△ABC，∴，即，解得O1O2＝3，故答案为：3．3．（1）证明：如图1，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵BD∥AC，∴∠AOE＝∠ODB，∠AOB＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠AOE＝∠AOB，在△AOB与△AOE中，，∴△AOB≌△AOE（SAS），∴∠AEO＝∠ABO＝90°，∴OE⊥AE，∵E在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；解：（2）如图2，过O作OH⊥BD于H，则BH＝DH＝，∠BHO＝90°，在Rt△OBH中，OH＝，∵∠OHB＝∠ABO＝90°，∠OBD＝∠AOB，∴△OBH∽△AOB，∴，即，∴AB＝，∵AB，AE是⊙O的切线，∴AE＝AB＝；（3）取AO的中点P，如图3，连接BP，EP，OB，OE，在Rt△AOB中，∵P是斜边AO的中点，∴AP＝OP＝BP，同理，EP＝AP＝OP，∴AP＝OP＝BP＝EP，∴A，B，O，E四点共圆，∵∠ABO＝90°，∴AO为圆的直径，连接OB，OM，BE，∵OB＝OM＝BM＝3，∴∠OBM＝60°，∴∠ABM＝∠ABO+∠OBM＝150°，∵AN∥BM，∴∠BAN＝180°﹣∠ABM＝30°，连接BE，设BE与AN交于Q点，如图4，又∠BEM＝，∴∠BAN＝∠BEM，∵∠AQB＝∠EQG，∴△AQB∽△EQG，∴，又∠BQG＝∠AQE，∴△BQG∽△AQE，∴∠AEB＝∠AGB，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠AGB，∵A，B，O，E四点共圆，如图5，连接AO，设BG与AO交于H点，∴∠AOB＝∠AEB，又∠BHO＝∠AHG，∴△BHO∽△AHG，∴∠OBH＝∠OAG，，∵∠AHB＝∠GHO，∴△AHB∽△GHO，∴∠ABG＝∠AOG，∵∠ABG+∠OBH＝90°，∠OBH＝∠∠OAG，∴∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠AGO＝90°，如图6，延长GO交BM于F，∵BM∥AN，∴∠BFO＝180°﹣∠AGO＝90°，∴OF⊥BM，∴BF＝，又BO＝3，∴，过B作BD⊥AN于D，则在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝，∵∠OFB＝∠AGO＝∠BDG＝90°，∴四边形BDGF为矩形，∴FG＝BD＝，∴OG＝FG﹣OF＝．4．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，AC＝BC，∴△ACD和△BCD是余等三角形，过D作DE⊥AC于E，过D作DF⊥BC于F，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴△ADE和△BDF是等腰直角三角形，∴DE＝，DF＝，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴CE＝DF＝，Rt△DCE中，DE2+CE2＝CD2，∴（）2+（）2＝CD2，∴AD2+BD2＝2CD2；故答案为：ACD，BCD；（2）①连接DO并延长交⊙O于E，连接AE、CE，如图：∵DE是⊙O直径，∴∠EAD＝90°，在Rt△EAD中，AD2+AE2＝DE2＝100，∵AD2+BC2＝100，∴AE＝BC，∴∠ACE＝∠BAC，∵∠AEC＝∠CBA，AC＝AC，∴△AEC≌△CBA（AAS），∴∠EAC＝∠BCA，∵∠EAC+∠CAD＝90°，∴∠BCA+∠CAD＝90°，同理可得：∠BAC+∠ACD＝90°，而AC＝AC，∴△ABC和△ADC是余等三角形；②连接OA、OB，过O作OM⊥BD于M，过O作ON⊥AC于N，如图：由①知：∠BAC+∠ACD＝90°，又∠ACD＝∠ABD，∴∠BAC+∠ABD＝90°，∴AC⊥BD，∵IE＝IF，∴△EFI是等腰直角三角形，∵OM⊥BD，∴△MOF是等腰直角三角形，∴OM＝FM，∵△EFI是等腰直角三角形，∴∠AEO＝∠BFO＝135°，∵∠ADB＝67.5°，∴∠AOB＝2∠ADB＝135°，∴∠AOE＝45°﹣∠BOF＝∠OBF，且OA＝OB，∴△AOE≌△OBF（AAS），∴OE＝BF，设OE＝BF＝a，OM＝FM＝b，则ON＝MI＝a，OF＝AE＝b，在Rt△OIM中，（a）2+b2＝x2，化简得a2+2b2＝2x2，在Rt△OBM中，（a+b）2+b2＝52，化简得a2+2b2+2ab＝25，∴2ab＝25﹣2x2，∴y＝EI•FI＝（a+b）2＝（a2+2b2）+ab＝x2+＝．5．