课时跟踪检测(九) 基本不等式

课时跟踪检测(十九) 基本不等式： ab ≤a ＋b2一、选择题1．下列不等式中正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 32．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34D.233．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a＋2b的最小值是( ) A ．6 B ．4 2 C ．2 6D ．84．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝8，则(1＋x )(1＋y )的最大值为( ) A ．16 B ．25 C ．9D ．365．若－4<x <1，则f (x )＝x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1二、填空题6．已知x 、y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________． 7．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．8．设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4； ③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号)． 三、解答题9．(1)已知0＜x ＜12，求y ＝12x (1－2x )的最大值．(2)已知x ＜3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值． (3)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值；10.如右图，公园想建一块面积为144平方米的矩形草地，一边靠墙，另外三边用铁丝网围住，现有44米铁丝网可供使用(铁丝网可以剩余)，若利用x 米墙，(1)求x 的取值范围；(2)求最少需要多少米铁丝网(精确到0.1米)．答 案课时跟踪检测(十九)1．选D a ＜0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2＜4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab ＜a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．选B 由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．3．选B ∵a ，b 是实数， ∴2a＞0,2b＞0，于是2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a ＋b＝2 23＝42，当且仅当a ＝b ＝32时取得最小值4 2.4．选B (1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋x ＋＋y 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25， 因此当且仅当1＋x ＝1＋y 即x ＝y ＝4时，(1＋x )(1＋y )取最大值25，故选B.5．选D f (x )＝x 2－2x ＋22x －2＝12[(x －1)＋1x －1]，又∵－4<x <1，∴x －1<0. ∴－(x －1)>0.∴f (x )＝－12[－(x －1)＋1－x －]≤－1.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 6．解析：(1)x ＋y ≥2 xy ＝2 15，即x ＋y 的最小值是2 15；当且仅当x ＝y ＝15时取最小值．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1522＝2254，即xy 的最大值是2254.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值．答案：(1)215 (2)22547．解析：因为x >0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：[15，＋∞)8．解析：由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于a ＋1a ≥2，b ＋1b≥2.∴⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4，故②恒成立；由于a ＋b ≥2ab ，1a ＋1b ≥21ab，故(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4，故③恒成立，当a ＝3时，a2＋9＝6a ，故④不能恒成立．答案：①②③9．解：(1)∵0＜x ＜12，∴1－2x ＞0.y ＝14·2x ·(1－2x )≤14·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116. ∴当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时，y 最大值＝116.(2)∵x ＜3，∴x －3＜0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x＋－x ＋3≤－2 43－x－x ＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1.(3)法一：∵x ，y ∈R ＋，∴(x ＋y )(1x ＋3y )＝4＋(y x ＋3x y)≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32. 法二：∵x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ＝x ＋y 4x＋x ＋y 4y ＝1＋(y 4x ＋3x4y )≥1＋2 y 4x ·3x 4y ＝1＋32.当且仅当y 4x ＝3x4y，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．∴1x ＋3y 的最小值为1＋32. 10．解：(1)由于矩形草地的面积是144平方米，一边长是x 米，则另一边长为144x米，则矩形草地所需铁丝网长度为y ＝x ＋2×144x.令y ＝x ＋2×144x≤44(x ＞0)，解得8≤x ≤36，则x 的取值范围是[8,36]．(2)由基本不等式，得y ＝x ＋288x≥24 2.当且仅当x ＝288x，即x ≈17.0时，等号成立，则y 最小值＝242≈34.0， 即最少需要约34.0米铁丝网．。

第 1 页 共 10 页一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是（ ）A ．1 BCD ．12【答案】D【解析】因为222x y xy +≥，所以222=1y x x y +≤，得12xy ≤ . 故选：D.2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数,a b 满足22a b +=，则93a b +的最小值是（ ）A ．18B ．9C ．6D ．【答案】C【解析】因为90,30a b >>，22a b +=，所以936a b +≥==， 当且仅当233a b =，即1,12a b ==时取等号， 所以93a b +的最小值为6， 故选：C3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥-第 2 页 共 10 页C．a b +≥-D．a b +≤【答案】B【解析】A.由基本不等式可知222a b ab +≥，故A 不正确；B.2222220a b ab a b ab +≥-⇒++≥，即()20a b +≥恒成立，故B 正确； C.当1,0a b =-=时，不等式不成立，故C 不正确；D.当3,1a b ==时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B4．（2020·全国高一）当1x >时，函数241x x y x -+=-的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】依题意241x x y x -+=-4111x x =-++-，由于1,10x x >->，所以411151x x -++≥=-，当且仅当41,31x x x -==-时，等号成立. 故选B.5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2第 3 页 共 10 页【答案】C【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立.所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.6．（2020·浙江鄞州宁波华茂外国语学校高三一模）已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2+a b 的最小值是（ ）A．B．C ．3D ．2【答案】B第 4 页 共 10 页【解析】∵0a >，0b >，11111a b +=++ ∴112(1)12(1)2(1)3[(1)2(1)]()3[12]31111b a a b a b a b a b a b +++=+++-=+++⋅+-=+++-++++≥2(1)111b a a b ++=++，即a =b =.故选B7．（多选）小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）A．a v <<B．v =C2a bv +<D ．2abv a b=+ 【答案】AD【解析】设甲、乙两地之间的距离为s ，则全程所需的时间为s s a b+，22s abv s s a b a b∴==++.0b a >>2a b+<，2ab v a b ∴=<=+ 另一方面22222a b ab a b v a b a b +⎛⎫⋅ ⎪+⎝⎭=<=++，22220ab ab a a a v a a a b a b a b---=-=>=+++， v a ∴>，则a v <<故选：AD.8．（多选）（2020·福建省泰宁第一中学）下列各不等式，其中不正确的是（ ）A ．212()a a a R +>∈；B ．12(,0)x x R x x+≥∈≠；第 5 页 共 10 页C2(0)ab ≥≠； D ．2211()1x x R x +>∈+. 【答案】ACD【解析】对A 项，当1a =时，212a a +=，则A 错误；对B 项，当0x >时，112x x x x +=+≥=，当且仅当1x =时，等号成立 当0x <时，112x x x x +=-+≥=-，当且仅当1x =-时，等号成立，则B 正确； 对C 项，当0,0a b <<0<，则C 错误； 对D 项，当0x =时，22111x x +=+，则D 错误； 故选：ACD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020·黑龙江工农，鹤岗一中高一期末（理））若110a b<<，则不等式（1）a b ab +<；（2）a b >；（3）a b <；（4）2b aa b+>中，正确的不等式有__________个． 【答案】2【解析】110a b<<，则0a <，0b <，0ab ∴>. 0a b ab +<<，（1）中的不等式正确；第 6 页 共 10 页110ab ab a b⋅<⋅<，则0b a <<，（3）中的不等式错误； a a b b =-<-=，（2）中的不等式错误；0b a ->->，则1b b a a -=>-，由基本不等式可得2b a a b +>=，（4）中的不等式正确. 故答案为：2.10．（2020·江苏滨湖，辅仁高中高二期中）已知正实数,x y 满足39x y +=是______.【答案】【解析】正实数,x y，则39x y +=≥92≤，2318x y =++≤≤当93,22x y ==时等号成立.故答案为： 11．（2020·黑龙江建华齐齐哈尔市实验中学高一期中）设a b c >>且11ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的取值范围是__________． 【答案】(],4-∞【解析】因为a ＞b ＞c ，所以a-b ＞0，b-c ＞0，a-c ＞0.又()()()111124b c a b a c a b b c a b b c a b b c a b b c --⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+=-+-+=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦------⎝⎭⎝⎭, 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b=a+c 时等号成立.所以m≤4.第 7 页 共 10 页12．（2018·浙江高三月考）已知,a b ∈R ，222a b ab +-=，则+a b 的最大值为________，ab 的取值范围是________．【答案】 2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】因为,a b ∈R ，222a b ab +-=，所以222()3()4a b a b +=+-．因为22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以223()4()2a b a b ++≥+，解得a b -≤+≤，当且仅当a b ==222a b =+2()3ab a b ab -=+-，所以223()0ab a b =+≥+，2)823(ab a b =+≤+，解得223ab -≤≤，所以ab 的取值范围是2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．故答案为：2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．（2017·甘肃省会宁县第二中学高二期中）（1）已知0<x <25，求y ＝2x －5x 2的最大值； （2）已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x＋2y 的最小值.【解析】（1）因为()()2125255255y x xx x x x =-=-=⨯⨯- 已知205x <≤，所以250x ->， 所以()252552512x x x x⎛⎫+-⨯-≤= ⎪⎝⎭第 8 页 共 10 页所以15y ≤，当且仅当525x x =-，即15x = 取等号，所以y ＝2x －5x 2的最大值为：15（2）因为8x ＋2y ()⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭8282101018y x x y xy x y ， 当且仅当 x ＋y ＝1，82y x x y =，即21,33x y ==时，取等号， 所以8x＋2y 的最小值.为18. 14．（2017·福建高三（理））已知a ，b为正实数，且11a b+=. （1）求a 2＋b 2的最小值；（2）若23()4()a b ab -≥，求ab 的值．【解析】(1)因为a ，b为正实数，且11a b+=，所以11a b +=ab ≥12(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)． 因为2212212a b ab +≥≥⨯=(当且仅当a ＝b 2=时等号成立)， 所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为11a b+=，所以a b +=，第 9 页 共 10 页因为23()4()a b ab -≥，所以23()44()a b ab ab +-≥，即23)44()ab ab -≥， 所以(ab )2－2ab ＋1≤0，(ab －1)2≤0， 因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.15．（2020·上海高三专题练习）已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z=1，求证：（1x-1）（1y -1）（1z-1）＞8． 【解析】∵x +y +z ＝1，x 、y 、z 是互不相等的正实数，∴（1x -1）（1y -1）（1z -1）y z x z x y x y z ⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＞8． ∴（1x-1）（1y -1）（1z -1）＞816．（2020·江西南康中学高一月考）南康某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用()04x x ≤≤万元满足131m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？ 【解析】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8162mm+⨯， ()816116281681681635611m y m m x m x x x m x x +⎛⎫∴=⋅⨯-++=+-=+--=-- ⎪++⎝⎭第 10 页 共 10 页[]()0,4x ∈；（2）由()161656571574911y x x x x ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当1611x x =++，即3x =时取等号. 答：该服装厂2020年的促销费用投入3万元时，利润最大.。

