2019年9月高2020届高2017级江苏省南京市高三期初学情调研卷数学试题及附加题

2020届江苏省南京市高三9月学情调研数学试题一、填空题 1．函数()1f x x =-的定义域是【答案】[1,)+∞【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足101x x -≥∴≥，因此定义域为[1,)+∞ 【考点】函数定义域2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 【答案】10 【解析】【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==- 10z =，故答案为10.3．某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为_______．【答案】4【解析】循环代入n p 、的值，直到10p >时输出p 的值. 【详解】第一次循环：2,5n p ==；第二次循环：3,10n p ==；第三次循环，4,17n p ==，此时满足10p >可退出循环得：4n =.【点睛】本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简化运算.4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为_______【答案】0.018【解析】根据频率和为1来计算x 的值. 【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易.5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______ 【答案】23【解析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，则概率62=93P =.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.6．把一个底面半径为3cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm 【答案】3【解析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=. 7．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______．【解析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，则c e a ===.【点睛】本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题. 8．若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 【答案】［－1，2］【解析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】 因为2||T ππω==，所以2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-，则max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-.【点睛】本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域.9．若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tanα＋1，则tan 2α的值为_____． 【答案】34【解析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】 由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍，α为锐角），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.10．已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 【答案】（1，＋∞）【解析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集. 【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||xf x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数；又因为0x >时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，则有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性（注意定义域）和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集.11．等差数列｛n a ｝的前n 项和记为n S ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为_______． 【答案】20【解析】先根据条件求解出n S 的表达式，然后分析n S 取最大值时对应n 的值即为k 的值. 【详解】因为1474399a a a a ++==，所以433a =；因为2585393a a a a ++==，所以531a =；则5431332d a a =-=-=-，14339a a d =-=， 所以221(1)40(20)4002n n n S a n d n n n -=+=-+=--+，则20n =时，n S 有最大值，即20k =. 【点睛】（1）等差数列性质：若2m n p q c +=+=，则2m n p q c a a a a a +=+=；（2）等差数列{}n a 中，若10,0a d ><，则n S 有最大值；若10,0a d <>，则n S 有最小值.12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，则CP CA 的值为______． 【答案】6【解析】现根据中点对应的向量关系求解出CB 的长度，然后再将CP CA 化简到可利用||||CA CB 、直接进行计算即可. 【详解】如图所示，1()2CP CA CB =+，则22211()||||4344CP CA CB CB CB =+=-+=，所以||2CB =；又2111()||8(2)6222CP CA CA CB CA CA CB CA =+=+=+-=. 【点睛】几何图形中的向量问题，一定要先分析图形找到其中的数量关系；其次就是对待求式子的分析，将其变为可以用已知量直接进行计算的形式.解决这类问题，这里还有另一种常用的方法：坐标法，已坐标的方式去考虑各个量之间关系.13．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为________． 【答案】［－2，2］【解析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，则5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解.14．已知函数32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+⎪=⎨--≤⎪⎩＞.若函数[]()y g f x a=-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为______． 【答案】（34，2） 【解析】分别画出()f x 、()g x 的图象，采用换元法令()f x t =，考虑()g t a =中t 的取值可使()f x t =有6个解时对应的a 的取值范围. 【详解】作出()f x 、()g x 图象如下：因为()g x a =至多有两解，()f x t =至多有三解，则()g x a =有两解时()f x t =有6解； 且(0)1f =，(2)3f =-，所以()f x t =有三解时(3,1)t ∈-； 当3t =-时，3(3)4a g =-=，当1t =时，(1)2a g ==， 故3(,2)4a ∈时，[]()y g f x a =-有6个零点. 【点睛】涉及到分段函数的零点问题时，一定记得使用数形结合思想；函数零点或者方成根问题中，出现了复合函数，换元法也是很常规的手段，此时就需要结合多个函数图象来分析问题.15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asin 2B 2bsinA . （1）求B 的大小； （2）若cosC 5，求sin()A C -的值． 【答案】（1）4B π=；（2）2sin()10A C -=【解析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解；（2）利用A B C π++=计算A 的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解.【详解】解：（1）由正弦定理得：sin sin 22sin sin A B B A =即2sin sin cos 2sin sin ()A B B B A =*∵A ，B ∈(0，π) ∴()可化简为2cos 2B =∴4B π=(2）由(1)知2cos 2B =，可得2sin 2B = ∵5cos 0C =＞，C ∈(0，π) ∴25sin 0C =＞ []cos cos ()cos()cos cos sin sin A B C B C B C C B π=-+=-+=-+2525210=-⨯+⨯=∵A ∈(0，π) ∴310sin 10A =310525102sin()sin cos sin cos 10551010A C A C C A -=-=⨯-⨯=【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件：A B C π++=，要注意使用.16．如图，在三梭柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点．（1）求证：AF ∥平面B 1CE ；（2）若A 1B 1⊥1B C ,求证：平面B 1CE ⊥平面ABC . 【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】（1）先通过证1//AF B E ，由线线平行经过判定定理得到线面平行； （2）由线线垂直1(,)AB B C AB EC ⊥⊥经过判定定理得到线面垂直11(A B ⊥平面)ABC ，再由面面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证：在三棱锥ABC-A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1 ，AB=A 1B 1 ∵E ，F 是AB ，A 1B 1的中点 ∴FB 1∥12A 1B 1，AE ∥12AB ，FB 1=12A 1B 1，AE =12AB ∴FB 1∥12AE ，FB 1=12AE ，四边形FB 1EA 为平行四边形 ∴AF ∥EB 1又∵AF ⊄平面B 1CE ，EB 1⊂平面B 1CE ，∴AF ∥平面B 1CE (2）证：由(1)知，AB ∥A 1B 1 ∵A 1B 1⊥B 1C ∴AB ⊥B 1C又∵E 为等腰ΔABC 的中点 ∴AB ⊥EC 又∵EC∩B 1C=C AB ⊥B 1C ∴AB ⊥平面B 1CE 又∵AB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面B 1CE 【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；（2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.17．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点（2a，3e )和(b ，3e ）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：OB PQ ⋅为定值．【答案】（1）22143x y +=；（2）见证明 【解析】（1）将点的坐标代入方程，联立求解；（2）设出C 点坐标，然后求解出P Q 、的坐标，最后利用向量数量积的坐标表示计算结果得出定值. 【详解】（1）由题意知：222222191431e bb e a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合222a bc =+ 解得2a =，3b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.(2）由题意知：A (-2，0)，B (2，0)，O (0，0)，设C (0x ，0y )，则P (022x +，02y) AC l :00(2)2y y x x =++，PQ l :000022()22x x yy x x y -+=-+ 化简得：PQ l ：00026x yy x y -=- 连理AC ，PQ 直线的方程，解得Q 000014(18),22(2)x y x x ⎛⎫++⎪+⎝⎭所以(2,0)(6,)12P Q OB PQ y y ⋅=⋅-=.【点睛】本题考查圆锥曲线中的椭圆方程以及定值问题，难度一般.对于求解方程，将满足条件的等式联立即可直接求解；定值问题中最难的就是如何将待求的式子表示出来，当能正确表示的时候，即可进行计算，中间可能会借助点自身满足的关系式进行化简.二、解答题18．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：()()21800159,491800,915t t p t t ⎧--≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈.(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值． (2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益． 【答案】（1）t =4.