2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(文科)

内蒙古呼和浩特市2020届高三数学质量普查调研考试试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷(选择题〉和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答题时，考生各必将自己的姓名、考号、座位号涂写在答题卡上.本试卷满分150分，答题时间120分钟.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干浄后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本武卷无效. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数z 满足(1i)2i Z +=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】试题分析：由(1)2i Z i +=得()()22(1)1111i i i Z i i i i -===+++-，所以复数z 在复平面内对应的点在第一象限，故选A.考点：1.复数的运算；2.复数的几何意义.2.已知集合{}2|60A x x x =--<，集合{}|10B x x =->，则A B =U （ ）A. ()1,3B. ()2,3-C. ()1,+∞D. ()2,-+∞【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A,B ，根据并集的定义运算即可.【详解】由条件得{}|23A x x =-<<，{}|1B x x =>， 所以{}|2A B x x =>-U ，即：A B =U ()2,-+∞.故选：D【点睛】本题主要考査了集合之间的基本运算，不等式的解法，解题关键在于正确求解不等式，并用数轴表示集合之间的关系，属于容易题. 3.已知2sin 3α=，则3sin 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A. 53-B. 19-C.53D.19【答案】B 【解析】 分析】利用诱导公式及余弦的二倍角公式即可求解.【详解】()22321sin 2cos 212sin 12239πααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=--=--⨯=-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式，三角恒等变换求值，选择合理的二倍角公式是求解的关键，属于中档题.4.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4724a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A. 8 B. 4C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和与等差数列的性质，等差数列的通项公式，化简即可求解. 【详解】由等差中项得475624a a a a +=+=， 因为()()1663463482a a S a a +==+= 所以3416a a +=，所以()()563448a a a a d +-+== 所以d =2. 故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，等差中项，等差数列的性质，属于中档题. 6.已知a 是函数3()12f x x x =-的极小值点，则a =（ ） A. -4 B. -16C. -2D. 2【答案】D【解析】 【分析】求导并化简可得2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+-，列表即可求出极小值点，得解. 【详解】因为2()3123(2)(2)f x x x x '=-=+- 所以可得x ，()f x '和()f x 如下表由表知函数的极小值点为2. 故选：D【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于容易题.7.若函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x ≥时，()x f x e m =+，则1ln 3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. -2 B. -3C. -4D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可知0(0)0f e m =+=解得1m =-，利用奇函数可知()()1ln ln 3ln 33f f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭即可求解.【详解】∵()f x 为R 上的奇函数， ∴0(0)0f e m =+=，解得1m =-， ∴0x ≥时，()1x f x e =-；∴()()()ln31ln ln 3ln 31(31)23f f f e ⎛⎫=-=-=--=--=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，对数的运算，属于中档题. 8.函数sin 2y x =的图像向左平移2π个单位以后，得到的图像对应的函数解析式为（ ） A. sin 2y x = B. cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. cos 2x y =-【答案】B 【解析】 【分析】函数sin 2y x =的图像向左平移2π个单位以后得sin 2()2y x π=+，化简即可求解.【详解】sin 2y x =左移2π个单位，得到()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，四个选项中，首先排除A 和D ， 选项B 中，cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图象的变换，诱导公式，属于中档题.9.若命题甲是命题乙的充分非必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设命题甲为集合A ，命题乙为集合B ，命题丙为集合C ，命题丁为集合D ，转化为集合之间的包含关系，可探求命题之间的关系，判断命题丁能否推出命题甲，及命题甲能否推出命题丁，即可得出结论. 【详解】设命题甲为集合A ，命题乙为集合B ，命题丙为集合C ，命题丁为集合D ；命题甲是命题乙的充分非必要条件A B ≠⇔⊂；命题丙是命题乙的必要非充分条件⇔命题乙是命题丙的充分非必要条件B C ≠⇔⊂，命题丁是命题丙的充要条件C D ⇔=，综上得到A B C D ≠≠⇔⊂⊂=，可知A D ≠⊂，及命题甲是命题丁的充分非必要条件⇔命题丁是命题甲的必要非充分条件， 故选：B【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，真子集，属于中档题.10.已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则3523n a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ）A. ()1621n +-B. ()2621n-C. 63n-D. ()621n-【答案】A 【解析】 【分析】根据数列为等比数列可得22q =，可证明3523,,,n a a a +⋅⋅⋅是以36a =为首项，22q =为公比的新等比数列{}n b ，根据等比数列前n 项和计算即可.【详解】∵22313a a q q =⋅=，44513a a q q =⋅=，∴2413533321a a a q q ++=++=， 整理得4260q q +-=及()()22230q q-+=解得22q =或-3（舍）,对于3523n a a a +++⋅⋅⋅+， 设21n n b a +=，则13b a =，25b a =，123n n b a ++=其本质是以36a =为首项，22q =为公比的新等比数列{}n b 的前1n +项和, ∴()()11352361262112n n n a a a +++-++⋅⋅⋅+==--故选：A【点睛】本题主要考查了等比数列通项公式与前n 项和公式，考查了等比数列基本量的运算，属于中档题. 11.已知ABC 的三边a ，b ，c 满足：333a b c +=，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】由题意∠C 为三角形ABC 中的最大角，只需分析∠C 即可，由333a b c +=可得01a c ＜＜，01b c＜＜，从而由余弦定理得变形可知∠C 为锐角，即可求解.