解：（1）如图连接BD，CD，∵OD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CAD＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD，∴BD＝CD，∵BE＝CE，∴DE⊥BC即∠ADB+∠EBD＝90°，∵∠ABC＝∠ADC∠ECD+∠EDC＝90°，∴∠ABC+∠CBD＝90°∴∠ABD＝90°，∴AD是圆O的直径；（2）连接OP，∵PG是圆O的切线，∴GH⊥PF，∴∠HCP+∠CPH＝90°，∴∠GPH+∠OPH＝90°，∴∠HGP＝∠OPH，∵OP＝OA，∴∠HGP＝∠OPH，∴∠HGD＝∠OPH＝∠OAD，∵∠FGH+∠GFH＝∠EAF+∠EF A＝90°，∵∠EF A＝∠GFH，∴∠FGH＝∠EAF，∴∠HGP＝∠FGH，∴∠HGP+∠HPG＝∠FGH+∠GFH＝90°，∴∠HPG＝∠HFG，∴PG＝FG，即PH＝FH；（3）连接PD，延长GH与PF交于M点，DR与AP交于T点，∵GH⊥PF，∠APD＝90°，∴∠APD＝∠MHF＝90°，∴MH∥DP，∵H是PF的中点，∴M是DF的中点，∴DM＝FM＝DF＝，∴PD＝2MH，∵RN＝RG，∴∠NGR＝∠RNG，∴∠DRE＝∠NGE+∠RNG＝2∠RGN，∵∠AEF＝∠GHF＝90°，∠HFG＝∠AFE，∴∠DAP＝∠FGH，∴∠DRE＝2∠DAP，∵∠DFB＝∠DRE+∠RDF＝3∠DAP，∴∠RDF＝∠DAP，∵∠DNM＝∠RNG，∴∠DNM＝∠NDM＝∠DAP，∴MN＝DM＝，∵NH＝1，∴MH＝，∴PD＝2MH＝3，∴PH＝HF＝＝2，∵DP∥MN，∴∠PDT＝∠HNT＝∠DAP，△HNT∽△PDT，∴＝＝＝＝，∴PT＝，∴tan∠DAP＝tan∠PDT＝＝＝＝，∴AP＝6，AF＝2EF，∴AF＝AP﹣PH﹣HF＝2，∵AE2+EF2＝AF2，∴5EF2＝4，∴EF2＝，∵DE2+EF2＝DF2，∴DE2+＝25，∴DE＝．6．（1）证明：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵BD是⊙O直径，∴∠DFB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴DF∥AC；解：（2）AC与⊙O相切，理由如下：如图1，∵，∴BD＝AB﹣AD＝，∴BO＝DO＝，∵DF∥AC，∴，即，∴BF＝，过O作OM⊥AC于M，ON⊥BC于N，则BN＝FN＝，∴，∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴∠OMC＝∠ACB＝∠ONC＝90°，∴四边形OMCN为矩形，∴OM＝CN＝，∴OM＝BO，又OM⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（3）如图2，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，设BF＝x，∴，∴DF＝，∵DF∥AC，CF＝BC﹣BF＝3﹣x，∴＝，∴当x＝时，S△DEF最大值为，即△DEF的面积最大值为．7．解：（1）∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，即∠BAC＝∠OF A，故答案为：相等；（2）证明：连接OD，如图，∵BC为切线，∴OD⊥BC，∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠OAC＝2∠OAD，∵OA＝OF，∴∠OAC＝∠AFO，∴∠AFO＝2∠BAD；（3）作OH⊥AF于H，如图，则AH＝HF，∵＝，∴设AH＝HF＝2x，则CF＝3x，∵∠ODC＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD，OD＝CH＝2x+3x＝5x，在Rt△AOH中，OH＝＝x，∴CD＝x，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝＝．∴tan的值为．8．解：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴AE＝EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ECD+∠OCD＝∠EDC+∠ODC，即∠ECB＝∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）①过D作CB的垂线，交⊙O于F，交BC于M；②连接EF，EF与BC交于点P；此时的P即为使DP+EP最小的点；作图如右图；（3）∵CD＝5，tan B＝，∴BD＝CD÷tan B＝，∴BC＝＝＝，∴CE＝＝BC•tan B＝＝，设DM＝3a，则BM＝4a，∵DB＝＝5a＝，∴a＝，∴DM＝4，BM＝，∴CM＝BC﹣BM＝﹣＝3，∵DF⊥BC，∴MF＝DM＝4，∵∠ACB＝∠FMC＝90°，∠EPC＝∠MPF，∴△ECP∽△FMP，∴＝，即＝，解得CP＝，故CP的长度为．