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电磁场与电磁波及其应用 第四章

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电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答

电磁场与电磁波(第4版)第4章部分习题参考解答
G G G G G G − j(k x + k y + k z ) 故 E (r ) = E0 e − jk ⋅r = E0 e x y z
GG G G G G − j(k x + k y + k z ) ∇ 2 E (r ) = E0∇ 2 e − jk ⋅r = E0∇ 2 e x y z
G ⎛ ∂2 ∂2 ∂ 2 ⎞ − j(k x + k y + k z ) = E0 ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ e x y z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ G − j(k x + k y + k z ) G G 2 = (− k x2 − k y − k z2 ) E0 e x y z = − k 2 E (r ) G G G G 代入方程 ∇ 2 E (r ) + ω 2 με E (r ) = 0 ，得 G G − k 2 E + ω 2 με E = 0
G G ω ∂2 ω G (3) ∇ 2 E = ey E0∇ 2 cos(ωt + z ) = ey E0 2 cos(ωt + z ) ∂z c c
ω G ω = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) c c
G ∂2 E G ∂2 ω ω G = e E cos(ωt + z ) = −eyω 2 E0 cos(ωt + z ) y 0 2 2 ∂t ∂t c c G G 1 ∂2 E ω 1 ⎡ G ω ⎤ G ω 2 ∇ E − 2 2 = −ey ( ) 2 E0 cos(ωt + z ) − 2 ⎢ −e yω 2 E0 cos(ωt + z ) ⎥ = 0 c ∂t c c c ⎣ c ⎦

电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答

电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答

如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。

解根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为题图由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。

上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。

设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。

题图解应用叠加原理，设板间的电位为其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：①②③根据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。

并按定出边缘电容。

解在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。

解根据题意，电位满足的边界条件为①题图②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布为一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。

求体积内的电位。

解在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。

由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得故如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。

求板间的电位函数。

解由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。

而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。

电位的边界条件为题图①②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。

人教版高中物理选择性必修第二册第四章电磁振荡与电磁波4-2电磁场与电磁波课件

人教版高中物理选择性必修第二册第四章电磁振荡与电磁波4-2电磁场与电磁波课件

问题 (多选)在充电过程中 ( ) A.送电线圈中电流产生的磁场周期性变化 B.受电线圈中感应电流产生的磁场恒定不变 C.送电线圈和受电线圈通过互感现象实现能量传递 D.手机和基座不需要导线连接,这样传递能量没有损耗
2.观察图乙中电场方向、磁场方向、电磁波传播方向三者的关系, 你认为电磁波是纵波还是横波? 答案:电场和磁场的方向均与电磁波的传播方向垂直,所以电磁波 是横波.
3.实验中,赫兹看到当感应圈连接的两个金属球间有火花跳过 时,导线环两个小球间也跳过了火花.为什么说赫兹通过这个实 验证实了电磁波的存在?
问题情境
探究二 电磁波
图甲为LC振荡电路,电路中的能量有一部分要以电磁波的形式 辐射到周围空间中去;图乙为做正弦变化的电场或磁场所引起 的电磁波在某一时刻的图像.麦克斯韦根据电磁场理论预言了 电磁波的存在.电磁场和电磁波看不见、摸不着,赫兹通过图丙 所示实验证实了电磁波的存在.
甲
乙
丙Leabharlann 1.电磁波是如何产生的?电磁波的传播是否需要介质? 答案:周期性变化的电场和周期性变化的磁场相互“激发”,形成 了电磁波;电磁波的传播不需要介质,电磁波在真空中可以传播.
第四章 电磁振荡与电磁波
2 电磁场与电磁波
学习目标 1.通过对电磁感应现象实质的分析,了解麦克斯韦的电磁场理论, 理解变化的电场和磁场相互激发形成电磁场,初步了解场的统一 性与多样性,体会物理学对统一性的追求. 2.通过对物理史实的研究,了解电磁波的发现过程及其基本特点, 通过电磁波理解电磁场的物质性,体会赫兹实验以及麦克斯韦电 磁场理论对物理学发展的重要意义. 3.会从电磁场的物质性与能量传播的观点解释电磁波的发射与接 收.领会发现电磁波的过程中所体现的科学精神和科学研究方法.

