相似1

第二十七章相似27.1图形的相似第1课时相似图形例1下列各图中哪组图形是相似图形(C)A B C D【跟踪训练1】下列图形中，不是相似图形的是( )A BC D【跟踪训练2】如图，图形(a)～(f)中，哪些与图形(1)或(2)相似？04巩固训练1.如图所示各组图形中，两个图形形状不相同的是( )A BC D2.下列图形中：①放大镜下的图片与原来的图片；②幻灯片的底片与投影在屏幕上的图象；③天空中两朵白云的照片；④卫星上拍摄的长城照片与相机拍摄的长城照片.其中相似的组数有( )知识点二 相似多边形与比例线段预习:①对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如a b ＝cd (即ad ＝bc)，那么我们就说这四条线段是成比例.②相似多边形的对应角相等，对应边成比例.③相似多边形对应边的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形全等.④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是( ) A.角A 是原来的5倍 B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对例1 下列图形中，不一定相似的是( ) A.任意两个等腰直角三角形 B.任意两个等边三角形 C.任意两个正方形 D.任意两个菱形【跟踪训练1】 下列四组图形中，一定相似的是( ) A.正方形与矩形 B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形例2 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β的大小和EH 的长度x.【跟踪训练2】 如图，DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，AD ＝1.5，AB ＝4.5，AE ＝1.4，AC ＝4.2. (1)求AD AB ，AE AC ，DEBC 的值；(2)求证：△ADE 与△ABC 相似.例3 已知A ，B 两地的实际距离AB ＝5 km ，画在地图上的距离CD ＝2 cm ，则这张地图的比例尺是多少？【跟踪训练3】在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地的实际距离.巩固训练1.下列各组线段中，成比例线段的是( )A.1，2，3，4B.1，2，2，4C.3，5，9，13D.1，2，2，3 2.下列各组图形中，必定相似的是( ) A.两个等腰三角形 B.各有一个角是40°的两个等腰三角形 C.两条边之比都是2∶3的两个直角三角形 D.有一个角是100°的两个等腰三角形 3.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm 变成了4 cm ，那么这次复印的放缩比例为 . 4.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为5.已知三个数，1，2，3，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是 .6.在两个相似的五边形中，一个边长分别为1，2，3，4，5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？知识点三：相似三角形的判定 1平行线分线段成比例①如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为k ，那么△A 1B 1C 1∽△ABC 的相似比为1k.②如图，l 1，l 2分别被l 3，l 4，l 5所截，且l 3∥l 4∥l 5，则AB 与 对应，BC 与 对应，DF 与 对应； AB BC ＝（DE ）（EF ），AB（AC ）＝（DE ）DF ，AB DE ＝（BC ）（EF ）＝（AC ）（DF ）.③平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交所构成的三角形与原三角形 .例1 如图，DE ∥BC ，则下面比例式不成立的是( )A.AD AB ＝AE ACB.DE BC ＝EC ACC.AD DB ＝AE ECD.BC DE ＝AC AE 【跟踪训练1】 如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )AD BC BC DF CD BC CD AD例2 如图，ED ∥BC ，EC ，BD 相交于点A ，过A 的直线交ED ，BC 分别于点M ，N ，则图中有相似三角形( )A.1对B.2对C.3对D.4对【跟踪训练2】 如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB ，AC ，AD 于点E ，F ，G ，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？04 巩固训练1.如图所示，若△ABC ∽△DEF ，则∠E 的度数为( )A.28°B.32°C.42°D.52°2.如图，在▱ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE ，BA 交于点F ，下列等式成立的是( )A.AE ED ＝CE EFB.AE ED ＝CD AFC.AE ED ＝FA ABD.AE ED ＝FE FC 3.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE ＝2，BC ＝6，AD ＝3，求BD 的长.2相似三角形的判定定理1，2预习①如果两个三角形的三组边对应成比例，那么这两个三角形相似.②如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.③下列是两位同学运用相似三角形的定义判定两个三角形是否相似，你认为他们的说法是否正确？为什么？并写出你的解答.判断如图所示的两个三角形是否相似，简单说明理由.甲同学：这两个三角形的三个内角虽然分别相等，但是它们的边的比不相等，ACIJ≠ABHJ≠BCHI，所以他们不相似.乙同学：这两个三角形的三个内角分别相等，对应边之比也相等，所以它们相似.解：甲同学的说法不正确，甲同学所分析的边的比不是对应边的比，根据相似三角形的概念，甲同学的说法不正确；根据相似三角形的概念，乙同学的说法正确.例1(教材P33例1(1))根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，A′B′＝12 cm，B′C′＝18 cm，A′C′＝24 cm.