【详解】333a b c +=可知，∠C 为三角形ABC 中的最大角，且331a b c c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以01a c ＜＜，01b c＜＜亦即32a a c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜，32b bc c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜ 将两式相加得：22331a b a b c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+＞ 所以∠C 为锐角，三角形ABC 为锐角三角形， 故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，不等式的性质，放缩法，属于中档题 . 12.已知函数()f x 满足()()1'x f x f x e +=，且()01f =，则函数()()()2132g x f x f x =-⎡⎤⎣⎦零点的个数为（ ） A. 4个 B. 3个C. 2个D. 0个【答案】B 【解析】 【分析】根据()()1'x f x f x e +=，可得()'1x e f x ⎡⎤=⎣⎦，即有()xe f x x c =+，可推出()1xx f x e +=，解方程()0g x =，得()0f x =或()16f x =，判断零点个数即可. 【详解】()()()()1''1x xx f x f x e f x e f x e +=⇔+=()'1x e f x ⎡⎤⇔=⎣⎦，∴()x e f x x c =+，()xx c f x e +=，∵()01f =代入，得1c =，∴()1xx f x e +=. ()()()()213002g x f x f x f x =-=⇒=⎡⎤⎣⎦或()16f x =， ()1001x x f x x e +=⇒=⇒=-；()()1116166x x x f x e x e +=⇒=⇒=+， 如图所示，函数x y e =与函数()61y x =+的图像交点个数为2个，所以()16f x =的解得个数为2个；综上，零点个数为3个， 故选：B【点睛】本题主要考查了导数公式的逆用，以及函数与方程问题，函数的零点个数，数形结合，属于难题.第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包含必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.)13.已知()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r ∥()2a b -r r ，则实数k =___________.【答案】8- 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算可得()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，根据向量平行即可求出k . 【详解】由己知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r ∥()2a b -r r ,所以3(8)4(42)k k --=⨯+ 得8k =-. 故答案为：8-【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件，属于中档题.14.已知实数,x y 满足约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为________.【答案】5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件0,10,10,y x x y y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪+≥⎩表示的可行域，如图，由1010x y y +-=⎧⎪⎨⎪+=⎩可得21x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将3z x y =+变形为3y x z =-+， 平移直线3y x z =-+，由图可知当直3y x z =-+经过点()2,1C -时， 直线在y 轴上的截距最大，所以z 的最大值为()3215⨯+-=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小一份的量为___. 【答案】【解析】【详解】设此等差数列为{a n }，公差为d ，则1455100,2a d ⨯+= （a 3+a 4+a 5）×17=a 1+a 2，即111(39)27a d a d +⨯=+，解得a 1=53，d=556．最小一份为a 1， 故答案为．16.下列命题：①若等差数列{}n a 的公差d 不为0，则给n ，对于一切()k N k n *∈<，都有2n k n k n a a a -++=；②若等差数列{}n a 的公差d <0.且38S S =，则5S 和6S 都是{}n S 中的最大项；③命题P ：(),0,1x y ∀∈，2x y +<，的否定为：()00,0,1x y ∃∉，002+≥x y ；④若函数()3x f x =，则()3ln x f x x '=.其中真命题的序号为____________. 【答案】①②. 【解析】 【分析】由等差中项的概念可判断①的正误；根据数列项的符号变化及60a =可判断②；由命题的否定的定义可确定③的正误；根据求导公式可知④的正误.【详解】①根据等差中项可知，是正确的；②对于d <0，38S S =，可得60a =，所以5S 和6S 都是数列中的最大项；③命题P 的否定为：()00,0,1x y ∃∉，002+≥x y ，所以③错；对于④因为()3ln 3x f x '=所以④错误. 故答案为：①②【点睛】本题主要考查了等差中项，等差数列的前n 项和，命题的否定，求导公式，属于中档题. 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程) 17.己知函数()ln f x x =.(1)若()f x 在x t =处的切线过原点，求切线的方程； (2)令()()f x g x x =，求()g x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）1y x e =（2）最大值1e，最小值e - 【解析】 【分析】（1）求函数()f x 的导数，()k f t '=，点斜式写出切线方程即可（2）利用导数判断函数的单调性，确定极值，即可求出函数的最大值,最小值. 【详解】(1)设切线的方程为y kx = 1()f x x '=，则1()k f t t'== x t =，则()ln f t t =切线方程为1ln ()y t x t t -=-1ln 1y x t t=+-ln 10t -=则t e =∴切线的方程为1y x e=. (2)21ln ()xg x x -'=， 当1x e e<<时，()0g x '>；2e x e <<时，()0g x '<， 所以最大值1(e)g e=∵1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，221()g e e =，且22e e -<所以最小值1g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数研究函数的单调性，极值，最值，属于中档题.18.已知函数()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭，()22sin 2x g x =.（1）若α是第二象限角，且()fα=，求()g α的值； （2）求()()f x g x +的最大值，及最大值对应的x 的取值. 【答案】（1）()95g α=（2）()()f x g x +的最大值为3，此时()223x k k Z ππ=+∈ 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简()f x =x =，()22sin1cos 2x g x x ==-，由()f α=求sin α，根据同角三角函数关系求解即可（2）由（1）知()()f x g x +=2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数性质求解即可. 【详解】（1）()sin cos 63x x f x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝=⎪⎭sin coscos sin cos cos sin sin 6633x x x x ππππ=-++11cos cos 22x x x x =-+x =，()22sin 1cos 2xg x x ==-，则()fαα==3sin 5α=，∵α是第二象限角，∴4cos 5α=-， ∴()49155g α⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.（2）()()cos 1f x g x x x +=-+2sin 16x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.当sin 16x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()()f x g x +取得最大值3，此时()262x k k Z πππ-=+∈，即()223x k k Z ππ=+∈. 【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换化简三角函数，结合三角函数图像求最值,属于中档题.19.