18勾股定理的证法集锦

勾股定理的十种证明方法勾股定理是我们初中时就接触到的重要定理，也是数学史上最为著名的定理之一，在几何运算和三角函数中都有广泛应用。

其说法是：在直角三角形中，直角边上的平方和等于斜边上的平方，即 a^2+b^2=c^2。

本文将会介绍十种不同的证明方法，每种证明方法都体现了数学思维中的不同角度与方法。

1. 几何证明方法这种证明方法是最早的证明方法之一，它主要通过图形来证明定理的正确性。

我们可以通过构建一条边长为 a 和一条边长为 b 的正方形，再以这两条正方形的对角线为直角边构建一个直角三角形，即可证明勾股定理。

2. 相似三角形证明方法这种证明方法主要通过相似三角形来证明勾股定理的正确性。

我们可以画出一系列相似的三角形，来证明斜边和直角边之间的关系。

3. 数学归纳法证明方法根据数学归纳法，证明当 n=1 时定理成立，当 n=k 时定理成立，则推出 n=k+1 时定理也成立。

此证明方法需要适当运用代数知识来完成。

4. 三角函数证明方法使用三角函数来证明勾股定理也是一种有效的证明方法。

通过使用正弦、余弦、正切等函数来证明斜边和直角边之间的关系。

5. 向量证明方法通过考虑向量的长度和夹角关系，证明斜边和直角边之间的关系。

此方法依赖于向量的基本运算和性质。

6. 代数证明方法这种证明方法主要依赖于代数计算的过程，可以通过平方、开方、因式分解等方法来证明定理的正确性。

7. 微积分证明方法从微积分的角度来考虑勾股定理，可以通过求导和积分的运算关系来证明斜边和直角边之间的关系。

8. 数组和矩阵证明方法运用数组和矩阵的运算来证明勾股定理的正确性，需要适当了解数组和矩阵的基本运算和性质。

9. 物理学应用证明方法勾股定理在物理学中也有广泛的应用，比如在机械学中，勾股定理可以用来计算质点的速度和加速度。

10. 函数图像证明方法运用函数图像的特点来证明勾股定理的正确性，需要适当了解函数图像的特点和性质。

对于一些特殊的函数，也可以通过对其函数图像进行研究来证明定理的正确性。

勾股定理500种证明方法勾股定理是数学中的一条重要定理，它是说对于任意直角三角形，斜边的平方等于两个直角边的平方之和。

具体表达式如下：\[a^2+b^2=c^2\]这里，a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。

欧几里得给出了最早的证明方法，他使用了几何构造和演绎的方法来证明这个定理。

1.欧氏证明方法：欧几里得通过将两个直角边的平方进行拼贴，得到一个正方形，并证明这个正方形的面积等于斜边的平方。

2.平行线切割法：通过平行线的切割，将直角三角形分割为几个图形，然后利用这些图形的面积关系证明勾股定理。

3.三角形面积法：通过计算直角三角形各个边上的高，然后将两个直角边的长度和其对应的高代入三角形面积公式，证明勾股定理。

4.变形推导法：将勾股定理移项变形，推导出其他几何定理，再反推回来证明勾股定理。

5.相似三角形法：利用两个直角三角形的相似性质，建立它们之间的边长比例，然后通过约分和乘法证明勾股定理。

6.余弦定理法：利用三角形的余弦定理，将三角形的边长和夹角之间的关系表达式代入勾股定理，然后进行化简证明。

7.对角线法：通过划分直角三角形的对角线，构造与角度相关的图形，然后运用几何性质证明勾股定理。

......（继续列举）这些只是勾股定理证明的几种常见方法，还有很多其他方法，涉及不同的数学分支和概念。

基于这三个基本量的几何关系，有许多方法可以推导出这个定理，每种证明方法都有其独特之处，展示了数学的丰富性和多样性。

通过探究不同的证明方法，我们可以增加对数学的理解和思维能力。

勾股定理是一个基本而重要的定理，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用，所以了解多种证明方法可以帮助我们更好地理解和应用这个定理。