【跟踪训练1】如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20，在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.例2根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A＝120°，AB＝7 cm，AC＝14 cm，∠A′＝120°，A′B′＝3 cm，A′C′＝6 cm.【跟踪训练2】如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形.(1)△ACF与△ACG相似吗？说说你的理由；(2)求∠1＋∠2的度数.巩固训练1.在△ABC和△A′B′C′中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，CA＝5 cm，A′B′＝4.5 cm，B′C′＝2.5 cm，C′A′＝4 cm，则下列说法错误的是( )A.△ABC与△A′B′C′相似B.AB与B′A′是对应边C.两个三角形的相似比是2∶1D.BC与B′C′是对应边2.在△ABC与△A′B′C′中，已知AB·B′C′＝BC·A′B′，若使△ABC∽△A′B′C′，还应增加的条件是( )A.AC＝A′C′B.∠A＝∠A′C.∠B＝∠B′D.∠C＝∠C′3.如图，两个三角形的关系是相似(填“相似”或“不相似”)，理由是这两个三角形的三边对应成比例.4.右图中的两个三角形是否相似：不相似，说明理由：对应边不成比例.5.如图，DE 与△ABC 的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，若AE ＝2 cm ，AC ＝3 cm ，AD ＝2.4 cm ，AB ＝3.6 cm ，DE ＝43cm ，则BC 的长为多少？3相似三角形的判定定理3预习①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. ②如果两个直角三角形中，有一条直角边和斜边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.③要判定两个直角三角形相似，最简单的方法就是再找除直角外的一组内角对应相等，就可以根据相似三角形的判定3，判定这两个直角三角形相似.④如图所示，已知∠ADE ＝∠B ，则△AED ∽△ACB.理由是两角分别相等的两个三角形相似. ⑤顶角对应相等的两个等腰三角形相似吗？为什么？例1 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8.E 是AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为D.求AD 的长.【跟踪训练1】如图，∠1＝∠3，∠B＝∠D，AB＝DE＝5，BC＝4.(1)△ABC∽△ADE吗？说明理由；(2)求AD的长.例2(教材补充例题) 已知：如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b，当BD与a，b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【跟踪训练2】在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( )A.∠B＝∠B1B.ABA1B1＝ACA1C1 C.ABA1B1＝BCB1C1 D.ABB1C1＝ACA1C1巩固训练1.下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是( )A.都含有一个40°的内角B.都含有一个50°的内角C.都含有一个60°的内角D.都含有一个70°的内角2.在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：(1)ABA′B′＝BCB′C′；(2)BCB′C′＝ACA′C′；(3)∠A＝∠A′；(4)∠C＝∠C′，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( )A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是BC上一点，ED⊥AB，垂足为D.求证：△ABC∽△EBD.4.如图，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线.求证：△ABC∽△BCD.4相似三角形的性质预习(1)相似三角形对应中线的比、对应高的比、对应角平分线的比都等于相似比. (2)如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ⊥BC 于点D ，A′D′⊥B′C′于点D′.①你能发现图中还有其他的相似三角形吗？ ②△ABC 与△A′B′C′中，C △ABC C △A′B′C′＝k ，S △ABCS △A′B′C′＝k 2.03例 (教材P38例3)如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D.若△ABC 的边BC 上的高为6，面积为125，求△DEF 的边EF 上的高和面积.【跟踪训练】 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE.若△DEF 的面积为10，则▱ABCD 的面积为多少？04 巩固训练1.若两个相似三角形的相似比为1∶2，则它们面积的比为( )A.2∶1B.1∶ 2C.1∶4D.1∶52.如图，在▱ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ∶EC ＝3∶1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为( )A.3∶4B.9∶16C.9∶1D.3∶13.如果△ABC ∽△DEF ，A ，B 分别对应D ，E ，且AB ∶DE ＝1∶2，那么下列等式一定成立的是( ) A.BC ∶DE ＝1∶2B.△ABC 的面积∶△DEF 的面积＝1∶2C.∠A 的度数∶∠D 的度数＝1∶2D.△ABC 的周长∶△DEF 的周长＝1∶24.如果两个相似三角形的面积的比是4∶9，那么它们对应的角平分线的比是 .5.