线性规划方法目录1 线性规划的模型 (150)1.1 问题的引入 (150)1.2 线性规划模型的一般形式 (151)1.3 线性规划模型的标准型 (151)2 线性规划解的概念与理论 (152)2.1 线性规划解的概念 (152)2.2 线性规划解的基本理论 (153)3 线性规划的求解方法 (153)3.1 初始基可行解的确定 (153)3.2 寻找另一个基可行解 (154)3.3 最优性检验的方法 (154)4 线性规划的对偶问题 (155)4.1 对偶问题的提出 (155)4.2原问题与对偶问题的关系 (156)4.3 对偶单纯形法 (157)5 线性规划的灵敏度分析 (158)5.1 市场条件（价值系数）C的变化分析 (158)5.2 资源条件b变化的分析 (159)5.3 工艺条件（技术系数）A的变化分析 (159)6 南水北调水指标的分配问题 (160)6.1 问题的提出 (160)6.2 模型的假设与符号说明 (162)1. 模型的假设 (162)2. 符号说明 (162)6.3 问题的分析 (163)6.4 模型的建立与求解 (164)问题（1）: (164)问题（２）： (165)7 参考案例与参考文献 (167)1. 参考案例 (167)2. 参考文献 (167)实际中所研究的优化问题，一般都是要求使问题的某一项指标“最优”的方案，这里的“最优”包括“最好”、“最大”、“最小”、“最高”、“最低”、“最多”、“最少”等等，这类问题统称为最优化问题，解决这类问题的最常用方法就是线性规划方法．目前，因为线性规划有着非常完备的理论基础和有效的求解方法，所以线性规划在实际中应用是十分广泛的，譬如像合理地分配、使用有限的资源（经济、人力、物资等），使能够获得“最优效益”等问题．1 线性规划的模型1.1 问题的引入设某企业现有m 种资源),,2,1(m i A i =用于生产n 种产品),,2,1(n j B j =，每种资源的拥有量和每种产品所消耗的资源量，以及单位产品的利润如表10-1，试问如何安排生产计划使得该企业获利最大？建立数学模型：表10-1设产品j B 产量为),,2,1(n j x j =，称之为决策变量，所得的利润为z ，则要解决的问题的目标是使得（总利润）函数∑==nj jj x c z 1有最大值．决策变量所受的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤∑=),,2,1(0),,2,1(1n j x m i b x a jnj i j ij于是问题可归结为求目标函数在约束条件下的最大值问题．显然的目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数，即有下面的线性规划模型目标函数：∑==nj jj x c z 1max约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≤∑=),,2,1(0),,2,1(1n j x m i b x a jnj i j ij （1）一般地，如果问题的目标函数和约束条件关于决策变量都是线性的，则称该问题为线性规划问题，其模型称为线性规划模型．1.2 线性规划模型的一般形式线性规划模型的一般形式为∑==nj jj x c z 1(min)maxs.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥==≥≤∑=),,2,1(0),,2,1(),(1n j x m i b x a jnj i j ij也可表示为矩阵形式⎩⎨⎧≥=≥≤⋅⋅=0),(..(min)max X b X A X C t s z向量形式⎪⎩⎪⎨⎧≥=≥≤⋅=∑=0),(..(min)max 1X b P X C nj j j x t s z其中),,,(21n c c c =C 称其为目标函数的系数向量；Tn x x x ),,,(21 =X 称其为决策向量；T m b b b ),,,(21 =b 称其为约束方程组的常数向量；n m ij a ⨯=)(A 称其为约束方程组的系数矩阵；),,2,1(),,,(21n j a a a Tm j j j j ==P 称其为约束方程组的系数向量．1.3 线性规划模型的标准型线性规划模型的标准型规定为X C ⋅=z max （2）⎩⎨⎧≥=⋅0X b X A ..t s （3） 对于非标准型的线性规划模型都可以化为标准型，其方法如下：（1）目标函数为最小化问题：令z z -='，则X C ⋅-=-='z z min max ；（2）约束条件为不等式：对于不等号“)(≥≤”的约束条件，则可在“)(≥≤”的左端加上（或减去）一个非负变量（称为松弛变量）使其变为等式．（3）对于无约束的决策变量：譬如),(+∞-∞∈x ，则令x x x ''-'=，使得0,≥'''x x ，代入模型即可．