勾股定理有多种证明方法，以下是其中一些常见证法：1. 欧几里德证明：通过勾股圆方图证明勾股定理，大正方形的面积等于4个直角三角形加上一个小正方形面积之和。

2. 加菲尔德证明：在梯形中构造三个直角三角形，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积之和，证明勾股定理。

3. 小K证明：通过相似三角形，边长之比相等，证明勾股定理。

4. 辅助圆证明：以点B为圆心，BA为半径作圆，延长BC交圆于点E,D，则三角形DCA相似ACE，从而证明勾股定理。

5. 切割定理证明：直角三角形ABC，以点B为圆心BC为半径作圆，交AB及AB延长线于D,E，则BE=BC=BD=a，从而证明勾股定理。

6. 面积合成证明：利用图形拼接证明勾股定理。

7. 行列式证明：n阶行列式等于以n个向量为边在n维空间中张成的n维体的体积，从而证明勾股定理。

8. 赵爽弦图证法：利用弦图构造直角三角形，利用面积法证明勾股定理。

9. 毕达哥拉斯证法：利用正方形分割法证明勾股定理。

10. 书本证明方法：利用八个全等的直角三角形和三个边长分别为a、b、c的正方形构造两个正方形，从而证明勾股定理。

11. 三角形相似推导：利用三角形相似的性质推导勾股定理。

12. 切割线定理证明：利用切割线定理和相似三角形证明勾股定理。

13. 托勒密定理证明：利用托勒密定理和相似三角形证明勾股定理。

14. 利用切线长定理：利用切线长定理和相似三角形证明勾股定理。

15. 总统证法：美国第20任总统加菲尔德在五年前证明了勾股定理，其方法被称为“总统证法”，具体为梯形面积等于三个直角三角形的面积之和。

16. 射影定理证明：利用射影定理和相似三角形证明勾股定理。

17. 余弦定理证明：当90度角时，利用余弦定理证明勾股定理。

18. 达芬奇的证明：利用几何图形和比例关系证明勾股定理。

19. 高斯公式证明：利用高斯公式（也叫鞋带公式）证明多边形面积，从而证明勾股定理。

以上是常见的勾股定理的证法，其中最常用的是面积法，同时还会结合其他几何知识如相似三角形、切割线定理、射影定理等进行证明。

勾股定理证明方法大全
勾股定理是数学中比较基础的内容，下面介绍几种证明方法： 1. 几何证明法
构造直角三角形ABC，其中∠ABC=90度，AB=c，AC=a，BC=b，则根据勾股定理，有：
c = AB + AC
即：
c = a + b
这个方法是最常见的证明方法，也是最直观的。

2. 代数证明法
将勾股定理转化为代数式，如下所示：
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则根据勾股定理，有：
c = a + b
将c用另一种方式表示，如下所示：
c = sqrt(a + b)
将c代入原式，并进行平方操作可以得到：
c = a + b
因此，勾股定理成立。

3. 数学归纳法
首先，在直角三角形中，当一条直角边为0时，另外两条直角边的长度必然相等，而且都为0，勾股定理显然成立。

接下来，假设当直角边长为n时，勾股定理成立，即：
c = a + b
考虑当直角边长为n+1时，如何证明勾股定理仍然成立。

此时，可以将直角边长为n+1的直角三角形划分成以一条边长为n的直角三角形和一个长度为1的小直角三角形。

根据勾股定理，前者的斜边平方和等于两直角边平方和，后者的斜边平方就是1。

组合起来就得到：
(c + 1) = a + b + 1
即：
c + 2c + 1 = a + b + 1
移项可得：
c = a + b
因此，当直角边长为n+1时，勾股定理仍然成立。