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课时跟踪检测（十九) 错误!层级一学业水平达标1．下列结论正确的是( )A．当x〉0且x≠1时，lg x＋错误!≥2B．当x>0时，错误!＋错误!≥2C．当x≥2时,x＋错误!的最小值为2D．当0<x≤2时,x－错误!无最大值解析：选B A中,当0<x〈1时，lg x〈0,lg x＋错误!≥2不成立；由基本不等式知B正确；C中，由对勾函数的单调性，知x＋错误!的最小值为错误!;D中，由函数f（x）＝x－错误!在区间（0，2］上单调递增，知x－错误!的最大值为错误!，故选B.2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）A．lg(x2＋1）≥lg(2x) B．x2＋1〉2xC.1x2＋1≤1 D．x＋错误!≥2解析：选C 对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时,x2＋1＝2x,故B不成立；对于D，当x〈0时，不成立．对于C,x2＋1≥1，∴1x2＋1≤1成立．故选C.3．设a,b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是( )A。

1a＋错误!〈1 B.错误!＋错误!≥1C。

错误!＋错误!〈2 D。

错误!＋错误!≥2解析：选B 因为ab≤错误!2≤错误!2＝4，所以错误!＋错误!≥2错误!≥2错误!＝1.4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列,则（)A.错误!〉错误!B.错误!〈错误!C.错误!＝错误!D.错误!≤错误!解析:选A 因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c〉2错误!，故错误!>错误!。

