2016-2017学年辽宁省本溪市第一中学高二学业水平模拟数学试题

2016-2017学年辽宁省本溪市本溪县高级中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（）A．15B．20C．25D．303．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝（）A．B．C．D．44．（5分）函数f（x）＝2x﹣sin x在（﹣∞，+∞）上（）A．是增函数B．是减函数C．有最大值D．有最小值5．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（5分）函数f（x）＝•sin x的导数为（）A．f′（x）＝2•cos x B．f′（x）＝•cos xC．f′（x）＝2•cos x D．f′（x）＝•cos x7．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1 8．（5分）函数y＝xlnx在（0，5）上是（）A．单调增函数B．在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减C．单调减函数D．在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增．9．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0B．﹣4C．﹣2D．210．（5分）函数y＝ax﹣lnx在（，+∞）内单调递增，则a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2] 11．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）12．（5分）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝，则f′（2）＝．14．（5分）过点（2，0）且与曲线y＝相切的直线方程为．15．（5分）设函数f（x）＝x m+ax的导函数f′（x）＝2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是．16．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．三、解答题解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（10分）△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos（π﹣B）＝﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝4，c＝2，求b和A的值．18．（12分）已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）＝x3+x2的下方．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣1与函数g（x）＝alnx（a≠0）．（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；（Ⅱ）设F（x）＝f（x）﹣2g（x），求函数F（x）的极值．22．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年辽宁省本溪市本溪县高级中学高二（下）4月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题每小题5分，计60分）1．（5分）设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}【解答】解：∵集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，∴集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B＝{x|﹣1＜x＜3}，故选：A．2．（5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（）A．15B．20C．25D．30【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是＝，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取×50＝15．故选：A．3．（5分）已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么＝（）A．B．C．D．4【解答】解：∵，均为单位向量，它们的夹角为60°，∴＝＝＝＝．故选：C．4．（5分）函数f（x）＝2x﹣sin x在（﹣∞，+∞）上（）A．是增函数B．是减函数C．有最大值D．有最小值【解答】解：∵f′（x）＝2﹣cos x＞0，∴函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，故选：A．5．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）＝0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．6．（5分）函数f（x）＝•sin x的导数为（）A．f′（x）＝2•cos x B．f′（x）＝•cos xC．f′（x）＝2•cos x D．f′（x）＝•cos x【解答】解：∵（）′＝，（sin x）′＝cos x，∴f′（x）＝（）′×sin x+×cos xx＝故选：B．7．（5分）若曲线y＝x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程x﹣y+1＝0，则（）A．a＝1，b＝1B．a＝﹣1，b＝1C．a＝1，b＝﹣1D．a＝﹣1，b＝﹣1【解答】解：y＝x2+ax+b的导数为y′＝2x+a，可得在点（0，b）处的切线斜率为a，由点（0，b）处的切线方程为x﹣y+1＝0，可得a＝1，b＝1，故选：A．8．（5分）函数y＝xlnx在（0，5）上是（）A．单调增函数B．在（0，）上单调递增，在（，5）上单调递减C．单调减函数D．在（0，）上单调递减，在（，5）上单调递增．【解答】解：∵y＝xlnx，∴y'＝lnx+1，由y'＝lnx+1＝0，得极值点x＝，∵x∈（0，5），∴当x∈（0，）时，f'（x）＜0，函数是单调递减函数．当x∈（，5）时，f'（x）＞0，函数是单调递增函数．故选：D．9．（5分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）等于（）A．0B．﹣4C．﹣2D．2【解答】解：由f（x）＝x2+2xf′（1），得：f′（x）＝2x+2f′（1），取x＝1得：f′（1）＝2×1+2f′（1），所以，f′（1）＝﹣2．故f′（0）＝2f′（1）＝﹣4，故选：B．10．（5分）函数y＝ax﹣lnx在（，+∞）内单调递增，则a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2）D．（﹣∞，2]【解答】解：首先对y＝ax﹣lnx求导：y'＝a﹣，且知y函数的定义域为（0，+∞）；函数y在内单调递增，即y'在上恒有y'≥0．即：a≥在上恒成立．因为f（x）＝在上的最大值为f（）＝2；所以a的取值范围为a≥2．故选：B．11．（5分）若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）＞2f（1）C．f（0）+f（2）≤2f（1）D．f（0）+f（2）≥2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f'（x）≥0∴x＞1时，f′（x）≥0；x＜1时，f′（x）≤0∴f（x）在（1，+∞）为增函数；在（﹣∞，1）上为减函数∴f（2）≥f（1）f（0）≥f（1）∴f（0）+f（2）≥2f（1）故选：D．12．（5分）设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令g（x）＝，∴g′（x）＝＝，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴f′（x）＞0，∴g（x）为增函数，∵正数a＞0，∴g（a）＞g（0），∴＞＝f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝，则f′（2）＝．【解答】解：∵f（x）＝，∴f′（x）＝＝∴．故答案为：14．（5分）过点（2，0）且与曲线y＝相切的直线方程为x+y﹣2＝0．【解答】解：设切线方程为y＝k（x﹣2），所以，整理可得kx2﹣2kx﹣1＝0显然k≠0，因为相切，所以△＝4k2+4k＝0，解得k＝﹣1，∴切线方程为x+y﹣2＝0故答案为：x+y﹣2＝015．（5分）设函数f（x）＝x m+ax的导函数f′（x）＝2x+1，则数列{}（n∈N*）的前n项和是．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）＝mx m﹣1+a，∵f′（x）＝2x+1，∴m＝2，a＝1，即f（x）＝x2+x，则＝＝﹣，则数列{}（n∈N*）的前n项和S＝1﹣＝1﹣＝，故答案为：16．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝，对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是．【解答】解：对任意x1，x2∈（0，+∞），不等式≤恒成立，则等价为≤恒成立，f（x）＝＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，即f（x）的最小值是2，由g（x）＝，则g′（x）＝＝，由g′（x）＞0得0＜x＜1，此时函数g（x）为增函数，由g′（x）＜0得x＞1，此时函数g（x）为减函数，即当x＝1时，g（x）取得极大值同时也是最大值g（1）＝，则的最大值为＝，则由≥，得2ek≥k+1，即k（2e﹣1）≥1，则，故答案为：．三、解答题解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17．（10分）△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若cos（π﹣B）＝﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝4，c＝2，求b和A的值．【解答】解：（I）∵，∴，∴…4 分（II）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝16+4﹣8＝12，解得…7 分由正弦定理可得，即，故…10 分18．（12分）已知{a n}是首项为19，公差为﹣2的等差数列，S n为{a n}的前n项和．（1）求通项a n及S n；（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．【解答】解：（1）因为a n是首项为a1＝19，公差d＝﹣2的等差数列，所以a n＝19﹣2（n﹣1）＝﹣2n+21，．（2）由题意b n﹣a n＝3n﹣1，所以b n＝a n+3n﹣1，＝21﹣2n+3n﹣1T n＝S n+（1+3+32+…+3n﹣1）＝．19．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c在x＝﹣与x＝1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解；（1）f（x）＝x3+ax2+bx+c，f'（x）＝3x2+2ax+b由解得，f'（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：）（﹣所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x＝﹣时，f（x）＝+c为极大值，而f（2）＝2+c，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）＝2+c．解得c＜﹣1或c＞2．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）＝x3+x2的下方．【解答】（1）解：∵f（x）＝x2+lnx，∴f′（x）＝2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）＝1，最大值是f（e）＝1+e2；（2）证明：令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝﹣+lnx，则F′（x）＝x﹣2x2+＝＝＝，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）＝＝﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣1与函数g（x）＝alnx（a≠0）．（Ⅰ）若f（x），g（x）的图象在点（1，0）处有公共的切线，求实数a的值；（Ⅱ）设F（x）＝f（x）﹣2g（x），求函数F（x）的极值．【解答】解：（I）因为f（1）＝0，g（1）＝0，所以点（1，0）同时在函数f（x），g（x）的图象上（1分）因为f（x）＝x2﹣1，g（x）＝alnx，f'（x）＝2x，（3分）（5分）由已知，得f'（1）＝g'（1），所以，即a＝2（6分）（II）因为F（x）＝f（x）﹣2g（x）＝x2﹣1﹣2alnx（x＞0）（7分）所以（8分）当a＜0时，因为x＞0，且x2﹣a＞0，所以F'（x）＞0对x＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，F（x）无极值（10分）当a＞0时，令F'（x）＝0，解得（舍）（11分）所以当x＞0时，F'（x），F（x）的变化情况如下表：，）（13分）所以当时，F（x）取得极小值，且．（14分）综上，当a＜0时，函数F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＞0时，函数F（x）在处取得极小值a﹣1﹣alna．22．（12分）已知函数f（x）＝ax3﹣+1（x∈R），其中a＞0．（Ⅰ）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[﹣]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：当a＝1时，f（x）＝，∴f（2）＝3；∵f′（x）＝3x2﹣3x，∴f′（2）＝6．所以曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y ﹣3＝6（x﹣2），即y＝6x﹣9；（Ⅱ）解：f′（x）＝3ax2﹣3x＝3x（ax﹣1）．令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝．以下分两种情况讨论：（1）若0＜a≤2，则；当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：（﹣）当时，f（x）＞0，等价于即．解不等式组得﹣5＜a＜5．因此0＜a≤2；（2）若a＞2，则当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：），当时，f（x）＞0等价于即解不等式组得或．因此2＜a＜5．综合（1）和（2），可知a的取值范围为0＜a＜5．。