2 线性规划解的概念与理论2.1 线性规划解的概念（1）解：称满足约束条件（（3）式）的解Tn x x x ),,,(21 =X 为线性规划问题的可行解；可行解的全体构成的集合称为可行域，记为D ；使目标函数（（2）式）达到最大的可行解称为最优解．（2）基：设系数矩阵n m ij a ⨯=)(A 的秩为m ，则称A 的某个m m ⨯阶非奇异子矩阵)0(≠B B 为线性规划问题的一个基．不妨设)()(21m m m ij a P ,,P ,P B ==⨯，则称向量),,2,1(),,,(21m j a a a T m j j j j ==P 为基向量，其它的称为非基向量；与基向量对应的决策变量),,2,1(m j x j =称为基变量，其它的变量称为非基变量．（3）基解：设问题的基为),,,()(21m m m ij a P P P B ==⨯，将约束方程组变为∑∑+==-=nm j jjmj jj xx11P b P （4）在方程组（4）的解中令),,1(0n m j x j +==，则称解向量Tm x x x )0,,0,,,,(21 =X 为线性规划问题的基解．（4）基可行解：满足非负约束条件的基解称为基可行解．（5）可行基：对应于基可行解的基称为可行基．2.2 线性规划解的基本理论定理1 如果线性规划问题(2),(3)存在可行域，则其可行域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==∑=nj j j j x x XD 10,b P是凸集．定理2 线性规划问题(2),(3)的任一个基可行解X 必对应于可行域D 的一个顶点． 定理3 （1）如果线性规划问题(2),(3)的可行域有界，则问题的最优解一定在可行域的顶点上达到．（2）如果线性规划问题(2),(3)的可行域有无界解，则问题可能无最优解；若有最优解也一定在可行域的某个顶点上达到．3 线性规划的求解方法根据线性规划的解的概念和基本理论，求解线性规划可采用下面的方法：求一个基可行解；检查该基可行解是否为最优解；如果不是，则设法再求另一个没有检查过的基可行解，如此进行下去，直到得到某一个基可行解为最优解为止．现在要解决的问题是：如何求出第一个基可行解？如何判断基可行解是否为最优解？如何由一个基可行解过渡到另一个基可行解？解决这些问题的方法称为单纯形法．其基本步骤如下：3.1 初始基可行解的确定如果线性规划问题为标准型（即约束方程全为等式），则从系数矩阵n m ij a ⨯=)(A 中观察法总可以得到一个m 阶单位阵m E ．如果问题的约束条件的不等号均为“≤”，则引入m 个松弛变量，可化为标准型，并将变量重新排序编号，即可得到一个m 阶单位阵m E ；如果问题的约束条件的不等号为“≥”和“=”，则首先引入松弛变量化为标准型，再通过人工变量法总能得到一个m 阶单位阵m E ．综上所述，取如上m 阶单位阵m E 为初始可行基，即m E B =，将相应的约束方程组变为m i x a x a b x n in m im i i ,,2,1,11 =---=++令),,1(0n m j x j +==，则可得一个初始基可行解T m T m b b b x x x )0,,0,,,,()0,,0,,,,(21)0()0(2)0(1)0( ==X3.2 寻找另一个基可行解当一个基可行解不是最优解或不能判断时，需要过渡到另一个基可行解，即从基可行解T m x x x )0,,0,,,,()0()0(2)0(1)0( =X 对应的可行基),,,(21m P P P B =中替换一个列向量，并与原向量组线性无关．譬如用非基变量)1(m n t t m -≤≤+P 替换基变量)1(m l l ≤≤P ，就可得到一个新的可行基),,,,(1111m l t m l P ,P P P ,P B ++-=，从而可以求出一个新的基可行解T m x x x )0,,0,,,,()1()1(2)1(1)1( =X，其方法称为基变换法．事实上⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤≤≤=⎩⎨⎧=≠-=+m n t m l m i l i l i x xt m i i i1,1,,2,1,,,)0()1( θθβ其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>==++≤≤+0min ,,)0(1,)0(t m i t m i i m i t m l l x x βββθ，∑=++=m i i t m i t m 1,PP β．如果Tm x x x )0,,0,,,,()1()1(2)1(1)1( =X 仍不是最优解，则可以重复利用这种方法，直到最优解为止．3.3 最优性检验的方法假设要检验基可行解T m T m b b b x x x )0,,0,,,,()0,,0,,,,(21)1()1(2)1(1)1( '''==X的最优性．