函数的对称性和非对称性详解

3.2.2函数的对称性1.函数对称性的概念(1)轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两侧的图象能够完全重合，则称该函数具备轴对称，称该直线为该函数的对称轴(2)中心对称：如果一个函数的图象绕一个点旋转180°，所得的图象能与原函数图象完全重合，则称该函数具备中心对称，称该点为该函数的对称中心2.函数的自对称(1)若函数()f x 的图象关于点(),a b 中心对称，则()()2f a x f a x b −++=;反之亦然(2)若函数()f x 的图象关于直线x=a 对称，则()()f a x f a x +=−;反之亦然.一般地，若函数()f x 满足()()f a x f b x c −++=,则它的图象关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；若函数()f x 满足()()f a x f b x −=+,则它的图象关于直线2a b x +=对称； ①()y f a x =+是偶函数()()()()2f a x f a x f x f a x ⇔+=−⇔=−⇔()f x 关于x a =对称；②()()()f a x f b x f x +=−⇔关于2a b x +=对称； ③()y f a x =+是奇函数()()()f a x f a x f x ⇔+=−−⇔关于点(),0a 中心对称； ④()()()()()2f x a f x a f x a f x f x +=−⇔+=⇔是周期为()20T a a =≠的周期函数1.2. 已知二次函数()f x 同时满足条件：①()()11f x f x +=−;②()f x 的最大值为15;③()0f x =两根的立方和为17.求()f x 的解析式。

3. （1）求函数()21x f x x =−图像的对称中心； （2）若函数()()()4f x x a x a x =+−+−的图像是中心对称图形，求实数a 的值4. 已知函数()22f x x x =−，若关于x 的方程()()0f x f a x t +−−=有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2，求实数t 的取值范围5. 已知函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x −=−，若函数1x y x +=与()y f x =的交点为()()()1122,,,,,m m x y x y x y ，则()1m i i i x y =+=∑m 3.函数的互对称(1)已知函数()y f x =,则函数()y f a mx =+与函数()y f b mx =−的图象关于直线2b a x m−=轴对称.注：对称直线方程可简单记为变量相等，即a+mx=b-mx. (2)已知函数()y f x =,则函数()y f x a m =−+与函数()y f b x n =−−+的图象关于点,22a b m n ++⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称.注：与对称直线方程相比，对称中心的横坐标可简单记为变量相等时的变量值，即x a b x −=−,可得2b a x +=,而纵坐标就是上下平移的平均值 6. 对于定义在R 上的函数()f x ,有下列四个命题①若()f x 是奇函数，则()1f x −的图象关于点()1,0A 对称；②若函数()1f x −的图象关于直线1x =对称,则()f x 为偶函数；③函数()1y f x =+与函数()1y f x =−的图象关于直线1x =对称；④若对x R ∈,有()()11f x f x +=−,则()y f x =的图象关于直线1x =对称.其中正确命题的序号为。