2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x |mx=1}，且A ∪B=A ，则m 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．1或﹣1或02．（5分）定义运算 a b c d =ad ﹣bc ，若z= 12i i 2 ，则复数z 对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为8，12，则输出的a=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．145．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |=（ ） A ．3B ．52C ．72D ．326．（5分）已知函数f （x ）=sinx +λcosx 的图象的一个对称中心是点（π3，0），则函数g （x ）=λsinxcosx +sin 2x 的图象的一条对称轴是直线（ ）A ．x=5π6 B ．x=4π3C ．x=π3D ．x=﹣π37．（5分）已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →=13(12OA →+12OB →+2OC →)，则P 一定为△ABC 的（ ）A ．AB 边中线的三等分点（非重心） B ．AB 边的中点C ．AB 边中线的中点D ．重心8．（5分）设a =12sin 56°−cos 56°)，b=cos50°•cos128°+cos40°•cos38°，c =12(cos 80°−2cos 250°+1)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个直角边长为1的直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．36πB ．9πC ．92π D ．275π10．（5分）设m ＞1，在约束条件 y ≥xy ≤mx x +y ≤1下，目标函数z=x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．（1，1+ 2）B ．（1+ 2，+∞）C ．（1，3）D ．（3，+∞）11．（5分）己知O 为坐标原点，双曲线x 2a ﹣y 2b=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．312．（5分）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f （x ），对∀x ∈（0，+∞），都有f [f （x ）﹣log 2x ]=3，则方程f （x ）﹣f′（x ）=2的解所在的区间是（ ）A．（0，12） B．（1，2） C．（12，1） D．（2，3）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据，据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是．（参考公式：b=ni=1x i y i−nxyni=1x i2−nx2，a=y−bx）14．（5分）已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：①若α∩β=a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．上述五个命题中，正确命题的序号是．15．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（1e≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x+y+a=0与点A（2，0），若直线l上存在点M满足|MA|=2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+12b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{1a n a n+1}的前n项和为S n，求证：S n＜1 2．18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．附表：19．（12分）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F分别在AD，BC上，且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H 在直线DE上，且EH=1．（1）求证：A′D ∥平面B′FC ； （2）求C 到平面B′HF 的距离．20．（12分）已知椭圆C ：x 24+y 2=1，斜率为 32的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）设M 为弦AB 的中点，求动点M 的轨迹方程；（2）设F 1，F 2为椭圆C 在左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上一点，满足PF 1→⋅PF 2→=−54，求△PAB 面积的最大值．21．（12分）已知函数g (x )=alnx +12x 2+(1−b )x ．（1）若g （x ）在点（1，g （1））处的切线方程为8x ﹣2y ﹣3=0，求a ，b 的值； （2）若b=a +1，x 1，x 2是函数g （x ）的两个极值点，试比较﹣4与g （x 1）+g （x 2）的大小．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C 2的参数方程为 x =cosαy =2sinα（α为参数），将曲线C 2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的32倍，得到曲线C 3．（1）写出曲线C 1的参数方程和曲线C 3的普通方程；（2）已知点P （0，2），曲线C 1与曲线C 3相交于A ，B ，求|PA |+|PB |．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ∈（0，+∞），且2a 4b =2． （Ⅰ）求2a +1b的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式|x−1|+|2x−3|≥2a+1b成立，求实数x的取值范围．2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0【分析】利用A∪B=A⇒B⊆A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．【解答】解：∵A∪B=A∴B⊆A∴B=∅；B={﹣1}；B={1}当B=∅时，m=0当B={﹣1}时，m=﹣1当B={1}时，m=1故m的值是0；1；﹣1故选：D【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集．2．（5分）定义运算a bc d =ad﹣bc，若z=12i i2，则复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用已知定义结合虚数单位i的运算性质求得z，进一步得到z，求得z的坐标得答案．【解答】解：由已知可得，z=1，2i，i2=1×i2﹣2i=﹣1﹣2i，∴z=−1+2i，则复数z对应的点的坐标为（﹣1，2），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3．（5分）已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】先根据命题的否定，得到￢p 和￢q ，再根据充分条件和必要的条件的定义判断即可．【解答】解：p ：对于任意n ∈N *，a n +2﹣a n +1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p ：∃n ∈N *，a n +2﹣a n +1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列， 由￢p ⇒￢q ，即a n +2﹣a n +1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *，使得a n +2﹣a n +1≠d ， 即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为8，12，则输出的a=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．14【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a ，b 的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a ＞b ， 则b 变为12﹣8=4，由b ＜a ，则a 变为8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：A ．【点评】本题考查算法和程序框图，主要考查循环结构的理解和运用，以及赋值语句的运用，属于基础题．5．（5分）已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →=4FQ →，则|QF |=（ ） A ．3B ．52 C ．72 D ．32【分析】如图所示，由抛物线C ：y 2=8x ，可得焦点为F ，准线l 方程，准线l 与x 轴相交于点M ，|FM |=4．经过点Q 作QN ⊥l ，垂足为N 则|QN |=|QF |．由QN∥MF ，可得|QN ||MF |=|PQ ||PF |，即可得出．【解答】解：如图所示由抛物线C ：y 2=8x ，可得焦点为F （2，0），准线l 方程为：x=﹣2， 准线l 与x 轴相交于点M ，|FM |=4．经过点Q 作QN ⊥l ，垂足为N 则|QN |=|QF |． ∵QN ∥MF ，∴|QN ||MF |=|PQ ||PF |=34， ∴|QN |=3=|QF |． 故选：A ．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、平行线分线段成比例，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（π3，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=5π6B．x=4π3C．x=π3D．x=﹣π3【分析】由对称中心可得λ=﹣3，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=12﹣sin（2x+π6），令2x+π6=kπ+π2解x可得对称轴，对照选项可得．【解答】解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（π3，0），∴f（π3）=sinπ3+λcosπ3=32+12λ=0，解得λ=﹣3，∴g（x）=﹣3sinxcosx+sin2x=−32sin2x+1−cos2x2=12﹣sin（2x+π6），令2x+π6=kπ+π2可得x=kπ2+π6，k∈Z，∴函数的对称轴为x=kπ2+π6，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣π3符合题意，故选：D【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及三角函数对称性，属中档题．7．（5分）已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →=13(12OA →+12OB →+2OC →)，则P 一定为△ABC 的（ ）A ．AB 边中线的三等分点（非重心） B ．AB 边的中点C ．AB 边中线的中点D ．重心【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量加法的平行四边形法则以及共线的向量的加法法则，即可得出正确的结论． 【解答】解：如图所示：设AB 的中点是E ， ∵O 是三角形ABC 的重心，∵OP →=13(12OA →+12OB →+2OC →)=13（OE →+2OC →），∵2EO →=OC →，∴OP →=13×（4EO →+OE →）=EO →∴P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心． 故选：A【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角形的重心的应用问题，是综合性题目．8．（5分）设a =12sin 56°−cos 56°)，b=cos50°•cos128°+cos40°•cos38°，c =12(cos 80°−2cos 250°+1)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【分析】运用两角和差的正弦和余弦公式，化简整理，再由余弦函数的单调性，即可得到所求大小关系． 【解答】解：a =12sin 56°−cos 56°)= 2× 2sin （56°﹣45°）=sin11°=cos79°， b=cos50°•cos128°+cos40°•cos38°=﹣cos50°•cos52°+sin50°•sin52°=﹣cos102°=cos78°，c=12(cos80°−2cos250°+1)=12（cos80°﹣cos100°）=cos80°，由cos78°＞cos79°＞cos80°，即b＞a＞c．故选：B．【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用两角和差公式和二倍角公式，同时考查余弦函数的单调性，属于中档题．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是一个直角边长为1的直角三角形，则该几何体外接球的体积是（）A．36πB．9πC．92πD．275π【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，求出底面外接圆半径和棱锥的高，进而利用勾股定理，求出其外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，故底面外接圆半径r=2，由主视图中棱锥的高h=1，故棱锥的外接球半径R满足：R=14+2=32，故该几何体外接球的体积V=43πR3=92π，故选：C．【点评】解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，进而求出外接球半径，是解答的关键．10．（5分）设m ＞1，在约束条件 y ≥xy ≤mx x +y ≤1下，目标函数z=x +my 的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A ．（1，1+ 2）B ．（1+ 2，+∞）C ．（1，3）D ．（3，+∞）【分析】根据m ＞1，我们可以判断直线y=mx 的倾斜角位于区间（π4，π2）上，由此我们不难判断出满足约束条件 y ≥xy ≤mx x +y ≤1的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X +my 对应的直线与直线y=mx 垂直，且在直线y=mx 与直线x +y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m 的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围． 【解答】解：∵m ＞1故直线y=mx 与直线x +y=1交于(1m +1，mm +1)点，目标函数Z=X +my 对应的直线与直线y=mx 垂直，且在(1m +1，mm +1)点，取得最大值其关系如下图所示：即1+m 2m +1＜2， 解得1﹣ 2＜m ＜1+ 2 又∵m ＞1解得m ∈（1，1+ 2） 故选：A ．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数Z=X +my 对应的直线与直线y=mx 垂直，且在(1m +1，mm +1)点取得最大值，并由此构造出关于m 的不等式组是解答本题的关键．11．（5分）己知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2﹣y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线分别为l 1，l 2，右焦点为F ，以OF 为直径作圆交l 1于异于原点O 的点A ，若点B 在l 2上，且AB →=2FA →，则双曲线的离心率等于（ ） A ． 2 B ． 3 C ．2D ．3【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A ，B 的坐标，结合点B 在渐近线y=﹣bax 上，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l 1，y=b a x ，l 2，y=﹣bax ，F （c ，0），圆的方程为（x ﹣c2）2+y 2=c 24，将y=b a x 代入（x ﹣c2）2+y 2=c 24，得（x ﹣c 2）2+（b a x ）2=c 24，即c 2a x 2=cx ，则x=0或x=a 2c ，当x=a 2c 时，y ═b a •a 2c =ab c ，即A （a 2c ，ab c）， 设B （m ，n ），则n=﹣ba•m ，则AB →=（m ﹣a 2c ，n ﹣ab c ），FA →=（a 2c ﹣c ，ab c ），∵AB →=2FA →，∴（m ﹣a 2c ，n ﹣ab c ）=2（a 2c ﹣c ，abc ）则m ﹣a 2c =2（a 2c ﹣c ），n ﹣ab c =2•abc ，即m=3a 2c ﹣2c ，n=3ab c ，即3ab c =﹣b a •（3a 2c ﹣2c ）=﹣3ab c +2bc a ，即6ab c =2bc a，则c 2=3a 2， 则ca= 3，故选：B．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件建立方程组关系，求出交点坐标，转化为a，c的关系是解决本题的关键．考查学生的计算能力．12．（5分）已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对∀x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，12） B．（1，2） C．（12，1） D．（2，3）【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=1ln2⋅x，将f（x）=log2x+2，f′（x）=1ln2⋅x代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣1ln2⋅x=2，即log2x﹣1ln2⋅x=0，令h（x）=log2x﹣1ln2⋅x，分析易得h（1）=﹣1ln2＜0，h（2）=1﹣12ln2＞0，则h（x）=log2x﹣1ln2⋅x的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣1ln2⋅x=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据，据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组数据的回归直线方程是y^=0.7x+0.35．（参考公式：b=ni=1x i y i−nxyni=1x i2−nx2，a=y−bx）【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵x=3+4+5+64=4.5y=2.5+3+4+4.54=3.5∴这组数据的样本中心点是（4.5，3.5）把样本中心点代入回归直线方程y^=0.7x+a ∴3.5=4.5×0.7+a，∴a=0.35那么这组数据的回归直线方程是y^=0.7x+0.35故答案为：y^=0.7x+0.35．【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．14．（5分）已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不同平面，给出下列命题：①若α∩β=a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b；④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β．上述五个命题中，正确命题的序号是②⑤．【分析】对于①③，根据线面垂直的判断定理，对于②④⑤线面垂直的性质定理，判断即可．【解答】解：对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确，对于②a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到a ⊥β，又a⊂α，则α⊥β，故正确，对于③α⊥β，α∩β=a，α∩γ=b，则a⊥b或a∥b，或相交，故不正确，对于④若a不垂直于平面α，则a可能垂直于平面α内的无数条直线，故不正确，对于⑤根据线面垂直的性质，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故正确故答案为：②⑤【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．15．（5分）已知函数g（x）=a﹣x2（1e≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是[1，e2﹣2] ．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在[1e，e]上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a ﹣x 2=﹣2lnx ⇔﹣a=2lnx ﹣x 2在[1e，e ]上有解．设f （x ）=2lnx ﹣x 2，求导得：f′（x ）=2x ﹣2x=2(1−x )(1+x )x，∵1e ≤x ≤e ，∴f′（x ）=0在x=1有唯一的极值点， ∵f （1e ）=﹣2﹣1e ，f （e ）=2﹣e 2，f （x ）极大值=f （1）=﹣1，且知f （e ）＜f （1e），故方程﹣a=2lnx ﹣x 2在[1e，e ]上有解等价于2﹣e 2≤﹣a ≤﹣1．从而a 的取值范围为[1，e 2﹣2]． 故答案为：[1，e 2﹣2]【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a ﹣x 2=﹣2lnx ⇔﹣a=2lnx ﹣x 2在[1e，e ]上有解．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x +y +a=0与点A （2，0），若直线l 上存在点M 满足|MA |=2|MO |（O 为坐标原点），则实数a 的取值范围是 [2−4 23，2+4 23] ．【分析】设M （x ，﹣x ﹣a ），由已知条件利用两点间距离公式得（x ﹣2）2+（﹣x ﹣a ）2=4x 2+4（﹣x ﹣a ）2，由此利用根的判别式能求出实数a 的取值范围． 【解答】解：设M （x ，﹣x ﹣a ），∵直线l ：x +y +a=0，点A （2，0），直线l 上存在点M ，满足|MA |=2|MO |， ∴（x ﹣2）2+（﹣x ﹣a ）2=4x 2+4（﹣x ﹣a ）2， 整理，得6x 2+（6a +4）x +a 2+3a 2﹣4=0①，∵直线l 上存在点M 满足|MA |=2|MO |（O 为坐标原点）， ∴方程①有解，∴△=（6a +4）2﹣24（3a 2+﹣4）≥0， 整理得9a 2﹣12a ﹣28≤0，解得2−4 23≤a ≤2+4 23，故a 的取值范围为[2−4 23，2+4 23]，故答案为：[2−4 23，2+4 23]【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和一元二次方程式根的判别式的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角∠A 、∠B 、∠C 的对边，acosB +12b=c ．（1）求∠A 的大小；（2）若等差数列{a n }中，a 1=2cosA ，a 5=9，设数列{1a n a n +1}的前n 项和为S n ，求证：S n ＜12．【分析】（1）过点C 作AB 边上的高交AB 与D ，通过acosB +12b=c ，可知∠A=60°；（2）通过（1）及a 1=2cosA 、a 5=9可知公差d=2，进而可得通项a n =2n ﹣1，分离分母得1a n a n +1=12（12n−1﹣12n +1），并项相加即可．【解答】（1）解：过点C 作AB 边上的高交AB 与D ， 则△ACD 、△BCD 均为直角三角形， ∵acosB +12b=c ．∴AD=AB ﹣BD=c ﹣acosB=12b ，∴∠A=60°；（2）证明：由（1）知a 1=2cosA=2cos60°=1， 设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 5=a 1+（5﹣1）d=9，∴d=2，∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，∴1a n a n +1=1(2n−1)(2n +1)=12（12n−1﹣12n +1）， ∴S n =12（1−13+13−15+…+12n−1﹣12n +1）=12（1﹣12n +1） ＜12． 