八下数学手拉手模型

模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．求证：(1)AD=BE；(2)△CPQ为等边三角形；3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a和b a>b的两个等边三角形纸片ABC和三角形C DE叠放在一起(C与C 重合)的图形．(1)将△C DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE．如图2：在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD、BE，如图3：在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【类型二共顶点的等腰直角三角形】1(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE= 90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC和DEC中，∠BCA=∠DCE=90°，点E在边AB上，ED与AC交于点F，连接AD．(1)求证：△BCE≌△ACD；(2)求证：AB⊥AD．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE =90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD= CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC和△CDE为“同源三角形”，AC=BC，CD=CE，∠ACB 与∠DCE为“同源角”．(1)如图1，△ABC和△CDE为“同源三角形”，试判断AD与BE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC和△CDE上的点B，C，D在同一条直线上，且∠ACE=90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC和△CDE为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD，BE的中点Q，P，连接CP，CQ，PQ，试说明△PCQ是等腰直角三角形．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD，CE．则△ADB≌，此时线段BD和线段CE的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和线段CE的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，两线交于点P．请直接写出线段BE和线段CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．模型构建专题：“手拉手”模型【考点导航】目录【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】【类型二共顶点的等腰直角三角形】【类型三共顶点的一般等腰三角形】【典型例题】【类型一共顶点的等边三角形】1(2023·全国·八年级假期作业)如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．(1)求证：BD=CE；(2)求证：△ABM≌△ACN；(3)求证：△AMN是等边三角形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．【详解】(1)∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE．(2)由(1)知△ABD≌△ACE，∴∠ABM=∠ACN．∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．在△ABM和△ACN中，∠BAM=∠CAN AB=AC∠ABM=∠ACN∴△ABM≌△ACN(ASA)．(3)由(2)知△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∵∠CAN=60°，∴△AMN是等边三角形．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023春·山西运城·八年级统考期中)如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连接MN，下列说法正确的个数有个．①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠DAP=∠PEC；④△ACM≌△DCN；⑤若∠DBE=30°，则∠AEB=90°．【答案】①②③④⑤【分析】根据等边三角形的性质得到AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，得到∠ACE=∠BCE，∠DCE=60°，根据平行线的判定定理得到AD∥CE，根据平行线的性质得到∠DAP=∠PEC，故③正确；根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CDB，根据三角形的内角和得到∠DPM=∠ACM=60°，故②正确，推出△ACM≌△DCN，故④正确；根据全等三角形的性质得到CM=CN，得到△CMN是等边三角形，求得∠CMN=60°，根据平行线的判定定理得到MN∥AB，故①正确；根据三角形的内角和得到∠AEB= 90°．故⑤正确．【详解】解：∵△DAC 、△ECB 都是等边三角形，∴AC =CD ，BC =CE ，∠ACD =∠BCE =60°，∴∠ADC =∠DCE =60°，∴∠ACE =∠BCD ，∠DCE =60°，∴AD ∥CE ，∴∠DAP =∠PEC ，故③正确；在△ACE 与△BCD 中，AC =CD∠ACE =∠BCD CE =CB，∴△ACE ≌△BCD SAS ，∴∠CAE =∠CDB ，∵∠PMD =∠AMC ，∴∠DPM =∠ACM =60°，故②正确，在△ACM 与△DCN 中，∠CAM =∠CDNAC =CD ∠ACM =∠DCN =60°，∴△ACM ≌△DCN ，故④正确；∴CM =CN ，∴△CMN 是等边三角形，∴∠CMN =60°，∴∠CMN =∠ACD ，∴MN ∥AB ，故①正确；∵∠DBE =30°，∠BPE =∠APD =60°，∴∠AEB =90°．故⑤正确；故答案为：①②③④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．2(2023秋·四川凉山·八年级统考期末)如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作等边△ABC 和等边△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ．求证：(1)AD =BE ；(2)△CPQ 为等边三角形；【答案】(1)见解析；(2)见解析．【分析】(1)由等边三角形的性质可知AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，从而可求出∠ACD =∠BCE ，即可利用“SAS ”证明△ADC ≌△BEC ，即得出AD =BE ；(2)由等边三角形的性质可知∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，即可求证∠ACP =∠BCQ =60°．再根据△ADC ≌△BEC 可得出∠CAP =∠CBQ ，利用“ASA ”证明△APC ≌△BQC ，据此即可证明结论成立．【详解】(1)证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∵∠ACD =∠ACB +∠BCD ，∠BCE =∠DCE +∠BCD ，∴∠ACD =∠BCE ，∴AC =BC∠ACD =∠BCE CD =CE，∴△ADC ≌△BEC (SAS )，∴AD =BE ；(2)证明：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，∴∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，∴∠BCQ =180°-∠ACP -∠ECD =60°，∴∠ACP =∠BCQ =60°．∵△ADC ≌△BEC∴∠CAP =∠CBQ ．∴∠CAP =∠CBQAC =BC∠ACP =∠BCQ∴△APC ≌△BQC ASA ．∴CP =CQ ，又∵∠PCQ =60°，∴△CPQ 为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．3(2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习)已知图1是边长分别为a 和b a >b 的两个等边三角形纸片ABC 和三角形C DE 叠放在一起(C 与C 重合)的图形．(1)将△C DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连接AD ，BE ．如图2：在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；(2)若将上图中的△C DE ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3：在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD 的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD 的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．