全国2007年7月高等教育自学考试线性代数试题

重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年 第2学期一、 填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8． 已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性 无关 ；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为 大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、 简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。

三、 计算题（一）（8分/每小题，共24分）1． 计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。

全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 是3阶方阵，且|A |=21-，则|A -1|=（ A ） A ．-2 B ．21- C ．21 D ．22．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则=||A λ（ C ）A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ 3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T ，则必有（ A ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B B T -= D ．B =04．矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ D ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1111 5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001300010 6．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3A ．A 中的4阶子式都不为0B ．A 中存在不为0的4阶子式C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ，则秩(A )=（ B ）A ．0B ．1 C ．2 D ．39．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C ）A ．-2B ．-1C ．1D ．210．二次型),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．设矩阵A =⎪⎪⎫ ⎛1121，则行列式=||T AA __1__．13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T __5__． 32112=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1． 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6131的行向量组的秩=__2__．16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．17．已知方程组⎩⎨⎧=+-022121tx x 存在非零解，则常数t =__2__． 18．已知3维向量)1,3,1(-=α，)4,2,1(-=β，则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎝-541431．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=210121012的值．解：4)26(2123210121230210121012=+--=---=--=． 22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ． 23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A )=1；（2）秩(A )=2．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--900000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000090003121a ．（1）9=a 时，秩(A )=1；（2）9≠a 时，秩(A )=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组． 解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000014202611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0000142041222→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000014205802→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00002/12102/5401， 秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=362232203421),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1． 解：2)1)(2(31104)1(1630310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ， 特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13/13/51α； 对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003α．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1． 四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．本资料由广州自考网收集整理，更多自考资料请登录 下载考试必看：自考一次通过的秘诀！。

全国2012年10月自学考试线性代数试题请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩阵A 的秩。

选择题部分一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。

错涂、多涂或未涂均无分。

1．设行列式1122=1a b a b ，11221a c a c -=--，则行列式111222=a b c a b c -- A ．-1 B ．0C ．1D ．22．设矩阵123456709⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则*A 中位于第2行第3列的元素是A ．-14B ．-6C ．6D ．143．设A 是n 阶矩阵，O 是n 阶零矩阵，且2-=A E O ，则必有 A ．1-=A A B ．=-A E C ．=A ED ．1=A4．已知4×3矩阵A 的列向量组线性无关，则r (A T )= A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设向量组T T12(2,0,0),(0,0,-1)αα==，则下列向量中可以由12,αα线性表示的是A ．(-1，-1，-1)TB ．(0，-1，-1)TC ．(-1，-1，0)TD ．(-1，0，-1)T6．齐次线性方程组134234020x x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的基础解系所含解向量的个数为A.1B.2C.3D.47．设12,αα是非齐次线性方程组Ax =b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是A ．12αα-B ．12αα+C ．1212αα+D ．121122αα+8．若矩阵A 与对角矩阵111-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭D 相似，则A 2= A.EB.AC.-ED.2E9．设3阶矩阵A 的一个特征值为-3，则-A 2必有一个特征值为 A.-9 B.-3 C.3 D.910．二次型222123123121323(,,)222f x x x x x x x x x x x x =+++++的规范形为A ．2212z z -B ．2212z z + C ．21zD ．222123z z z ++二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.行列式123111321的值为______. 12.设矩阵011001000⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则A 2=______．13.若线性方程组12323323122(1)x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+=-⎩无解，则数λ=______．14.设矩阵43012110⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=A P ,则PAP 2=______.15.向量组T T 12,-2,2,(4,8,8)k αα==-（）线性相关，则数k =______. 16.已知A 为3阶矩阵，12,ξξ为齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则=A ______. 17.若A 为3阶矩阵，且19=A ，则-1(3)A =______． 18．设B 是3阶矩阵，O 是3阶零矩阵，r (B )=1,则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭E O B B 的秩为______．19．已知矩阵211121322⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，向量11k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α是A 的属于特征值1的特征向量，则数k =______.20.二次型1212(,)6f x x x x =的正惯性指数为______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式a ba b D a a b b aba b+=++的值．22．设矩阵100112210,022222046A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求满足方程AX =B T 的矩阵X ．23.设向量组123411212142,,,30614431αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求该向量组的秩和一个极大线性无关组.24．求解非齐次线性方程组123412341234124436x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪+++=⎨⎪+--=⎩.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.25．求矩阵200020002⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的全部特征值和特征向量．26．确定a ，b 的值，使二次型22212312313(,,)222f x x x ax x x bx x =+-+的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. 四、证明题（本题6分）27．设矩阵A 可逆，证明：A *可逆，且*11*--=（）（）A A ．全国2012年7月高等教育自学考试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 为三阶矩阵，且13A -=，则 3A -( )A.-9B.-1C.1D.92.设[]123,,A a a a =,其中 (1,2,3)i a i = 是三维列向量，若1A =，则[]11234,23,a a a a - ( )A.-24B.-12C.12D.243.设A 、B 均为方阵，则下列结论中正确的是（ ） A.若AB =0，则A=0或B=0 B. 若AB =0，则A =0或B =0 C ．若AB=0，则A=0或B=0 D. 若AB ≠0，则A ≠0或B ≠04. 设A 、B 为n 阶可逆阵，则下列等式成立的是（ ） A. 111()AB A B ---=B. 111()A B A B ---+=+ C ．11()AB AB-= D. 111()A B A B ---+=+5. 