【点评】本题考查等差数列的性质，考查三角形的角的大小，利用并项法是解决本题的关键，属于中档题．18．（12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子幸福感强）．（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．附表：【分析】（1）根据题意，填写2×2列联表，计算观测值，对照临界值表得出结论；（2）按分层抽样方法抽出幸福感强的孩子，利用列举法得出基本事件数，求出对应的概率值．【解答】解：（1）根据题意，填写2×2列联表如下：计算K2=40×(6×7−9×18)15×25×24×16=4＞3.841，对照临界值表得，有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；…（6分）（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：a1，a2；幸福感弱的孩子3人，记作：b1，b2，b3；“抽取2人”包含的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个；…（8分）事件A：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3）共6个；…（10分）故所求的概率为P(A)=610=35．…（12分）【点评】本题考查了对立性检验与分层抽样方法和列举法求古典概型的概率问题，是综合性题目．19．（12分）已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F分别在AD，BC上，且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H 在直线DE上，且EH=1．（1）求证：A′D∥平面B′FC；（2）求C到平面B′HF的距离．【分析】（1）证明A′E ∥B′F ，即可证明B′F ∥平面A′ED ，然后证明CF ∥平面A′ED ，推出平面A′ED ∥平面B′FC ，然后证明A′D ∥平面B′FC ． （2）求出B′H ，求出S △HFC ，利用V C−B ′HF =V B ′−HFC 求解即可．【解答】（1）证明：∵AE ∥BF ，∴A′E ∥B′F ，又A′E ⊂平面A′ED ，B′F ⊄平面A′ED ∴B′F ∥平面A′ED同理又CF ∥ED ，CF ∥平面A′ED 且B′F ∩CF=F ，∴平面A′ED ∥平面B′FC 又A′D ⊂平面A′ED ，∴A′D ∥平面B′FC（2）解：由题可知，B ′E = 5，EH=1，∵B′H ⊥底面EFCD ， ∴B ′H = B ′E 2−EH 2=2，又B′F=3，∴HF =′F 2−B ′H 2= 5，FC=AD ﹣BF=2S△HFC =FC•CD=2，S △B ′HF =12B ′H ⋅HF = 5，V C−B ′HF =V B ′−HFC ，∴S △B ′HF d C =S △HFC ⋅B ′H ， ∴d C =S △HFC ⋅B ′H S △B ′HF=2×25=4 55．【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知椭圆C ：x 24+y 2=1，斜率为 32的动直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ．（1）设M 为弦AB 的中点，求动点M 的轨迹方程；（2）设F 1，F 2为椭圆C 在左、右焦点，P 是椭圆在第一象限上一点，满足PF 1→⋅PF 2→=−54，求△PAB 面积的最大值．【分析】（1）由由x 224+y 22=1①，x 124+y 12=1②；①﹣②得：y 1+y 2x 1+x 2×y 1−y 2x 1−x 2=−14， 32y x =−14，即x +2 =0，由M 在椭圆内部，则− ＜x ＜ ，即可求得动点M 的轨迹方程；（2）由向量数量积的坐标运算，求得P 点坐标，求得直线l 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质，即可求得△PAB 面积的最大值．【解答】解：（1）设M （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由x 224+y 22=1①，x 124+y 12=1②； ①﹣②得：y 1+y 2x 1+x 2×y 1−y 2x 1−x 2=−14， 32y x =−14，即x +2 3y =0．…（4分）又由中点在椭圆内部得− ＜x ＜∴M 点的轨迹方程为x +2 3y =0，− 3＜x ＜ 3；…（5分）（2）由椭圆的方程可知：F 1（﹣ 3，0）F 2（ 3，0），P （x ，y ）（x ＞0，y ＞0），PF 1→=（﹣ 3﹣x ，﹣y ），PF 2→=（ 3﹣x ，﹣y ），由PF 1→•PF 2→=（﹣ 3﹣x ，﹣y ）•（ 3﹣x ，﹣y ）=x 2﹣3+y 2=﹣54，即x 2+y 2=74，由 x 2+y 2=74x 24+y 2=1，解得： x =1y = 32，则P 点坐标为(1， 32)，…（6分） 设直线l 的方程为y = 32x +m ，y = 32x +mx 24+y 2=1，整理得：x 2+ 3mx +m 2−1=0，由△＞0得﹣2＜m ＜2， 则x 1+x 2=− 3m ，x 1x 2=m 2−1，…（8分）|AB |= 74 4−m 2，d =|m | 74，∴S △PAB =12|m | ．…（9分） S △PAB =12|m | 4−m 2≤12m 2+4−m 22=1，当且仅当m 2=4﹣m 2，即m =± 2时，取等号， ∴△PAB 面积的最大值1．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算三角形的面积公式与基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数g(x)=alnx+12x2+(1−b)x．（1）若g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为8x﹣2y﹣3=0，求a，b的值；（2）若b=a+1，x1，x2是函数g（x）的两个极值点，试比较﹣4与g（x1）+g（x2）的大小．【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；（2）求出a＞4，且x1+x2=a，x1x2=a，令f(x)=xlnx−12x2−x(x＞4)，则f'（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，根据函数的单调性判断即可．【解答】（1）根据题意可求得切点(1，52)，由题意可得，g′(x)=ax+x+(1−b)，∴g(1)=52g′(1)=4，即12+1−b=52a+1+1−b=4，解得a=1，b=﹣1．…（3分）（2）证明：∵b=a+1，∴g(x)=alnx+12x2−ax，则g′(x)=ax+x−a．根据题意可得x2﹣ax+a=0在（0，+∞）上有两个不同的根x1，x2．即a2＞0a2−4a＞0a＞0，解得a＞4，且x1+x2=a，x1x2=a．…（5分）∴g(x1)+g(x2)=aln(x1x2)+12(x12+x22)−a(x1+x2)=alna−12a2−a．…（6分）令f(x)=xlnx−12x2−x(x＞4)，则f'（x）=lnx+1﹣x﹣1=lnx﹣x，令h（x）=lnx﹣x，则当x＞4时， ′(x)=1x−1＜0，∴h（x）在（4，+∞）上为减函数，即h（x）＜h（4）=ln4﹣4＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（4，+∞）上为减函数，即f（x）＜f（4）=8lnx﹣12，∴g（x1）+g（x2）＜8ln2﹣12，…（10分）又∵8ln2−12−(−4)=8ln2−8=8(ln2−1)=8ln 2e，ln2e＜0，∴8ln 2e＜0，即8ln2e−12＜−4，∴g（x1）+g（x2）＜﹣4．…（12分）【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及代数式的大小比较，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C 2的参数方程为 x =cosαy =2sinα（α为参数），将曲线C 2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的32倍，得到曲线C 3．（1）写出曲线C 1的参数方程和曲线C 3的普通方程；（2）已知点P （0，2），曲线C 1与曲线C 3相交于A ，B ，求|PA |+|PB |． 【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ化直线方程为普通方程，写出过P （0，2）的直线参数方程，由题意可得 x =3cosαy =3sinα，运用同角平方关系化为普通方程； （2）将直线的参数方程代入曲线C 3的普通方程，可得t 的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和．【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0， 可得普通方程为x ﹣y +2=0，则C 1的参数方程为 x = 22ty =2+ 22t（t 为参数）， 由曲线C 2的参数方程为 x =cosαy =2sinα（α为参数）， 可得 x =3cosαy =3sinα，即有C 3的普通方程为x 2+y 2=9．…（5分）（2）C 1的标准参数方程为 x = 22ty =2+ 22t（t 为参数）， 与C 3联立可得t 2+2 2t ﹣5=0，令|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，由韦达定理， 则有t 1+t 2=﹣2 2，t 1t 2=﹣5，则|PA |+|PB |=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|= (t 1+t 2)2−4t 1t 2=8−4×(−5)=27…（10分）【点评】本题考查极坐标方程、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求2a+1b的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式|x−1|+|2x−3|≥2a+1b成立，求实数x的取值范围．【分析】（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，利用“1”的代换，即可求2a+1b的最小值；（Ⅱ）分类讨论，解不等式，即可求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，又因为2a+1b=(2a+1b)(a+2b)=4b a +ab+4，由a，b∈（0，+∞）可知4ba+ab+4≥24ba⋅ab+4=8，当且仅当a=2b时取等，所以2a+1b的最小值为8．…（5分）（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8，①x≤11−x+(3−2x)≥8，∴x≤−43．②1＜x＜32x−1+3−2x≥8，∴x∈∅，③x≥32x−1+2x−3≥8，∴x≥4．综上，x∈(−∞，−43]∪[4，+∞)．…（10分）【点评】本题考查基本不等式的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2016-2017学年辽宁省本溪一中高二（下）学业水平测试数学试卷一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）sin=（）A．﹣B．﹣ C．D．2．（3分）下列关系正确的是（）A．{1}∈{1，2，3} B．{1}⊊{1，2，3}C．{1}⊋{1，2，3}D．{1}={1，2，3} 3．（3分）若直线y=2x﹣1与直线y=kx+1平行，则k的值是（）A．﹣2 B．C．D．24．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π5．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（）A．1 B．C．2 D．26．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（）A．2 B．1 C．D．﹣17．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=﹣x B．y=cosx C．y=D．y=﹣x28．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示）．则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46 45 56 B．46 45 53 C．47 45 56 D．45 47 539．（3分）某程序框图如图所示，当输入x的值是1时，输出y的值是（）A．0 B．1 C．2 D．310．（3分）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+1的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π11．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣1，2]C．[﹣2，0）∪（0，2]D．（﹣1，0）∪（0，2]12．（3分）函数f（x）=x2﹣2x+a在区间（1，3）内有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，c=4，则cosC=．14．（3分）已知向量=（2，5），向量=（1，y），，则实数y的值是．15．（3分）已知x，y 满足约束条件，则z=5x+3y的最大值为．16．（3分）一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，则海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率为．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinα=（0＜α＜），求的值．18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M 和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．19．（10分）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20．（10分）“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，（1）通过计算可得尖头几碗？（2）若设每层灯碗数构成一个数列{a n}（n∈n*），求数列{n•a n}前n项和T n．21．（12分）已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．2016-2017学年辽宁省本溪一中高二（下）学业水平测试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共36分）1．（3分）sin=（）A．﹣B．﹣ C．D．【解答】解：sin=sin（π﹣）=sin=．故选：D．2．（3分）下列关系正确的是（）A．{1}∈{1，2，3} B．{1}⊊{1，2，3}C．{1}⊋{1，2，3}D．{1}={1，2，3}【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、{1}是{1，2，3}的子集，有{1}⊆{1，2，3}，A错误；对于B、{1}是{1，2，3}的真子集，有{1}⊊{1，2，3}，B正确；对于C、{1}是{1，2，3}的真子集，有{1}⊇{1，2，3}，C错误，对于D、集合{1}与{1，2，3}的真子集不相等，D错误；故选：B．3．（3分）若直线y=2x﹣1与直线y=kx+1平行，则k的值是（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵直线y=2x﹣1与直线y=kx+1平行，∴k=2；故选：D4．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为（）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图是圆锥，底面圆的半径是1，高为3，体积为=π，故选：A．5．（3分）若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：根据题意，若a，b∈R，且ab＞0，则＞0且＞0，+≥2=2，即+的最小值是2；故选：C．6．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（）A．2 B．1 C．D．﹣1【解答】解：如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴+==2，∴λ=2．故选：A．7．（3分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=﹣x B．y=cosx C．y=D．y=﹣x2【解答】解：对于A，是奇函数，不满足；对于B，是偶函数，在（0，+∞）上，不单调递减，不满足；对于C，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，不满足；对于D，是偶函数，在（0，+∞）上单调递减，满足；故选D．8．（3分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示）．则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46 45 56 B．46 45 53 C．47 45 56 D．45 47 53【解答】解：由样本的茎叶图得到：样本中的30个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是45，47，∴该样本的中位数为：；出现次数最多的数据是45，∴该样本的众数是45；该数据中最小值为12，最大值为68，∴该样本的极差为：68﹣12=56．故选：A．9．（3分）某程序框图如图所示，当输入x的值是1时，输出y的值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：当输入x=1，执行y=x2﹣x，即y=1﹣1=0，故选：A10．（3分）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+1的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π【解答】解：由于函数f（x）=cos2x﹣sin2x+1=cos2x+1，故函数的最小正轴为=π，故选：C．11．（3分）函数f（x）=的定义域为（）A．[﹣2，2]B．（﹣1，2]C．[﹣2，0）∪（0，2]D．（﹣1，0）∪（0，2]【解答】解：要使函数有意义，x应满足，解得﹣1＜x＜0或0＜x≤2，故函数的定义域为：（﹣1，0）∪（0，2]；故选：D12．（3分）函数f（x）=x2﹣2x+a在区间（1，3）内有一个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）【解答】解：∵令f（x）=x2﹣2x+a，它的对称轴为x=1，∴函数f（x）在区间（1，3）单调递增，∵方程x2﹣2x+a=0在区间（1，3）内有一个零点，∴函数f（x）在区间（1，3）内与x轴有一个交点，根据零点存在性定理得出：，即解得：﹣3＜a＜1，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13．（3分）已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=3，b=2，c=4，则cosC=﹣．【解答】解：∵a=3，b=2，c=4，∴cosC===﹣．故答案为：﹣．14．（3分）已知向量=（2，5），向量=（1，y），，则实数y的值是．【解答】解：根据题意，向量=（2，5），向量=（1，y），若，则有2y=5，即y=；故答案为：．15．（3分）已知x，y满足约束条件，则z=5x+3y的最大值为35．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=5x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，则由图象可知当直线y=﹣经过点B时直线y=﹣的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（4，5），此时M=z=5×4+3×5=35，故答案为：3516．（3分）一海豚在水池中自由游弋，水池为长30米，宽20米的长方形，则海豚嘴尖离岸边不超过2米的概率为．【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为面积为26×16阴影部分的面积为20×30﹣26×16∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1﹣=故答案．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知sinα=（0＜α＜），求的值．【解答】解：由sinα=∵0＜α＜，∴cosα=，那么：=cosαcos+sinαsin=（）=18．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AC⊥CB，点M 和N分别是B1C1和BC的中点．（1）求证：MB∥平面AC1N；（2）求证：AC⊥MB．【解答】证明：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M=BN．所以MC1NB为平行四边形．所以C1N∥MB．因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N；（2）因为CC1⊥底面ABC，所以AC⊥CC1．因为AC⊥BC，BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1．因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB．19．（10分）某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…（2分）第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…（4分）第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…（6分）（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（9分）（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…（11分）其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a 1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…（13分）∴P（A）=．…（14分）答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…（15分）20．（10分）“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，（1）通过计算可得尖头几碗？（2）若设每层灯碗数构成一个数列{a n}（n∈n*），求数列{n•a n}前n项和T n．【解答】解：（1）每层的灯数构成等比数列{a n}，公比为2．S7=381．∴381=，解得a1=3．（2）由（1）可得：a n=3×2n﹣1．na n=3n•2n﹣1．∴数列{n•a n}前n项和T n=3[1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1]，2T n=3[2+2×22+…+（n﹣1）×2n﹣1+n•2n]，∴﹣T n=3[1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n]=3，∴T n=3（n﹣1）•3•2n+3．21．（12分）已知直线x﹣y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2．（1）求圆C的方程；（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．【解答】解：（1）圆心C到直线l的距离为=，∵截得的弦长为2，∴半径为2，∴圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4；（2）设动点M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）•x2+（k2﹣1）•y2+（6﹣4k2）x+（8﹣6k2）y+13k2﹣21=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，∴k=1，直线的方程为x+y﹣4=0．。