【答案】(1)BE =AD ，证明见解析(2)BE =AD ，证明见解析(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a +b ；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a -b ．【分析】(1)先由等边三角形判断出AC =BC ，CE =CD ，再由旋转判断出∠BCE =∠ACD ，进而判断出△BCE ≌△ACD ，即可得出结论；(2)同(1)的方法，即可得出结论；(3)当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a +b ，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a -b ，即可得出结论．【详解】(1)解：BE =AD证明：∵点C 与C 1重合，△ABC 和△C 1DE ，∴△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，由旋转知，∠BCE =∠ACD =30°，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ，(2)解：BE =AD ，证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，∴AC =BC ，CE =CD ，由旋转知，∠BCE =∠ACD ，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD (SAS )，∴BE =AD ；(3)解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC +CD =a +b ，如图，∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a +b ，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC -CD =a -b ，如图，∴当α为0度或360度时，线段AD的长度最小，最小值为a-b．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出△BCE≌△ACD是解本题的关键．4(2023春·广东梅州·七年级校考期末)【初步感知】(1)如图1，已知ΔABC为等边三角形，点D为边BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边向右侧作等边ΔADE，连接CE．求证：ΔABD≌ΔACE；【类比探究】(2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想并证明：①AB与CE的位置关系为：；②线段EC、AC、CD之间的数量关系为：；【拓展应用】(3)如图3，在等边ΔABC中，AB=3，点P是边AC上一定点且AP=1，若点D为射线BC上动点，以DP 为边向右侧作等边ΔDPE，连接CE、BE．请问：PE+BE是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)平行EC=AC+CD(3)有最小值，5【分析】(1)由ΔABC和ΔADE是等边三角形，推出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，又因为∠BAC=∠DAE，则∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，从而利用“SAS”证明ΔABD≌ΔACE；(2)①由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，得出∠B=∠ACE=60°，CE=BD，∠BAC=∠ACE，则AB∥CE；②因为CE=BD，AC=BC，所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)在BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，可证ΔEPC≌ΔEDM(SAS)，EC=EM，求得∠CEM= 60°，得出ΔCEM是等边三角形，则∠ECD=60°，即点E在∠ACD角平分线上运动，在射线CD上截取CP =CP，当点E与点C重合时，BE+PE=BE+P E≥BP =5，进而解答此题．【详解】(1)证明：∵ΔABC和ΔADE是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC 即∠BAD=∠CAE在ΔABD和ΔACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴ΔABD≌ΔACE(SAS)；(2)平行，EC=AC+CD，理由如下：由(1)得ΔABD≌ΔACE(SAS)，∴∠B=∠ACE=60°，CE=BD，∴∠BAC=∠ACE，∴AB∥CE，∵CE=BD，AC=BC，∴CE=BD=BC+CD=AC+CD；(3)有最小值，理由如下：如图，在射线BC上取一点M，使得DM=PC，连接EM，∵ΔABC和ΔDPE是等边三角形，∴PE=ED，∠DEP=∠ACB=60°，∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，∴∠ACD+∠DEP=120°+60°=180°，由三角形内角和为180°，可知：∠PCE+∠CEP+∠EPC=180°，∠ECD+∠CDE+∠CED=180°，∴∠PCE+∠CEP+∠EPC+∠ECD+∠CDE+∠CED=360°，又∵∠PCE+∠ECD+∠CEP+∠CED=∠ACD+∠DEP=180°，∴∠EPC+∠CDE=360°-180°=180°，∵∠EDM+∠CDE=180°，∴∠EPC=∠EDM，在ΔEPC和ΔEDM中，PE=ED∠EPC=∠EDM PC=DM，ΔEPC≌ΔEDM(SAS)，∴EC=EM，∠PEC=∠DEM，∵∠PEC+∠CED=∠DEP=60°，∴∠CEM=∠DEM+∠CED=60°，∴ΔCEM是等边三角形，∴∠ECD=60°，∠ACE=180°-∠ECD-∠ACB=180°-60°-60°=60°，即点E在∠ACD的角平分线上运动，在射线CD上截取CP =CP，连接EP ，在ΔCEP和ΔCEP 中，PC=P C∠PCE=∠P CE=60°CE=CE，ΔCEP≌ΔCEP (SAS)，∴PE=P E，由三角形三边关系可知，BE+P E≥BP ，即当点E与点C重合，BE+P E=BP 时，PE+BE有最小值BP ，∵BP =BE+CP =BC+CP=3+2=5，∴BE+PE=BE+P E≥BP =5，∴BE+PE最小值为5．【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．【类型二共顶点的等腰直角三角形】90°．(1)【猜想】：如图1，点E在BC上，点D在AC上，线段BE与AD的数量关系是，位置关系是．(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AD，BE，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把△DCE绕点C在平面内自由旋转，若AC=5，CE=22，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是．【答案】(1)BE=AD，BE⊥AD(2)成立，理由见解析(3)21+2或21-2【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出AC=BC，EC=DC，再作差，得出BE=AD，再用∠ACB= 90°，即可得出结论；(2)先由旋转的旋转得出∠BCE=∠ACD，进而判断出△BCE≌△ACD SAS，得出BE=AD，∠CAD=∠CBE，AC与BE交于M，AD与BE交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出∠MAN+∠AMN=90°，即可得出结论；(3)分两种情况，①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，求出CM=EM=12DE= 2，再用勾股定理求出AM，利用线段的加减即可得出结论；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，求出CM=EM=12DE=2，再由勾股定理求出根据勾股定理得，AN，利用线段的加减即可得出结论．【详解】(1)∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，∴AC-DC=BC-EC，∴BE=AD，点E在BC上，点D在AC上，且∠ACB=90°，∴BE⊥AD，故：BE=AD，BE⊥AD；(2)成立；如图2，AC与BE交于M，AD与BE交于N，由题意可知：∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠CE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE与△ACD中：BC=AC∠BCE=∠ACD CE=CD∴△BCE≌△ACD SAS，∴BE=AD，∠CAD=∠CBE，又∵∠ACB=90°，∠BMC=∠AMN，在△ANM中，∴∠MAN+∠AMN=∠CBE+∠BMC=90°，∴∠ANM=90°，∴BE⊥AD，所以结论成立；(3)①当点E在线段AD上时，如图3，过点C作CM⊥AD于M，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CM⊥AD，∴CM=EM=12DE=2，在Rt△ACM中，AC=5，∴AM=AC2-CM2=52-22=21，∴AE=AM-EM=21-2；②当点D在线段AE上时，如图4，过点C作CN⊥AE于N，∵△DCE是等腰直角三角形，且CE=22，∴DE=CE2+CD2=4，∵CN⊥AD，∴CN =NE =12DE =2，在Rt △ACN 中，AC =5，∴AN =AC 2-CN 2=52-22=21，∴AE =AN +NE =21+2，综上，AE 的长为21-2或21+2，故答案为:21-2或21+2．