设A 为m ×n 矩阵，且m ＜n ，则齐次方程AX=0必 （ ） A.无解B.只有唯一解 C ．有无穷解 D.不能确定6. 设12311102103A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()r A = A.１ B.２ C.3 D.４7. 若A 为正交矩阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ） A. 1A -B.２A C ．A ²D. T A8.设三阶矩阵Ａ有特征值0、1、2,其对应特征向量分别为123ξξξ、、，令[]312,,2P ξξξ＝ 则1P AP -=（ ） A. 200010000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 200000001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．000010004⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ D. 200000002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦9.设A 、B 为同阶方阵，且()()r A r B =,则（ ） A.A 与B 等阶 B. A 与B 合同 C ．A B =D. A 与B 相似10.设二次型22212312123(,,)22f x x x x x x x x =+-+则f 是（ ） A.负定 B.正定 C ．半正定 D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 、B 为三阶方阵，A =4，B =5， 则2AB = 12.设121310A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ , 120101B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，则TA B 13.设120010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则1A - =14.若22112414A t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦且()2r A =,则t= 15.设1231120,2,2110a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则由 123,,a a a 生成的线性空间123(,,)L a a a的维数是16. 设A 为三阶方阵，其特征值分别为1、2、3，则1A E --=17.设111,21t a β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,且a 与β正交，则t = 18.方程1231x x x +-=的通解是19.二次型212341223344(,,,)5f x x x x x x x x x x x =+++所对应的对称矩阵是20.若00100A x =⎢⎥⎢⎥⎥⎥⎦是正交矩阵，则x =三、计算题 （本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22.设010111101A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦＝ 112053-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ＝ ,且X 满足X=AX+B,求X23.求线性方程组的123412345221.53223x x x x x x x x +=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩12x x 的通解，24.求向量组 (2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)====1234a a a a 的一个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组表示。

全国2018年7月自学考试线性代数试题课程代码：02198试题符号说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A －1表示矩阵A 的逆矩阵，秩（A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设A ，B ，C 是三个n 阶方阵，若AB ＝AC ，则必有（ ）A ．A ＝0B ．B ＝C C ．|B|＝|C|D ．|AB|＝|AC|2．设A ，B 都是n 阶方阵，且|A|＝－2，|B|＝1，则|A T B －1|＝（ ）A ．－2B ．－21 C ．21 D ．23．设A 为4×5矩阵，若矩阵A 的秩为3，则秩（－3A T ）为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设向量α＝（－1，2，－2，4），则下列向量是单位向量的是（ ）A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 5．二次型22212143x x )x ,x (f +=的规范形是（ ）A ．2221y y -B ．2221y y --C ．2221y y +-D ．2221y y + 6．设A 为5阶方阵，若秩（A ）＝4，则齐次线性方程组A x ＝0的基础解系中包含的解向量的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．向量空间W ＝｛（x 1,x 2,0,x 4）|x 1+x 2=0｝的维数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 8．设矩阵A ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321，则矩阵A 的伴随矩阵A *＝（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛12349．设矩阵A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4000330022201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设A 、B 分别为m×n 和m ×k 矩阵，向量组（Ⅰ）是由A 的行向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由（A ，B ）的行向量构成的向量组，则必有（ ）A ．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性无关B ．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性相关C ．若（Ⅰ）线性无关，则（Ⅱ）线性无关D ．若（Ⅱ）线性无关，则（Ⅰ）线性相关二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为3阶方阵，且2||=A ，则=-|2|1A （ D ） A ．-4 B ．-1 C ．1D ．44218||2|2|131=⨯==--A A． 2．设矩阵A =（1，2），B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ B ） A ．ACBB ．ABC C ．BACD ．CBA3．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） A ．A ＋A TB ．A －A TC ．AA TD ．A T A)()()(TTTTTTTA A A AA AA A --=-=-=-，所以A －A T为反对称矩阵．4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d cb a ，则A *=（ A ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a cb dB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c dC ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 5．矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0133的逆矩阵是（ C ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-13110D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--50043200101，则A 中（ D ） A ．所有2阶子式都不为零 B ．所有2阶子式都为零 C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性相关 B ．A 的列向量组线性无关 C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关Ax =0有非零解⇔n A r <)(⇔ A 的列向量组线性相关．8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为T )2,0,1(=α，T )3,1,1(-=β，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2，方程组的通解可表为（ C ） A ．k 1(1,0,2)T+k 2(1,-1,3)TB ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)TC ．(1,0,2)T+k (0,1,-1)TD ．(1,0,2)T+k (2,-1,5)TT )2,0,1(=α是Ax=b 的特解，T)1,1,0(-=-βα是Ax =0的基础解系，所以Ax=b 的通解可表为=-+)(βααk (1,0,2)T +k (0,1,-1)T ．9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（ B ） A ．4B ．3C ．2D ．1111111111)3(111111333111111111||-------=---------=---------=-λλλλλλλλλλλλA E)3(000111)3(2-=-=λλλλλ，非零特征值为3=λ．10．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ C ） A ．4B ．3C ．2D ．1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000011100001000000000011110001000100011111A ，秩为2． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．若,3,2,1,0=≠i b a i i 则行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零． 12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则行列式|A TA |=__4__．4)2(4321||||||||222=-====A A AA A TT ．13．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解，则其系数行列式的值为__0__．14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020101，矩阵E A B -=，则矩阵B 的秩r(B )= __2__． E A B -==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010100，r(B )=2． 15．向量空间V={x =(x 1,x 2,0)|x 1,x 2为实数}的维数为__2__．16．设向量)3,2,1(=α，)1,2,3(=β，则向量α，β的内积),(βα=__10__．17．设A 是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax =0只有零解，则矩阵A 的秩r(A )= __3__． 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→1)1(0021201321a a a A ，若方程组无解，则a 的取值为__0__． 0=a 时，2)(=A r ，3)(=A r ．19．设3元实二次型),,(321x x x f 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形是232221y y y -+．秩3=r ，正惯性指数2=k ，则负惯性指数123=-=-k r ．规范形是232221y y y -+． 20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-300021011a 为正定矩阵，则a 的取值范围是1<a ． 