2017年高考数学大二轮复习第二编专题整合突破专题七概率与统计第一讲概率适考素能特训文

一、选择题1．[2016·广东测试]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项等于( )A ．－54 B.54 C ．－1516 D.1516答案 D解析 本题考查二项式定理，二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式的通项公式为C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12r C r 6x12－3r，令12－3r ＝0得r ＝4，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 6的展开式中的常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫－124C 46＝1516，故选D. 2．[2016·福建质检]四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是( )A ．72B ．96C ．144D ．240答案 C解析 本题考查排列组合．先在4位男生中选出2位，易知他们是可以交换位置的，则共有A 24种取法，然后再将2位女生全排列，共有A 22种排法，最后将3组男生插空全排列，共有A 33种排法，综上所述，共有A 24A 22A 33＝144种不同的排法，故选C.3．[2016·武汉调研](x 2－x ＋1)5的展开式中，x 3的系数为( ) A ．－30 B ．－24 C ．－20 D ．20答案 A解析 本题考查二项式定理．[1＋(x 2－x )]5展开式的第r ＋1项T r ＋1＝C r 5(x 2－x )r ，r ＝0,1,2,3,4,5，T r ＋1展开式的第k ＋1项为C r 5C k r ·(x 2)r －k(－x )k ＝C r 5C k r(－1)k ·x 2r －k ，r ＝0,1,2,3,4,5，k ＝0,1，…，r ，当2r －k＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝2，k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝3时是含x 3的项，所以含x 3项的系数为C 25C 12(－1)＋C 35C 33(－1)3＝－20－10＝－30，故选A.4．[2016·云南统考]⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x 10的展开式中x 2的系数等于( ) A ．45 B ．20 C ．－30 D ．－90答案 A解析 ∵T r ＋1＝(－1)r C r 10x 12r x －10＋r＝(－1)r C r10x －10＋32r r ，令－10＋32r ＝2，得r ＝8， ∴展开式中x 2的系数为(－1)8C 810＝45.5．[2016·北京一模]设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n ，则a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )A.3n ＋12B.3n －12 C ．3n －2 D ．3n 答案 B解析 (赋值法)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝3n .① 再令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1.② 令x ＝0得a 0＝1.由①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 2n )＝3n ＋1， ∴a 0＋a 2＋…＋a 2n ＝3n ＋12，∴a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝3n ＋12－a 0＝3n ＋12－1＝3n －12.6．[2015·山东枣庄四校联考]某班要从A 、B 、C 、D 、E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务，则上届任职的A、B、C三人都不连任原职务的分配方法种数为()A．30 B．32C．36 D．48答案B解析由题意可得分三种情况．①A、B、C三人都入选，则只有2种分配方法；②若A、B、C三人中只有两人入选，则一共有C23×C12×3＝18种分配方法；③若A、B、C三人中只有一人入选，则一共有C13×C22×C12×A22＝12种分配方法．所以一共有2＋18＋12＝32种分配方法，故选B.7．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车．每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有()A．24种B．18种C．48种D．36种答案A解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有C23C12C12＝12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有C13C12 C12＝12种，所以共有24种乘坐方式，选A.二、填空题8．[2016·唐山统考](x＋3y)3(2x－y)5的展开式中所有项的系数和是________．(用数字作答)答案64解析令x＝y＝1，得所有项的系数和为43＝64.9．[2015·浙江杭州质检二]用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________．(注：用数字作答)答案 48解析 根据题意，可以分为两步：第一步将1,3,5分为两组且同一组的两个数排序，共有6种分法；第二步，将第一步的两组看成两个元素，与2,4排列，其中2不在两边且第一步两组(记为a ，b )之间必有元素，即4，a ,2，b ；a ,2,4，b ；a ,4,2，b ；a ,2，b ,4，其中a ，b 可以互换位置，所以共有8种，根据分步乘法计数原理知，满足题意的五位数共有6×8＝48个．10．[2016·广东四校联考]设a ＝⎠⎛0πsinxdx ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含有x 2的项是________．答案 －192x 2解析 本题考查定积分以及二项式定理的应用．因为a ＝(－cosx )⎪⎪⎪π0＝－cosπ＋cos 0＝2，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝C r 6·26－r (－1)r x 3－r，当r ＝1时，为含有x 2的项，该项为C 16·25(－1)x 2＝－192x 2.二项式展开式的特定项一般利用通项公式求解．11．[2016·贵阳监测]若直线x ＋a y －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为________．答案 80解析 由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5，其通项T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80.12．[2016·陕西质检]若⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________．答案 21解析 本题考查二项式定理．因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3×1－1312n ＝2n＝128，解得n ＝7，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 27的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13x 2r ＝(－1)r 37－r ·C r7x 21－5r3 ，令21－5r 3＝－3得r ＝6，所以1x 3的系数为(－1)6×3×C 67＝21.。