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．【变式训练】1(2023·全国·九年级专题练习)如图，在等腰直角三角形ABC 和DEC 中，∠BCA =∠DCE =90°，点E 在边AB 上，ED 与AC 交于点F ，连接AD ．(1)求证：△BCE ≌△ACD ；(2)求证：AB ⊥AD ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据∠BCA =∠DCE =90°，可得∠BCE =∠ACD ，再由等腰直角三角形的性质可得BC =AC ,CE =CD ，可证明△BCE ≌△ACD ，即可求证；(2)根据△BCE ≌△ACD ，可得∠B =∠CAD ，从而得到∠CAD +∠CAE =90°，即可求证．【详解】(1)证明：∵∠BCA =∠DCE =90°，∴∠BCE +∠ECA =∠ECA +∠ACD =90°，∴∠BCE =∠ACD ，∵△ABC 和△DEC 是等腰直角三角形，∴BC =AC ,CE =CD ，在△BCE 和△ACD 中，BC =AC∠BCE =∠ACD CE =CD，∴△BCE ≌△ACD SAS ；(2)证明：∵△BCE ≌△ACD ，∴∠B =∠CAD ，∵∠ACB =90°，∴∠B +∠CAE =90°，∴∠CAD +∠CAE =90°，即∠DAE =90°，∴AB ⊥AD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．2(2023春·八年级课时练习)(1)问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为，AE、BD所在直线的位置关系为；(2)深入探究：在(1)的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB 的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)AE=BD，AE⊥BD；(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由见解析【分析】(1)延长AE交BD于点H，AH交BC于点O．只要证明△ACE≌△BCD SAS，即可解决问题；(2)由△ACE≌△BCD，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：(1)如图1中，延长AE交BD于点H，AH交BC于点O，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∴∠ACE+∠ECB=∠BCD+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠BCD，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CBD，∵∠CAE+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，∴∠BOH+∠CBD=90°，∴∠AHB=90°，∴AE⏊BD．故答案为：AE=BD，AE⏊BD．(2)∠ADB=90°，AD=2CM+BD；理由如下：如图2中，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠AEC=180°-∠CED=135°，由(1)可知：△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∠BDC=∠AEC=135°，∴∠ADB=∠BDC-∠CDE=135°-45°=90°；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME，∴DM=2CM，∴AD=DE+AE=2CM+BD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．3(2023·山东枣庄·统考二模)感知：如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD=CE，不需证明．(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α(0<α<90°)，连接BD和CE，此时BD=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE．求：①∠ACE的度数；②若AB=AC=32，CD=3，则线段DE的长是多少？【答案】(1)BD=CE成立，证明见解析(2)①45° ②310【分析】(1)只需要利用SAS证明△ABD≌△ACE即可证明BD=CE；(2)①由等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再证明△ABD≌△ACE即可得到∠ABD=∠ACE=45°；②先由勾股定理得到BC=6，由全等三角形的性质得到∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE，则∠BCE=90°，CE=9；则DE=CE2+CD2=310．【详解】(1)解：BD=CE成立，证明如下：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，由旋转的性质可得∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴BD=CE；(2)解：①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∠BAD=CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴∠ABD=∠ACE=45°；②∵AB=AC=32，∴BC=AB2+AC2=6，∵△ACE≌△ABD，∴∠ACE=∠ABD=45°，BD=CE，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，CE=BD=BC+CD=6+3=9；∴DE=CE2+CD2=92+32=310．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．【类型三共顶点的一般等腰三角形】1(2023春·山东泰安·七年级校考开学考试)如图，△ABC与△CDE都是等腰三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=42°，AD、BE相交于点M．(1)试说明：AD=BE；(2)求∠AMB的度数．【答案】(1)见解析(2)42°【分析】(1)由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE=AD；(2)根据全等三角形的性质可得∠CAD=∠CBE，再利用三角形内角和定理计算∠AMB．【详解】(1)解：证明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCE CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠BAC+∠ABC=180°-42°=138°，∴∠BAM+∠ABM=∠BAC-∠CAD+∠ABC+∠CBE=∠BAC+∠ABC=138°，∴∠AMB=180°-138°=42°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．【变式训练】1(2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图，已知△ABC中，AB≠AC≠BC．分别以AB、AC为腰在AB左侧、AC右侧作等腰三角形ABD．等腰三角形ACE，连接CD、BE．(1)如图1，当∠BAD=∠CAE=60°时，①△ABD、△ACE的形状是；②求证：BE=DC．(2)若∠BAD=∠CAE≠60°，①如图2，当AB=AD，AC=AE时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB=DB，AC=EC时，BE=DC是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】(1)①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可证明；(2)①证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得△BAE与△DAC不全等，即可得出结论．【详解】(1)①∵△ABD是等腰三角形，△ACE是等腰三角形，∠BAD=∠CAE=60°∴△ABD、△ACE是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵△ABD、△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠BAE=∠CAE+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△BAE与△DAC中，∵AB=AD∠BAE=∠DAC AE=AC，∴△BAE≌△DAC SAS．∴BE=DC．(2)①当AB=AD，AE=AC时，成立．理由：如图，∵AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，∴△BAE≌△DAC SAS，∴BE=DC；②当AB=DB，AC=EC时，不成立．理由：如图，∵∠BAD=∠CAE≠60°，∴AB=DB≠AD，AC=EC≠AE，∴△BAE与△DAC不全等，∴BE≠DC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023秋·全国·八年级专题练习)定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，AC =BC ，CD =CE ，∠ACB 与∠DCE 为“同源角”．