吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高二期中考试数学(理)试卷 缺答案

吉林省长春市榆树市第一中学2020-2021学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，-2），B（1，0，1），则=（）A．B． C．D．参考答案：B2. 等比数列中,,则（▲ ）A． B. C.D.参考答案：A略3. “对任意的正整数，不等式都成立”的一个充分不必要条件是（）A . B. C. D. 或参考答案：B略4. 地球半径为，在北纬的纬线上有两点、，点在东经上，点在西经，则、两点的球面距离（）A． B． C． D．参考答案：D5. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β的位置关系是（）A．平行B．相交C．平行或相交D．重合参考答案：C【考点】平面与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．【解答】解：由平面α内有无数条直线与平面β平行，知：当α∥β时，平面α内有无数条直线与平面β平行；当α与β相交时，平面α内有无数条平行直线与平面β平行．∴α与β的位置关系是平行或相交．故选：C．【点评】本题考查两平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．6. 若直线（）A． B．[－1，3]C．[－3，1] D．参考答案：C7. 用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”，当“n从k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1) C． D．参考答案：B略8. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A ．3B ．4 C. 5 D ．6参考答案：C9. 下列命题中的假命题是( ) A ． B ．C ．D ．参考答案：C10. 若是任意实数，则方程所表示的曲线一定不是（ ）A ．直线B ．双曲线C ． 抛物线D ．圆参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直线的斜率为3，直线经过点，若直线则______．参考答案：12. 不等式的解集为.参考答案：；13. 设,若对任意的正实数,都存在以为三边长的三角形,则实数的取值范围是 .参考答案： （1,3）14. 若抛物线的焦点坐标为，则准线方程为 .参考答案：x=-115. 双曲线:的左右焦点分别为，过F 1斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于点P 、Q ，若，则该双曲线的离心率是_________．参考答案：【分析】 根据，由定义得，由余弦定理得的方程求解即可【详解】根据，由双曲线定义得，又直线的斜率为，故，中由余弦定理得故答案为【点睛】本题考查双曲线定义及几何性质，余弦定理，运用定义得是本题关键，是中档题16. 已知变量满足关系式，，则的最大值是 .参考答案：2517. 已知命题p：“?x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a的取值范围为________．参考答案：[e，4]略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年吉林省吉林第一高级中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（5分）椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．2．（5分）已知{a n}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，若a2m＝15，则m＝（）A．4B．6C．7D．83．（5分）已知椭圆＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于（）A．8B．7C．6D．54．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）焦点分别为（﹣2，0），（2，0）且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣＝1B．C．y2﹣＝1D．6．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5＝（）A．B．C．D．7．（5分）椭圆C：+y2＝1（a＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是（）A．2（）B．C．D．48．（5分）有关下列说法正确的是（）A．“若函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0”的逆否命题是真命题B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1＝0，则x＝1或x＝﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．若p为真命题，q为假命题，则p∧（￢q）为真命题9．（5分）设P（x，y）是椭圆x2+4y2＝4上的一个动点，定点M（1，0），则|PM|2的最大值是（）A．B．1C．3D．910．（5分）冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且满足a n+2﹣a n＝1+（﹣1）n（n∈N*），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人．A．225B．255C．365D．46511．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知△ABC三个顶点A，B，C都在曲线＝1上，且+2＝（其中O为坐标原点），M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|+|k2|的取值范围为（）A．[，+∞）B．[0，+∞）C．（0，]D．[，+∞）二、填空题（共6小题）.13．（5分）经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程是．14．（5分）已知命题p：∀x∈R，都有x2+ax+a≥0是真命题，则实数a的取值范围是．15．（5分）点P（x0，1）为椭圆C：＝1（a＞2）在上一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则椭圆C的长轴长是．16．（5分）已如数列{a n}与{}均为等差数列（n∈N*），且a1＝2，则{a n}的公差为．17．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，{S n+na n}为常数列，则a n＝．18．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣c，0），右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为﹣，则该椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝|PB|．（1）求动点P的轨迹的方程；（2）若M为PA中点，求动点M的轨迹方程．20．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}的前10项和为65，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝2+a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F 是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积等于1时，求l的方程．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2﹣a n﹣（）n﹣1（n∈N*），数列{b n}满足b n ＝2n a n．（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{S n}的前n项和T n．23．（12分）已知圆F1：x2+y2+2x﹣14＝0，定点F2（，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点G．（1）求动点G的轨迹E的方程；（2）若D、C分别是曲线E与x轴正、负半轴的交点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．2．（5分）已知{a n}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，若a2m＝15，则m＝（）A．4B．6C．7D．8解：∵{a n}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，∴＝＝25，解得a1＝1，∴a n＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，∵a2m＝15，∴a2m＝2（2m）﹣1＝15，解得m＝4．故选：A．3．（5分）已知椭圆＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于（）A．8B．7C．6D．5解：∵椭圆＝1的焦点在x轴上，∴m﹣2＞10﹣m＞0，即6＜m＜10，且a2＝m﹣2，b2＝10﹣m，∴c＝，又焦距为4，∴，得m＝8．故选：A．4．（5分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1，但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）焦点分别为（﹣2，0），（2，0）且经过点（2，3）的双曲线的标准方程为（）A．x2﹣＝1B．C．y2﹣＝1D．解：2a＝﹣3＝2∴a＝1∵c＝2∴b＝∴双曲线方程为x2﹣＝1．故选：A．6．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚，S n为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S5＝（）A．B．C．D．解：由题意可知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前n天打洞之和为＝2n﹣1，同理，小老鼠每天打洞的距离＝2﹣，∴S n＝2n﹣1+2﹣，∴S5＝25+1﹣＝32．故选：B．7．（5分）椭圆C：+y2＝1（a＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是（）A．2（）B．C．D．4解：依题意，椭圆C：+y2＝1（a＞0）的焦点在x轴，作图如下：∵点M、N分别为PF1，PF2的中点，∴|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，又四边形OMPN的周长为2，∴2（|PF2|+|PF1|）＝|PF2|+|PF1|＝2，即2a＝2，∴a＝，又b＝1，∴c＝，即|F1F2|＝2c＝2，∴△PF1F2的周长l＝|PF2|+|PF1|+|F1F2|＝2+2＝2（+）．故选：A．8．（5分）有关下列说法正确的是（）A．