函数的对称与反对称函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的对应关系。

在函数的研究中，对称性和反对称性是两个重要的性质。

本文将探讨函数的对称性和反对称性，并分析它们的性质和特点。

一、对称函数对称函数是指对于函数定义域内的任意两个元素x和y，如果f(x)=y，那么必有f(y)=x。

简而言之，对称函数关于对角线对称。

在几何中，对称函数可表示为关于y=x的对称。

以函数f(x)为例，如果满足f(x)=f⁻¹(x)，则称之为对称函数。

对称函数可以分为两类：偶函数和奇函数。

1. 偶函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=f(x)，那么该函数为偶函数。

偶函数对应的几何图形是关于y轴对称的，也就是呈现左右对称的特点。

例如，常见的偶函数有y=x²、cos(x)等。

2. 奇函数奇函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=-f(x)，那么该函数为奇函数。

奇函数对应的几何图形是关于原点对称的，也就是呈现中心对称的特点。

例如，常见的奇函数有y=x³、sin(x)等。

二、反对称函数反对称函数是指对于函数定义域内的任意两个元素x和y，如果f(x)=-y，那么必有f(y)=-x。

简而言之，反对称函数关于原点对称，也就是关于原点旋转180度后重合。

在几何中，反对称函数可表示为关于原点对称。

以函数f(x)为例，如果满足f(x)=-f⁻¹(x)，则称之为反对称函数。

与对称函数类似，反对称函数同样可以分为偶函数和奇函数。

1. 偶函数偶函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=f(x)，那么该函数为偶函数。

偶函数对应的几何图形也是关于y轴对称的，也就是呈现左右对称的特点。

例如，常见的偶函数有y=x²、cos(x)等。

2. 奇函数奇函数是指对于函数定义域内的任意一个元素x，如果f(-x)=-f(x)，那么该函数为奇函数。

奇函数对应的几何图形也是关于原点对称的，也就是呈现中心对称的特点。

函数的对称性
（内容需原创）
1. 函数的对称性是指一个函数的值在某一点或几个点取到最大值或最小值的性质。

2. 函数的对称性是一种比较容易发现的函数性质。

掌握函数的对称性有助于提升函数分解、求导和求解数学问题的能力。

3. 常见的函数对称性有：
(1) 奇函数的对称性：如果它以某一点经过或以其为中心对称，则称其为奇函数。

例如，三次多项式函数y=ax^3+bx^2+cx+d，它以x = 0 为中心，应用自变量的变换x→-x，函数变化f（x）→-f（x），可知y=ax^3+bx^2+cx+d也是一个奇函数。

(2)偶函数的对称性：如果以某一点经过左右对称，则称其为偶函数。

例如，二次多项式函数y=ax^2+bx+c，它以 x = 0 中心对称，若将自变量x变换x→-x，函数变化f(x)→f(x)，可知y=ax^2+bx+c也是一个偶函数。

(3) 关于y轴对称性：如果函数的每一对对称点，在y轴中对称，则称其为y轴对称性。

例如，三次多项式函数y= ax^3+bx^2+cx+d，它的每一对对称点（x1,y1）（x2,y2），在y轴中也是对称的，即（-x1,y1）（-x2,y2），因此y=ax^3+bx^2+cx+d也具有y轴对称性。

4. 位移与缩放函数作为其他对称性。

位移函数可以理解为在某一段函数上进行位移，缩放函数可以理解为改变某一段函数的显示大小。

5. 函数对称性可用已知特征函数作为依据来发现，其变换规律可以用三角函数，指数函数以及幂函数等来描述。

6. 对函数的对称性有所了解，能够从宏观和微观的角度更好的理解函数的定义及其变化规律，并有效的运用它们解决数学问题。

函数的对称问题讲解一、函数对称性的定义函数的对称性是指函数图像关于某条直线或某个点对称的性质。

函数的对称性可以通过函数自身的性质进行描述和刻画，例如函数在某点的导数可以描述函数图像在该点的切线斜率。

函数的对称性分为轴对称和中心对称两种，轴对称是指函数图像关于某条直线对称，中心对称是指函数图像关于某点对称。

二、函数图像的对称轴和对称中心1.对称轴：如果函数图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。

2.对称中心：如果函数图像关于点(a,b)对称，那么对于任意x，都有f(a+x)+f(a-x)=2b，即函数在x=a处的值等于b。

三、奇函数和偶函数的对称性1.奇函数：如果对于任意x，都有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

2.偶函数：如果对于任意x，都有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称。

四、对称性与周期性的关系函数的对称性和周期性之间有一定的联系。

例如，如果函数f(x)是周期为T的周期函数，并且图像关于直线x=a对称，那么对于任意x，都有f(a+x)=f(a-x)，即函数在x=a处取得极值。

因此，函数的对称性和周期性是相互联系的。

五、对称性与函数最值的关系函数的对称性和最值之间也有一定的关系。

例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或递减，并且图像关于直线x=(a+b)/2对称，那么f(x)在(a,b)上的最小值或最大值一定出现在对称轴上。

因此，函数的对称性和最值之间也是相互联系的。

六、对称性在解题中的应用函数的对称性在解题中有着广泛的应用。

例如，在求解函数的极值、最值等问题时，可以利用函数的对称性简化问题；在判断函数的单调性时，可以利用函数的对称性寻找关键点；在解决与周期性相关的问题时，可以利用函数的对称性寻找周期的规律等等。

