实验一——插值方法
实验学时：4
实验类型：设计 实验要求：必修
一 实验目的
通过本次上机实习，能够进一步加深对各种插值算法的理解；学会使用用三种类型的插值函数的数学模型、基本算法，结合相应软件（如VC/VB/Delphi/Matlab/JAVA/Turbo C ）编程实现数值方法的求解。并用该软件的绘图功能来显示插值函数，使其计算结果更加直观和形象化。
二 实验内容
通过程序求出插值函数的表达式是比较麻烦的，常用的方法是描出插值曲线上尽量密集的有限个采样点，并用这有限个采样点的连线，即折线，近似插值曲线。取点越密集，所得折线就越逼近理论上的插值曲线。本实验中将所取的点的横坐标存放于动态数组[]X n 中，通过插值方法计算得到的对应纵坐标存放
于动态数组[]Y n 中。
以Visual C++.Net 2005为例。 本实验将Lagrange 插值、Newton 插值和三次样条插值实现为一个C++类CInterpolation ，并在Button 单击事件中调用该类相应函数，得出插值结果并画出图像。CInterpolation 类为 class CInterpolation {
public :
CInterpolation();//构造函数
CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1);//结点横坐标、纵坐标、下标上限 ~ CInterpolation();//析构函数 ………… …………
int n, N;//结点下标上限，采样点下标上限
float *x, *y, *X;//分别存放结点横坐标、结点纵坐标、采样点横坐标
float *p_H,*p_Alpha,*p_Beta,*p_a,*p_b,*p_c,*p_d,*p_m;//样条插值用到的公有指针，分别存放
i h ，i α，i β，i a ，i b ，i c ，i d 和i m
};
其中，有参数的构造函数为
CInterpolation(float *x1, float *y1, int n1) {
//动态数组x1，y1中存放结点的横、纵坐标，n1是结点下标上限（即n1+1个结点） n=n1;
N=x1[n]-x1[0]; X=new float [N+1]; x=new float [n+1]; y=new float [n+1];
for (int i=0;i<=n;i++) {
x[i]=x1[i]; y[i]=y1[i]; }
for (int i=0;i<=N;i++) X[i]=x[0]+i; }
2.1 Lagrange 插值
()()n
n i i i P x y l x ==∑，其中0,()n
j i j j n
i j
x x l x x x =≠-=
-∏
对于一个自变量x ，要求插值函数值()n P x ，首先需要计算对应的Lagrange 插值基函数值()i l x
float l(float xv,int i) //求插值基函数()i l x 的值 {
float t=1;
for (int j=0;j<=n;j++) if (j!=i)
t=t*(xv-x[j])/(x[i]-x[j]); return t; }
调用函数l(float x,int i)，可求出()n P x
float p_l(float x) //求()n P x 在一个点的插值结果
{
float t=0;
for (int i=0;i<=n;i++) t+=y[i]*l(x,i); return t; }
调用p_l(float x)可实现整个区间的插值
float *Lagrange() //求整个插值区间上所有采样点的插值结果 {
float *Y=new float [N+1]; for (int k=0;k<=N;k++) Y[k]=p_l(x[0]+k*h); return Y; } 2.2 Newton 插值
010
()(,,
)()n
n i i i P x f x x x x ω==∑，
其中101,0
()(),0i i j j i x x x i ω-==⎧⎪
=⎨-≠⎪⎩
∏，010
0,()
(,,
)()
i
k i n
k k j j j k
f x f x x x x x ==≠=-∑
∏
对于一个自变量x ，要求插值函数值()n P x ，首先需要计算出01(,,
)i f x x x 和()i x ω
float *f()
{
//该函数的返回值是一个长度为n ＋1的动态数组，存放各阶差商 }
float w(float x, int i) {
//该函数计算()i x ω }
在求()n P x 的函数中调用*f()得到各阶差商，然后在循环中调用w(float x)可得出插值结果 float p_n(float x) {
//该函数计算()n P x 在一点的值
}
调用p_n(float x)可实现整个区间的插值 float *Newton() {
//该函数计算出插值区间内所有点的值 }
2.3 三次样条插值
三次样条插值程序可分为以下四步编写：
（1） 计算结点间的步长i hi 、i α、i β；
（2） 利用i hi 、i α、i β产生三对角方程组的系数矩阵和常数向量； （3） 通过求解三对角方程组，得出中间结点的导数i m ； （4）
对自变量x ，在对应区间1[,]i i x x +上，使用Hermite 插值；
（5） 调用上述函数，实现样条插值。 将每步写成函数： (1)
void GetH(void ) {
//该函数计算数组i hi }
void GetAlpha(void ) {
//该函数计算数组i α }
void GetBeta(void ) {
//该函数计算数组i β }
(2)
void Geta(void ) {
//该函数计算数组下对角线i a }
void Getb(void ) {
//该函数计算数组主对角线i b }
void Getc(void ) {
//该函数计算数组上对角线i c }
void Getd(void ) {
//该函数计算方程组右端常数项i d }
(3)
float *Chasing(float *pa,float *pb,float *pc,float *pd,int n) {
//追赶过程，计算各点斜率i m }
(4)
float F0(float x) {
//该函数计算函数0()x ϕ的值 }
