第八章 Z变换 离散时间系统的Z域分析
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第章z变换离散时间系统的z域分析
Z[a j0nu(n)] Z[a j0nu(n)]
z z e j0
z z e j0
由 z 变换的定义可知：两序列之和的 z 变换等于各序列 z 变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接得
到余弦序列的 z 变换：
Z[co s(0 n)u(n)]
1 2
z
z e
j0
z
z e
j0
z(z cos0 ) z 2 2z cos0 1
若 n2 0 ，则收敛域包括 z 0 ，即| z | Rx2 。
（4）双边序列 一般写作：
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
n
n0
n
该式可以看作是右边序列（第一项）和左边序列（第二项）的叠加。收敛域为两部分收敛域的重叠部分：
Rx1 | z | Rx2 其中 Rx1 0, Rx2 。所以,双边序列的收敛域通常是环形.若 Rx1 Rx2 ，则该序列不收敛。
Z[abnu(n)] z (| z || eb |) z eb
令 b j0 ，则当| z || e j0 | 1时,得：
Z[a
j0 n u (n)]
z
z e j0
同样，令 b j0 ，则得：
将上两式相加，得：
Z[a j0nu(n)]
z z e j0
x(n) 1
0
n
图 8-5 单边余弦序列
z sin 0 2z cos0
2
上面两式就是单边指数衰减 ( 1) 及增幅 ( 1) 的余弦、正弦的 z 变换。收敛域为：| z || | 。一些
典型的单边 z 变换列于附录五。
8。3 z 变换的收敛域
只有当级数收敛时， z 变换才有意义.对于任意给定的有界序列 x(n) ，使 z 变换定义式级数收敛之
第8章z变换、离散时间系统的z变换分析概论
(n) 1
收敛域 为Z平面
2. 单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 0
(n 0) (n 0)
Z[u(n)]
u( n)z - n
n0
z-n
n0
1 1 z-1
z z 1
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法
已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得 …
即
其中 反变换为
分子，当j≥2，从最后一项(n-j+2)一直递增乘到n
例 s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴ 见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性
若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
z变换 X(z)
z = e jω 有条件
序列的傅里叶变换X(e jω)
利用z变换求解离散系统的响应 利用离散系统函数H(z)分析系统 分析序列的频率特性 分析离散系统的频率响应特性
二、 抽样信号xs(t)的拉氏变换→z变换
理想抽样：
单边x(t) = x(t)u(t)
抽样间隔
对上式取双边拉氏变换，得到
∴ z = e ( + jΩ)T = e T + jΩT = e T e jΩT 令 |z| = e T ， ΩT = ω，则有z = |z| e jω 其中：Ω模拟角频率, ω数字频率, T抽样间隔
二、 典型序列的z变换
1. 单位样值序列δ(n)
(n)
1 0
(n 0) (n 0)
Z变换离散时间系统的Z域分析
| x[n] | M
n1
z 1
显然lim X (z) x[0]
z
学习材料
22
§8.2 Z变换及其收敛域
终值定理：假设n<0，xn]=0,则序列的终值为
lim x[n] lim{( z 1)X (z)}
n
z1
证明：利用单边Z 变换时移性质，有：
Z{x[n 1]} x[n 1]zn zX (z) zx[0] n0
注：交集 R1 一R2般小于R1或R2。但有时会扩大，如
零点与极点相消时。
学习材料
15
§8.2 Z变换及其收敛域
2).时域平移(双边信号〕
x[n] X (z), ROC Rz x[n n0 ] zn0 X (z), ROC Rz ,
证明：依据双边Z变换的定义式，有
Z[x[n n0 ]} x[n n0 ]zn zn0 x[k]zk
X (z) x[n]r ne jn DTFT{x[n]r n} n
DTFT{x[n] | z |n}
即x[n] | z |n 是收敛的
假设 x[n] | z |n x[n] n , n由0 .
