数字图像处理--图像的傅里叶变换

【数字图像处理】傅⾥叶变换在图像处理中的应⽤1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换1.2⼆维离散傅⾥叶变换1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换1.3图像傅⾥叶变换的物理意义2.⼆维傅⾥叶变换有哪些性质？2.1⼆维离散傅⾥叶变换的性质2.2⼆维离散傅⾥叶变换图像性质3.任给⼀幅图像，对其进⾏⼆维傅⾥叶变换和逆变换4.附录 94.1matlab代码4.2参考⽂献⽬录1.理解⼆维傅⾥叶变换的定义1.1⼆维傅⾥叶变换⼆维Fourier变换:逆变换：1.2⼆维离散傅⾥叶变换⼀个图像尺⼨为M×N的函数的离散傅⾥叶变换由以下等式给出：其中和。

其中变量u和v⽤于确定它们的频率，频域系统是由所张成的坐标系，其中和⽤做（频率）变量。

空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。

可以得到频谱系统在频谱图四⾓处沿和⽅向的频谱分量均为0。

离散傅⾥叶逆变换由下式给出：令R和I分别表⽰F的实部和需部，则傅⾥叶频谱，相位⾓，功率谱（幅度）定义如下：1.3⽤FFT计算⼆维离散傅⾥叶变换⼆维离散傅⾥叶变换的定义为：⼆维离散傅⾥叶变换可通过两次⼀维离散傅⾥叶变换来实现:1）作⼀维N点DFT（对每个m做⼀次，共M次）2）作M点的DFT（对每个k做⼀次，共N次）这两次离散傅⾥叶变换都可以⽤快速算法求得,若M和N都是2的幂,则可使⽤基⼆FFT算法,所需要乘法次数为⽽直接计算⼆维离散傅⾥叶变换所需的乘法次数为（M+N）MN，当M和N⽐较⼤时⽤⽤FFT运算，可节约很多运算量。

1.3图像傅⾥叶变换的物理意义图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平⾯空间上的梯度。

如：⼤⾯积的沙漠在图像中是⼀⽚灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；⽽对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是⼀⽚灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较⾼。

傅⾥叶变换在实际中有⾮常明显的物理意义，设f是⼀个能量有限的模拟信号，则其傅⾥叶变换就表⽰f的频谱。

从纯粹的数学意义上看，傅⾥叶变换是将⼀个函数转换为⼀系列周期函数来处理的。

数字像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理中的离散傅里叶变换数字图像处理是指利用计算机或其他数字设备对图像进行处理、分析和改良的过程。

而数字信号处理中的离散傅里叶变换是一种常用的图像处理工具，它能将图像从时域转换到频域，分析图像的频谱特征，从而实现一系列的图像处理操作。

本文将介绍数字图像处理中的离散傅里叶变换原理、应用以及一些常见的变换方法。

一、离散傅里叶变换的原理离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是对离散信号进行频域分析的一种数学工具。

离散傅里叶变换可以将一个长度为N的离散序列变换成一个长度为N的频谱序列。

其离散傅里叶变换的数学表达式如下：X(k) = Σ(x(n)*e^(-j2πkn/N)) (n=0,1,...,N-1; k=0,1,...,N-1)其中，X(k)为频谱序列，x(n)为原始信号序列，e为自然对数的底，j为虚数单位。

离散傅里叶变换可以将时域上的图像转换为频域上的频谱图，进而分析图像的频谱特征。

二、离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换在数字图像处理中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 图像滤波：通过离散傅里叶变换可以实现图像频域上的滤波操作，对图像进行降噪、增强边缘等处理。

