【高考解码】2015届高三数学二轮复习(新课标) - 专题大模拟(一)(专题一～二)]

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略二 分类与整合思想、化归与转化思想一、分类与整合思想分类与整合思想又叫分类讨论思想．分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决．分类讨论思想覆盖面广，利于考查学生的逻辑思维能力，同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，应用分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏地分析讨论”．在高考中必定考查分类讨论，特别是这几年的压轴题．预测在2015年的高考题中：继续与函数综合考查，结合函数与方程思想以及等价转化思想，考查学生分析问题、解决问题的能力．分类讨论思想解题的步骤为：(1)确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决：(4)归纳总结：将各类情况归纳与总结．1．由概念、法则、公式引起的分类讨论(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和S n 公式等．(3)由函数的性质，定理，公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性，基本不等式等．【例1】 (1)已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为________．(2)若log a 23<1，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ (3)等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12【解析】 (1)当直线的斜率不存在时，x ＝2与圆相切，合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0.由题意得|－2k ＋4|k 2＋1＝2.即k ＝34，所以直线方程为x ＝2或3x －4y ＋10＝0. (2)由log a 23<1得log a 23<log a a .当a >1时，a >23，所以a >1；当0<a <1时，a <23，所以0<a <23.所以a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)．故选C. (3)当q ＝1时，S 3＝3a 3＝21，∴合题意．当q ≠1时，S 3＝a 1－a 3q 1－q ＝21，且a 3＝7，∴q ＝－12，故选C. 【答案】 (1)x ＝2或3x －4y ＋10＝0 (2)C (3)C2．由变量或参数引起的分类讨论由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．所以对分类复杂的参数讨论题，必须科学的选定分类标准，使分类有条不紊，解答自然流畅．【例2】 已知a ∈R ，求函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值．【解】 设函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[1,2]上的最小值为m .①当a ≤1时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 3－ax 2，因为f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23x >0，x ∈(1,2)， 则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝1－a .②当1<a ≤2时，在区间[1,2]上，f (x )＝x 2|x －a |≥0，由f (a )＝0，知m ＝f (a )＝0.③当a >2时，在区间[1,2]上，f (x )＝ax 2－x 3，f ′(x )＝2ax －3x 2＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －x . 若a ≤3，在区间(1,2)上，f ′(x )>0，则f (x )是区间[1,2]上的增函数，所以m ＝f (1)＝a －1；若2<a <3，则1<23a <2， 当1<x <23a 时，f ′(x )>0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，23a 上的增函数， 当23a <x <2时，f ′(x )<0，则f (x )是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a ，2上的减函数， 因此当2<a <3时，m ＝f (1)＝a －1或m ＝f (2)＝4(a －2)．当2<a ≤73时，4(a －2)≤a －1，故m ＝f (2)＝4(a －2)， 当72<a <3时，4(a －2)>a －1，故m ＝f (1)＝a －1. 综上所述，函数的最小值m ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ，a ≤1，0，1<a ≤2，a －，2<a ≤73，a －1，a >73.3．由图形位置或形状引起的分类讨论几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．【例3】 (1)(2014·河南三市联考)若椭圆x 2m ＋y 28＝1的焦距为2，则m 的值为( ) A ．9 B ．9或16 C ．7 D ．9或7(2)已知k ∈Z ，AB →＝(k,1)，AC →＝(2,4)，若|AB →|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为( )A.17B.27C.37D.47【解析】 (1)当焦点在x 轴上时，2m －8＝2，∴m ＝9.当焦点在y 轴上时，28－m ＝2，∴m ＝7.故选D.(2)由AB →＝(k,1)，且|AB →|≤4得k 2＋1≤4，∴k 2≤15，∴k ＝－3，－2，－1,0,1,2,3.当∠A 是直角时，AB →·AC →＝0，∴2k ＋4＝0，∴k ＝－2，合题意．当∠B 是直角时，BA →＝(－k ，－1)，BC →＝BA →＋AC →＝(－k ＋2,3)，由BA →·BC →＝0得(－k )(－k ＋2)＋(－1)×3＝0，∴k 2－2k －3＝0，∴k ＝3或k ＝－1，合题意．当∠C 是直角时，CA →＝(－2，－4)，CB →＝CA →＋AB →＝(k－2，－3)，由CA →·CB →＝0得(－2)(k －2)＋(－4)(－3)＝0，∴k ＝8，不合题意．故△ABC 是直角三角形的概率为37. 【答案】 (1)D (2)C二、化归与转化思想高中阶段，几乎每一个题目都要用到这一思想方法，而重视对化归与转化思想的考查，已是高考数学命题多年来所坚持的方向，并以各种不同的层次融入试题中，通过对转化与化归思想方法的运用，对考生的数学能力进行区分．转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种状况转化为另一种情形，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略．同时也是成功的思维方式．1．由等与不等引起的化归与转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．【例4】 (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2＝3xy ＋1＝32×2xy ＋1≤32×(2x ＋y 2)2＋1， ∴(2x ＋y )2≤85， ∴2x ＋y 的最大值为2105. (2)设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解．分离变量a ，得a ＋4＝－(t ＋4t)， ∵t >0，∴－(t ＋4t)≤－4， ∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]．【答案】 (1)2105(2)(－∞，－8] 2．由特殊与一般引起的化归与转化特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题． 第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【例5】 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．【解析】 x 25＋y 2m＝1的焦点在x 轴上，∴0<m <5. 又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上．则025＋12m≤1，即m ≥1. 故m 的取值范围为[1,5)．【答案】 [1,5)3．由正与反引起的化归与转化正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．【例6】 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．【解析】 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≥2x－3x 恒成立，∴m ＋4≥－1，∴m ≥－5.由②得3x 2＋(m ＋4)x －2≤0，即m ＋4≤2x－3x ，当x ∈(t,3)时恒成立，∴m ＋4≤23－9，m ≤－373. ∴函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5。

专题大模拟(一)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．(2014·某某高考)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i＋i·z－＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i【解析】 因为z ＝1＋i ，所以z i＋i·z －＝(－i ＋1)＋i(1－i )＝2.【答案】 C2．(2014·东城调研)设集合A ＝{x |1<2x <16}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3) D ．(1,2)【解析】 ∵1<2x <16，∴20<2x <24，∴0<x <4，A ＝(0,4)．∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴B ＝[－1,3]，∴∁R B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)，∴A ∩(∁R B )＝(3,4)．故选B.【答案】 B3．(2013·全国大纲高考)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1)B ．(－1，－12)C ．(－1,0)D ．(12，1)【解析】 已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，求函数f (g (x ))的定义域，是求满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值集合．要使函数有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，即所求函数的定义域为(－1，－12)． 【答案】 B4．(2014·某某一中模拟)下列说法正确的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3<0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”B ．若a ∈R ，则“1a<1”是“a >1”的必要不充分条件C ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件D ．若命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则綈p 是真命题【解析】 A 中命题的否定应为“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”；C 中应为充分不必要条件；D 中为假命题．【答案】 B5．(2014·某某高考)已知函数f (x )＝错误!(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( ) A.14B.12C ．1D ．2 【解析】 f (－1)＝2，∵f (2)＝1，∴a ·22＝1，∴a ＝14.【答案】 A6．(2014·某某高考)下列函数为偶函数的是( )A ．f (x )＝x －1B ．f (x )＝x 2＋xC ．f (x )＝2x －2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x【解析】 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x－2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x为偶函数，故选D.【答案】 D7．(2014·东北三校联考)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f (x )＝sinx ，②f (x )＝cos x ，③f (x )＝1x，④f (x )＝x 2，则输出的函数是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2【解析】 结合题中的程序框图得知，输出的函数是奇函数，且存在零点．故选A. 【答案】 A8．(2014·某某高考)设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．c ＜a ＜b C ．c ＜b ＜a D ．a ＜c ＜b【解析】 因为2＞a ＝log 37＞1，b ＝21.1＞2，c ＝0.83.1＜1，所以c ＜a ＜b . 【答案】 B9．(理)(2014·某某某某调研)若S 1＝⎠⎛121x d x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 1<S 3<S 2D ．S 3<S 1<S 2【解析】 分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选A . 