011>=∆，0121112>-=-=∆a a，0)1(33021113>-=-=∆a a ⇒1<a ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算3阶行列式767367949249323123． 解：0760300940200320100767367949249323123==． 22．设A =　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--523012101，求1-A ． 解：　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100010001523012101→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---103012001220210101→　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---127012001200210101 →　⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---12701200220210202→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----127115125200010002→　⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/510010001， =-1A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/112/71152/112/5． 23．设向量组T )1,2,1,1(1-α，T )2,4,2,2(2--α，T )1,6,0,3(3-α，T )4,0,3,0(4-α． （1）求向量组的一个极大线性无关组；（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合．解：=),,,(4321αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----4121064230210321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---4440000033000321 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000330044400321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110011100321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110000103021→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110000103001． （1）321,,ααα是一个极大线性无关组；（2）=4α32103ααα++-．24．求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++000543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11100011110011A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11101010010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--0101010010011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0101010010011，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-==--=55453225210x x x x x x x x x x ， 基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00011，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10101，通解为TTk k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(21--+-=η．25．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1221，求正交矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵． 解：)3)(1(324)1(1221||22-+=--=--=----=-λλλλλλλλA E ，特征值11-=λ，32=λ．对于11-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00112222A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，单位化为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==21211121||1111ααβ； 对于32=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-00112222A E λ，⎩⎨⎧==2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=112α，单位化为 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==21211121||1222ααβ．令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121P ，则P 是正交矩阵，使⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-30011AP P ． 26．利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00111α， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01012α．解：正交化，得正交的向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==001111αβ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=012/12/10011210101||),(1211222βββααβ； 单位化，得正交的单位向量组：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==002/12/1001121||1111ββp ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==06/26/16/1012/12/162||1222ββp ． 四、证明题（本大题6分）27．证明：若A 为3阶可逆的上三角矩阵，则1-A 也是上三角矩阵．证：设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33232213121100a a a a a a A ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==*-3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A ， 其中000332312=-=a a A ，0002213=-=a A ，00121123=-=a a A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-333222312111100||1A A A A A A A A 是上三角矩阵． 全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设A 是3阶方阵，且|A |=21-，则|A -1|=（ A ）A ．-2B ．21-C ．21 D ．22．设A 为n 阶方阵，λ为实数，则=||A λ（ C ） A ．||A λB ．||||A λC ．||A n λD ．||||A n λ3．设A 为n 阶方阵，令方阵B =A +A T，则必有（ A ） A ．B T =B B ．B =2A C ．B B T -=D ．B =0B AA A AA AA A BTTTT TTT T=+=+=+=+=)()(．4．矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111的伴随矩阵A *=（ D ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100101110C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0013000106．若向量组)0,1,1(1+=t α，)0,2,1(2=α，)1,0,0(23+=t α线性相关，则实数t =（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．30)1)(1(2111)1(1021011222=-+=++=++t tt ttt ⇒1=t ．7．设A 是4×5矩阵，秩(A )=3，则（ D ） A ．A 中的4阶子式都不为0 B ．A 中存在不为0的4阶子式 C ．A 中的3阶子式都不为0D ．A 中存在不为0的3阶子式8．设3阶实对称矩阵A 的特征值为021==λλ，23=λ，则秩(A )=（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3A 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200000000D ，秩(A )= 秩(D )=1． 9．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式=||2A （ C ） A ．-2B ．-1C ．1D ．2A 为正交矩阵，则E A A T =，==22||||A A 1||||||==A A A A T T ．10．二次型2.2),,(y x z y x f -=的正惯性指数p 为（ B ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1121，则行列式=||TAA __1__． 1)1(1121||||||||22=-====A AA AATT．12．行列式1694432111中)2,3(元素的代数余子式=32A __-2__．2421132-=-=A ．13．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21，则=B A T__5__．521)2,1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A T．14．已知βααα=+-32125，其中)1,4,3(1-=α，)3,0,1(2=α，)5,2,0(-=β，则=3α⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,1,1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=+---=211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213α 15．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-613101的行向量组的秩=__2__． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-613101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-603001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-003001，秩=2． 16．已知向量组)1,1,1(1=α，)0,2,1(2=α，)0,0,3(3=α是3R 的一组基，则向量)3,7,8(=β在这组基下的坐标是)1,2,3(．设332211αααβx x x ++=，即)0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x ++=，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++37283121321x x x x x x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===123321x x x ． 17．已知方程组⎩⎨⎧=+-=-0202121tx x x x 存在非零解，则常数t =__2__．02211=-=--t t，2=t ．18．