（2）当发车时间间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.【解析】（1）分段考虑()1500p t ≤的解；（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应t 的范围内的最大值. 【详解】解: （1）9≤t ≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去. 4≤t <9时，1800-15(9-t )2≤1500，即218610t t -+≥ 解得t舍)或t≤9∵4≤t <9，t ∈N. ∴t =4.(2）由题意可得4410(90)1520,49,2880100,915,t t t N tQ t t N t⎧-++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩4≤t <9，t =7时，1520Q ≤-=260(元) 9≤t ≤15，t =9时，28801009Q ≤-=220(元) 答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.(2)问当发车时间间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【点睛】处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.19．已知函数2()2ln ,,f x x ax bx a b R =+-∈(1）若曲线()y f x =在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实教a ，b 的值． (2）若a ＝0，且()f x ≤－2对一切正实数x 值成立，求实数b 的取值范围． (3）若b ＝4，求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1a =，2b =.（2）2b ≥；（3）当a =0时，()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当0a ＜时，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为1a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为11a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；当1a ≥时()f x 在(0,)+∞上单调递增.【解析】（1）根据切线斜率以及函数值，得出等量关系后联立求解； （2）采用分离参数法，构造新函数完成求解；（3）分析导函数中a 的取值，采用分类的思想求解()f x 的单调区间. 【详解】 （1）2()2f x ax b x'=+-，由题意知，(1)1f a b =-=-，(1)222f a b '=+-= 解得1a =，2b =.(2）由题意知，2ln 2x bx -≤-恒成立，整理得2ln 2x b x+≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立. 设2ln 2()x g x x+=，则2ln ()xg x x -'=，令()0g x '=，解得1x =. 且当(0,1)x ∈时，()0g x '＞，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '＜所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即max ()(1)2g x g == 所以2b ≥.(3)当b =4时，2()2ln 4f x x ax x =+-，则22242()24ax x f x ax x x-+'=+-=设2()242h x ax x =-+ ①当a =0，()0h x '＜的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，()0h x '＞的解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭所以()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭.②当0a ＜时，()0h x '＜的解集为⎫+∞⎪⎪⎝⎭，()0h x '＞的解集为⎛ ⎝⎭所以()f x 的增区间为⎛ ⎝⎭，减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭. ③当0a ＞时，161616(1)a a ∆=-=-若1a ≥，则0∆≤，所以()0h x '＜恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增.若01a ＜＜，则()0h x '＜的解集为⎝⎭()0h x '＞的解集为11⎛⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 的增区间为10,a ⎛ ⎝⎭，减区间为1a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为11,a a ⎛+ ⎝⎭. 【点睛】（1）根据切线方程求解参数的方法：①导数值等于斜率值；②()f x 的函数值等于切线方程的y 值；（2）根据不等式恒成立，求解参数范围的方法：①分离参数法（构造新函数，分析参数范围）；②分类讨论法（从临界点出发，求解参数范围）. 20．已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛nS n ｝是以12为公差的等差数列·（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．【答案】（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1.【解析】（1）先求解等差数列{}nS n的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+即21322n S n n ==+当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得12n n T n +=⋅∴+12n n T n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T =所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n nT m S T n S λλ+=+ 可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++ 即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-= 因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥ 所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1. 【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.21．已知二阶矩阵2331A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(1）求1A -；(2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C'：x 2一3y 2＝1，求曲线C 的方程．【答案】（1）113441122A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（2）22681y x -= 【解析】（1）求逆矩阵，直接利用逆矩阵计算公式计算即可；（2）设出C C '、上点的坐标，然后根据矩阵A 的对应变换得到坐标间的关系，最后利用C '的方程求解C 的方程. 【详解】解：（1）设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，代入数值则113441122db ad bc ad bc A c a ad bc ad bc --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ (2）设C 上任意一点（x ，y ），对应C′上任意一点（x′，y′）2323212+x x y x y x y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 得232x x yy x y=+⎧⎨=+''⎩ 又222231(23)3(2)1x y x y x y ''-=⇒+-+= 整理得C ：22681y x -= 【点睛】（1）矩阵逆的计算可以选择公式法计算，也可以按照1AA -等于单位矩阵去计算； （2）对于坐标变换的问题，首先需要清楚已知点坐标和待求点坐标的关系，不能将二者弄混淆了，其次就是根据已知的方程求解未知的方程.22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l ：41x ty at =⎧⎨=+⎩(t 为参数，a 为常数），曲线C :2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)．若曲线C 上的点P 到直线l 的距离的最大值为3，求a 的值．【答案】3a =【解析】根据圆上点到直线的最大距离等于圆心到直线的距离加上半径. 【详解】解：由条件可知l ：440ax y -+=，C ：22(2)1x y -+=则圆心到直线的距离：224312316C l a d a a -+==-=⇒=+【点睛】直线的参数方程化为一般方程：消去参数；圆的参数方程化为直角坐标方程：根据22sin cos 1θθ+=化简.23．解不等式22|1|6x x +-< 【答案】{}152x x -＜＜【解析】分析绝对值部分，采用零点分段的方法求解不等式. 【详解】 解：①21(15,1)226x x x x ⎧⇒∈-⎨-+⎩＜＜ ②[)211,2226x x x x ≥⎧⇒∈⎨-+⎩＜ 故不等式的解集为：{}152x x -＜＜. 【点睛】解含绝对值的不等式的方法：（1）零点分段法；（2）几何意义法；（3）函数图象法. 24．如图，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ， PA ＝AD ＝2，E ，F 分别为PA ，AB 的中点，且DF ⊥CE .(1）求AB 的长；(2）求直线CF 与平面DEF 所成角的正弦值． 【答案】（1）AB =22（2242【解析】（1）建立合适空间直角坐标系，设出B 点坐标，根据DF CE ⊥求解AB 的值； （2）求出平面DEF 的法向量n ，根据|cos ,|sin CF n θ<>=计算线面角的正弦值. 【详解】解：（1）以A 为原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系P (0，0，2)，D (0，2，0)，设B (2a ，0，0)，则C (2a ，2，0)，E (0，0，1)，F (A ，0，0)，0a ＞.(,2,0)DF a =-，(2,2,1)CE a =--∵DF ⊥CE∴2240DF CE a ⋅=-+=∴a =AB=(2）由(1）知，(2,2,0)DF =-，(2,0,1)EF =-，(2,0)CF =--设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =22020n DF x y n EF x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 解得212x y z ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴(2,1,2)n =设直线CF 与平面DEF 所成角为θ2sin cos ,21CF n CF n CF nθ⋅===【点睛】求解线面角的正弦值时，当求解完已知向量和法向量夹角的余弦后，需要对结果增加一个绝对值，这样才能保证线面角的正弦值是正值，这一点需要注意.25．已知集合A ＝｛1，2，3，4｝和集合B ＝｛1，2，3，…，n ｝，其中n ≥5，*n N ∈．从集合A 中任取三个不同的元素，其中最小的元素用S 表示；从集合B 中任取三个不同的元素，其中最大的元素用T 表示．记X ＝T －S.(1）当n ＝5时，求随机变量X 的概率分布和数学期望()E X ； (2）求(3)P X n =-．【答案】（1）概率分布见解析，13()4E X =（2）3(3)(27)(3)2(1)(2)n n P X n n n n --=-=-- 【解析】（1）当5n =时，分别考虑T S 、的取值情况，再分析X T S =-的概率分布； （2）考虑3X n =-的可能组成情况，对每一种情况进行概率计算然后概率结果相加得到(3)P X n =-. 【详解】解：（1）当n=5时，B={1，2，3，4，5} 由题意可知，A =1或2，T=3或4或5 则X=T-S=1或2或3或4.则随机变量X 的概率分布为334511(1)40P X C C ===⋅ 23334523(2)20C P X C C ===⋅22233433453(3)8C C C P X C C ⋅+===⋅ 223433459(4)20C C P X C C ⋅===⋅随机变量X 的数学期望113913()123410408204E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. (2）因为X=T-S=n -3，所以S=1，T=n-2或S =2，T=n -1 所以222332334(3)(4)(2)(3)33(3)(27)22(3)(1)(2)2(1)(2)42n n nn n n n C C Cn n P X n n n n C C n n n ------⋅+⋅+--=-===--⋅--⋅. 【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布以及排列组合中的概率计算，难度较大.分析随机变量的分布列，一定要考虑到所有的情况，针对每种情况进行概率计算；组合事件的概率计算，可先考虑事件可拆分成哪些基本事件，先分析基本事件的概率，然后求和即可.。