“若函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0”的逆否命题是真命题B．若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0C．命题“若x2﹣1＝0，则x＝1或x＝﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1或x≠﹣1”D．若p为真命题，q为假命题，则p∧（￢q）为真命题解：对于函数f（x）＝x2，有f（0）＝0，函数f（x）为偶函数，函数f（x）＝为奇函数，但f（0）≠0．所以A不正确；若p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，所以B不正确；命题“若x2﹣1＝0，则x＝1或x＝﹣1”的否命题是“若x2﹣1≠0，则x≠1且x≠﹣1”，所以C不正确；若p为真命题，q为假命题，则￢q是真命题，所以p∧（￢q）为真命题，所以D正确；故选：D．9．（5分）设P（x，y）是椭圆x2+4y2＝4上的一个动点，定点M（1，0），则|PM|2的最大值是（）A．B．1C．3D．9解：根据题意，P（x，y）是椭圆x2+4y2＝4即+y2＝1上的一个动点，则﹣2≤x≤2，且y2＝1﹣，而定点M（1，0），则|PM|2＝（x﹣1）2+y2＝（x2﹣2x+1）+1﹣＝x2﹣2x+2＝（x ﹣）2+，函数y＝（x﹣）2+是开口向上的二次函数，其对称轴为x＝，当x＝﹣2时，|PM|2＝（x﹣）2+取得最大值，且其最大值为9，故选：D．10．（5分）冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且满足a n+2﹣a n＝1+（﹣1）n（n∈N*），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人．A．225B．255C．365D．465解：数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且满足a n+2﹣a n＝1+（﹣1）n（n∈N*），当n为奇数时，a n+2＝a n，当n为偶数时，a n+2﹣a n＝2，所以a1＝a3＝…＝a29＝1，a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列，所以S30＝（a1+a3+…+a29）+（a2+a4+…+a30）＝15+＝255．故选：B．11．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2c，点A在椭圆上，，，则椭圆的离心率e＝（）A．B．C．D．解：∵∴AF1⊥F1F2即A点的横坐标与左焦点相同又∵A在椭圆上，∴A（﹣C，±）又∴＝c2即＝2＝c2即AF1＝c则2a＝c+c∴e＝故选：C．12．（5分）已知△ABC三个顶点A，B，C都在曲线＝1上，且+2＝（其中O为坐标原点），M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|+|k2|的取值范围为（）A．[，+∞）B．[0，+∞）C．（0，]D．[，+∞）解：因为+2＝（其中O为坐标原点），所以，即可得，从而O为BC中点，即B，C关于原点对称．因为M，N分别为AB，AC的中点，所以AB∥ON，AC∥OM，故直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，设C（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），A（x0，y0）．可得，，∴＝＝﹣则|k1|+|k2|＝2×＝．所以|k1|+|k2|的取值范围为[，+∞）故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）的椭圆的标准方程是．解：∵经过点P（﹣3，0），Q（0，﹣2）∴a＝3，b＝2∴所以椭圆的标准方程为故答案为：．14．（5分）已知命题p：∀x∈R，都有x2+ax+a≥0是真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．解：命题p：∀x∈R，都有x2+ax+a≥0是真命题，则x2+ax+a≥0恒成立，必有△＝a2﹣4a≤0成立，解可得0≤a≤4，即a的取值范围为[0，4]，故答案为：[0，4]．15．（5分）点P（x0，1）为椭圆C：＝1（a＞2）在上一点，以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，则椭圆C的长轴长是2．解：∵椭圆C：＝1（a＞2），∴，又P（x0，1）为椭圆C上一点，且以点P以及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积为1，∴＝|F1F2|×1＝＝1，即c＝1，则，得a＝．∴椭圆C的长轴长是2a＝2．故答案为：．16．（5分）已如数列{a n}与{}均为等差数列（n∈N*），且a1＝2，则{a n}的公差为2．解：∵数列{a n}与{}均为等差数列（n∈N*），且a1＝2，设{a n}的公差为d，∴b n＝是等差数列，b1＝4，b2＝，b3＝，∴由2b2＝b1+b3，得（2+d）2＝4+，解得d＝2．∴{a n}的公差为2．故答案为：2．17．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，{S n+na n}为常数列，则a n＝．解：∵数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，∴S1+1×a1＝1+1＝2，∵{S n+na n}为常数列，∴由题意知，S n+na n＝2，当n≥2时，S n﹣1+（n﹣1）a n﹣1＝2两式作差得（n+1）a n＝（n﹣1）a n﹣1，从而＝，∴（n≥2），当n＝1时上式成立，∴．故答案为：．18．（5分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣c，0），右顶点为A，上顶点为B，现过A点作直线F1B的垂线，垂足为T，若直线OT（O为坐标原点）的斜率为﹣，则该椭圆的离心率为．解：由椭圆＝1（a＞b＞0），得A、B的坐标为（a，0）、（b，0），又F1（﹣c，0），∴直线BF1的方程是y＝，OT的方程为，联立解得T点坐标为（），则直线AT的斜率为，由AT⊥BF1，得，即3b2＝4ac+c2，又a2＝b2+c2，∴4e2+4e﹣3＝0解得e＝（0＜e＜1）．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足|PA|＝|PB|．（1）求动点P的轨迹的方程；（2）若M为PA中点，求动点M的轨迹方程．解：（1）设P（x，y），∵动点P满足|PA|﹣2|PB|＝0．∴＝•，化为：（x﹣3）2+y2＝8．（2）设M（x，y），P（a，b），由A（﹣1，0），M是AP的中点，故有a＝2x+1，b＝2y，又P为圆：（x﹣3）2+y2＝8上一动点，∴（2x﹣2）2+（2y）2＝8，整理得（x﹣1）2+y2＝2，故AP的中点M的轨迹方程是（x﹣1）2+y2＝2．20．（12分）在公差不为0的等差数列{a n}的前10项和为65，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝2+a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）设公差d不为0的等差数列{a n}的前10项和为65，a1，a3，a7成等比数列，所以，故，解得，故a n＝n+1，（2）若b n＝2+a n＝2n+1+n+1，所以＝．21．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，F 是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点．当△OPQ的面积等于1时，求l的方程．解：（1）设椭圆E：＝1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0），因为直线AF的斜率为，所以，解得c＝．又椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴，可得a＝2．故E的方程为：．（2）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y＝kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y＝kx﹣2代入椭圆E的方程：，得（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，当△＝16（4k2﹣3）＞0，即k2．x1+x2＝，x1x2＝，从而|PQ|＝|x1﹣x2|＝，又点O到直线PQ的距离d＝．所以△OPQ的面积S△OPQ＝•d•|PQ|＝＝1．设＝t，则t＞0，可得，解得t＝2，即可得k2＝，满足△＞0，故k＝符合题意．直线l的方程为：y＝﹣2．22．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2﹣a n﹣（）n﹣1（n∈N*），数列{b n}满足b n ＝2n a n．（1）求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{S n}的前n项和T n．解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝2﹣a n﹣（）n﹣1（n∈N*）①，当n＝1时，解得，当n≥2时，S n﹣1＝2﹣a n﹣1﹣（）n﹣2，②①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝，整理得，由于数列{b n}满足b n＝2n a n．所以b n﹣b n﹣1＝1（常数），所以数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以2n a n＝n，整理得．（2）由（1）得：S n＝2﹣a n﹣（）n﹣1＝2，设的前n项和为M n，则①，②，①﹣②得：，整理得：．所以＝．23．（12分）已知圆F1：x2+y2+2x﹣14＝0，定点F2（，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点G．（1）求动点G的轨迹E的方程；（2）若D、C分别是曲线E与x轴正、负半轴的交点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值．（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由圆F1：x2+y2+2x﹣14＝0，得，∴，又F2（，0），A是圆F1上的一动点，线段F2A的垂直平分线交半径F1A于点G，∴|GF2|＝|GA|，则|GF2|+|GF1|＝|GA|+|GF1|＝|AF1|＝4＞．∴动点G满足椭圆的定义，则动点G的轨迹是以F1，F2为焦点，2a＝4的椭圆，a＝2，c＝，b＝，可得动点G的轨迹E的方程为；（2）由题意可得，D（2，0），C（﹣2，0），∵MD⊥CD，∴设M（2，t），P（x P，y P），则＝（2，t），＝（x P，y P），直线CM的方程为y＝，联立，可得（8+t2）x2+4t2x+4t2﹣32＝0，利用根与系数的关系可得，﹣2•，∵，，∴＝，∴为定值4；（3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP，，，由，即，即m＝0，∴存在Q（0，0）满足条件．。