已知n S 为数列n a 的前n 项和，已知0n a >，2243n n n a a S +=+，且1n n a b =.(1)求数列{}n b 的通项公式n b ； (2)求满足122311...7n n b b b b b b ++++<的n 的最大值. 【答案】（1）121n b n =+（2）n 的最大值为9. 【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系可推出12n n a a --=，写出等差数列的通项公式即可（2）利用裂项相消法求和，解不等式即可.【详解】(1)当1n =时，13a =； 当2n ≥时，2243n n n a a S +=+①2111243n n n a a S ---+=+②①-②整理得12n n a a --=21n a n =+，所以121n b n =+. (2)设111(21)(21)n n n c b b n n --==-+所以122311111111......235572121n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭1112321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭令1111023217n ⎛⎫--< ⎪+⎝⎭，解得10n < 所以n 的最大值为9.【点睛】本题主要考查了n a 与n S 的递推关系，裂项相消法，等差数列的定义，属于中档题. 20.（1）当()k k z απ≠∈时，求证：1cos tan2sin ααα-=；（2）如图，圆内接四边形ABCD 的四个内角分别为A 、B 、C 、D .若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =.求tantan tan tan 2222A B C D+++的值.【答案】（1）证明见解析（2410【解析】 【分析】（1）根据正余弦的二倍角公式从左边向右边即可化简证明（2）ABCD 为圆的内接四边形可知sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由（1）结论原式可化为22sin sin A B+，连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理即可求解.【详解】（1）证明21cos 22sin 1cos 22sin sin 22sin cos 222ααααααα-⋅-==⋅⋅tan 2α=.（2）因为ABCD 为圆的内接四边形，所以sin sin A C =，sin sin B D =，cos cos A C =-，cos cos B D =-，由此可知：tantan tan tan 2222A B C D+++ 1cos 1cos 1cos 1cos sin sin sin sin A B C DA B C D ----=+++22sin sin A B=+ 连接AC 、BD ，设AC x =，BD y =由余弦定理可得：22536cos 256y A +-=⨯⨯，2916cos 234y C +-=⨯⨯， 2369cos 263x B +-=⨯⨯，22516cos 254x D +-=⨯⨯， 解得281919x =，22477y =， 那么3cos 7A =，1cos 19B =，sin A =，sin B =.所以原式=【点睛】本题主要考查了倍角公式的应用，四点共圆对角互补以及正余弦定理的运用，属于难题. 21.己知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-(1)设2a >时，判断函数()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的零点的个数； (2)当()()(1)ln g x f x a x x =++-，是否存在实数a ，对()12,0,x x ∀∈+∞且12x x ≠，有1212()()g x g x a x x -+>-恒成立，若存在，求出a 的范围：若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点（2）存在，a 的取值范围是[2，+∞)【解析】 【分析】（1）利用导数可知函数()f x 在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，1a -)上递减，可得()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增且1(1)02f a =-<可知无零点（2）化简得21()(2)ln 2g x x a x x =+-+，由1212()()0g x g x a x x -+>-可得1122()()g x ax g x ax +>+（120x x >>）恒成立，构造函数()()h x g x ax =+，需有()()0h x g x a ''=+≥恒成立，分离参数求解即可.【详解】(1)()f x 的定义域是(0，+∞)2a >，211(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-'=-+==令()0f x '=得到：11x =，21x a =-，且21x x >所以函数()f x 在(0，1)，(1，+∞)单调递增，在(1，1a -)上递减 因为()21,10,1e ⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦所以()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，因为1(1)02f a =-<， 所以()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点. (2)因为()()(1)ln g x f x a x x =++-，所以21()(1)ln 2g x x ax a x x =-++- 化简得21()(2)ln 2g x x a x x =+-+ 不妨设120x x >>可化为1122()()g x ax g x ax +>+； 考查函数()()h x g x ax =+则()()0h x g x a ''=+≥即210a x a x -+++≥，整理可得2221x x a x +-≥+ 令222()1x x G x x +-=+，则2223()(1)x x G x x ++'=-+， 因此()G x 单调递減，所以()()2G x G x <- 所以2a ≥综上：a 的取值范围是[2，+∞)【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，极值，零点，利用导数证明不等式恒成立，属于难题. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时清写清题号. 22.在极坐标系中，直线过点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线()3R πθρ=∈垂直. （1）设直线上的动点M 的极坐标为(),ρα，用ρ表示cos 3πα⎛⎫-⎪⎝⎭； （2）在以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴的直角坐标系中，曲线C 的参数方程为cos 1sin x y φφ=⎧⎨=+⎩（φ为参数），若曲线C 与直线()3R πθρ=∈交于点Q ，求点Q 的极坐标及线段PQ 的长度.【答案】（1）cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）点M 的极坐标为(),ρα代入直线的极坐标方程即可求解（2）联立曲线与直线即可求解点Q 的极坐标，利用两点间距离公式求PQ 的长度即可. 【详解】（1）由已知条件可得：直线的极坐标方程为：3sin cos 230ρθρθ+-=， ∵动点(),M ρα在直线上，∴cos 33πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴3cos 3παρ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（2）曲线C 的极坐标方程为：2sin ρθ=， 联立曲线C 与直线()3R πθρ=∈解得：3,3Q π⎫⎪⎭或()0,0Q ， ∴①当3,3Q π⎫⎪⎭时：()2223223cos16PQ π=+-⨯⨯⨯=，②当()0,0Q 时：2PQ =. ∴1PQ =或2PQ =.【点睛】本题主要考查了极坐标方程的应用，以及极径的几何意义，属于中档题. 23.已知函数()f x x x 1=++.（1）若()f x m 1≥-恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立的条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】 【分析】（1）由题意可得()1min f x =，则原问题等价于11m -≤，据此可得实数m 的最大值2M =. （2）证明：法一：由题意结合(1)的结论可知1ab ≤，结合均值不等式的结论有ab a b ≤+，据此由综合法即可证得2a b ab +≥.法二：利用分析法，原问题等价于()2224a b a b +≥，进一步，只需证明()2210ab ab --≤，分解因式后只需证1ab ≤，据此即可证得题中的结论.【详解】（1）由已知可得()12,01,0121,1x x f x x x x -<⎧⎪=≤<⎨⎪-≥⎩，所以()1min f x =，所以只需11m -≤，解得111m -≤-≤， ∴02m ≤≤，所以实数m 的最大值2M =. （2）证明：法一：综合法 ∵222a b ab +≥， ∴1ab ≤，1≤，当且仅当a b =时取等号，①2a b +≤12≤，∴ab a b ≤+，当且仅当a b =时取等号，② 由①②得，∴12ab a b ≤+，所以2a b ab +≥. 法二：分析法 因为0a >，0b >，所以要证2a b ab +≥，只需证()2224a b a b +≥，即证222224a b ab a b ++≥，∵22a b M +=，所以只要证22224ab a b +≥， 即证()2210ab ab --≤，即证()()2110ab ab +-≤，因为210ab +>，所以只需证1ab ≤， 因为2222a b ab =+≥，所以1ab ≤成立， 所以2a b ab +≥.【点睛】本题主要考查绝对值函数最值的求解，不等式的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