2019-2020学年江苏省南京市高三上学期学情调研（9月） 数学（考试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（满分每小题5分，共70分）1. 若a ＋i1－i(i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值是____________． 2. 已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∪B ＝____________.3. 命题“若实数a 满足a ≤2，则a 2＜4”的否命题是______ (填“真”或“假”)命题．4.在如图所示的算法流程图中，若输入m ＝4，n ＝3，则输出的a ＝__________.(第4题)5.把一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为____________．6. 在约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1下，则x －12＋y 2的最小值为__________．7.设α、β是空间两个不同的平面，m 、n 是平面α及β外的两条不同直线．从“① m ⊥n ；② α⊥β；③ n ⊥β；④ m ⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________.(填序号)．8.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 分别是双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在双曲线的右支上，则sin A －sin Bsin C的值是____________．9. 已知点A (0,2)，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线于点B ，过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p ＝__________.10. 若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))的值域是____________． 11. 如图所示，在直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2.若用平行于三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．(第11题)12. 已知椭圆x24＋y22＝1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则点Q 的坐标为____________．13. 在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交边AB、AC于M、N两点，设AM→＝xAB→，AN→＝yAC→(x、y≠0)，则4x＋y的最小值是______________．14.设m∈N，若函数f(x)＝2x－m10－x－m＋10存在整数零点，则m的取值集合为______________．二、解答题（共六大题，满分90分）15．（本小题满分14分）已知函数的定义域为集合A，B={x|x＜a或x＞a+1}（1）求集合A；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16、（本题满分14分）设p：实数x满足x2－5ax＋4a2<0(其中a>0)，q：实数x满足2<x≤5.(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17、（本题满分15分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．(1)确定角的大小：（2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．18、（本题满分15分）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h 米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．19．（本题满分16分）已知定义在R上的函数f（x）满足为常数（1）求函数f（x）的表达式；（2）如果f（x）为偶函数，求a的值；（3）当f（x）为偶函数时，若方程f（x）=m有两个实数根x1，x2；其中x1＜0，0＜x2＜1；求实数m的范围．20．（本题满分16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f （x）+f（﹣x）=0，且x=1时，f（x）取极小值．（1）f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：时，．2019-2020学年江苏省南京市高三上学期学情调研（9月）数学参考答案一、填空题：（每题满分5分共70分）1. －12. {x|x＞0}3. 真4. 125. 26276.2557. ①③④⇒②(或②③④⇒①)8. －129. 210.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎪⎫12，111. 2412. (0,0)13.9414.{0,3,14,30}二、解答题：（共六道题）15、（本题满分14分）解：（1）由，得：，解得：x≤﹣1或x＞2，所以A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）-----------------------7分．（2）A=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B={x|x＜a或x＞a+1}因为A⊆B，所以，解得：﹣1＜a≤1，所以实数a的取值范围是（﹣1，1]-------------------14分．16、（本题满分14分）解(1)当a＝1时，x2－5ax＋4a2<0即为x2－5x＋4<0，解得1<x<4，当p为真时，实数x的取值范围是1<x<4.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(2,4)-----------7分．(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件．设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B A.由x2－5ax＋4a2<0得(x－4a)(x－a)<0，∵a>0，∴A＝{x|a<x<4a}，又B＝{x|2<x≤5}，则a≤2且4a>5，解得54<a≤2.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤54，2.----14分17、（本题满分15分）17．（本小题满分15分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．(1)确定角的大小：（2）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．解（1）由及正弦定理得，， ·························· 2分,············································································ 4分是锐角三角形，，．················································ 7分（2）解法1：由面积公式得，由余弦定理得····················11分由②变形得·································································15分解法2：前同解法1，联立①、②得， ········································11分消去b并整理得，解得，所以故． ···································15分18、（本题满分15分）解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因r>0，又由h>0可得0＜r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)---------7分．(2)因V(r)＝π5(300r－4r3)(0＜r＜53)，故V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r＝5或－5(因r＝－5不在定义域内，舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．------------------------13分答：----------------， ----------------------------------15分（答，单位各一分）19．（本题满分16分）解：（1）∵为常数令t=则x=∴f（t）==2﹣t+a•2t 从而有f（x）=2﹣x+a•2x；------------------4分（2）∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）∴2x+a•2﹣x=2﹣x+a•2x整理可得，（a﹣1）•2x=（a﹣1）•2﹣x∴a=1------------------------------------------------------------------------------------8分（3）由（2）可得f（x）为偶函数，a=1，f（x）=2x+2﹣x令n=2x，n＞0，f（n）=n+，n＞0的图象如图，结合图象可得方程f（x）=m有两个实数根x1，x2，其中x1＜0，0＜x2＜1⇔f（n）=m有两个实数根n1，n2其中0＜n1＜1，1＜n2＜2而函数f（n）=n+在（0，1）上单调递减，在（1，2）单调递增结合图象可得，函数有两个交点-------------------------------------------------16分20．（16分）解：（1）因为，∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）成立，所以：b=d=0，由：f'（1）=0，得3a+c=0，由：，得解之得：，c=﹣1从而，函数解析式为：----------------------------------5分（2）由于，f'（x）=x2﹣1，设：任意两数x1，x2∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，则这两点的切线的斜率分别是：k1=f'（x1）=x12﹣1，k2=f'（x2）=x22﹣1又因为：﹣1≤x1≤1，﹣1≤x2≤1，所以，k1≤0，k2≤0，得：k1k2≥0知：k1k2≠﹣1故，当x∈[﹣1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直（10分）（3）当：时，x2∈（0，3）且3﹣x2＞0此时F（x）=|xf（x）|===当且仅当：x2=3﹣x2，即，取等号，故；（16分）。