例如，可以利用傅里叶变换将图像转换到频谱域，通过频谱的阈值处理去除高频噪声，然后再将图像转换回时域。

2. 图像压缩：离散傅里叶变换常被用于图像数据的压缩。

通过将图像转换到频域，可以利用频域的统计特性进行数据的压缩。

例如，可以通过选择合适的频率分量进行舍弃或者量化，以减少图像数据的存储空间。

3. 图像识别：离散傅里叶变换可以提取图像的频谱特征，用于图像识别和模式匹配。

例如，可以通过傅里叶变换得到图像的频谱图，并提取频谱的主要特征进行分类和识别。

4. 彩色图像处理：离散傅里叶变换可用于彩色图像处理。

可以将彩色图像的每个通道分别进行离散傅里叶变换，然后进行频域上的处理操作，最后再将变换后的通道合成为最终的彩色图像。

课程大作业实验报告图像傅里叶变幻、反变换的实现课程名称：数字图像处理组长：王文雄学号：200730590323 年级专业班级：07通信3班成员一：庞柱坚学号：200730590318 年级专业班级：07通信3班成员二：王弥光学号：200730590322年级专业班级：07通信3班成员三：学号：年级专业班级：07通信3班指导教师邓继忠报告提交日期2010年6月1日项目答辩日期2010年6月1日目录1. 项目要求 (4)2. 项目开发环境 (4)3. 系统分析 (4)3.1. 系统的主要功能分析 (4)3.2. 系统的关键问题及解决方法（或思路） (7)4. 系统设计 (11)4.1. 程序流程图及说明 (11)4.2. 程序主要模块（或功能）介绍 (12)4.2.1. 一维FFT 和IFFT (12)4.2.2. 二维图像FFT 和IFFT： (14)5. 实验结果与分析 (15)5.1. 实验结果 (15)5.2. 项目的创新之处 (16)5.3. 存在问题及改进设想 (17)6. 心得体会 (17)6.1. 系统开发的体会 (17)6.2. 对本门课程的改进意见或建议 (18)7. 附件一 (19)1.项目要求1.基本要求：自修教材相关内容（P52-74）或其它参考资料，在CVI下编程对尺寸为2N(N 为正整数)的图像进行FFT(快速傅里叶变换)和(快速傅里叶反变换)。

（不能利用CVI下的函数）2.题目拓展：编程实现任意大小图像的二维傅立叶的变换与反变换。

2.项目开发环境项目开发环境主要分为软件环境和硬件环境软件：Lab Windows/CVI和IMAQ_Vision for LabWindows/CVI。

Lab Windows/CVI 是美国National Instrument(简称NI)公司开发的基于C语言的虚拟仪器开发平台，适用于自动测试、自动控制、测试仪器通信、测试硬件控制、信号分析及图像处理等软件的开发。

计算机与信息工程学院验证性实验报告一、实验目的1了解图像变换的意义和手段；2熟悉傅立叶变换的基本性质； 3熟练掌握FFT 变换方法及应用； 4通过实验了解二维频谱的分布特点；5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。

6评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

二、实验原理1 应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。

通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。

对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。

2 傅立叶（Fourier ）变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰逆变换：2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞+-∞-∞=⎰⎰二维离散傅立叶变换为：112()001(,)(,)i k N N j mn N Ni k F m n f i k eNπ---+===∑∑逆变换：112()001(,)(,)i k N N j mn N Nm n f i k F m n eNπ--+===∑∑图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。

实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。

3利用MATLAB软件实现数字图像傅立叶变换的程序：I=imread(‘原图像名.gif’);%读入原图像文件imshow(I); %显示原图像fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2); %计算频谱幅值A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225 %归一化figure; %设定窗口imshow(A); %显示原图像的频谱三、实验步骤1．将图像内容读入内存；2．用Fourier变换算法，对图像作二维Fourier变换；3．将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；4．用Fourier系数的幅度进行Fourier反变换；5．用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；6．比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

傅里叶变换在图像处理中的应用摘要傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，在平稳信号的分析方面具有十分重要的地位，线性系统中，常利用傅里叶变换进行分析和处理。

本文对傅里叶变换和数字图像处理的相关概念进行了介绍，并主要针对傅里叶变换在数字图像处理中的应用进行分析和研究，对图像处理领域的学习很有帮助。

关键词傅里叶变换；信号分析；平稳信号；数字图像处理前言随着信号处理领域的不断发展，越来越多信号分析工具得到了相关学者的研究。

傅里叶变换于19世纪就已经被研究人员提出，在之后的研究和应用中，傅里叶变换也一直是重要的信号处理工具[1-2]。

信息时代的到来使数字图像处理技术也开始飞速进步，它与信号处理等技术息息相关，因此傅里叶变换在图像处理中也得到了重要的应用[3]。

传统的处理方式往往适合在时域对图像进行处理分析，而与傅里叶变换相结合便使图像处理技术得以在频域进行，傅里叶变换常用于线性系统中的处理，因此，可以很好地和图像处理领域相联系，有效提高数字图像处理的效率和精度[4]。