吉林省榆树市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题数学（理）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、数列 ,......11,9,7,5,3的一个通项公式为 ( )A. 12-nB. n 2C. 12+nD. 32+n2、不等式0)2)(1(<++x x 的解集为 ( ) A. {}21><x x x 或 B. {}21<<x x C. {}-12-><x x x 或 D. {}-12<<-x x3、若R x ∈,设p ：实数2>x .q ：实数1>x 下列说法正确的是 （ ）A.p 是q 的充分不必要条件 B. q p ∧ 是假命题 C. p 是q 的充要条件 D. p ⌝是真命题4、在锐角ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若1=a ，030.3==A b ,则角B 等于 ( )A.045B. 060C. 030D. 075 5、在《算法统宗》（改编）有这样一段表述:“远看巍巍塔三层,红光点点倍加增,共灯二十八”,其意大致为:有一栋3层宝塔,每层悬挂的红灯数为上一层的两倍,共有28盏灯,则该塔中间一层灯的盏数是( )A 2 B. 4 C 6 D. 86、设ABC ∆的角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,若060,4,2===B c a ,则等于 ( )A.28B. 72C.12D. 327、如图,设B A ,两点在河的两岸,一测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定的一点C ,测出AC 的距离为00105,45,250=∠=∠CAB ACB m ,就可以计算出B A ,两点的距离为 ( ) mA. 250B. 100C. 350D. 21008、设，满足约束条件，则目标函数的取值范围是 ( )A ．BC ．D ． 9、在ABC ∆中, 045,1=∠=B b ,若这样的三角形有两个,则边a 的取值范围为 ( )A.),1(+∞B. )2,1(C. )2,1(D. )3,2(10、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,2(,2,30,2211≥===-m a S S m m ,且)N m ∈,则m 的值是( )A.7B.6C.5D.411、设为ABC ∆的三边有 4=bc ,且关于x 的方程012)(2222=++++x c b x bc a 有两个相等的实数根,则ABC ∆的面积是 ( )A.1B.2C. 3D. 212、已知 []8,4∈∀x ，不等式234124232--<-+-m m x x 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A. ),4()1,(+∞⋃--∞B. )4,1(-C. ),4()0,(+∞⋃-∞D. )3,4(-第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、数列{}n a 满足,)2(,1≥+=-n n a a n n 则=3a ________14、命题p :存在][3,20∈x ,使060<-ax 成立, 若为真命题,则实数a 的取值范围为________15、已知在ABC ∆中,S 为ABC ∆的面积,若向量),1(),,4(222S q c b a p =-+=，且q p 与平行,则角=C _________16、记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知324132,1S S S a =+= ，设n m ,是正整数，若存在正整数 )1(,j i j i <<，使得j i na mn ma ,,，成等差数列，则mn 的最小值为_________三、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、已知关于x 的不等式042<+-a x x 的解集是{}31<<=x x A 。

吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题理(无答案)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心,则a 的值为（ ) A 。

5 B 。

3 C 。

1 D 。

1-2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的范围是（ ） A ．2a <-或23a > B ．223a -<<C ．20a -<<D ．223a -<<3、圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为( ）A 。

B 。

C.D.4、以点(3,4)A -为圆心，且与y 轴相切的圆的标准方程为（ ) A.22(3)(4)16x y ++-= B 。

22(3)(4)16x y -++= C 。

22(3)(4)9x y ++-= D 。

22(3)(4)9x y -++=5．已知双曲线方程为错误!－错误!＝1，则此双曲线的右焦点的坐标为( ）A ．（1，0）B ．（5，0）C ．（7，0）D ．（错误!，0）6．以双曲线x 216－错误!＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是（ ）A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x7．已知双曲线错误!－错误!＝1（a〉0,b>0），两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为（）A。

错误!B。

错误!C．2 D。

错误!或28．已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足错误!·错误!＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A．（0，1) B。

错误!C。

错误! D.错误!9．设F为抛物线y2＝4x的焦点,A，B，C为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则｜错误!｜＋|错误!｜＋｜错误!｜＝( )A．9 B．6C．4 D．310．已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（)A．(－1,3) B．（－1,错误!)C．（0,3）D．(0,错误!）11．若双曲线错误!＋错误!＝1的离心率e∈（1,2)，则实数k的取值范围是（) A．(－？T，0) B．（－12，0)C．(－3，0）D．（－60，－12）12．已知双曲线的两个焦点为F1（－错误!,0)，F2（错误!，0），M是此双曲线上的一点，且满足错误!·错误!＝0,｜错误!｜·｜错误!|＝2,则该双曲线的方程是( ) A。