课时跟踪检测（十九） 基本不等式： ab w a ； b层级一学业水平达标i 下列结论正确的是（ ）i A .当 x>0 且 X M 1 时，lg x + 》2lg X 1B. 当X >0时，迟+孑》2 1C .当X > 2时，x + -的最小值为2 1D .当Ovx w 2时，X — -无最大值1解析：选B A 中，当Ovxv1时，lg X <0 , lg x +— > 2不成立；由基本不等式知 B 正lg X确；C 中，由对勾函数的单调性， 知X + -的最小值为5 ； D 中，由函数f （x ） = X — 1在区间（0,2] 1 3上单调递增，知X — 1的最大值为3故选B.X 2 2.下列各式中，对任何实数 X 都成立的一个式子是（）A . lg （x 1 2 + 1）> lg （2x ）B . X 2+ 1>2X 1 1C. P w 1 D . X + > 2X + 1X解析：选C 对于A ，当x w 0时，无意义，故 A 不恒成立；对于 B ,当X = 1时，X 2 1+ 1 = 2x ,故B 不成立；对于D ,当X <0时，不成立.对于C , X 2+ 1 > 1, /• 2. A w 1成立.故X 十1 选C.3. 设a , b 为正数，且a + b w 4,则下列各式中正确的一个是（ ）A .1■+ b<1 a b1 1 cda + 看 21 1 鮎+ b v24 2= 4,所以十討2新2 ; 1 = 1解析：选B 因为ab ww4. 四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列，则（）A.宁〉bc a + d a + d 一 一 C.—= bcD.—w . bc解析：选A 因为a , b , c , d 成等差数列，则 a + d = b + c ,又因为a , b , c , d 均大___ a I -j____于0且不相等，所以 b + c>2 bc ,故一厂〉,bc.a + d — B. 2 < ■bc2 85. 若 x>0, y>0，且［+ 8= 1，贝V xy 有( )1A .最大值64B .最小值64 1C .最小值2D .最小值64解析：选 D 由题意 xy= | + y Xy = 2y + 8x > ^2y 8x = ^xy,^/xy > 8,即 xy 有最 小值64,等号成立的条件是 x = 4, y = 16.6. _____________________________________________________ 若 a>0， b>0，且■+ b = {Ob ，贝V a 3 + b 3的最小值为 _____________________________________ .解析：•/a>0, b>0,二应=O + b 》2\/0£，即卩ab >2，当且仅当a = b=J2时取等号， ••• a 3 + b 3> 2 ab 3> 2 2^= 4 2，当且仅当a = b = 2寸取等号，则a 3+ b 3的最小值为4 2.答案：4.27.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买 x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是解析：由题意，一年购买600次，则总运费与总存储费用之和为6x 0x 6+ 4x = 4 9x00+ x > 8 9x° x = 240,当且仅当x = 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30.答案：30 8.若对任意x>0, 2 | x x | 1 w a 恒成立，则a 的取值范围是x 十3X 十1解析：因为x >0，所以x + x > 2•当且仅当x = 1时取等号, 1 ” 1 1 w =—, 丄 1 十 3 2+ 3 5,x 十十3x即x 2+x x +1的最大值为5故a > 5. 答案：1，+^ /49. (1)已知x<3，求f(x)= 十x 的最大值；x — 31 3⑵已知x , y 是正实数，且 x 十y = 4,求；十y 的最小值. 解：（1） •/ x<3,所以有X x ?+ 3x + 1…x — 3<0,44• f(x)= x —3 + x =x —(x — 3)+33—x + 3— x + 3—2 ,33- x + 3=— 1,4当且仅当3—； = 3-x , 即x = 1时取等号, ••• f(x)的最大值为一1. (2) ■/ x , y 是正实数, •(x +y )x +3 = 4+ x +3x 》4+23 当且仅当y =爭即 x = 2C 3— 1), y = 2(3 — . 3)时取“=号.又 x + y = 4,故3的最小值为1+■/10.设a , b , c 都是正数，试证明不等式: 吐 + c ±a + a±b 》6. a b c证明：因为 a>0， b>0， c>0,b ac a b c所以 a +孑2,c +a 》2, b +b "2, 所以 b +b + c +c + c +b "6当且仅当 b = a c = a c = bb— ?—7 I —?a cb c即a = b = c 时，等号成立.所以吐 + c +a + a +b> 6.a b c 层级二应试能力达标1.1112.已知实数 a , b , c 满足条件 a>b>c 且a + b + c = 0, abc>0，贝U +~ + 一的值()a b c A .一定是正数 B . —定是负数 C .可能是0D .正负不确定解析：选 B 因为 a>b>c 且 a + b + c = 0, abc>0，所以 a>0, b<0, c<0，且 a =— (b +所以III +7+1=—占 + b +1,c b + c b c因为 b<0, c<0,所以 b + c < — 2 bc ,III5.当x >1时，不等式x + 口》a 恒成立，则实数a 的最大值为c),1 1 1b +『2.bc ‘ 又 b +—3-2 ；bc<0，故选 &所以—止+ b +1益21bc — 211123.已知x>0, y>0, x , a , b , y 成等差数列，x , c , d , y 成等比数列，则 玄；；的最 小值为(B . 12> 2 + 2= 4，当且仅当x = y 时，等号成立.4.设a , b 是实数，且a + b = 3,则2a + 2b 的最小值是(B . 4 2解析：选 B •/ a , b 是实数，••• 2a > 0,2b > 0,■/ x>1，即 x — 1>0 ,1 当且仅当x -1=□，即x =2时，等号成立. a < 3，即a 的最大值为3.1解析：x +-^x — 1 >a 恒成立？ x + x —1 min 》a ,解析：选D 由题意，知a +b = x + y , cd = xy ,所以.a +b 2= x +y 2= x 2+ '+ 2xy =cdxy xy +xy是 2a + 2b > 2 2a 2b = 22a + b = 2 , 23= 4 2，当且仅当a =b =；时取得最小值 4 2.• x + = x — 1 + ~^ + 1> x — 1 x — 1 —1 • 1- + 1 = 3,x — 1答案：31 16. _________________________________________________________ 若正数a , b 满足a + b = 1,则冇+ — 的最小值为 ___________________________________________3a 十2 3b 十2且仅当a = b =殳时等号成立）」9抽+曲字」90（而>7.答案：47•某厂家拟在2018年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量 （即该产品k的年产量）x （单位：万件）与年促销费用m （m >0）（单位：万元）满足x = 3-市（k 为常数）, 如果不举行促销活动，该产品的年销售量是 1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2018年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用 m 的函数； ⑵该厂家2018年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？2解：（1）由题意，可知当 m = 0时，x = 1,二1 = 3-k ,解得k = 2,二x = 3 — ——m + 1 8 亠 16x又每件产品的销售价格为 1.5X 連元,x⑵•/ m > 0, 辽 + (m + 1)> 2 16= 8,当且仅当一^ = m + 1，即m = 3时等号成立, m +1 m +1 yW — 8+ 29= 21 ,••• y m ax = 21. 故该厂家2018年的促销费用为 3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元.8.已知kf ，若对任意正数 x , y ,不等式3k —专x + ky > . 2xy 恒成立，求实数最小值.解：■/ x>0, y>0,•不等式3k — x + ky > .2xy 恒成立等价于3k — 疔+ k.2恒成立.又 k >1,解析: 1由 a + b = 1,知3a T 2 + 3b + 2 3b + 2+ 3a + 2 3a + 2 3b + 2 9ab+10，又(8 + 16x + m)= 4+ 8x — m+ 29(m > 0).1当 y = x 8 + 16x x — 3 — 2 m + 1 =4+ 8 + m + 1a, b€ R，贝U a2+ b2与2|ab|的大小关系是()a2+ b >2|ab| B. a2+ b2= 2|ab|a2+ b2w 2|ab| D. a2+ b2>2|ab|解析：选 A ••• a2+ b2—2|ab|= (|a|—|b|)2>0,「. a2+ b2>2|ab|(当且仅当|a|= |b|时，等号成立).。

课时跟踪检测（九） 基本不等式A 级——学考水平达标练1．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab解析：选 C ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2>ab .∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .2．下列不等式一定成立的是( ) A ．3x ＋12x ≥ 6B ．3x 2＋12x2≥ 6C ．3(x 2＋1)＋12(x 2＋1)≥ 6D ．3(x 2－1)＋12(x 2－1)≥ 6解析：选B A 中x 可能是负数，不成立；B 中当且仅当3x 2＝12x 2，即x 4＝16时取等号，成立；C 中当3(x 2＋1)＝12(x 2＋1)时，(x 2＋1)2＝16，不成立；D 中x 2－1也可能是负数，不成立．故选B.3．若x >0，y >0且x ＋y ＝4，则下列不等式中恒成立的是( ) A.1x ＋y >14B.1x ＋1y≥1 C.xy ≥2 D.1xy≥1解析：选B 若x >0，y >0，由x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋1y ＝14(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ＋x y ≥14(2＋2)＝1，当且仅当x ＝y ＝2时，等号成立． 4．若－4<x <1，则x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1B ．有最大值1C ．有最小值－1D ．有最大值－1解析：选D x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1.又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0. ∴x 2－2x ＋22x －2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立． 5．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C 由题意，得a >0，b >0.∵ab ＝1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b时等号成立，∴ab ≥2 2.6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3， 高为1 m ，得另一边长为4xm.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：1607．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c2的大小关系是__________________．解析：因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0， 所以a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c )，当且仅当a －b ＝b －c 时，等号成立．答案：(a －b )(b －c )≤a －c28．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是________．解析：∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥41ab·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．答案：49．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc也都是正数， ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋abc≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 10．(1)已知x <3，求4x －3＋x 的最大值； (2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴4x －3＋x 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.B 级——高考水平高分练1．某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金，某顾客要购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选A 设左、右两臂长分别为b ，a ，两次放入的黄金的克数分别为x ，y ，依题意有ax ＝5b ，by ＝5a ，∴xy ＝25.∵x ＋y2≥xy ，∴x ＋y ≥10，又a ≠b ，∴x ≠y .∴x ＋y >10，即两次所得黄金大于10 g ，故选A.2．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2(3a ＋2)(3b ＋2)＝79ab ＋10，又ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47，故13a ＋2＋13b ＋2的最小值为47. 答案：473．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b＝2 2.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.4．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形的一边长为x m ，则另一边长为800xm ，因此种植蔬菜的区域宽为(x －4)m ，长为⎝⎛⎭⎪⎫800x －2m.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，800x－2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·⎝⎛⎭⎪⎫800x －2＝808－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3 200x≤808－22x ·3 200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3 200x，即x ＝40时等号成立．因此当矩形温室的两边长为40 m,20 m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.5．方程x 2－px －12p2＝0的两根分别为x 1，x 2且满足x 41＋x 42≤2＋2，则p ＝________.解析：由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝p ，x 1·x 2＝－12p 2，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝p 2＋1p2，x 41＋x 42＝(x 21＋x 22)2－2x 21x 22＝⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋1p 22－12p 4≤2＋2，即p 4＋12p 4≤2， 又p 4＋12p4≥2p 4·12p 4＝2，故p 4＋12p4＝2， 当且仅当p 4＝12p 4时等号成立，即p ＝±182.答案：±182。