已知3维向量T )1,3,1(-=α，T )4,2,1(-=β，则内积=),(βα__1__．19．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛x 01010101的一个特征值为0，则x =__1__． 0|0|=-A E ，所以0||=A ，即0111101010101=-==x xx，1=x ．20．二次型323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--541431112． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D=2112112的值． 解：4)26(2123211212302112112=+--=---=--=．22．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3512，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛0231，求矩阵方程XA =B 的解X ． 解：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=252610022501101220016101210013512),(E A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→25131001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-26512251302311BA X ．23．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a 363124843121，问a 为何值时，（1）秩(A )=1；（2）秩(A )=2． 解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a 363124843121→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--90000003121a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00090003121a ． （1）9=a 时，秩(A )=1；（2）9≠a 时，秩(A )=2．24．求向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛626，4α=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-542的秩与一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--565142312611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3126028402611→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--142014202611→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00014202611， 秩为2，1α,2α是一个极大线性无关组．25．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++362232234232132321x x x x x x x x 的通解．解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=362232203421A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322032203421→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00032203421→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00032200201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/31100201，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=333231232x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11202/30k ．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1630310104A ，求可逆矩阵P 及对角矩阵D ，使得D AP P =-1． 解：2)1)(2(31104)1(163310104||-+=--+-=-----+=-λλλλλλλλλA E ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-00013050300013001531300000511210510513630510102A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0003/1103/501，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=3332313135x x x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13/13/51α；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000000210210210210630210105A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==-=3322212x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0122α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1003α． 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=101013/1023/5P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010002D ，则P 是可逆矩阵，使D AP P =-1． 四、证明题（本大题6分）27．设向量组1α,2α线性无关，证明向量组211ααβ+=，212ααβ-=也线性无关． 证：设02211=+ββk k ，即0)()(212211=-++ααααk k ，0)()(221121=-++ααk k k k ．由1α,2α线性无关，得⎩⎨⎧=-=+002121k k k k ，因为021111≠-=-，方程组只有零解，所以1β,2β线性无关．全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ D ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3222111c b a c b a ++=2211b a b a +2211c a c a =1+2=3．2．设A 为3阶方阵，且已知2|2|=-A ，则=||A （ B ） A ．-1B ．41-C ．41 D ．12|2|=-A ，2||)2(3=-A ，41||-=A ．3．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则=T ABC )(（ B ） A ．A T B T C TB ．C T B T A TC ．C T A T B TD ．A T C T B T4．设A 为2阶可逆矩阵，且已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-4321)2(1A ，则A =（ D ） A ．2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321B ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121C ．214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛D ．1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4321)2(1A ，143212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A ，1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ．5．设向量组s ααα,,,21 线性相关，则必可推出（ C ） A ．s ααα,,,21 中至少有一个向量为零向量 B ．s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合D ．s ααα,,,21 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合6．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是（ A ） A ．A 的列向量组线性无关 B ．A 的列向量组线性相关 C ．A 的行向量组线性无关D ．A 的行向量组线性相关Ax=0仅有零解⇔n A r =)(⇔ A 的列向量组线性无关．7．已知21,ββ是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，21,αα是其导出组Ax =0的一个基础解系，21,C C 为任意常数，则方程组Ax =b 的通解可以表为（ A ） A ．)()(212121121ααC αC ββ++++B ．)()(212121121ααC αC ββ+++-C ．)()(212121121ββC αC ββ-+++D ．)()(212121121ββC αC ββ+++-)(2121ββ+是Ax =b 的特解，211,ααα+是Ax =0的基础解系．8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2,2,3，则=-||1B （ A ） A ．121B ．71C ．7D ．12B 相似于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020002，1230020002||==B ，121||||11==--B B ．9．设A 为3阶矩阵，且已知0|23|=+E A ，则A 必有一个特征值为（ B ） A ．23-B ．32-C ．32D ．230|23|=+E A ⇒032=--A E ⇒A 必有一个特征值为32-．10．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为（ C ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421B ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010421C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102011211D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120211011二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310120001，则A+2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛720252023． 12．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛002520310，则=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--002/1130250． →),(E A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********200→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001100010200053021→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00113001020010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00113025020010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250100010001，=-1)(T A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--002/1130250．13．