南京市2020届高三年级学情调研卷数 学 2019. 09一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． )1、函数()f x =的定义域为 ▲【答案】[1,+∞)【解析】被开方式大于等于 0【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.2、已知复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．【解析】z a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，1b z =-⇒= 【点评】考查复数的运算，属于基础题型.3、某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为 ▲ ．【答案】4【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16． 【点评】考查流程图，属于基础题型.4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为 ▲【答案】0.018【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++= 【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ 【答案】23【解析】322333P ⨯==⨯ 【点评】考查组合，属于基础题型.6、把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm. 【答案】 3【解析】由圆柱和球的体积相等得：2343433R R ππ⨯⨯=⇒= 【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.7、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得22tan 303b a b a c a a c⨯︒===，得e ==【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型. 8、若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为▲ ． 【答案】[﹣1，2]【解析】由周期为π，得2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，2π]时，()f x ∈[﹣1，2]【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.9、若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tanα＋1，则tan2α的值为 ▲ ． 【答案】34【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或1tan 3α=∵α为锐角，∴1tan 3α=，∴tan2α＝34【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型.10、已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为 ▲ ． 【答案】x ＞1【解析】由题意得()f x 为奇函数，通过分离常数法得()f x 是R 上的增函数转换可得(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为 ▲ ． 【答案】20【解析】由等差数列，可得4399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a = 240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．【点评】此题考查的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型.12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ∠ACB ＝23π，则CP CA u u u r u u u r g的值为 ▲ ． 【答案】6【解析】∵1()2CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r∴222111cos 442CP CA CB CA CB ACB =++∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴21344CB CB =+-u u ur u u u r ，解得CB u u u r ＝2∴21111111()1642()62222222CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中. 13、在平面直角坐标系xoy中，已知圆若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[﹣2，2]【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公共点所以13，又P 在圆M 5 可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，14、已知函数若函数有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(34，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像由题知，(())g f x a =有6个解，令()f x t =当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去；当0≤a ≤34时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t = 没有6个解，舍去；当34＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解；当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去．综上得 a 的取值范围是34＜a ＜2．【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大.二、解答题：本大题共5小题，共计90分。

江苏南京市2019届高三年级学情调研卷(数学)南京市2019届高三年级数学学情调研卷一、填空题1.集合A∩B中有一个元素。

2.实数b的值为-2.3.这组数据的方差为 6.8.4.最后输出的S的值为 15.5.实数a的值为0.6.该双曲线的离心率是 2.7.取出的这2只球颜色相同的概率是 2/5.8.f(0)的值为0.9.四棱锥A1—B1C1CB的体积是 3/2.10.a10n(n+1)/4.11.BC的长为 23.12.XXX的值为 6.13.S1的最小值是 2.14.实数a的取值范围是 (-∞,-1)∪(1,∞)。