课时跟踪检测(一) 不等式的基本性质1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －cC ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．(四川高考)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c解析：选D 由c <d <0⇒1d <1c <0⇒－1d >－1c>0.又a >b >0，故由不等式性质，得－ad >－b c>0. 所以a d <b c，选D.4．(湖南高考)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①②③解析：选D 由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c <b c；因为a －c >b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列命题对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(填序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：对于命题①，由2＝a ＋b ≥2ab ，得ab ≤1，命题①正确；对于命题②，当a ＝b ＝1时，②不成立，所以命题②错误；对于命题③，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝4－2ab ，由命题①知a 2＋b 2＝4－2ab ≥2，命题③正确；对于命题④，当a ＝b ＝1时，④不成立，所以命题④错误；对于命题⑤，1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ，由命题①知1a ＋1b ＝2ab≥2，所以命题⑤正确．所以恒成立的是①③⑤.答案：①③⑤7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________． 解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b 2a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围． 解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又2<b <3，∴－10<2a ＋b <19. ∵2<b <3，∴－3<－b <－2.又∵－6<a <8，∴－9<a －b <6. ∵2<b <3，∴13<1b <12.①当0≤a <8时，0≤a b<4； ②当－6＜a ＜0时，－3＜a b＜0. 综合①②得－3<a b<4.∴2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围分别为(－10,19)，(－9,6)，(－3,4)．10．已知a >0，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)． 当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。

人教a 版 基本不等式、求最大(小)值及其应用拿捏基础1.下列说法正确的是( )A.a 2+b 2≥2ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0B.a 2+b 2>2ab 成立的前提条件是a,b ∈RC.a+b ≥2√ab 成立的前提条件是a ≥0,b ≥0D.a+b>2√ab 成立的前提条件是ab>0 2.已知a,b 为正实数,则“ab a+b≤2”是“ab ≤16”的( )A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3.不等式a 2+4a 2≥4中,等号成立的条件是( ) A.a=2 B.a=±2 C.a=√2 D.a=±√24.(多选)若a,b ∈R ,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.a 2+b 2≥2ab B.a+b ≥2√ab C.1a +1b >√abD.b a +ab ≥25.(2023郑州期中)已知a>1,则a+9a−1的最小值为( ) A.5 B.6C.7D.106.已知a>b>0,则a 2+16b(a -b)的最小值为( ) A.8 B.8√2 C.16 D.16√27.(2023连云港期中)若x<23,则y=3x+1+93x−2有( ) A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-38.(2024广东期末)已知a 2+b 2=ab+4,则a+b 的最大值为( ) A.2 B.4 C.8 D.2√2 9.(2023大庆中学期末)若-4<x<1,则x 2-2x+22x−2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值-1D.有最大值-110.(多选题)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式2x +my ≥4恒成立,则m 的值可以是( )A.1B.√2C.2D.2√211.某服装加工厂为了适应市场需求,引进某种新设备,以提高生产效率和降低生产成本,已知购买m 台设备的总成本为y=1200m 2+m+200(单位:万元).若要使每台设备的平均成本最低,则应购买设备( ) A.100台B.200台C.300台D.400台12.(2023山东青岛月考)(1)已知x<54,求4x-2+14x -5的最大值; (2)设x>-1,求(x+5)(x+2)x+1的最小值.13.(2024四川雅安期末)已知正实数a,b,c 满足a 2+b 2+c 2=3. (1)若a=1,证明:1b 2+1c 2≥2;(2)求ab+bc+ca的最大值.14.(2024广州期末)某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益,拟在下一年度开展促销活动,已知该款食品年销量x吨与年促销费用t万元之间满足函数关系式x=2-k(k为常数),如果不开展促销活动,年销量是1吨.已知每一年生产设备t+2折旧、维修等固定费用为3万元,每生产1吨该款食品需再投入32万元的生产费用,通过市场分析,若将每吨食品的售价定为“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费用的一半”之和,则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求k的值;(2)将下一年的利润y(单位:万元)表示为促销费用t(单位:万元)的函数;(3)该食品企业下一年的促销费用为多少时,该款食品的年利润最大?注:利润=销售收入-生产成本-促销费用,生产成本=固定费用+生产费用.挑战高考(2022全国新高考Ⅱ)(多选)若x,y 满足x 2+y 2-xy=1,则( )A.x+y ≤1B.x+y ≥-2C.x 2+y 2≤2D.x 2+y 2≥1(2021天津高考)若a>0,b>0,则1a +ab2+b 的最小值为？（请写出解题必要步骤）。

学习资料基本不等式［A 组 学业达标]1．下列不等式正确的是（ ) A ．a ＋错误!≥2 B ．(－a )＋错误!≤－2 C ．a 2＋错误!≥2 D ．(－a ）2＋错误!2≤－2答案：C2．下列不等式中正确的是( ） A ．a ＋错误!≥4 B ．a 2＋b 2≥4ab C.错误!≥错误!D ．x 2＋错误!≥2错误! 解析：a 〈0，则a ＋错误!≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则错误!〈错误!，故C 错;由基本不等式可知D 项正确． 答案：D3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.错误! B ．错误! C 。

错误!D.错误!解析:由x （3－3x )＝错误!×3x (3－3x ）≤错误!×错误!＝错误!，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝错误!时等号成立． 答案：B4．已知m ＝a ＋1a ＋1（a >0）,n ＝3x (x <1），则m ,n 之间的大小关系是（ )A ．m 〉nB ．m 〈nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：因为a 〉0，所以m ＝a ＋错误!＋1≥2错误!＋1＝3，当且仅当a ＝1时等号成立．又因为x <1，所以n ＝3x <31＝3，所以m >n 。

答案：A5．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!，则m ＋n 的最小值是( ） A.错误! B ．4 C 。

92D ．5解析:由题意：正数a ，b 的等比中项是2，得ab ＝4,因为m ＝b ＋错误!，n ＝a ＋错误!， 所以m ＋n ＝b ＋错误!＋a ＋错误!， 由ab ＝4，那么b ＝错误!, 所以b ＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!＋a ＋错误!＝错误!＋错误!≥2错误!＝5,当且仅当错误!＝错误!即a ＝2时取等号．所以m ＋n 的最小值是5。