(1)如图1，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”△ABC 和△CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且∠ACE =90°，则∠EMD =°．(3)如图3，△ABC 和△CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明△PCQ 是等腰直角三角形．【答案】(1)AD =BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】(1)由“同源三角形”的定义可证∠ACD =∠BCE ，然后根据SAS 证明△ACD ≌△BCE 即可；(2)由“同源三角形”的定义和∠ACE =90°可求出∠DCE =ACB =45°，由(1)可知△ACD ≌△BCE ，得∠ADC =∠BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出∠EMD 的度数；(3)由(1)可知△ACD ≌△BCE ，可得∠CAQ =∠CBP ，BE =AD ．根据SAS 证明△ACQ ≌△BCP ，可得CQ =CP ，∠ACQ =∠BCP ，进而可证结论成立．【详解】(1)AD =BE ．理由：因为△ABC 和△CDE 是“同源三角形”，所以∠ACB =∠DCE ，所以∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC =BC ,∠ACD =∠BCE ,CD =CE ,所以△ACD ≌△BCE SAS ．所以AD =BE ．(2)∵△ABC 和△CDE 是“同源三角形”，∴∠ACB =∠DCE ．∵∠ACE =90°，∴∠DCE =ACB =45°．由(1)可知△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC =∠BEC ．∵∠MOE =∠COD ，∴∠EMD =∠DCE =45°．故答案为：45；(3)由(1)可知△ACD ≌△BCE ，所以∠CAQ =∠CBP ，BE =AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ =BP ．在△ACQ 和△BCP 中，CA =CB ,∠CAQ =∠CBP ,AQ =BP ,所以△ACQ ≌△BCP SAS ，所以CQ =CP ，∠ACQ =∠BCP ．又因为∠BCP +∠PCA =90°，所以∠ACQ +∠PCA =90°．所以∠PCQ =90°，所以△PCQ 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3(2023春·辽宁丹东·七年级统考期末)(1)如图1，两个等腰三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，连接BD ，CE ．则△ADB ≌，此时线段BD 和线段CE 的数量关系式；(2)如图2，两个等腰直角三角形△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =90°，连接BD ，CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和线段CE 的关系，并说明理由；(3)如图3，分别以△ABC 的两边AB ，AC 为边向△ABC 外作等边△ABD 和等边△ACE ，连接BE ，CD ，两线交于点P ．请直接写出线段BE 和线段CD 的数量关系及∠PBC +∠PCB 的度数．【答案】(1)△AEC ，BD =CE ；(2)BD =CE 且BD ⊥CE ；(3)CD =BE ，∠PBC +∠PCB =60°【分析】(1)先判断出∠DAB =∠EAC ，进而判断出△ADB ≌△AEC ，即可得出结论；(2)先判断出△DAB ≌△EAC ，得出BD =CE ，∠DBA =∠ECA ，进而判断出∠DBC +∠ECB ，即可得出结论；(3)先判断出△ACD ≌△AEB ，得出CD =BE ，∠ADC =∠ABE ，进而求出∠BPD =60°，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．【详解】解：(1)∵∠DAE =∠BAC ，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE ．即∠DAB =∠EAC ，在△ADB 和△AEC 中，AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB ≌△AEC SAS ，∴BD =CE ，故答案为：△AEC ，BD =CE ；(2)BD =CE 且BD ⊥CE ；理由如下：∵∠DAE =∠BAC =90°，∴∠DAE +∠BAE =∠BAC +∠BAE ．即∠DAB =∠EAC ．在△DAB 和△EAC 中，AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△ADB ≌△AEC SAS ，∴BD =CE ，∠DBA =∠ECA ，∵∠ECA +∠ECB +∠ABC =90°，∴∠DBA +∠ECB +∠ABC =90°，即∠DBC +∠ECB =90°，∴∠BPC =180°-(∠DBC +∠ECB )=90°，∴BD ⊥CE ，综上所述：BD =CE 且BD ⊥CE ；(3)如图3所示，BE =CD ，∠PBC +∠PCB =60°，理由如下：∵△ABD 和△ACE 是等边三角形，∴AD =AB ，AC =AE ，∠ADB =∠ABD =∠BAD =∠CAE =60°，∴∠BAD +∠BAC =∠CAE +∠BAC ，∴∠CAD =∠EAB ，在△ACD 和△AEB 中，AD =AB ∠CAD =∠EAB AC =AE，∴△ACD ≌△AEB (SAS )，∴CD =BE ,∠ADC =∠ABE ，∴∠BPD =180°-∠PBD -∠BDP=180°-∠ABE -∠ABD -∠BDP=180°-∠ABD -∠ABE +∠BDP=180°-∠ABD -∠ADC +∠BDP=180°-∠ABD -∠ADB=60°，∴∠PBC +∠PCB =∠BPD =60°．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△ADB ≌△AEC 是解本题的关键．。

重难点：全等三角形中“手拉手”模型1.识别几何模型。

2.利用“手拉手”模型解决问题【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；例1、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点. 若DE=13，BD=12，求线段AB的长.∵△ACE≌△BCD∴AE=BD,∠EAC=∠B=45°∵BD=12∴∠EAD=45°+45°=90°，AE=12在Rt△EAD中，∠EAD=90°，DE=13，AE=12，由勾股定理得：AD=5∴AB=BD+AD=12+5=17【变式1】某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时，把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC与BE的位置关系．【分析】（1）利用SAS定理证明△BAE≌△CAD；（2）根据全等三角形的性质得到∠B＝∠ACB＝45°，根据垂直的定义证明结论．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD，理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD在△BAE和△CAD中，，∴△BAE≌△CAD（SAS）；（2）DC⊥BE，理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵△BAE≌△CAD，∴∠CAD＝∠B＝45°，∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°，∴DC⊥BE．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2】已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC 交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.解析:∵△ACB和△DCE都是等腰三角形∠ACB=∠DCE=90°∴AC=BC,DC=EC∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD∴∠BCD=∠ACE在△ACE和△BCD中AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD∴△ACE≌△BCD(SAS)∴AE=BD例2.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.解析：(1)∵△ABC和△ADE是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)[来源:学科网ZXXK]∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∵BC=BD+CD∴BC=CE+CD（2）∵△ABC和△ADE是等边三角形∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC,AD=DE=AE∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE∵BD=BC+CD∴CE=BC+CD【变式1】如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.