第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1．设a ，b ∈R 。

“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的 （ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2．复数ii -1)1(2+的共轭复数等于 （ ） A ．i +1 B ．i --1 C ．i -1 D ．i +-13．曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4. 双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于 ( ) A. 3 B ．3 C ．4 D ．25．函数32312)(x x x f -=在区间[]6,0上的最大值是 （ ） A ．323B ．163C ．12D ．9 6.若斜线段AB 是它在平面α内的射影长的2倍，则AB 与α所成的角为 ( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°7．三次函数x ax y +=3在()+∞∞-∈,x 内是增函数，则 （ ） A ． 0>aB ．0<aC ．0≥aD ．0≤a 8.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）两点，如果x 1+x 2=6，那么|AB|= （ ）9．在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为 ( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10.如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数/()y f x =的图象可能是( )11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C ，有如下四个结论：(1)BD AC ⊥ (2)ACD ∆是等边三角形 (3) AB 与平面BCD 所成角度为060(4) CD AB 与所成角度为060,其中真命题的编号是 ( )A.(1)(2)B.(1)(3)C.(1)(2)(4)D.(1)(3)(4)12.设)(x f 的导函数为)(x f '，且)()(x f x f >'恒成立，则 （ ）A ．)3(ln 2)2(ln 3f f >B ．)3(ln 2)2(ln 3f f =C ．)3(ln 2)2(ln 3f f <D ．)3(ln 2)2(ln 3f f 与的大小不确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 命题p:22,x R x x >∈∀,则p 的否定为 ______)(.14211=+⎰-dx x x 15.若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹方程为 16.1F 、2F 为椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为 ； ．三.解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中,角A ． B ．C 所对的边分别是a ,b ,c ,且.21222ac b c a =-+ (1)求B C A 2cos 2sin 2++的值; (2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n 都有324n n a S =+成立． (1)记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；(2)设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，∠PCD ＝90°，PA ＝AB ＝AC .(1)求证：AC ⊥CD ；(2)点E 在棱PC 上，满足∠DAE ＝60°，求二面角B －AE －D 的余弦值．20．已知函数()ln a f x x x=-，其中R a ∈． (1)当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当的极值，求函数)(1-x f a =.21.已知12,F F 分别是双曲线2222x y a b-=l （a>0，b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若 01290F PF ∠=,且21PF F ∆356。