9．（1）解：设第三边长为x，①当时，解得x＝8，②当是，解得x＝5，③当时，解得x＝2，∵2+4＝6，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以③舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD，AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，即BD＝CD，∵O为AB中点，∴OD∥AC，OD＝，∵DF⊥AC，∴∠AFD＝90°，∵OD∥AC，∴∠ODE＝∠AFD＝90°，∴OD⊥EF，∵OD是⊙O半径，∴EF是⊙O的切线；（3）解：△AEF是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM⊥EF于M，∴∠BMD＝∠CFD＝90°，在△BMD和△CFD中，，∴△BMD≌△CFD（AAS），∴BM＝CF，∵，∴，∵∠BMD＝∠CFD＝90°，∴△EBM∽△EAF，∴，设AE＝5x，则AF＝3x，∴，∵，∴，∴△AEF是“匀称三角形”．10．解：（1）如图1，作∠ABC的角平分线，交圆于点D，则点D为∠B所对的弧的中点，（2）①连结AE，∵＝，∴∠ABE＝∠BAC，∵＝，∴∠AEB＝∠ACB，又∵AB为公共边，∴△ABE≌△BAC（AAS），∴∠EAB＝∠ABC＝90°，又∵＝，BC＝3，∴AE＝BC＝3，在Rt△ABE中，AB＝4，AE＝3，∴BE＝＝＝5，∴BE＝5；②方法一：连结AD，过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，∵点D是∠B所对的弧的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DGB＝∠DHC＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDH（AAS），∴BG＝BH，DG＝DH，∵∠DGB＝∠DHB＝∠GBH＝90°，∴四边形DGBH是正方形，∴BG＝DG＝BH＝DH＝BD，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DAB+DCB＝180°，∵∠DCH+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCH，∵∠DGA＝∠DHC＝90°，DG＝DH，∴△AGD≌△CHD（AAS），∴AG＝CH，∴AB+BC＝AG+BG+BH﹣HC＝2BG＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝DQ＝BD，∴∠DBQ＝∠DQB＝45°，∴∠EDB＝90°，∴BE为圆的直径，∵又∵AC为直径，∴点M为圆心，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠ABM，∵＝，∴∠MAB＝∠BDC，设∠P＝α，则∠ABM＝2α，∵∠ABM+∠PBD＝∠ABD＝45°，∴2α+α＝45°，∴α＝15°，∴∠BDC＝30°，∵BE为直径，∴∠EDB＝90°，∴∠PDQ＝180°﹣∠EDB﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°．方法二：∵点D是∠B所对的弧的中点，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠DGB＝∠DHC＝90°，BD＝BD，∴△BDG≌△BDH（AAS），∴BG＝BH，DG＝DH，∵∠DGB＝∠DHB＝∠GBH＝90°，∴四边形DGBH是正方形，∴BG＝DG＝BH＝DH＝BD，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠DAB+DCB＝180°，∵∠DCH+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCH，∵∠DGA＝∠DHC＝90°，DG＝DH，∴△AGD≌△CHD（AAS），∴AG＝CH，∴AB+BC＝AG+BG+BH﹣HC＝2BG＝BD，∵DP＝（AB+BC），∴DP＝DQ＝BD，∴P、Q、B三点在以点D为圆心，DP为半径的圆上，∴∠PDQ＝2∠PBQ＝2∠ADE，又∵∠PDQ+∠ADE＝90°，∴∠PDQ＝60°．