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333022001，则A *A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛600060006． ==*E A A A ||⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==6000600066333022001E E ． 14．设A 为m ×n 矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，则矩阵B =AC 的秩为__r__． B =AC ，其中C 可逆，则A 经过有限次初等变换得到B ，它们的秩相等． 15．设向量)1,1,1(=α，则它的单位化向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛31,31,31． 16．设向量T )1,1,1(1=α，T )0,1,1(2=α，T )0,0,1(3=α，T )1,1,0(=β，则β由321,,ααα线性表出的表示式为3210αααβ-+=．设332211αααβk k k ++=，即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001011111110321k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧==+=++110121321k k k k k k ， ⎪⎩⎪⎨⎧-===101321k k k ．17．已知3元齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+0320320321321321x x x ax x x x x x 有非零解，则a =__2__．02412141121200132132111=-=+=+=-a a a a ，2=a ．18．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则1)2(-A 必有一个特征值为41．2=λ是A 的特征值，则41)2(1=-λ是1)2(-A 的特征值．19．若实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛a aa 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足30<<a ．031>=∆，031322>-==∆aaa ，0)3(00010323>-==∆a a aaa ⇒30<<a ．20．二次型2221212122),(x x x x x x f -+=的秩为__2__．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301112111112A ，秩为2． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．求4阶行列式1111112113114111的值．解：630102010011000100010011020130011111112113114111===．22．设向量)4,3,2,1(=α，)0,2,1,1(-=β，求（1）矩阵βαT ；（2）向量α与β的内积),(βα．解：（1）()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=08440633042202110,2,1,14321βαT ；（2）50621),(=++-=βα． 23．设2阶矩阵A 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21211b ba a A ，对于矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10211P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01102P ，令21AP P B =，求1-B．解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-102111P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-011012P ， 111121----=P AP B=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121b b a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121a ab b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1021=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--12112122a a a b b b ．24．求向量组T )3,1,1,1(1=α，T )1,5,3,1(2--=α，T )4,1,2,3(3-=α，T )2,10,6,2(4--=α的秩和一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----24131015162312311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------85401246041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------070070041202311→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------000070041202311， 秩为3，321,,ααα是一个极大线性无关组．25．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x ．（1）问a 为何值时，方程组有无穷多个解；（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2112113111aa a A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----a a a a a 11010103111，1=a 时，方程组有无穷多解；（2）1=a 时，A →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000002111，⎪⎩⎪⎨⎧==---=33223212x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101100221k k ． 26．求矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------011101110的全部特征值及对应的全部特征向量． 解：10010111)2(1111111)2(1212112111111||--+=+=+++==-λλλλλλλλλλλλλλλA E)2()1(2+-=λλ，特征值21-=λ，132==λλ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-000330211330330211112121211211121112A E λ ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000110101000110211，⎪⎩⎪⎨⎧===333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α，对应的全部特征向量为αk （k 是任意非零常数）；对于132==λλ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000111111111111A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧==--=3322321x x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0111α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1012α，对应的全部特征向量为2211ααk k +（21,k k 是不全为零的任意常数）． 四、证明题（本大题6分）27．设A 是n 阶方阵，且0)(2=+E A ，证明A 可逆．证：由0)(2=+E A ，得022=++E A A ，E A A =+-)2(2，E A E A =+-)2(．所以A 可逆，且)2(1E A A +-=-．全国2008年1月自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）参考答案课程代码:-、单项选择题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分） 1.设A 为3阶方阵，且|A| = 2，则|2A 」卜(D ) A . -4B . -11311|2A| = 23|A| =84 .Ax=0有非零解：二r （A ） :: A 的列向量组线性相关.8 .设3元非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解为。

=（1,0,2）T , P =（1,一1,3）T ，且系数矩阵A 的秩r （A ）=2 ,意常数k, k 1, k 2,方程组的通解可表为（ C ） A . k 1（1,0,2）T +k 2（1,-1,3）TB . （1,0,2）T +k （1,-1,3）T041842 .设矩阵 A= (1, 2), B=A . ACBB . ABC（1 I 42323，则下列矩阵运算中有意义的是（5 6C . BACCBA3.设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（TTTA . A + AB . A - AC . AA■a b )*设2阶矩阵A= I ，则 A = ( A)l c d丿(d—b \f-d c 、(-d b 、(d —c \iB .C .D .i<_c a丿b~aJ< c~a)(—ba丿3 -10 -n i-3"i巾-1 'A''1、1 - A .B .C .14 D .33丿I 13丿G 1丿I-1 0 丿设矩阵A=-2A .所有2阶子式都不为零B .所有 2阶子式都为零C .所有3阶子式都不为零D .存在一个3阶子式不为零7 .设A 为mxn 矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是A . A 的列向量组线性相关B . A 的列向量组线性无关C . A 的行向量组线性相关D . A 的行向量组线性无关则对于任(A-A T )T 二A T -(A T )T 二 A T — A = -(A-A T )，所以 A - A T 为反对称矩阵.A.)矩阵4 .3的逆矩阵是（1 -1精品文档C . (1,0,2)T +k (0,1,-1)TD . (1,0,2)T +k (2,-1,5)T为鳥 k(： - 一)=(1,0,2)T +k (0,1,-1)T .行成比例值为零.:-(1,0,2)T 是 Ax=b 的特解，：•---(0,1,-1)T 是 Ax=0 的基础解系,所以 Ax=b 的通解可表A . 4B . 3C . 2D . 1人-1-1 -1 3 九一3九一31 1 1| ZE — A|=-1 Z-1 -1=-1 九-1 -1 =仏—3) —1^—1 -1-1-1人—1-1-1 K-1-1 -1 丸—1I 1 11 1 11 1 1 1、■0 1 1 1、1 0 0 0、1 0 0 0 T 1 0 0 0T 0 1 1 1 1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0丿e 0 0 °」<00 0丿 C . B . 3 2，秩为2. A 二10小题，每小题（本大题共1、1的非零特征值为（19 .矩阵A= =（九一3）-3），非零特征值为 ■ =3 .10. 4元二次型 f (X 1,X 2,X 3,X 4)-2x 1x 2 - 2x 1x 3 - 2x 1x 4 的秩为共20分）二、填空题 11 .若 a i b i -0,i =1,2,3,则行列式a 1b 1 a 2b 1a 3b 1 a 1b 2 a 2b 2&3匕ag a 2b 3 &3匕12•设矩阵A=则行列式 |AT A|=__4__. |A TA 円 A T ||A 冃 A| 2*2)2 =4 .13.若齐次线性方程组811X 1 ' 812X 2 ' 813X 3 — 072^+822X2+823X 3=0有非零解，则其系数行列式的值为 031x 1+a 32x 2 +a 33x3 =°14.设矩阵A=10，矩阵B=A —E ，则矩阵B 的秩r （B ）= 1」15 .向量空间 V={ X=(X 1,X 2,0)|X 1,X 2为实数}的维数为__2__ .16•设向量 a =(1,2,3) , P =(3,2,1)，则向量 J B 的内积(a ,B )= _10_ 17 •设A 是4X 3矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0只有零解，则矩阵 A 的秩18 .