【答案】 A(文)(2014·某某高考)已知b ＞0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c【解析】 a ＝lg b lg 5，c ＝lg b ，d ＝1lg 5，∴a＝cd ，故选B . 【答案】 B10．(2014·某某高考)记max {x ，y}＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥y，y ，x<y ，min {x ，y}＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x≥y，x ，x<y ，设a ，b为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a|，|b |}B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2【解析】 由三角形法则知min{|a ＋b |，|a －b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a ＋b |，|a －b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a ＋b|，|a －b|}≥|a|2＋|b |2，故选D.【答案】 D11．(2014·某某江南十校联考)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A.53B.83C ．8D ．24 【解析】 因为a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，a ∥b ，所以2x ＋3y ＝3，则3x ＋2y ＝13(3x ＋2y)(2x＋3y )＝13(12＋9y x ＋4xy)≥8.当且仅当错误!，即错误!时等号成立，所以错误!＋错误!的最小值为8，故选C.【答案】 C 12．(2014·某某某某一模)已知g (x )＝ax ＋1，f (x )＝错误!，对∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使g (x 1)＝f (x 2)成立，则a 的取值X 围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1,1]C ．(0,1]D ．(－∞，1]【解析】 当x ∈[0,2]时，f (x )∈[0,3]，当x ∈[－2,0)时，f (x )∈[－4,0)，所以当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4，3]．当a ≥0，x ∈[－2,2]时，g (x )∈[－2a ＋1,2a ＋1]，所以错误!得0≤a ≤1；当a <0，x ∈[－2,2]时，g (x )∈[2a ＋1，－2a ＋1]，所以错误!得－1≤a <0.综上，－1≤a ≤1.故选B.【答案】 B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2014·某某高考)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.【解析】 由题意(a ＋λb )·(a －λb )＝0，∴|a |2＝λ2|b |2，即18＝λ2·2，解得λ＝±3.【答案】 ±3 14．(2014·某某、某某联考)已知x ，y 满足约束条件错误!则x 2＋y 2的最小值是________．【解析】 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到坐标原点的距离的平方．由题意知，当以原点为圆心的圆与直线3x ＋4y －4＝0相切时，x 2＋y 2取得最小值，即x 2＋y 2＝|－4|5＝45，所以(x 2＋y 2)min ＝1625.【答案】 162515．(2014·某某高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值X 围是________．【解析】 ∵当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|作出函数的图象如图所示，可知f (0)＝f (1)＝12，f (3)＝72.若使得f (x )－a ＝0在x ∈[－3,4]上有10个零点，由于f (x )的周期为3，则只需直线y＝a 与函数f (x )＝|x 2－2x ＋12|，x ∈[0,3)的应有4个交点，则有a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 16．(2014·某某潍坊一模)已知函数y ＝f (x )为奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1＋x )＝－f (1－x )．当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)．给出以下4个结论：①函数y ＝f (x )的图象关于点(k,0)(k ∈Z )成中心对称； ②函数y ＝|f (x )|是以2为周期的周期函数； ③当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－log 2(1－x )；④函数y ＝f (|x |)在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上单调递增． 其中所有正确结论的序号为________．【解析】 因为f (2＋x )＝－f (1－(1＋x ))＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )的周期为2，因为f (x )为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，所以f (x )的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f (x )在(2,3)上的图象，然后作出在(1,2)上的图象，左右平移即可得到f (x )的草图如图所示，由图象可知f (x )关于点(k,0)(k ∈Z )对称，故①正确；由y ＝|f (x )|的图象可知y ＝|f (x )|的周期为2，故②正确；当－1<x <0时，2<2－x <3，f (2－x )＝log 2(1－x )＝－f (x )，即f (x )＝－log 2(1－x )，故③正确；y ＝f (|x |)在(－1,0)上为减函数，故④错误．【答案】 ①②③三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |log 2(3－x )≤2}，集合N ＝{x |y ＝ 12x 2－x －6－1}， (1)求M ，N ； (2)求(∁U M )∩N .【解】 (1)∵log 2(3－x )≤2，∴0＜3－x ≤4， ∴－1≤x ＜3.∴M ＝{x |－1≤x ＜3}． 又(12)x 2－x －6－1≥0，∴x 2－x －6≤0， ∴－2≤x ≤3.∴N ＝{x |－2≤x ≤3}． (2)由(1)得∁U M ＝{x |x ＜－1，或x ≥3}． ∴(∁U M )∩N ＝{x |－2≤x ＜－1，或x ＝3}．18．(12分)(2014·某某高考)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上，且OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )．(1)若m ＝n ＝23，求|OP →|；(2)用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值．【解】 (1)∵m ＝n ＝23，AB →＝(1,2)，AC →＝(2,1)，∴OP →＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，∴|OP →|＝22＋22＝2 2.(2)∵OP →＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ， 两式相减，得m －n ＝y －x .令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.19．(12分)设f (x )＝2x2x ＋1，g (x )＝ax ＋5－2a (a ＞0)．(1)求f (x )在x ∈[0,1]上的值域；(2)若对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 0∈[0,1]，使得g (x 0)＝f (x 1)成立，求a 的取值X 围．【解】 (1)∵f ′(x )＝4x x ＋1－2x 2x ＋12＝2x 2＋4xx ＋12≥0在x ∈[0,1]上恒成立，∴f (x )在[0,1]上单调递增．又∵f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (x )在x ∈[0,1]上的值域为[0,1]．(2)f (x )的值域为[0,1]，g (x )＝ax ＋5－2a (a ＞0)在x ∈[0,1]上的值域为[5－2a,5－a ]．由条件，只需[0,1]⊆[5－2a,5－a ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤05－a ≥1⇒52≤a ≤4.∴a 的取值X 围是[52，4]．20．(12分)(2014·某某某某模拟)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？【解】 (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1， 所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256(m x －1)＋m x (2＋x )x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．21．(12分)已知m ∈R ，设p ：x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，不等式|m 2－5m－3|≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立，q ：函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6在R 上有极值，若綈p 或綈q 为假，某某数m 的取值X 围．【解】 由题设x 1和x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，得x 1＋x 2＝a 且x 1x 2＝－2， 所以|x 1－x 2|＝ x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2＋8，当a ∈[－1,1]时，a 2＋8的最大值为9， 即|x 1－x 2|≤3.由题意，不等式|m 2－5m －3|≥|x 1－x 2|对任意的实数a ∈[－1,1]恒成立的m 的解集等于不等式|m 2－5m －3|≥3的解集，由此不等式得m 2－5m －3≤－3①或m 2－5m －3≥3②不等式①的解集为0≤m ≤5.不等式②的解集为m ≤－1或m ≥6.因此，当m ≤－1或0≤m ≤5或m ≥6时，p 是正确的．对函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋43)x ＋6，求导得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋m ＋43.令f ′(x )＝0，即3x 2＋2mx ＋m ＋43＝0.此一元二次方程的判别式Δ＝4m 2－12(m ＋43)＝4m 2－12m －16.若Δ＝0，则x (－∞，x 0) x 0 (x 0，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 ＋因此，f ′(x 0)不是函数f (x )的极值，若Δ＞0，则f ′(x )＝0有两个不相等的实根x 1和x 2(x 1＜x 2)，且f ′(x )的符号如下：x (－∞，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋因此，函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值． 综上所述，当且仅当Δ＞0时，函数f (x )在(－∞，＋∞)上有极值．由Δ＝4m 2－12m －16＞0，得m ＜－1或m ＞4. 因此，当m ＜－1或m ＞4时，q 是正确的． 综上，使p 且q 真，即綈p 或綈q 假时，实数m 的取值X 围为(－∞，－1)∪(4,5]∪[6，＋∞)．22．(12分)(2014·某某高考)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．(1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．【解】 (1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)．此时f ′(x )＝2x ＋12.可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2x ＋12＝ax 2＋2a ＋2x ＋ax x ＋12.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ，由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12x －12x x ＋12≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－a ＋1＋2a ＋1a ，x 2＝－a ＋1－2a ＋1a.由x 1＝a ＋1－2a ＋1－a＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减， x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，综上可得：当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在(0，－a ＋1＋2a ＋1a)，(－a ＋1－2a ＋1a，＋∞)上单调递减，在(－a ＋1＋2a ＋1a ，－a ＋1－2a ＋1a )上单调递增．。