11．（1）①证明：如图1，连接DO，∵＝，∴∠F AD＝∠DAE＝∠F AE，∵∠DAE＝∠DOE（圆周角定理），∴∠F AE＝∠DOE，∴DO∥AB，根据题意可知AB⊥BC，∴DO⊥BC，∴BC是⊙O的切线．②如图2，连接DE，OD，∵AB为直径，OA＝OD，∴∠ADO+∠EDO＝∠ADE＝90°，∠ADO＝∠DAO，由（1）可知∠CDE+∠EDO＝90°，∴∠DAO＝∠CDE，在△CDE和△CAD中，，∴△CDE∽△CAD，∴，故CD2＝CE•CA．（2）如图3，连接DO、FO、DE，AD和OF交于点G，则DO＝EO＝AO，根据题意点F是劣弧AD的中点，且＝，∴∠AOF＝∠DOF＝∠EOD＝×180°＝60°，∴△OAF和△ODE是等边三角形，∴∠C＝90°﹣∠COD＝30°，∴OD＝OE＝CE＝CO＝3，由（1）可知DO∥AB，∴∠ODA＝∠DAF，在△ODG和△F AG中，，∴△ODG≌△F AG（AAS），∴S△ODG＝S△F AG，∴S阴影部分＝S扇形DOF＝＝．12．解：（1）∵四边形ABEC是平行四边形，∴AB∥CE，AC＝BE，∴∠ADC＝∠DAB，∴AC＝BD（圆周角定理），∴BE＝BD，故△BDE是等腰三角形．（2）如图1，连接OB，则2∠DAB＝∠DOB，由（1）可知BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵AB∥CE，DB是∠ADE的平分线，∴∠EDB＝∠ABD，∠EDB＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB＝∠BDE＝∠E，∴△ABD∽△BED，∴∠DAB＝∠DBE，∵OD＝OB，∴∠OBD＝＝＝90°﹣∠DAB＝90°﹣∠DBE，即∠OBD+∠DBE＝90°，∴OB⊥BE，故BE是⊙O的切线．（3）如图2，过点O作OF⊥DB，过点D、E分别作DM⊥AB，EN⊥AB交AB的延长线于点N，则有∠BOF＝∠DOF＝∠BOD，BF＝DF＝DB，DM＝EN，DE＝DM，又∠DAM＝∠BOD，∴∠BOF＝∠DAM，根据题意有AB＝CE＝4，BE＝BD＝8，∴BF＝4，由（2）可知△ABD∽△BED，∴＝，即，解得DE＝，在Rt△DMB和Rt△ENB中，，∴Rt△DMB≌Rt△ENB（HL），∴BM＝BN＝MN＝DE＝，∴AM＝AB﹣BM＝﹣＝，在RtDMB中，DM＝＝，在Rt△ADM和Rt△OBF中，，∴Rt△ADM∽Rt△OBF，∴＝，即＝，解得OF＝3，在Rt△OBF中，OB＝＝5，故⊙O的半径为5．13．（1）证明：如图（1），连接BC，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝∠D＝90°，∵AC＝AD，∴∠ABC＝∠ABD，∴∠CAB＝∠DAB，∴AB平分∠CAD；（2）证明：如图（2）连接EB，由（1）得：∠CAB＝∠DAB，∴，∴∠CEB＝∠DEB，∵BK∥ED，∴∠KBE＝∠DEB，∴∠KBE＝∠CEB，∴BK＝EK；（3）解：连接OC，OK，CB，作OF⊥CK于F，作CT⊥OB于T，设∠CAB＝α，∠EAD＝β，则4α+β＝90°，又∵α+β+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝3α，∵∠ACO＝α，∴∠OCK＝2α，又∵∠COB＝2α，∴∠COT＝∠OCF，∴△COT≌△OCF，∴OC＝CK，∴OB＝CK＝r，CE＝r+1，∴CF＝＝OT，∴AT＝r+，∵△BCT∽△ABC，∴AC2＝AT•AB，∴10＝，解得r＝或r＝﹣2（舍），∴r＝．14．解：（1）如图1，连接CE，AC，∵A（﹣2，0），E（2，0），∴OA＝OE＝2，∵AB⊥CD，∴CD垂直平分AE，∴CA＝CE，∵CE＝AE，∴CA＝CE＝AE，∴∠CEA＝60°，∴∠CEB＝180°﹣∠CEA＝120°，故答案为120；（2）由题可得，AB为⊙E直径，且AB⊥CD，由垂径定理可得，CO＝OD，连接PD，如图2，又∵G为PC的中点，∴OG∥PD，且OG＝，当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP＝AB＝2AE＝8，∴OG的最大值为4，故答案为4；（3）如图3，连接AC，BC，∵直径AB⊥CD，∴，∴∠ACD＝∠CP A，∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ＝∠PCQ，∴∠ACD+∠DCQ＝∠CP A+∠PCQ，∴∠ACQ＝∠AQC，∴AQ＝AC由（1）可得，AC＝AE＝4，∴AQ＝4；证明：（4）由题可得，直径AB⊥CD，∴AB垂直平分CD，如图4，连接AC，AD，则AC＝AD，由（1）可得，△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠DAC＝2∠CAE＝120°，将△ACP绕A点顺时针旋转120°至△ADM，∴△ACP≌△ADM，∴∠ACP＝∠ADM，PC＝DM，∵四边形ACPD为圆内接四边形，∴∠ACP+∠ADP＝180°，∴∠ADM+∠ADP＝180°，∴M，D，P三点共线，∴PD+PC＝PD+DM＝PM，过A作AG⊥PM于G，则PM＝2PG，∵∠APM＝∠ACD＝30°，在Rt△APG中，∠APM＝30°，设AG＝x，则AP＝2x，∴，∴PM＝2PG＝，∴，∴，∴为定值．