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

课时跟踪检测 （十） 基本不等式层级(一) “四基”落实练1．若n ＞0，则n ＋4n 的最小值为( )A ．2 B.4 C ．6D.8解析：选B ∵n ＞0，∴n ＋4n ≥24＝4，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立，故选B.2．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25 B.252 C.254D.258解析：选D ∵a >0，b >0，a ＋2b ＝5， ∴ab ＝12a ·2b ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝258，当且仅当a ＝52，b ＝54时取等号．3．若－4<x <1，则x 2－2x ＋22x －2( )A ．有最小值1 B.有最大值1 C ．有最小值－1D.有最大值－1 解析：选D x 2－2x ＋22x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x －1)＋1x －1. 又∵－4<x <1，∴x －1<0.∴－(x －1)>0.∴x 2－2x ＋22x －2＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x －1)＋1－(x －1)≤－1， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝0时等号成立．4．(多选)给出下列条件：①ab ＞0；②ab ＜0；③a ＞0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( )A ．① B.② C ．③D.④解析：选ACD 当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只需a ，b 同号即可，∴①③④均可以．故选A 、C 、D.5．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则11＋a ＋44＋b的最小值为( ) A ．1 B.78 C.98D.2解析：选C ∵a ＋b ＝3，∴(1＋a )＋(4＋b )＝8.∴11＋a ＋44＋b＝18[(1＋a )＋(4＋b )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋a ＋44＋b ＝18⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4＋b 1＋a ＋4(1＋a )4＋b ≥ 18×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋24＋b 1＋a ·4(1＋a )4＋b ＝18×(5＋4)＝98，当且仅当a ＝53，b ＝43时，等号成立．故选C.6．设a ＋b ＝M (a ＞0，b ＞0)，M 为常数，且ab 的最大值为4，则M ＝________.解析：∵a ＋b ＝M (a ＞0，b ＞0)，由基本不等式，得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝M 24.又ab 的最大值为4，∴M 24＝4(M ＞0)．∴M ＝4.答案：47．已知x ＞0，y ＞0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________，取得最大值时y 的值为________．解析：因为x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，所以xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4＝12即x ＝32，y ＝2时取等号．答案：3 28．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．解析：设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v 202v ＝400v ＋16v400≥2·400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，所以这批货物全部运到B 市，最快需要8小时．答案：89．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ， 同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．10．某校食堂需定期购买大米．已知该食堂每天需用大米0.6 t ，每吨大米的价格为6 000元，大米的保管费用z (单位：元)与购买天数x (单位：天)的关系为z ＝9x (x ＋1)(x ∈N *)，每次购买大米需支付其他固定费用900元．问：该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？解：设平均每天所支付的总费用为y 元， 则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋0.6×6 000 ＝900x＋9x ＋3 609 ≥2900x ×9x ＋3 609＝180＋3 609 ＝3 789，当且仅当900x ＝9x ，即x ＝10时取等号，所以该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少．层级(二) 素养提升练1．(多选)下列不等式中，正确的是( ) A ．a 2＋b 2≥2|a ||b | B.a 2b ≥2a －b (b ≠0) C.⎝⎛⎭⎫a b 2≥2a b －1(b ≠0) D ．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2解析：选ACD A 中，a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |，所以A 正确．由a 2＋b 2≥2ab ，得a 2≥2ab －b 2.B中，当b ＜0时，a 2b ≤2a －b ，所以B 不正确．C 中，b ≠0，则⎝⎛⎭⎫a b 2≥2a b －1，所以C正确．D 中，由a 2＋b 2≥2ab ，得2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，所以D 正确．2．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4D.92解析：选C ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥1＋1＋2＝4，当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号．3．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为________．解析：由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6.答案：64．设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b . (1)求a ＋b 的最小值；(2)证明：a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立． 解：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，且a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，知a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故a ＋b 的最小值为2.(2)证明：由(1)知a 2＋b 2≥2ab ＝2，且a ＋b ≥2，因此a 2＋b 2＋a ＋b ≥4， ① 假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则a 2＋b 2＋a ＋b ＜4，②①②两式矛盾，故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不可能同时成立．5.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ，已知点E 在边CD 上，AE ＝CE ，AB ＞AD ，矩形的周长为8 cm.(1)设AB ＝x cm ，试用x 表示出图中DE 的长度，并求出x 的取值范围；(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE 的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．解：(1)由题意可得AD ＝4－x ，且x ＞4－x ＞0，可得2＜x ＜4， 又AE ＝CE ＝x －DE ，在直角三角形ADE 中，可得AE 2＝AD 2＋DE 2， 即(x －DE )2＝(4－x )2＋DE 2， 化简可得DE ＝4－8x (2＜x ＜4)． (2)S △ADE ＝12AD ·DE ＝12(4－x )⎝⎛⎭⎫4－8x ＝2⎝⎛⎭⎫6－x －8x ≤2⎝⎛⎭⎫6－2x ·8x ＝12－82， 当且仅当x ＝22，4－x ＝4－22，即队徽的长和宽分别为22，4－22时，△ADE 的面积最大．。

• a. 假设 a > b，则 ab > b^2（反面结论）； • b. 根据已知条件，推导出 ab - b^2 = b(a - b) < 0（矛盾）； • c. 否定反面结论，得出 a ≤ b，从而证明原命题成立。
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab

3.4 基本不等式一、选择题（共10小题；共50分）1. 设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=( )A. 3B. 32C. 23D. 132. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )A. v1+v2+v33B.1v1+1v2+1v33C. √v1v2v33 D. 31v1+1v2+1v33. 若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√344. 若a,b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值是( )A. 18B. 6C. 2√3D. 2√345. 设0<a<b，a+b=1，则12，b，2ab，a2+b2中最大的是( )A. 12B. bC. 2abD. a2+b26. 已知正实数a，b满足1a +2b=√ab，则ab的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 制作一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是( )A. 5.2mB. 5mC. 4.8mD. 4.6m8. 设正实数a，b，c满足a2−3ab+4b2−c=0，则当abc 取得最大值时，2a+1b−2c最大值为( )A. 0B. 1C. 94D. 39. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A. 60件B. 80件C. 100件D. 120件10. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )A. y=x+1x B. y=cosx+1cosx(0<x<π2)C. y=2√x2+2D. y=e x+4e x−2二、填空题（共5小题；共25分）11. 设a,b>0，a+b=5，则√a+1+√b+3的最大值为．12. 将一根长10米的铁丝围成一个矩形，当矩形的宽为米时，所围成矩形的面积最大．13. 给出下列不等式的证明过程：①若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba⋅ab=2；②若x>0，则cosx+1cosx ≥2√cosx⋅1cosx=2；③若x<0，则x+4x ≤2√x⋅4x=4；④若a,b∈R，且ab<0，则ba +ab=−[(−ba)+(−ab)]≤−2√(−ba)⋅(−ab)=−2．其中证明过程错误的是（填序号）．14. 已知x>0，y>−1，且x+y=1，则x2+3x +y2y+1最小值为．15. 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(V20)2千米，那么这批物资全部运到B市，最快需要小时（不计货车的车身长）．三、解答题（共3小题；共39分）16. 已知0<x<13，求函数y=x(1−3x)的最大值．17. 回答下列问题：（1）已知x<3，求4x−3+x的最大值；（2）已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x +3y的最小值．18. 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?（最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间）答案第一部分 1. D【解析】由题意得 ab =1λ×a ×(λb )≤1λ×(a+λb 2)2=1λ，当且仅当 a =λb =1 时，等号成立，所以 1λ=3，即 λ=13． 2. D【解析】设三个连续时间段的时长分别为 t 1，t 2，t 3，依题意有 v 1t 1=v 2t 2=v 3t 3=l ，总的增长量为 3l ，则 t 1+t 2+t 3=l (1v 1+1v 2+1v 3)．故该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为3l t 1+t 2+t 3=31v 1+1v 2+1v 3．3. B 【解析】3a +3b ≥2√3a ⋅3b =2√3a+b =6，当且仅当 3a =3b ，即 a =b =1 时，3a +3b 取得最小值 6．4. B5. B【解析】取 a =14，b =34，得 b >a 2+b 2>12>2ab ．6. C7. B8. B9. B 【解析】设平均每件产品的生产准备费用和仓储费用之和为 y ，则 y =800x+x 8≥2√800x⋅x 8=20，当且仅当 800x=x8，即 x =80 时取得最小值．10. D【解析】对于选项A ：当 x <0 时，A 显然不满足条件； 选项B ：y =cosx +1cosx≥2，当 cosx =1 时取等号，当 0<x <π2 时，cosx ≠1，B 显然不满足条件； 对于C ：不能保证 √x 2+2=√x 2+2，故错；对于D ：因为 e x >0，所以 e x +4e x −2≥2√e x ⋅4e x −2=2， 故只有D 满足条件． 第二部分 11. 3√2【解析】(√a +1+√b +3)2=a +b +4+2√a +1⋅√b +3≤9+2×(√a+1)2+(√b+3)22=9+a +b +4=18,所以 √a +1+√b +3≤3√2，当且仅当 a +1=b +3 且 a +b =5，即 a =72，b =32 时等号成立． 12. 5213. ①②③14. 2+√315. 8【解析】提示：物资全部运到B市需要的时间为：400V +16×(V20)2V=400V+V25≥2√400V⋅V25=8，当且仅当400V =V25，即V=100时，等号成立．第三部分16. 因为0<x<13，所以1−3x>0．y=x(1−3x)=13[3x⋅(1−3x)]≤13[3x+(1−3x)2]2=112．当且仅当3x=1−3x，即x=16时，取等号．所以当x=16时，函数取得最大值112．17. （1）因为x<3，所以x−3<0，所以4 x−3+x=4x−3+(x−3)+3=−[43−x+(3+x)]+3≤−2√43−x(3−x)+3 =−1.当且仅当43−x=3−x，即x=1时，等号成立，所以43−x+x的最大值为−1．（2）因为x，y是正实数，x+y=4，所以1 x +3y=(1x+3y)x+y4=14(4+yx+3xy)≥1+2√34=1+√32,当且仅当yx =3xy，即x=2(√3−1)，y=2(3−√3)时等号成立．故1x +3y的最小值为1+√32．18. 由于＂年维修费用第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元＂，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年总维修费用为0.2+0.2x2⋅x万元．设汽车的年平均费用为y万元，则有y =10+0.9x +0.2+0.2x2⋅x x=1+10x +x 10≥1+2√10x ⋅x10=3当10x=x10，即 x =10（负值直接舍去）时取到等号，即当汽车使用 10 年报废，年平均费用 y 最小．答：这种汽车使用 10 年报废最合算．。