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 函数与导数综合题1函数是中学最重要的内容，贯穿高中数学的始终．函数的思想和方法是解决许多数学问题的根本指导思想，加上导数知识后，函数在处理问题上的灵活性进一步得到提高．导数是研究函数性质的强有力工具，利用导数解决函数问题不但避开了初等函数变形技巧性强的难点，而且使解法程序化，变“技巧”为“通法”．因此在求与函数有关的问题(比如函数图象的切线、函数的极值、函数的最值、函数的单调性等)及与不等式有关的问题时，要充分发挥导数的工具性作用，优化解题策略，简化运算过程．函数与导数问题能够考查学生的运算能力、分析能力、化归能力、逻辑思维能力等多种综合能力，是培养学生数学素养的最重要的内容．《考试大纲》对此的要求就不再重述了，下面简述一下此处命制解答题的必然性，首先，函数、导数、不等式是“天生”的密友，它们长期“合作”产生过很多非常优秀的试题，给很多参加过高考的人都留下了深刻的印象；其次，函数的抽象性、不等式的灵活性，也是产生难题的“乐土”；最后，从三者占教材内容的比例上也可以看出在此处命制一道解答题是必然的．例2 (2014·某某某某模拟)(13分)设函数f (x )＝ax ＋2，g (x )＝a 2x 2－ln x ＋2，其中a∈R ，x >0.(1)若a ＝2，求曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程；(2)是否存在负数a ，使f (x )≤g (x )对一切正数x 都成立？若存在，求出a 的取值X 围；若不存在，请说明理由．[解题流程][规X 解答](1)由题意可知当a ＝2时，g (x )＝4x 2－ln x ＋2，则g ′(x )＝8x －1x，(2分) 曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线斜率k ＝g ′(1)＝7，又g (1)＝6，∴曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线的方程为y －6＝7(x －1)，即y ＝7x －1.(5分)(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2(x >0)．假设存在负数a ，使得f (x )≤g (x )对一切正数x 都成立，即当x >0时，h (x )的最大值小于等于零．h ′(x )＝a ＋1x －2a 2x ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x(x >0)． 令h ′(x )＝0，可得x 1＝－12a ，x 2＝1a(舍)．(8分) 当0<x <－12a 时，h ′(x )>0，h (x )单调递增；当x >－12a时，h ′(x )<0，h (x )单调递减． ∴h (x )在x ＝－12a处有极大值，也是最大值．(10分)∴h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ≤0，解得a ≤－12e －34， ∴负数a 存在，它的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12e －34.(13分) [解题模板]第1步：将问题转化为形如不等式f (x )≥a (或f (x )≤a )恒成立的问题；第2步：求函数f (x )的最大值f (x )max (或f (x )的最小值f (x )min )；第3步：解不等式f (x )max ≤a (或f (x )min ≥a )；第4步：明确规X 地表述结论．[反思领悟]1．查看关键点、易错点及解题规X ，如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大值或最小值是否正确．2．学会“跳步解答”解题过程中卡在某一过渡环节上是常见的，这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问当作“已知”，先做第(2)问，跳一步解答．3．学会“逆向解答”对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展．顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证．解答本题第(2)问利用了逆向解答，把不等式f (x )≤g (x )巧妙地转化为h (x )＝f (x )－g (x )＝ax ＋ln x －a 2x 2，从而只需说明h (x )max ≤0时就可求a 的取值X 围．[变题]2．(文)(2014·全国新课标Ⅱ高考)已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a ；(2)证明：当k ＜1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a＝－2，所以a ＝1. (2)证明 由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4.由题设知1－k ＞0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k ＞0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1＜0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x ＞0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x ＞h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g (x )＞h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g (x )＝0在R 有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (理)(2014·全国大纲高考)函数f (x )＝ln (x ＋1)－ax x ＋a(a >1)． (Ⅰ)讨论f (x )的单调性；(Ⅱ)设a 1＝1，a n ＋1＝ln (a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (Ⅰ)【解】 f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －a 2－2a ]x ＋1x ＋a 2. (ⅰ)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数；若x ∈(a 2－2a,0)，则f ′(x )<0，f (x )在(a 2－2a,0)是减函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ⅱ)当a ＝2时，f ′(x )≥0，f ′(x )＝0成立当且仅当x ＝0，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．(ⅲ)当a >2时，若x ∈(－1,0)，则f ′(x )>0，f (x )在(－1，0)是增函数；若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0，f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，f (x )在(a 2－2a ，＋∞)是增函数．(Ⅱ)证明 由(Ⅰ)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞)是增函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln (x ＋1)>2x x ＋2(x >0)． 又由(Ⅰ)知，当a ＝3时，f (x )在[0,3)是减函数．当x ∈(0,3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln (x ＋1)<3x x ＋3(0<x <3)． 下面用数学归纳法证明2n ＋2<a n ≤3n ＋2. (ⅰ)当n ＝1时，由已知23<a 1＝1，故结论成立； (ⅱ)设当n ＝k 时结论成立，即2k ＋2<a k ≤3k ＋2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝ln (a k ＋1)>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2＋1>2×2k ＋22k ＋2＋2＝2k ＋3， a k ＋1＝ln (a k ＋1)≤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＋1<3×3k ＋23k ＋2＋3＝3k ＋3， 即当n ＝k ＋1时有2k ＋3<a k ＋1≤3k ＋3，结论成立． 根据(ⅰ)、(ⅱ)知对任何n ∈N *结论都成立．。

高考数学二轮复习教案【篇一：高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题】专题一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．3. 已知集合a、b，当a∩b＝?时，你是否注意到“极端”情况：a＝?或b＝?？求集合的子集时是否忘记?？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．4. 对于含有n个元素的有限集合m, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.5. ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．2. 已知命题p：n∈n,2n＞1 000，则p为________．3. 条件p：a∈m＝{x|x2－x0}，条件q：a∈n＝{x||x|2}，p是q的______________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)4. 若命题“?x∈r，x2＋(a－1)x＋10”是假命题，则实数a的取值范围为________．【例1】已知集合a＝{x|x2－3x－10≤0}，集合b＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若b?a，求实数p的取值范围．【例2】设a＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，b＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，c＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈n，使得(a∪b)∩c ＝?？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．则下列结论恒成立的是________．a. t，v中至少有一个关于乘法封闭b. t，v中至多有一个关于乘法封闭 c. t，v中有且只有一个关于乘法封闭 d. t，v中每一个关于乘法封闭【例4】已知a0，函数f(x)＝ax－bx2.(1) 当b0时，若?x∈r，都有f(x)≤1，证明：0a≤b； (2) 当b1时，证明：?x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤b.①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是________个．1解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝a12＋a由此可知x10，x20，(3分)①当a0时，a＝{x|xx1}∪{x|xx2}，(5分) 1a∩b≠?的充要条件是x2＜3，即a②当a0时， a＝{x|x1xx2}，(10分) 1a∩b≠?的充要条件是x21，即＋a2＋1，解得a－2，(13分) a62＋3，解得a(9分) a712，x2＝＋aa6?.(14分) 综上，使a∩b≠?成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪??7?一集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用第1讲集合与简单逻辑用语a. 57b. 56c. 49d. 8【答案】 b 解析：集合a的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23＝8个，所以集合s共有56个．故选b.m2y≤2m＋1，x，y∈r}, 若a∩b≠?，则实数m的取值范围是________．1m12＋2? 解析：由a∩b≠?得，a≠?，所以m2≥，m≥m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2当m≤0＝22m＞－m，且＝2m＞－m，又2＋0＝2＞2m222|2－2m|1＋1，所以集合a表示的区域和集合b表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m22|2－2m－1|22或m，解得22≤m≤2＋2或1－m≤1，所以实数m的取值范围222122?. 是??2?点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件．基础训练1. (－∞，3) 解析：a＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，b＝(0，＋∞)，a∪b＝(－∞，＋∞)，a∩b＝[3，＋∞)．2. ?n∈n,2n≤1 0003. 充分不必要解析：m＝(0,1)?n＝(－2,2)．例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ a＝[－2,5]．①当b≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.由b?a得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.②当b＝?时，即p＋12p－1?p＜2.b?a成立．综上得p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关a∩b＝?，a∪b＝a，a∪b＝b 或a?b等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题．变式训练设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为m，如果m?