结构力学图乘法详述演示文稿
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6.5 图形相乘法 结构力学
C A0 ql2/8 A2
B A C y0
1
B 1
M 2图
MP图
将MP图与 M 2 图相乘，则得 A0 y 0 ql 2 1 2 l qB ( l ) EI EI 3 8 2 ( ql )3 24EI
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【例6-8】试求图示悬臂梁跨中截面C的挠度DCV。已知EI=常数。
其中
M图
l
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当MP或图的竖标a、b或c、 d不在基线同侧时，如图619b所示，处理原则仍和上 面一样，可将MP分解为位 于基线两侧的两个三角形 （其中A1在上侧，A2在下 侧），按上述方法，分别图 乘，然后叠加。
1 1 A1 al, A2 bl 2 2 2 1 2 1 y01 c d , y02 d c 3 3 3 3
二梁杆 竖杆
All Rights Reserved
1 qa2 2 a 1 qa2 1 a a) ( ) 2 ( a) ( ) 0 2 ( 2 4 3 2 2 4 3 2 3qa4 () 24EI 1 EI
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如果结构上所有各杆段均可图乘，则位移计算公式可写 为
Ay0 MM P Δ ds EI EI
三、应用图乘法的注意事项
(6-17)
1）y0只能取自直线图形，而A应取自另一图形。
2）当A与y0在弯矩图的基线同侧时，其互乘值应取正号；在 异侧时，应取负号。
y03 y 04
MP图 y01
1
结构力学图乘法课件
THANKS
感谢观看
工程实践应用
探讨结构力学图乘法在工程实践中的应用，包括结构分析和设计、损伤识别与健康监测、物理实验模拟等领域，以帮 助学员了解该领域的实际应用和未来发展方向。
对个人发展的启示 总结学习结构力学图乘法的经验和方法，提出对个人发展的启示和建议，包括思维方式、分析问题和解 决问题的能力以及团队协作等方面的提升。
图乘法的扩展应用
建筑结构分析
图乘法在建筑结构分析中有着广泛的应用，可以用于分析建筑结构的强度、刚度和稳定性。 通过图乘法，工程师可以快速求解出建筑结构的响应和性能，为建筑设计和施工提供依据。
桥梁结构分析
图乘法在桥梁结构分析中也有着重要的应用，可以用于分析桥梁的承载能力和稳定性。通 过图乘法，工程师可以得出桥梁在不同载荷条件下的响应和性能，为桥梁的设计和施工提 供依据。
选择实例
选择具有代表性的扭转结构作 为分析对象。
建模分析
建立结构模型，进行静力分析 和动力学分析。
结果比较
比较不同设计方案和参数下的 结果，分析优劣。
结论总结
总结分析结果，提出优化方案 和结论。
06
图乘法的应用与扩展
图乘法在结构设计中的应用
01
简化复杂结构分析
图乘法可以用于求解复杂结构的内力和位移，通过将结构分解为简单部
教学方法评析
对采用的教学方法和策略进行反 思和评析，包括案例分析、课堂 讲解、小组讨论和习题练习等， 以帮助学员更好地掌握知识和技
能。
学员收获与感受
分享学员在学习过程中的收获和 感受，包括对基本概念的理解、 解决问题的能力和实践应用能力
的提升等方面。
展望与启示
前沿技术发展
介绍结构力学图乘法领域的前沿技术和研究动态，包括新理论、新方法和新应用等，以激发学员对该领域的兴趣和研 究热情。
同济大学结构力学第五章-3(图乘法)
FP
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
FPl/2 FPl/2 FPl/2 FP FPl/4
MP 图
EI 2EI
M 图
FPl/4
在
M
图求面积， 图取竖标， 图求面积，在 MP图取竖标，有：
ωyc
1 l FPl 1 3l FPl Ay = ∑ = × ×l × ×l × × EI EI 2 2 2EI 2 4 FPl 3 = ( ↓) 16EI
2
B
l 1 1 l 3ql 1 l ql 3 l × × + × × × × ) Cy = ( × EI 2 8 2 2 3 2 8 4 2 1 ql 4 3ql 4 5ql 4 = ( + ( ↓) )= EI 64 128 128EI ?