根据数学归纳法，勾股定理对所有正整数均成立。

勾股定理20种证明方法1. 最常见的勾股定理证明是基于三角形面积公式的。

利用三角形的底边与高的关系，可以将直角三角形分成两个三角形，然后应用面积公式进行计算得出勾股定理。

2. 通过向直角三角形内部引入一个圆形，利用圆的性质可以得到勾股定理。

3. 将直角三角形中的一条直角边平移到非直角边上，形成一个平行四边形，再利用平行四边形对角线的关系即可得到勾股定理。

4. 利用正弦定理和余弦定理进行推导，可以得出勾股定理。

5. 通过三角形内部的相似三角形进行推导得出勾股定理。

将直角三角形分成两个相似三角形，利用相似三角形的性质进行推导得出勾股定理。

6. 通过归纳法进行证明，即证明勾股定理对于所有自然数n都成立。

7. 利用勾股定理推导其他几何定理，例如正弦定理、余弦定理等，进而证明勾股定理。

8. 利用数学归纳法，可证勾股定理对于所有正整数n都成立。

9. 利用勾股定理证明勾股三角形的存在性，也就是存在一组自然数a、b、c，使得a²+b²=c²。

这可以通过暴力算法或递推算法来实现。

10. 利用反证法证明勾股定理。

假设勾股定理不成立，即假设存在一个直角三角形，其两条直角边的平方和不等于斜边的平方。

通过假设的前提，推导出矛盾的结论，从而证明勾股定理成立。

11. 利用勾股定理证明三角形的周长和面积公式。

将直角三角形分成两个直角三角形，利用勾股定理计算出直角边的长度，然后应用周长和面积公式。

12. 利用勾股定理证明三角形的内心与垂心之间的关系。

将直角三角形分成两个相似三角形，利用勾股定理计算出内心与垂心之间的距离。

13. 利用勾股定理证明三角形的外心与垂心之间的关系。

通过三角形的外接圆，证明外心与垂心之间的距离等于直角边之间距离的一半。

14. 利用圆的性质证明勾股定理。

将三角形中的一条直角边作为直径，表示成圆上的弦长，利用圆的定理得到勾股定理。

15. 通过三角形的相似性质，证明勾股定理。

将直角三角形分成两个与之相似的三角形，利用相似三角形的性质得到勾股定理。

勾股定理的证明方法5种勾股定理是几何学中最为经典的定理之一，它揭示了直角三角形中直角边与斜边的关系。

勾股定理有多种不同的证明方法，下面我们将依次介绍其中五种不同的证明方法。

方法一：几何法证明这种证明方法是最为直观的，它通过几何形状的变换来证明勾股定理。

首先，我们先画出一个直角三角形ABC，然后作出辅助线AD ⊥BC，将三角形ABC分成两个小三角形ΔABD和ΔADC。

根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AB=AB/AC，即BD*AC=AB^2。

同理，我们可以得到CD*AB=AC^2。

将这两个式子相加起来，我们就可以得到BD*AC+CD*AB=AB^2+AC^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到BC*AD=AB^2+AC^2，而BC*AD就是直角三角形ABC的斜边的平方AC^2。

因此，通过几何法证明，我们可以得到勾股定理成立。

方法二：代数法证明这种证明方法是使用代数运算来证明勾股定理。

我们可以用直角三角形的三条边的长度来表示三角形的面积。

假设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中c 为斜边，利用面积公式S=1/2*底*高，我们可以得到三角形面积的两种表达式：S=1/2* a*bS=1/2* c*h通过这两个表达式，我们可以得到c*h=a*b，即c^2=a^2+b^2。

方法三：相似三角形法证明这种证明方法利用相似三角形的性质来证明勾股定理。

我们可以在直角三角形ABC中找到一个与之全等的直角三角形DEF。

然后我们可以发现直角三角形ABC和DEF分别是直角三角形ACB和EDF的相似三角形。

由于相似三角形的对应边成比例，我们可以得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。

利用这个性质，我们可以得到AB^2=DE^2+DF^2和AC^2=DE^2+EF^2。

将这两个式子相加起来，我们可以得到AB^2+AC^2=DE^2+DF^2+DE^2+EF^2，根据平行四边形的性质，我们可以得到AB^2+AC^2=2*DE^2+2*DF^2。

勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即ab c ab b a 214214222⨯+=⨯++， 整理得 222c b a =+.【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º. ∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE , ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明） 以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠D EC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c .又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则,21222ab S b a ⨯+=+ab S c 2122⨯+=, ∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ） ，斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90º，QP ∥BC ， ∴ ∠MPC = 90º， ∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90º， ∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º.∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF . 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L .∵ AF = AC ，AB = AD ， ∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a ， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM 的面积 =2a . 同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积 = 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积 ∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC ∙=2. 同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC ∙=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =∙+=+，即 222c b a =+.【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90º，∠P AC = 90º， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90º，∠BCA = 90º， AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA .∴ DH = BC = a ，AH = AC = b .K由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA ,Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=++21438 = ab b 212-， 985S S S +=， ∴824321S ab b S S --=+= 812S S b -- . ②把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90º， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90º，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . ∴ HT = AE = a . ∴ GH = GT ―HT = b ―a .又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90º，∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC .∵ DB = EB ―ED = b ―a ，∠HGF = ∠BDC = 90º，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90º，可知 ∠ABER= ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90º，∠BAE + ∠CAR = 90º，∠AQM = ∠BAE ， ∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90º，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=， 又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90º，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得AD AE AC ∙=2=()()BD AB BE AB -+ =()()a c a c -+= 22a c -，即222a c b -=， ∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ，AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b a c +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r .∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+= CD CE += r + r = 2r,即 r c b a 2=-+， ∴ c r b a +=+2.∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AO C BO CAO B ABC S S S S ∆∆∆∆++= = brar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++， ∴ 222c b a =+. 【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙可知 AD AB AC ∙≠2，或者 BD AB BC ∙≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90º，∴ ∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）E设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c .∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b . 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ，∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC . ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º，∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，D DC M76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.勾股定理有367种证明方法，最著名的有5种：梅文鼎证明、项明达证明、赵浩杰证明、欧几里得证明、欧几里得的证法。

数学勾股定理公式大全勾股定理的证明方法数学勾股定理公式是asup2;+bsup2;=csup2;。

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

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勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，周朝时期的商高提出了勾三股四弦五的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理的证明方法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成两个正方形。