二、解答题1.解析式：f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，其中a,b,c,d分别为2,-3,-12,5.2.解析式：f(x) = (x+1)(x-2)(x-3)，其中零点分别为-1,2,3.3.解析式：f(x) = (x-1)^2(x+2)，其中极值点为x=1，极小值为0.4.解析式：f(x) = (x-2)lnx，其中极值点为x=2，极小值为-2ln2.5.解析式：f(x) = x^3/3 - 2x^2 + 3x + 1，其中拐点为x=1，拐点处函数值为2/3.6.解析式：f(x) = (x-2)^2 + 1，其中最小值为1，最小值点为x=2.15.已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD垂直于平面BCE，且BC=EC，F是BE的中点。

1) 证明：DE∥平面ACF；2) 证明：平面AFC⊥平面ABE。

16.已知α，β为钝角，且sinα=2/3.1) 求tanβ的值；2) 求cos(2α+β)的值。

17.销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P=at/(t+1)；销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt，其中a，b为常数。

现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为9万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元。

南京市2019届高三期初考试 数学试卷（2019-9-4）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，知。

分．请把答案填写在答题卡相应位置上．过落 1.已知集合A={|2,x x x R <∈}，集合B={|12,x x x R <<∈}，则A B ＝＿＿＿＿2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是＿＿＿＿＿3.已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则｜z ｜＝＿＿＿4.石图是某算法的流程图，其输出值a 是＿＿＿＿＿5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为＿＿＿＿.6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为＿＿＿＿7.已知点P （x,y ）在不等式表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是＿＿＿＿8.曲线y=x+sinx 在点(0，0)处的切线方程是＿＿＿＿．9.在等差数列{n a }中，487,15a a ==，则数列{n a }的前n 项和n S ＝＿＿＿10.如图，在△ABC 中，D ，E 分别为边BC ，AC 的中点. F 为边AB 上. 的，且，则x+y 的值为＿＿＿＿11.设函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f(x) =2x＋1.若f(a)=3，则实数a 的值为＿＿＿12.已知四边形ABCD 是矩形，AB=2，AD=3，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若 ∠AEF 为钝角，则线段BE 长度学科网的取值范围是＿＿＿＿13.如图，已知过椭圆的左顶点A(－a,0)作直线1交y 轴于点P ，交椭圆于点Q.，若△AOP 是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为＿＿＿＿14.已知函数若存在实数a ，b ，c ，d,满足f(a)=f(b)＝f(c)＝f(d )，其中d>c>b>a>0，则abcd 的取值范围是＿＿＿＿二、解答题：本大匆共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步璐．15.（本小题满分14分）在锐角△ABC 中，A,B,C所对的边分别为a ，b ，c ．已知向量(1）求角A 的大小；(2）若a ＝7，b=8，求△ABC 的面积．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点． (1)求证：AP ∥平面MBD ；（2)若AD ⊥PB ，求证：BD ⊥平面PAD ；17.（本小题满分14分）如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广 场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），．道路的宽学科网度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积。

江苏省南京市2020届高三数学9月学情调研试题（含解析）一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1、函数()1f x x =-的定义域为 ▲【答案】[1,+∞)【解析】被开方式大于等于 0【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.2、已知复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 【答案】10【解析】z a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，110b z =-⇒=， 【点评】考查复数的运算，属于基础题型.3、某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为 ▲ ．【答案】4【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16． 【点评】考查流程图，属于基础题型.4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为 ▲【答案】0.018【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++=【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ 【答案】23【解析】322333P ⨯==⨯ 【点评】考查组合，属于基础题型.6、把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损 耗），则该钢球的半径为 ▲ cm. 【答案】 3【解析】由圆柱和球的体积相等得：2343433R R ππ⨯⨯=⇒= 【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.7、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．【答案】3【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得22tan 303b a b a c a a c⨯︒===，得e ==【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型. 8、若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为▲ ． 【答案】[﹣1，2]【解析】由周期为π，得2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，2π]时，()f x ∈[﹣1，2]【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 9、若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ．【答案】34【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或1tan 3α= ∵α为锐角，∴1tan 3α=，∴tan2α＝34【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 10、已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为 ▲ ． 【答案】x ＞1【解析】由题意得()f x 为奇函数，通过分离常数法得()f x 是R 上的增函数转换可得(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为 ▲ ． 【答案】20【解析】由等差数列，可得4399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a = 240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．【点评】此题考查的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型.12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，则CP CA u u u r u u u r g的值为 ▲ ． 【答案】6【解析】∵1()2CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r∴222111cos 442CP CA CB CA CB ACB =++∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴21344CB CB =+-u u ur u u u r ，解得CB u u u r ＝2∴21111111()1642()62222222CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中.13、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[﹣2，2]【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公共点所以1≤22(2)(1)x y -++≤3，又P 在圆M ，可得22(2)(21)a a -++≤5 可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，14、已知函数若函数有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(34，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像由题知，(())g f x a =有6个解，令()f x t =当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去； 当0≤a ≤34时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t = 没有6个解，舍去；当34＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解；当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去． 综上得 a 的取值范围是34＜a ＜2．【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大.二、解答题：本大题共5小题，共计90分。