电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件

电磁场与电磁波第四章 时变电磁场优秀课件

J
)
t
同样
D
D
E、E
A
t
( A )
t
A
0
t
2 2
t 2
2
A
2 A t 2
J
说明
2
2
t 2
应用洛仑兹条件的特点：① 位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；② 解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；③ 矢量位只决定于J，标
量位只决定于ρ，这对求解方程特别有利。只需解出A，无需
解出 就可得到待求的电场和磁场。
电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应
用不同的规范条件，矢量位A和标量位 的解也不相同，但最终
得到的电磁场矢量是相同的。
问题 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点?
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
t0
t1
t2
t3
t4
t5
0
vt1
vt2
vt3
vt4 vt5 z
不同时刻波形最大值出现的位置
沿z方向传播
t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v
t
t1 t2
… … t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；图形移动速度，即电磁波速度
相速度，即等相位面的传播速度
H Ε
J
D
t
B
A
t
为任意可微函数
A ( A ) A
即
A t
(
t
)
t
(
A
)
A t
也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。

(完整版)《电磁场与电磁波》(第4版)谢处方第四章_时变电磁场00

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在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，
只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内
外导体之间的电场和磁场分别为
rr U
E
e
ln(b
, a)
r rI
H e 2
(a b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r S
rr EH
r [e
U
ln(b
a
)
]
r (e
I )
11
4.3 电磁能量守恒定律 讨论内容
电磁能量及守恒关系 坡印廷定理 坡印廷矢量
第4章 时变电磁场
12
电磁能量及守恒关系
电场能量密度：
we
1 2
rr ED
磁场能量密度：
wm
1
r H
r B
2
dW
dt V
S
电磁能量密度：
w
we
wm
1 2
rr ED
1
r H
r B
2
空间区域V中的电磁能量：
W
V
w dV
V
r H
(
r E
)
t
r
r ( H )
r 2H
2H
t 2
r
r 2H
2H t 2
0
若为有源空间，结果如何？
若为导电媒质，结果如何？
第4章 时变电磁场
4
4.2 电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
第4章 时变电磁场
5
引入位函数的意义 引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。
(1 2

《电磁波与电磁场》4-恒定磁场

《电磁波与电磁场》4-恒定磁场
若回路电流为I，面积S，定义磁偶极矩m=IS。通常，热运动使 磁偶极子的方向杂乱无章，宏观合成磁矩为零，对外不显磁性。
外加磁场时，磁场力使带电粒子的运动方向发生变化或产生 新的电流，使磁矩重新排列，宏观的合成磁矩不再为零，这 种现象称为磁化。
媒质磁化 B
B
B'
磁化结果出磁偶现极的子 合成磁矩产生二次磁场BS，这种二次 磁场影响外加磁场Ba，导致磁化状态发生改变，从而又使J’S
Chapter 4 恒定磁场
磁场是由运动电荷或电流产生的；当产生磁场 的电流恒定时，它所产生的磁场不随时间变化， 这种磁场称为恒定磁场。
4.1 磁感应强度 4.3 磁场的基本方程 4.5 电感 4.7 磁路
4.2 安培环路定律 4.4 磁场位函数 4.6 磁场能量
第4章 恒定磁场
1. 磁场是由运动电荷或电流产生的。 2. 运动电荷或载流导线在磁场中要受到磁场的作用力。 3. 检验磁场是否存在的一种方法是改变载流导线在磁
抗磁性。媒质正常情况下，原子中的合成磁矩为零。当外 加磁场时，电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁场 的方向相反，导致媒质中合成磁场减弱。如银、铜、铋、 锌、铅及汞等属抗磁性媒质。 顺磁性。媒质在正常情况下，原子中的合成磁矩并不为零， 只是由于热运动结果，宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的 作用下，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。使合 成磁场增强。如铝、锡、镁、钨、铂及钯等属顺磁性媒质。
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象均很微弱，因此，可 以认为它们的相对磁导率基本上等于1。铁磁性媒质的磁化现象非常 显著，其磁导率可以达到很高的数值。值得注意的是，近年来研发的 新型高分子磁性材料，其相对磁导率可达到与介电常数同一数量级。
媒质 金 银 铜