可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。

勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

勾股定理的500种证明方法1.几何推导：这是最著名的证明方法。

它通过将直角三角形切割、旋转、重新拼合，利用几何图形的性质，推导出勾股定理。

2. 代数证明：假设直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c。

则根据勾股定理，我们有c² = a² + b²。

我们可以将这个等式写成(a + b)² = c² + 2ab。

将c² = a² + b²代入，得到(a + b)² = a² + b² + 2ab。

再进一步化简，得到a² + 2ab + b² = a² + b² +2ab。

最后，化简为a² + b² = a² + b²。

我们可以发现，等式两边完全相等，从而验证了勾股定理。

3.数学归纳法证明：我们首先证明直角三角形边长为3,4,5时，满足勾股定理。

然后，假设对于边长小于n的所有直角三角形，都满足勾股定理。

接下来，我们考虑直角三角形边长为n的情况。

我们可以将这个三角形切割成由三个直角子三角形组成的形状。

根据归纳假设，这三个子三角形满足勾股定理。

我们可以对这些子三角形应用基本的代数运算和性质，进一步证明整个直角三角形也满足勾股定理。

4.平行四边形法证明：将一个直角三角形内切于正方形中，然后根据正方形的性质和等式关系，利用平行四边形的性质推导出勾股定理。

5.反证法证明：假设存在一个直角三角形，它的三条边无法满足勾股定理。

然后，通过对无法满足定理的条件进行分析，得出矛盾，从而证明了勾股定理的正确性。

6.数学几何方法：通过利用数学几何的原理和定理，如相似三角形、垂直直角等，推导出勾股定理的等式。

7.三角函数法证明：将三角函数引入到勾股定理的等式中，然后根据三角函数的性质，推导出等式成立。

以上仅为部分常见的证明勾股定理的方法，实际上有无数种证明方法可供选择。

【证法I）（课本的证明）做8个全等的宜角三角形•设它们的两条直角边长分別为」b •斜边长为c・再做三个边长分别为黑b. c的正方形.把它们像上图那样拼成衲个正方形.从图上可以石到•这两个正方形的边长都是a + b.所以面积相等・即（=+4x 丄ab »2 •整理得卅+尸二代【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角•把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E. B三点形0勺面积等于严在一条直线上，B、F、C三点在一条亘线上，C、G、D三点在一条直线上.VRt A HAE 竺Rf A EBF, :.ZAHE= ZBEF.I ZAEH+ ZAHE = 90°, ••• ZAEH+ ZBEF = 90°. ••ZHEF= 180°-90°= 90° ••・四边形EFGH是一个边长为c的正方形・它的血积等于•R“GDH 竺Rt A HAE,•ZHGD= ZEHA.•ZHGD+ ZGHD = 90°,•ZEHA+ ZGHD = 90°.•ZGHE = 90°f•ZDHA=90°+90°= 180°.• ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于G +疔.（a + 方）+ c 22【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）,以c 为斜边作 四个全等的直角三角形，则每个直角成如图所示形状.I Rt A DAH 今 Rt A ABE,:.ZHDA= ZE AB.…ZHAD+ ZHAD = 90°,••• ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的血积等于心••• EF = FG =GH =HE = b-a,ZHEF 二 90°.・・・EFGH 是一个边长为b ・a 的正方形，它的面积等于直一切[4xga/> + （〃一 G] ；2一 V【证法4] （1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角•把 这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A> E 、CB 三点•“ ZADE= ZBEC.••• ZAED+ ZADE = 90°, ••• ZAED+ ZBEC = 90°.•“ ZDEC= 180°-90°= 90°.-A DEC 是个等腰・酬三角形，乂 I ZDAE = 90°, ZEBC = 90°, : • AD 〃 它的面积等于2BC.三角形的面积等于2 •把这四个直角三勿形拼AbEaB【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的N 角三角形•设它们的两条自旳边长分别为a 、b •斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个名边形•使IX E. F 在一条直线上•过C 作AC 的延长线 交DF 于点P.• • • D. E. F 在一条玄线上，fl. Rf A GEF Q ROEPD :.ZEGF= ZBED.V ZEGF+ ZGEF-9O 0,:.ZBED+ ZGEF = 9()a •••• ZBEG=180o -90°=90°< 又 I AB 二 BE = EG = GA = c •••• ABEG 是一个边长为c 的iE 方形.