| z |n n | z |
即，右边函数时收敛域为| z|>α的圆外地域。
其它信号依学习此材料 类推…。
z
,
n0
z 1
极点z1 1,
1
Re
∴收敛域为 |z|>1 的单位圆以外。
ROC | z | a
例8-2.求 x[n] anu的[nz变1换] 。xn]是一个从-1到-∞的左
边序列。
解：
X (z) x[n]zn anu[n 1]zn
n
n
1
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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离散时间系统的Z域分析
第八章 Z 变换、离散时间系统的Z 域分析Z 变换的定义和收敛典型信号的z 变换Z 变换的性质求Z 逆变换系统函数H (z )幂级数展开部分分式法围线积分法定义由零极点决定系统的时域特由零极点决定系统的频域特由零极点决定系统的稳定性例题 •例题1：求z 变换•例题2：求逆变换•例题3：求系统的响应•例题4：求系统函数及频率响应等•例题5：零极点，初值定理例8-1利用性质求序列的z 变换方法一：利用典型序列的z 变换及线性性质求解方法二：利用z 变换时移性质直接求解若 则 ()()()n u n n x 2-=()()[]()()[]()()1z 12312122222>--=---=-=-z z z z z z z n u n nu Z n u n Z ()[]()z X n x Z =()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z ---=--∑+=-1方法三把原序列如下表示 所以例8-2，求其逆变换。
方法一：因为X (z )不是真分式，首先把X (z )写成多项式与真分式两相之和的形式，即 其中 ()()[]()z X z m n u m n x Z n -=--()()[]()()km k n n z k x z z X z n u m n x Z --=∑-=+10()()[]()z X z m n u m n x Z n =++()()()()()()()()()()()()()()()时，二者才相同。
，为有始序列只有当，而不是的左移序列是相同；为因果序列时，二者才，只有当而不是的右移序列是由上式可见，0=<+++---n x m n n x n u m n x m n u m n x n u n x n x n u m n x m n u m n x n u n x ()()[]()()1 123 )2()1(122222222>--=-+-+-=-∴---z z z z z z z z z z z n u n Z ()()()()()()12222-----=-n n n u n n u n δδ()()[]()()1 12321222121>--=--+-=---z z z z z z z n u n Z ()21z 616511211>+-+=---z z z z X ()()() 616561611121+--+=+=z z z z F z Q z X () 31-z A 21-z A 6165616112121+=+--=z z z z F则 所以方法二观察X (z )的分子多项式的根，其中含有一个零点为z=0 ，式中则 所以原序列为两种方法求逆z 变换，其结果完全一致。
第八章z变换、离散时间系统的z域分析
第八章z变换、离散时间系统的z域分析§8.1 引言§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换§8.3 z变换的收敛域§8.4 逆z变换§8.5 z变换的基本性质§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系§8.7 用z变换解差分方程§8.8 离散系统的系统函数习题§8.1 引言引言 z变换的导出对z变换式的理解一．引言求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； z变换的历史可是追溯到18世纪； 20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了z变换的发展；70年代引入大学课程；今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等问题。
本章主要讨论：拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏变换的关系；利用z变换解差分方程；利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