【市级联考】吉林省吉林市普通高中2020-2021学年高二（上）期中数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若0a b >>,则下列不等式不成立的是( )A ．11a b <B ．a b > C．a b +< D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2．设集合[]A 1,2=，2B {x Z |x 2x 30}=∈--<，则A B (⋂= )A ．[]1,2 B ．()1,3- C ．{}1 D ．{}1,2 3．已知等差数列{a n }中，399,3a a ==，则公差d 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．1- D ．12- 4．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．15．在等比数列{}n a 中, 39,a a ,是方程231190x x -+=的两个根,则6a 等于 A ．3B ．116 C．D ．以上皆不是6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c ab +=-，则C =( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．30°7．已知lg lg 0a b +=，则()lg a b +的最小值为（ ） A ．lg 2 B．C ．lg 2- D ．28．已知数列{}n a 中第15项15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．49．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，2345620a a a a a ++++=-，则“n S 取得最小值”的一个充分不必要条件是（ ）A ．5n =或6B ．5n =或6或7C ．6n =D ．11n =11．已知实数x ，y 满足：22{102x x y yy -≤-≤≤，若目标函数z ax y =+（其中a 为常数）仅在11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．1,0 C ．0,1 D ．{}1,1-12．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π二、填空题13．若不等式2x mx 10++≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是______．14．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则34a a +=_____________.15．已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1a =，45B ∠=，2ABC S =，则b =______．16．已知0x >，0y >，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17．不等式2260kx x k -+<（1）若不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．18．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若125,,a a a 成等比数列，且416S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足32(1)n n n b a -=-⋅，求12310b b b b ++++的值.19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设4a =，3c =，1cos 8B =． （1）求b 的值；（2）求ABC 的面积．20．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在表中，如何设计甲、乙两种货物应各托运的箱数可以获得最大利润，最大利润是多少？21．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C -+=+-． （1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．22．设数列{a n }的前项为S n ，点(n,S n n)， (n ∈N ∗)均在函数y =3x −2的图象上. （1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =3an ⋅a n+1， 求数列{b n }的前项和T n .参考答案1．C【分析】根据均值不等式可知，a b +<不正确.【详解】因为0a b >>，所以2a b +>C 显然矛盾，故C 选项错误. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及均值不等式，属于容易题.2．D【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，利用交集定义求解即可.【详解】集合[]A 1,2=， {}2B {x Z|x 2x 30}{x Z|1x 3}0,1,2=∈--<=∈-<<=，{}A B 1,2∴⋂=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.3．C【分析】由等差数列的通项公式进行计算即可得答案.【详解】等差数列{a n }中，399,3a a ==，则936,a a d =+即3=9+6d,解得d=-1故选C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.4．B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．5．C【分析】依题意可得，39391130,03a a a a ⋅=>+=>，所以26393a a a =⋅=，则6a = C 【详解】请在此输入详解！【点睛】请在此输入点睛！6．B【解析】 根据已知，由余弦定理可得22212cos ,0,223a b c C C C ab ππ+-==-<<= ， 故选B7．A【解析】分析：根据对数运算得到lg(ab )＝0，即 ab ＝1，再由基本不等式得到最值.详解：由 lg a ＋lg b ＝0，可知 a >0，b >0，则 lg(ab )＝0，即 ab ＝1.所以 a ＋b≥2 ＝2，当且仅当 a ＝b ＝1 时取等号， 所以 lg(a ＋b )≥lg 2.故 lg(a ＋b )的最小值为 lg 2.点睛：本题考查了对数的基本运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．C【解析】【分析】由条件2122214log log log 7b b b +++=可得，7123142b b b b ⋅⋅=，由递推关系式1n n n a a b +=⋅可得1n n n a b a +=，所以1513142141311413121a a a a b b b a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅，可得12a =。

2020-2021学年吉林省榆树市第一高级中学高二上学期期中考试试题（文理数学）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若直线30x y a -+=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A.5 B.3 C.1 D.1-答案：A解析：圆22240x y x y ++-=的标准方程为()()22125x y ++-= 圆心坐标为()1,2-，若直线30x y a -+=经过圆心，则3(1)20a ⨯--+= 解得5a =，综上所述，答案选择A2.方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的范围是（ ） A ．2a <-或23a > B ．223a -<<C ．20a -<<D ．223a -<<答案：D解析：方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆 ∴2224420()1a a a a +-+-> ∴23440a a +-<，∴232()()0a a +-<， ∴223a -<<3、圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为( )A B C . D . 答案：C解析：两圆的公共弦所在直线为2150x y +-=,圆心()0,0到直线的距离为d =所以弦长为。