基本不等式练习题(带答案)基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $a\in R$，下列不等式恒成立的是（）A。

$a^2+1>a$B。

$\frac{1}{2}<a<1$C。

$a^2+9>6a$D。

$\log_{a+1}。

\log_{|2a|}$2.若 $|a|<|b|$ 且 $a+b=1$，则下列四个数中最大的是（）A。

$1$B。

$2$C。

$a^2+b^2$D。

$a$3.设 $x>0$，则 $y=3-\frac{3}{x}$ 的最大值为（）A。

$3$B。

$\frac{3}{2}$C。

$\frac{3}{4}$D。

$-1$4.设$x,y\in R$，且$x+y=5$，则$3x+3y$ 的最小值是（）A。

$10$B。

$6\sqrt{3}$C。

$4\sqrt{10}$D。

$18$5.若 $x,y$ 是正数，且 $\frac{1}{4x^2}+\frac{1}{9y^2}=1$，则 $xy$ 有（）A。

最小值 $\frac{1}{36}$B。

最大值 $\frac{1}{36}$C。

最小值 $\frac{16}{9}$D。

最大值 $\frac{16}{9}$6.若 $a,b,c\in R$，且 $ab+bc+ca=1$，则下列不等式成立的是（）A。

$a^2+b^2+c^2\ge 2$XXX 3$C。

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 2$D。

$a+b+c\le 3$7.若 $x>0,y>0$，且 $x+y\le 4$，则下列不等式中恒成立的是（）A。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\le 1$B。

$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}\ge 1$C。

$xy\ge 2$D。

$xy\le 1$8.若 $a,b$ 是正数，则$\frac{a+b}{2},\sqrt{ab},\frac{2ab}{a+b}$ 三个数的大小顺序是（）A。

课时跟踪检测（九） 基本不等式A 级——学考合格性考试达标练1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a ≥4B ．a 2＋b 2≥4ab C.ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥23 解析：选D a <0，则a ＋4a ≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错，a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞abB ．a ＞a ＋b2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b 解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b·b ＝b ，因此B 项正确． 3．已知x <0，则x ＋1x －2有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．4．3x 2＋6x2＋1的最小值是( ) A ．32－3 B ．3 C ．62D ．62－3解析：选D 3(x 2＋1)＋6x2＋1－3≥23（x2＋1）·6x2＋1－3＝218－3＝62－3，当且仅当x 2＝2－1时等号成立，故选D.5．若x >0，y >0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( )A ．最大值64B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．要制作一个容积为4 m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析：设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3， 高为1 m ，得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x·4x＝160， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160， 即容器的最低总造价为160元． 答案：1607.（3－a ）（a ＋6）(－6≤a ≤3)的最大值为________．解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，（3－a ）（a ＋6）≤（3－a ）＋（a ＋6）2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立． 答案：928．已知x >0，y >0，2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________． 解析：因为x >0，y >0，2x ＋3y ＝6， 所以xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32. 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时等号成立，xy 取到最大值32.答案：329．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，c b ＋bc ≥2，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c≥6.10．(1)已知x <3，求y ＝4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴y ＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋（3－x ）＋3≤－243－x·（3－x ）＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴y 的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋23. 当且仅当y x ＝3xy，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. B 级——面向全国卷高考高分练1．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b<1 B ．1a ＋1b≥1C.1a ＋1b<2 D ．1a ＋1b≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1，当且a ＝b ＝2时等号成立．2．若0<x <12，则x 1－4x2的最大值为( )A ．1B ．12C.14D ．18解析：选C 因为0<x <12，所以1－4x 2>0，所以x 1－4x2＝12×2x 1－4x2≤12×4x2＋1－4x22＝14，当且仅当2x ＝1－4x2，即x ＝24时等号成立，故选C. 3．已知x ≥52，则x2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1解析：选Dx2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2， 因为x ≥52，所以x －2>0，所以12⎣⎡⎦⎤（x －2）＋1x －2≥12·2（x －2）·1x －2＝1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．故原式有最小值为1.4．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B 不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥(1＋a )2≥9，∴a ≥2，即a ≥4，故正实数a 的最小值为4.5．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝1，所以①恒成立； a ＋b ≤2 （a ）2＋（b ）22＝2，所以②不恒成立；a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝2，所以③恒成立；当a ＝b ＝1时，a 3＋b 3＝2＜3，所以④不恒成立； 1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫2＋a b ＋b a ≥2，所以⑤恒成立． 答案：①③⑤6．若对任意x >0，x x2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15， 即x x2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎩⎨⎧a ⎪⎪⎭⎬⎫a ≥157．已知a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22.(1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2＝4(ab )3，求ab 的值．解：(1)因为a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝22，所以1a ＋1b ＝22≥21ab ，即ab ≥12(当且仅当a ＝b 时等号成立)．因为a 2＋b 2≥2ab ≥2×12＝1(当且仅当a ＝b 时等号成立)，所以a 2＋b 2的最小值为1.(2)因为1a ＋1b ＝22，所以a ＋b ＝22ab .因为(a －b )2＝4(ab )3，所以(a ＋b )2－4ab ＝4(ab )3，即(22ab )2－4ab ＝4(ab )3，即(ab )2－2ab ＋1＝0，(ab －1)2＝0.因为a ，b 为正实数，所以ab ＝1.C 级——拓展探索性题目应用练某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2019年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数； (2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋（m ＋1）＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立，∴y ≤－8＋29＝21，∴y m ax ＝21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