因此，掌握函数的对称性对于解决数学问题具有重要的意义。

函数对称性一知识点精讲：I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线2a b x +=的对称点为00(,)Q a b x y +-，00()[()]f a b x f b x a +-=-+000[()]()f b b x f x y =--==∴点Q 仍在函数的图象上，从而函数的图象关于直线a b +对称.推论1推论2推论32、f (证明对称点为(Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数00000∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2b a x -=的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称.证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=-∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时,512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。

函数的对称性函数的对称性是指函数的图形在一条对称轴上的对称表现，或者说任意函数的定义域内的变化模式有着一定的对称特征。

通俗地讲，当给定一个函数，可以通过将它的图形翻转沿着某条对称轴的方式去考察其对称性，而是否存在某种对称性则会取决于函数的形式及其参数，也就是说它们会决定函数的对称轴甚至其非对称情况。

对称性非常重要，因为它有助于记忆和理解函数。

举个例子来说，如果你有一个函数f，它的定义域内具有左右对称性，那么你可以通过在x=0处切割它们，为此可以将函数中的x称为对称轴，这样就可以很容易地推断出它的行为规律。

而此外，如果一个函数的定义域内没有对称的规律，它可能不是很容易理解。

人们可以用三种方式来表达函数的对称性：反比例、反射和旋转。

反比例方式指的是在定义域内以反比例多少的方式进行调整，即以相同的数字翻转，使得变化的规律完全一致，但是具体的数字却不同。

反射方式指的是把一个函数的所有点的x坐标的值取反，使表达式（f（-x））成为另一个函数（f（x））的对称图形。

而旋转方式则是指以y轴或者x轴中心点旋转，使每个点的坐标的值发生变化，从而形成对称的函数图形。

另外，函数的对称性还受把某个参数称为平移向量或旋转角度所影响。

对于平移向量来说，可以将函数内部的某些坐标（x，y）向左右或上下方移动，使其变得更加对称，形成相对简单的函数图形。

而旋转角度则是指以一个定义域内某个点为中心，使整个函数的图像旋转一定的角度，使函数的变化模式更加简单。

总而言之，函数的对称性是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们理解函数的表现规律，还可以帮助我们把函数的参数和变量更好地对应起来。

各种不同的变换会使函数的定义域内的变化模式发生改变，这同样也影响了函数的对称性，所以理解函数的对称性也是重要的，也是一个要注意的问题。

函数对称性的总结函数对称性是数学中一个重要的概念，在各个领域都有广泛应用。

理解和应用函数对称性有助于我们更好地理解和解决数学问题。

本文将对函数对称性的概念、性质和应用进行总结。

函数对称性的概念：在数学中，函数对称性是指函数具有某种变换性质，使得在一定的条件下，函数在变换前后保持不变。

具体来说，如果对于定义域上的任意一个元素x，都存在一个元素y，使得对称变换后的x，会得到y，在函数对称变换之后，函数的图像也会发生相应的变化。

函数对称性可以分为轴对称、中心对称和周期对称等。

1.轴对称：一个函数在平面上如果具有轴对称性，比如存在一个轴使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是轴对称函数。