已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，△ABC 的周长与△A 1B 1C 1的周长的比值是32，BE ，B 1E 1分别是它们对应边上的中线，且BE ＝6，则B 1E 1＝ .6.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是斜边AB ，DF 上的中线，已知AC ＝9 cm ，CB ＝12 cm ，DE ＝3 cm.(1)求CM 和EN 的长；(2)你发现CMNE的值与相似比有什么关系？得到什么结论？5相似三角形应用举例例1 (教材P40例5)如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R.已测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ，请根据这些数据，计算河宽PQ.【跟踪训练1】如图，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1千米，AN ＝1.8千米，AB ＝54米，BC ＝45米，AC ＝30米，求M ，N 两点之间的直线距离.例2小刚用下面的方法来测量学校大楼AB的高度.如图，在水平地面上的一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA ＝21 m，当他与镜子的距离CE＝2.5 m时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC＝1.6 m，请你帮助小刚计算出教学大楼的高度AB是多少m？(注意：根据光的反射定律，反射角等于入射角)【跟踪训练2】如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.已知DE＝0.5米，EF＝0.25米，目测点D到地面的距离DG＝1.5米，到旗杆的水平距离DC＝20米，求旗杆的高度.04巩固训练1.如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m，要使球恰好能打过网，而且落在离网4 m的位置，则球拍击球时的高度h为m.2.如图，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求河宽.3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？6位似预习(1)两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.(2)下列说法正确的是(D)A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似(3)用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在( )A.原图形的外部B.原图形的内部C.原图形的边上D.任意位置例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.【跟踪训练1】如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.例2请画出如图所示两个图形的位似中心.图1图2【跟踪训练2】找出下列图形的位似中心.巩固训练1.在下列图形中，不是位似图形的是( )A BC D2.如图，以点O为位似中心，将△ABC放大后得到△DEF，已知△ABC与△DEF的面积比为1∶9，则AB∶DE的值为( )A.1∶3B.1∶2C.1∶ 3D.1∶93.如图，以O为位似中心将四边形ABCD放大后得到四边形A′B′C′D′，若OA＝4，OA′＝8，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的周长的比为4.如图，△DEF是△ABC经过位似变换得到的，位似中心是点O，请确定点O的位置，如果OC＝3.6 cm，OF＝2.4 cm，求它们的相似比.5.如图，图中的小方格都是边长为1的小正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.(1)找出位似中心点O；(2)△ABC与△A′B′C′的位似比为2∶1；(3)按(2)中的位似比，以点O为位似中心画出△ABC的另一个位似图形△A″B″C″.7平面直角坐标系中的位似预习(1)如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段AB 缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？(2)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点坐标的比为 (3)△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点位似且点A(－3，4)，它的对应点A 1(6，－8)，则△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比是 (4)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(1，0)，C(3，3)，以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABC 放大得到其位似图形△A 1B 1C 1，则△A 1B 1C 1各顶点的坐标分别为A 1 ，B 1 ，C 1 .03例)如图，△ABO 三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0).以原点O 为位似中心，画出一个三角形，使它与△ABO 的相似比为32.【跟踪训练】 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(2，－4)，B(3，－2)，C(6，－3). (1)画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)以点M 为位似中心，在网格中画出△A 1B 1C 1的位似图形△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△A 1B 1C 1的相似比为2∶1.04 巩固训练1.某个图形上各点的横、纵坐标都变成原来的12，连接各点所得图形与原图形相比( )A.完全没有变化B.扩大成原来的2倍C.面积缩小为原来的14D.关于纵轴成轴对称2.如图所示的△ABC ，以A 点为位似中心，放大为原来的2倍，画出一个相应的图形，并写出相应的点的坐标.。