由约束方程组对任意的Tn x x x ),,,(21 =X 有mi x a b x jnm j iji i ,,2,1,1='-'=∑+=将基可行解)1(X和任意的T n x x x ),,,(21 =X 分别代入目标函数得∑∑=='==mi i i mi ii b c xc z11)1()0(∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+==+===+=+==+==-+='-+'=+'-'=+==nm j jj jmi nm j jmi iji ji i mi nm j jjnm j jij i i mi nm i ii i i n i i i x z czxa c cbc x cxa b c xc x c x c z1)0(111111111)1()()()(其中),,1(1n m j a c z mi iji j +='=∑=．记),,1(n m j z c j j j +=-=σ，则∑+=+=nm j jjx z z1)0()1(σ（5）注意到：当0>j σ时就有)0()1(z z ≥；当0≤j σ时就有)0()1(z z ≤．为此，jj j z c -=σ的符号是判别)1(X 是否为最优解的关键所在，故称之为检验数．于是由（5）式可以有下面的结论：（1）如果),,1(0n m j j +=≤σ，则)1(X 是问题的最优解，最优值为)0(z ；（2）如果),,1(0n m j j +=≤σ，且至少存在一个)1(0m n k k m -≤≤=+σ，则问题有无穷多个最优解，)1(X是其中之一，最优值为)0(z；（3）如果),,1(0n m j j +=<σ，则)1(X 是问题的唯一的最优解，最优值为)0(z ；（4）如果存在某个检验数)1(0m n k k m -≤≤>+σ，并且对应的系数向量k m +P 的各分量),,2,1(0,m i a k m i =≤+，则问题具有无界解（即无最优解）．4 线性规划的对偶问题4.1 对偶问题的提出将1.1节中提出的实际问题从相反的角度提出：假设有B 企业要将A 企业的资源和生产权全部收买过来，问题是B 企业至少应付多少代价，才能使A 企业愿意转让所有资源和生产权？事实上，要让A 转让的条件是：对同等数量的资源出让的代价不应低于A 企业自己生产的产值，即若用i y 表示B 收买A 的一个单位第i 种资源时付出的代价，则A 出让生产一个单位第j 种产品资源的价值不应低于生产一个单位第j 种产品的产值j c 元，即),,2,1(1n j c y aj mi i ij⋅⋅⋅=≥∑=对B 企业，希望花最小的代价将A 的所有资源及生产权收买过来，即问题为⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥⋅⋅⋅=≥=∑∑==),,2,1(0),,2,1(min 11m i y n j c y a y b w i j mi i ij mi ii （6）或{}0,min ≥≥⋅⋅=Y C A Y b Y w这也是一个线性规划问题，问题(6)称为问题(1)的对偶问题，问题(1)称为对偶问题(6)的原问题，即二者为相互对偶的问题．4.2原问题与对偶问题的关系原问题与对偶问题的关系如表10-2．正面看是原问题，顺时针旋转90度看是对偶问题．如果约束条件中的不等号反向或为等式，对偶问题的变化情况如表10-3．表10-2：原问题与对偶问题的关系表 10-3 注意：使用此表时总是视为最大化问题为原问题，最小化问题视为对偶问题，否则会容易出错．设线性规划的原问题为{}0,m a x≥≤⋅=X b AX X C z ，相应的对偶问题为{}0,m i n ≥≥⋅⋅=Y C A Y b Y w ，则有如下性质：（1）对偶问题的对偶问题是原问题．（2）如果原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解，反之不然．（3）设Xˆ是原问题的可行解，Y ˆ是对偶问题的可行解，且b Y X C ⋅=⋅ˆˆ，则X ˆ和Y ˆ分别是原问题和对偶问题的最优解．（4）如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解，且有w z min max =．4.3 对偶单纯形法根据对偶问题的性质和原问题与对偶问题的解之间的关系，原问题的检验数是对偶问题的基解，求解中通过若干步的迭代后，当原问题检验数为对偶问题的基可行解时，则也就得到了原问题和对偶问题的最优解．迭代中主要是根据检验数的符号判断是否得到了最优解．对偶单纯形法的步骤：（1）根据所给问题化为标准型，并写出相应的对偶问题；注：无需引入人工变量，初始解可以不是可行解，在迭代的过程中可逐步靠近可行解，最后达到可行解，即为最优解．