一、选择题1．[2016·兰州双基测试]某乡政府调查A 、B 、C 、D 四个村的村民外出打工的情况，拟采用分层抽样的方法从四个村中抽取一个容量为500的样本进行调查．已知A 、B 、C 、D 四个村的人数之比为4∶5∶5∶6，则应从C 村中抽取的村民人数为( )A ．100B ．125C ．150D ．175答案 B解析 由题意可知，应从C 村中抽取500×54＋5＋5＋6＝125名村民．2．[2016·湖北武汉第二次调研]如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35,40)的网民出现的频率为( )A ．0.04B ．0.06C ．0.2D ．0.3答案 C解析 由频率分布直方图的知识得，年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，[25,30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z 成等差数列，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2， 所以年龄在[35,40)的网民出现的频率为0.2.故选C. 3．[2016·开封一模]下列说法错误的是( )A ．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好答案 B解析 根据相关关系的概念知A 正确；当r >0时，r 越大，相关性越强，当r <0时，r 越大，相关性越弱，故B 不正确；对于一组数据的拟合程度的好坏的评价，一是残差点分布的带状区域越窄，拟合效果越好．二是R 2越大，拟合效果越好，所以R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好，C ，D 正确，故选B.4．[2016·河南郑州二模]某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程y ＝－4x ＋a ，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.16B.13C.12D.23答案 B解析 由表中数据得x ＝6.5，y ＝80. 由(x ，y )在直线y ^＝－4x ＋a 上，得a ＝106.即线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.经过计算只有(5,84)和(9,68)在直线的下方，故所求概率为26＝13，选B.5．[2016·湖南永州一模]为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K2＝(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”答案 C解析由题设知，a＝45，b＝10，c＝30，d＝15，所以K2＝100×(45×15－30×10)255×45×75×25≈3.0303.2．706<3.0303<3.841.由附表可知，有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.二、填空题6．[2016·石家庄质检二]将高三(1)班参加体检的36名学生，编号为：1,2,3，…，36，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6、24、33的学生，则样本中剩余一名学生的编号是________．答案 15解析 根据系统抽样的特点可知抽取的4名学生的编号依次成等差数列，故剩余一名学生的编号是15.7．[2015·豫北十校联考]2015年的NBA 全明星赛于北京时间2015年2月14日举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________．答案 64解析 应用茎叶图的知识得，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为28,36，因此甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.8．[2016·吉林通化月考]某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为________万元．答案 73.5解析 由题表可知，x ＝4.5，y ＝35，代入回归方程y ^＝7x ＋a ^，得a ^＝3.5，所以回归方程为y ^＝7x ＋3.5.所以当x ＝10时，y ^＝7×10＋3.5＝73.5.三、解答题9．[2016·河北三市二联]下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：(1)求该生 (2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x 、y 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.附：b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y ^－b ^ x解 (1)x ＝15×(79＋81＋83＋85＋87)＝83， ∵y ＝15×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，∴s 2y ＝15×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8.(2)∵∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝30，∑i ＝15(x i －x )2＝40，∴b ^＝0.75，a ^＝y －b ^x ＝17.75. 则所求的线性回归方程为y ^＝0.75x ＋17.75.10．[2016·江淮十校一联]某学校在高一、高二两个年级学生中各抽取100人的样本，进行普法知识调查，其结果如下表：(1)求(2)有没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”；(3)用分层抽样的方法从样本的不合格同学中抽取5人的辅导小组，在5人中随机选2人，这2人中，正好高一、高二各1人的概率为多少？参考公式：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解(2)由(1)得χ2＝200×(70×20－80×30)2150×50×100×100≈2.67<6.635，所以没有99%的把握认为“高一、高二两个年级这次普法知识调查结果有差异”．(3)由分层抽样得从高一抽取3人，设为A，B，C，从高二抽取2人，设为1,2.从5人中选2人，有(AB)，(AC)，(A1)，(A2)，(BC)，(B1)，(B2)，(C1)，(C2)，(12)，共10种选法．其中正好高一、高二各1人，有(A1)，(A2)，(B1)，(B2)，(C1)，(C2)，共6种选法．所以所求概率为P＝3 5.11．[2016·正定统考]班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取—个容量为8的样本进行分析．