已知某个3元非齐次线性方程组 Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为:广0 B=A —E = 0 <0 0 1 ?1 0 , r(B)=2.0 0』r(A)= __3_-2-1，若a(a -1) 方程组无解，则 a 的取值为_0_.a =0时，r(A) =2 ,r(A) =3 .19 .设3元实二次型 f (X 1 , X 2 , X 3 )的秩为3,正惯性指数为2,则此二次型的规范形是 2-y 3.秩r =3，正惯性指数k =2，则负惯性指数r -k =3-2 =1 '1120.设矩阵A= 12 —a e 00、0为正定矩阵，则a 的取值范围是 .3丿 —-1 =1 0,-212 —a1 02 — a 0 =3(1 -a)>0 二 av1 .3三、计算题(本大题共 6小题，每小题9分，共54 分)123 23 321 .计算3阶行列式 249 49 9367 677123 23 3解： 249 49 9 =367 67 7「1 0 1 1 0 0『11 1 00 '「10 1 1 0 0210 0 1 0 T 01 -2 -2 1 0 T 0 1 -2 -2 1 0 L3 2 -5 0 0 h<0 2 -2 3 0 h27-2 b'20 2 2 00、'2 0 0-5 2 -1、 1 0 0 —5/2 1-1/2"T 0 1-2 -2 1 0 T 0 1 0 5 -1 1 T 0 1 0 5 -1 127-2 1」Q 0 27-21」0 1 7/2 -1 1/2丿100 20 3 200 40 9 =0 .300 60 71 022. 设A=-3 2 -5求A ，解:解: ■ -1I 入E — A|=-2-2咒T -（咒_^1） ―'4= ■ $ - 2咒―3 = '_1）^ ―3），特征值，1 = -1 ,对于‘1 =「1，解齐次线性方程组（E - A ）x =0 :足一A =「2 一2}]1* ,1—2 -2丿 e 0 丿，X"| =_X 2X 2 =X2'基础解系为单位化为二k 1（-1,1,0,0,0）T k 2（-1,0,-1,0,1）T •25•设矩阵A 」1 2求正交矩阵P ,使P’AP 为对角矩阵.€ 1丿广_5/2 1 —1/2 A 」= 5 -1 1 7/2-11/223•设向量组：1（1,一1,2,1）丁 , :- 2（2,一2,4,一2）丁 , : 3(1)求向量组的一个极大线性无关组;(2)将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.<12 3 0、「1 23 0、 -1 -2 03T0 0 332460 0 0 0 0-2 -1 -4>e-4-4 一4丿1 2 3 0、巾 2 3 0、广1 2 0 -3"1广10 0 -3"0 -4 -4 -4T11 1T0 1 0 0 T0 1 00 0 0 3 30 0 1 1 0 0 110 0 1 1e 0丿1° 0 0 0丿1° 0 0」<0 0 0丿24 •求齐次线性方程组X 1 x 2X 1 X 2 - X 3X 3 X 5 =0=0的基础解系及通解.=01 1 0 0 1、1 10 0 1、1 10 0 1、 解：A = 1 1 -1 0 0 T0 0 -1 0 -1 T 0 0 -1 0 -1e 011 b<0 0 1 11>1。

全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵；r (A )表示矩阵A 的秩；| A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6D.122.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 20 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120C.120D.1803.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21B.2C.4D.84.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关 B.α1，α2，α3，α4线性相关 C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示5.若A 为6阶方阵，齐次线性方程组Ax =0的基础解系中解向量的个数为2，则r (A )=( ) A.2 B.3 C.4D.56.设A 、B 为同阶方阵，且r (A )=r (B )，则( ) A.A 与B 相似 B.| A |=| B | C.A 与B 等价D.A 与B 合同7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.248.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( )A.A 与B 等价B.A 与B 合同C.| A |=| B |D.A 与B 有相同特征值9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2D.410.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

全国 2010 年 7 月高等教育自学考试试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵 A 的转置矩阵； A * 表示 A 的陪伴矩阵； R(A)表示矩阵 A 的秩； |A|表示 A 的行列式； E 表示单位矩阵。

1.设 3 阶方阵 A=[ α 1， α 2， α 3] ，此中 α i (i= 1,2,3) 为 A 的列向量， 若 |B |=|[α 1 +2α 2， α 2， α 3]|=6 ，则 |A|=（）A.-12B.-6C.6D.123 0 2 02．计算队列式2 105 0 ）D.1800 02 （2 3233．设 A= 12，则 |2A *|=（）D.83 44.设 α 1，α 2 ，α 3， α 4 都是 3 维向量，则必有A. α ， α ， α ， α 线性没关B. α ，α ， α ， α 线性有关12341 2 34C. α 1 可由 α 2，α 3 ， α 4 线性表示D. α 1 不行由 α 2 ，α 3， α 4 线性表示 5．若 6．设7．设8．若A 为 6 阶方阵，齐次线性方程组Ax=0 的基础解系中解向量的个数为2，则 R(A)=（ ） A ． 2A 、B 为同阶矩阵，且 R(A )=R(B)，则（ ） A ． A 与 B 相像 B ． |A |=|B |C ． A 与 B 等价A 为 3 阶方阵，其特点值分别为 2，l ，0 则 |A +2E |=（ ） A ． 0B ． 2C ． 3D ． 24 A 、 B 相像，则以下说法错误 的是（ ）A ．A 与 B 等价 B ． A 与 B 合同 C ．|A |=|B | D ．A 与．．B 3C ． 4D ．5D ．A 与 B 合同B 有同样特点9．若向量 α =(1， -2，1) 与β = (2 ， 3， t)正交，则 t=（ ）A ．-2 B ．0C ．2D ．410．设 3 阶实对称矩阵 A 的特点值分别为 2， l ， 0，则（）A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题 (本大题共 10 小题 ,每题 2 分，共 20 分 )请在每题的空格中填上正确答案。

2007 04184 10 20 A 2|| A |2|1A D-4B -1C 1D 44218||2|2|131 A A A B = 4321 C =654321 BACB ABC BACCBAA n BA A TA A T AA TA T A )()()(T T T T T T T A A A A A A A A A A T 4 A =d c b a A * Aa cb d B a bcd Ca cb d Da b c d0133 C3310 B 3130 C 13110 D01311 A =500043200101 A D BDA m×n Ax =0 A AB A A D AAx =0 n A r )( AAx=b T )2,0,1(T )3,1,1( A r(A )=2k , k 1, k 2 Ck 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B (1,0,2)T +k (1,-1,3)T (1,0,2)T +k (0,1,-1)T D (1,0,2)T +k (2,-1,5)TT )2,0,1( Ax=b T )1,1,0( Ax =0 Ax=b )( k (1,0,2)T +k (0,1,-1)TA =111111111 B4B 3C 2D 1111111111)3(111111333111111111||A El i w.t r a c k e r -s o f tw a r e C ck t o b u y NOW !w w.co m10 413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f C4B 3C 2D 1000000001110000100000000000111100001000100011111A10 2011 ,3,2,1,0 i b a i i 332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__ 12 A =4321 |A T A |=__4__ 4)2(4321||||||||222A A A A A T T1300333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a __0__14 A =100020101E A B B r(B )= __2__ E A B =000010100 r(B )=215 V={x =(x 1,x 2,0)|x 1,x 2 __2__ 16 )3,2,1()1,2,3( ),( =__10__17 A 4×3 Ax =0 A r(A )= __3__18 Ax =b A1)1(0021201321a a a A a __0__0 a 2)( A r 3)( A r19 ),,(321x x x f 232221y y y3 r 2 k 123 k r 232221y y y20 A =300021011a a 1 a54217673679492493231230760300940200320100767367949249323123 22 A =523012101 1A100010001523012101103012001220210101127012001200210101 127012002200210202 1271151252000100022/112/71152/112/5100010001 1A2/112/71152/112/5 23 T )1,2,1,1(1 T )2,4,2,2(2 T )1,6,0,3(3 T)4,0,3,0(4),,,(4321 41210642302103214440000033000321 0000330044400321 0000110011100321 00001100001030210000110000103001321,, 4 321032400543321521x x x x x x x x x111000*********A 11100101001001101000101001001101000101001001155453225210x x x x x x x x x x 0001110101T T k k )1,0,1,0,1()0,0,0,1,1(2125 A =1221 P AP P 1)3)(1(324)1(1221||22A E11 3211 0)( x A E00112222A E 2221x x x x11121211121||1111 32 0)( x A E00112222A E 2221x x x x11221211121||122221212121P P30011AP P 26 0011101012001111012/12/10011210101||),(1211222l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co m00 0027 A 1A332322131211000a a a a a a A3323133222123121111||1||1A A A A A A A A A A A A A 000332312a a A 00002213 a A 000121123 a a A3332223121111||1A A A A A A A A 2007 10 0418410 20 2211b a b a =1 2211c a c a =2 222111c b a c b a D -3B -1C 1D 3222111c b a c b a =2211b a b a +2211c a c a =1+2=3 A 2|2| A ||A B -1B 41C41 D 12|2| A 2||)2(3 A 41|| AA B C TABC )( B A T B T C T B C T B T A T C T A T B T D A T C T B TA4321)2(1A A D 2 4321B 432121C 214321 D 14321214321)2(1A 143212 A 1432121A s ,,,21 C s ,,,21 s ,,,21s ,,,21 s ,,,21A m×n Ax= A AB AA D AAx= n A r )( A21, Ax =b 21, Ax =0 1,C