（2）检验是否得到最优解：即检验b 列数据i )(1b B -),,2,1(m i ⋅⋅⋅=和检验数j σ),,1(n m j ⋅⋅⋅+=的符号：如果0)(1≥-i b B ，且0≤j σ，则已得到最优解，停止计算； 如果存在0)(1<-i b B ，且0≤j σ，则进行下一步．（3）确定换出变量：求{}li i i)(0)()(min 111b B b B b B ---=<，对应的基变量l x )1(m l ≤≤为换出变量．（4）确定换入变量：检查l x 所在的行的各系数),,2,1(n j a lj ⋅⋅⋅=的符号： 如果),,2,1(0n j a lj ⋅⋅⋅=≥，则问题无可行解，停止计算；如果至少存在一个0<lj a ，则计算lk klj lj j j a a a σσθ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<=0min )1(n k m ≤≤+，对应的 非基变量k x 为换入变量．（5）以lk a 为主元素，用初等变换法，将系数矩阵中的k 列元素与l 列元素对换（即将第k 列中除l 行元素为1外，其它都为0），即得到新的矩阵．重复上面的（2）~（5），直到得到最优解为止． 对偶单纯形的特点：（1）原问题的初始解不需要是可行解，因此，不必引进人工变量，使计算简化；（2）当变量的个数多于约束条件的个数时，用对偶单纯形法可大大减少工作量，因此，当问题的变量个数少，而约束条件个数多时，可以将问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解；（3）在对偶单纯形法中，找到一个可行的初始解较困难，因此，一般对偶单纯形法不单独使用，多用于整数规划和灵敏度分析中．5 线性规划的灵敏度分析在线性规划模型{}0,max ≥=⋅=X b AX X C z 中，我们总是假设A ，b ，C 都是常数，但 实际中这些数值许多都是由试验或测量得到的试验值和预测值，特别是在迭代计算中也都是近似值．一般A 表示工艺条件，b 表示资源条件，C 表示市场条件，实际中多种原因都可能引起它们的变化．现在的问题是：这些系数在什么范围内变化时，使线性规划问题最优解不变？这就是灵敏度分析要研究的问题．5.1 市场条件（价值系数）C 的变化分析设C 中的第k 个元素k c 发生变化，即k k kc c c ∆+='，其它不变，问题是：当k c 在什么范围变化时使问题的最优解不变？（1）若k c 是非基变量k x 的系数，则对应的检验数为k k k c P B C B 1--=σ，于是k k k kc c P B C B 1--∆+='σ．当0≤'k σ，即k k k k k c c c -⋅=-≤∆-P Y P B C B 1σ． （2）若k c 是基变量k x 的系数，当k c 有改变量k c ∆时，即k k kc c c ∆+='，则)0,,,,0,0(,⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅=∆∆+='k B B B Bc C C C C ，其相应的检验数为 AB A BC C A B C A B C C A B C C B B ⋅⋅⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅-⋅⋅-=⋅⋅∆-⋅⋅-=⋅⋅'-='-----11111)0,,,,0,0(k B Bc σ即),,2,1(1n j a c P B C c kj k j B j j ⋅⋅⋅=∆--='-σ当0≤'j σ时，问题的最优解不变，故有01≤∆---kj k j ja c c P B C B ，即0≤∆-kj k j a c σ． 于是，当0<kj a 时，),,2,1(n j a c kjjk ⋅⋅⋅=≤∆σ；当0>kj a 时，),,2,1(n j a c kjjk ⋅⋅⋅=≥∆σ．故k c ∆的允许变化范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<≤∆≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>0min 0max kj kj j j k kj kj j ja a c a a σσ5.2 资源条件b 变化的分析设b 中的第k 个元素k b 发生变化，即k k kb b b ∆+='，其它系数均不变，则问题的解变化为Tk B b )0,,,,0,0(),(1⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅=∆∆+='-b b b B X ．当0≥'BX 时，检验数不变，则最优基（最优解对应的基）不变，但最优解的值要发生变化．下面考查k b ∆在什么范围变化时，最优解变化不大．