解法一、 解法一、
ql 2 2
A
q
ql 2 8
. 已知 EI 为常数，求刚架 、D两点 距离的改变 CD 。
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
p117
2
yc = h
1 2 ql 2 = × × ×l ×h CD = ∑ EI EI 3 8 qhl 3 = (→←) 12EI
ωyc
为常数，求刚架A点的竖向位 例 3. 已知 EI 为常数，求刚架 点的竖向位 并绘出刚架的变形曲线。 移 Ay ，并绘出刚架的变形曲线。
b c 取 负 值
(4) 阶梯形截面杆
ωj yj Mi MK ω1 y1 ω2 y2 ω3 y3 dx = + + =∑ ∫ EI E1I1 E2I2 E3I3 Ej I j
四、应用举例 为常数， 例 1. 设 EI 为常数，求 Cy 和 θB 。
l
2
l
《图乘法力学》课件
与数值法的比较
数值法通过计算机模拟得出结果，适用于复杂问题但需要专业软件；图乘法简单易行，但计算能力有限。
05
CHAPTER
图乘法的发展趋势与展望
航空航天领域
随着航空航天技术的不断发展，图乘法在分析飞行器结构、优化设计等方面将有更广泛的应用。
1
2
3
图乘法在多物理场耦合分析方面具有优势，未来研究将进一步深化其在流固耦合、热固耦合等领域的应用。
直观易懂
图乘法在处理某些复杂问题时，可以简化计算过程，提高解题效率。
计算简便
图乘法适用于多种类型的力学问题，尤其在解决平面问题和旋转问题时表现出色。
适实际实验获取数据，真实度高但受实验条件限制；图乘法不受实验条件限制，但结果依赖于绘图精度。
与解析法的比较
解析法通过数学公式解析问题，精确度高但计算复杂；图乘法在保持一定精确度的同时，简化了计算过程。
详细描述
02
CHAPTER
图乘法的基本原理
图乘法涉及到代数运算，包括线性代数和矩阵运算等。
代数基础
几何基础
微积分基础
图乘法涉及到几何图形，如平面图形和立体图形等。
图乘法涉及到微积分的知识，如微分和积分等。
03
02
01
图乘法可以用于结构分析，通过计算结构的位移和应力等参数，评估结构的性能。
结构分析
在机械结构分析中，图乘法常用于计算机械零件的应力和变形。通过将机械零件各部分离散化，并利用图乘法计算各部分产生的内力和变形，可以得出整个机械零件的受力状态和变形情况。这对于确保机械零件的安全性和稳定性至关重要。
总结词
详细描述
04
CHAPTER
图乘法的优缺点分析
图乘法通过图形直观地展示力学问题，使得学生更容易理解。
《结构力学图乘法》PPT课件
EI
E1I1 E2 I 2 E3 I3
Ei Ii
对于等直杆有
Δ
1 EI
l M ( x)M ( x)dx
M(x)
MC
EI
ω
C
即 积分可用M(x)图的面积 ω 和与M(x)
xc
x
图形心C对应的 Mc 的乘积来代替
M(x)
当M图为正弯矩时，
Δ MC
EI
ω应代以正号. 当M图为负弯矩时， ω应代以负号.
（3）图 M 图 M P中至少有一个是直线
图形。
3、图乘法公式
KP
Ap yc EI
M M P ds EI
←杆轴为直线
M M P dx EI
←杆段EI为常数
1 EI
M M Pdx
(M x tan α)
1
EI x tan α M Pdx
tan α EI
注意
有时M(x)图为连续光滑曲线，而 M(x) 为折线，则应以 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 然后求其和.