2017年辽宁省本溪市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣的相反数是（）A．B．C．D．2．下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．2x3•x2=2x6C．（3x3）2=9x6D．x6÷x3=x23．下面几个几何体，主视图是圆的是（）A．B．C．D．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°6．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意一个一元二次方程都有实数根D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°7．估计﹣的值在（）A．3到4之间B．﹣5到﹣4之间C．﹣3到﹣2之间D．﹣4到﹣3之间8．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：成绩（分）60 70 80 90 100人数 4 8 12 11 5则该班学生成绩的众数和中位数分别是（）A．70分，80分B．80分，80分C．90分，80分D．80分，90分9．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y=ax+b的图象可能是（）A．B． C．D．10．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线y=过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD、AE为边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为4，则k值为（）A．2 B．4 C．8 D．12二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．我国最新研制的巨型计算机“曙光3000超级服务器”，它的运算峰值可以达到每秒403200000000次，403200000000用科学记数法来表示为．12．分解因式：12x2﹣3y2= ．13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为．14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是．15．在代数式x2____2x____1的空格“____”中，任意填上“+”或“﹣”，可组成若干个不同的代数式，其中能够构成完全平方式的概率为．16．某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x 元/立方米，则所列方程为．17．如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE 翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为．18．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，点C在直线y=2x上：CB的延长线交直线y=x于点A1，作等腰Rt△A1B1C1，是∠A1B1C1=90°，B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，点C1在直线y=2x上…按此规律，则等腰Rt△A n B n C n 的腰长为．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．先化简，再求值：[﹣]÷，其中x=tan45°﹣6sin30°．20．某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）这四个班共植树棵；（2）补全两幅统计图；（3）求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若四个班级所种植的树成活了190棵，全校共植树2000棵，请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．如图1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是对角线，分别延长AD至E，延长CD至F，使得DE=AD，DF=CD．（1）求证：四边形ACEF为菱形．（2）如图2，过E作EG⊥AC的延长线于G，若AG=8，cos∠ECG=，则AD= （直接填空）22．如图，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB，为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角∠QCA为45°，底部点B的俯角∠QCB为30°，小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角∠PDA为60°，若AD为8m，则雕塑AB的高度为多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．五、解答题（满分12分）23．如图，△ABE是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AE的延长线交于点C，D是BC的中点，连接DE，连接CO，线段CO的延长线交⊙O于F，FG⊥AB于G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=4，BE=2，求AG的长．六、解答题（满分12分）24．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．七、解答题（满分12分）25．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F为AB边上的中点，延长CB至D，使得BD=BC，连接AD交CF的延长线于E．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：△CED为等腰三角形（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（3）如图3，当= 是（直接填空），△CED为等腰直角三角形．八、解答题（满分12分）26．如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，分别作直线AE、DE．（1）求此二次函数的关系式；（2）在图1中，直线DE上有一点Q，使得△QCO≌△QBO，求点Q的坐标；（3）如图2，直线DE与x轴交于点F，点M为线段AF上一个动点，有A向F运动，速度为每秒2个单位长度，运动到F处停止，点N由F处出发，沿射线FE方向运动，速度为每秒个单位长度，M、N两点同时出发，运动时间为t秒，当M停止时点N同时停止运动坐标平面内有一个动点P，t为何值时，以P、M、N、F 为顶点的四边形是特殊的平行四边形．请直接写出t值．2017年辽宁省本溪市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．﹣的相反数是（）A．B．C．D．【考点】14：相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：的相反数是，故选：D．2．下列运算正确的是（）A．x3+x2=x5B．2x3•x2=2x6C．（3x3）2=9x6D．x6÷x3=x2【考点】4I：整式的混合运算．【分析】结合整式混合运算的运算法则进行求解即可．【解答】解：A、x3+x2≠x5，本选项错误；B、2x3•x2=2x5≠2x6，本选项错误；C、（3x3）2=9x6，本选项正确；D、x6÷x3=x3≠x2，本选项错误．故选C．3．下面几个几何体，主视图是圆的是（）A．B．C．D．【考点】U1：简单几何体的三视图．【分析】分别判断A，B，C，D的主视图，即可解答．【解答】解：A、主视图为正方形，故错误；B、主视图为圆，正确；C、主视图为三角形，故错误；D、主视图为长方形，故错误；故选：B．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C．D．【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、既是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选C．5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考点】JA：平行线的性质．【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1=∠3，∵∠1=70°，∴∠3=70°，∵∠3=∠2+∠A，∠2=30°，∴∠A=40°，故选C．6．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意一个一元二次方程都有实数根D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°【考点】X1：随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【解答】解：打开电视机正在播放广告是随机事件，A不正确；投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，B不正确；任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，C不正确；在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，D正确；故选：D．7．估计﹣的值在（）A．3到4之间B．﹣5到﹣4之间C．﹣3到﹣2之间D．﹣4到﹣3之间【考点】2B：估算无理数的大小；22：算术平方根．【分析】根据不等式的性质估算出﹣的取值范围即可．【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜＜4，∴﹣4＜﹣＜﹣3．故选D．8．近年来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点，为进一步普及环保和健康知识，我市某校举行了“建设宜居成都，关注环境保护”的知识竞赛，某班学生的成绩统计如下：成绩（分）60 70 80 90 100人数 4 8 12 11 5则该班学生成绩的众数和中位数分别是（）A．70分，80分B．80分，80分C．90分，80分D．80分，90分【考点】W5：众数；W4：中位数．【分析】先求出总人数，然后根据众数和中位数的概念求解．【解答】解：总人数为：4+8+12+11+5=40（人），∵成绩为80分的人数为12人，最多，∴众数为80，中位数为第20和21人的成绩的平均值，则中位数为：80．故选：B．9．若实数a，b满足ab＜0，且a＜b，则函数y=ax+b的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．【分析】利用ab＜0，且a＜b得到a＜0，b＞0，然后根据一次函数图象与系数的关系进行判断．【解答】解：∵ab＜0，且a＜b，∴a＜0，b＞0，∴函数y=ax+b的图象经过第二、四象限，且与y轴的交点在x轴上方．故选：A．10．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的BC边落在y轴上，其它部分均在第一象限，双曲线y=过点A，延长对角线CA交x轴于点E，以AD、AE为边作平行四边形AEFD，若平行四边形AEFD的面积为4，则k值为（）A．2 B．4 C．8 D．12【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；L5：平行四边形的性质．【分析】延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，根据题意得到△DHF≌△AGE≌△AEN，于是得到结论．【解答】解：延长CD，EF交于H，延长DA交x轴于G，延长AB交EF于N，则△DHF≌△AGE≌△AEN，∴S四边形ABOE=S四边形ADHE，∴S四边形ABOG=S四边形AEFD=4，∵双曲线y=过点A，∴k=4．故选B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．我国最新研制的巨型计算机“曙光3000超级服务器”，它的运算峰值可以达到每秒403200000000次，403200000000用科学记数法来表示为 4.032×1011．【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：4032 0000 0000=4.032×1011，故答案为：4.032×1011．12．分解因式：12x2﹣3y2= 3（2x+y）（2x﹣y）．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力，本题属于基础题．当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应提公因式，再用公式．【解答】解：12x2﹣3y2=3（2x﹣y）（2x+y）．13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠AOB=100°，则∠ACB的度数为130°．【考点】M5：圆周角定理．【分析】首先在优弧AB上取点D，连接AD，BD，然后由圆周角定理，求得∠D的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠ACB的度数．【解答】解：在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵∠AOB=100°，∴∠D=∠AOB=50°，∴∠ACB=180°﹣∠D=130°．故答案为130°14．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是m≤3且m≠2 ．【考点】AA：根的判别式．【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴△=22﹣4×（m﹣2）×1≥0，且m﹣2≠0，解得：m≤3且m≠2，故答案为：m≤3且m≠2．15．在代数式x2____2x____1的空格“____”中，任意填上“+”或“﹣”，可组成若干个不同的代数式，其中能够构成完全平方式的概率为．【考点】X6：列表法与树状图法；4E：完全平方式．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够构成完全平方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，其中能够构成完全平方式的有2种情况，∴能够构成完全平方式的概率为： =．故答案为：．16．某市今年起调整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12月份的水费是26元，而今年5月份的水费是50元．已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米，设去年居民用水价格为x 元/立方米，则所列方程为．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出答案．【解答】解：设去年居民用水价格为x元/立方米，根据题意得：=8，故答案为：．17．如图，已知△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为或．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E= x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，∴AC=5，∵DE∥BC，∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E=x，EC=5﹣x，A′B=2x﹣4，在Rt△A′BC中，A′C=，∵△A′EC是直角三角形，∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB=，AD=；②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2=（x）2，解得x1=4（不合题意舍去），x2=．故AD长为或．故答案为：或．18．如图，在平面直角坐标系第一象限内，直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，点C在直线y=2x上：CB的延长线交直线y=x于点A1，作等腰Rt△A1B1C1，是∠A1B1C1=90°，B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，点C1在直线y=2x上…按此规律，则等腰Rt△A n B n C n的腰长为．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．【分析】设设AB=a，利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据B1C1∥x轴，A1B1∥y轴，利用y=x求出A点的坐标，A1B1=b，则利用y=2x求出点C1（﹣b， +b），从而得到A1B1的长度，以此类推，求出A2B2、A3B3，从而得出规律即可得解．【解答】解：设AB=a，∵直线y=x与直线y=2x的内部作等腰Rt△ABC，是∠ABC=90°，边BC∥x轴，AB∥y轴，点A（1，1）在直线y=x上，∴C（，1﹣a，1+a），∵点C在直线y=2x上，∴1+a=2（1﹣a），解得a=，∴等腰Rt△ABC的腰长为，∴C（，），∴A1的坐标为（，），设A1B1=b，则C1（﹣b， +b），∵点C1在直线y=2x上，∴+b=2（﹣b）解得b=，∴等腰Rt△A1B1C1的腰长为∴C1（，）∴A2（，），设A2B2=c，则C2（﹣c， +c），∵点C2在直线y=2x上，∴+c=2（﹣c），解得c=，∴等腰Rt△A2B2C2的腰长为，以此类推，A3B3=，即等腰Rt△A3B3C3的腰长为，A4B4=，即等腰Rt△A4B4C4的腰长为，…∴A n B n=，等腰Rt△A n B n C n的腰长为，故答案为．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．先化简，再求值：[﹣]÷，其中x=tan45°﹣6sin30°．【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式括号中第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=[﹣]•x=•x=，当x=tan45°﹣6sin30°=1﹣3=﹣2时，原式=．20．某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动，为了解全校植树情况，对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（1）这四个班共植树200 棵；（2）补全两幅统计图；（3）求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数；（4）若四个班级所种植的树成活了190棵，全校共植树2000棵，请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵．【考点】VC：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图．【分析】（1）根据乙班的植树初除以乙班所占的百分比，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得丙班的指数，根据丙班的指数除以总植树的棵数，丁班的指数除以总植树的棵数，可得答案；（3）根据样本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）这四个班共植树40÷20%=200（棵），（2）丙班植树200﹣60﹣40﹣70=30棵，丙班所占的百分比=15%，丁班所占的百分比70÷200=35%如图，（4）2000×=1900棵，答：全校种植的树中成活的树有1900棵．四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分）21．如图1，已知：矩形ABCD中，AC、BD是对角线，分别延长AD至E，延长CD至F，使得DE=AD，DF=CD．（1）求证：四边形ACEF为菱形．（2）如图2，过E作EG⊥AC的延长线于G，若AG=8，cos∠ECG=，则AD= 2（直接填空）【考点】LB：矩形的性质；LA：菱形的判定与性质；T7：解直角三角形．【分析】（1）先证明四边形ACEF是平行四边形，再由矩形的性质证出AE⊥CF，即可得出四边形ACEF是菱形；（2）由菱形的性质得出AC=CE，AD=ED，与三角函数得出CG=CE=AC，得出CG=3，CE=AC=5，由勾股定理求出EG==4，在Rt△AEG中，由勾股定理求出AE==4，即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵DE=AD，DF=CD．∴四边形ACEF是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴AE⊥CF，∴四边形ACEF是菱形；（2）解：∵四边形ACEF是菱形，∴AC=CE，AD=ED，∵EG⊥AC，cos∠ECG==，∴CG=CE=AC，∵AG=AC+CG=8，∴CG=3，CE=AC=5，∴EG==4，在Rt△AEG中，AE===4，∴AD=AE=2；故答案为：2．22．如图，某中学在教学楼前新建了一座雕塑AB，为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角尺测得雕塑顶端点A的仰角∠QCA为45°，底部点B的俯角∠QCB为30°，小华在五楼找到一点D，利用三角尺测得点A的俯角∠PDA为60°，若AD为8m，则雕塑AB的高度为多少？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）．【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【分析】过A作AR⊥DM，垂足是R，在Rt△ARD中利用三角函数求得AR的长，延长CQ交AB于点N，在Rt △ANC中利用三角函数求得AN的长，在Rt△CNB中求得NB的长，根据AB=BN+AN求解．【解答】解：过A作AR⊥DM，垂足是R．∵∠PDA=60°，∴∠ADR=30°，在Rt△ARD中，AR=ADsin30°=8×=4（m），延长CQ交AB于点N．在Rt△ANC中，∠ANC=90°，∠ACN=45°，∴AN=NC=AR=4（m），在Rt△CNB中，∠CNB=90°，∠NCB=30°，∴NB=CN•tan30°=4×=（m）．∴AB=BN+AN=+4≈6.3（m）．答：雕塑AB的高约是6.3m．五、解答题（满分12分）23．如图，△ABE是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AE的延长线交于点C，D是BC的中点，连接DE，连接CO，线段CO的延长线交⊙O于F，FG⊥AB于G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=4，BE=2，求AG的长．【考点】ME：切线的判定与性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】（1）连接OE，OD，根据全等三角形的性质得到∠OED=∠OBD，由BC是⊙O的切线，得到∠OBD=90°，于是得到结论；（2）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据勾股定理得到AB==2，求得OF=OB=根据相似三角形的性质得到BC==，根据勾股定理到OC===，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OE，OD，在△OED与△OBD中，，∴△OED≌△OBD，∴∠OED=∠OBD，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBD=90°，∴∠OED=90°，∴OE⊥ED，∴DE是⊙O的切线；（2）解：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴AB==2，∴OF=OB=，∵△AEB∽△BEC，∴，∴BC==，∴OC===，∵∠AOF=∠BOC，∵FG⊥AB，∴∠FGO=90°，∴∠FGO=∠OBC=90°，∴△OFG∽△OBC，∴，∴OG=OB=，∴AG=AO﹣OG=﹣．六、解答题（满分12分）24．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（90﹣30）=﹣120x+12000；（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．七、解答题（满分12分）25．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，F为AB边上的中点，延长CB至D，使得BD=BC，连接AD交CF的延长线于E．（1）如图1，若∠BAC=60°，求证：△CED为等腰三角形（2）如图2，若∠BAC≠60°，（1）中结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．（3）如图3，当= 是（直接填空），△CED为等腰直角三角形．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）如图1，先证明△ABC为等边三角形得到∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，再证明∠D=∠DCE=30°，然后根据等腰三角形的判定定理得到△CED为等腰三角形；（2）延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，先证明△AMF≌△BCF得到AM=BC，∠M=∠BCF，再证明△AMC ≌△BDA得到∠M=∠D，所以∠D=∠DCE，于是可判断△CED为等腰三角形；（3）作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，则EB⊥CD，设BH=x，则CH=EH=x，BC=x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=HE=x，再利用勾股定理计算出BF=x，所以AB=2BF=x，然后计算出的值．【解答】（1）证明：如图1，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，而BC=BD，∴AB=BD，∴∠D=∠BAD，而∠ABC=∠D+∠BAD，∴∠D=30°，∵F点AB的中点，∴CF平分∠ACB，∴∠ACE=∠DCE=30°，∴∠D=∠DCE，∴△CED为等腰三角形；（2）解：成立．延长CF到M使FM=CF，连接AM，如图2，在△AMF和△BCF中，∴△AMF≌△BCF，∴AM=BC，∠M=∠BCF，∵BC=BD，∴AM=BD，∵∠M=∠BCF，∴AM∥CD，∴∠MAC+∠ACB=180°，而∠DBA+∠ABC=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠MAC=∠DBA，在△AMC和△BDA中，∴△AMC≌△BDA，∴∠M=∠D，∴∠D=∠DCE，∴△CED为等腰三角形；（3）解：作BH⊥CE于H，连接BE，如图3，由（2）得△CED为等腰三角形，当∠BCE=45°时，△CED为等腰直角三角形，∴EB⊥CD，设BH=x，则CH=EH=x，BC=x，易证得△AEF≌△BHF，则EF=HF=HE=x，在△BFH中，BF==x，∴AB=2BF=x，∴==．故答案为．八、解答题（满分12分）26．如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点，D为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，分别作直线AE、DE．（1）求此二次函数的关系式；（2）在图1中，直线DE上有一点Q，使得△QCO≌△QBO，求点Q的坐标；（3）如图2，直线DE与x轴交于点F，点M为线段AF上一个动点，有A向F运动，速度为每秒2个单位长度，运动到F处停止，点N由F处出发，沿射线FE方向运动，速度为每秒个单位长度，M、N两点同时出发，运动时间为t秒，当M停止时点N同时停止运动坐标平面内有一个动点P，t为何值时，以P、M、N、F 为顶点的四边形是特殊的平行四边形．请直接写出t值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）直接利用交点式写出抛物线的解析式；（2）如图1，利用配方法得到D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，再确定C（0，5），则E（4，5），接着利用待定系数法求出直线DE的解析式为y=﹣2x+13，然后根据全等三角形的性质得到∠COQ=∠BOQ，所以点Q为第一象限角平分线上的点，最后解方程组得Q点的坐标；（3）如图2，对称轴交x轴于点H，先确定DH=9，FH=，DF=，AF=，AM=2t，FN=t，则FM=﹣2t，分类讨论：当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即t=﹣2t；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，利用菱形的性质得FQ=t，再通过得△FQH∽△FHD得到t： =（﹣2t）：；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，利用菱形的性质得FK=（﹣2t），再通过△FKN ∽△FHD得到（﹣2t）： =t：；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NM F=90°，通过△FMN∽△FHD得到（﹣2t）： =t：；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，通过△FNM∽△FHD得到（﹣2t）： =t：，然后分别解关于t的方程可确定满足条件的t的值．【解答】解：（1）抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣5），即y=﹣x2+4x+5；（2）如图1，y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则D（2，9），抛物线的对称轴为直线x=2，当x=0时，y=﹣x2+4x+5=5，则C（0，5），∵C、E关于抛物线的对称轴对称，∴E（4，5），设直线DE的解析式为y=mx+n，把D（2，9），E（4，5）代入得，解得，∴直线DE的解析式为y=﹣2x+13，∵△QCO≌△QBO，∴∠COQ=∠BOQ，∴点Q为第一象限角平分线上的点，即OQ的解析式为y=x，解方程组，解得，∴Q点的坐标为（，）；（4）如图2，对称轴交x轴于点H，DH=9，FH=，DF=，当y=0时，﹣2x+13=0，解得x=，则F（，0），∴AF=﹣（﹣1）=，AM=2t，FN=t，则FM=﹣2t，当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM、FN为菱形的两邻边，则FN=FM，即t=﹣2t，解得t=；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FN为菱形对角线，连接MP交FN于Q，则PM与NQ互相垂直平分，FQ=t，易得△FQH∽△FHD，∴FQ：FH=FM：FD，即t： =（﹣2t）：，解得t=；当以P、M、N、F为顶点的四边形是菱形，且FM为菱形对角线，NP与MF相交于K，如图3，则MF与NP互相垂直平分，FK=MF=（﹣2t），易得△FKN∽△FHD，∴FK：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t：，解得t=；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠NMF=90°，易得△FMN∽△FHD，∴FM：FH=FN：FD，即（﹣2t）： =t：，解得t=；当以P、M、N、F为顶点的四边形是矩形，且∠MNF=90°，易得△FNM∽△FHD，∴FM：FD=FN：FH，即（﹣2t）： =t：，解得t=，综上所述，t的值为或或或或．。