15．（1）证明：如图，连接OF，∵FG与⊙O相切，∴∠OFG＝90°，∴∠AFO+∠GFC＝90°，∵AO＝OF，∴∠OAF＝∠OF A，∵∠AHC＝90°，∴∠OAF+∠C＝90°，∴∠C＝∠GFC，∴GF＝GC，∴△FGC为等腰三角形；（2）解：①∵H为的中点，∴＝，∴∠EAH＝∠F AH＝∠BAC＝45°，∵AH⊥BC，∴∠C＝45°．又由（1）知∠C＝∠GFC，∴∠FGC＝180°﹣2×45°＝90°，故答案为：90；②连接OF，OG．∵AH⊥BC，FG与⊙O相切，∴∠OHG＝∠OFG＝90°∴△HOG和△FOG是直角三角形，在Rt△HOG和Rt△FOG中，，∴Rt△HOG≌Rt△FOG（HL），∴HG＝FG＝CG．当H为EF的三等分点时，分以下两种情况讨论．a．如图，当H为靠近点E的三等分点时，∠EAH＝30°，∠F AH＝60°，又∵∠AHB＝90°，AB＝4，BH＝2，AH＝2，∴HC＝AH•tan60°＝2×＝6，GC＝3，∴∠C＝90°﹣∠F AH＝30°．过点G作FC的垂线，垂足为点K，则点K为FC的中点，∴KC＝GC•cos30°＝3×＝，∴FC＝2KC＝3；b．如图，当H为靠近点F的三等分点时，∠EAH＝60°，∠F AH＝30°，又∵∠AHB＝90°，AB＝4，∴AH＝2，∴HC＝AH•tan30°＝2×＝，∴GC＝，∴∠C＝60°，又△FGC是等腰三角形，∴△FGC是等边三角形，∴FC＝GC＝．16．（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，∴＝，∴∠BAP＝∠CAP，∵点N为AC的中点，∴＝，∴∠ABE＝∠CBE，∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，∴∠AQB＝∠EQP＝135°，△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，∴∠CDE+∠BAC＝135°；（2）证明：在△DGO和△DBO中，，∴△DGO≌△DBO（SSS），∴∠ABD＝∠DGO，∵DG⊥BE，∴∠GDB＝90°，∴∠ADG+∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠CBE＝90°，∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，∴OG∥AD；（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，由（2）知：OG∥AC，∴GH∥AC，∴∠OHB＝∠C＝90°，∴OH⊥BC，∴BH＝CH，∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，∴四边形GHCK是矩形，∴CH＝GK，设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，由（2）知：∠ADG＝∠DBC，在△GKD和△DCB中，，∴△GKD≌△DCB（AAS），∴GK＝DC＝y，∵OE∥BC，∴∠E＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan E，∴，即＝，∴EN＝，∴AN＝CN＝y+，ON＝y，由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，∴（y+）2＝y2+（y+）2，解得：y1＝﹣（舍），y2＝，∴AG＝＝＝2．17．