[1,4]，求实数a的取值范围．??f?1?≥0且f?4?≥0，[x1，x2]，m?[1,4]?1≤x1＜x2≤4??－a＋3≥0，??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2，1818－1. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7?7例2 解：∵ (a∪b)∩c＝?，∵a∩c＝?且b∩c＝?，2??y＝x＋1，由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ?y＝kx＋b?∴ 4k2－4bk＋10，此不等式有解，其充要条件是16b2－160，即b21，①2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，?∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0，∴ k2－2k＋8b－190, 从而8b20，即b2.5，②?4k2－8k＋1＜0，??2 ?k－2k－3＜0，?∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(a∪b)∩c＝?．点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题.???1－y＝3变式训练已知集合a＝??x，y???x＋1?????，b＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若a∩b＝?，??求实数k的取值范围．解：集合a表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合b表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，a∩b＝?，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3.例3 【答案】 a 解析：由于t∪v＝z，故整数1一定在t，v两个集合中的一个中，不妨设1∈t，则?a，b∈t，另一方面，当t＝{非负整数}，v＝{负整数}时，t关于乘法封闭，v关于乘法不封闭，故d不对；当t＝{奇数}，v＝{偶数}时，t，v显然关于乘法都是封闭的，故b，c不对．从而本题就选a.例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈r恒成立，又b＞0, ∴a2－4b≤0，∴ 0＜a≤b. (2) 必要性，∵ ?x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1，显然x＝0时成立，111对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋f(x)＝bxx∈(0,1]上单调增，f(x)最大值xxxf(1)＝b－1.1111函数g(x)＝bx＋在?0，?上单调减，在?1?上单调增，函数g(x)的最小值为g?x?b????b?＝2，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立；a2a2aa1122b4b2b2a2f(x)max＝1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b，4bf(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1，∴－1≤f(x)≤1，故充分性成立；综上命题得证．变式训练命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围．2解：使命题甲成立的条件是： ??m＞2.?x1＋x2＝－m＜0?∴集合a＝{m|m2}．【篇二：高三数学二轮复习教案】高三数学二轮复习教案学校：寿县迎河中学汇编：龙如山第一部分：三角问题的题型与方法一、考试内容1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 函数与方程思想，数形结合思想一、选择题1．(文)(2014·某某某某高三综合测试)已知非空集合M 和N ，规定M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，那么M －(M －N )等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．MD ．N【解析】 如图(1)为M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则图(2)为M －(M －N )，特别的，当N ⊆M 时，图(3)为M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，则图(4)为M －(M －N )，∴M －(M －N )＝M ∩N .【答案】 B(理)(2)(2014·某某某某高三综合测试)任取实数a 、b ∈[－1,1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( )A.18B.14C.34D.78【解析】 建立如图所示的坐标系，∵|a －2b |≤2，∴－2≤a －2b ≤2，即为图中阴影部分，∴|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.【答案】 D 2．(2014·某某十二校联考)若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 因为|PF 1|＝4，所以|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝27，根据余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.选C. 【答案】 C3．(2014·某某某某质检)已知x ，y 满足错误!且x 2＋y 2的最小值为8，则正实数a 的取值X 围是( )A ．(0,2]B ．[2,5]C ．[3，＋∞)D ．(0,5]【解析】 画出错误!，表示的平面区域如图所示，由错误!得错误!∴A 点的坐标为(1,3)，z ＝x 2＋y 2表示可行域上的点到原点距离的平方，∴原点到直线x ＋y ＝4的距离d ＝42＝22，∴d 2＝8，过点O 作OB 垂直于直线x ＋y ＝4，垂足为B ，由错误!得错误!∴B 点的坐标为(2,2)，且|OB |2＝8，∴可行域内必含有点(2,2)，当直线y ＝ax －2过点(2,2)时，2＝2a －2，解得a ＝2，观察图象知，0<a ≤2.故选A.【答案】 A4．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值X 围是( ) A ．[－3,1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞) D ．[－1,1]【解析】 由sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0得sin 2x ＋2sin x ＝－a .令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，∴f (x )＝(sin x ＋1)2－1.∴－1≤f (x )≤3，∴－1≤－a ≤3，即－3≤a ≤1.故选A.【答案】 A5．(2014·某某某某诊断)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －1|－1，0<x ≤2，12f x －2，x >2，则关于x 的方程6[f (x )]2－f (x )－1＝0的实数根的个数为( )A ．3B ．7C ．8D ．9 【解析】 由题意，当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x·2－1，0<x <1，2x·12－1，1≤x ≤2，12f x －2，x >2，此时f (x )∈[0,1]．又f (x )为R 上的奇函数，∴f (x )的值域为[－1,1]．令f (x )＝t ，t ∈[－1,1]，∵6[f (x )]2－f (x )－1＝0，∴6t 2－t －1＝0，则t ＝12或t ＝－13.当t ＝12时，结合图象知在x ∈(0,2]上有2个根，在x ∈(2,4]上有1个根；当t ＝13时，结合图象知在[0,4]上有4个根，又f (x )是奇函数，所以当t ＝－13时，在[0,4]上有4个根．综上，方程的实数根个数为7.【答案】 B 二、填空题6．(2014·东北三校联考)已知函数f (x )＝错误!，的值域是[0,2]，则实数a 的取值X 围是________．【解析】 先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 2－3x＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.∴当x ＝1时，f (x )在0≤x ≤a 有最小值f (1)＝0，又f (3)＝2.∴1≤a ≤ 3.【答案】 [1，3]7．(2014·某某某某质检)若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，f(2－x)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H(x)＝|x e x|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为________．【解析】∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，又∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2－x)＝f(－x)，∴2是函数f(x)的周期．令g(x)＝|x e x|，当x≥0时，g(x)＝x e x单调递增；当x<0时，g(x)＝－x e x，∴g′(x)＝－(e x＋x e x)＝－(1＋x)e x，令g′(x)＝0得x＝－1，g(－1)＝e－1＝1e，函数f(x)与g(x)的图象如图所示，观察图象可知，f(x)与g(x)的图象有4个交点，即函数H(x)＝|x e x|－f(x)在区间[－3,1]上的零点个数为4.【答案】 48．(2014·某某高考)已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝4－x2关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值X围是________．【解析】由题意：f(x)＝h x＋g x2，∴h(x)＝2f(x)－g(x)，∵h(x)>g(x)恒成立，∴2f(x)－g(x)>g(x)．∴2f(x)>2g(x)，即f(x)>g(x)恒成立作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，则圆心O到直线y＝3x＋b的距离大于2.∴|b|10>2，∴|b|>210，又b>0，∴b>210.【答案】(210，＋∞)三、解答题9．(2014·某某某某一模)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax (a 为常数)． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值； (2)当0<a ≤2时，试判断f (x )的单调性；(3)若对任意的a ∈(1,2)，x 0∈[1,2]，不等式f (x 0)>m ln a 恒成立，某某数m 的取值X 围．【解】 f ′(x )＝1x＋2x －a .(1)由已知得：f ′(1)＝0，所以1＋2－a ＝0，所以a ＝3. (2)当0<a ≤2时，f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝2x 2－ax ＋1x＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 42＋1－a 28x.因为0<a ≤2，所以1－a 28>0，而x >0，即f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x>0，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)当a ∈(1,2)时，由(2)知，f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝1－a ，故问题等价于：对任意的a ∈(1,2)，不等式1－a >m ln a 恒成立，即m <1－aln a恒成立．记g (a )＝1－a ln a (1<a <2)，则g ′(a )＝－a ln a －1＋aa ln 2a，令M (a )＝－a ln a －1＋a ，则M ′(a )＝－ln a <0， 所以M (a )在(1,2)上单调递减，所以M (a )<M (1)＝0， 故g ′(a )<0，所以g (a )＝1－aln a 在a ∈(1,2)上单调递减，所以m ≤g (2)＝1－2ln 2＝－log 2e ，即实数m 的取值X 围为(－∞，－log 2e]．10．(2014·某某八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足：g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2.(1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值X 围； (3)设f (x )＝错误!讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况．【解】 (1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，①∴g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e －x －9，即g (－x )＋2g (x )＝2e x＋1e x －9，②由①②联立解得：g (x )＝e x－3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1， 由h (－3)＝－2，解得a ＝－1，∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1，∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1，(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝g (x )－xg (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3， 依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max .∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )e x ＋3＝－x e x＋3，在[－1,1]上单调递减， ∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0，∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ－1＝7－a ≥0，φ1＝a ＋3≥0，解得：－3≤a ≤7，∴实数a 的取值X 围为[－3,7]．(3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T ＝－1或T ＝ln 5，∴f (x )＝－1有2个解，f (x )＝ln 5有3个解．∴f [f (x )]＝2有5个解．。