2016-2017学年辽宁省本溪一中高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（5&#215;12=60）1．已知集合M={y |y=2x ，x ＞0}，N={y |y=}，则M ∩N 等于（ ）A ．∅B ．{1}C ．{y |y ＞1}D ．{y |y ≥1}2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ） A ．7B ．15C ．25D ．353．在[0，2π]内，满足sinx ＞cosx 的x 的取值范围是（ ）A ．（，）B ．（，）C ．（，） D ．（，）4．已知四个条件，①b ＞0＞a ②0＞a ＞b ③a ＞0＞b ④a ＞b ＞0，能推出成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知m 、n 、l 是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ⊂α，n ⊂β，α⊥β，α∩β=l ，m ⊥l ，则m ⊥n ； ③若n ∥m ，m ⊂α，则n ∥α；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（ ） A ．②④B ．②③C ．③④D ．①③6．已知函数y=f （x ），将f （x ）图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得到的图象沿x 轴向左平移个单位，这样得到的曲线与y=3sinx 的图象相同，那么y=f （x ）的解析式为（ ）A ．f （x ）=3sin （﹣）B ．f （x ）=3sin （2x +） C ．f （x ）=3sin （+）D ．f （x ）=3sin （2x ﹣）7．执行如图所示的程序框图（[x ]表示不超过x 的最大整数），则输出S 的值为（）A．4 B．5 C．7 D．98．等差数列{a n}中S n是其前n项和，a1=﹣2010，﹣=2，则S2010的值为（）A．﹣2009 B．2009 C．﹣2010 D．20109．给出如下四个命题，其中正确的命题为（）A．若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题B．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”C．“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”D．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充分不必要条件10．关于f（x）=3sin（2x+）有以下命题，其中正确命题的个数（）①若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）；②f（x）图象与g（x）=3cos（2x﹣）图象相同；③f（x）在区间[﹣，﹣]上是减函数；④f（x）图象关于点（﹣，0）对称．A．0 B．1 C．2 D．311．在四边形ABCD中，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．B． C．2 D．112．给定a n=log n（n+2），n∈N*，定义使a1•a2•a3•a4…a k为整数的k（k∈N*）+1叫做劣数，则区间（1，62）内的所有劣数的和是（）A．50 B．51 C．52 D．55二、填空题：（4&#215;5=20）13．已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2+|=．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是．15．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=．16．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知=，则+=．三、解答题（共70分）17．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a1+3an，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈[﹣，]．（Ⅰ）求及（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．19．已知命题p：关于x的方程4x2﹣2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE 于点F，且点F在CE上．（1）求证：DE⊥BE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN ∥平面DAE．21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．22．已知正项数列{a n}的前n和为S n，且是与（a n+1）2的等比中项．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．2016-2017学年辽宁省本溪一中高二（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（5&#215;12=60）1．已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于（）A．∅B．{1}C．{y|y＞1}D．{y|y≥1}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，N，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|y==∈[0，1]}={y|0≤y≤1}，则M∩N=∅，故选：A．2．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A．7 B．15 C．25 D．35【考点】分层抽样方法．【分析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．【解答】解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7：5：3，所以样本容量为．故选B3．在[0，2π]内，满足sinx＞cosx的x的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】三角函数线．【分析】由题意可得sin（x﹣）＞0，可得2kπ＜x﹣＜2kπ+π，k∈z．再根据x∈（0，2π）内，可得x的范围．【解答】解：在[0，2π]内，∵sinx＞cosx，∴sin（x﹣）＞0，∴2kπ＜x﹣＜2kπ+π，k∈z．再根据x∈（0，2π）内，可得x∈（，），故选：B．4．已知四个条件，①b＞0＞a ②0＞a＞b ③a＞0＞b ④a＞b＞0，能推出成立的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】不等关系与不等式．【分析】利用不等式的基本性质即可推出．【解答】解：①∵b＞0＞a，∴，因此①能推出成立；②∵0＞a＞b，∴ab＞0，∴，∴，因此②能推出成立；③∵a＞0＞b，∴，因此③不能推出；④∵a＞b＞0，∴，∴，因此④能推出成立．综上可知：只有①②④能推出成立．故选C．5．已知m、n、l是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出以下命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥n；③若n∥m，m⊂α，则n∥α；④若α∥γ，β∥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②④B．②③C．③④D．①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】逐个判断：①由条件可得m∥n，或m，n异面；②由线面垂直的判定可得，m⊥β，再由n⊂β，可得m⊥n；③由条件可得n∥α，或n⊂α；④由平面平行的传递性可得α∥β，综合可得答案．【解答】解：①由m⊂α，n∥α，可得m∥n，或m，n异面，故错误；②若m⊂α，n⊂β，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则可得m⊥β，再由n⊂β，可得m⊥n，故正确；③若n∥m，m⊂α，则n∥α，也可能n⊂α，故错误；④若α∥γ，β∥γ，由平面平行的传递性可得α∥β，故正确．故正确的命题为②④故选A6．已知函数y=f（x），将f（x）图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得到的图象沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与y=3sinx的图象相同，那么y=f（x）的解析式为（）A．f（x）=3sin（﹣）B．f（x）=3sin（2x+）C．f（x）=3sin（+）D．f（x）=3sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得，把y=3sinx的图象沿x轴向右平移个单位可得函数y=3sin（x﹣）的图象，再把所得图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，可得函数f（x）=3sin（2x﹣）的图象，故选：D．7．执行如图所示的程序框图（[x]表示不超过x的最大整数），则输出S的值为（）A．4 B．5 C．7 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=5时，退出循环，输出S的值为7．【解答】解：每次循环的结果分别为：n=0，S=0；n=1，S=1；n=2，S=1+1=2；n=3，S=2+1=3；n=4，S=3+2=5；n=5，S=5+2=7，这时n＞4，输出S=7．故选：C．8．等差数列{a n}中S n是其前n项和，a1=﹣2010，﹣=2，则S2010的值为（）A．﹣2009 B．2009 C．﹣2010 D．2010【考点】等差数列的前n项和．【分析】S n=，可得=+为等差数列，公差为．即可得出．【解答】解：∵S n=，∴=+为等差数列，公差为．∴﹣=2=2×，解得=1．∴=+2009×=﹣2010+2009=﹣1．S2010=﹣2010，故选：C．9．给出如下四个命题，其中正确的命题为（）A．若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题B．命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”C．“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1”D．在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A，“p且q”为假命题，则p、q中至少有一个为假命题；B，原命题的否命题条件结论同时否定；C，“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；D，在△ABC中，“A＞B”⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒“sinA＞sinB”，逆推也可以，故是充要条件．【解答】解：对于A，“p且q”为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故错；对于B，原命题的否命题条件结论同时否定，故正确；对于C，“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1，故错；对于D，在△ABC中，“A＞B”⇒a＞b⇒2RsinA＞2RsinB⇒“sinA＞sinB”，逆推也可以，故是充要条件，故错．故选：B10．关于f（x）=3sin（2x+）有以下命题，其中正确命题的个数（）①若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=kπ（k∈Z）；②f（x）图象与g（x）=3cos（2x﹣）图象相同；③f（x）在区间[﹣，﹣]上是减函数；④f（x）图象关于点（﹣，0）对称．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】考查f（x）=3sin（2x+）的零点、周期性、对称性、单调性，可得结论．【解答】解：关于f（x）=3sin（2x+），由于它的周期为π，相邻的两个零点相差半个周期，故若f（x1）=f（x2）=0，则x1﹣x2=k•（k∈Z），故①不正确．由于g（x）=3cos（2x﹣）=3sin（2x﹣+）=f（x）=3sin（2x+），故②正确．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数f（x）的减区间为[kπ+≤x≤kπ+]，k∈z，故f（x）在区间[﹣，﹣]上是减函数，故③正确．把x=﹣代入f（x）的解析式求得f（x）=0，可得f（x）图象关于点（﹣，0）对称，故④正确．故选：D．11．在四边形ABCD中，==（1，1），+=，则四边形ABCD的面积为（）A．B． C．2 D．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据已知条件可判定四边形ABCD是菱形，并且边长为，对等式+=，两边平方可得cos∠ABC，从而求出sin∠ABC，根据四边形ABCD的面积S=BA•BC•sin∠ABC，即可求出答案．【解答】解：四边形ABCD中，==（1，1），∴四边形ABCD是平行四边形；∵、、都是单位向量， +=，∴四边形ABCD是菱形，且边长为，∴=，整理得：=，cos∠ABC=，∴sin∠ABC=，故四边形ABCD的面积为S=••=，故选：A．12．给定a n=log n（n+2），n∈N*，定义使a1•a2•a3•a4…a k为整数的k（k∈N*）+1叫做劣数，则区间（1，62）内的所有劣数的和是（）A．50 B．51 C．52 D．55【考点】对数的运算性质．【分析】a n=log n+1（n+2）=，n∈N*，假设a1•a2•a3•a4…a k=…==n∈N*．即可得出．【解答】解：a n=log n+1（n+2）=，n∈N*，假设a1•a2•a3•a4…a k=…==n，则k+2=2n．∴则区间（1，62）内的所有劣数为：2，6，14，30，其和S=2+6+14+30=52，故选：C．二、填空题：（4&#215;5=20）13．已知||=1，||=2，＜，＞=60°，则|2+|=2．【考点】平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】先计算出向量的数量积•的值，再根据向量模的定义，计算出（2+）2=12，从而得出2+的长度．【解答】解：∵||=1，||=2，＜，＞=60°，∴•=||×||cos60°=1由此可得（2+）2=42+4•+2=4×12+4×1+22=12∴|2+|==2故答案为：214．设变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值是5．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，z取得最大值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中A（2，3），设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值2，3）=5．∴z最大值=F（故答案为：515．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长，即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为：816．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n，T n，已知=，则+=．【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列的性质，知+===由此能够求出结果．【解答】解：∵数列{a n}和{b n}都是等差数列，∴+=====．故答案是：．三、解答题（共70分）17．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a1+3an，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）由S7=7a4=56，得a4=8，易求d=a5﹣a4=2，a1=a5﹣4d=2，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）由（1）知a n=2n，于是b n=2+32n=2+9n，分组求和即可【解答】解：（1）由S7=7a4=56，得a4=8，所以公差d=a5﹣a4=10﹣8=2，a1=a5﹣4d=2，∴a n=2n，n∈N*，（2）b n=a1+3an=2+32n=2+9n，∴T n=2n+=2n+（9n﹣1）18．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），且x∈[﹣，]．（Ⅰ）求及（Ⅱ）若，求f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；向量的模；平面向量数量积的运算．【分析】（I）根据题意结合向量数量级的坐标表示与模的计算公式可得答案．（II）由由（I）可得：=，设t=cosx，利用换元法可得y=，t，利用二次函数的性质即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：因为，所以，所以．（Ⅱ）由（I）可得：=cos2x﹣2cosx=2cos2x﹣1﹣2cosx=∵∴，设t=cosx，则t，所以y=，∴．19．已知命题p：关于x的方程4x2﹣2ax+2a+5=0的解集至多有两个子集，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由于¬p是¬q的必要不充分条件，可得p是q充分不必要条件，由已知△≤0，解得﹣2≤a≤10，可得[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集．即可得出．【解答】解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以p是q充分不必要条件…由已知△=4a2﹣16（2a+5）≤0，∴﹣2≤a≤10…..所以[﹣2，10]是[1﹣m，1+m]的真子集…因此有所以实数m的取值范围是[9，+∞）…．．20．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE 于点F，且点F在CE上．（1）求证：DE⊥BE；（2）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（3）设点M在线段AB上，且AM=MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN ∥平面DAE．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据BC的平行线DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，从而AE⊥BC，再结合AE⊥BF，利用线面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，从而AE⊥BE，再用一次线面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE；（2）作EH⊥AB于H，根据面面垂直的性质可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中结合已知条件的数据，算出，最后用锥体体积公式可求出四棱锥E ﹣ABCD的体积；（3）设P是BE的中点，连接MP，FP．利用三角形中位线定理结合线面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，从而平面MPF∥面DAE，由此得到直线MF∥面DAE，可得点N就是点F．【解答】解：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA∴BC⊥平面ABE，∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC，又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF…∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC，又∵BE⊂平面BEC，∴AE⊥BE∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE，∵DE⊂面DAE，∴DE⊥BE…（2）作EH⊥AB于H，∵DA⊥平面ABE，DA⊂面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE，∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2，∴等腰Rt△AEB中，…因此，…（3）设P是BE的中点，连接MP，FP∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中点…∵△ECB中，FP是中位线，∴FP∥BC∥DA∵DA⊂平面DAE，FP⊈平面DAE∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE，∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE，因此，直线MF∥面DAE，可得点N就是点F所以CE的中点N满足MN∥平面DAE．…21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．【考点】余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°﹣B，化简得sin（60°+B）根据三角函数的性质，得出最大值．【解答】解：（Ⅰ）设则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC方程两边同乘以2R∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c整理得a2=b2+c2+bc∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA故cosA=﹣，A=120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=cosB+sinB=sin（60°+B）故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．22．已知正项数列{a n}的前n和为S n，且是与（a n+1）2的等比中项．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若，数列{b n}的前n项和为T n，求T n；（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列为等比数列？若存在，试求出λ；若不存在，说明理由．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差关系的确定；等比关系的确定；数列的求和．【分析】（1）由已知条件可得，利用可=2，从而可证．把已知条件转化为a n﹣a n﹣1（2）由（1）代入可得，用“乘公比错位相减”求数列的和．（3）假设存在常数λ，使得数列为等比数列⇒，结合等比的通项公式可得，从而可求λ．【解答】解：（1）∵，∴，∴a1=1（a n＞0））（a n﹣a n 当n≥2时，，∴（a n+a n﹣1﹣2）=0﹣1∵a n＞0，=2，∴a n﹣a n﹣1∴{a n}为等差数列．（4'）（2）由（1）知，{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n=2n﹣1∴，①，①②①﹣②得：∴（9'）（3）∵易知，当λ=﹣3时，数列为等比数列．（13'）2017年1月18日。