知识点1 图形相似的定义定义：我们把形状相同的图形叫做相似图形. （1）两个图形相似，其中一个图形可以看做是由 另一个图形放大或缩小得到的. （2）全等图形可以看成是一种特殊的相似图形， 即不仅形状相同，大小也相同. （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是相同，与图形的大小、位置无关，这也 是相似图形的本质.【例1】下列图形不是相似图形的是( )A.同一张底片冲洗出来的两张不同尺寸的照片B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原 有图案C.某人的侧身照片和正面照片D.大小不同的两张同版本中国地图 解析：依据图形相似的定义，某人的侧身照片和正 面照片是两个不同角度的照片，它们的形状不同，因此不是相似图形. 答案：C知识点2 线段成比例注意：在a cb d ，b=c 时，我们把b 叫做a,d 的比例中 项，此时b 2=ad. 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC )，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且ACAB＝BC AC ＝5－12≈0.618，则C 点叫做线段AB 的黄金分割点．【例2】已知线段a 、b 、c 、d 成比例线段，其中 a=2 m ，b=4 m ，c=5 m ，则d=（）A.1 mB.10 mC. mD. m解析：根据比例线段的定义得到a∶b=c∶d,然后把a=2 m，b=4 m，c=5 m代入进行计算即可∵线段a、b、c、d是成比例线段∴a∶b=c∶d而a=2 m，b=4 m，c=5 m∴d= bca452⨯= =10 m答案：B知识点3 相似多边形及其性质定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.注意：（1）仅有角相等，或仅有对应边成比例的两个多边形不一定相似.（2）相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.【例3】如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH 的长度解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-(83°+78°+118°)=81°，EH：AD=HG：DC∴EH24 2118=∴EH=28(cm)．答：∠=83°，∠=81°，EH=28cm．ABC 相似，且 △DEF 的最大边长为20，则△DEF 的周长为 解：∵△DEF ∽△ABC ，△ABC 的三边之比为2：3：4 ∴△DEF 的三边之比为2：3：4 又∵△DEF 的最大边长为20∴△DEF 的另外两边分别为10、15 ∴△DEF 的周长为10+15+20=45 答案：45知识点1 相似三角形的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 因为DE ∥BC ，所以图中△ABC ∽△ADE.【例1】如图所示，已知在ABCD中，E 为AB 延长线 上的一点，AB =3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//CD,AD//BC∴△BEF∽△CDF,△BEF∽△AED∴△BEF∽△CDF∽△AED∴当△BEF∽△CDF时，相似比k1=BE/CD=1/3 ；当△BEF∽△AED时，相似比K2=BE/AE=1/4；当△CDF∽△AED时，相似比K3=CD/AE=3/4 .知识点2 相似三角形的判定定理2三边成比例的两个三角形相似．这种判定方法是常用的判定方法，也就是说两个三角形只要三条对应边的比相等，就可判定这两个三角形相似.C知识点1 相似三角形的判定定理3两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．如图所示，在△ABC与△DEF中，∠B=∠E，23AB BCDE EF==，可判定△ABC∽△DEF.注意在利用该方法时，相等的角必须是已知两对应边的夹角，才能使这两个三角形相似，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似.注意：在两个直角三角形中，若两组直角边的比相等，则这两个直角三角形相似．【例1】如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？知识点2 相似三角形的判定定理4两角分别相等的两个三角形相似如图所示，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，那么△ABC∽△A1B1C1.注意：在两个直角三角形中，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似．知识点3 相似三角形的判定定理的综合运用判定三角形相似的几种基本思路：（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形基本定理；（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹边成比例；（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；（5）条件中若有等腰关系，可找顶角相等或一对底角相等，也可找底和腰对应成比例.知识点1 性质一：相似三角形对应线段的比等于似比相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.已知一个三角形三边长为8，6，12，另一个三角形有一条边为4，要使这两个三角形相似，则另外两边长分别为．知识点2 性质二：相似三角形周长的比等于相似比两个相似三角形对应中线的比为1：4，它们的周长之差为27cm，则较大的三角形的周长为cm．解：令较大的三角形的周长为x cm 小三角形的周长为(x-27)cm由两个相似三角形对应中线的比为1：4得1：4=(x-27)：x，解得x=36 cm答案：36知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方两个相似三角形的周长是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是.解：∵两个相似三角形的周长是2：3∴它们的相似比为2：3，面积的比为4：9设两个三角形的面积分别为4k，9k由题意得，9k-4k=60，解得k=12∴两个三角形的面积分别为48cm2，108cm2∴它们的面积之和是48+108=156cm2答案：156cm2。