专题大模拟(四)(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)1．(2013·全国新课标Ⅰ高考)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B【解析】 先求解集合A ，再进行集合之间的运算． ∵A ＝{x |x >2或x <0}，B ＝{x |－5<x <5}，∴A ∩B ＝{x |－5<x <0或2<x <5}，A ∪B ＝R .故选B. 【答案】 B2．(2014·全国大纲高考)设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( )A ．－1＋3iB ．－1－3iC ．1＋3iD ．1－3i【解析】 z ＝10i 3＋i ＝10i 3－i 32＋12＝i(3－i)＝－i 2＋3i ＝1＋3i. ∴z －＝1－3i. 【答案】 D3．(2013·某某高考)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 【解析】 对各个命题逐一进行判断，得出结论．对于命题①，设球的半径为R ，则43π(R 2)3＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 【答案】 C 4．(2014·某某高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3【解析】 无论哪种抽样，每个个体被抽到的概率都相等． 【答案】 D5．(2013·高考)双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2【解析】 用m 表示出双曲线的离心率，并根据离心率大于2建立关于m 的不等式求解．∵双曲线x 2－y 2m＝1的离心率e ＝1＋m ，又∵e >2，∴1＋m >2，∴m >1.【答案】 C6．(2014·某某高考)由不等式组错误!确定的平面区域记为Ω1，不等式组错误!确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78【解析】 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.选D. 【答案】 D7．(2014·某某某某调研)执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为(注：“a ＝2”即为“a ←2”)( )A ．2 B.13C ．－12D ．－3【解析】 i ＝1，a ＝－3，i ＝2，a ＝－12；i ＝3，a ＝13；i ＝4，a ＝2；i ＝5，a ＝－3；…；i ＝2 013，a ＝－3；i ＝2 014，循环结束，输出的a ＝－3.故选D.【答案】 D8．(2014·某某高考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A ．f (x )＝xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝tan xD ．f (x )＝cos(x ＋1)【解析】 由f (x )＝f (2a －x )，∴y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称(a ≠0)．题中四个函数中，存在对称轴的有B ，D ，而B 中f (x )＝x 2的对称轴为x ＝0，不满足题意，故选D.【答案】 D9．(2014·某某联考)函数f (x )＝14x 2＋2cos x ＋2的导函数f ′(x )的图象大致是( )【解析】 ∵f ′(x )＝12x －2sin x ，显然是奇函数，∴排除A.而[f ′(x )]′＝12－2cos x＝0有无穷多个根，∴函数f ′(x )有无穷多个单调区间，排除C 、D ，故选B.【答案】 B10．(2014·某某高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )【解析】 如图：如图知，C 正确． 【答案】 C11．(2014·全国大纲高考)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【解析】 ∵f (x ＋2)为偶函数， ∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即f (x ＋4)＝f (－x )． 又f (－x )＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )的周期为8.∴f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1. 【答案】 D12．(2014·某某、某某联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )A.x 216－y 29＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 24－y 23＝1 【解析】 由题意，圆的半径为5，又点(3,4)在经过第一、三象限的渐近线y ＝bax 上，因此有错误!解得错误!所以此双曲线的方程为错误!－错误!＝1. 【答案】 C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(文)(2014·某某高考)已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．【解析】 圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为C (－1,2)，半径为3.因为AC ⊥BC ，所以圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，即|－1－2＋a |2＝322，所以a ＝0或6. 【答案】 0或6(理)(2014·某某八市联考)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6的展开式中的常数项为________．【解析】 因为a ＝(－cosπ＋sinπ)－(－cos 0＋sin 0)＝2，所以二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x r ＝C r 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r ·x 6－2r ，令r ＝3可得展开式的常数项为C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－52.【答案】 －5214．(2014·某某高考)在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为________．【解析】 ∵A＝π6，由AB →·AC →＝tan A ，∴|AB →|·|AC →|·cos A ＝tan A ，即|AB →|·|AC →|×32＝33，∴|AB →|·|AC →|＝23S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×23×12＝16.【答案】 1615．(2014·全国大纲高考)若函数f(x)＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值X 围是________．【解析】 f(x)＝cos 2x ＋a sin x ，∴f′(x)＝－2sin 2x ＋a cos x由已知f′(x)＝－2sin 2x ＋a cos x≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即－4sin x cos x ＋a cos x≤0在⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立，即a≤4sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2恒成立． 令g(x)＝4sin x ，∴g(x)min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4sin π6＝2. ∴a≤2.【答案】 (－∞，2]16．(2014·某某某某二模)若正数x ，y 满足2x ＋y －3＝0，则x ＋2yxy的最小值为________．【解析】 x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝2x ＋y 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ＋2x y ≥13·⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22y x ·2x b ＝3.(当且仅当x ＝y 时取等号)． 【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(12分)(2014·某某模拟)在数列{a n }中，a 1＝23，若函数f(x)＝x 3＋1在点(1，f(1))处的切线过点(a n ＋1，a n )．(1)求证：数列{a n －12}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式和前n 项和公式S n .【解】 (1)证明 因为f′(x)＝3x 2，所以切线的斜率为k ＝3，切点是(1,2)，切线方程为y －2＝3(x －1)⇒3x －y －1＝0，又因为过点(a n ＋1，a n )，所以3a n ＋1－a n －1＝0，即3a n ＋1＝a n＋1所以3a n ＋1－32＝a n －12⇒3(a n ＋1－12)＝a n －12⇒a n ＋1－12a n －12＝13，即数列{a n －12}为等比数列，其中公比q ＝13.(2)由(1)得{a n －12}为公比为q ＝13，首项a 1－12＝23－12＝16的等比数列，则a n －12＝16·(13)n－1，∴a n ＝12·(13)n ＋12，S n ＝12(13＋132＋…＋13n )＋n 2＝1－13n4＋n 2＝3n －14·3n ＋n 2(n ∈N *)．18．(文)(12分)(2014·某某高考)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率． 【解】 (1)据直方图知组距为10，由(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝1，解得a ＝1200＝0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1，A 2成绩落在[60,70)中的3人为B 1，B 2，B 3，则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个： (B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率为p ＝310.(理)(12分)(2014·某某某某综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不能被聘用的概率是625，乙、丙两人同时能被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望)．【解】 (1)记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A 1、A 2、A 3，由已知A 1、A 2、A 3相互独立，且满足⎩⎪⎨⎪⎧P A 1＝25，[1－P A 1][1－P A 3]＝625，P A2P A 3＝310，解得P (A 2)＝12，P (A 3)＝35.所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为12、35.(2)ξ的可能取值为1、3.因为P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋[1－P (A 1)][1－P (A 2)][1－P (A 3)] ＝25×12×35＋35×12×25＝625， 所以P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝3)＝1－625＝1925，所以ξ的分布列为ξ 1 3P 1925 625所以E (ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.19．(文)(12分)(2014·某某高考)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，P ，Q ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，DD 1，BB 1，A 1B 1，A 1D 1的中点．求证：(1)直线BC 1∥平面EFPQ ； (2)直线AC 1⊥平面PQMN .【证明】 (1)如图，连接AD 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知AD 1∥BC 1，因为F ，P 分别是AD ，DD 1的中点，所以FP ∥AD 1.从而BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)连接AC ，BD ，则AC ⊥BD .由CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 可得CC 1⊥BD .又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1.连接B 1D 1，因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，所以MN ∥B 1D 1，故MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1.同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .(理)(12分)(2014·某某高考)如图，四棱锥P ­ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . (1)求证：AB ⊥PD ；(2)若∠BPC ＝90°，PB ＝2，PC ＝2，问AB 为何值时，四棱锥P ­ABCD 的体积最大？并求此时平面BPC 与平面DPC 夹角的余弦值．(1)【证明】 ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ； 又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PD .(2)【解】 过P 作AD 的垂线，垂足为O ，过O 作BC 的垂线，垂足为G ，连接PG .故PO ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面POG ，BC ⊥PG .在Rt △BPG 中，PG ＝233，GC ＝263，BG ＝63.设AB ＝m ，则OP ＝PG 2－OG 2＝43－m 2，故四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13·6·m ·43－m 2＝m 38－6m 2. 因为m 8－6m 2＝8m 2－6m 4＝－6m 2－232＋83，故当m ＝63，即AB ＝63时，四棱锥P －ABCD 的体积最大．此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫63，－63，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫63，263，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，263，0，P ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，63.故PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63，263，－63，BC →＝(0，6，0)，CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，0，0，设平面BPC 的一个法向量n 1＝(x ，y,1)，则由n 1⊥PC →，n 1⊥BC →得 ⎩⎪⎨⎪⎧63x ＋263y －63＝0，6y ＝0，解得x ＝1，y ＝0，n 1＝(1,0,1)．同理可求出平面DPC 的一个法向量n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1.从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝12·14＋1＝105.20．(文)(12分)(2014·某某某某调研)已知函数f (x )＝e x－1－x . (1)求f (x )的最小值；(2)设g (x )＝ax 2，a ∈R .(ⅰ)证明：当a ＝12时，y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有唯一的公共点；(ⅱ)若当x >0时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝g (x )的图象的上方，某某数a 的取值X 围．【解】 (1)求导数，得f ′(x )＝e x－1. 令f ′(x )＝0，解得x ＝0.当x <0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数； 当x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 故f (x )在x ＝0处取得最小值f (0)＝0.(2)设h (x )＝f (x )－g (x )＝e x －1－x －ax 2，则h ′(x )＝e x－1－2ax .(ⅰ)当a ＝12时，y ＝e x －1－x 的图象与y ＝ax 2的图象公共点的个数等于h (x )＝e x－1－x－12x 2零点的个数． ∵h (0)＝1－1＝0， ∴h (x )存在零点x ＝0.由(1)，知e x≥1＋x ，∴h ′(x )＝e x－1－x ≥0，∴h (x )在R 上是增函数，∴h (x )在R 上有唯一的零点．故当a ＝12时，y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有唯一的公共点．(ⅱ)当x >0时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝g (x )的图象的上方⇔当x >0时，f (x )>g (x )，即h (x )＝e x －1－x －ax 2>0恒成立．由(1)，知e x≥1＋x (当且仅当x ＝0时等号成立)，故当x >0时，e x>1＋x .h ′(x )＝e x －1－2ax >1＋x －1－2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，h ′(x )≥0(x >0)，∴h (x )在(0，＋∞)上是增函数，又h (0)＝0， 于是当x >0时，h (x )>0.由e x>1＋x (x ≠0)，可得e －x>1－x (x ≠0)，从而当a >12时，h ′(x )＝e x －1－2ax <e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x－2a )，故当x ∈(0，ln 2a )时，h ′(x )<0， 此时h (x )在(0，ln 2a )上是减函数， 又h (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，h (x )<0.综上可知，实数a 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (理)(12分)(2014·某某某某一模)已知函数f (x )＝k (x －1)e x ＋x 2.(1)当k ＝－1e时，求函数f (x )在点(1,1)处的切线方程；(2)若在y 轴的左侧，函数g (x )＝x 2＋(k ＋2)x 的图象恒在f (x )的导函数f ′(x )图象的上方，求k 的取值X 围；(3)当k ≤－1时，求函数f (x )在[k,1]上的最小值m .【解】 (1)当k ＝－1e 时，f (x )＝－1e(x －1)e x ＋x 2，f ′(x )＝－x e x －1＋2x ，f ′(1)＝1，函数f (x )在点(1,1)处的切线方程为y ＝x .(2)f ′(x )＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋2k <x 2＋(k ＋2)x ，即kx e x －x 2－kx <0.因为x <0，所以k e x－x －k >0，令h (x )＝k e x －x －k ，则h ′(x )＝k e x－1.当k ≤0时，h (x )在(－∞，0)上为减函数，h (x )>h (0)＝0，符合题意； 当0<k ≤1时，h (x )在(－∞，0)上为减函数，h (x )>h (0)＝0，符合题意 当k >1时，h (x )在(－∞，－ln k )上为减函数，在(－ln k ，0)上为增函数，h (－ln k )<h (0)＝0，不合题意．综上：k ≤1.(3)f ′(x )＝kx e x＋2x ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋2k ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，令g (k )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －k ，则g ′(k )＝－1k－1≤0，g (k )在k ＝－1时取最小值g (－1)＝1＋ln 2>0，所以x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k >k .当－2<k ≤－1时，x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k >0，f (x )的最小值m ＝min{f (0)，f (1)}＝min|－k,1|＝1；当k ＝－2时，函数f (x )在区间[k,1]上为减函数，m ＝f (1)＝1； 当k <－2时，f (x )的最小值m ＝min{f (x 2)，f (1)}，f (x 2)＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k －1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＝x 22－2x 2＋2>1，f (1)＝1，此时m ＝1. 综上，m ＝1.21．(12分)(2014·某某联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t ，0)，使得MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【解】 (1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由错误!得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0，即m 2＝3＋4k 2.设P (x p ，y p )，则x p ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m ，y p ＝kx p ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m ，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m . ∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )， ∴MP →·MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m －t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故错误!，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(10分)(选修4－1：几何证明选讲)(2014·某某六市4月联考)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB ＝BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径．(1)求证：AC ·BC ＝AD ·AE ；(2)过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，若AF ＝4，CF ＝6，求AC 的长．【解】 (1)证明：连接BE ，则△ABE 为直角三角形，因为∠ABE ＝∠ADC ＝90°，∠AEB ＝∠ACB ，所以△ABE ～△ADC ， 则AB AD ＝AE AC，即AB ·AC ＝AD ·AE . 又AB ＝BC ，所以AC ·BC ＝AD ·AE .(2)因为FC 是⊙O 的切线，所以FC 2＝AF ·BF .又AF ＝4，CF ＝6，则BF ＝9，AB ＝BF －AF ＝5.因为∠ACF ＝∠CBF ，又∠CFB ＝∠AFC ，所以△AFC ∽△CFB ，则AF CF ＝AC CB ，即AC ＝AF ·CB CF ＝103. 23．(10分)(选修4－4：坐标系与参数方程)(2014·某某二模)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－22t ，y ＝22t (t 为参数)，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【解】 (1)将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入ρ2sin 2θ＝ρcos θ中，得y 2＝x ，∴曲线C的直角坐标方程为y2＝x.(2)把错误!代入y2＝x整理得t2＋2t－4＝0，Δ>0恒成立．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝－22－4×－4＝3 2.24．(10分)(选修4－5：不等式选讲)(2014·某某第三次调研)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|，x∈R.(1)求不等式f(x)≤x＋10的解集；(2)如果关于x的不等式f(x)≥a－(x－2)2在R上恒成立，某某数a的取值X围．【解】(1)f(x)＝错误!当x<－1时，－2x＋4≤x＋10，得x≥－2，则－2≤x<－1；当－1≤x≤5时，6≤x＋10，得x≥－4，则－1≤x≤5；当x>5时，2x－4≤x＋10，得x≤14，则5<x≤14.综上可得，不等式的解集为[－2,14]．(2)设g(x)＝a－(x－2)2，由函数f(x)的图象与g(x)的图象可知：f(x)在x∈[－1,5]时取最小值为6，g(x)在x＝2时取最大值为a，若f(x)≥g(x)恒成立，则a≤6.所以实数a的取值X围是(－∞，6]．。