课时跟踪检测（四） 基本不等式一、基础练——练手感熟练度1．(2021·豫北重点中学联考)设a >0，则a ＋a ＋4a 的最小值为( ) A ．2a ＋4 B ．2 C ．4D ．5解析：选D a ＋a ＋4a ＝a ＋1＋4a ≥1＋2a ·4a ＝5，当且仅当a ＝2时取等号，故选D.2．设x 为实数，则“x <0”是“x ＋1x ≤－2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若x <0，则－x >0，x ＋1x ＝－(－x )＋1(－x )≤－2，∴“x <0”是“x ＋1x ≤－2”的充分条件；若x ＋1x ≤－2，则x 2＋2x ＋1x ≤0，得x <0，∴“x <0”是“x ＋1x ≤－2”的必要条件．综上，“x <0”是“x ＋1x ≤－2”的充要条件．故选C.3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1xB ．y ＝sin x ＋1sin x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2 C ．y ＝x 2＋5x 2＋4D ．y ＝e x ＋4ex －2解析：选D 对于选项A ，当x >0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 不合题意．对于选项B ，由于0<x <π2，因此0<sin x <1，函数的最小值取不到2，故B 不合题意．对于选项C ，函数的关系式转化为y ＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4≥52，故C 不合题意．故选D.4．(多选)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列说法正确的是( )A ．ab 有最大值14B.a ＋b 有最小值 2C.1a ＋1b 有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22解析：选AC ∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，∴ab 有最大值14，∴A 正确．∵(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋2×a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，∴a ＋b ≤2，即a ＋b 有最大值2，B 错误．∵1a ＋1b ＝a ＋b ab ≥1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，∴1a ＋1b 有最小值4，∴C 正确． ∵a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴a 2＋b 2的最小值不是22，∴D 错误，故选A 、C. 5．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2D ．5 cm 2解析：选C 设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x >0，y >0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤(x ＋y )24＝424＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.6．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5二、综合练——练思维敏锐度1．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D 由1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ，变形为2x ＋y ≤14，即x ＋y ≤－2，当且仅当x ＝y时取等号．则x ＋y 的取值范围是(－∞，－2]．2．若a >0，b >0，a ＋b ＝ab ，则a ＋b 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B 法一：由于a ＋b ＝ab ≤(a ＋b )24，因此a ＋b ≥4或a ＋b ≤0(舍去)，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故选B.3．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4解析：选A ∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b ＝1，∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝10＋a b ＋9b a ≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b ＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立，故选A. 4．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．12解析：选B∵x 2＋2xy －3＝0，∴y ＝3－x 22x ，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝3x 2＋32x≥ 2 3x 2·32x ＝3，当且仅当3x 2＝32x ，即x ＝1时取等号．故选B. 5．若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．7＋2 3 B ．6＋2 3 C ．7＋4 3D ．6＋4 3解析：选C 由题意得3a ＋4b ＝ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，∴4a ＋3b＝1(a >0，b >0)．∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝4＋3＋4b a ＋3ab ≥7＋2 4b a ·3ab＝7＋43，当且仅当3a ＝2b 时取等号．故选C.6．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是( )A.53B.83 C ．8D ．24解析：选C 因为a ∥b ，故3(y －1)＝－2x ，整理得2x ＋3y ＝3，所以3x ＋2y ＝13(2x ＋3y )⎝⎛⎭⎫3x ＋2y ＝1312＋9y x ＋4x y ≥13⎝⎛⎭⎫12＋2 9y x ·4x y ＝8，当且仅当x ＝34，y ＝12时等号成立，所以3x ＋2y 的最小值为8，故选C.7．已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则4a ＋b＋a ＋bc 的最小值为( )A ．2B ．2＋ 2C ．4D ．2＋2 2解析：选D 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋bc ＝2(a ＋b ＋c )a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c ≥2＋22，当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为2＋2 2.8．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(－∞，3]C ．(－∞，6]D ．[6，＋∞)解析：选D 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，当且仅当b a ＝9a b ，即a ＝4，b ＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ， 即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立， 令f (x )＝x 2－4x －2， 则f (x )＝(x －2)2－6， 所以f (x )的最小值为－6， 所以－6≥－m ，即m ≥6.9．实数x ，y 满足|x ＋y |＋|x －y |＝2，若z ＝4ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a ＋1b 有( )A ．最大值9B ．最大值18C ．最小值9D ．最小值18解析：选C 根据|x ＋y |＋|x －y |＝2，可得点(x ，y )满足的图形是以A (1,1)，B (－1,1)，C (－1，－1)，D (1，－1)为顶点的正方形，可知x ＝1，y ＝1时，z ＝4ax ＋by 取得最大值，故4a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝5＋4a b ＋b a ≥9，当且仅当4a b ＝b a ，即a ＝16，b ＝13时取等号．故1a ＋1b 有最小值9.故选C.10．已知a >0，b >0，若直线(a －1)x ＋2y －1＝0与直线x ＋by ＝0互相垂直，则ab 的最大值是________．解析：由两条直线互相垂直得(a －1)×1＋2b ＝0，即a ＋2b ＝1，又a >0，b >0，所以ab ＝12(a ·2b )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝18，当且仅当a ＝12，b ＝14时取等号．故ab 的最大值是18. 答案：1811．若关于x 的不等式x ＋4x －a ≥5在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：∵x ＋4x －a ＝x －a ＋4x －a＋a ≥5在(a ，＋∞)上恒成立，由x >a 可得x －a >0.则(x －a )＋4(x －a )≥2(x －a )·4(x －a )＝4，当且仅当x －a ＝2即x ＝a ＋2时，上式取得最小值4，又∵x －a ＋4x －a≥5－a 在(a ，＋∞)上恒成立，∴5－a ≤4，∴a ≥1. 答案：112．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是__________．解析：对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 13．(1)当x ＜32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0＜x ＜2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－3－2x 2＋83－2x ＋32.当x ＜32时，有3－2x ＞0，∴3－2x 2＋83－2x≥2 3－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0＜x ＜2，∴2－x ＞0， ∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤ 2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.14．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解：(1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50,100]⎝⎛⎭⎫或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100].(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 三、自选练——练高考区分度1．已知函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若直线x m ＋yn ＝－2(m＞0，n ＞0)也经过点A ，则3m ＋n 的最小值为( )A ．16B ．8C ．12D ．14解析：选B 由题意，函数f (x )＝log a (x ＋4)－1(a ＞0且a ≠1)，令x ＋4＝1，可得x ＝－3，代入可得y ＝－1，∴图象恒过定点A (－3，－1)．∵直线x m ＋y n ＝－2(m ＞0，n ＞0)也经过点A ，∴3m ＋1n ＝2，即32m ＋12n＝1.∴3m ＋n ＝(3m ＋n )⎝⎛⎭⎫32m ＋12n ＝92＋12＋3n 2m ＋3m 2n ≥2 3n 2m ·3m2n＋5＝8(当且仅当n ＝m ＝2时，取等号)，∴3m ＋n 的最小值为8.2．若实数x ，y 满足x 2y 2＋x 2＋y 2＝8，则x 2＋y 2的取值范围为( ) A ．[4,8]B ．[8，＋∞)C ．[2,8]D ．[2,4]解析：选A ∵x 2y 2≤(x 2＋y 2)24，∴x 2y 2＋x 2＋y 2＝8≤(x 2＋y 2)24＋(x 2＋y 2)(x 2＝y 2＝2时取等号)，(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋8)≥0，∴x 2＋y 2≥4，又x 2y 2≥0，∴x 2＋y 2≤8，∴x 2＋y 2∈[4,8]．3.某县一中计划把一块边长为20米的等边△ABC 的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE 需要把基地分成面积相等的两部分，D 在AB 上，E 在AC 上．(1)设AD ＝x (x ≥10)，ED ＝y ，使用x 表示y 的函数关系式；(2)如果ED 是灌溉输水管道的位置，为了节约，ED 的位置应该在哪里？求出最小值． 解：(1)∵△ABC 的边长是20米，D 在AB 上， 则10≤x ≤20，S △ADE ＝12S △ABC ，∴12x ·AE sin 60°＝12·34·202，故AE ＝200x . 在△ADE 中，由余弦定理得，y ＝x 2＋4·104x 2－200(10≤x ≤20)． (2)若DE 作为输水管道，则需求y 的最小值， ∴y ＝ x 2＋4·104x 2－200≥400－200＝102，当且仅当x 2＝4·104x 2即x ＝102米时“＝”成立， ∴DE 的位置应该在AD ＝102，AE ＝102米处， 且DE 的最小值为102米．。