轴对称函数的图像具有左右对称的特点。

比如，y = x^2 就是一个轴对称函数，其图像关于y轴对称。

2.中心对称：一个函数在平面上如果具有中心对称性，比如存在一个点使得对称变换后的图像与变换前的图像完全重合，那么这个函数就是中心对称函数。

中心对称函数的图像具有上下左右对称的特点。

比如，y = sin(x) 就是一个中心对称函数，其图像关于原点对称。

3.周期对称：一个函数如果具有周期对称性，那么在一定的周期内，函数的变换可以形成循环。

即，在给定的周期内，函数的某个值与另一个值相等。

周期对称函数的图像在周期内具有相似的形状和变化趋势。

比如，y = sin(x) 就是一个周期对称函数，其周期为2π。

函数对称性的性质：1.对称轴或对称中心是函数对称性的重要特征。

通过找到函数的对称轴或对称中心，可以更好地理解函数的变化规律和性质。

2.函数对称性能够简化函数的分析和计算过程。

根据函数对称性的特点，我们可以通过分析对称图形的一部分，推断出对称图形的其他部分；通过对称性可以简化函数的复杂性，并提供更方便的计算方法。

3.函数对称性能够提供问题求解的启示。

函数对称性在实际问题中具有重要的应用价值，比如建筑设计中的对称线、电路中的交流信号分析等。

函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。

它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。

函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。

1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。

这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。

函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。

偶函数的图像在y轴对称。

- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称。

- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。

周期函数的图像在某一段距离上重复。

1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。

因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。

又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。

因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。

二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。

- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。

- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。

2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。

高三函数对称性知识点总结在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念。

而函数的对称性是函数图像在坐标轴上的对称特性，它是一种具有很高抽象性的数学思维，对于理解和解决数学问题具有重要意义。

在高三数学学习中，函数的对称性是一个非常重要的知识点，也是数学建模和解题中常用的技巧之一。

下面将对高三函数对称性的知识点进行总结。

一、函数的对称性1. 关于x轴的对称性当函数图像与x轴对称时，称函数具有关于x轴的对称性。

即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(x, -y)也在函数图像上。

2. 关于y轴的对称性当函数图像与y轴对称时，称函数具有关于y轴的对称性。

即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, y)也在函数图像上。

3. 关于原点的对称性当函数图像与原点对称时，称函数具有关于原点的对称性。

即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, -y)也在函数图像上。

4. 奇函数如果函数f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。

奇函数的图像关于原点对称，且通过原点。

5. 偶函数如果函数f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。

偶函数的图像关于y轴对称，且通过y 轴。

6. 周期函数如果函数f(x + T) = f(x)，其中T为正实数，那么称函数f(x)为周期函数。

周期函数的图像在一个周期内具有对称性。

二、对称性在数学建模中的应用1. 对称性可以简化问题在数学建模中，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量和分析难度。

通过对称性的特点，我们可以找到函数图像上的对称点，从而减少求解方程的步骤。

2. 对称性可以加快求解过程利用函数的对称性，在求解函数的零点、极值点和拐点时，可以通过对称点的关系，快速地确定函数的特征点，从而加快求解过程。

3. 对称性可以提高模型的精度在数学建模中，对称性可以帮助我们合理地选择函数模型，提高模型的精度和可靠性。

三、对称性在解题中的应用举例1. 求函数图像与坐标轴的交点在函数图像与坐标轴相交的点的求解中，利用函数的对称性可以帮助我们简化求解过程。

函数的性质对称性集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]函数的性质对称性张磊函数的对称性是函数的重要性质之一,主要包括轴对称和中心对称两种.在解几中,许多问题中都隐含对称性,如角的平分线,线段的中垂线,光的反射等,要注意挖掘,充分利用对称性,中点坐标公式,斜率关系加以解决;在函数中,对称性与函数的奇偶性、周期性又有着内在的联系,解题时常常要进行相互转化,再加以解决.一对称性的有关结论1 y=f(x)关于x=a对称f(2ax) =f(x) f(2a+x) =f(-x)f(ax) =f(x+x) 内反外同轴对称对称f(ax) =f(bx)引申 y=f(x)关于x=a+b22 y=f(x)关于点(a,0)对称f(2ax) =-f(x)f(2a+x) =-f(-x)f(ax) =f(a+x) 内外都反点对称引申 y=f(x)关于点(a,b)对称 f(2ax) =2bf(x)二对称性与奇偶性关系奇函数的图像关于原点(0 ,0)对称;偶函数图像关于y轴对称.奇偶性实际是一种特殊的对称性.三对称性与周期性关系双对称周期性 (联系正余余弦函数对称性与周期性关系)1 {f (2a +x ) =f (−x )f (2b +x ) =f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |2 {f (2a +x )=−f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x ) = f (2b +x ) f(2a-2b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|2a −2b |3 {f (2a +x )=f (−x )f (2b +x )=−f (−x )f (2a +x )=− f (2b +x ) f(2a-2b+x)= -f(x) f(4a-4b+x)= f(x)所以函数f(x)是周期函数,周期为|4a −4b |四 点关于线的对称点点(x 0 ,y 0)关于直线ax+by+c=0的对称点为(x 02a a 2+b 2(a x 0+by 0+c ) , y 02b a 2+b 2(a x 0+by 0+c ))。