山东师大附中2015级高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题（13）3； （14）31； （15）)2,0(； （16）①③⑤. 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）xb ax x f +='2)( 由题意⎪⎩⎪⎨⎧='=,0)1(,21)1(f f ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒,02,2101ln b a a b a ⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒121b a ；…………4分（Ⅱ）函数定义域为),0(+∞…………6分令010)(>-⇒>'x x x f 102>⇒>-⇒x x x ，∴单增区间为),1(+∞；…8分 令010)(<-⇒<'xx x f 1002<<⇒<-⇒x x x ，∴单减区间为)1,0(…10分18.【解析】（Ⅰ）由题意知41cos )cos 21sin 23(cos )(2+-+⋅=x x x x x f 41)2cos 1(412sin 4341cos 21cos sin 232++-=+-⋅=x x x x x )62sin(21cos 412sin 43π-=-=x x x …………4分 ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分 （Ⅱ） )62sin(21)(π-=x x f ， ]4,4[ππ-∈x 时，∴]3,32[62πππ-∈-x …………8分∴262ππ-=-x 时，即1)62sin(-=-πx 时，21)(min -=x f ；…………10分 当332ππ=-x 时，即23)62sin(=-πx 时，43)(max =x f …………12分19.【解析】若命题p 为真，则m m m m +-≤-+-22222，12022≤≤-⇒≤-+⇒m m m …………2分所以若命题p 为假，则1>m 或2-<m …………3分 若命题q 为真，则0≤m …………5分 所以若命题q 为假，0>m …………6分由题意知：q p ,两个命题一真一假，即p 真q 假或p 假q 真…………8分所以⎩⎨⎧>≤≤-012m m 或⎩⎨⎧≤-<>021m m m 或…………10分所以10≤<m 或2-<m …………12分20. 【解析】（Ⅰ）x t 2log =在]8,81[∈x 单调递增，32log 81log 322-==-，32log 8log 322==，所以]3,3[-∈t …………4分 （Ⅱ）)log 2()log 2()log 2(log )log 4(log )(222222x x x x x f +⋅-=+⋅-=…………6分 令x t 2log =，则由（Ⅰ）知：]3,3[-∈t 所以2)1)(2(2++-=+-=t t t t y …………8分对称轴为]3,3[21-∈=t ，所以49max =y ，此时221log 2=⇒==x x t …………10分 10min -=y ，此时813log 2=⇒-==x x t …………12分21. 【解析】（Ⅰ）)(x f 的周期π=T ，22==∴Tπω…………1分 ∴将)(x f 的图象向右平移3π个单位长度后得])3(2sin[)(ϕπ+-=x A x g由题意)(x g 的图象关于y 轴对称，∴Z ,2)3(2∈+=+-⨯k k ππϕπ即Z ,67∈+=k k ππϕ 又)62sin()(,6,2||ππϕπϕ+=∴=∴<x A x f …………4分1,216sin 67sin )2(=∴-=-==A A A f πππ …………5分)62sin()(π+=∴x x f …………6分（Ⅱ）由1352cos 135)6322sin(135)3(=⇒-=+-⇒-=-αππαπαf ， 532cos 53)632sin(53)6(=⇒=++⇒=+βππβπβf …………8分542sin ,13122sin ),2,0(2,2),4,0(,==∴∈∴∈βαπβαπβα…………10分6516541355313122sin 2cos 2cos 2sin )22sin(=⨯-⨯=-=-∴βαβαβα…12分22. 【解析】（Ⅰ）x e x p x 3)(-='，03)(2>+=''xe x p x恒成立所以xe x p x3)(-='在]2,1[单调递增， …………2分03)1(<-='e p ，023)2(2>-='e p ，)2,1(0∈∃∴x ，使0)(0='x p当],1[0x x ∈时，0)(<'x p ，)(x p 单调递减；当]2,[0x x ∈时，0)(>'x p ，)(x p 单调递增. …………4分 又e p =)1(，e e p >-=2ln 3)2(2，)(x p ∴在]2,1[上的最大值为2ln 3)2(2-=e p .…………6分（Ⅱ）x xmmx x p x h x f ln 4)()()(--=+=， 22244)(xmx mx x x m m x f +-=-+='， 由题意知：042=+-m x mx 在)2,0(有两个变号零点，即214xxm +=在)2,0(有两个变号零点 ..…………8分 令214)(x xx g +=，222222)1(44)1(24)1(4)(x x x x x x x g ++-=+⋅-+='， 令10)(=⇒='x x g ，且)1,0(∈x 时，0)(>'x g ，)(x g 单调递增；)2,1(∈x 时，0)(<'x g ，)(x g 单调递减，..…………10分又58)2(,2)1(,0)0(===g g g ，)2,58(∈∴m ..…………12分。

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习 攻略一 函数与方程思想，数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，是历年高考的重点和热点，主要依据题意，构造恰当的函数，或建立相应的方程来解决问题，它涉及三大题型．高、中、低档试题都有出现．近几年来代数压轴题多为考查应用函数思想解题的能力．函数与方程思想的应用主要体现在以下几方面：(1)函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题．需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切．1．运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题此类问题是多元问题中的常见题型，通常有两种处理思路：一是分离变量构造函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将问题转化为二次方程，进而构造函数加以解决．【例1】 (2014·福建高考)已知函数f(x)＝e x－ax(a 为常数)的图象与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.【解】 (1)由f(x)＝e x －ax ，得f′(x)＝e x－a. 又f′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2.所以f(x)＝e x －2x ，f′(x)＝e x－2. 令f′(x)＝0，得x ＝ln 2.当x ＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x ＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 所以当x ＝ln 2时，f(x)有极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)无极大值．(2)令g(x)＝e x －x 2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g′(x)＞0.所以g(x)在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0，所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x.(3)对任意给定的正数c ，取x 0＝1c，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x.所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x ＜c e x.因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x.2．运用函数与方程思想解决数列问题数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．【例2】 已知S n ＝1＋12＋13＋…＋14(n ∈N *)，设f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的正整数n ，不等式f (n )>[log m (m －1)]2－1120·[log (m －1)m ]2恒成立．【解】 由f (n )＝S 2n ＋1－S n ＋1，得f (n )＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋1，∴f (n ＋1)＝1n ＋3＋1n ＋4＋…＋12n ＋3.∴f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋2－12n ＋4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋4>0. ∴f (n )>f (n －1)>…>f (3)>f (2)(n ∈N *，n ≥2)．∴f (n )min ＝f (2)＝12＋2＋12＋3＝920.要使对于一切大于1的正整数n ，原不等式恒成立，只需不等式920>[log m (m －1)]2－1120[log (m－1)m ]2成立．设y ＝[log m (m －1)]2，则y >0.于是⎩⎪⎨⎪⎧920>y －1120y ，y >0，解得0<y <1.从而⎩⎪⎨⎪⎧0<[log mm －2<1，m >0，m ≠1，m －1≠1，m －1>0，解得m >1＋52且m ≠2.∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，2∪(2，＋∞)．3．运用函数与方程思想解决几何问题在立体几何和解析几何中有许多问题需要运用到方程或建立函数表达式的方法加以解决．特别是在解析几何中涉及到范围或最值问题时可用如下思路去完成：第一步：联立方程． 第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．第五步：回顾反思．在研究直线与圆锥曲线的位置关系问题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约，这是求解这类问题的关键环节．【例3】 (2014·四川高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .(ⅰ)证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；(ⅱ)当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．(Ⅰ)【解】 由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(Ⅱ)(ⅰ)【证明】 由(Ⅰ)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－－＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0.所以y 1＋y 2＝4m m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .(ⅱ)【解】 由(ⅰ)可得，|TF |＝m 2＋1， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22 ＝m 2＋y 1＋y 22－4y 1y 2]＝m 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3＝24m 2＋m 2＋3所以|TF ||PQ |＝124·m 2＋2m 2＋1＝124·⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124＋＝33.当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 所以当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．二、数形结合思想数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域(最值)及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系．1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象；(3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线；(5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可；(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．2．运用数形结合思想解决讨论方程内解或图象的交点问题用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角函数等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．【例4】 (2014·天津高考)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________．【解】 原问题等价于方程f (x )＝a |x －1|恰有4个互异的实数根 解法一：分别画出函数y ＝f (x )与y ＝a |x －1|的图象(1)由x 2＋3x ＝a (x －1)得， x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，Δ＝(3－a )2－4a ，由Δ＝0得a ＝9或a ＝1(舍)， 此时a >9，(2)由－x 2－3x ＝a (1－x )，得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0，由Δ＝0得a ＝1或a ＝9(舍)， 结合图象知0<a <1，由(1)(2)知0<a <1或a >9，∴a ∈(0,1)∪(9，＋∞)． 解法二：分离参数法a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋3x x －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －＋4x －＋5， 由平移和对称知 画出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1＋4x －1＋5的图象， 由图知a ∈(0,1)∪(9，＋∞)． 