1 傅里叶变换的概述最早在1807年，法国工程师傅里叶首先提出了有关傅里叶级数这一理论，首次提到可以將一个周期性的信号展开成多个复正弦信号相加的形式，这一理论引起了学者们的注意。

十几年之后，傅里叶正式提出了傅里叶变换的概念。

通过傅里叶变换，我们可以将一个信号由时域转换到频域进行信号处理和分析，并且通过傅里叶变换的提出才加深了人们对于频率这个概念的理解。

因此，在傅里叶变换被提出之后，在信号分析领域提出了从频域进行分析这个新思路，使人们对信号的特性进行了一些新的方面的研究。

很多对信号的处理问题以往通过时域分析很难真的得到充分的解释，傅里叶变换这个思路使很多问题变得显而易见。

对于傅里叶变换之后的研究中，出现了关于傅里叶变换的快速算法，使得傅里叶变换更加具有实际应用价值，也对处理离散的数字信号起了重要的作用。

2 基于傅里叶变换的图像处理在对图像进行处理的过程中，图像中包含许多线性变化的元素，而其中的频率便是十分重要的物理量，而这种包含频率信息的元素正适合应用傅里叶变换进行处理，因此，傅里叶变换在图像处理领域得到了广泛的应用。

图像处理与傅里叶变换1背景傅里叶变换是一个非常复杂的理论，我们在图像处理中集中关注于其傅里叶离散变换离散傅立叶变换(Discrete Fourier Transform) 。

1.1离散傅立叶变换图象是由灰度（RGB ）组成的二维离散数据矩阵，则对它进行傅立叶变换是离散的傅立叶变换。

对图像数据f(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。

则其离散傅立叶变换定义可表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1 其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中，一般总是选择方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅立叶频谱： 相位谱：能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M uxi y x f MNv u F π)2(2exp ),(1),(101∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M uxi v u F MNy x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶变化可分离性的优点是二维的傅立叶变换或逆变换由两个连续的一维傅立叶变换变换来实现，对于一个影像f(x,y)，可以先沿着其每一列求一维傅立叶变换，再对其每一行再求一维变换正变化逆变换由于二维的傅立叶变换具有可分离性，故只讨论一维快速傅立叶变换。

正变换 逆变换由于计算机进行运算的时间主要取决于所用的乘法的次数。

按照上式进行一维离散由空间域向频率域傅立叶变换时，对于N 个F∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=110101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F NN ux i v u F N N vy ux i v u F NNy x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=12exp )(1)(N x N ux i x f Nu F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=11101)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f NN ux i y x f NN vy ux i y x f NNv u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12exp )(1)(N u N ux i u F Nx f π（u)值，中的每一个都要进行N 次运算，运算时间与N 2成正比。

傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用王家硕 学号：1252015一、 Fourier 变换1. 一维连续傅里叶变换设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。

（2）具有有限个极点。

（3）绝对可积。

则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ⎰+∞∞--==ωω)()]([)(；Fourier 逆变换：ωωπωd e f t F f t f t j ⎰∞+∞---==)(21)]([)(1，式中：1-=j ，ω 为频域变量。

f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。

由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1)式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。

公式1可表示为指数形式：式中：F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。

2. 二维连续傅里叶变换如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞<⎰⎰+∞∞-dxdy y x f |),(，且F (u , v )是可积的，则二维连续傅里叶变换对可表示为：dt e y x f v u F t j ⎰⎰+∞∞--+∞∞-=ω),(),(dt e v u F y x F t j ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=ω),(),(对于图像 f (x, y)，F(u, v)是它的频谱。

变量u 是对应于x 轴的空间频率，变量v 是对应于y 轴的空间频率，与在一维的情况类似，可定义二维傅里叶变换的幅度谱和相位谱为：3.一维离散傅里叶变换对一个连续函数f (x)等间隔采样可得到一个离散序列。

设共采样N个，则这个离散序列可表示为{ f (0), f (1), f (2), , f (N -1)}。