4、以点(3,4)A -为圆心,且与y 轴相切的圆的标准方程为( ) A.22(3)(4)16x y ++-=B.22(3)(4)16x y -++=C.22(3)(4)9x y ++-=D.22(3)(4)9x y -++= 答案：C解析：以点()3,4-为圆心且与y 轴相切的圆的半径为3，故圆的标准方程是()()22349x y ++-=.5．已知双曲线方程为x 24－y 23＝1，则此双曲线的右焦点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(5,0)C ．(7,0)D ．(7，0)解析：∵a 2＝4，b 2＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝7，c ＝7，∴此双曲线右焦点的坐标为(7，0)．答案：D6．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：由双曲线x 216－y 29＝1知右顶点的坐标为(4,0)，∴p2＝4，p ＝8，∴所求抛物线方程为y 2＝16x . 答案：A7．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率为( )A.233B. 3 C ．2D.233或2解析：应分两种情况求解．由已知得ba＝tan60°＝3或b a ＝tan30°＝33，又e ＝c a ＝ a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，∴e ＝2或e ＝233.答案：D8．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1解析：∵满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 在圆x 2＋y 2＝c 2上，∴圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆内部，即c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2,2c 2＜a 2，∴e 2＜12，即e ∈⎝⎛⎭⎫0，22.答案：C9．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则 |FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，抛物线的焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1. ∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴F 为△ABC 的重心，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又|FA →|＝x 1＋1，|FB →|＝x 2＋1，|FC →|＝x 3＋1，∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋3＝6.答案：B10．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2.又双曲线两焦点间的距离为4， 得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，∴m 2＝1，∴－1<n <3.答案：A11．若双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则实数k 的取值范围是( )A ．(－?T ，0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：由题意得a 2＝4，b 2＝－k ，∴c 2＝a 2＋b 2＝4－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k4.又e ∈(1,2)，∴1＜4－k 4＜4， 得－12＜k ＜0. 答案：B12．已知双曲线的两个焦点为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( )A.x 29－y 2＝1 B ．x 2－y 29＝1C.x 23－y 27＝1 D.x 27－y 23＝1 解析：由MF 1→·MF 2→＝0，知MF 1⊥MF 2，由焦点三角形的面积公式知12|MF 1||MF 2|＝b 2tan45°，∴b 2＝1.又c ＝10，∴a 2＝c 2－b 2＝10－1＝9，焦点在x 轴上， 故所求的双曲线方程为x 29－y 2＝1.答案：A第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在题中的横线上) 13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．解析：由双曲线x 27－y 23＝1，知c 2＝7＋3＝10，∴c ＝10，∴焦距2c ＝210. 答案：210 14．以抛物线y 2＝20x的焦点为圆心，且与双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线都相切的圆的方程为________．解析：抛物线y 2＝20x 的焦点坐标为(5,0)，双曲线x 216－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －4y ＝0，圆心(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为155＝3，故所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝9.答案：(x －5)2＋y 2＝915.已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为|?cos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为________． 答案 (23，π6)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，(ρ≥0，0≤θ<π2)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝π6，即两曲线的交点为(23，π6)．16．已知A 、B 为椭圆C ：x 2m ＋1＋y 2m ＝1的长轴的两个端点，P 是椭圆C 上的动点，且∠APB的最大值是2π3，则实数m 的值是________．解析：由椭圆知，当点P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值，∴ab ＝3，∴m ＋1m ＝3，∴m ＝12.答案：12三.解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （10分）已知：过点()3,1的直线l 被曲线22240x y x y +--=截得的弦长为2， 求直线l 的方程.答案：3x =或3450x y --=解：圆C 的方程可化为22()(12)5x y -+-=.圆心()1,2,； ∵直线l 过点()3,1且被圆C 截得的弦长为2， （1）l 的斜率不存在时，直线3x =，∴圆心C 到l 的距离为2d =.弦长为：2= 满足题意；（2）l 的斜率存在时,设(:3)1l y k x -=-，即310kx y k --+=， 圆心C 到l的距离2d ==,∴34k =-，∴:3450l x y --=.综上所述，直线l 的方程3x =或3450x y --=； 故答案为：3x =或3450x y --=.18．(12分)已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得弦长为15，求抛物线的方程．解：依题意，设抛物线方程为y 2＝ax ，将y ＝2x ＋1代入，得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0.设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14.Δ＝(4－a )2－16>0，解得a <0或a >8. 由弦长公式得 |AB |＝ 1＋22·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝15，∴⎝⎛⎭⎫a －442－1＝3，∴(a －4)2＝64，∴a ＝12或a ＝－4.∴抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .19．(12分) 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2的面积． 解：由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线定义及勾股定理得 |PF 1|－|PF 2|＝±6， 又∠F 1PF 2＝90°，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝102， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100. ∴|PF 1|·|PF 2|＝100－362＝32. ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.20.(12分)已知两点F 1(0，－1)，F 2(0,1)，P 是动点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项， 求动点P 的轨迹方程．解：由已知得|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4＞2，∴动点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 则a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3， ∴动点P 的轨迹方程为x 23＋y 24＝1.21．(12分)在极坐标系中，已知直线l 过点A(1，0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线的极坐标方程； (2)极点到该直线的距离． 解(1)如图，由正弦定理，得ρsin 2π3＝1sin （π3－θ），即|?sin(π3－|è)＝sin 2π3＝32. ∴所求直线的极坐标方程为|?sin(π3－|è)＝32.(2)作OH ⊥l ，垂足为H ，在?÷OHA 中， OA ＝1，∠OHA ＝π2，∠OAH ＝π3，则OH ＝OAsin π3＝32.即极点到该直线的距离等于32. 22．（理数）(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆的方程；(2)若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OM →·OP →为定值．解：(1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，12bc ＝1，∴b ＝c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)证明：由(1)知，C (－2,0)，D (2,0)． 由题意可设CM ：y ＝k (x ＋2)，P (x 1，y 1)． ∵MD ⊥CD ，∴M (2,4k )． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k (x ＋2)消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， ∴Δ＝(8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2－4)＞0， ∴－2x 1＝8k 2－41＋2k 2，即x 1＝2－4k 21＋2k 2，∴y 1＝k (x 1＋2)＝4k1＋2k 2， ∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2. ∴OM →·OP →＝2·2－4k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝4(1＋2k 2)1＋2k 2＝4 (定值)．22．（文数）(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程； (2)若OA →⊥OB →，求k 的值．解：(1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1.消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)＞0恒成立． 故x 1＋x 2＝－2kk 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4.若OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0，化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.。

吉林省榆树市第一高级中学2012-2013学年高二数学上学期期中考试试题 理一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共计60分） 1．在⊿ABC 中,sinA=sinB ，则该三角形是（ ）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等边三角形D 、锐角三角形 2．各项都是正数的等比数列{a n }中,a 2,21a 3,a 1成等差数列，则4354a a a a ++的值为（ ）A 、215-B 、215+C 、251-D 、215-或215+ 3．对于实数a,b, c 下列真命题是（ ） A 、若a>b 则ac 2>bc2B 、若a>b>0则b a 11> C 、若a<b<0则b a a b > D 、若a>b, ba 11>,则a>0,b<04．已知S n =1-2+3-4+5-6+…+(-1)n-1n,则S 17+S 33+S 50等于（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、25．在⊿ABC 中，A=60°，b=1其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于（ ）A 、33B 、3392C 、3326D 、2396．已知正数x,y 满足118=+yx ，则x+2y 最小值为（ ） A 、16 B 、17 C 、18 D 、19 7．设S n 等差数列{a n }前n 项和，若4163=S S ,则126S S=（ ） A 、21 B 、31 C 、41 D 、818．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2a 3=2a 1且a 4与2a 7的等差中项为45，则S 5=( )A 、35B 、33C 、31D 、299．不等式1413353222≥+---x x x x 解集为（ ） A 、}94131|{≤<≤<x x x 或 B 、}94131|{≥<≤<x x x x 或或 C 、 }931|{≤≤x x D 、}41|{≤≤x x10．在⊿ABC 中，若三个角A 、B 、C 成等差数列，且lga ,lgb ,lgc 也成等差数列，则⊿ABC 一定是（ ）A 、有一个角为60°的任意三角形B 、有一角为60°的直角三角形C 、正三角形D 、以上都不正确11．在平面直角坐标系xoy 中，已知平面区域A={(x,y)|x+y ≤1,且x ≥0,y ≥0}，则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为（ ） A 、2 B 、1 C 、21 D 、41 12．如图：在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h 为（ ）A 、)sin()sin(sin αγβγα--a B 、)cos()sin(sin αγβγα--aC 、)sin()cos(cos αγβγα--aD 、)cos()cos(cos αγβγα--a二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共计20分）13．已知x>1，则12-=x x y 的最小值为14．在⊿ABC 中，BC=x ，AC=2，B=45°，若这个三角形有两解，则x 取值范围为 15．已知等比数列{a n }前10项中，所有奇数项和为4185，所有偶数项和为21170，则S=a 3+a 6+a 9+a 12的值为16.数列{a n }{b n }满足a n b n =1,a n =n 2+3n+2则{b n }的前n 项和S n 为 三、解答题：（本题共6个大题，共计70分） 17．（本题12分）⊿ABC 中a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，向量m= (2sinB,2—cos2B), n=(2sin 2(24B+π),—1),m ⊥n,①求角B 的大小，②若3=a ,b=1, 求角C 的值。