2021年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质量普查调研试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=1+i20212−i，则z的虚部是()A. 35B. 35i C. 15D. 15i2.已知集合A={x|x>−2}和B={x|x<3}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为()A. {x|−2<x<3}B. {x|x≤−2)C. {x|x≥3}D. {x|x<3}3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=45°，B=75°，a=2，则c=()A. √6B. √2C. √3D. 2√64.设命题p：∃x>0，sinx>2x−1，则￢p为()A. ∀x>0，sinx≤2x−1B. ∃x>0，sinx<2x−1C. ∀x>0，sinx<2x−1D. ∃x>0，sinx≤2x−15.如图所示的是某篮球运动员最近5场比赛所得分数的茎叶图，则该组数据的方差是()A. 20B. 10C. 2D. 46.在等比数列{a n}中，a1+a3=9，a5+a7=36，则a1=()A. 0B. 1C. 2D. 37.已知平行于x轴的一条直线与双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于P，Q两点，|PQ|=4a，∠PQO=π4(O为坐标原点)，则该双曲线的离心率为()A. √133B. √213C. √6D. √58. 已知三角形ABC 的三个顶点在球O 的球面上，△ABC 的外接圆圆心为M ，外接圆面积为4π，且AB =BC =AC =2MO ，则球O 的表面积为( )A. 48πB. 36πC. 32πD. 28π9. 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的最大一个面的面积为( )A. 8√2B. 16√2C. 16D. 8√510. 将某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图(1)所示.由于目前该片盈利未达到预期值，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．下列四个判断：①图(2)对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图(3)对应的方案是：提高票价，并降低成本； ④图(3)对应的方案是：提高票价，并保持成本不变． 其中，正确的判断有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设a ，b 为正数，若直线ax −by +1=0过圆x 2+y 2+4x −2y +1=0的圆心，则a+2b ab的最小值为( )A. 6B. 8C. 9D. 1012. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx ，若f(a)+f(3−2a 2)>0，则−a 2+a 的取值范围为( )A. (−2,−34]B. (−34,12)C. (−1,−32)D. (−2,14]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，则a 1+a 3+a 5+a 7+a 9= ______ ． 14. 若等边三角形ABC 的边长为√3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．15. 已知a ，b 均为正实数，且满足(12)a =log 2a ，2b=log 12b ，则下面四个判断： ①ln(a −b)>0； ②2b−a <1； ③−1a >−1b；④log 2a >0>log 2b.其中一定成立的有______ (填序号即可)．16. 为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离.某会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米.疫情期间为了更加安全，规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座.例如图中第一列所示情况不满足条件(其中“√”表示就座人员).根据这一规定，该会议室最多可容纳的参会人数为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x.将指标x 按照[0,0.2)，[0.2,0.4)，[0.4,0.6)，[0.6,0.8)，[0.8,1.0]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定：若0≤x <0.6，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%．(Ⅰ)根据频率分布直方图求这100户村民贫困指标x 的平均值；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(Ⅱ)完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关．甲村乙村总计绝对贫困户相对贫困户总计，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K20.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k0)k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 18.如图，在扇形OMN中，半径OM=2，圆心角∠MON=π，D是扇形弧上的动点，6矩形ABCD内接于扇形，记∠DON=θ．(Ⅰ)用含θ的式子表示线段DC，OB的长；(Ⅱ)求矩形ABCD的面积S的最大值．19.如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD//BC，且DE=2AD=2AF(如图1)，将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE(如图2)．(Ⅰ)判断四边形BCEF是否是平面四边形，并写出判断理由；(Ⅱ)当EF⊥CF时，求证：平面ADEF⊥平面ABCD．20.已知m>0，函数f(x)=e x−2x+2m．(Ⅰ)判断函数f(x)的零点的个数；(Ⅱ)求证：当x>0时，e x>x2−2mx+1．21.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点A与抛物线y2=8x的焦点重合，且离心率为12，点B是椭圆在第一象限部分上的一点，点C也在椭圆上，且BC过椭圆中心O，|BC|=2|AB|．(Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅱ)设P、Q是椭圆上位于直线AC同侧的两个动点(异于A，C)；且满足∠PBC=∠QBA，求证：直线PQ的斜率为定值．22.已知在极坐标系中，点A的极坐标为(1,π)，曲线C：ρ=4cos(θ−π3)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，若直线l过A点，且倾斜角为θ．(Ⅰ)求直线l的参数方程与曲线C的普通方程；(Ⅱ)若直线l与曲线C交于B、C两点，且1|AB|+1|AC|=2√73，求直线l的斜率．23.设函数f(x)=|2x−1|，g(x)=|ax+1|．(Ⅰ)求不等式f(x)≤1−x的解集；,1)上恒成立，求a的取值范围．(Ⅱ)若不等式f(x)+g(x)≥2x在区间(12答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数z=1+i 20212−i =1+i2−i=(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=15+35i，∴z的虚部是35．