解析：（1）△DAC和△DBE都是等边三角形.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°.∴DA=DC,DB=DE,∠ADC=∠BDE=60°∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB,即∠ADB=∠CDE在△DAB和△DCE中，DA=DC∠ADB=∠CDEDB=DE∴△DAB≌△DCE.（2）∵△DAB≌△DCE∴∠A=∠DCE=60°∵∠ADC=60°∴∠DCE=∠ADC∴DA∥EC.【变式2】如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，若∠AOB＝∠COD＝60°．（1）求证：AC＝BD．（2）求∠APB的度数．【分析】（1）先∠AOB＝∠COD＝60°，OA＝OB，OC＝OD得到∠AOC＝∠BOD，然后得证△AOC≌△BOD，从而得到AC＝BD；（2）先由△AOC≌△BOD得到∠OAC＝∠OBD，从而得到∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，然后由OA ＝OB，∠AOB＝60°得到△AOB是等边三角形，从而得到∠PAB+∠PBA＝120°，最后得到∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD．（2）解：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∵∠OAC+∠BAC＝∠OAB，∠ABO+∠OBD＝∠ABP，∴∠PAB+∠PBA＝∠OAB+∠OBA，∵OA＝OB，∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴∠PAB+∠PBA＝120°，∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣120°＝60°．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握SAS定理判定三角形全等．例3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？解析：（1）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠B AP＝∠BAC－∠BAP[来源:Z#xx#]即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP（2）∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP[来源:学科网]即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC∴BQ＝CP【变式】（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD＝6，线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，点D、E、B恰好共线，求△BDC的面积；（3）如图3，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG AE．【分析】（1）如图1，根据SAS证明三角形全等即可．（2）过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．利用全等三角形的性质证明CE＝BD，CE⊥BD即可．（3）过点D作DK⊥DC交FB K．证明△ECG≌△DKF（AAS），推出DF＝EG，再证明FG＝DE AE即可．【解答】（1）证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：如图2，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝6，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC•BD•CE6×6＝18．（3）证明：如图3，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE AE，∴DF+EF AE，∴EG+EF AE，即FG AE．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．一．填空题（共4小题）1．（2020秋•工业园区月考）在△ABC中，∠ABC＝45°，AD、BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE 相交于点F，连接CF．下列结论：（1）∠FCD＝45°；②AE＝EC；③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF ＝2EC，则△FDC的周长等于AB的长．正确的是（填序号）．【分析】首先在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，由此可以得到∠BAD＝45°，接着得到AD＝BD，又∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，所以可以证明△BDF ≌△ADC，根据全等三角形的性质可以得到FD＝CD，进一步得到①；若AE＝EC，则由BE⊥AC，推出BA＝BC，显然不可能，故②错误，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可以得到③；若BF＝2EC，根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可得到④．【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，∴③正确；∵∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC，∴FD＝CD，∴∠FCD＝∠CFD＝45°，∴①正确；若AE＝EC，则∵BE⊥AC，∴BA＝BC，显然不可能，故②错误，若BF＝2EC，根据①得BF＝AC，∴AC＝2EC，即E为AC的中点，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，BA＝BC，∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，即△FDC周长等于AB的长，∴④正确．故答案为①③④【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．2．（2022秋•通州区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°．P是BC边上一点，CP＝CA，连接AP，以AP为边在AP的右上方作等边三角形APQ．若AB＝5，则点Q到边AB的距离为．【分析】过点Q作QD⊥AB，垂足为D，根据垂直定义可得∠ADQ＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝30°，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得CP＝AC＝AB＝2.5，然后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ACP≌△ADQ，从而利用全等三角形的性质即可解答．【解答】解：过点Q作QD⊥AB，垂足为D，∴∠ADQ＝90°，∵∠C＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，∵AB＝5，∴AC＝AB＝2.5，∵AC＝CP，∴AC＝CP＝2.5，∵△AQP是等边三角形，∴AP＝AQ，∠QAP＝60°，∴∠QAP﹣∠PAB＝∠BAC﹣∠PAB，∴∠CAP＝∠DAQ，∵∠C＝∠ADQ＝90°，∴△ACP≌△ADQ（AAS），∴QD＝CP＝2.5，∴点Q到边AB的距离为2.5，故答案为：2.5．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握手拉手模型﹣旋转型全等是解题的关键．3．（2021秋•滨湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为；△ADE面积的最大值为．【分析】要求DE最小值，只需求出CD的最小值，过点C作CF⊥AB于点F，根据垂线短最短即可得出CF即为CD的最小值，然后用勾股定理求出DE的最小值；利用手拉手全等模型可得△ACE≌△BCD（SAS），从而得∠DAE＝90°，设AE＝x，则AD＝2﹣x，从而表示出△ADE面积，即可求解．【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE＝，∴CD取得最小值时，DE取得最小值，如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时CF即为CD的最小值，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴CF＝1，AB＝2，∴CD的最小值为1，∴DE的最小值为．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD，∴∠EAD＝90°，设BD＝x，则AE＝x，AD＝2﹣x，∴S△ADE＝＝，∴当x＝1时，S△ADE的最大值为，故答案为，．【点评】本题考查等腰三角形的性质、垂线段最短、全等三角形，其中判断出手拉手模型得全等是解题关键．4．（2021秋•常州期末）如图，两条互相垂直的直线m、n交于点O，一块等腰直角三角尺的直角顶点A 在直线m上，锐角顶点B在直线n上，D是斜边BC的中点．已知OD＝，BC＝4，则S△AOB＝．