Ax =b A)()(212121121 C C B )()(212121121 C C )()(212121121 C C D )()(212121121 C C)(2121 Ax =b 211, Ax =0 A B A 2,2,3 ||1B A121B 71C 7D 12B300020002 12300020002|| B 121||||11 B BA 0|23| E A AB 23B 32C 32D 230|23| E A 032 A E A 3210312123222132142),,(x x x x x x x x x x f C104012421 B 100010421 C 102011211 D 12021101110 2011 A = 100012021 B = 310120001 A+2B =72025202312 A =002520310 1)(T A 002/1130250 ),(E A T10001000105302120000110001020*******001130010200010021001130250200010001002/1130250100010001 1)(T A002/1130250 13 A = 333022001 A *A =600060006l i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC c k t ob uy NOW !w w .co m14 A m ×n C n A B =AC __r__B =AC C A B15 )1,1,1(31,31,31 16 T )1,1,1(1T )0,1,1(2 T )0,0,1(3 T )1,1,0( 321,,3210332211 k k k 001011111110321k k k110121321k k k k k k101321k k k 17320320321321321x x x ax x x x x x a =__2__02412141121200132132111a a a a 2 a18 A n A 1)2( A41 2 A 41)2(11)2( A 19 A =a a a 000103 a 30 a031 031322a a a0)3(00010323 a a aa a 30 a 202221212122),(x x x x x x f __2__301112111112A54211111112113114111630010201001100010001001102013001111111211311411122 )4,3,2,1()0,2,1,1( T ),(08440633042202110,2,1,14321 T50621),(23 A 21211b b a a A10211P 01102P 21AP P B 1B102111P011012P 111121P A P B =0110 2121b b a a 1021=2121a a b b 1021=12112122a a a b b b 24 T )3,1,1,1(1 T )1,5,3,1(2 T )4,1,2,3(3 T )2,10,6,2(4),,,(432124131015162312311 854012460412023110700070041202311 0000070041202311 0000010041202311 000001004020201100000100201020110000010020100001 321,,25223321321321ax x x x ax x a x x xa2112113111),(a a a b Aa a a a a 110010103111 1 a1 a ),(b A 00000000211133223212x x x x x x x10101100221k kl i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt ob uy NOW !w w.c o m26 A =011101110 110111)2(1111111)2(1212112111111||A E)2()1(221 132 21 0)( x A E000330211330330211112121211211121112A E000110101000110211333231xx x x x x 111 k k132 0)( x A E000000111111111111A E3322321x x x x x x x0111 10122211 k k 21,k k27 A n 0)(2 E A A0)(2E A 022 E A A E A A )2(2 E A E A )2(A )2(1E A A2007 0418410 20A |A |=21|A -1|= A -2 B 21 C21D 2A n ||A C||AB ||||AC ||A nD ||||A nA nB =A +A T A B T =BB B =2AB BTD B =0B A A A A A A A A B T T T T T T T T )()(A =1111 A * D1111 B 1111 C 1111 D 1111 Cl i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m0001 B100101110 C101010001 D001300010)0,1,1(1 t )0,2,1(2 )1,0,0(23 ttBB 1C 2D 30)1)(1(2111)1(1021011222 t t t t t t 1 tA 4×5 (A )=3 DA 0B A A 0 D A A 021 23 (A )= B 0B 1C 2D 3A200000000D (A )= (D )=1 A n ||2A C -2B -1C 1D 2A E A A T22||||A A 1|||||| A A A A TT10 2.2),,(y x z y x f p BB 1C 2D 310 20 11 A =1121 ||TAA __1__ 1)1(1121||||||||22A A A AA T T121694432111 )2,3( 32A __-2__2421132A13 A =21 B =21 B A T__5__ 521)2,1(B A T1432125 )1,4,3(1 )3,0,1(2 )5,2,0( 3211,1,1211,1,1)11,2,2(21)]3,0,1(5)1,4,3()5,2,0[(213 l i w.t r a c k e r -s o f t w a r e C ck t o b u y NOW !w w.co m15 A =613101 =__2__ 613101 603001003001 =2 16 )1,1,1(1 )0,2,1(2 )0,0,3(3 3R )3,7,8()1,2,3(332211 x x x )0,0,3()0,2,1()1,1,1()3,7,8(321x x x37283121321x x x x x x123321x x x 170202121tx x x x t =__2__02211 t t2 t18 T )1,3,1(T )4,2,1( ),( __1__19 A =x 01010101 x =__1__A 0|| A 0111101010101 x xx1 x20 323121232221321822532),,(x x x x x x x x x x x x f541431112 5421 D=2101210124)26(21232112123021012101222 A = 3512 B =0231 XA =B X252610022501101220016101210013512),(E A25131001 25131A 26512251302311BA X l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m23 A =a 363124843121 a (A )=1 (A )=2 a 363124843121 900000003121a000090003121a 9 a (A )=1 9 a (A )=224 1 = 111 2 = 531 3 = 626 4 =542),,,(4321 565142312611 3126028402611142014202611000014202611 0000142041222 00001420580200002/12102/5401 1 ,225362232234232132321x x x x x x x x 362232203421),(b A 322032203421 000032203421000032200201 00002/31100201 333231232x x x x x x11202/30k261630310104A P D D AP P 1 2)1)(2(31104)1(1630310104|| A E21 13221 0)( x A E00013050300013001531300000511210510513630510102A El i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m000333x x 1 132 0)( x A E0000000210210210210630210105A E3322212x x x x x x0122 1003101013/1023/5P 100010002D P D AP P 127 1 ,2 211 21202211 k k 0)()(212211 k k 0)()(221121 k k k k1 ,2002121k k k k 021111 1 ,2365, !2008 0418410 201. ,2 AA A T 3 D A.-108 B.-12 C.12 D.1082.0404033232321kx x x x x kx x k= B A.-2 B.-1 C.1 D.23. DA.AB=BAB.111B A B AC.BA B A D.T T T B A B A4.,2 A*A C A.2 B.4 C.8 D.125.1 =2 = ( B )A. B. -3 C. D. 0,-1,06. 1 2 s s(s 2 C A. 1 2 s B. 1 … sC. 1 …D. 1 … s7. m n AX=0 C A.A B.A C.A D.A8. D A.BA B.C. P-1AP=BD. E-A= E-B9. A=200010001 A A.100020001 B.200010011 C.200011001 D. 100020101 10.,x x x )x ,x ,x (f 232221321 )x ,x ,x (f 321 C A. B. C. D.10 2011.,0211k k=_______1/2____.12. A=411023,B=,010201 AB=___326010142________.13. A=220010002, A-1=2110010002114. 33 A x=0 (A)= _____1______. 15. -2, B=A 2+2E ___6_________.l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m16. 0x x x 321 _____ __ c 1 011_+__ c 2 _101_.17. 1 =(1,0,0) 2 =(1,1,0), 3 =(-5,2,0) _______2____.18. A=200020002 112233c c c . 19. -2,1,1,B2=__-16_________.20. A= 3010121212221231213342x x x x x x x . 5421.1002210002100021 .1002210002100021=151500021000210002122. A=101111123 A 1 . A1=211211102112123. A=200200011,B=300220011 A,B,X (E-B 1 A).E X B T T X,X .1 (E-B1A).E X B T T()T TB A E X X= ()T TB A 1 =10021002001l i w.t ra ck e r -s o f t w ar eC ck t ob uy NOW !w w .co mX 1 =()T T B A =20002000124. 1 =(1,-1,2,4) 2 =(0,3,1,2), 3 =(3,0,7,14), 4 =(2,1,5,6), 5 =(1,-1,2,0) .10321103011301101101217520001142146000001 2 425.12x x 3x 3x 4x 523x 6x 2x 2x 2x 3x x x 2x 37x x x x x 54321543254321543211111171001516321132000000012262301026235433112001000145245351623260X X X X X X X12(16,23,0,0,0)(15,21,0,1,0)(11,17,0,0,1)T T T k k26. A=020212022 AP P 1 . AP P 1 =400010002 P=122212221 1 P =T P 122212221,627. 3 A x =0 . 