绝密★启用前2016-2017学年辽宁省本溪市第一中学高二学业水平模拟生物试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：52分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、一个色盲女性（X b X b ）和一个正常男性（X B Y ）结婚，子女患色盲的可能性是： A ．0B ．50%C ．75%D ．100%2、．将TMV 型病毒的RNA 与HRV 型病毒的蛋白质结合在一起，组成一个新品系，用这个病毒去感染烟草，则在烟草体内分离出来的病毒具有（ ） A ．TMV 型蛋白质和HRV 型的RNA B ．HRV 型蛋白质和TMV 型的RNA C ．TMV 型蛋白质和TMV 型的RNAD ．HRV 型蛋白质和HRV 型的RNA3、人类的猫叫综合征是由于第五条染色体的部分缺失引起的，该变异的类型是 A ．基因突变 B ．基因重组 C ．染色体数目变异D ．染色体结构变异4、在一对相对性状的遗传实验中，性状分离是指（ ） A ．纯种显性个体与纯种隐性个体杂交产生显性的后代B．杂种显性个体与纯种隐性个体杂交产生显性的后代C．杂种显性个体与纯种隐性个体杂交产生隐性的后代D．杂种显性个体自交产生显性和隐性的后代5、将盛有一定浓度蔗糖溶液的透析袋口扎紧后浸于蒸馏水中，下图表示透析袋中蔗糖溶液浓度与时间的关系，正确的是（）A．B．C．D．6、人的卷舌和不卷舌是由一对等位基因（R和r）控制的．某人不能卷舌，其父母都能卷舌，其父母的基因型是（）A．RR、RR B．RR、RrC．Rr、Rr D．Rr、rr7、如图表示水生植物丽藻对K+的吸收过程，该过程属于（）A．自由扩散B．协助扩散C．被动运输D．主动运输8、细菌被归为原核生物的原因是（）A．细胞体积小B．单细胞C．没有成形的细胞核D．没有DNA9、下列哪一现象能体现“植物的不同器官对生长素的敏感程度不同” （）A．无子番茄的形成B．顶端优势C．胚芽鞘向光弯曲生长D．生长素能促进扦插枝条生根10、饮酒过量的人表现为语无伦次、走路不稳、呼吸急促。

2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或02．设z=1﹣i（i是虚数单位），则的虚部为（）A．﹣i B．1﹣i C．﹣1 D．﹣1﹣i3．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．144．已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g （x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣5．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．6．对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|x＜1或x＞3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2} 7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则P一定为△ABC的（）A．AB边中线的三等分点（非重心）B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重点8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B． C．12 D．169．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）10．己知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．311．已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是（）A． B． C． D．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣1，则a的值为．14．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．16．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．19．已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E（ξ）；（Ⅱ）记“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．21．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1，，其中a为实数．（Ⅰ）求函数g（x）的极值；（Ⅱ）设a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2），恒成立，求实数a的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．2017年辽宁省本溪高中、大连育明高中、大连二十四中联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或﹣1或0【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】利用A∪B=A⇒B⊆A，写出A的子集，求出各个子集对应的m的值．【解答】解：∵A∪B=A∴B⊆A∴B=∅；B={﹣1}；B={1}当B=∅时，m=0当B={﹣1}时，m=﹣1当B={1}时，m=1故m的值是0；1；﹣1故选：D2．设z=1﹣i（i是虚数单位），则的虚部为（）A．﹣i B．1﹣i C．﹣1 D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把z=1﹣i代入后，利用共轭复数对分母实数化进行化简，整理出实部和虚部即可．【解答】解：∵z=1﹣i，∴=﹣2i+=﹣2i+=1﹣i，∴的虚部是﹣1，故选C．3．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8，12，则输出的a=（）A．4 B．2 C．0 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=8，b=12，不满足a＞b，则b变为12﹣8=4，由b＜a，则a变为8﹣4=4，由a=b=4，则输出的a=4．故选：A．4．已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g （x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性．【分析】由对称中心可得λ=﹣，代入g（x）由三角函数公式化简可得g（x）=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+解x可得对称轴，对照选项可得．【解答】解：∵f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），∴f（）=sin+λcos=+λ=0，解得λ=﹣，∴g（x）=﹣sinxcosx+sin2x=sin2x+=﹣sin（2x+），令2x+=kπ+可得x=+，k∈Z，∴函数的对称轴为x=+，k∈Z，结合四个选项可知，当k=﹣1时x=﹣符合题意，故选：D5．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n =2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．6．对于任意a∈[﹣1，1]，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0，则x的取值范围是（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|x＜1或x＞3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x＜1或x＞2}【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．【解答】解：原题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈[﹣1，1]上恒成立，只需⇒⇒x＜1或x＞3．故选B．7．已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足，则P一定为△ABC的（）A．AB边中线的三等分点（非重心）B．AB边的中点C．AB边中线的中点D．重点【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用向量加法的平行四边形法则以及共线的向量的加法法则，即可得出正确的结论．【解答】解：如图所示：设AB 的中点是E，∵O是三角形ABC的重心，∵=（+2），∵2=，∴=×（4+）=∴P在AB边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选：A8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的是（）A．8 B． C．12 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是在棱长为4的正方体中的三棱锥，画出图形，求出各个面积即可．【解答】解：根据题意，得；该几何体是如图所示的三棱锥A﹣BCD，且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，所以，在三棱锥A﹣BCD中，BD=4，AC=AB==，AD==6，S△ABC=×4×4=8．S△ADC==4，S△DBC=×4×4=8，在三角形ABC 中，作CE⊥E，连结DE，则CE==，DE==，S△ABD==12．故选：C．9．设m＞1，在约束条件下，目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3） D．（3，+∞）【考点】简单线性规划的应用．【分析】根据m＞1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的不等式组，解不等式组即可求出m 的取值范围．【解答】解：∵m＞1故直线y=mx与直线x+y=1交于点，目标函数Z=X+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在点，取得最大值其关系如下图所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故选：A．10．己知O为坐标原点，双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1，l2，右焦点为F，以OF为直径作圆交l1于异于原点O的点A，若点B在l2上，且=2，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线的方程和圆的方程，联立方程求出A，B的坐标，结合点B在渐近线y=﹣x上，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程l1，y=x，l2，y=﹣x，F（c，0），圆的方程为（x﹣）2+y2=，将y=x代入（x﹣）2+y2=，得（x﹣）2+（x）2=，即x2=cx，则x=0或x=，当x=时，y═•=，即A（，），设B（m，n），则n=﹣•m，则=（m﹣，n﹣），=（﹣c，），∵=2，∴（m﹣，n﹣）=2（﹣c，）则m﹣=2（﹣c），n﹣=2•，即m=﹣2c，n=，即=﹣•（﹣2c）=﹣+，即=，则c2=3a2，则=，故选：B．11．已知S=•（sin+sin+sin+…+sin），则与S的值最接近的是（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】把区间[0，]平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第k个的矩形的高为sin，则S表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义求得y=sinx与x=0、x=所围成的面积为1，可得S的值略大于1，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：把区间[0，]平均分成10000份，每一个矩形的宽为，第k高为sin，则S=•（sin+sin+sin+…+sin）表示这20000个小矩形的面积之和，且这10000个小矩形的面积之和略大于y=sinx与x=0、x=所围成的面积．再根据定积分的定义，y=sinx与x=0、x=所围成的面积为=﹣cosx=1，故S的值略大于1，结合所给的选项，故选：C．12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx 的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，1）=﹣1，且知f（e）＜f（），∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣1，则a的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由于抛物线y=ax2即x2=y的准线方程为y=﹣，可得﹣=﹣1，即可求得a．【解答】解：抛物线y=ax2即x2=y的准线方程为y=﹣，由题意可得﹣=﹣1，解得a=．故答案为．14．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD．四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为．【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意可知，四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．【解答】解：平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC 都是直角三角形，BC的中点就是球心，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=；故答案为：．15．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．【解答】解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），∴△ABC面积为S=bcsinA≤×3×=，则△ABC面积的最大值为：．故答案为：．16．已知函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=|xe x|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1）上为增函数，在（﹣1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（﹣∞，0）上，当x=﹣1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．【解答】解：f（x）=|xe x|=当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=﹣e x﹣xe x=﹣e x（x+1），由f′（x）=0，得x=﹣1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=﹣e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x|在（﹣∞，0）上有一个极大值为f（﹣1）=﹣（﹣1）e﹣1=，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，则只需g（）＜0，即，解得：t＜﹣．所以，使得函数f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C的对边，acosB+b=c．（1）求∠A的大小；（2）若等差数列{a n}中，a1=2cosA，a5=9，设数列{}的前n项和为S n，求证：S n＜．【考点】数列的求和；余弦定理．【分析】（1）过点C作AB边上的高交AB与D，通过acosB+b=c，可知∠A=60°；（2）通过（1）及a1=2cosA、a5=9可知公差d=2，进而可得通项a n=2n﹣1，分离分母得=（﹣），并项相加即可．【解答】（1）解：过点C作AB边上的高交AB与D，则△ACD、△BCD均为直角三角形，∵acosB+b=c．∴AD=AB﹣BD=c﹣acosB=b，∴∠A=60°；（2）证明：由（1）知a1=2cosA=2cos60°=1，设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=a1+（5﹣1）d=9，∴d=2，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴==（﹣），∴S n=（++…+﹣）=（1﹣）＜．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．（II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设（0＜λ＜1），则，平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取=，∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴=，解得，此时．19．已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．若该研究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及ξ的数学期望E（ξ）；（Ⅱ）记“不等式ξx2﹣ξx+1＞0的解集是实数集R”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，ξ的可能取值为4，2，0．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望．（2）ξ的可能取值为0，2，4．当ξ=0时，不等式为1＞0对x∈R恒成立，解集为R；当ξ=2时，不等式为2x2﹣2x+1＞0，解集为R；ξ=4时，不等式为4x2﹣4x+1＞0，解集为，不为R，由此能求出事件A发生的概率P（A）．【解答】解：（1）四次实验结束时，实验成功的次数可能为0，1，2，3，4，相应地，实验失败的次数可能为4，3，2，1，0，所以ξ的可能取值为4，2，0．，，．所以ξ的分别列为：ξ024P期望．…（2）ξ的可能取值为0，2，4．当ξ=0时，不等式为1＞0对x∈R恒成立，解集为R；当ξ=2时，不等式为2x2﹣2x+1＞0，解集为R；ξ=4时，不等式为4x2﹣4x+1＞0，解集为，不为R，所以．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求得圆Q的圆心，代入椭圆方程，运用两点的距离公式，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；（2）讨论两直线的斜率不存在和为0，求得三角形MAB的面积为4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标，求得MP的长，再由直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，化简整理，由换元法，结合函数的单调性，可得面积的范围．【解答】解：（1）圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心为（2，），代入椭圆方程可得+=1，由点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为，即有=，解得c=2，即a2﹣b2=4，解得a=2，b=2，即有椭圆的方程为+=1；（2）当直线l1：y=，代入圆的方程可得x=2±，可得M的坐标为（2，），又|AB|=4，可得△MAB的面积为×2×4=4；设直线y=kx+，代入圆Q的方程可得，（1+k2）x2﹣4x+2=0，可得中点M（，），|MP|==，设直线AB的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程，可得：（2+k2）x2﹣4kx﹣4k2=0，设（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，则|AB|=•=•，可得△MAB的面积为S=•••=4，设t=4+k2（5＞t＞4），可得==＜=1，可得S＜4，且S＞0，综上可得，△MAB的面积的取值范围是（0，4]．21．已知函数f（x）=x﹣alnx﹣1，，其中a为实数．（Ⅰ）求函数g（x）的极值；（Ⅱ）设a＜0，若对任意的x1、x2∈[3，4]（x1≠x2），恒成立，求实数a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）设，根据函数的单调性得到h（x）在[3，4]上为增函数，问题等价于f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1）设，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ），令g'（x）=0，得x=1，列表如下：x（﹣∞，1）1（1，+∞）g'（x）+0﹣g（x）↗极大值↘∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=1，无极小值；…（Ⅱ）当m=1时，a＜0时，f（x）=x﹣alnx﹣1，x∈（0，+∞），∵在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上为增函数，设，∵在[3，4]上恒成立，∴h（x）在[3，4]上为增函数，不妨设x2＞x1，则等价于：f（x2）﹣f（x1）＜h（x2）﹣h（x1），即f（x2）﹣h（x2）＜f（x1）﹣h（x1），…设，则u（x）在[3，4]上为减函数，∴在[3，4]上恒成立，∴恒成立，∴，x∈[3，4]，…设，∵，∴，∴v'（x）＞0，v（x）为减函数，∴v（x）在[3，4]上的最大值，∴，∴a的最小值为．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．已知曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，曲线C2的参数方程为（α为参数），将曲线C2上的所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C3．（1）写出曲线C1的参数方程和曲线C3的普通方程；（2）已知点P（0，2），曲线C1与曲线C3相交于A，B，求|PA|+|PB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ化直线方程为普通方程，写出过P（0，2）的直线参数方程，由题意可得，运用同角平方关系化为普通方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C3的普通方程，可得t的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+2=0，可得普通方程为x﹣y+2=0，则C1的参数方程为（t为参数），由曲线C2的参数方程为（α为参数），可得，即有C3的普通方程为x2+y2=9．…（2）C1的标准参数方程为（t为参数），与C3联立可得t2+2t﹣5=0，令|PA|=|t1|，|PB|=|t2|，由韦达定理，则有t1+t2=﹣2，t1t2=﹣5，则|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===2…[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【分析】（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，利用“1”的代换，即可求的最小值；（Ⅱ）分类讨论，解不等式，即可求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，又因为，由a，b∈（0，+∞）可知，当且仅当a=2b时取等，所以的最小值为8．…（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8，①，∴．②，∴x∈∅，③，∴x≥4．综上，．…。