【分析】利用等腰三角形的三线合一想到连接AD，根据已知可得∠ADB＝90°，AD＝DB＝BC＝2，因为OD＝，想到构造手拉手﹣旋转性全等，所以过点D作ED⊥DO，交直线n于点E，证明△DAO≌△DBE，可得DO＝DE＝，OA＝BE，然后在Rt△OAB中，利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：连接AD，过点D作ED⊥DO，交直线n于点E，∴∠EDO＝90°，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CAB＝90°，∴AB＝AC，∵D是斜边BC的中点，∴∠ADB＝90°，AD＝＝DB＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∵∠ADB﹣∠BDO＝∠EDO﹣∠BDO，∴∠ADO＝∠BDE，∵m⊥n，∴∠AOB＝90°，∴∠DAO+∠DBO＝360°﹣∠ADB﹣∠AOB＝180°，∵∠DBO+∠DBE＝180°，∴∠DAO＝∠DBE，∴△DAO≌△DBE（ASA），∴DO＝DE＝，OA＝BE，∴OE＝＝＝，∴OB+BE＝，∴OB+OA＝，∴（OB+OA）2＝14，∴OA2+OB2+2OA•OB＝14，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，∴OA2+OB2＝（2）2＝8，∴2OA•OB＝14﹣8＝6，∴OA•OB＝3，∴△AOB的面积＝OA•OB＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二．解答题（共13小题）5．（2022秋•宜兴市月考）如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2．（1）求证：AE＝CD；（2）证明：∠1＝∠3．【分析】（1）由已知角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；（2）利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由对顶角相等及内角和定理即可得证．【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2，∴∠ABE＝∠CBD，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴AE＝CD；（2）证明：由（1）知，△ABE≌△CBD，∴∠A＝∠C，又∵∠AFB＝∠CFE，∴∠1＝∠3．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．6．（2021秋•丹阳市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，延长AB到D，使得DB＝AB，连接CD，以CD为直角边作等腰Rt△CDE，其中∠DCE＝90°，连接BE．（1）猜想线段BE与AD的数量和位置关系，并说明理由；（2）若AC＝cm，则BE＝cm，DE＝cm．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD＝CE，CA＝CB，然后利用“SAS”可判断△ACD≌△BCE；根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，而∠3＝∠4，然后根据三角形内角和定理即可得到∠EBD＝∠ECD ＝90°；（2）根据全等三角形的性质得到AD＝BE，而DB＝AB＝2cm，所以BE＝4cm；在Rt△DBE中，利用勾股定理求出DE的长．【解答】解：（1）BE⊥AD且BE＝AD．理由如下：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∴CD＝CE，CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝∠DCB+∠ACB，即∠ECB＝∠ACD，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；∴∠1＝∠BEC，而∠3＝∠4，∴∠EBD＝∠ECD＝90°，∴BE⊥AD且BE＝AD．（2）∵若AC＝BC＝cm，∴AB＝＝2（cm），∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵DB＝AB＝2cm，∴BE＝2×2＝4（cm），在Rt△DBE中，DE＝（cm）．故答案为4，2．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．7．（2020秋•崇川区期末）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE＝60°．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE＝5，求CE的长．【分析】（1）根据等式的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠＝60°．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∴∠DAE＝∠BAC，在△DAE与△BAC中，，∴△ABC≌△ADE（ASA）；（2）∵△ABC≌△ADE，∴AE＝AC，∵∠CAE＝60°．∴△ACE是等边三角形，∴CE＝AE＝5．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据等式的性质和全等三角形的判定解答．8．（2021秋•江阴市校级月考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC上一点（与点B不重合），过点C作∠ACE＝60°，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．求证：AD＝DE．【分析】连接AE，根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，从而利用SAS可证△ABD ≌△ACE，然后利用全等三角形的性质可得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，从而可得∠DAE＝60°，进而可得△ADE是等边三角形，最后利用等边三角形的性质即可解答．【解答】证明：连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，∵∠ACE＝60°，∴∠B＝∠ACE＝60°∵BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠CAE+∠DAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2022秋•崇川区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上的一点（不与点B、C重合），以AD为腰右侧作等腰三角形△ADE，且AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝度．（2）设∠BAC＝α，∠BCE＝β．①点D是在线段BC上移动时，如图2，则α、β之间有怎样的数量关系？试说明理由．②点D是在射线CB上移动时，则α、β之间有怎样的数量关系？试直接写出结论．【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，得∠B＝∠ACE，即可证明；（2）①与（1）同理证明△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，则∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE ＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°；②同理证明△ADB≌△AEC，得∠ABD＝∠ACE，由∠ABD＝∠BAC+∠ACB，则∠BAC＝∠BCE．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，故答案为：90；（2）①α+β＝180°，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA＝180°，∴∠BAC+∠BCE＝∠BAC+∠BCA+∠ACE＝∠BAC+∠BCA+∠B＝180°，∴α+β＝180°；②α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，在△ADB与△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE，∴α＝β．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，证明△ADB≌△AEC是解题的关键．10．（2022秋•徐州期中）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图2所示．（1）[证明推断]求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请你根据小明的思路完成证明过程；（2）[延伸发现]连接AE，BF，如图3所示，求证：AE＝BF；（3）[迁移应用]延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF 的位置关系．【分析】（1）D是BC的中点，则AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠DAC＝45°，再证明∠FDB＝∠ADE，得到△BDN≌△ADM（ASA），即可求解；（2）△DEF为等腰直角三角形，则DE＝DF，由（1）知：∠FDB＝∠EDA，BD＝AD，可以证明△FDB ≌△EDA（SAS），即可求解；（3）由△FDB≌△EDA，得到∠BFD＝∠AED，进而求解．