学大教育学科教师辅导教案组长审核：学员编号辅导科目数学课时数2课时学员姓名杨乐先年级九年级学科老师彭万霞授课主题相似（1）1.掌握相似的四种判定教学目的2.掌握四边形与相似的结合教学重点四边形与相似的结合授课日期及时段2016年 4 月 14 日 14：00——16:00（第24次课）教学内容在初二上册我们学习了三角形的全等，主要掌握全等三角形的性质及5个判定；接下来我们学习的相似三角形可以结合全等三角形的知识来学习：相似三角形主要掌握两个大部分：（1）三角形相似的四个判定；（2）相似三角形的性质，注意周长、面积与相似比的关系在中考中，相似的考查力度及难度不是很大，一般情况下相似的知识不单独考查，通常与四边形、圆、锐角三角函数结合；考查的形式也比较多：选择、填空及简答题都有可能出现；一般与三角函数结合出现小题；与四边形、圆结合以简答题形式考查。

知识点一：相似三角形的判定判定方法1：两角分别相等的两个三角形相似。

即：已知△ABC 和'''C B A △，若∠A=∠A ’，∠B=∠B ’，则△ABC ∽'''C B A △。

注意：★★相似三角形常见构图方式：（1）平行线型：若DE ∥BC ， 则ABC ADE ∽△△（2）相交线型：若∠AED=∠B ，则ABC AED ∽△△（3）“子母”型：若∠ACD=∠B ，则ABC ACD ∽△△判定2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

即：已知△ABC 和'''C B A △，若''''C A ACB A AB,∠A=∠A ’，则△ABC ∽'''C B A △。

注意：判定3：三边成比例的两个三角形相似。

即：已知△ABC 和'''C B A △，若''''''C A ACC B BC B A AB ==，则△ABC ∽'''C B A △。

三角形相似的判定定理1
三角形相似的定理1是一种衡量三角形相似程度的方法，它可以用来测量两个三角形之间的相似程度，从而推断出相应的几何关系。

三角形相似的定理1指出：在空间平面上，如果两个三角形的内角之比相等，那么两个三角形相似。

该定理的另一个表述为：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形相似。

换言之，如果两个三角形的内角相等，那么这两个三角形相似，即使他们的边长不相等也具有相同的几何形状。

例子：
考虑三角形ABC和三角形XYZ，我们可以推断他们之间的定理：如果∠A =∠X，∠B= ∠Y，以及∠C = ∠Z，那么三角形ABC和三角形XYZ相似，即使它们的边长不相等也能够被认定为相似。