吉林省榆树市第一高级中学校2021-2022学年高二上学期期中检测数学试卷一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确。

每题5分，共60分。

）1．已知点()2,3,1B -，向量()3,5,2AB =-，则点A 坐标是（ ）A ．()1,2,3B ．()1,2,3-C ．()5,8,1-D ．()5,8,1--2.方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（ ）A ．0m >B ．4m >C ．0m >且4m ≠D ．04m <<3.过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝04．若向量(0,1,1),(1,1,0)a b =-=，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．0C ．-2D ．1 5.如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A ．111333OA OB OC ++ B ．111234OA OB OC ++C ．111446OA OB OC ++D ．111244OA OB OC ++6．设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是n ，则“n a ⊥”是“α//l ”的( )。

A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 7．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。

A 、0B 、1029 C 、518D 、5298.点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。

A 、1)1()2(22=++-y xB 、4)1()2(22=++-y xC 、1)1()2(22=-++y xD 、4)2()4(22=-++y x 9.圆22(2)(12)4x y ++-=关于直线l ：80-+=x y 对称的圆的方程为（ ）A ．22(3)(2)4x y +++=B ．22(4)(6)4x y ++-=C ．22(6)(4)4x y +++=D ．22(4)(6)4x y -+-=10.圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则不正确的是（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 111.若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+8）D ．（1，3]12．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。

长榆高中高二下学期期中考试数学（理）试题（时间90分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知复数z=（m-3）+（m-1）i的模等于2，则实数m的值为（）A 1或3B 1C 3D 22.-= ( )A 6B 12C 18D 203.已知函数=，则（3）的值为（）A 3B 9C 27D -274.从5名学生中选出2名担任学生会干部，不同的选法有（）A 10种B 20种C 30种D 40种5.二项展开式的第4项是（）A B C D6.在的展开式中，二项式系数最大的项是（）A 第6项B 第8项C 第5、6项D 第6、7项7.i是虚数单位，若则ab的值是（）A 3B -3C 2D -28.下列定积分的值为1的是（）A B C D9.曲线y=与直线y=x所围成图形的面积为（）A B C D10.函数=（x-3）·的单调递增区间是（）A (-10,2)B (0,3)C (1,4)D (2,+∞)11.设有4个大小相同的红球和6个大小相同的白球，现从中取出4个球，取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，则使总分不小于5分的不同取法的种数是（）A 16B 17C 45D 19512.若函数+mx+1是定义在R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A B C D二．填空题（每小题5分，共20分）13.以3i-2虚部为实部，以3i的实部为虚部的复数是。

14.用数字1、2、3、4、5可组各位上没有重复数字的三位数的个数为（用数字作答）15.函数=在区间上的最小值为。

16.在曲线y=上求一点P，使过点P的切线与直线y=4x-7平行，则P点坐标为三．解答题（共70分。

要求写出必要的解题步骤）17.（10分）计算：（1）（1-i）（1+i）+（-1+i）；（2）+18.（12分）复数z=（）+（）i，（m∈R）求满足下列条件的m的值：（1）z是实数（2）z是虚数（3）z是纯虚数19.（12分）已知函数=-3-9+11，试求其极值。

吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高二数学上学期期末备考卷（A ）理（老教材）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“存在x ∈R ，使得221x x +<”的否定是（ ） A ．对任意x ∈R ，都有221x x +≥ B ．不存在x ∈R ，使得221x x +≥ C ．存在x ∈R ，使得221x x +> D ．对任意x ∈R ，都有221x x +<【答案】A【解析】命题“存在x ∈R ，使得221x x +<”为特称命题， 该命题的否定为“对任意x ∈R ，都有221x x +≥”．故选A ． 2．已知函数2()(0)32x f x e f x x '=+++，则(1)f '=（ ） A ．5e + B ．8e +C ．11e +D ．12e +【答案】C【解析】∵()2(0)3x f x e f x ''=++，∴(0)134f '=+=，∴()83x f x e x '=++，(1)11f e '=+．3．经过点(1,0)P 作直线l ，若直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0,π]4B ．π3π[,]44C ．3π[,π)4D ．3π[0,][)4π,π4【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，1(2)101PA k ---==--，11102PB k --==-，由图可知，11k -≤≤，所以0π4α≤≤或3ππ4α≤<． 4．若直线123x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）与直线10kx y ++=平行，则常数k =（ ）A ．3-B ．13- C ．13D ．3【答案】D【解析】直线123x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数）化为普通形式350x y +-=，因为两直线平行，所以13k=，即3k =． 5．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线的斜率为12，则此双曲线的离心率为（ ） A ．32B ．52C 3D 5【答案】B 【解析】由题知12b a =，因此，该双曲线的离心率222222151()22c c a b e a a a +====+=． 6．已知函数2()(1)x f x x x e =++，则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为（ ） A ．10x y ++= B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=【答案】D【解析】∵2()(1)x f x x x e =++，求导得22()(21)(1)(32)x x x f x x e x x e x x e '=++++=++，∴(0)2f '=， 又∵(0)1f =，∴()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=． 7．已知l 为抛物线28y x =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点A 的坐标为(1,4)， 则AM d +的最小值是（ ） A ．17 B ．4C ．2D ．117+【答案】A【解析】抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，准线2x =-，连接FM ，MA ，由抛物线定义MF d =， ∴22(12)(40)17AM d AM MF AF =+-++≥=-=当且仅当A ，M ，F 三点共线时，取“=”号，∴AM d +17 8．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知(0,0)O ，(3,0)A ，动点(,)P x y 满足2PA PO=，则动点P 轨迹与圆22(1)1x y -+=位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】设(,)P x y ，由2PA PO =，得2222(3)44x y x y -+=+， 整理得22(1)4x y ++=，表示圆心为(1,0)-，半径为2R =的圆，圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)为圆心，1r =为半径的圆， 两圆的圆心距为2，满足2R r R r -<<+，所以两个圆相交．9．已知a ∈R ，若方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则此圆的圆心坐标为（ ） A ．(2,4)--B ．1(,1)2-- C ．(2,4)--或1(,1)2-- D ．不确定【答案】A【解析】∵方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆， ∴220a a =+≠，解得1a =-或0a =．当1a =-时，方程化为224850x y x y +++-=．配方，得标准式方程22(2)(4)25x y +++=，所得圆的圆心坐标为(2,4)--，半径为5；当2a =时，方程化为225202x y x y ++++=， 其中2222512442D F F +=+<⨯=，方程不表示圆．故选A ． 10．设椭圆C 的两个焦点是1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于点P ，Q ，若212PF F F =，且1123PF QF =，则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．35B ．12C ．32D ．13【答案】A【解析】因为2122PF F F c ==，则122PF a c =-， 又因为1123PF F Q =，则14()3F Q a c =-，22433F Q a c =+， 22212(22)441cos 4(22)22a c c c a c ePF F c a c c e∠-+---===-，22221222442414()4()33333cos 444()3)(33a c c a c e eQF F ac c e e ∠-+-++-==⨯--， 1212cos cos 0PF F QF F ∠+∠=，即221341342()3e ee e e e +--=-，解得35e =， 故选A ．11．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点H ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，如图所示，则（ ）①以线段AB 为直径的圆与准线l 相切； ②以11A B 为直径的圆经过焦点F ；③A ，O ，1B （其中点O 为坐标原点）三点共线；④若已知点A 的横坐标为0x ，且已知点0(,0)T x -，则直线TA 与该抛物线相切． 则以上说法中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】对于①，设AF a =，BF b =，则1AA a =，1BB b =， 所以线段AB 的中点到准线的距离为22ABa b +=， 所以以线段AB 为直径的圆与准线l 相切，故①正确； 对于②，连接1A F ，1B F ，如图，因为1AA AF =，1BB BF =，11180BAAABB ∠+∠=︒， 所以1118021802180AFA BFB -∠+-∠=︒，所以112()180AFA BFB ∠+∠=︒， 所以1190AFA BFB ∠+∠=︒，即1190A FB ∠=︒，所以以11A B 为直径的圆经过焦点F ，故②正确； 对于③，设直线:2pAB x my =+，11(),A x y ，22(,)B x y ， 将直线方程代入抛物线方程化简得2220y pmy p --=，0Δ>，则212y y p =-，又21111(,)(,)2y OA x y y p==，12(,)2p OB y =-， 因为22112()22y y p p p =-⋅-，221112121222()()()y y y y y y p y p p p ⋅-=⋅-=-⋅-=， 所以2112y OA OB p=-⋅，所以A ，O ，1B 三点共线，故③正确；对于④，不妨设0(A x，则0AT k =，则直线0:AT x x =-，代入抛物线方程化简得02220px y +=-，则02280(px Δ--==，所以直线TA 与该抛物线相切，故④正确． 12．已知a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】D【解析】根据题意，ln 5ln 5a ==，1ln e b e e -==，ln88c =． 令ln ()x f x x =，则21ln ()xf x x -'=， 则函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，所以，max 1[()]()f x f e b e===，且(5)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线22:1C x y +=经2x xy y=⎧⎨=''⎩坐标变换后所得曲线的方程为 ． 【答案】2214y x +=【解析】由2x x y y =⎧⎨=''⎩，得2x x y y =⎧''⎪⎨=⎪⎩，代入221x y +=，得2214y x ''+=， 所以变换后所得曲线的方程为2214y x +=，故答案为2214y x +=．14．“1a =”是“直线1:10l ax y ++=，2:(2)320l a x y +--=垂直”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”之一）． 【答案】充分不必要【解析】∵直线1:10l ax y ++=和2:(2)320l a x y +--=垂直， ∴(2)30a a +-=，解得3a =-或1a =，故实数“1a =”是“直线1:10l ax y ++=，2:(2)320l a x y +--=垂直”的充分不必要条件．15．既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展．现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以AB 为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道AC （C 与A ，B 不重合），A ，B 相距400米，在紧邻休闲小道AC 的两侧及圆弧CB 上进行绿化，设BAC θ∠=，则绿化带的总长度()f θ的最大值约为 米．(参考数据：3 1.7≈，π3≈)【答案】880【解析】如图所示，设圆心为O ，连接OC ，BC ，因为点C 在半圆上，所以AC CB ⊥，所以cos 400cos AC AB θθ==， 弧CB 的长为2002400θθ⨯=，所以绿化带的总长度为()800cos 400f θθθ=+，π(0,)2θ∈，所以()800sin 400f θθ'=-+． 令0()f θ'=，得1sin 2θ=，所以π6θ=． 当π(0,)6θ∈时，0()f θ'>，()f θ单调递增；当ππ(,)62θ∈时，0()f θ'<，()f θ单调递减，所以当π6θ=时，()f θ取得极大值，也是最大值， 所以200π()800cos 4004ππ0036802008806663πf =+⨯=+≈+=， 故答案为880．16．已知1B 、2B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q 与点P 关于y 轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是 ．