••• ZABC+ ZCBE = 90n .V Rt A ABC £ Rt A EBD,:.ZABC= ZEBD.••• ZEBD+ ZCBE = 90°<即 ZCBD= 90n .XV ZBDE = 90° • ZBCP = 9 (r •BC ■ BD ■ a.:BDPC 是一个边长为a 的正方形• 同理・HPFG 是一个边长为b 的止方形. 设多边形GHCBE 的面积为S.则a 2+b 2 =5 + 2x 丄”九2【证法6】（顶明达证明）做两个全等的耳用三角形•设它们的两条玄角边长分别为a 、b （b>a>・斜边长为 G 再做■个边长为c 的正方形•把它们拼成如图所示的多边形•使E.A. C 三点在一条直线上.过点Q 作QP 〃BC •交 AC于点P.过点?作15\1丄PQ.垂定头JM ：再过点…ABCD 是■个直角梯形, 丄 它的面积等于㊁FA C BF作FN丄PQ・垂足为N.V ZBCA = 90° . QP 〃BC • ZMPC = 90° ・V BM 丄PQ -:.ZBMP = 9fT ・BCPM 是一个矩形.HI1ZMBC = 90°.V ZQBM+ ZMBA・ ZQBA * 90°・ ZABC+ZMBA= ZMBC = 9(T •••• ZQBM・ ZABC.乂IZBMP = 9(r・ ZBCA = 9(r ・ BQ = BA=c ・【证法7】(欧几里得证明)做三个边长分别为氛b、c的正方形・把它们拼成如图所示形状•使Fk C、B三点在一条宜线上•连结BF ・ CD.过 C 作CL 丄DE.交AB于点交DE于点H /V AF= AC. AB = AD. yZFAB二ZGAD< cZ 来、/A FAB 今AGAD.丄a,V AFAB的面积等丁込“AGAD的面积等弓矩形ADLM的面积的一半.・・•矩形ADLM的面八同理可证•矩形MLEB的面积L・・・正方形ADEB的血积二矩形ADLM的啲枳+矩形MLEB的面积c2 = ♦ b1 . l!|l a2 + = c'.【证法《〕(利用相似三介形性质证如图•在RtAABC中，设直角边AC. BC的长度分别为a. b •斜边AB的长为c・过点C作CD丄AB・垂足是D.在AADC和’ACB中・I ZADC= Z ACB = 90° . ZCAD・ ZBAC.:.A ADC s A ACB.AD : AC = AC : AB.即AC2 =同理町证'ACDB s & ACB.从而竹BC—BD.AB.:.AC1 + HC l = (JD+ DB)A AB・A” 即a,【证法9】(杨作玫证明〉做两个全零的直角三和形•设它们的两条直角边K分别为a、bvb>a) ■斜边长为c •再做■个边长为c的肪0形.把它们拼成如图所示的多边形•过A作AF丄AC. AF交GT于F・AF空2)T于R.过B作BP丄AF.乖足为P.过D作DE与CB的证长线垂直•垂足为E. DE交AF于H.V ZBAD-9 (r\ ZPAC ・ 90匕••• ZDAH= ZB AC.又：・ZDHA = 90°. ZBCA = 90° .AD = AB = c •Rt \ DHA £Rt A BCA<•: DH = BC = a. AH = AC = b.Lh作法可矩.PBCA是一个矩形. 所以RtAAPB 耳Rt A BCA. UP PB = CA = b< AP= a •从而PH = b一a.V Rt A DGT 9 R1 A BCA ■ Rt \ DHA 今RtA BCA. RMDGT 竺Rt DHA.••• DH = DG = a. ZGDT= ZHDA.又I ZDGT-9O0. ZDHF ・ 90卜•ZGDH= ZGDT+ ZTDH = ZHDA+ ZTDH = 90°.••• DGFH定一个边长为a的正方形.••• GF=FH = a.TF 丄AF. TF = GT-GF = b-a.TFPB是一个直角梯形•上底TF-b-a・卞底BPf高FP-a+ (b-a).用数字表示面积的编号(如图片则以c为边长的正方形的面积为=Sn + S人=5, +S、+/>2U +5：+Sqa2 =c2S ' + Sy + 54 =-[/> + (/>・a)] • [a + (b _ a)] Ir•丄a”2 =2 a把②代入①.W【证法10）（李稅证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）.斜边的长为c •做三个边长分别为a、b、c的正方形•把它们拼成如图所示形状•使A. E. G三点在•条亢线上•用数字农示面积的编号（如图）・IZTBE 工ZABHf.••• ZTBH= ZABE.又・・・ZBTH・ ZBEA・ 90°.BT=BE = b.:.R( AHBT 竺R( A ABE.••• HT = AE =〜••• GH = GT-HT=b-x XV ZGHE+ ZBHT = 90°.ZDBC + ZBHT= ZTBH+ ZBHT = 90%••• ZGHF= ZDBC ・VDB = EB-ED = b-a.ZHGE= ZBDC = 90°.••• RtAHGF 丝RtABDC.即w2.过QftQM 丄AG •垂足是M. rf]ZBAQ= ZBEA = 90°.町知ZABE ZQAM. rtl AB-AQ-c.所以RfAABE 幻RcAQAM. X Rt \ HBT £Rt A ABE.所以Rt A HBT 0 Rt A QAM ・即ft] Rt A ABE 旦Rt AQAM.