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数的虚部的概念得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数虚部的概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：全集U=R，集合A={x|x>−2}和B={x|x<3}关系的韦恩图如图，∁U A={x|x≤−2}，∴阴影部分所表示的集合为：(∁U A)∩B={x|x≤−2}．故选：B．先求出∁U A={x|x≤−2}，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B，由此能求出结果．本题考查集合的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为A=45°，B=75°，a=2，所以C=180°−A−B=60°，由asinA =csinC，可得c=a⋅sinCsinA=2×√32√22=√6．故选：A．由已知利用三角形内角和定理可求C的值，进而根据正弦定理即可计算得解c的值．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．4.【答案】A【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．【解答】解：命题p：∃x>0，sinx>2x−1，则￢p为：∀x>0，sinx≤2x−1，故选：A．5.【答案】D【解析】解：由茎叶图得：该组数据的平均数为：x−=15(29+28+26+30+32)=29，∴该组数据的方差是：S2=15[(29−29)2+(28−29)2+(26−29)2+(30−29)2+(32−29)2]=4．故选：D．先求出该组数据的平均数，由此能求出该组数据的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：在等比数列{a n}中，a1+a3=9，a5+a7=36，∴q4=a5+a7a1+a3=369=4，解得q2=2，∴a1+a3=3a1=9，解得a1=3．故选：D．利用等比数列通项公式求出q2=2，由此能求出a1．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：如图，不妨设直线在x轴上方，交双曲线左、右支分别为P、Q，由|PQ|=4a，∠PQO=π4，得Q(2a,2a)，代入双曲线方程，可得4a2a2−4a2b2=1，∴4a2=3b2，又b2=c2−a2，∴3c2=7a2，∵e>1，∴e=√213，即双曲线的离心率为√213．故选：B．由题意画出图形，求得Q点坐标，代入双曲线方程，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的解题思想，是中档题．8.【答案】D【解析】解：设△ABC的外接圆半径为r，由△ABC的外接圆面积为4π，可得πr2=4π，解得r=2，又AB=BC=AC=2MO，故△ABC为正三角形，则AB√32=2×2，解得AB=2√3，∴MO=√3，如图，设球O与外接圆M的其中一个交点为N，则ON2=OM2+MN2，即ON=√3+4=√7，∴球O的半径为√7，∴其表面积为4π×(√7)2=28π．故选：D．作出图象，易求得外接圆M的半径为2，进而求得MO，再由ON2=OM2+MN2，求得球O的半径，由此得解．本题考查球的表面积计算，解题的关键是求得球的半径，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由三视图知该几何体是侧棱BD⊥底面ABC的三棱锥，如图所示：该三棱锥底面是Rt△ABC，且AC⊥BC，则该三棱锥各个面的面积分别为：S△ABC=12×8×4=16，S△BCD=12×4×4=8，S△ABD=12×√42+82×4=8√5，S△ACD=12×8×√42+42=16√2，所以该三棱锥最大一个面的面积为16√2．故选：B．根据三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，结合题意画出图形，根据图形求出三棱锥各个面的面积，即可得出最大一个面的面积．本题考查了利用三视图求几何体的各个面的面积问题，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图(2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即④对；则有2个正确的判断，故选：B．根据题意，结合函数的图象分析分析4个判断，即可得答案．本题考查函数的图象分析，考查学生的读图识图能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：圆x2+y2+4x−2y+1=0的圆心(−2,1)，可得−2a−b+1=0，即2a+b=1，则a+2bab =(a+2b)(2a+b)ab=2a2+2b2+5abab≥2√2a2⋅2b2+5abab=9，当且仅当b =a =13时，取等号． 故选：C ．求出圆的圆心坐标，得到ab 关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式的应用，是基础题．12.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x 3+2x −sinx 的定义域为R ， f(−x)=−x 3+2x +sinx =−f(x)，所以f(x)为奇函数， f′(x)=3x 2+2−cosx >0恒成立，所以f(x)在R 上单调递增， 所以不等式f(a)+f(3−2a 2)>0等价于f(a)>f(2a 2−3)， 所以a >2a 2−3，解得−1<a <32， 令g(a)=−a 2+a ，对称轴为a =12， 所以g(a)max =g(12)=14， 又g(−1)=−2，g(32)=−34， 所以−2<g(a)≤14，即−a 2+a 的取值范围为(−2,14]. 故选：D ．利用函数奇偶性的定义判断函数f(x)的奇偶性，再利用导数判断函数f(x)的单调性，从而将不等式合理转化，求出a 的取值范围，利用二次函数的性质即可求解．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，利用函数的性质解不等式，二次函数性质的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．13.【答案】50【解析】解：∵S n =n 2+n ，① ∴S n−1=(n −1)2+n −1(n ≥2)，② ①−②得：a n =2n(n ≥2)， 又a 1=S 1=2，适合上式， ∴a n =2n ，∴a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=2(1+3+5+7+9)=50， 故答案为：50．由S n =n 2+n 可得S n−1=(n −1)2+n −1(n ≥2)，两式相减得a n =2n ，验证n =1时适合，从而可得答案．本题考查数列递推式的应用，求得数列{a n }的通项公式是关键，考查数学运算能力，属于中档题．14.【答案】−32【解析】解：等边三角形ABC 的边长为√3，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√3×(−12)=−32． 故答案为：−32．利用向量的数量积，转化求解即可．本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．15.【答案】②③④【解析】解：令f(x)=(12)x −log 2x ，则f(1)=12−0=12>0，f(√2)=(12)√2−log 2√2=(12)√2−12<0，∵(12)a =log 2a ，∴a ∈(1,√2).∵2b =log 12b ，b >0，∴2b >1，∴b ∈(0,12)，∴12<a −b <√2，①：∵ln(a −b)可能小于等于0，∴①错误， ②：∵b −a <0，∴2b−a <20=1，∴②正确， ③：∵a >b >0，∴1a <1b ，∴−1a >−1b ，∴③正确， ④：∵a ∈(1,√2)，∴log 2a >0，∵b ∈(0,12)，∴log 2b <0，∴log 2a >0>log 2b.∴④正确， 故答案为：②③④．利用对数函数和指数函数的性质，先求出a ，b 的范围，再根据a ，b 的范围即可求解． 本题考查对数函数和指数函数的性质的运用，属于中档题．16.【答案】11【解析】解：第一步：在第一排安排3人就坐，且空出中间一个座位，不妨设空出第二个座位，第二步：在第二排安排3人就坐，且空出中间一个座位，则可空出第二个或第三个座位，第三步：若第二排空出第二个座位，则第三排只能安排一人在第二个座位就坐，第四步：在第四排安排3人就坐，且空出第二或第三个座位，此时会议室共容纳3+3+ 1+3=10人，重复第三步：若第二排空出第三个座位，则第三排可安排2人在中间位置就坐，重复第四步：在第四排安排3人就坐，且空出第二个座位，此时会议室共容纳3+3+2+ 3=11人，故答案为：11．分布安排每一排就坐，根据第一排与第二排的空座位置是否在同一列分情况安排第三排人员就坐，从而得出结论．