本溪市第一中学2019届高一年级上学期月考数学试题满分150分，时间120分钟一、选择题(每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项） 1、已知全集{1,2,3,4,5,6},{1,2,3,4},{3,4,5,6}U A B ===，则U B C A =( ）A ．{}5,6B ．{}3,45,6C ．{}1,2,5,6D ．φ2、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x A ,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x B ,232,则（ ）A ．B A = B ．φ=⋂B AC ．B A ⊆D ．A B ⊆ 3. 已知52)121(-=-x x f ,且 6)(=a f ，则a 等于 ( ）A ．47-B.47C 。

34D 。

34-4．下列各组函数()f x 和()g x 的图像相同的是( ） A 。

24()2x f x x -=-,()2g x x =+B 。

2()f x x =2()()g x x =C 。

()11f x x x =+-2()1g x x =- D 。

()f x x =,(0)()(0)x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩ 5、已知函数()[]()2332-+=x x f ,其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()=-5.3f （ ）A ．2-B ．45-C ．1D ．26、下列函数中既是奇函数又是增函数的是( ) A ．1+=x y B ．3x y -= C ．xy 1-= D ．x x y =7． )(x f 为奇函数，当0>x 时,32)(x x x f +=，则当0<x 时，)(x f 为（ )A.32x x+B 。

32x x+- C 。

32x x-D 。

32x x--8.设0a >，则函数()y x x a =-的图象的大致形状是（ ）9、设偶函数()x f 满足:对任意的()()()0- ,0 , 212121>-+∞∈x x x f x f x x ，都有,且()02=f ，则不等式()()0<-+x x f x f的解集是（ )A ．()()∞+⋃，20,2- B ．()()2,02--⋃∞， C ．()()+∞⋃∞,22--，D ．()()200,2-，⋃ 10、设函数()x f 和()x g 都是奇函数，且()()()2++=x bg x af x F 在()∞+，0上有最大值5，则()x F 在()0,∞-上（ ）A ．有最小值—5B ．有最大值-5C ．有最小值-1D ．有最大值-1 11、若不等式012≤+-ax x和012>-+x ax对任意的R x ∈均不成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2 , 41- B ．[)∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，， 241- -C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡41- , 2-D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41- 2-， 12、()()()11 52⎪⎩⎪⎨⎧>≤---=x x a x ax x x f 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ )A ．03<≤-aB ．2-3≤≤-aC ．2-≤a D ．0<a二、填空题(每小题5分,共20分) 13、已知集合{}{}220,10A x x x B x mx =+-==+=且A B A =，则实数m 的取值集合为_____. 14、已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=0,20,2)(x x x x x f ，则不等式2)(x x f ≥的解集为15、已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的减函数，且)31()1(x f x f -<-，则x 的取值范围是_____.16、对,x R y R ∈∈，已知()()(),f x y f x f y +=•且(1)2,f =则()()()()()()()()()()2015201620142015342312f f f f f f f f f f +++++ 的值为___________.三、解答题（17小题10分，18～22每题12分）17、已知全集R U =，A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩⎭，{}42+==x y y B ，求：（1）B A ⋂，B A ⋃ (2）B C A U⋂，)()(B C A CU U⋃18、若A={}01922=-+-a ax x x ，B={}0652=+-x xx ，C={}0822=-+x xx .（1）若A B =，求a 的值；（2）若BA ≠∅,CA =∅,求a 的值。

绝密★启用前2016-2017学年辽宁省本溪市第一中学高二学业水平模拟物理试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：59分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图所示，一个重60N 的物体置于光滑的水平面上，当用一个F=20N 的力竖直向上拉物体时，物体所受的合力为（ ）A ．0NB ．40N ，方向竖直向下C ．40N ，方向竖直向上D ．80N ，方向竖直向上2、如图所示，处于压缩状态的轻质弹簧将木块由静止向右弹出，此过程中A ．弹簧对木块做正功，弹性势能减少B ．弹簧对木块做正功，弹性势能增加C ．弹簧对木块做负功，弹性势能减少D ．弹簧对木块做负功，弹性势能增加3、如图所示，手沿水平方向将书压在竖直墙壁上，使其保持静止．现增大手对书的压力，则书（）A ．将沿墙壁滑动B ．受到的合外力增大C ．对墙壁的压力不变D ．受到的静摩擦力不变4、一颗运行中的人造地球卫星，到地心的距离为r 时，所受万有引力为F ；到地心的距离为2r 时，所受万有引力为（ ）A ．FB ．3FC ． FD ．F5、在下列运动员中，可以看成质点的是：A ．百米冲刺时的运动员B ．在高台跳水的运动员C ．马拉松长跑的运动员D ．表演艺术体操的运动员6、如图所示,一导体棒放置在处于匀强磁场中的两条平行金属导轨上，并与金属导轨组成闭合回路。

当回路中通有电流时，导体棒受到安培力作用。

要使安培力增大，可采用的方法有( )A ．增大磁感应强度B ．减小磁感应强度C ．增大电流强度D ．减小电流强度7、如图，一物体在水平面上受到水平向右、大小为8 N 的恒力F 作用，在4 s 时间内，向右运动2 m ，则在此过程中，力F 对物体所做的功和平均功率分别为（ ）A ．32 J ，4 WB ．32 J ，8 WC ．16 J ，8 WD ．16 J ，4 W8、下列所述的实例中（均不计空气阻力），机械能守恒的是（ ） A ．小石块被水平抛出后在空中运动的过程 B ．木箱沿粗糙斜面匀速下滑的过程 C ．人乘电梯加速上升的过程 D ．子弹射穿木块的过程9、小明家的餐厅有一盏吊灯，他对这盏吊灯所受的力进行分析，下列说法正确的是（ ） A ．绳对灯的拉力和灯自身重力是一对平衡力 B ．灯对天花板的拉力和灯自身重力是一对平衡力 C ．灯对绳的拉力和灯自身重力是一对平衡力 D ．灯对绳的拉力和绳对天花板的拉力是一对平衡力10、在同一地点，质量不同的两个物体从同一高度同时做自由落体运动，则（ ） A ．质量大的物体下落的加速度大 B ．两个物体同时落地 C ．质量小的物体先落地 D ．质量大的物体先落地11、如图所示，分别为汽车甲的位移—时间图象和汽车乙的速度—时间图象，则（ ）A ．甲的加速度大小为5 m/s 2B ．乙的加速度大小为5 m/s 2C ．甲在4 s 内的位移大小为40 mD ．乙在4 s 内的位移大小为20 m12、在力学范围内，国际单位制的三个基本物理量是（ ） A ．质量、位移、力 B ．力、质量、时间 C ．速度、质量、时间 D ．质量、长度、时间13、如图所示是一个玩具陀螺．a 、b 和c 是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等B ．a 、b 和c 三点的角速度相等C ．a 、b 的线速度比c 的大D ．c 的线速度比a 、b 的大第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）14、如图所示，电源内电阻r=3Ω，当开关S 闭合后电路正常工作，电压表的读数U=6V ，电流表的读数I=1.5A 。