说明§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换 z变换的定义单位样值函数单位阶跃序列斜变序列指数序列正弦与余弦序列 z变换的定义五．正弦与余弦序列§8.3 z变换的收敛域收敛域的定义两种判定法讨论几种情况§8.4 逆z变换部分分式展开法幂级数展开法围线积分法――留数法推导推导应用柯西定理例8-4-3 例8-4-4 收敛域与原函数的对应§8.5 z变换的基本性质线性位移性序列线性加权序列指数加权初值定理终值定理时域卷积定理 z域卷积定理同理二．位移性证明双边z变换的位移性整理为例题§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系 z平面与s平面的映射关系 z变换与拉式变换表达式之对应一．z平面与s平面的映射关系几种情况（3）W 0，s平面实轴； q 0， z平面正实轴；二．z变换与拉式变换表达式之对应容易求得它的拉式变换为注意跳变值例8-6-1 例8-6-2 可得到§8.7 用z变换解差分方程序言应用z变换求解差分方程步骤差分方程响应y n 的起始点确定差分方程解的验证序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。
Z变换和离散时间系统的Z域分析
Z[x(n)]
z z 1
z2
z 1
z2
z 1
z2
,
z
1
33
3. Z域尺度变换(乘以指数序列)
如果 Z [x(n) ]X (z),R xzR x，则
Z [a nx (n ) ]X (z); a
aR x za R x
证明： Z[a n x(n)] a n x(n) z n
n
x(n)( z )n X ( z ) ;
25
（2）部分分式法
X(z)a0 b 0 a 1 b z 1z b a r k1 z 1z r k 1 1 br a zkrzk
只有一 阶极点
k r
A0
b0 a0
X(z)A0
k
Amz
m1zpm
kr A00
X(z) mk11Apm mz1
X (z)
Am 是 z 在 Pm 处的留数
23
例 X (z) z32z21 (z1 ) x(n)? Z(z 1 )z(0.5)
解 z1 x(n) 必然是因果序列，右边序列
x(n) Res[X(z)zn1]zzm
n
z3 2z2 1 Resz(z1)(z0.5)
zn1 zzm
n2, z11, z2 0.5
n0, z11, z2 0.5, z3,4 0
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[(n1)] (n1)zn (n1)zn
n
n0
z10z
(0z)
15
Z[u T (n ) ]n 0 u (n )z n 1 1 z 1 z z1 (z 1 )
Z[n T (n u ) ]n 0n(n u )z n (1 1 z 1 )2 (z z1 )2
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
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( z 1)
典型离散序列的z变换
（四）指数序列
（1）右边指数序列 1
x1[n] (0 a 1)
x1[n] a n u[n]
0 1 2 3 4
k
Z a u[n] a z
n n 0
n n
z , z a za
典型离散序列的z变换
（四）指数序列
（1）右边指数序列
z x[n] X ( z)
典型离散序列的z变换
（一）单位样值序列
[n]
1
1, (n 0) [ n] 0, (n 0)
X ( z ) [ n] z n 1
n 0
0
n
典型离散序列的z变换
（二）单位阶跃序列
1, ( n 0) u[ n] 0, (n 0)
n
z
n 0
n 0
n
1 ( z 1) 1 1 z
) 1 (1 z 1 ) 2
1 ( z 1) 1 1 z
上式两边分别对z -1求导，得
n( z
n 0
1 n 1
两边乘以z -1 ，得
Z nu[n]
n0
1 z z n nz 1 2 2 (1 z ) ( z 1)
第八章 Z变换、离散时 间系统的Z域分析
8.1 引言
8.2 z变换定义典型序列z 变换
8.3 z变换的收敛域
8.4 z逆变换 8.5 z变换的基本性质 8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系 8.7 利用z变换解差分方程 8.8 离散系统的系统函数 8.9 序列的傅里叶变换（DTFT）
8.10 离散系统的频率响应特性
n n2
x[ n]z n
x[ n]z 1 即： z
1 lim n x( n)
n
Rx 2
则该级数收敛。
可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。
三、不同种类序列的收敛域
3) 左边序列（无始有终序列）
① n1=-∞ n2>0
Rx 2
X n2
0 z Rx 2 n
8.1
引言
z变换在离散系统中的地位与作用，类似于连续系 统的拉普拉斯变换。
8.2 z 变换定义
（1）由取样信号的拉氏变换引出 若连续因果信号 x(t)经均匀冲激取样，则取样信号xs(t) 的表示式为
xs (t ) x(t )T (t ) x(nT ) (t nT )
n 0
三、不同种类序列的收敛域
3) 左边序列（无始有终序列） n>n2时，x[n]=0。此时z变换为 ：X ( z )
令m= - n，则: X ( z ) =
m = - n2