本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的逻辑推理能力，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)根据频率分布直方图，计算这组数据的平均值为：x−=0.1×0.05+0.3×0.1+0.5×0.15+0.7×0.4+0.9×0.3=0.66，所以估计这100户村民贫困指标x的平均值为0.66；(Ⅱ)根据题意填写2×2列联表，如图所示：计算K2=100×(12×32−38××18)250×50×30×70=127≈1.714<2.706，所以没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关．【解析】(Ⅰ)频率分布直方图同一组中的数据用该组区间的中点值，计算这组数据的平均值即可；(Ⅱ)根据题意填写列联表，计算K2，对照附表得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了运算求解能力与数据分析问题，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)在Rt△DOC中，DC=2sinθ，在Rt△AOB中，OB=√3AB=√3DC=2√3sinθ．(Ⅱ)S=BC⋅DC=(OC−OB)⋅DC=(2cosθ−2√3sinθ)⋅2sinθ=2sin2θ−2√3(1−cos2θ)=4sin(2θ+π3)−2√3，∴当2θ+π3=π2，即θ=π12时，S max=4−2√3．【解析】(Ⅰ)在Rt△DOC，Rt△AOB中，利用三角函数的定义求解．(Ⅱ)由题意可知S=BC⋅DC=4sin(2θ+π3)−2√3，再利用三角函数的定义求解．本题主要考查了三角函数的性质，考查了学生的计算能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)结论：四边形BCEF不可能是平面四边形．理由：若B，C，E，F共面，则由BC//AD，BC//平面ADEF，可推出BC//EF，又BC//AD，则AD//EF，矛盾．所以四边形BCEF不可能是平面四边形．(Ⅱ)证明：在平面ADEF中，可得EF⊥FD，又因为EF⊥CF，FD∩CF=F，所以EF⊥平面CDF，又CD⊂平面DCF，所以EF⊥CD，又因为CD⊥AD，而AD，EF相交，所以CD⊥平面ADEF，又因为CD⊂平面ABCD，所以平面ADEF⊥平面ABCD．【解析】(Ⅰ)假设B，C，E，F共面，由线面平行的性质和平行公理，可得矛盾，即可得到结论；(Ⅱ)首先由线面垂直的判定定理，推得EF⊥平面CDF，其次可得CD⊥平面ADEF，再由面面垂直的判定定理，即可得证．本题考查四边形是否为平面四边形，以及面面垂直的判定，考查反证法和转化思想、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=e x−2，∴令f′(x)=0得，x=ln2，x<ln2时，f′(x)<0；x>ln2时，f′(x)>0，且m>0，∴x=ln2时，f(x)取最小值2−2ln2+m>0，∴f(x)在R上无零点；(Ⅱ)证明：设g(x)=e x−x2+2mx−1，g′(x)=e x−2x+2m≥f(x)min>0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴当x>0时，g(x)>g(0)，即e x−x2+2mx−1>0，∴e x>x2−2mx+1．【解析】(Ⅰ)可求出导函数f′(x)=e x−2，根据导数符号即可求出f(x)的最小值为2−2ln2+m>0，从而得出f(x)在R上无零点；(Ⅱ)构造函数g(x)=e x−x2+2mx−1，根据导数符号即可判断g(x)在(0,+∞)上是增函数，从而得出g(x)>g(0)，进而可得出e x>x2−2mx+1．本题考查了根据导数的符号判断函数单调性的方法，根据导数求函数最值的方法，函数零点的定义及求法，构造函数解决问题的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意得抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，∴a=2，又∵e=ca =12，∴c=1，b=√3，∴椭圆的标准方程为：x 24+y 23=1，∵|BC|=2|AB|，∴△OAB 为等腰直角三角形，即B(1,32)， ∴S △ABC =2S △OAB =2×12×2×32=3． (Ⅱ)由题意知直线BP 、BQ 的斜率均存在， ∵∠PBC =∠QBA ， ∴k BP =−k BQ ，设直线BP 的方程为：y =k(x −1)+32，代入椭圆方程中得到：(3+4k 2)x 2−8k(k −32)x +4k 2−12k −3=0，其中一个解为1，另一解为x P =4k 2−12k−33+4k 2，可求得y P =−12k 2−6k 3+4k 2+32，用−k 替换k 得到：x Q =4k 2+12k−33+4k 2，y Q =−12k 2+6k 3+4k 2+32，∴k PQ =y P −y Q x P −x Q=−12k 2−6k 3+4k 2+32−−12k 2+6k 3+4k 2−324k 2−12k−33+4k 2−4k 2+12k−33+4k 2=12为定值．【解析】(Ⅰ)根抛物线的方程，求出a 的值，再结合离心率和a 2=b 2+c 2求出c ，b 的值，进而得到椭圆的标准方程，再根据△OAB 为等腰直角三角形，即可求出结果． (Ⅱ)由题意可知k BP =−k BQ ，设直线BP 的方程为：y =k(x −1)+32，与椭圆方程联立，求出点P ，Q 的坐标，再利用斜率公式即可证得直线PQ 的斜率为定值．本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)点A 的极坐标为(1,π)，转换为直角坐标为(−1,0)，所以直线l 的参数方程为{x =−1+tcosθy =tsinθ(t 为参数)，曲线C ：ρ=4cos(θ−π3)，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角坐标方程为(x −1)2+(y −√3)2=4．(Ⅱ)把直线的参数方程代入曲线C 的方程得到：t 2−(4cosθ+2√3sinθ)t +3=0， 所以t 1+t 2=4cosθ+2√3sinθ， t 1t 2=3，故1|AB|+1|AC|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=2√73，整理得2cosθ+√3sinθ=√7，故√7(√7√3√7=√7，令sinα=√7，cosα=√3√7，则sin(θ+α)=1，故α+θ=π2，所以tanθ=cotα=cosαsinα=√32．即直线l的斜率为√32．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出t的值．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数的关系式的变换的应用求出t的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤1−x即为|2x−1|≤1−x，可得x−1≤2x−1≤1−x，解得x≥0，且x≤23，则原不等式的解集为[0,23]；(Ⅱ)不等式f(x)+g(x)≥2x在区间(12,1)上恒成立，即为|2x−1|+|ax+1|≥2x，即2x−1+|ax+1|≥2x，也即|ax+1|≥1，x∈(12,1)，所以ax+1≥1或ax+1≤−1，即ax≥0或ax≤−2，可得a≥0或a≤−2x恒成立，由x∈(12,1)，可得−2x∈(−4,−2)，所以a≥0或a≤−4．即a的取值范围是(−∞,−4]∪[0,+∞)．【解析】(Ⅰ)由绝对值不等式的解法，可得所求解集；,1)，运用绝对值不等式的解法和不等式恒成(Ⅱ)原不等式等价为|ax+1|≥1，x∈(12立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年内蒙古呼和浩特市高考数学二调试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)z=|√3+i|，i为虚数单位，则z等于()A. 1−iB. 1+iC. 12−12i D. 12+12i2.设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,5}，则C U A=()A. {1,5}B. {3,4}C. {3,5}D. {1,2,3,4,5}3.已知sin(α+π4)=√23，则sinα⋅cosα=()A. −518B. 518C. 59D. −594.在△ABC中，BN=14BC，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ，则AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 14a⃗−34b⃗ B. 34a⃗−14b⃗ C. 14a⃗+34b⃗ D. 34a⃗+14b⃗5.某校学生可以根据自己的兴趣爱好，参加各种形式的社团活动．为了解学生的意向，校数学建模小组展开问卷调查并绘制统计图表如下：你最喜欢的社团类型是什么?