高中物理选择性必修件第四章电磁场与电磁波


距离防护
尽量远离电磁辐射源，如减少使用手 机、电脑等电子设备的时间，避免长 时间接触。
时间防护
合理安排作息时间，避免在电磁辐射 较强的环境下长时间停留。
屏蔽防护
采用屏蔽材料对电磁辐射进行屏蔽， 如穿戴防辐射服、使用防辐射眼镜等 。
提高公众对电磁辐射认知水平
加强科普宣传
通过媒体、学校等途径加强电磁 辐射相关知识的科普宣传，提高
电磁波的发射、传播和接收
变化的电流在空间激起电磁波，以光速向四周传播。接收电磁波的过程也是电磁感应现象 。
解题技巧分享
理解电磁场和电磁波的基本概念及性 质，掌握电磁波的产生机理和传播特 性。
掌握电磁波在真空和介质中的传播速 度、波长、频率等参量之间的关系， 理解电磁波的反射、折射、衍射等现 象。
熟悉电磁波谱中各波段的特点及应用 ，了解不同波段电磁波的产生、传播 和接收方式。
场力。电场强度的方向与正电荷在电场中受到的电场力方向相同。
02 03
磁感应强度
描述磁场的力的性质的物理量，其大小等于单位电流元在磁场中所受安 培力的最大值。磁感应强度的方向与小磁针静止时N极所指的方向相同 。
电磁感应
当穿过闭合电路的磁通量发生变化时，闭合电路中就会产生感应电流。 感应电流的磁场总是阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
电磁场
变化的电场和磁场总是相互联系的，形成一个不可分割的统一体，即电磁场。电磁场由近 及远以电磁波的形式传播。
电磁波
变化的电场和磁场在周围空间产生电磁波，电磁波向外传播的过程也是传播能量的过程。 电磁波中的电场能量最大时，磁场能量最小；磁场能量最大时，电场能量最小。电磁波中 的电场和磁场互相垂直，电磁波则与电场、磁场垂直。
无线通信系统功能

谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第4章 时变电磁场【圣才出品】


（2）推导 J% j&。提示：
r A
0。
解：（1） H% J% jD% jD%，方程左边做旋度运算，有：
H% H% 2H%
由于 H%
1 j
E%，于是有
H% 0
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Ñ
s
v (E
v H)
v dS
d dt
(We
Wm )
P
或
Ñ
vv v (E H ) dS
d
(1 E2 1 H 2 )d
E2d
s
dt 2
2
反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。
4．试解释什么是 TEM 波。 答：与传播方向垂直的平面称为横向平面；若电磁场分量都在横向平面中，则称这种 波称为平面波；又称横电磁波即 TEM 波。
f ck 3108 3 4.5 108 Hz
2π 2π
π
E% jB%
2．从复数形式的麦克斯韦方程组源自 H% J% D% &
j
D%推导：
B% 0
（1）自由空间（ & 0、 J% 0 ）磁场复数形式波动方程 2 k 2 H% 0 。提示：
r
r
r
A A 2A ；
5．说明矢量磁位和库仑规范。
答： 由于 g( A) 0 ，而 gB 0 ，所以令 B A ，A 称为矢量磁位，它是一
个辅助性质的矢量。从确定一个矢量场来说，只知道一个方程是不够的，还需要知道 A 的
散度方程后才能唯一确定 A，在恒定磁场的情况下，一般总是规定 gA 0 ，这种规定为
库仑规范。
增加的电磁场能量与损耗的能量之和——能量守恒。