南京市2019届高三年级学情调研数 学注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分.本 试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2•答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上•试题的答案写在答题卡...上对应题目 的答案空格内.考试结束后，交回答题卡. 参考公式：1锥体的体积公式：V = 3Sh,其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 1 n 1 n样本数据X 1, X 2,…，X n 的方差s 2=丄刀(X i — £)2，其中匚=-刀X i .n i = 1' ' n i = 1一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分•请把答案填写在答 题卡相应位置 上.1 .已知集合 A = { X |1< x v 5, x € R },2 .复数z = (1 + bi)(2 — i)，其中b € R , i 为虚数单位.若 z 是纯虚数，则实数 b 的值为 ▲.3.已知某地连续5天的最低气温(单位：摄氏度)依次是18,21, 22, 24, 25,那么这组数据的方差为 ▲ .4 .执行右图所示的算法流程图，则最后输出的S 的值为 ▲15.若函数f(x) = a + -X 是奇函数，则实数 a 的值为 ▲2 — I 6 .在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线y 2= 4x 的准线与双曲线2 2字一*= 1(a > 0, b > 0)的一条渐近线的交点的纵坐标为 2,则该双曲线的离心率是▲ .7 .不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球，其中2只白球，3只红球，现从中随机取出2只球，则取出的这2只球颜色相同的概率是▲ .B = {X | X = 2n , n € Z }，那么集合A AB 中有▲ 个8 .已知函数f(x)= 2sin(2x+妨(—才< <V》的图象关于直线x=才对称，贝U f(0)的值为▲9. 如图，在正三棱柱ABC —A i B i C i中，AB= 2,AA、= 3，则四棱锥A i - B1C1CB的体积是▲d *10. 在数列｛a n｝中，已知a i= 1, a n+1 = a n+- (n € N )，贝U a io 的值n(n+ i)为▲.i11. 已知△ ABC 的面积为3.i5,且AC- AB= 2, cosA=- 4，贝V BC 的长为▲i2.在菱形ABCD 中，/ ABC = 60 ° E 为边BC 上一点，且A B • A E = 6,A D • A E = 3，则云B •A D的值为▲.2 2i3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(i, i), B(i, - i)，点P为圆(x-4) + y = 4上任意一点，记△ OAP 和厶OBP的面积分别为S和氐贝U負的最小值是▲.S214 .若函数f(x) = 1ax2- e x+ 1在x= x i和x= X2两处取到极值，且X2> 2，则实数a的取值范围2 x i是____ .二、解答题：本大题共6小题，共90分•请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图，已知四边形ABCD是矩形，平面ABCD丄平面BCE, BC = EC, F是BE的中点(1) 求证：DE //平面ACF ;(2) 求证：平面AFC丄平面ABE .16. (本小题满分14分)已知a, B为钝角，且sin a= 3, cos2 3.5 5(1)求tan B 的值;(2)求cos(2 a+ 3 的值.17. (本小题满分14分)销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P=苕，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q= bt,其中a, b为常数.现9将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为-4-万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为 f (x)万元.(1)求函数f (x)的解析式；(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.在平面直角坐标系18. (本小题满分16分)xOy中，椭圆且直线I: x = 2被椭19. (本小题满分16分)已知函数 f(x)= Inx , g(x)= x 2.(1 )求过原点(0, 0)，且与函数f(x)的图象相切的直线I 的方程；(2)若a >0,求函数$(x)=|g(x) — 2a 2f(x)|在区间［1 ,+^ )上的最小值.20. (本小题满分16分)如果数列｛a n ｝共有k(k € N *, k >4)项，且满足条件：① a 1 + a ?+…+ a k = 0;② |a j | + | a ?| +…+ | a k | = 1,则称数列｛a n ｝为P(k)数列.(1) 若等比数列｛a n ｝为P(4)数列，求a 1的值； (2) 已知m 为给定的正整数，且 m 》2.① 若公差为正数的等差数列｛a .｝是P(2m + 3)数列，求数列｛a n ｝的公差；n — 1q r _, 1 < n W m , n € N *,② 若a n =其中q 为常数，q v — 1 .判断数列｛a *｝是否m — n*圆E 截得的弦长为2 .与坐标轴不垂直的直线交椭圆 上.点 M(1，0).(1) 求椭圆E 的方程； (2) 求证：MR 丄PQ .E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线I(第18题图), m+ 1W n W2m, n€ N , 为P(2m)数列，说明理由.。