课时跟踪检测 （九） 等式性质与不等式性质层级(一) “四基”落实练1．若x ≠2且y ≠－1，则M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y 与－5的大小关系是( ) A ．M ＞－5 B.M ＜－5 C ．M ＝－5D.不能确定解析：选A 因为x 2＋y 2－4x ＋2y －(－5)＝(x －2)2＋(y ＋1)2，又x ≠2且y ≠－1，所以(x －2)2＋(y ＋1)2＞0，故M ＞－5.2．已知a ＜b ，那么下列式子中，错误的是( ) A ．4a ＜4b B.－4a ＜－4b C ．a ＋4＜b ＋4D.a －4＜b －4解析：选B 根据不等式的性质，a ＜b,4＞0⇒4a ＜4b ，A 项正确；a ＜b ，－4＜0⇒－4a ＞－4b ，B 项错误；a ＜b ⇒a ＋4＜b ＋4，C 项正确；a ＜b ⇒a －4＜b －4，D 项正确．3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( ) A ．－2＜α－β＜0 B.－2＜α－β＜－1 C ．－1＜α－β＜0D.－1＜α－β＜1解析：选A ∵－1＜β＜1，∴－1＜－β＜1.又－1＜α＜1，∴－2＜α＋(－β)＜2，又α＜β，∴α－β＜0，即－2＜α－β＜0.故选A.4．(多选)已知三个不等式：①ab ＞0，②c a ＞db ，③bc ＞ad .则下列结论正确的是( )A ．①③⇒② B.①②⇒③ C ．②③⇒①D.B 选项错误解析：选ABC 不等式②作等价变形c a ＞d b ⇔bc －adab ＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 可得②成立，即①③⇒②；若ab ＞0，bc －ad ab ＞0，则bc ＞ad ，可得③成立，即①②⇒③；若bc ＞ad ，bc －ad ab ＞0，则ab ＞0，可得①成立，即②③⇒①.5．(多选)已知1a ＜1b ＜0，给出下列四个结论：①a ＜b ；②a ＋b ＜ab ；③|a |＞|b |；④ab ＜b 2，其中正确结论的序号是( ) A ．① B.② C ．③D.④解析：选BD 因为1a ＜1b ＜0，所以b ＜a ＜0.①a ＜b ，错误；②因为b ＜a ＜0，所以a ＋b ＜0，ab ＞0，所以a ＋b ＜ab ，正确；③因为b ＜a ＜0，所以|a |＞|b |不成立；④ab －b 2＝b (a －b )，因为b ＜a ＜0，所以a －b ＞0，即ab －b 2＝b (a －b )＜0，所以ab ＜b 2成立．所以正确的是②④.故选B 、D.6．已知a ，b 均为实数，则(a ＋3)(a －5)________(a ＋2)(a －4)(填“＞”“＜”或“＝”)． 解析：因为(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，所以(a ＋3)(a －5)＜(a ＋2)(a －4)．答案：＜7．一辆汽车原来每天行驶x km ，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内它的行程就超过2 200 km ，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km ，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．解析：①原来每天行驶x km ，现在每天行驶(x ＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2 200 km ”，写成不等式为8(x ＋19)＞2 200.②若每天行驶(x －12)km ，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x ＞9(x －12)．答案：8(x ＋19)>2 200 8x ＞9(x －12)8．给出四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推得1a ＜1b 成立的是________．解析：1a ＜1b ⇔b －aab ＜0，所以①②④能使它成立．答案：①②④9．已知－2＜a ≤3,1≤b ＜2，试求下列代数式的取值范围． (1)a ＋b ； (2)2a －3b .解：(1)－1＜a ＋b ＜5.(2)由－2＜a ≤3得－4＜2a ≤6， ① 由1≤b ＜2得－6＜－3b ≤－3，②由①＋②得，－10＜2a －3b ≤3.10．已知a ，b ∈R ，a ＋b ＞0，试比较a 3＋b 3与ab 2＋a 2b 的大小．解：因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，所以a 3＋b 3－ab 2－a 2b ＝a 3－a 2b ＋b 3－ab 2＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )≥0，所以a 3＋b 3≥ab 2＋a 2b . 层级(二) 素养提升练1．(多选)设a ，b 为正实数，下列命题正确的是( ) A ．若a 2－b 2＝1，则a －b ＜1 B ．若1b －1a ＝1，则a －b ＜1C ．若|a －b |＝1，则|a －b |＜1D ．若|a |≤1，|b |≤1，则|a －b |≤|1－ab |解析：选AD 对于A ，若a ，b 为正实数，则a 2－b 2＝1⇒a －b ＝1a ＋b ⇒a －b ＞0⇒a ＞b＞0，故a ＋b ＞a －b ＞0，若a －b ≥1，则1a ＋b ≥1⇒a ＋b ≤1，这与a ＋b ＞a －b ＞0矛盾，故a －b ＜1成立，所以A 正确；对于B ，取a ＝5，b ＝56，则1b －1a ＝1，但a －b ＝5－56＞1，所以B 不正确；对于C ，取a ＝4，b ＝1，则|a －b |＝1，但|a －b |＝3＜1不成立，所以C 不正确； 对于D ，(a －b )2－(1－ab )2＝a 2＋b 2－1－a 2b 2＝(a 2－1)(1－b 2)≤0，即|a －b |≤|1－ab |，所以D 正确．2．已知a 1＞1,0＜a 2＜1，设P ＝1a 1＋1a 2，Q ＝1a 1a 2＋1，则P 与Q 的大小关系为________(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：P －Q ＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2－⎝⎛⎭⎫1a 1a 2＋1＝a 1＋a 2a 1a 2－1＋a 1a 2a 1a 2＝a 1－1＋a 2(1－a 1)a 1a 2＝(a 1－1)(1－a 2)a 1a 2，因为a 1＞1,0＜a 2＜1，所以a 1－1＞0,1－a 2＞0，a 1a 2＞0， 所以P －Q ＝(a 1－1)(1－a 2)a 1a 2＞0，所以P ＞Q .答案：＞3．某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制定计划欲使总产值最高，则应开发A 类电子器件________件，能使总产值最高为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件，则x 2＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意得总产值：y ＝7.5x ＋6(50－x )＝300＋1.5x ≤330(万元)， 当且仅当x ＝20时，y 取最大值330. 答案：20 3304．若bc －ad ≥0，bd ＞0，求证：a ＋b b ≤c ＋dd.证明：⎩⎪⎨⎪⎧bc －ad ≥0⇒bc ≥ad ，bd ＞0⇒1bd ＞0，⇒c d ≥a b ⇒c d ＋1≥ab ＋1⇒c ＋d d ≥a ＋b b ⇒a ＋b b ≤c ＋d d . 5．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由． 解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a ，b ，同时增加的面积为m ，根据问题的要求a <b ，且ab ≥10%.由于a ＋m b ＋m －a b ＝m (b －a )b (b ＋m )>0，于是a ＋m b ＋m >a b .又a b ≥10%，因此a ＋m b ＋m >a b ≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．。

课时跟踪检测（四十四） 基本不等式1．(2019·长春调研)“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 当a >0，b >0时，a ＋b 2≥ab ，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当a ＝b 时，ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的充分条件．当ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22时，a ，b 可以异号，故a >0，b >0不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的既不充分也不必要条件，故选D.2．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12解析：选C 因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2， 所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4解析：选C 因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ·2b＝2 2ab， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.4．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.5．(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12D ．16解析：选B 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 6．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( ) A ．43B ．53C ．54D ．2解析：选D 30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ， 即30≥15xy ，所以xy ≤2， 当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝233时等号成立． 故xy 的最大值为2.7．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )A ．0B ．12C ．1D ．32解析：选A y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.8．已知x >1，y >1，且log 2x ，14，log 2y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值 2B ．最小值2C ．最大值 2D ．最大值2解析：选A ∵x >1，y >1，∴log 2x >0，log 2y >0.又∵log 2x ，14，log 2y 成等比数列，∴116＝log 2x ·log 2y ，∴由基本不等式，得log 2x ＋log 2y ≥2log 2x ·log 2y ＝12，当且仅当log 2x ＝log 2y时取等号，故log 2(xy )≥12，即xy ≥ 2.选A.9．当3＜x ＜12时，函数y ＝(x －3)(12－x )x的最大值为________．解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x＋15＝3， 当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时，y max ＝3.答案：310．(2018·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．解析：∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋mx －2＋2≥2 (x －2)·mx －2＋2＝2m ＋2，当x ＝2＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：411．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b＝22a－3b＝22－6＝2×2－3＝14.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1时等号成立．答案：1412．(2018·聊城一模)已知a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________． 解析：由a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，得32b ＋12a＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.答案：2＋313．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧175(x 2－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x ， ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎫2 x ×4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16； ②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10. 因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．。