例1 求CV , EI等于常数。
解：
2kN/m
作 M 图 MP 图，如右图所示。 A 2m C 2m B
分段：M ，M P 分为AC、CB两段。16
分块： M P图的AC段分为两块。
还记得 吗？
（3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；
（4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解；
（5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。
几中常见图形的面积和形心的计算公式
a
b
C
lb
la
3
图乘法
2、求ΔCV ① MP图如图(b)所示。 ② 单位弯矩图M如图(d)所示。 ③ 计算A、yC。 2×l/2=ql3/24 A=2/3×1/8ql yC=5/8×l/4=5l/32 ④ 计算ΔCV ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
【课后作业】习题8-6（用图乘法）
【预习】：静定结构的位计算习题课
三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点 标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
四、图乘法技巧
1、图形分解图乘 当图形的面积和形心不 便确定时，可以将其分 解成几个简单的图形， 分别与另一图形相应的 纵坐标相乘。
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
（2）、梯-梯同侧组合：
剪力与轴力项能用图乘法？
3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
y [1]. c
应取自直线图中。 [2].若 A 与 yc 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M 图位于杆件同侧或异侧）。 [3]. 如图形较复杂，可分解为几个简 单图形。
二、图乘法步骤 (1) 画出结构在实际荷载作用下的弯 矩图（荷载弯矩图）MP； (2) 根据所求位移选定相应的虚拟力 状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标 单位）； (3) 分段计算一个弯矩图形的面积A 及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖 标yC； (4) 将A、yC代入图乘法公式计算所 求位移。
解：1、求φA ① 实际荷载作用 下的弯矩图MP如图(b) 所示。 ② 在A端加单位力 偶m=1，其单位弯矩图M 如图(c)所示。
③ MP图面积及其形心 对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12 yC=1/2 ④ 计算φA φA=1/EI*A*yC =1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24 EI
结构力学第三章图乘法31页PPT
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
三、图形分解
求 B
A
MP
P Pl/ 4
EI
l/2
l/2
B
1 ( 1 l 1 2 Pl
能EI用 M2 i图2 面2 积3 乘4
B
l 2
l 2
M12 PP图4l 竖12 标2l 吗12 ?13
Pl 4
)
l/4 q
q(3l/4)2 /8 3ql2 / 32
q(l /4)2 /8 3ql2 / 32
Mi
3l /16
BE 1(I3 23 4 lq(3l8 /4)21 21 3l6 1 23 4 l33 q2 2 l3 21 3l6
2l q(l/4)2 13l 1l 3q2l 23l 1q 94l
2
3 3EI
20 A
20kNm A
B 40 B 40kNm
三、图形分解
求 B
20
A
MP
EI
20kNm
40 B
B
1 EI
1 2
101(20
20 2) 500( )
10m40kNm
3 3EI
1
Mi
1/ 2 2/ 3
B
1 EI
(1 2
10 20
2 3
1020 1) 500 ( ) 2 3EI
Pl
PP
1
1
1
1
练习
求B点水平位移。
4EI
Pl
l
EI
EI
MP
P
Mi
ABlFra bibliotek解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
结构力学§5-5_图乘法
FP
l
5FPl 3 48 EI
[例3] 求A点的转角和C点的竖向位移。 （EI=1）
解：（1）求A点的转角
A
300 6 1 1 23
300
A 6m
（2）求C点的竖向位移
叠加图乘
1
CV
300 2
6
2 3
6
2
1
2 6 45 3 3
（3）组合结构
l M P M ds FNP F N L
o EI
EA
（受弯构件
（链杆）
）
（4）三铰拱 — 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形。