因为新的最优解为b B b B b b B X ∆+=∆+='---111)(B，所以),,2,1(),,,,(),,,,()0,,,,0,0(1111m i a a a b b a b a b a b T mk ik k k Tk mk k ik k k Tk ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∆=∆⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅∆=⋅⋅⋅∆⋅⋅⋅⋅=∆--B b B则最后求得的b 列元素为),,2,1(0m i b a b k ik i ⋅⋅⋅=≥∆+，即),,2,1(m i b b a i k ik ⋅⋅⋅=-≥∆，其中i b 为b B 1-的元素．注意到：当0>ik a 时，),,2,1(m i a b b ikik ⋅⋅⋅=-≥∆；当0<ik a 时，),,2,1(m i a b b ikik ⋅⋅⋅=-≤∆．故k b ∆的允许变化范围为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-≤∆≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>-0min 0max ik ik i i k ik ik i i a a b b a a b5.3 工艺条件（技术系数）A 的变化分析设A 的l 行k 列元素lk a 有改变lk a ∆．（1）当lk a 所在的列向量为非基向量时，lk a ∆不影响解的可行性，只要对应的检验数01≤∆-='-lk k ka B C B σσ，则可得k lk a σ≥∆-1B C B ，即k lk k a σ≥∆βC B ，其中),,,,(11m k βββB ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-．于是，当0>⋅k βC B 时，k klk a βC B σ≥∆；当0<k βC B 时，k klk a βC B σ≤∆．（2）当lk a 所在的列为基变量时，由于lk a ∆不仅影响解的可行性，而且会影响解的最优性，情况比较复杂，对具体问题只具体分析了．6 南水北调水指标的分配问题6.1 问题的提出南水北调中线工程建成后，预计2010年年调水量为110亿立方米，主要用来解决京、津、冀、豫四省（市）的沿线20个大中城市的生活用水、工业用水和综合服务业的用水，分配比例分别为40％、38％和22％．这样可以改善我国中部地区的生态环境和投资环境，推动经济发展．用水指标的分配总原则是：改善区域的缺水状况、提高城市的生活水平、促进经济发展、提高用水效益、改善城市环境．根据2000年的统计数据，各城市的人口数量差异大，基本状况和经济情况也不相同．各城市现有的生活、工业和综合服务业的用水情况不同，缺水程度也不同（如表10-4）．表10-4：现有的基本情况要研究的问题是：（1）请你综合考虑各种情况，给出2010年每个城市的调水分配指标，使得各城市的总用水情况尽量均衡．（2）由于各城市的基本状况和自然条件不同，对相同的供水量所产生的经济效益不同，请从经济效益的角度，给出调水指标的分配方案．但是，要注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长．6.2 模型的假设与符号说明1. 模型的假设(1) 原有供水量基本保持不变；(2) 人口自然增长率、工业增加值年增长率和综合服务业人均产值年增长率基本保持不变；(3) 所给工业增加值年增长率、综合服务业人均产值年增长率是在现有的供水条件下的值，即投入的水量按当年的万元用水量产生经济效益．2. 符号说明)0(i P ，)1(i P 分别表示第i 个城市的2000年，2010年的人口总数；i Pr ——第i 个城市人口自然增长率；)0(i I ，)1(i I 分别表示第i 个城市2000年，2010年的工业增加值； i Ir 表示第i 个城市工业年增长率；)0(i S ， )1(i S 分别表示第i 个城市2000年，2010年的综合服务业人均产值；i Sr 表示第i 个城市综合服务业年增长率； i W 表示第i 个城市2010年的分配用水量；)0(i X ，)1(iX 分别表示第i 个城市2000年，2010年的人均生活用水量；)0(iY ，)1(iY 分别表示第i 个城市2000年，2010年的万元工业增加值用水量；)0(iZ，)1(i Z 分别表示第i 个城市的2000年，2010年的万元综合服务业用水量；i x 表示分配第i 个城市的生活用水总量指标；i y 表示分配第i 个城市的工业用水总量指标；i z 表示分配第i 个城市的综合服务业用水总量指标；a ，b ，c 分别表示生活用水，工业用水，综合服务业用水的分配比例．