2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试 数学试题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q ＝ ▲ ．2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为 ▲ ． 3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 ▲ ．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为12，则输入x 的值为 ▲ ．5．记函数f (x )＝4－3x －x 2 的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为▲ ．6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧2≤x ≤4，y ≥3，x ＋y ≤8，则z =3x －2y 的最大值为 ▲ ．8所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为 ▲（第4题）4cm 2.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f ()的值为 ▲ ．10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为 ▲ ． 11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是 ▲ ． 12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120→BM ＝λ→BC ．若→AM ·→BC ＝－173，则实数λ 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，x ≤0，－3|x －1|＋3，x ＞0．若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax＞0成立，则实数a 的取值范围为 ▲ ．15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标16．如图,在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点,点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED17．如图,有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿XX '的方向,乙沿Y Y '的方向,两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当t 为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时两人的最短距离18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B的任意一点,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆C 的离心率19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=-其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n==求数列{}n b 的通项公式（3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的 20．设函数()()x f x ax e a R =+∈（1）若函数()f x 有且只有两个零点()1212,,x x x x <求实数a 的取值范围； （2）当1a =时,若曲线()f x 上存在横坐标成等差数列的三个点,,A B C ①证明：ABC ∆为钝角三角形；②试判断ABC ∆能否为等腰三角形,并说明理由2019-2020学年江苏省南京市高三上学期9月学情调研测试 数学试题1．{0，2} 2．7 3．16 4．－ 2 5．126．3 7． 6 8．189．－1 10．611．(－∞，2] 12．13 13．－43 14．[0，2]∪[3，8]15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 均在单位圆上,已知点A 在第一象限的横坐标是3,5点B 在第二象限,点()1,0.C（1）设,COA θ∠=求sin 2θ的值； （2）若AOB ∆为正三角形,求点B 的坐标【答案】()24125()342,1010B ⎛-+ ⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）因为点A 在单位圆上,点A 在第一象限，点A 的横坐标是3,5所以点A 的坐标为34,.55⎛⎫⎪⎝⎭根据三角函数定义有34cos ,sin 55x y r r θθ====，从而24sin 22sin cos .25θθθ==（2）因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有11cos()cos sin()sin 3232x r y r ππθθθθθθ=+===+=+=因此点B 的坐标为34.1010⎛-+ ⎝⎭试题解析：（1）因为点A 在单位圆上,点A 在第一象限，点A 的横坐标是3,5所以点A 的坐标为34,.55⎛⎫⎪⎝⎭根据三角函数定义有34cos ,sin 55x y r r θθ====，从而24sin 22sin cos .25θθθ==（2）因为点B 在单位圆上,,3COB πθ∠=+根据三角函数定义有1314cos()cos sin()cos sin ,3221032210x r y r ππθθθθθθ-=+=-==+=+=因此点B 的坐标为.⎝⎭考点：三角函数定义，二倍角公式16．如图,在四面体ABCD 中,,AB AC DB DC ===点E 是BC 的中点,点F 在AC 上，且.AFACλ=（1）若//EF 平面,ABD 求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED【答案】()112λ=()2详见解析【解析】试题分析：（1）因为//EF 平面,ABD EF ⊂平面,ABC 平面ABD 平面ABC AB =,所以根据线面平行性质定理得：//.EF AB 因此1.2AF BE AC BC λ=== （2）,AB AC =点E 是BC 的中点,.AE BC ∴⊥同理由,DB DC =点E 是BC 的中点,.DE BC ∴⊥又AE ⊂平面,AED DE ⊂平面,AED AE DE E =,因此BC ⊥平面,AED 而BC ⊂平面,BCD 所以平面BCD ⊥平面AED .试题解析：（1）因为//EF 平面,ABD EF ⊂平面,ABC 平面ABD 平面ABC AB =,所以根据线面平行性质定理得：//.EF AB 因此1.2AF BE AC BC λ=== （2）,AB AC =点E 是BC 的中点,.AE BC ∴⊥同理由,DB DC =点E 是BC 的中点,.DE BC ∴⊥又AE ⊂平面,AED DE ⊂平面,AED AE DE E =,因此BC ⊥平面,AED 而BC ⊂平面,BCD 所以平面BCD ⊥平面AED . 考点：线面平行性质定理，面面垂直判定定理17．如图,有两条相交直线成060角的直路,,X X Y Y ''交点是,O 甲、乙两人分别在,OX OY 上，甲的起始位置距离O 点3,km 乙的起始位置距离O 点1,km 后来甲沿XX '的方向,乙沿Y Y '的方向,两人同时以4/km h 的速度步行（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；（2）设th 后甲乙两人的距离为(),d t 写出()d t 的表达式；当t 为何值时,甲乙两人的距离最短,并求出此时两人的最短距离【答案】(1 ()124t km =当时,最短距离为2【解析】试题分析：（1）由余弦定理得：7AB ==，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为.（2）当3[0,)4t ∈时，4048247A B t ⨯-+，因此当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 当3[,+4t ∈∞）时，))c o s 120A B t t =-=-+，因此当3=4t 时，两人的最短距离为4km. 综上，当1=4t 时，两人的最短距离为2km.试题解析：（1）由余弦定理得：7AB ==，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为.（2）当3[0,)4t ∈时，4048247A B t ⨯-+，因此当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 当3[,+4t ∈∞）时，))c o s 120A B t t =-=-+，因此当3=4t 时，两人的最短距离为4km. 综上，当1=4t 时，两人的最短距离为2km. 考点：余弦定理18．如图,,A B 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点,M 是椭圆上异于,A B的任意一点,直线l 是椭圆的右准线（1）若椭圆C 的离心率为1,2直线:4,l x =求椭圆C 的方程；（2）设直线AM 交l 于点,P 以MP 为直径的圆交MB 于,Q 若直线PQ 恰好过原点,求椭圆C 的离心率【答案】()221143x y += ()2e =【解析】试题分析：（1）由题意得：2c 1,42a a c ==，解得：22,1,3,a c b ===因此椭圆C 的方程为221.43x y += （2）设(,)M x y ，则直线:()y AM y x a x a =++，因此22(,()).y a a P a c x a c++因为MB OP ⊥，所以22()1y a a x a c y a x a c++⋅=--，222c(1)1y x a a +=--，又2222222221,x y y b a b x a a+==--，因此222c (1)1,(1)(1)1b e e a a -+=--+=，210e e +-=，又01e <<，所以1.2e =试题解析：（1）由题意得：2c 1,42a a c ==，解得：22,1,3,a c b ===因此椭圆C 的方程为221.43x y += （2）设(,)M x y ，则直线:()y AM y x a x a =++，因此22(,()).y a a P a c x a c++因为MB OP ⊥，所以22()1y a a x a c y a x a c++⋅=--，222c(1)1y x a a +=--，又2222222221,x y y b a b x a a+==--，因此222c (1)1,(1)(1)1b e e a a -+=--+=，210e e +-=，又01e <<，所以1.2e =考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系19．已知数列{}n a 共有2k 项()*2,k N ≤∈数列{}n a 的前n 项的和为,n S 满足12,a =()()1121,2,3,,21,n n a p S n n +=-+=-其中常数1p >（1）求证：数列{}n a 是等比数列； （2）若2212,k p -=数列{}n b 满足()()2121log 1,2,,2,n n b a a a n n n==求数列{}n b 的通项公式（3）对于（2）中的数列{},n b 记3,2n n c b =-求数列{}n c 的前2k 项的和 【答案】（1）详见解析（2）()12121n n b k -=+-()22321k k T k =- 【解析】试题分析：（1）证明：因为()112,n n a p S +=-+当2n ≥时，()112n n a p S -=-+。