(1)如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(只要求写出计算式即可，不必计算出结果)；(2)随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60,65,70,75,80,85,90,95，物理分数从小到大排序是：72,77,80,84,88,90,93,95.①若规定85分以上(包括85分)为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：y 与数学成绩x 之间线性相关关系的强弱．如果具有较强的线性相关关系，求y 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2；回归直线的方程是y ^＝bx ＋a ，其中对应的回归估计值b ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ＝y －b x ，y i 是与x i 对应的回归估计值．参考数据：x ＝77.5，y ＝84.875，∑i ＝18(x －x )2≈1050，∑i ＝18(y i －y )2≈457，i ＝18(x i －x )(y i －y )≈688，1050≈32.4，457≈21.4，550≈23.5.解 (1)应选女生25×840＝5位，男生15×840＝3位，可以得到不同的样本个数是C 525C 315.(2)①这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是C 34A 33(或A 34)，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是A 55，根据乘法原理，满足条件的种数是C 34A 33A 55.这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的种数共有A 88种．故所求的概率P ＝C 34A 33A 55A 88＝114.②由已知数据可得变量y 与x 的相关系数r ≈68832.4×21.4≈0.99.可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以以数学成绩x 为横坐标，物理成绩y 为纵坐标做散点图如下：从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．设y 与x 的线性回归方程是y ^＝bx ＋a ， 根据所给数据，可以计算出b ≈6881050≈0.66， a ＝84.875－0.66×77.5≈33.73，所以y 与x 的线性回归方程是y ^≈0.66x ＋33.73.12．为了调查学生星期天晚上学习时间的利用问题，某校从高二年级1000名学生(其中走读生450名，住宿生550名)中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n 名同学星期天晚上学习时间(单位：分钟)的数据，按照以下区间分为八组：①[0,30)，②[30,60)，③[60,90)，④[90,120)，⑤[120,150)，⑥[150, 180)，⑦[180,210)，⑧[210, 240)，得到频率分布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．(1)求n 的值并补全频率分布直方图；(2)如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n 名学生，完成下列2×2列联表：走读、住宿有关？(3)若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率．参考数据：⎝⎭⎪参考公式：K 2＝11221221n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2解 (1)设第i 组的频率为P i (i ＝1,2，…，8)， 由图可知P 1＝11500×30＝2100，P 2＝11000×30＝3100， ∴学习时间少于60分钟的频率为P 1＋P 2＝5100， 由题意得n ×5100＝5，∴n ＝100.又P 3＝1375×30＝8100，P 5＝1100×30＝30100， P 6＝1120×30＝25100，P 7＝1200×30＝15100，P8＝1600×30＝5100，∴P4＝1－(P1＋P2＋P3＋P5＋P6＋P7＋P8)＝12 100，∴第④组的高度为h＝12100×130＝123000＝1250，频率分布直方图如图．(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“住宿生”有55人，“走读生”有45人，利用时间不充分的有100×(P1＋P2＋P3＋P4)＝25人，从而2×2列联表如下：得K2＝n(n11n22－n12n21)2n1＋n2＋n＋1n＋2＝100×(30×10－15×45)245×55×75×25＝3752×1004640625≈3.030.∵3.030<3.841，∴没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关．(3)由题可知第①组人数为100×P1＝2(人)，第②组人数为100×P2＝3(人)，记第①组的2人为A1，A2，第②组的3人为B1，B2，B3，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，共6个基本事件，∴P(A)＝610＝35，3即抽出的2人中第①组、第②组各有1人的概率为5.。

2017年高考真题分类汇编（理数）：专题7 概率与统计（解析版）一、单选题1、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅲ）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A、月接待游客量逐月增加B、年接待游客量逐年增加C、各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3、（2017•山东）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）A、B、C、D、4、（2017•山东）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为=x+ ，已知x i=225，y i=1600，=4，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（）A、160B、163C、166D、1705、（2017•浙江）已知随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2．若0＜p1＜p2＜，则（）A、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B、E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D、E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）二、填空题6、（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．7、（2017•新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=________．8、（2017•江苏）记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．三、解答题9、（2017•山东）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（12分）（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率．