å
¥
x[- m ]z m
n
n2
x[n]z
n
如果将变量m再改为n，则: 若满足： lim
n n n
X (z)
典型离散序列的z变换
（四）指数序列
n 1 双边实指数序列 f ( n) n 2
n0 n0
f (n) F ( z )
n
n n n n z 1 2z
0
1
1
z
1
1 2 z 1 z 2 1 z
1
j0 n
]
z
8.3 z变换的收敛域
主要内容：
收敛域的定义 两种判定法 若干情况的讨论
重点：收敛域定义 难点：判定方法
一、 z变换收敛域的定义
单边z变换
X ( z ) x[n]z n
n 0
上述z变换，只有当级数收敛时，z变换才有意义。 收敛域(ROC) 使上式级数收敛的所有z的范围称为X(z)的收敛域 根据级数的理论，级数收敛的充分条件是满足 绝对可和条件，即要求： n
4）双边序列（无始无终序列） n1=-∞, n2=+∞
Rx1 z Rx 2
n2
Rx1 Rx 2
n1
例
1 n 3 x ( n) n 1 2
n0
，求其z变换的收敛域。
n0
j Im( z )
1 解：ROC： z 2 3
（四）指数序列
（2）左边指数序列
-3 -2 -1
x2 [ n]
0 n
(a 1)
n n
x2 [n] a n u[n 1]
n 1
z Z a u[n 1] (a ) z , za za n
注意：z 变换相同时，左边序列的定义。
n a , n 1
三、不同种类序列的收敛域
2）右边序列（有始无终的序列）
即当n<n1时x[n]=0。此时 z变换为 若满足 即
X ( z)
n
n
lim
n
x[n]z n 1
n n1
x[n]z
n
收敛半径
z lim n x[n]
Rx1
则其级数收敛。
可见，右边序列的收敛域是半径 Rx1 的圆外部分。
n
x ( n) z
通常可以用两种方法求级数的收敛域——比值 判定法和根值判定法。
二、收敛域的判定方法
比值判定法
正项级数
n
an 1 ，令： lim n an
<1时级数收敛;
ρ>1时级数发散; ρ=1 时, 级数可能收敛也可能发散。
二、收敛域的判定方法
n 0
1 n 1 z n 0 3 n 0 3z
n
n
1 1 1 1 2 3 3z (3z ) (3z )
j Im( z )
1
0
3
Re( z )
若该序列收敛，则要求
1 1 1 1，即收敛域为： z ，半径为 的圆外。 3z 3 3
u[n] 1
0 1 2 3 4
n
1 z X ( z ) u[n]z z , z 1 1 z 1 1 z n0 n0
n n
典型离散序列的z变换
n （三）斜变序列 Z u[n] z
x[n] nu[n]
n 0
X ( z ) nz
同理：
n
z 1 z 1
z sin 0 (sin 0 n)u[n] 2 z 2 z cos 0 1
举例
ZT [ e
n
z e j0 z n j0 n ZT [ e ] z e j0 ZT [ n cos 0 n] ZT [ n (e j0n e j0n ) / 2] z ( )/2 j0 j0 z e z e z ( z cos 0 ) 2 ( z ) 2 z 2 z cos 0 z
例：已知两序列分别为x1[n]=anu[n]， x2[n]= -anu[-n-1]，分别
求它们的z变换，并确定它们的收敛域。
解：
X1 ( z ) Z x1[n] a n z n
n 0
如果|z|>a, 则上面的级数收敛，这样得到 1 z n n X1 ( z ) a z 1 za 1 az n 0
n1 x [n] n2 n
X (z)
n n1
n2
x[n]z n
X
当 n 1 0, n 2 0 时，
收敛域为 z 0 当 n 1 0, n 2 0 时， X
收敛域为 z
有限长序列的收敛域
n1 2, n2 3
n n1 n x ( n ) z n2 n 2 n x ( n ) z 3
② n1=-∞ n2<0
1
Rx 2
z Rx 2
例
0 求信号x( n) 1 -n 2
n
n0 n0
n
z变换的收敛域
解：
X ( z)
n
x(n) z
1
1
n
1 n 1 n z z z n 2 n 1 2 n 1 2
n
x[n]z n x[n]z n x[n]z n
n
1
n 0
显然，可以把它看成右边序列和左边序列的z变换迭加。 那么，当Rx1<Rx2 ， X(z)的收敛域就为:
Rx1 z Rx 2
若Rx1>Rx2，则无公共收敛域，X(z)不收敛
三、不同种类序列的收敛域
1/3 2
0
Re( z )
总结
收敛域（ROC）为 z 平面以原点为中心的圆环 ROC内不包含任何极点（以极点为边界）； 有限长序列的ROC为整个 z 平面 （可能除去z= 0 和z = ） 右边序列的ROC为 z Rx1 的圆外 (或除去z 点） （或除去z 0点） 左边序列的ROC为 z Rx2 的圆内 双边序列的ROC为 Rx1 z Rx 2 的圆环
X s ( s ) L[ xs ( t )] x ( nT )e nsT 令e
sT
z, 有
n 0
n 0
L{ xs ( t )} x[n]z n X ( z )
sT s域到z域的映射关系：z = e
--------- x[n]的单边z 变换