6.3 问题的分析对于问题（1），要求各城市的总用水情况尽量“均衡”，而各城市现有的三项用水指标各不相同，因此，我们把“均衡”定义为各城市新增加供水量与原有供水量的比例相等．对于问题（2），需要给出一个供水指标的优化分配方案，这可以通过建立线性规划模型来实现．首先，根据各城市的实际数据，可以计算出2010年的每个城市的工业和综合服务业万元产值用水量．工业万元增加值用水量为()()()20,,2,11110)0(10)0()0()0()1( =+=+⋅⋅=i Ir Y Ir II Y Y i i i ii i i即2010年工业万元增加值用水量等于2000年的工业用水总量除以2010年的预计工业增加值（不考虑调水的情况下）．那么，调水后用于工业产生的经济效益等于工业的调水总量除以万元增加值用水量，即()20,,2,1)1( ==i Y y GI i i i ．对于综合服务业可得到类似地结果：()20,,2,1)1( ==i Z z GS i i i其中()()()20,,2,1)1(1)1(11010)0(1010)0()0()0()1( =++=++⋅⋅=i Pr Sr Z Pr Sr SS Z Zi i i i i ii i i．然后，以调水量产生的工业和综合服务业效益总值为最大化目标，调水总量为约束，建立线性规划模型．注意到，工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长．因此，要适当考虑各城市的工业和综合服务业的均衡发展，即调水量不应过分集中．参照问题（1），引入各城市调水量与原有供水量的比值（工业和综合服务业）作为衡量指标，并限制每个城市的用于工业和综合服务业的调水指标都不能低于平均值（问题（1）的计算结果）的50％．将这一约束加入到线性规划模型中，即可求得分配方案．6.4 模型的建立与求解问题（1）:首先确定2010年受益城市的生活用水、工业用水、综合服务业平均增长的比例分别为1λ、2λ、3λ．由假设可有生活用水：()∑∑==+⋅⋅=⨯⨯+⋅2011)0()0(8201)0()0(14.010110i i i i iiP X P Xλ工业用水：()∑∑==+⋅⋅=⨯⨯+⋅2012)0()0(8201)0()0(138.010110i i i i iiI Y IYλ综合服务业用水：()∑∑==+⋅⋅=⨯⨯+⋅2013)0()0(8201)0()0(122.010110i i i i iiS Z SZλ则求解得∑=⋅⨯⨯=201)0()0(814.010110i iiP Xλ，∑=⋅⨯⨯=201)0()0(8238.010110i iiIYλ，∑=⋅⨯⨯=201)0()0(8322.010110i i i S Zλ表10-5：问题（１）调水分配方案经计算可得 1.30111=λ，63169.02=λ，56856.03=λ．然后，按照“均衡”原则可以计算出各城市的生活用水、工业用水、综合服务业用水的分配指标，即)20,,2,1(1)0()0( =⋅⋅=i P X x i i i λ)20,,2,1(2)0()0( =⋅⋅=i I Y y i i i λ )20,,2,1(3)0()0( =⋅⋅=i S Z z i i i λ故分配用水总量为)20,,2,1( =++=i z y x W i i i i ,计算结果如表10-5．问题（２）：根据上面对问题的分析，生活用水指标与问题（１）相同，只需讨论工业和综合服务的调水指标．由于各城市的基本状况和自然条件的差异，对相同的供水量所产生的经济效益不同，从经济效益的角度力求对调水指标有最高的经济效益．同时注意到，每个城市的工业和综合服务业的发展受产业规模的限制，不可能在短时间内无限制的增长．由此可知，对每个城市的调水指标都应有上限和下限的约束．于是，2010年最优的调水分配指标应满足下面的线性规划模型：目标函数为总的经济效益最大，即∑∑∑∑====+=+=201)1(201)1(201201max i i i i i i i i i i Z zY y GS GI G其约束条件为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤⋅≤≤⋅≤⨯⨯=⨯⨯=∑∑==)20,2,1(0,5.15.05.15.01011022.01011038.03)0()0(32)0()0(282018201 i z y S Z zI Y y z y i i i i i ii i i i i i λλλλ其中()10)0()1(1i i i Ir Y Y +=，()()20,,2,1)1(11010)0()1( =++=i Pr Sr Z Zi i i i．这是一个较复杂的线性规划模型，使用Matlab 的linprog 函数求解可得最优值为1810375806.7⨯=G ．具体的调水分配方案如表10-6所示． 结合实际，万元用水量较低说明水资源的利用率较高，增长率较高说明有较大的发展空间。
