《勾股定理》培优训练一
1.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=2，求AD的长.
2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F.（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；（2）求线段BD的长.
3.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图1，若P A=PB，则点P为△ABC的准外心.
应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=1
2
AB，求∠APB的度数.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究P A的长.
（1）连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；（2）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB 三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．
4. 已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G.（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长.
5.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长．
6.已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于点A2．（1）求线段OA2的长；（2）若再以OA2为边，按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到△OA3B3，△OA4B4，…△OA n B n（如图）．求△OA6B6的周长．
7. △ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
8.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（1）2+1=2，S1=
1
2
；（2）2+1=3，S2=
2
2
；（3）2+1=4，S3=
3
2
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．
9. Rt△OAB的斜边AO在x轴的正半轴上，直角顶点B在第四象限内，S△OAB=20，OB：AB=1：2，求A、B两点的坐标．
10.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C 旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．
（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；请你完成证明过程：（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
11.如图，△ABC是边长为4的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连结BD，交AC于F．（1）猜想BD与DE的位置关系，并证明你的结论；（2）求△BDE的面积S．
12.已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ，连接QE并延长交BP于点F．（1）如图1，若AB=23，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若AB=23，设BP=4，求QF的长．
13.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角．
（1）求证：BC=CD．
（2）若将原题中的已知条件“∠B和∠D都是直角”放宽为“∠B和∠D互为补角”，其余条件不变，猜想：BC边和邻边CD的长度是否一定相等？请证明你的结论．
（3）探究：在（2）的情况下，如果再限制∠BAD=60°，那么相邻两边AB、AD和对角线AC之间有什么确定的数量关系？需说明理由．
14.在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．求证：a2=b（b+c）
15.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=4，BC=7，点E在BC边上，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点C'处．（1）求∠C'DE的度数；（2）求△C'DE的面积．
16.在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2，BC=11，求：（1）CD的长．（2）四边形ABCD的面积．
17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M、N在边BC上．
（1）如图1，如果AM=AN，求证：BM=CN；
（2）如图2，如果M、N是边BC上任意两点，并满足∠MAN=45°，那么线段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+NC2成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
18.已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D点在边BC上，BF⊥AC分别交射线DA、射线CA于点E、F，若BD=4，∠BAD=45°．（1）如图：若∠BAC是锐角，则点F在边AC上，①求证：△BDE≌△ADC；②若DC=3，求AE的长；（2）若∠BAC是钝角，AE=1，求AC的长．