L M P M ds L FNP F N ds FNP F N L
o EI
o EA
EA1
（曲杆）
（曲杆）
力场（虚）
l
l
l
1 [
M d
0
F Qd
0
0 F N d ] F RkCk
(弯曲) (剪切) (轴向) (已知支座移动)
仅考虑荷载作用，Ck 0
位移场（实）
由材料力学可知 ：
d M P ds
EI 代入得 ：
d k FQP ds
GA
d FNP ds
y2=0
示例(2)： M 图 为特殊折线
L
o MP Mds A1y1 0
5. 图乘的叠加
MP图 M图
(1) 两个直线图形图乘的叠加法
L
o MP Mds A1y1 A2 y2
其中Leabharlann y12 3
结构力学-图乘法
实例分析：圆轴扭转内力计算
第一段
M1 = (T1 + T2) × L/2
第二段
M2 = (T2 + T1) × L/2
实例分析：圆轴扭转内力计算
01
4. 比较M1和M2的大小，取较大 者作为圆轴内的最大扭矩。
02
5. 根据扭矩的正负号，绘制扭矩 图。
Part
04
组合变形图乘法
组合变形基本概念及分类
者联系起来，从而求解结构位移。
图乘法适用条件及限制
适用条件Βιβλιοθήκη 01载荷作用下，结构的变形是线性的，即变 形量与载荷成正比。
03
02
结构变形符合小变形假设，即变形量与结构 尺寸相比很小。
04 限制
图乘法只适用于线性弹性问题，对于非线 性问题或塑性变形问题不适用。
05
06
在应用图乘法时，需要保证图形函数的准 确性，否则会影响计算结果的精度。
Part
02
弯曲内力图乘法
弯曲内力基本概念
01
02
03
弯曲内力
指构件在受到外力作用时， 其内部产生的抵抗弯曲变 形的力。
剪力
作用于构件横截面上的内 力，其方向与构件轴线垂 直。
弯矩
作用于构件横截面上的内 力偶矩，其大小等于该截 面左侧或右侧所有外力对 截面形心的力矩之和。
弯曲内力图乘法求解步骤
图乘法优点总结
直观性
图乘法通过图形表示结构 中的力学元素和它们之间 的关系，使得分析结果更 直观，易于理解和解释。
高效性
相较于数值分析方法，图 乘法能够更快地给出结构 分析的近似解，适用于初 步设计和快速评估。
适用性广
图乘法可应用于各种不同 类型的结构，包括静定结 构和超静定结构，具有较 广泛的适用性。
结构力学：图乘法
M
1 l 2 5Pl 5Pl 3 ( )
EI 8 6 48EI
？ 1 yc
Pl 另解1：
MP l/2
c
1 EI
yc
1 EI
Pl 2 2
l 6
Pl 3 12EI
(
)
M
错误
另解2：
Pl/2
1
Pl
2
MP
1
l/2
y1 y2
M
c
1 EI
(1 y1
2
y2
)
1 ( 1 l Pl 1 l 1 l Pl 2 l ) EI 2 2 2 3 2 2 2 3 2
习题七
《结构力学》
4-3(b), 4-6,4-7,4-8
上次课主要内容回顾
虚功：力与其它因素产生的位移所形成的功。
P
G
GS
W=G·S — 虚功
虚 — 力与位移在作功过程中互不相关。
虚功原理：
①外力虚功
Pi P2
P1
dx
力状态
位移状态
两种状态相互独立
T Pi i
②内力虚功
内力状态
M N
dx Q
Mi Mk EI
dx
1 EI
Mi
Mk dx
1 EI
( xtg
b) M k dx
b
o1
Mi yc
x xc
Mi图
1 EI
(tg
xM k dx
b
M k dx )
1 EI
(tg
xd k
b
d k
)
xdk k xc — Mk图对o1-o2的静矩
Mi Mk EI
dx
1 EI
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（3）拱
M E MP Id sN E NPAds
例4：求图示等截面梁B端转角。
P
解：1）虚拟单位荷载
A
EI
B
2）MP 须分段写
x1 x2
l/2
l/2
M(x)x (0xl) l
B
l MPM dx 0 EI
MP(x)P 2x
(0xl) 2
P (lx) M P(x) 2
(lxl) 2
m=1
l2P( xx)1d xl P (lx)(x)1dx
EI
N EPAkG Q P A
k--为截面形状系数
1.2
10
A
9
A1
(3) 荷载作用下的位移计算公式
M E M PI d s N E N Pd A s kQ G Q Pd As
二、各类结构的位移计算公式
（1）梁与刚架
MMP EI
ds
（2）桁架
N E N PA d s N E N PA d s N E N P lA
结构力学图乘法详 述演示文稿
( M N Q )ds Rkck
适用范围与特点：
1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
a h
b ＝a
+
b h
c l
d
S
l
6 (2ac 2bd
ad
bc )
2hl 3
cd 2
例： 预应力钢筋混凝土墙板单 点起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土
q=625 N/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
2.2m
0.8m
容重为25000N/m3，求C点的挠度。
§6-3 荷载作用下的位移计算