1+ 1 + 2 + Ax =02008 0418410 20l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co mD 1=620222555333231232221131211333131232121131111D a a a a a a a a a a a a a a a a a ad b a 04=32c b a C 3,1,1,3 d c b aB 3,1,3,1 d c b a 3,0,1,3 d c b aD 3,0,3,1 d c b a 3,0,4,2 d c b a b a 3,0,1,3 d c b aA A B000000111 B 000110111 C 000222111 D 333222111A n 2 n |5|A A||)5(A n||5A C ||5A ||5A nA = 4321||A B -4B -2C 2D 424321||||||121A A A ns ,,,21 2 s D s ,,,21 s ,,,21s ,,,21 1 ss ,,,21 1 s b Ax A 1 ,2 ,3 T )4,0,2(21 T )1,2,1(31k b Ax D T T k )1,2,1()2,0,1(B T Tk )4,0,2()1,2,1(T Tk )1,2,1()4,0,2( D TT k )3,2,1()2,0,1(b Ax T)2,0,1()(21210 Ax T )3,2,1()()(312132 A 2,1,1 D A E B A E C A E 2D A E 2 2 A 0|2| A E A E 2=2 A 12)( A A41 B21C 2D 41B 2C 3D 400001100001000011100110000100001A10 2011332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__ 12 A =4321 P = 1011 T AP4723 T AP 43211101=4723 13 A =111110100 1A 001011110100010001111110100 001010100100110111 001011101100010011001011110100010001 14 A =54332221t Ax =0 t =__2__02121412014022154332221|| t t t t A 2 t15 2111 1212113t t =__-2__11212111t 123013011t t t 20013011t t t 2 t 16 T )3,0,1,2(T k ),1,2,1( k =322),( 23022 k 3/2 k17 Tb21,21, b =__0__18 =0 A =222222A __4__ 021 220321 4319 32212322213212452),,(x x x x x x x x x x f510122021 20232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f k 2 k020101k k k211k k k 2 k 5421 D =400103010021111122021*******11122002100111011113110121011101111400103010021111122 A = 210011101 B =410011103A 1A B AX100010001210011101 100011001210110101111011001100110101111122112100010001 111122112100010001 1 A =111122112B A X 1111122112 410011103=322234225 23 )1,1,1,1( )1,1,1,1( TA 2ATA =)1,1,1,1(1111 11111111111111112A = 111111*********1 1111111111111111=4444444444444444 24 T)4,2,1,1(1 T )2,1,3,0(2 T )14,7,0,3(3 T )0,2,1,1(401424271210311301),,,(4321 42200110033013012110011001101301 200000000110130110000000011013010000100001101301 421,, 34210325ax x x x x x x x 32132131522312a),(b A a 51223111201 211011101201a300011101201a 3 a 3 a3 a ),(b A 000011101201333231121x x x x x x 112011k26 A =2178 A A P AP P 1)9)(1(9102178||2A E 11 92 11 0)( x A E00111177A E 2221x x x x11111 k 1k92 0)( x A E00717171A E 22217x x x x17222 k 2k1171P 9001 P AP P 1l i w.t r a c k e r -s o f t wa r e C ck t o b u y NOW !w w.co m27 n A A A 2A E 2 A E A E 2)2(1A A2E A A E A A E A E A E 4444)2)(2(2 A E 2A E A E 2)2(12008 0418410 20 ],,[321 A i 3,2,1 i A 2|| A|],,3[|||3221 B C -2B 0C 2D 6333231232221131211||a a a a a a a a a A 2||333||333232312322222113121211A a a a a a a a a a a a aB 02121x kx x x k A-1B 0C 1D 201111||k k A 1 k A B C ||||||B A AB B 111)( A B AB 111)(B A B A D T T TA B AB )(1001A 1001B A 2|| A |)(|1A A41 B 1C 2D 441||1||1||1|)(|211 A A A A nA 4321,,, 432,,B 4321,,, B 4321,,, 1 432,, D 43,s ,,,21 r s r C s ,,,21 B s ,,,21 r s ,,,21 r +1 D s ,,,21 r -1 A B DA ,B B A ,B E B E A D 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542110020001000000100020010000000300002110200010000001000200100000003000021 4102000100020100000030002141200210000030021 21202100023 *******2216223152A3421B 2512C X C B AX X10013152],[E A 01105231 211010312153100121531001 1A 2153BC 2512 3421= 1111 )(1B C A X 21531111=3182 23 )3,1,2,1(1 )6,5,1,4(2 )7,4,3,1(3),,(321TT T763451312141 10180590590141000000590141 0000005909369 00000059011090000009/5109/1101 21,24 b a ,3)2(321132132321b x a x x x x x x xl i w.t r a c k e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m),(b A 323211101111b a 11011101111b ab a 10011101111 0,1 b a),(b A 000011101111 00001110020133323112x x x x x x 112010k2511713A)10)(4(401411713||2A E41 10241 0)( x A E00117711A E 2221x x x x11111 k 1k102 0)( x A E007/1100171717A E222171x x x x 17/1222 k 2k 262112A nA )3)(1(342112||2A E 11 32 11 0)( x A E001100111111A E 2221x x x x111 32 0)( x A E00111111A E 2221x x x x 1121111P 3001D111121212121211P D AP P 1 1 PDP A 1111)())(( P PD PDP PDP PDP A n n111121n 3001 1111n n 313121 1111n n n n 313131312127 0 Ax b Ax 0 b021 k k 0)(21 k k A 021 A k A k 0021 b k k 02 k 01 k 0 01 k l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ckt o b u y NOW !w w.co m-9B -3C -1D 93131 A 31||313A 9|| A AB n 22B A DB AB B AC ||||B AD 22||||B AA = 1011B =1101 BA AB A1201B 1011 C1001D0000 BA AB 10111101 1101 1011= 11120111= 1201A A D0000 B 0001 C 0011D 1011 ),,(),,,(22221111c b a c b a ),,,(),,,,(2222211111d c b a d c b aB21, 21, 21, 21, 21, 21, 21, 21,132,121 Ax =0 A A)1,3,5( B112135 C 712321 D135221121 )1,3,5( 0121)1,3,5( 0132m ×n A r (A )=n -3 n >3 ,, Ax =0Ax =0 D,, B ,, C ,, D ,,,,A D =100010001 2A C AB DED EP D AP P11 PDP A E PP PEP P PD A 11122 A =001010100 A D0 B -1 1 C 1 D -1 -1)1()1()1)(1(11)1(0101010||22A E10 A n 2 n E A 2CA 1B A EA nD A 11||2 A 0|| A A n10 2011011103212 aa =__3__ 0)3(3323111103203111103212a a a a 3 a1202022121kx x x x k = __4__04221 k k4 k 13 A = 311102 B =753240 B A T19119753333 B A T311012753240= 19119753333 144212,0510,2001321t t =__3__000300110201000250110201402250110201t t t 3 t 15 )1,21,1,2( __5/2__16 )3,2,1(1 )6,5,4(2 )3,3,3(3 321,, 321,,__2__ l i w.t r a ck e r -s o f t w a r e C ckt o b u y NOW !w w.co m000630321630630321333654321 17 A 3,2,1||A __36__||A 36)321(||||221 A A n18 A 0,3321 r (A )= __2__A000030003 r (A )=219 A = 314122421 f =32312123222128432x x x x x x x x x 20 A =1002 Ax x T 2221y y222122212y y x x Ax x T 21x y 122x y5421 D =50210113210143219325310027126412227121641300012221502101132101432124)1527(29353222 A =2141 B = 1102 C =1013 X AXB =C X ),(E A 10012141 11016041 110360123112160036/16/13/23/16001 1A6/16/13/23/1)(E B 10011102 20012202 2101200212/102/11001 1B12/102/1 11CB A X6/16/13/23/1 1013 12/102/1= 114212110132101 = 03661212101= 031212121=04/111 l i w.t r a ck e r -s o f t w ar e C ck t o b u y NOW !w w.co m23 T )2,1,3( T )2,1,1(1 T )1,3,1(2 T )1,1,1(3332211 x x x T T T Tx x x )1,1,1()1,3,1()2,1,1()2,1,3(32122133321321321x x x x x x x x x A 211211313111413040403111413010103111 110010103111 110010103111110010102011110010101001 11 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