（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．10、（2017·天津）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．11、（2017•北京卷）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40）， (80)90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．12、（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．13、（2017•新课标Ⅰ卷）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P （X≥1）及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得= =9.97，s= = ≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．14、（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．附：P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001K 3.841 6.635 10.828K2= ．15、（2017•新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】几何概型【解析】【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S= ，则对应概率P= = ，故选：B【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．2、【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：由折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A【分析】根据折线图中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案．3、【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有=36种不同情况，且这些情况是等可能发生的，抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的情况有=20种，故抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率P= = ，故选：C．【分析】计算出所有情况总数，及满足条件的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．4、【答案】C【考点】线性回归方程【解析】【解答】解：由线性回归方程为=4x+ ，则= x i=22.5，= y i=160，则数据的样本中心点（22.5，160），由回归直线经过样本中心点，则= ﹣4x=160﹣4×22.5=70，∴回归直线方程为=4x+70，当x=24时，=4×24+70=166，则估计其身高为166，故选C．【分析】由数据求得样本中心点，由回归直线方程必过样本中心点，代入即可求得，将x=24代入回归直线方程即可估计其身高．5、【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：∵随机变量ξi满足P（ξi=1）=p i，P（ξi=0）=1﹣p i，i=1，2，…，0＜p1＜p2＜，∴＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，E（ξ1）=1×p1+0×（1﹣p1）=p1，E（ξ2）=1×p2+0×（1﹣p2）=p2，D（ξ1）=（1﹣p1）2p1+（0﹣p1）2（1﹣p1）= ，D（ξ2）=（1﹣p2）2p2+（0﹣p2）2（1﹣p2）= ，D（ξ1）﹣D（ξ2）=p1﹣p12﹣（）=（p2﹣p1）（p1+p2﹣1）＜0，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）．故选：A．【分析】由已知得0＜p1＜p2＜，＜1﹣p2＜1﹣p1＜1，求出E（ξ1）=p1，E（ξ2）=p2，从而求出D（ξ1），D（ξ2），由此能求出结果．二、填空题6、【答案】18【考点】分层抽样方法【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为= ，则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，故答案为：18【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．7、【答案】1.96【考点】离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型【解析】【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其中，p=0.02，n=100，则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．故答案为：1.96．【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．8、【答案】【考点】一元二次不等式的解法，几何概型【解析】【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P= = ，故答案为：【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．三、解答题9、【答案】解：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P（M）= = ．（II）X的可能取值为：0，1，2，3，4，∴P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，P（X=4）= = ．∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望EX=0× +1× +2× +3× +4× =2．【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，组合及组合数公式【解析】【分析】（Ⅰ）利用组合数公式计算概率；（Ⅱ）使用超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列，再计算数学期望．10、【答案】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）= ，P（X=1）= ×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）× ×（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）× = ，P（X=2）=（1﹣）× × + ×（1﹣）× + × ×（1﹣）= ，P（X=3）= × × = ；所以，随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P随机变量X的数学期望为E（X）=0× +1× +2× +3× = ；（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）= × + ×= ；所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，条件概率与独立事件【解析】【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，写出它的分布列，计算数学期望值；（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．