解：（1）点P到直线l距离的最大值，即过圆心O向直线l作垂交圆O于点P，连接OA，∵AB＝8，OC⊥AB，∴AC＝4，由勾股定理得：OC＝3，∴PC＝8，故答案为：8；（2）过点F作FG⊥AB，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴△ABD为等腰直角三角形，∴，又∵△ABC为等腰三角形，且AB＝BC，BE⊥AC，∴BE平分∠ABC，又∵FD⊥BC，FG⊥AB，∴FG＝FD，∴，∴；（3）连接MC，过点A作AP⊥BC，∵∠ABC＝60°，AB＝60，∴，∴，设总费用为W，∴，∴W＝100（2S△AMN+S△BNC），∴当最小时，总费用最小，又∵AM＝20米，BM＝40米，∴2S△AMN＝S△BMN，∴当最小时，费用最小，即S四边形BMNC最小时，费用最小，又∵S四边形BMNC＝S△BMC+S△CMN，过点M作MH⊥BC，垂足为H，∵∠ABC＝60°，BM＝40米，∴BH＝20米，MH＝20米，MC＝40米，∴∠BCM＝30°，∴∠DCM＝60°，∴，（平方米）∴当S△CMN最小时，费用最小，∴，∴当NQ最小时，费用最小，∵ND＝25米，∴N点在以D为圆心，25为半径的圆上运动，过圆心D向MC作垂线交⊙D于N点，交MC于Q，即此时NQ最小，∵CQ＝15米，DQ＝45米，∴NQ＝45﹣25＝20（米），∴S△MNC最小值＝（平方米），∴S四边形BMNC最小值＝（平方米）∴W最小值＝100×＝120000（元），18．解：（1）EA平分∠DEF，理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，∴∠ABC＝∠AEF，∴∠AEB＝∠AEF，∴EA平分∠DEF，（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，∵BD⊥AC，AF⊥CE，∴AD＝AF，在Rt△ABD和Rt△ACF中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），∴BD＝CF，②由（1）知，∠AEB＝∠AEF，∵∠AEF＝∠CEG，∴∠AEB＝∠CEG，∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，∴∠BAE＝∠ECG，∴△AEB∽△CEG，∴，∴BE•CE＝AE•EG，∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE•CE，∴BD2﹣DE2＝AE•EG，即BD2＝DE2+AE•EG．19．解：（1）连接AB，∵∠APQ＝∠BPQ＝45°，∴∠APB＝∠APQ+BPQ＝90°，∴AB是⊙O的直径，∴AB＝＝＝3，∴⊙O的半径为；（2）连结AB，AQ，OQ，BQ，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵∠APQ＝45°，∴∠AOQ＝90°，∴S四APBQ＝S△APB+S△AQB＝•PB•AP+•AB•OQ＝×2×1+×3×＝+；（3）AB∥ON，证明：连接OA、OB、OQ，∵∠APQ＝∠BPQ，∴＝，∴∠AOQ＝∠BOQ，∵OA＝OB，∴OQ⊥AB，∵OP＝OQ，∴∠OPN＝∠OQP，∵∠OPN+∠OQP+∠NOP+∠NOQ＝180°，∴2∠OPN+∠NOP+∠NOQ＝180°，∵∠NOP+2∠OPN＝90°，∴∠NOQ＝90°，∴NO⊥OQ，∴AB∥ON．20．证明：（1）如图1，∵CG是圆O直径，∴，∵G是劣弧AB的中点，∴，∴，∴，∴CB＝CA；（2）如图2，延长BD至N，连接FD，∴四边形ABDC为圆内接四边形，∴∠CAB+∠BDC＝180°，又∠BDC+∠NDE＝180°，∴∠CAB＝∠NDE，同理，∠ECF＝∠EBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，又∠CBA＝∠ADC，∴∠NDE＝∠ADC，∵CF平分∠ACE，∴∠ECF＝∠ACF，∵∠EBD＝∠ACF，∠ACF＝∠ADF，∴∠EBD＝∠ADF，∵∠NDE＝∠ADC，∴∠EBD+∠CEB＝∠ADF+∠FDC，∵∠CEB＝∠FDC，又∠FDC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠BAD＝∠BCD，∠BCD＝∠CBE+∠CEB，∴∠BAD＝2∠DEB；（3）如图3，由（2）可得，∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE，∵CB＝CA，∴CA＝CE，∵AD是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∵AB：CD＝8：5，∴设AB＝8a，则CD＝5a，过A作AP⊥BE于P，连接AE，∵∠ABP＝∠ACF＝45°，∴∠ABP＝∠BAP＝45°，∴AP＝BP，∴，∴，∵∠BAP＝∠CAE＝45°，∴∠BAP+∠P AC＝∠CAE+∠P AC，∴∠CAB＝∠P AE，∵∠CAB＝∠CBA＝∠ADC，∴∠ADC＝∠P AE，∵∠ACD＝∠APE＝90°，∴△ADC∽△EAP，∴，∵AE＝，∴，∴，∵AD2﹣AC2＝CD2＝25a2，∴，连接DF，过F作FM⊥DE于M，如图4，∵∠CBE＝∠CEB，∠CBE＝∠CDF，∴∠CDF＝∠CEB，∴FD＝FE，∴DM＝EM＝，∵DE＝DC+CE＝DC+AC＝，∴，∴CM＝DM﹣DC＝，∵∠FCE＝45°，FM⊥DE，∴△FCM为等腰直角三角形，∴，∴，又CF＝，∴，∴a＝，∴DE＝14，AD＝10，CD＝6，AC＝8，过O作OG⊥DE于G，∴DG＝CG＝∵AO＝DO＝5，∴OG＝，又EG＝DE﹣DG＝14﹣3＝11，∴OE＝＝．。