江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试数学试题2019．9一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A I B ＝ ． 答案：(﹣1，0] 考点：集合的运算 解析：(﹣1，0] 2．已知复数z ＝3i1i-+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 答案：﹣2 考点：虚数解析：z ＝223i (3i)(1i)i 4i 34i 22i 11i (1i)(1i)1i 2----+-+====-+++--，所以则z 的虚部是﹣2． 3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ．答案：200考点：统计，抽样调查 解析：2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 答案：13考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是1263÷=． 5．函数21log y x =+的定义域为 ． 答案：[12，+∞) 考点：函数的定义域解析：由21log 00x x +≥⎧⎨>⎩，解得12x ≥，所以原函数定义域为[12，+∞)．6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S ＝1＋1＋3＋5＋7的值，所以S ＝1＋1＋3＋5＋7＝17．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为 ． 答案：2212016x y -= 考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a ，0)，渐近线方程为4y x a=±，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：216a +，即可得方程216a +＝45，解得a 2＝20，所以双曲线C 的方程为2212016x y -=． 8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．答案：32考点：圆柱、球的表面积 解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2．所以22S 63S 42R R ππ==圆柱球． 9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-，2]，则n ﹣m 的最小值是 ．答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A ＝2．由12•2πω＝4，可得4πω=．由五点法作图可得4π×2＋ϕ＝2π，∴ϕ＝0，函数()2sin()4f x x π=．由于函数在[2，5]上是减函数，x ＝2时，()f x ＝2，x ＝5时，()f x ＝2-，故n ﹣m 的最小值是5﹣2＝3． 10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q=，且527S S =+，则首项1a 的值为 ． 答案：14考点：等比数列解析：因为527S S =+，所以3457a a a ++=，则2341()7a q q q ++=，将121a q =代入可得：260q q +-=，因为q ＞0，所以q ＝2，从而首项1a 的值为14． 11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为 ． 答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x ＜0时，()(1)f x x x =-，可得()f x 在(﹣1，0)单调递减；由()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，可得()f x 也是区间(﹣1，1)上的减函数．因为2(1)(1)0f m f m -+-<，所以2(1)(1)f m f m -<-，可得如下不等式组：2211111111m m m m -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩，得02022021m m m m <<⎧⎪<<-<<⎨⎪-<<⎩或，解得：01m <<．所以实数m的取值范围为(0，1)．12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是 ． 答案：113λ≤≤ 考点：圆的方程解析：首先求得PO ＝4，设P(x ，y )，则2216x y +=①，由PO ＝λPC ，得PO 2＝λPC 2，则x 2＋y 2＝λ2[(x ﹣8)2＋y 2]，化简得222220(1)()1664x y x λλλ=-+-+②，由①②得：2251x λλ-=，根据﹣4≤2251λλ-≤4，求得113λ≤≤． 13．如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，BC 2AD 3=，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAD＝ ．3 考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得CF 1FD 3=，21CD CB BA AD AD AB AD AD AB 33=++=--+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，2331132FA CD 2(CD AD)CD 2[(AD AB)AD](AD AB)AB 44332⋅=-⋅=--⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21AD AB AD 2-+⋅u u ur u u u r u u u r ，所以由AB AD 2FA CD ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，得2231AB AD AB AD 22⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u rAB AD ⋅u u u r u u u r ，所以22AD 3AB =u u u r u u u r ，所以ABAD314．已知函数1ln 1()11122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，若12x x ≠，且12()()2f x f x +=，则12x x +的取值范围是． 答案：[32ln 2-，+∞) 考点：函数与方程 解析：设121x x <<，则12111ln 222x x +++=，得：1212ln x x =-，所以12x x +＝1﹣22ln x ＋2x ．令222()12ln g x x x =-+，2222()x g x x -'=，当1＜2x ＜2，2()g x '＜0，2()g x 在(1，2)上单调递减，当2x ＞2，2()g x '＞0，2()g x 在(2，+∞)上单调递增，∴当x ＝2时，2()g x 有最小值为32ln 2-，所以12x x +≥32ln 2-，即12x x +的取值范围是[32ln 2-，+∞)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ，点F 是棱PD 的中点，点E 为CD 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAC ； （2）证明：AF ⊥PC ．解：16．（本小题满分14分）在△ABC 中，A ＝34π，AB ＝6，AC ＝32（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．解：（1）∵A＝34π，AB＝6，AC＝32∴由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB·AC·cosA＝90∴BC＝310由正弦定理可得：232AC sin A102sin BBC10310⨯⋅===．（2）∵A＝34π，B为锐角∴cosB＝310由余弦定理：AD2＝AB2＋BD2﹣2AB·BD·cosB因为AD＝BD，所以BD＝AB102cos B3102==⨯所以S△ABD＝12AB·BD·sinB＝1106102⨯⨯⨯＝3所以△ABD的面积为3．17．（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得：224xy x-=，则242xyx+=，∵y x>，∴0＜x＜2∴y 关于x 的函数解析式242x y x+=，定义域为(0，2)．（2）设正十字形的外接圆的直径为d ，由图可知22222222454()2224x x d x y x x x+=+=+=++≥，当且仅当2x =时，正十字形的外接圆直径d 最小，则半径最小值为2d =，∴正十字形的外接圆面积最小值为2142ππ⨯=答：当x ． 18．（本小题满分16分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点（A 在B 的左侧）． （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 是AP 的中点，求直线l 的方程；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． 解：（1）∵左、右焦点分别为F 1(﹣1，0)，F 2(1，0) ∴c ＝1， ∵椭圆离心率为12∴a ＝2∴b 2＝a 2﹣c 2＝4﹣1＝3∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）设B(0x ，0y )，根据B 是AP 的中点，得A(024x -，02y ) 由于A 、B 两点都在椭圆上，可得方程组：22002200143(24)4143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，解得0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0074x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以B(74，8)或(74，8-)设直线l 的斜率为k ，则k＝8744-或8744-，即k所以直线l的方程为：(4)6y x =±-，60y --=60y +-=． （3）设A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，则E(2x ，2y -) 设D 为直线AE 与x 轴的焦点，且D(d ，0) 根据A 、D 、E 三点共线得：1212y y x d x d -=--，解得122112x y x y d y y +=+ 设直线l 为：(4)y k x =-，其中k ≠0 则11(4)y k x =-，22(4)y k x =-，代入122112x y x y d y y +=+得12121224()8x x x x d x x -+=+-22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得：2222(34)3264120k x k x k +-+-= 所以21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+则2222121221226412322424()34341328834k k x x x x k k d k x x k ---+++===+--+所以直线AE 与x 轴相交于定点(1，0)．19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知12a =，13()n n a a f n +=+． （1）若()f n k =（k 为常数），314a =，求k ；（2）若()21f n n =-．①求证：数列{}n a n +为等比数列；②记(1)n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，若3T 为数列{}n T 中的最小项，求λ的取值范围． 解：（1）k 的值为﹣1； （2）①②20．（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(k ，k ＋1)(k ∈N)上有零点，求k 的值； （3）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，2x (1x ＜2x )是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且12()()g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值． 解：（1）∵()ln 2f x x x =-- ∴1()1f x x'=-则(1)0k f '== 又∵(1)1f =-∴曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程y ＝﹣1． （2）k ＝3． （3）所以实数k 的最大值为152ln 28 ．。