【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)3．运用数形结合思想解决有关最后问题“形”可以使某些抽象问题具体化，而‘数”可以使思维精确化，应用数形结合在某些求最值问题中，可以收到意想不到的效果．(1)把代数式进行几何转化，转化为具有直观几何意义构图形，例如①y 2－y 1x 2－x 1看作直线的斜率，转化为平面直角坐标系内两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的连线的斜率，特别适用于一个定点和一个动点(动点在一个区域内)的形式：②a －m 2＋b －n 2或(a －m )2＋(b －n )2：看作是两点(a ，b )和(m ，n )间的距离或距离的平方．(2)其他具有几何意义的概念都可以利用相关的几何图形直观进行分析判断，例如：①向量的问题，可以考虑用向量的图形大小与方向及向量运算的几何意义构造图形直观解题；②复数与复平面内的点的一一对应关系，可以把复数的有关运算转化为图形．【例5】 (1)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≤4，x ≥0，①求函数z ＝y ＋3x ＋1的值域； ②求w ＝x ＋2＋y ＋2的最值．(2)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)①由解析几何知识可知，所给的不等式组表示圆x 2＋y 2＝4的右半圆域(含边界)，z ＝y ＋3x ＋1可改写为y ＋3＝z (x ＋1)，把z 看作参数，则此方程表示过定点P (－1，－3)，斜率为z 的直线系．所求问题的几何意义是：求过半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点与点P (－1，－3)的直线斜率的最大、最小值．由图显见，过点P 和点A (0,2)的直线斜率最大，z max ＝2－－0－－＝5.过点P 向半圆作切线，切线的斜率最小．设切点为B (a ，b )，则过B 点的切线方程为ax ＋by ＝4.又B 在半圆周上，P 在切线上，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，－a －3b ＝4.又a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2＋365，b ＝－6－65，因此z min ＝26－33.综上可知函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤26－33，5.②所求问题的几何意义是：求半圆域x 2＋y 2≤4(x ≥0)内或边界上任一点到P (－1，－3)的距离的最大值与最小值，由数形结合可知w max ＝|PO |＋r ＝10＋2，w min ＝|PC |＝12＋－2＋2＝2，即最大值为10＋2，最小值为 2.(2)f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图．令x ＋2＝10－x ，解得x ＝4.当x ＝4时，f (x )取最大值，f (4)＝4＋2＝6.故选C.【答案】 C4．运用数形结合思想解决解析几何中的问题在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．【例6】 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值．【解】 根据题意，画出图形如下图，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，Rt △PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线3x ＋4y ＋8＝0时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.。

2015届高考数学二轮复习最新模拟试题汇编专题六 理（含解析）1. 【2015重庆一中高三期中】直线()011:1=-+-y x a l 和023:2=++ay x l 垂直，则实数a 的值为( )【答案】D【解析】由已知得：3(a-1)+a=0得 D. 2．【2015福建安溪一中月考】对任意实数a ，直线32y ax a =-+所经过的定点是 ( )A ．(2,3)B ．(3,2)C ．(2,3)-D ．(3,2)-【答案】B【解析】直线32y ax a =-+变为(3)(2)0a x y -+-=.又a ∈R ，所以3020x y -=⎧⎨-=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，得定点为(3,2).故选B.3. 【2015限的一个必要不充分条件是( )A ．0mn >B ．0<mnC ．0m <且0n >D ．0m >且0<n 【答案】B得0,0<>n m ，但此为充要条件，因此其必要不充分条件为0<mn ，选B4. 【2015山东省实验中学第三次诊断考试】设,,a b c 分别是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直【答案】C【解析】由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx ﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k 1k 2===-1，则直线sinA•x+ay+c=0与bx ﹣sinB•y+sinC=0垂直，故选C ．5. 【2015安徽省江南十校期末大联考】已知1l ：x+2y+1=0, 2l :Ax+By+2=0(A,B ∈{1,2,3,4},则直线1l 与2l 不平行的概率为（ ）【答案】A【解析】由A,B ∈{1,2,3,4}，则有序数对（A,B ）共有16种等可能基本事件，而（A,B ）取值为（1,2）时，12l l ，故12l l 与不平行的概率为 6.【2015江西省重点中学协作体第一次联考】已知两点A (1,2),B (3,1)到直线l 距离分别是则满足条件的直线l 共有( )条A.1B.2C.3D.4 【答案】C【解析】当A ，B 位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条，又因，而A 到直线l 与B 到直线l 距离之和A ，B 位于直线l 两侧时，存在一条与AB 垂直且距离A ，B 分3条.7. 【2015辽宁师大附中月考】经过点P （1,4）的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为（ ） A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0【答案】B1,4），当且仅当，即62==a b 时，等号成立，所以直线方程为，即062=-+y x .8. 【2015陕西高三大联考（四）】直线)(01cos R y x ∈=--θθ的倾斜角α的范围为【解析】斜率为θcos =k ]1,1[-∈，即]1.1[tan -∈α，所以9. 【2015江苏淮安市第二次调研】己知a ，b 为正数，且直线 60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________.【答案】25【解析】∵直线 60ax by +-=与直线 2(3)50x b y +-+=互相平行， ∴()320a b b --=且5120a +?， ∴32a b ab +=，即a ，b 均为正数，当且仅当5a b ==时上式等号成立．故答案为：25．10. 【2015安徽省黄山市第一次质检】在直角坐标系中，定义两点P （x 1，y l ），Q （x 2，y 2）之间的“直角距离为d （P ，Q 现有以下命题：①若P ，Q 是x 轴上两点，则d （P ，Q ）②已知两点P （2，3），Q （22sin,cos αα）,则d （P ，Q ）为定值；③原点O 到直线x －y+1=0上任意一点P 的直角距离d （O ，P④若|PQ|表示P 、Q 两点间的距离，那么|PQ|（P ，Q ）；其中为真命题的是 （写出所有真命题的序号）。

江西师大附中2015届高三精讲材料新课标模拟1数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项． 1.若集合{}2lg,1x M x y N x x x -⎧⎫===<⎨⎬⎩⎭,则 R M N ⋂=ð( ) A ()0,2 B ()0,2 C [)1,2 D ()0,+∞【答案】C2．设复数21,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，i z +=21，则=⋅21z z （ ） A ．5- B.5 C ．i +-4 D ．i --4 【答案】A3．已知命题p ：函数()f x x a =+在(,1)-∞-上是单调函数，命题q ：函数()log ()a f x x a =+（0a >且1a ≠）在(2,)-+∞上是增函数，则p ⌝成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 命题p 成立，则a -≥-1，即1a ≤. p ⌝成立，则1a >.命题q 成立，则120a a >⎧⎨-+≥⎩，即2a ≥，故选B. 4.已知函数2()log f x x =，若在[1,8]上任取一个实数0x ，则不等式01()2f x ≤≤成立的概 率是（ ）A. 14B. 13C. 27D. 12【答案】C 02001()21log 224f x x x ≤≤⇒≤≤⇒≤≤，∴所求概率为422817-=-.5．一平面截一球得到直径为25cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm ，则该球的体积是（ ）A ．12 cm 3B ．36πcm 3C ．646πcm 3D ．108πcm 3【答案】B试题分析：因为球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理得，球半径22253R =+=，故球的体积为34363R ππ⋅=3cm ．6.变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y=-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是（ ）A. 3k <-B. 1k >C. 31k -<<D. 11k -<< 【答案】 C 【解析】作出不等式组对应的平面区域，由z =kx -y 得y =kx -z ，要使目标函数z =kx -y 仅在点A （0，2）处取得最小值，则阴影部分区域在直线y =kx -z 的下方，∴目标函数的斜率k 满足31k -<<.7.某班有24名男生和26名女生，数据1a ，2,a …50,a 是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩（成绩不为0），如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均数：A ，男生平均分：M ，女生平均分：W -.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入（ ）A. 0,50M WT A +>=？ B. 0?,50M WT A +<=C. 0?,50M WT A -<=D. 0?,50M WT A ->=【答案】D 依题意知，全班成绩的平均数应等于班级中所有学生的成绩总和除以总人数，注意到当0T >时，输入的是某男生的成绩；当0T <时，输入的是某女生的成绩的相反数.8.偶函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(ω为正整数，||2πϕ<），且()f x 在(,)63ππ上递减，则()f x 的周期不可能是（ ）A ．2πB ．πC ．23πD ．2π【答案】D ()2sin()4f x x πωϕ=++()f x Q 为偶函数||2πϕ<，4πϕ∴=()2cosco f x x ∴= 当1,2,3ω=时，()f x 的周期为22,,3πππ且()f x 在(,)63ππ上递减，=4ω时，,()2T f x π=不在(,)63ππ递减 ∴选D9．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个三棱锥的侧视图和俯视图，则该三棱锥的正视图可能是（ ）【答案】A【解析】因为正视图与俯视图的底相同，所以排除C,D ；正视图应为实线，故排除C ；侧视图俯视图10.在平面坐标系xOy 中，抛物线22y px =的焦点F 与椭圆22162x y +=的左焦重合，点A 在抛物线上，且||4AF =，若P 是抛物线准线上一动点，则||||PO PA +的最小值为（ ）A. 6B. 242+C. 213D. 45+ 【答案】C Q 椭圆22162x y +=的左焦为(2,0)-，∴抛物线的方程为28y x =-，其准线为:2l x =.设点A 的横坐标为a ，则由抛物线的定义知，||AF =24a -=，2a ∴=-，进而点(2,4)A -，坐标原点O 关于准线对称的点为(4,0)B ，||||PO PA ∴+的最小值为22||(24)(40)213AB =--+-=.故选C11．设向量a,b 满足1||||1,,2()()||||2==⋅=---=--a b a b a c b c a c b c ，则||c 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A 解：如图作0=,,120OA a OB b AOB =∠=u u u r u u u r作,,OC c CA a c CB b c ==-=-u u u r u u u r u u u r则则060,ACB ∠=∴O 、A 、C 、B 四点共圆 0||||1,120,3OA OB AOB AB ==∠=∴=u u u r u u u rQ ||c ∴的最大值为32= ∴选A12.已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．任何一个三次函数都有“拐点”，且其“拐点”恰好就是该函数的对称中心．设函数32115()33212f x x x x =-+-，则1220142015()()()()2016201620162016f f f f ++++=L （ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．1007.5【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。