第四章电磁波及应用


A.电磁波可以在真空中传播，机械波的传播要依赖于介质 B.电磁波在任何介质中传播速率都相同，机械波只在同一种介质中传播速率才相同 C.电磁波和机械波都不能产生干涉 D.电磁波和机械波都能产生衍射 7.当电磁波的频率增加时，它在真空中的速度将（） A.减小 B.增大 C.不变 D. 以上都不对 8． 央电视台曾做过关于“深度撞击”探测器撞击坦普尔彗星的特别报道，使得人们坐在家 中同样可以享受这一史无前例的探索之旅。在直播电视画面上可看到工程人员欢呼的时 刻为 13 时 57 分零秒。已知撞击时，彗星距离地球 1.336 亿公里，只计电磁波从彗星传 到地球的时间， 忽略电视信号在地球上的传播时间， 估算撞击器与彗星的撞击时刻为 ） （ A． 13 时 49 分 35 秒 B． 13 时 57 分零秒 C． 13 时 42 分 10 秒 D． 14 时 04 分零秒 9.从地球向月球发射电磁波，经过 2.56s 收到它的反射波，月球、地球之间的距离是 km.
例1在电视节目中我们经常看到主持人与派到世界热点地区的记者通过同步理论传播电磁波电磁场实例实例应用分类实验麦克斯韦电磁理论赫兹电火花实验电磁波波谱无线电波的发射与接收电视信息化社会移动通讯传感器数字电视因特网第四章电磁波及应用通讯卫星通话他们之间的一问一答总是迟半拍这是为什么
第四章 电磁波及应用
第一节 电磁波的发现 【知识要点】 知识要点】 1． 关于麦克斯韦电磁场理论 变化的磁场产生电场，变化的电场产生磁场。如果电场或磁场的变化是均匀的，产生的 磁场或电场是稳定的；如果电场是周期性（振荡）变化的，产生的磁场是同频率周期性 变化的振荡。 2． 关于电磁场和电磁波 ． 电场和磁场本身就是一种物质，它们交替产生又相互联系，形成不可分割的统一体，并 且由发生地向周围空间传播，形成电磁波，所以电磁波的传播有别于机械波，不需要介 质，电磁波在真空中的传播速度跟光速相同，其值为 C=3.00×108 米/秒。赫兹用实验证 实了电磁波的存在。 典例分析】 【典例分析】 【例 1】根据麦克斯韦的电磁场理论,下列说法中错误的是． A．变化的电场可产生磁场 B．均匀变化的电场可产生均匀变化的磁场 C．振荡电场能够产生振荡磁场 D．振荡磁场能够产生振荡电场 【解析】麦克斯韦电磁场理论的含义是变化的电场可产生磁场，而变化的磁场能产生电场； 产生的场的形式由原来的场的变化率决定，可由原来场随时间变化的图线的切线斜率判断， 确定． 可见，均匀变化的电场的变化率恒定，产生不变的磁场，B 说法错误；其余正确． 【例 2】如下图 4-1 中磁场的磁感应强度 B 随时间 t 变化的四种情况，如图所示，其中能产 生电场的有________图示的磁场，能产生持续电磁波的有________图示的磁场。