研究对象：静定结构、线性弹性材料。
( M N Q )ds
重点在于解决荷载作用下应变 、、 的表达式。
一、计算步骤
（1）在荷载作用下建立 MP.NP.QP的方程，可经由荷载内力应力应变
过程推导应变表达式。
（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知
M P
例：求图示梁C点的挠度。
？ D = 1 Pl 2 l = Pl 3 C EI 2 6 12 EI
C
wy0
EI
1l l
××
222
×5 Pl 6
5 Pl 3 48 EI
P
P
MP
Pa
Pa
a
a
a
P=1
a/2
a/2 M 3a/4
P
l/2
Pl
5Pl/6
C
l/2
MP
P=1
l/2
C l/6
M
⑦非标准图形乘直线形
n次抛物线ω=hl/(n+1)
例：求梁B点转角位移。
P
A
EI
B
l/2
Pl/4 l/2 MP
例：求梁B点竖向线位移。
ql2/2
MP
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
l
B
P=1 m=1 l 3l/4
1/2 M
BE1I12P4ll•121P6E2l I
M
11q2l 3 q4l
BEI3
2
l• l 4 8EI
x0
1 EI
wy0
y
dω
Mk
ω
x
dx
x0
MM EI
P
dx
w y0
EI
α
Mi y0
Mi=xtgα
y0=x0tgα
x
注： ①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标y0取在直线图形中，对应另一（取面积）图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。
6
4
+6 ×3+4×2） =111
2
3
9
S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=15
（2）
2
（3）
3
4
4
6
6
3 2
9
9
S = 9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）= 33
（4）
2
6
3 S = 9/6×（－2×6×2+2×0×3 +6×3－0×2） = －9
9
b)非标准抛物线乘直线形
02
l EI
l 2
2
l EI
Pl 2
积分常可用图形相乘来代替
16 EI
§6-5 图乘法 位移计算举例
MiMk
直杆
ds
MiMk
EI C
dx
1
EI
EI
EI
M iM k dx
Mi是直线
1
EI
B
M
A
k
xtgadx
1 EI
tga
B
A xM k dx
tga EI
B A
xdw
1 EI
tga ×w
三、位移计算的一般步骤:
K
t1 t2
c2
K
c1
1
R1
M .N .Q .Rk R2
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M.N.Q.Rk表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
解：q=25000×1×0.025＝625 N/ m E=3.3 ×1010 N/ m2 I=1/12 ×100×2.53cm4=1.3 ×10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 ×1.30×10-6×3.3×1010 = 3.6465 ×104 N m2
折减抗弯刚度
q=625N/m
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移；
b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
例：求图示梁中点的挠度。
？ 1 13a3aPa EI2 4
1 EI
Paa 2
2 3
a 2
2
a
2
3a 2
4
a 2
2Pa
23Pa3 24EI
0.85EI=3.6465 ×104Nm2
1
w1
2002.2220 2
y1
2 3
0.8
0.533
w2
23782.2555 3
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
2.2m
0.8m
200
378y2
10.80.4 2
w3
⑤几种常见图形的面积和形心的位置：
a
b
(a+l)/3 (b+l)/3
l
ω=hl/2
h
h l/2 顶点 l/2
二次抛物线ω=2hl/3 顶点
h
顶点
3l/4
l/4
二次抛物线ω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=2hl/3
h
h
h
顶点
4l/5
l/5
三次抛物线ω=hl/4
顶点
(n+1)l/(n+2) l/(n+2)
a）直线形乘直线形
MiMkdxw1y1w2 y2
a
ω1
Mi
ω2
b
l/3
l/3
l/3
al 2c d bl c 2d
2 3 3 23 3
c
y1
Mk
y2
d
l (2ac2bd ad bc)
6
各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，
否则取负。
（1）
S = 9/6×（2×6×2 +2 ×4×3