——您选哪一项(单选)A体育类，如：羽毛球、足球、毽球等B科学类，如：数学建模、环境与发展、电脑等C艺术类，如：绘画、舞蹈、乐器等D文化类，如：公关演讲、书法、文学社等E其他由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为()A. 500，28.8°B. 250，28.6°C. 500，28.6°D. 250，28.8°6.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为()A. 5315B. 154C. 6815D. 2327.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.函数f(x)=tan(x+π6)的图象的一个对称中心是()A. (π3,0) B. (π4,0) C. (π2,0) D. (π6,0)9.已知函数f(x)=a⋅2x−1与函数g(x)=x3+ax2+1(a∈R)，下列选项中不．可．能．是函数f(x)与g(x)图象的是()A. B. C. D.10. 点P(1,0.7)与椭圆x 22+y 2=1的位置关系为( )A. 在椭圆内B. 在椭圆上C. 在椭圆外D. 不能确定 11. 已知函数f(x)={log 2x,x ≥2,log 2(4−x),x <2,若函数y =f(x)−k 有两个零点，则k 的取值范围是( )A. (−∞,2)B. (−∞,1)C. (2,+∞)D. (1,+∞) 12. 已知点A ，F ，P 分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若∠PFA =2∠PAF 恒成立，则双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. 1+√3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. ∫(103x 2−12)dx 的值是______ ．14. 将A ，B ，C 三个小球放入甲、乙两个盒子中，则A ，B 放入同一个盒子中的概率为________．15. 如图，在△ABC 中，AC =15，M 在边AB 上，且CM =3√13，cos∠ACM =3√1313，sin α=2√55(α为锐角)，则△ABC 的面积为____.16. 已知棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线AE 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 三棱柱ABC −A 1B 1C 1，平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，AA 1=AB =2，∠A 1AB =60°，AC =BC =√2，O ，E 分别是AB ，CC 1中点．(Ⅰ)求证：OE//平面A1C1B；(Ⅱ)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的大小．18.设数列{a n}的前n项和为S n，S n=1−a n(n∈N∗)．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n．(2)设b n=log2a n，求数列{1b n b n+119.已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1．(1)求曲线C的方程；(2)过点F且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，｜AB｜=8，求直线l的方程．20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩x−(同一组中数据用该组区间中点作代表)；(2)由直方图可认为考生竞赛成绩z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ，σ2分别取考生的平均成绩x−和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为ξ，求P(ξ≤3).(精确到0.001)附：①s2=204.75，√204.75=14.31；②z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<z<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<z<μ+2σ)=0.9544；③0.84134=0.501．21.已知函数f(x)=(x−m)lnx(m≤0)．(1)若函数f(x)存在极小值点，求m的取值范围；(2)证明：f(x+m)<e x+cosx−1．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4t,y =4t 2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ．(1)求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；(2)已知射线θ=α(0<α<π2)与C 1交于O ，P 两点，与C 2交于O ，Q 两点，且Q 为OP 的中点，求α．23. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾8-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，是基础题．利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．解：(1+i)z=|√3+i|=√3+1=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，故选：A．2.答案：B解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．根据补集定义求出A的补集即可．解：因为U={1,2，3，4，5}，集合A={1,2，5}，∴∁U A={3,4}，故选B．3.答案：A解析：本题考查两角和与差的三角函数公式，属于基础题．展开两角和的正弦，可得cosα+sinα=23，两边平方后得答案．解：由，得√22(cosα+sinα)=√23，即cosα+sinα=23，两边平方可得：1+2sinαcosα=49，∴sinαcosα=−518．故选A ．4.答案：D解析：本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，属于基础题．由向量的三角形法则以及数乘运算，向量的减法得出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =34a ⃗ +14b ⃗ 故选D ．5.答案：A解析：本题考查频率和扇形统计图中圆心角的度数的求法，考查条形统计图、扇形统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．根据调查结果条形图中选择A 的人数，结合调查结果的扇形统计图中选择A 的人数比例，求出接受调查学生的总人数，从而能求出选择D 的人数，再根据调查结果扇形统计图求出E 的圆心角度数． 解：设接受调查的学生的总人数为x ，由调查结果条形图可知：选择A 的人数为300，通过调查结果扇形统计图可知：选择A 的人数比例为15%，所以15%=300x ，解得x =2000，所以选择D 的人数为：2000×25%=500，扇形统计图中E 的圆心角度数为：(1−15%−12%−40%−25%)×360∘=28.8°．故选A ．6.答案：C解析：。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(2卷）文科一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ） A. ∅B. {–3，–2，2，3）C. {–2，0，2}D. {–2，2}2.（1–i ）4=（ ） A. –4 B. 4 C. –4iD. 4i3.如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A. 5B. 8C. 10D. 154.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名5.已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A. 2a b +B. 2a b +C. 2a b -D. 2a b -6.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ）A. 2n –1B. 2–21–nC. 2–2n –1D. 21–n –17.执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 58.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ） 5 2535D.4559.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A. 4B. 8C. 16D. 3210.设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D. 