电磁场与电磁波第四章


∇2ϕ
−
με
∂2ϕ ∂t 2
=
−
1 ε
ρ
矢量位和标量位满足(分离出的两个独立)的方程, 称为达朗贝尔方程
间接方法：A. 求解两个达朗贝尔方程 B. 达朗贝尔方程 + 洛仑兹条件
9
4.3 电磁能量守恒定律
讨论电磁场的能量问题，引入坡印廷矢量， 得到反映电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
一、电磁场能量密度和能流密度
=
d dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
1 2
ε
|
v E0
|2 )dV
+
σ
V
|
v E0
|2
dV
20
根据
v E0
或
v H0
满足的边界条件，左端被积函数
v (E0
×
v H
0
)
⋅
evn
|S
=
(evn
×
v E0
)
⋅
v H
0
|S
=
v (H
0
×
evn
)
⋅
v E0
|S
=
0
即
∫ ∫ d
dt
V
(1 2
μ
|
v H0
|2
+
∂2Ez ∂y 2
+
∂2Ez ∂z 2
− με
∂2Ez ∂t 2
=0
解波动方程，可求出空间中电磁场场量的分布。
(直接求解波动方程的过程很复杂)
4
4.2 电磁场的位函数
一、矢量位和标量位
∇ ⋅ Bv = 0
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将以上两式相减， 得到
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
任意时谐矢量函数F(r, t)可分解为三个分量Fi(r, t)(i=x, y, z)， 每一个分量都是时谐标量函数， 即
图4.3-2 同轴线中电、 磁场和坡印廷矢量 （理想导体情况）
穿过任意横截面的功率为
与电路中的分析结果相吻合。 可见， 同轴线传输的功率 是通过内外导体间的电磁场传递到负载， 而不是经过导 体内部传递的。
（2） 当导体的电导率σ为有限值时， 导体内部存在沿 电流方向的电场
据边界条件， 在内导体表面上电场的切向分量连续， 即 E内z=E外z。 因此，在内导体表面外侧电场为
在直角坐标系中， 波动方程例如，式(4.1.5)可以分解为
(4.1.7) (4.1.8) (4.1.9)
4.2 时变场的位函数
4.2.1
由于磁场的散度恒等于零， 即 ·B=0， 因此可将 磁场表示为一个矢量函数的旋度， 即
B= ×A (4.2.1) 式中的矢量函数A称为电磁场的矢量磁位， 单位是T·m （特斯拉·米）。
它们用复数可以表示为
于是 其中 称为时谐矢量函数F(r, t)的复矢量。
(4.4.3) (4.4.4)
例4.4.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式。 解 （1） 由于 根据式（4.4.3）， 可知电场强度的复矢量为
(4.1.1)
(4.1.2)
(4.1.3) (4.1.4)
对式（4.1.2）两边取旋度有 将式（4.1.1）代入上式， 得到
利用矢量恒等式
和式（4.1.4）， 可得到
(4.1.5)
此式即为无源区域中电场强度矢量E满足的波动方程。 同理可得到无源区域中磁场强度矢量H满足的波动方程为
(4.1.6)
无源区域中的E或H可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6） 的波动方程得到。
将式（4.2.1）代入方程 即 可见，
(4.2.2)
式中的标量函数j称为电磁场的标量电位， 单位是V（伏）。 由式（4.2.2）可将电场强度矢量E用矢量磁位A和标量电位j
表示为 (4.2.3)
实际上， 设j为任意标量函数， 令
(4.2.4)
则有
由于j为任意标量函数， 所以由式（4.2.4）定义的A′和 j ′有无穷多组。 出现这种现象的原因在于确定一个矢量
解 （1） 在内、 外导体为理想导体的情况下， 电场 和磁场只存在于内、 外导体之间的理想导体介质中， 内、 外导体表面无切向分量， 只有电场的径向分量。 利用高斯 定律和安培环路定理， 容易求得内外导体环路之间的电场 和磁场分别为
内、 外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量为
电磁能量在内外导体之间的介质中沿z轴方向流动， 即由电源流向负载， 如图4.3-2所示。
需要同时规定该矢量场的散度和旋度， 而式（4.2.1）只 规定了矢量磁位A的旋度， 没有规定它的散度。
4.2.2 达朗贝尔方程
利用矢量恒等式 可得到
(4.2.5)
可得到
(4.2.6)
式（4.2.5）和式（4.2.6）是关于A和j的一组耦合微分方
程， 可通过适当地规定矢量磁位A的散度来加以简化。 由式（4.2.5）可以看出， 如果令
(4.3.1) (4.3.2)
在时变电场中， 电磁场能量密度w等于电场能量密度we 与磁场能量密度wm之和， 即
(4.3.3)
当场随时间变化时， 空间各点的电磁场能量密度也要随时 间变化， 从而引起电磁场能量流动。
4.3.2 能流密度
坡印廷定理可由麦克斯韦方程组推导而得。 假设闭合 面S包围的体积V中无外加源， 媒质是线性和各向同性的， 且参数不随时间变化。
4.4 时 谐 电 磁 场
4.4.1
对时谐电磁场采用复数方法表示可使问题的分析得以简化。 设u(r, t)是一个以角频率ω随时间呈时谐变化的标量函数， 其 瞬时表示为
u(r, t)=um(r)cos［ωt+f(r)］ (4.4.1)
式中: um(r)为振幅， 它仅为空间坐标的函数； ω为角频率；
f(r)是与时间无关的初相位。
(4.2.7)
则式（4.2.5）可以简化为 这时式（4.2.6）简化为
(4.2.8) (4.2.9)
式（4.2.7）称为洛伦兹条件， 式（4.2.8）和式（4.2.9）
就是在洛伦兹条件下， 矢量磁位A和标量电位j所满足
的微分方程， 称其为达朗贝尔方程。
4.3 4.3.1
电场和磁场都具有能量， 在线性、 各向同性的媒质中， 电场能量密度we与磁场能量密度wm分别为