又QM = AE = a. ZAQM = ZBAE.•: ZAQM+ ZFQM ・ W . ZBAE + ZCAR ・ VX)U. ZAQM ・ ZBAE. :.ZFQM=ZCAR.又I ZQMF- Z ARC ・90° • QM • AR • a •:.Rt AQMF9Rt A ARC.g卩•: c*=£ + S, + +S.+ S,.X = S ' 七 S&.b° = S、七 S=± S* =&令+s? + s》+即cr =c2.【证法11】（利用切割线定理证明）在R1AABC中•设垃角边BC = a. AC = b •斛边AB = c.如图•以B为圆心3为半径作例•交AB及AB的延长线分別于D E • WJ BD = BE = BC = a.因为ZBCA = 9（T.点C在0B上•所以AC是OB的切线・由切割线定理•得AC2 =AE^ADA cT =t\【证法12］（利用多列米定理证明）在Rt A ABC中•设口角边BC = a. AC = b •料边AB = c •过点A作AD // CB •过点B作BD 〃CA・则ACBD为炉形.炉形ACBD内接丁一个阕. 根据£列米定理・岡内接阿边形对如线的乘积等丁两对边乘枳之和.冇NB • DC=AD • BC*C • BL>.I AB-DC-c. AD-BC-a.AC = BD = b.AB2 ^BC2 + AC29即c2 =a2+Z>\【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt A ABC中•设宜如边BC • a • AC-b V斜边AB・c・\\ Rt A ADC“勺内切風OCX切点分别为D. E.F （如图）•设OO的半径为「・V AE = AF. BF = BD. CD = CE.:.AC+ BC・ J5 = (JE + CE) + (BD + CD) - (JF + BF)CE + CD = r + r = 2r,HP <J + /) -c = 2r.:,a 4- b-2r + c.• .(€/A Z?y = (2r + c)\ 即 a 2 +62 + lab = 4 (r 2 + rc)+ c 2...s.w r*ny (2r+ c + c)r.・・.・.4(r ? 4-rc)= lab.•: a 2 +/> + 2ab = lab + c 2,【证法14］（利用反证法证明）如图•在R （ A ABC 中.设口角边AC. BC 的K 度分别为a. b •斜边AB 的 长为 c •过点C 作CD 丄AB •垂足是D.假设/+» 斗 '・即假设AC 2 + B^AB 2・则由可如 AC 2 AB^AD 9 或者 BC • BD. Ull AD ： AC A AC ： AB.或者 BD ： BC A BC ： AB.在A ADC 和A ACB 中.I ZA= ZA.・••若 AD ： ACHAC ： AB.则ZADCAZACB.在 ACDB 和 AACB 中.V ZB= ZB. ・・・若BD ： BCHBC ： AB.则 ZCDBHZACB.乂 IZACB-W. 3 (” + b + “AB 2 = AB •AB 二”(初 + BD)AB^AD + AB^ BD A d A• • ZADC A 90 ・形ABCD 把疋方形ABCD 划分成上方左图所示的儿个部分・则匸方形ABCD 的面 枳为© + 6）、二/「+2“；把jE 方形ABCD 划分成上方右图所示的儿个部分•则正方形ABCD 的向积为:+ />" + lab = 2ab + c 2.:.a 2 +b 2 =c\ (« + 疔=4x —ab + c 2 , 2 =2血+ "・【证法16］（陈杰证明）设H 角三角形两胃角边的长分别为a 、b vb>a ）.斜边的长为c.做两个边长分别为冬b 的正方形（b>a ）.把它们拼成如图所示形状•使E. H. M 三点在一条直线上•用数字表示面积的编号(如图〉・ 在EH = b 」.祓取ED = a •连结DA. DC.则 AD = c-I EM = EH + HM = b + a • ED = a ・••• DM -EM-ED = (b + °)-a = b •又 I ZCMD * 90”. CM • a • ZAED = 90°.AE=b. :.Rt A AED 丝 Rt ADMC./. ZEAD= ZMDC • DC = AD = c.VZADE+”DC 十 ZMDC =180°.这与作法CD 丄AB 矛曲・所以・+ 的假设不能成立.【证法15】（辛卜松证明）BZADE+ ZMDC= ZADE+ ZEAD = 90°・••• ZADC = 9 (r.・・・作AB//DC*.CB〃DA •则ABCD是一个边K为c的正方形.V ZBAF+ ZFAD= ZDAE + ZEAD = 90°.••• ZBA F=ZDAE •连纟吉FB・在AABF禾口 A ADE中.V AB =AD = c. AE = AF = b. ZBAF=ZDAE.••• A ABF 也A ADE.:.ZAFB 二ZAED = 90°. BF = DE = a.•…点B、F. G. H在一条直线上.在R( A ABF和Rt A BCG中・T AB * BC * c • BF - CG ・ a.:.Rt A ABF 耳Rt A BCG.•: c2 = S? + + S. + Sq. b2 = S、+S2 + 56. a2 = S=、$ 話=S4 =56+S.•+ />* = S§ + S= + + 5, + 56■s?+S3+s]+ 仅+S?)。