是偶函数，且在(0,+∞)单调递减11.已知△ABC 93且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ） 3B. 32C. 1 312.若2233x y x y ---<-，则（ ） A. ln(1)0y x -+>B. ln(1)0y x -+<C. ln ||0x y ->D. ln ||0x y -<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若2sin 3x =-，则cos2x =__________．14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．15.若x ，y 满足约束条件1121,x y x y x y +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，，则2z x y=+的最大值是__________．16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下述命题中所有真命题的序号是__________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.已知椭圆C 1：22221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点．过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：AA 1//MN ，且平面A 1AMN ⊥平面EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO =AB =6，AO //平面EB 1C 1F ，且∠MPN =π3，求四棱锥B –EB 1C 1F 的体积．21.已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围； （2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. [选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（II 卷）答案详解一、选择题1.（集合）已知集合A ={}3,x x x Z <∈，B ={}1,x x x Z >∈，则A B =A.∅B.{}3,2,2,3-- C.{}2,0,2- D.{}2,2-【解析】∵{}2,1,0,1,2A x =--，∴{2,2}A B =- .【答案】D2.（复数）41i -=（）A.－4 B.4C.－4iD.4i【解析】[]224221(1)244i i i i ⎡⎤=-=-=-⎣⎦-=（）.【答案】A3.（概率统计）如图，将钢琴上的12个键依次记为1a ,2a ,…,12a .设112i j k ≤<<≤.若3k j -=且4j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位大三和弦；若4k j -=且3j i -=，则称i a ,j a ,k a 为原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为A.5B.8C.10D.15【解析】原位大三和弦：1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===；共5个.原位小三和弦：1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===；共5个.总计10个.【答案】C4.（概率统计）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05。

志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A.10名B.18名C.24名D.32名【解析】该超市某日积压500份订单未配货，次日新订单不超过1600份的概率为0.95，共2100份，其中1200份不需要志愿者，志愿者只需负责900份，故需要900÷50＝18名志愿者.【答案】B5.（平面向量）已知单位向量a ,b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是A.2a b+ B.2a b+ C.2a b- D.2a b -【解析】解法一（待定系数法）：设()ma nb b +⊥，则有21()02ma nb b ma b nb m n +⋅=⋅+=+=，即2m n =-，故选D.解法二：2o(2)2211cos6010a b b a b b -⋅=⋅-=⨯⨯⨯-= ，故选D.特殊法：如图A5所示，画单位圆，作出四个选项的向量，只有2a b -与b 垂直.图A5【答案】D6.（数列）记n S 为等比数列{n a }的前n 项和.若5a －3a =12,6a －4a =24，则nnS a =A ．21n -B ．122n-- C.122n --D ．121n --【解析】设{}n a 的公比为q ，∵6453()1224a a a a q q -=-==，∴2q =，∵22253311(1)(1)1212a a a q a q q a -=-=-==，∴11a =，∴111111(1)2111=22222n n n n n n n n a q S q a a q -------==-=-.【答案】B7.（算法框图）执行右面的程序框图，若输入的k =0，a =0，则输出的k 为A.2B.3C.4D.5【解析】①输入00k a ==，，得211a a =+=，11k k =+=，10a >否，继续；②输入11k a ==，，得213a a =+=，12k k =+=，10a >否，继续；③输入23k a ==，，得217a a =+=，13k k =+=，10a >否，继续；④输入37k a ==，，得2115a a =+=，14k k =+=，10a >是，程序退出循环，此时4k =.【答案】C8.（解析几何）若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A．5B.5C.5D.5【解析】如图A8所示，设圆的方程为222()()x a y b r -+-=，∵圆过点（2,1）且与两坐标轴都相切，∴222(2)(1)a b r a b r ==⎧⎨-+-=⎩，解得1a b r ===或5a b r ===，即圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线230x y --=5或=5.图A8【答案】B9．（解析几何）设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的两条渐近线分别交于D ,E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】如图A9所示，双曲线C ：22221x y a b-=（a >0,b >0）的渐近线为b y x a =±，由题意可知，(,)D a b ，(,)E a b -，∴1282ODE S a b ab ∆=⋅==，∴焦距2248c ==≥⨯=，当且仅当a =等号成立.故C 的焦距的最小值为8.图A9【答案】B10.（函数）设函数331()f x x x =-，则()f x A.是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C.是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【解析】∵333311()()()()f x x x f x x x-=--=-+=--，∴()f x 是奇函数，243()3f x x x'=+，当x >0，()0f x '>，∴()f x 在(0,+∞)单调递减.【答案】A11.（立体几何）已知△ABC 是面积为4的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A B ．32C ．1D ．32【解析】由题意可知244ABC S AB ∆==，∴3AB =，如图A11所示，设球O 的半径为R ，则24π16πR =，∴2R =，设O 在△ABC 上的射影为O 1，则O 1是△ABC 的外接圆的圆心，故1232O A =⨯=，∴O 到平面ABC 的距离11OO ==.图A11【答案】C12.（函数）若2233x y x y ---<-，则A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+<C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【解析】2233xyxy---<-可化为2323xxyy---<-，设1()2323xxxxf x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由指数函数的性质易知()f x 在R 上单调递增，∵2323x x y y ---<-，∴x y <，∴0y x ->，∴11y x -+>，∴In(1)0y x -+>.【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。