再考虑三角形ABC和DE的的情况。

现在，如果∠A = ∠X，∠B = ∠Y，∠C = ∠Z，并且AB/AX = BC/BY = CA/CZ，则这两个三角形也是相似的。

综上，我们可以得出结论：如果两个三角形完全相同（角相等）或者两个三角形的三个内角相等并且边长之比相等，则两个三角形相似。

这就是著名的三角形相似的定理1。

初中数学备课组 教师 班级 学生 金芝延 龙浩 日期 7-3 上课时间 13：00-15：00 教学内容：相似三角形判定（复习） 知识点1相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与 原三角形相似。

相似三角形的判定方法1：两角对应相等的两个三角形相似。

在两个三角形中，只需找到有两组对应角相等，就可以判定两个三角形相似，这种方法说明不用边我们可以判定两个三角形相似，这是判定两个三角形相似的很重要的一种方法。

推理格式 ：∵∠A=∠D ，∠C ＝∠F （找出两组角对应相等即可） ∴ΔABC ∽ΔDEF例1：在ΔABC 和ΔDEF 中，∠A ＝∠D=80°, ∠B ＝70°,∠F ＝30°,这两个三角形相似吗？说明理由。

例2：如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长．反馈练习1、如图Rt△ACB ，∠ACD=90°,CD ⊥AB 于D,求证：ΔABC ∽ΔACD ∽ΔCBD（以后可当结论使用)2、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． （1）求证：ΔAEF ∽ΔBDFA B C DE FA B CD E FCBAD（2）求证：FD EFBF AF =．3.已知：∠A=1A ∠，∠B=∠1B ， (1)求证： ABC ∆∽111C B A ∆ (2)求证：1111C B AB BC B A ⋅=⋅4. 如图；已知梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BAD=90°，对角线BD ⊥DC 。

求证：（1）△ABD ∽△DCB （2）BD ²=AD·BC5.如图，已知DE//BC,DF//AC,AD=4，BD=8，DE=5，求线段BF 的长.知识点2 相似三角形的判定方法2如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

向量的相似度计算常用方法9个在向量相似度计算中，有许多常用的方法可以用于比较向量之间的相似程度。

下面将列举九种常用的向量相似度计算方法，并对每种方法进行详细介绍。

1. 余弦相似度（Cosine Similarity）：余弦相似度是一种常用的向量相似度计算方法，用于比较两个向量之间的方向是否相似。

它通过计算两个向量之间的夹角余弦值来度量它们之间的相似度，取值范围为[-1,1]，值越接近1表示向量越相似。

2. 欧氏距离（Euclidean Distance）：欧氏距离是一种常用的向量相似度计算方法，用于度量两个向量之间的距离。

它通过计算两个向量之间的直线距离来度量它们之间的相似度，取值范围为[0,+∞)，值越接近0表示向量越相似。

3. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）：曼哈顿距离是一种常用的向量相似度计算方法，用于度量两个向量之间的距离。

它通过计算两个向量之间在每个维度上的差值的绝对值之和来度量它们之间的相似度，取值范围为[0,+∞)，值越接近0表示向量越相似。

4. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）：闵可夫斯基距离是一种常用的向量相似度计算方法，它是欧氏距离和曼哈顿距离的一种推广。

它通过计算两个向量各个维度上差值的p次方之和的p次方根来度量它们之间的相似度，取值范围为[0,+∞)，值越接近0表示向量越相似。

5. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）：切比雪夫距离是一种常用的向量相似度计算方法，用于度量两个向量之间的距离。

它通过计算两个向量各个维度上差值的绝对值的最大值来度量它们之间的相似度，取值范围为[0,+∞)，值越接近0表示向量越相似。

6. 杰卡德相似系数（Jaccard Similarity Coefficient）：杰卡德相似系数是一种常用的用于度量两个集合相似程度的向量相似度计算方法。

它通过计算两个集合的交集元素个数与并集元素个数的比值来度量它们之间的相似度，取值范围为[0,1]，值越接近1表示集合越相似。