【解答】证明：（1）如图2，在Rt△ABC中，∵D是BC的中点，即BD是△ABC的中线，∴AD＝BD＝CD，∠ABC＝∠45°，∵∠FDB+∠FDA＝90°，∠FDA+∠ADE＝90°，∴∠FDB＝∠ADE，在△BDN和△ADM中，，∴△BDN≌△ADM（ASA），∴DN＝DM；（2）∵△DEF为等腰直角三角形，∴DE＝DF，由（1）知：∠FDB＝∠EDA，BD＝AD，在△BDF和△ADE中，，∴△FDB≌△EDA（SAS），∴AE＝BF；（3）作图如下，AE和BF的位置关系为：相互垂直，理由如下：由（2）知△FDB≌△EDA，∴∠BFD＝∠AED，又∵∠FPQ＝∠EPD，∴∠FQP＝∠PDE＝90°，即AE⊥BF，故AE和BF【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．11．（2022秋•东海县期中）【问题呈现】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是斜边AB上的一点，连接CD，试说明AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．【解决策略】小敏同学思考后是这样做的：将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到对应的△CBE，连接DE，如图1经过推理使问题得到解决．请回答：（1）△DBE的形状是，△DCE的形状是；（2）直接写出AD、BD、CD之间的数量关系是；【方法感悟】在解决问题时，条件中若出现“等边三角形”、“等腰直角三角形”字样，可以考虑旋转某个三角形，把分散的条件或结论集中到一起，从而使问题得到解决．（3）如图2，在四边形ABCD中，∠BCD＝45°，连接对角线AC、BD，∠ADB＝90°，AD＝BD，若CB ＝2，CD＝4，求CA的长；（4）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，若BC＝5，CD＝2，求A、C两点之间的最大距离．【分析】【解决策略】（1）由旋转的性质得出△DCE是等腰直角三角形，证明△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠A＝∠CBE＝45°，则可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出结论；【方法感悟】（3）过点D作DE⊥DC，交CB的延长线于E，连接AE，证出∠AEC＝∠AED+∠DEC＝90°，由勾股定理可得出答案；（4）将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到对应的△ABE，连接CE，则CD＝BE＝2，证出AC＝CE，求出CE的最大值可得出答案．【解答】【解决策略】解：（1）∵将△CAD绕点C逆时针旋转90°，得到对应的△CBE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴△DCE是等腰直角三角形，∵∠ACB＝90°＝∠ACD+∠DCB，∴∠ACD＝∠ECB，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠A＝∠CBE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝45°+45°＝90°，∴△DBE是直角三角形，故答案为：直角三角形，等腰直角三角形；（2）∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵∠DBE＝90°，∴DB2+BE2＝DE2，∵∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝2CD2＝DE2，∴DB2+AD2＝2CD2；故答案为：DB2+AD2＝2CD2；【方法感悟】（3）过点D作DE⊥DC，交CB的延长线于E，连接AE，如图2，∵∠BCD＝45°，∴△DCE是直角三角形，由（1）可知△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠BCD＝45°，AE＝BC，∵∠DEC＝45°，∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝90°，∵DC＝4，BC＝2，∴CE＝DC＝4，AE＝2，∴AC＝＝＝6；（4）将△ADC绕点A顺时针旋转90°，得到对应的△ABE，连接CE，如图3，∴CD＝BE＝2，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴AC＝CE，∵CE≤BC+BE＝5+2＝7，∴当C，B，E三点共线时，CE最大，∴A、C两点之间的最大距离是7．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2021秋•淮安期末）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α．（1）AD、BE相交于点M．①求证：AD＝BE；②用含α的式子表示∠AMB的度数；（2）如图2，点P、Q分别是AD、BE的中点，连接CP、CQ，判断△CPQ的形状，并加以证明；（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝，AC＝3，以AB为直角边，B为直角顶点作等腰Rt △ABD，则CD＝（直接写出结果）．【分析】（1）①由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD；②由三角形内角和定理可求解；（2）由“SAS”可证△ACP≌△BCQ，可得CP＝CQ，可得结论；（3）将△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到△AEB，连接BE，CE，根据旋转的性质得到BE＝BC＝，∠CBE＝∠ABD＝90°，AE＝CD，可得出△BCE是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠ACB＝∠DCE＝α，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；②解：如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α；（2）△CPQ为等腰三角形，理由如下：如图2，由（1）可得，BE＝AD，∵AD，BE的中点分别为点P、Q，∴AP＝BQ，∵△ACD≌△BCE，∴∠CAP＝∠CBQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴CP＝CQ，∴△CPQ为等腰三角形．（3）将△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到△AEB，连接BE，CE，则BE＝BC＝，∠CBE＝∠ABD＝90°，AE＝CD，∴△BCE是等腰直角三角形，∴∠BCE＝45°，CE＝BC＝4，∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝5，∴CD＝AE＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理等，运用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键．13．（2022秋•亭湖区校级月考）【阅读材料】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD ＝AE，则△ABD≌△ACE．【材料理解】（1）在图1中证明小明的发现．【深入探究】（2）如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，连接AO，下列结论：①BD＝EC；②∠BOC＝60°；③∠AOE＝60°；④EO＝CO，其中正确的有（将所有正确的序号填在横线上）．【延伸应用】（3）如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD＝∠CAE，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC＝60°，再判断出△BCF≌△ACO，得出∠AOC＝120°，进而得出∠AOE＝60°，再判断出BF＜CF，进而判断出∠OBC＞30°，即可得出结论；（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD＝BP，∠DBP＝60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）如图2，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，①正确，∠ADB＝∠AEC，记AD与CE的交点为G，∵∠AGE＝∠DGO，∴180°﹣∠ADB﹣∠DGO＝180°﹣∠AEC﹣∠AGE，∴∠DOE＝∠DAE＝60°，∴∠BOC＝60°，②正确，在OB上取一点F，使OF＝OC，连接CF，∴△OCF是等边三角形，∴CF＝OC，∠OFC＝∠OCF＝60°＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACO，∵AB＝AC，∴△BCF≌△ACO（SAS），∴∠AOC＝∠BFC＝180°﹣∠OFC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝60°，③正确，连接AF，要使OC＝OE，则有OC＝CE，∵BD＝CE，∴CF＝OF＝BD，∴OF＝BF+OD，∴BF＜CF，∴∠OBC＞∠BCF，∵∠OBC+∠BCF＝∠OFC＝60°，∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，所以，④不一定正确，即：正确的有①②③，故答案为：①②③；（3）如图3，延长DC至P，使DP＝DB，∵∠BDC＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴BD＝BP，∠DBP＝60°，∵∠ABC＝60°＝∠DBP，∴∠ABD＝∠CBP，∵AB＝CB，∴△ABD≌△CBP（SAS），∴∠BCP＝∠A，∵∠BCD+∠BCP＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．