投影面的平行平面

2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。

如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。

图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。

分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。

图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。

分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。

作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。

2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。

两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。

X坐标确定两点的左右位置关系。

X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。

Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。

Z坐标值大的点在上。

图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。

3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。

此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。

平面的投影由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。

但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。

从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。

平面的表示方法1．不在一条直线上的三点；2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。

图2—21几何元素表示平面平面形在三面投影体系中的特性平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。

平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。

三角形是最简单的平面形，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。

其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。

其它多边形的作法与此类似。

又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。

图2—22一般位置平面的投影图2—23投影面平行面的投影特性平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。

一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。

由此得到一般位置平面的投影特性：（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。

2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。

如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。

三种投影面平行面的投影特征：（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。

各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。

后两类直线又称为特殊位置直线。

1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。

2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。

直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。

投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。

图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。

3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。

又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。

表3-1为投影面平行线的投影特性。

表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。

初中数学平面图形的投影有哪些种类平面图形的投影有多种类型，包括水平投影、垂直投影、斜投影、正投影、侧视图和俯视图等。

下面将详细介绍每种投影的特点和应用。

1. 水平投影：水平投影是将平面图形在水平投影平面上的投影表示。

在水平投影中，投影平面与地面平行。

它可以清晰地显示出平面图形在水平方向上的尺寸和形状，适用于建筑设计、地图制作等领域。

2. 垂直投影：垂直投影是将平面图形在垂直投影平面上的投影表示。

在垂直投影中，投影平面与地面垂直。

它可以清晰地显示出平面图形在垂直方向上的尺寸和形状，适用于机械制图、建筑设计等领域。

3. 斜投影：斜投影是将平面图形在斜投影平面上的投影表示。

在斜投影中，投影平面与地面倾斜。

它可以显示出平面图形在倾斜方向上的尺寸和形状，适用于工程制图、建筑设计等领域。

4. 正投影：正投影是将平面图形在正投影平面上的投影表示。

在正投影中，投影线垂直于投影平面。

它可以清晰地显示出平面图形在投影平面上的真实形状和尺寸，适用于机械制图、建筑设计等领域。

5. 侧视图：侧视图是平面图形在侧视投影平面上的投影表示。

在侧视图中，投影平面与平面图形的一侧平行。

它可以清晰地显示出平面图形在侧面上的形状和尺寸，适用于建筑设计、机械制图等领域。

6. 俯视图：俯视图是平面图形在俯视投影平面上的投影表示。

在俯视图中，投影平面与平面图形的上方平行。

它可以清晰地显示出平面图形在上方视角上的形状和尺寸，适用于地图制作、建筑设计等领域。

在实际应用中，根据需要选择合适的投影类型和投影方法，以准确地表示平面图形的形状和尺寸。

在绘制投影时，可以使用直尺、量角器和绘图工具等辅助工具，以确保投影的准确性和可读性。

总结起来，平面图形的投影有多种类型，包括水平投影、垂直投影、斜投影、正投影、侧视图和俯视图等。

每种投影都有其特点和应用领域，可以根据需要选择适合的投影类型和方法来表示平面图形的形状和尺寸。