11、【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1﹣（0.04+0.02）×10=0.4故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50）内的频率为：1﹣（0.04+0.02+0.02+0.01）×10﹣0.05=0.05，估计总体中分数在区间[40，50）内的人数为400×0.05=20人，（Ⅲ）样本中分数不小于70的频率为：0.6，由于样本中分数不小于70的男女生人数相等．故分数不小于70的男生的频率为：0.3，由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，即女生的频率为：0.4，即总体中男生和女生人数的比例约为：3：2．【考点】频率分布直方图，用样本的频率分布估计总体分布，古典概型及其概率计算公式【解析】【分析】（Ⅰ）根据频率=组距×高，可得分数小于70的概率为：1﹣（0.04+0.02）×10；（Ⅱ）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50）内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．进而得到答案．12、【答案】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d= = ，∴当s= 时，d取得最小值= ．【考点】二次函数在闭区间上的最值，点到直线的距离公式，参数方程化成普通方程，函数最值的应用【解析】【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．13、【答案】（1）解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，因此上述监控生产过程方法合理；（ⅱ）因为用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，且= =9.97，s= = ≈0.212，所以﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334，+3 =9.97+3×0.212=10.606，所以9.22∉（﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（﹣3 +3 ）之外的数据9.22，则剩下的数据估计μ= =10.02，将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，所以σ≈0.09．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征，离散型随机变量的期望与方差，二项分布与n次独立重复试验的模型，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【解析】【分析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．14、【答案】解：（Ⅰ）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），则旧养殖法的箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，故P（B）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，故P（C）的估计值为，则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；（Ⅱ）2×2列联表：箱产量＜50kg 箱产量≥50kg总计旧养殖法 62 38 100新养殖法 34 66 100总计 96 104 200则K2= ≈15.705，由15.705＞6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（Ⅲ）由题意可知：方法一：=5×（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.068+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008），=5×10.47，=52.35（kg）．新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：（0.004+0.020+0.044）×5=0.034，箱产量低于55kg的直方图面积为：（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+ ≈52.35（kg），所以新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．【考点】频率分布直方图，用样本的数字特征估计总体的数字特征，独立性检验，相互独立事件的概率乘法公式【解析】【分析】（Ⅰ）由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频率，即可求得其概率；（Ⅱ）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（Ⅲ）根据频率分布直方图即可求得其平均数．15、【答案】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，P（X=200）= =0.2，P（X=300）= ，P（X=500）= =0.4，∴X的分布列为：X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400，当200＜n≤300时，若x=200，则Y=200×（6﹣4）+（n﹣200）×2﹣4）=800﹣2n，若x≥300，则Y=n（6﹣4）=2n，∴EY=p（x=200）×（800﹣2n）+p（x≥300）×2n=0.2（800﹣2n）+0.8=1.2n+160，∴EY≤1.2×300+160=520，当300＜n≤500时，若x=200，则Y=800﹣2n，若x=300，则Y=300×（6﹣4）+（n﹣300）×（2﹣4）=1200﹣2n，∴当n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520，若x=500，则Y=2n，∴EY=0.2×（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4×2n=640﹣0.4n，当n≥500时，Y= ，EY=0.2（800﹣2n）+0.4（1200﹣2n）+0.4（2000﹣2n）=1440﹣2n，∴EY≤1440﹣2×500=440．综上，当n=300时，EY最大值为520元．【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差【解析】【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（Ⅱ）当n≤200时，Y=n（6﹣4）=2n≤400，EY≤400；当200＜n≤300时，EY≤1.2×300+160=520；当300＜n≤500时，n=300时，（EY）max=640﹣0.4×300=520；当n≥500时，EY≤1440﹣2×500=440．从而得到当n=300时，EY最大值为520元．。