2024年九年级中考数学专题复习：圆与二次函数的综合压轴题（1）求抛物线的解析式．3．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（B、C两点（点B在点C的左侧），已知（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图所示：在平面直角坐标系中,圆M经过原点O且与X轴Y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点（1）请写出直线AB的解析式（2）若有一抛物线的对称轴平行于Y轴且经过点M，顶点C在圆M上,开口向下且经过点B．求此抛物线的函数表达式(3)设（2）中的抛物线交X轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请直接写出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由5．如图，二次函数y=a ＋bx ＋c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ．且B （1，0），若将△BOC 绕点O 逆时针旋转90°，所得△DOE 的顶点E 恰好与点A 重合，且△ACD 的面积为3．（1）求这个二次函数的关系式．（2）设这个二次函数图象的顶点为M ，请在y 轴上找一点P ，使得△PAM 的周长最小，并求出点P 的坐标．（3）设这个函数图象的对称轴l 交x 轴于点N ，问：A 、M 、C 、D 、N 这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并作简要说明；若不可能，请说明理由．6．如图，在直角坐标系中，以点A （，0 ）为圆心，以2为半径的圆与x 轴相交于点B 、C ，与y 轴相交于点D 、E （1）若抛物线经过C 、D 两点，求抛物线的表达式，并判断点B 是否在该抛物线上（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得△PBD 的周长最小（3）设Q 为（1）中的抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由2x7．如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B 两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-8，0），B（0，-6）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且（1）求该抛物线的函数关系式及顶点12．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B ，与y 轴相交于点C （0，3），抛物线的对称轴为直线．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，点C 关于直线的对称点为N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（3）点P 在直线上，且以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，求点P 的坐标．13．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，与直线交于点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，横坐标为的点在直线上方的抛物线上，过点作轴交2y ax 2x c =++l l l直线于点，以为直径的圆交直线于另一点．当点在轴上时，求的周长；将绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转，得到，点的对应点分别是．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点2）（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：）（(3)－；（，）（，；最大值为；（3≤m≤．﹣x+x+1=；（，）或（﹣，）185。