①直线1PB 与2PB 的斜率之积为定值22a b-；②120PB PB ⋅>；③12PB B △的外接圆半径的最大值为222a b a+；④直线1PB 与2QB 的交点M 的轨迹为双曲线． 【答案】②③【解析】①设00(,)P x y ，2200221x y a b+=，则1222002020200PB PB y b y b y b b k k x x x a+--⋅=⋅==-，因此①不正确； ②∵点P 在圆222x y b +=外，∴220200x y b +->，所以21200200002(,)(,)0PB PB x b y x b y x y b ⋅=-----=+->，②正确； ③当点P 在长轴的顶点上时，12B PB ∠最小且为锐角， 设12PB B △的外接圆半径为r ，由正弦定理可得221212222222222sin sin sin 2b b bb a b r ab B PB B AB OAB a a b +=≤===∠∠∠+． ∴222a b r a +≤，∴12PB B △的外接圆半径的最大值为222a b a+，③正确；④直线1PB 的方程为00y b y b x x ++=，直线2QB 的方程为00y by b x x --=-， 两式相乘可得20222220y b y b x x --=-，化为22221y x b a-=， 由于点P 不与1B ，2B 重合，∴M 的轨迹为双曲线的一部分，∴④不正确， 故答案为②③．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知命题p ：x ∀∈R ，2(1)40x a x +-+>，命题q ：[1,2]x ∃∈，220ax -≥． （1）若p ⌝为真，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）3a ≤-或5a ≥；（2）1(3,)[5,)2-+∞．【解析】（1）若p 为真：22(1)162150Δa a a =--=--<，解得35a -<<， ∵p ⌝为真，∴p 为假，∴3a ≤-或5a ≥． （2）由（1）得：p 真35a -<<， 若q 为真：[]1,2x ∃∈，22a x ≥，∴12a ≥，∵p q ∧为假，p q ∨为真，∴p 、q 一真一假．①p 真q 假：3512a a -<<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴132a -<<； ②p 假q 真：3512a a a ≤-≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或，∴5a ≥， 综上：a 的取值范围是1(3,)[5,)2-+∞．18．（12分）已知圆1C 过点(0,6)A ，且直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，圆1C 与圆2221010:0C x y x y +++=相切于原点． （1）求圆1C 的方程；（2）求直线l 经过的定点P 的坐标及直线l 被圆1C 所截得的弦长的最小值． 【答案】（1）22(3)(3)18x y -+-=；（2）(3,1)P，．【解析】（1）设2221():()C x a y b r -+-=，222(5)(5)50:C x y +++=，则222222()(6)33a b r a a b rb r r ⎧⎧-+-==⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪=⎩， 所以圆1C 的方程22(3)(3)18x y -+-=．（2）直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=，(27)(4)0m x y x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 过定点(3,1)P ，由（1）知1(3,3)C ，所以直线1PC 与x 轴垂直，1312PC =-=， 当1l PC ⊥时弦长最短，最短弦长=19．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为32254x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的参数方程；（2）若P ，Q 分别为曲线1C ，2C 上的动点，求PQ 的最小值，并求PQ 取得最小值时，Q 点的直角坐标．【答案】（1）12:40x y C +-=，2:sin x y C θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）；（2）(77Q ． 【解析】（1）由32254x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去t 得24x y +=，即1C 的普通方程为240x y +-=；由ρ=2222sin 3ρρθ+=，∴2233x y +=，即222:13x C y +=，∴2C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（2）设,sin )Q θθ，则PQ 的最小值即为Q 到直线240x y +-=的距离d ，d ==其中cos ϕ=，sin ϕ=，当sin()1θϕ+=时，min d ==，此时sin cos 7θϕ==，cos sin 7θϕ==∴Q，即min PQ =， 此时Q点直角坐标为． 20．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到焦点的距离为4．（1）求抛物线的方程；（2）设过点(6,0)P 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）:2120l x y ±-=． 【解析】（1）抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， ∵抛物线C 上一点A 的横坐标为3，∴根据抛物线的定义可知，342p+=，∴2p =， ∴抛物线C 的方程是24y x =．（2）由题意可知，直线l 不垂直于y 轴，可设直线:6l x my =+，则由246y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得24240y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212424y y my y +=⎧⎨=-⎩，因为以AB 为直径的圆过点F ，所以FA FB ⊥，即0FA FB ⋅=， ∴212121212(1)(1)(1)5()25x x y y m y y m y y --+=++++2224(1)20250m m =-+++=，解得12m =±， ∴直线1:62l x y =±+，即:2120l x y ±-=．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，且过点(1,2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆C 上位于第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，点(2,0)P ，若PAB ∠为锐角，求ABP △的面积的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）2(3．【解析】（1）由题意知，222211121a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2221a b ⎧=⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）当直线AB斜率不存在时，12ABP S ==△ 当直线AB 斜率存在时设为(1)y k x =-，联立2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)4220k x k x k +-+-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+， 222121212122(1)(1)(+1)21k k x x k x y x y x x k --==--=-+， 由PAB ∠为锐角可知，0AF AP ⋅>，即1111(1)(2)0x x y y --+>，222211111123330222x x x x y x -+++=-+>，解得13x <又点A在第一象限，103x <<，当0x =时，1y =，1k =-，当13x =y =(2k =所以(,1)((23))k ∈-∞-++∞，所以ABP △的面积12121122S PF y y k x x =⋅-=⋅-===因为22((21k =+>，所以2(1,)k ∈+∞， 令212t k =+，(3,)t ∈+∞，22221111122()444t t t f t t t t-+⋅-===-，()f t 在(3,)+∞单调递增，所以112(3)4369f =-=，21()(,)94ft ∈，∴2(3ABP S =△， 综上所述，ABP △的面积取值范围是2(,32． 22．（12分）已知函数()(1)ln )(f a x x ax =-∈+R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若21()1)2(g x x x a x f =---+，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，求证：12()()152ln 28g x x g -≥-． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意得，函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，1()1f x a x '=-+． 当0a ≤时，1()01f x a x '=->+，∴函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； 当0a >时，令()0f x '=，得11x a=-+．若1(1,1)x a∈--+，则()0f x '>，此时函数()f x 单调递增；若1(1,)x a∈-++∞，则()0f x '<，此时函数()f x 单调递减． 综上，当0a ≤时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增； 当0a >时，函数()f x 在1(1,1)a --+上单调递增，在1(1,)a-++∞上单调递减． （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+，0x >， ∴21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=．由()0g x '=，得2(1)10x a x -++=，23(1)402a Δa ≥⇒=+->， ∴121x x a +=+，121x x =，∴211x x =． ∵32a ≥，∴512a +≥，12x x <，∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得1102x <≤．∴222112*********111()()ln()(1)()2ln ()22x g x g x x x a x x x x x x -=+--+-=--． 设22111()2ln ()(0)22h x x x x x =--<≤，则223321(1)()0x h x x x x x-'=--=-<， ∴函数()h x 在1(0,]2上单调递减，∴当112x =时，min 115()()2ln 228h x h ==-． ∴32a ≥时，1215()()2ln 28g x g x -≥-成立。