14．（2021秋•沭阳县月考）在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD 为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°，则∠BCE＝°．（2）如图2，设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C 均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？请探求点D的位置，并求出此时∠EDC的度数，直接写出你的结论．【分析】（1）由等腰直角△ABC、△ADE易证△ABD≌△ACD，即可得出∠ECA＝∠B＝45°，进而求出∠ECD＝90°，（2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ACE＝∠B，则可得出结论；（3）由全等三角形的性质可得出BD＝CE，可推出CD+EC＝CD+BD＝BC，由△ECD的周长＝DE+CD+CE ＝DE+BC，BC为定值，推出DE定值最小时，△DCE得到周长最小，根据此线段最短即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°．故答案为：90．（2）α+β＝180°．理由如下：如图2中，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠ADE，∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B，β＝∠ABC+∠ACB，∴α+β＝180°．（3）∵△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∴CD+EC＝CD+BD＝BC，∵△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC，∵BC为定值，∴DE定值最小时，△DCE得到周长最小，∵DE＝AD，∴AD⊥BC时，AD定值最小，此时BD＝CD＝CE，∴∠EDC＝（180°﹣120°）＝30°，∴当点D运动到BC的中点时，△DEC是周长最小，此时∠EDC＝30°．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．15．（2022秋•江阴市期中）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．（1）如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，则有．（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，并连接BE，CD，则∠BOD＝°．（3）如图3，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．【分析】（1）由“SAS”可证△BAD≌△CAE；（2）由“SAS”可证△DAC≌△BAE，可得∠ADC＝∠ABE，由外角的性质可求解；（3）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，由余角的性质可求解．【解答】解：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），故答案为：△BAD，△CAE；（2）∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC＝∠ABE，∵∠ADC+∠BDC+∠ABD+∠DAB＝180°，∠ABE+∠BDC+∠ABD+∠DOB＝180°，∴∠DAB＝∠BOD＝60°，故答案为：60；（3）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠BPC+∠ABD＝∠BAC+∠ACE，∴∠BPC＝∠BAC＝90°，∴BD⊥CE．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．16．（2022秋•阜宁县期中）【问题发现】（1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，容易发现：①∠BEC 的度数为；②线段BD、CE之间的数量关系为；【类比探究】（2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，试探究∠BEC的度数及线段BE、CE、DE之间的数量关系，并说明理由；【问题解决】（3）如图3，∠AOB＝∠ACB＝90°，OA＝3，OB＝7，AC＝BC，求OC2的值．【分析】（1）由等边三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°，则∠BAD ＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE（SAS），即可解决问题；（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝135°，即可求解；（3）过点C作EF∥OB，交AO的延长线于点F，过点B作BE⊥EF于点E，由“AAS”证△ACF≌△CBE，得BE＝CF，AF＝CE，设OF＝x，再由AF＝CE列方程得x的值，然后由勾股定理可求解．【解答】解：（1）①∵△ABC和△ADE为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°，故答案为：60°；②由①可知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，故答案为：BD＝CE；（2）∠BEC＝90°，BE＝CE+DE，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，∵BE＝BD+DE，∴BE＝CE+DE；（3）如图3，过点C作EF∥OB，交AO的延长线于点F，过点B作BE⊥EF于点E，则∠BOF＝180°﹣∠AOB＝90°，∠BEC＝∠CFA＝90°，∴四边形BOFE是矩形，∴OB＝EF＝7，BE＝OF，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACF＝90°，∵∠ACF+∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠BCE，∵∠F＝∠E＝90°，AC＝BC，∴△ACF≌△CBE（AAS），∴CF＝BE，AF＝CE，设OF＝x，则CF＝BE＝OF＝x，AF＝3+x，CE＝7﹣x，∴3+x＝7﹣x，∴x＝2，∴OF＝CF＝2，在Rt△OCF中，由勾股定理得：OC2＝OF2+CF2＝22+22＝8，故答案为：8．【点评】本题是三角形的综合题，考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．17．（2021秋•兴化市期末）如图1，△ABC与△ADE是共顶点A的两个等腰三角形，其中AB＝AC，AD ＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接CE、BD．（1）求证：CE＝BD；（2）如图2，固定△ABC，将△ADE绕点A旋转，若AD＝25，BC＝20，S△ABC＝240，当点D旋转到线段BC上时，求CE的长；（3）如图3，设F为BD、CE的交点，G、H分别为BD、CE的中点，∠BFC＝α，∠AGH＝β，试探究α与β的数量关系，并说明理由．【分析】（1）由等腰三角形的性质可知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再利用SAS可证明△BAD ≌△CAE，得CE＝BD；（2）过点A作AP⊥BC于P，连接CE，根据BC＝20，S△ABC＝240，得AP＝24，可知点D在CP或BP 上，利用勾股定理解决问题；（3）连接AH，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），得∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，再利用SAS证明△ADG≌△AEH，得∠AHE＝∠AGD＝∠AGH+∠FGH，AG＝AH，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∠DAE＝∠CAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD；（2）解：如图，过点A作AP⊥BC于P，连接CE，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD，∵BC＝20，S△ABC＝240，∴AP＝24，当点D在CP上时，在Rt△APD中，PD2＝AD2﹣AP2＝49，∴PD＝7，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴P为BC的中点，∴BP＝CP，∵BC＝20，∴BP＝10，∴BD＝17，∴CE＝BD＝17，当点D在BP上时，同理可知CE＝BD＝10﹣7＝3，综上所述：CE＝3或17；（3）解：α+2β＝180°，理由如下：如图，连接AH，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，∵G，H分别为BD，CE的中点，∴DG＝EH，∵∠ADB＝∠AEC，DG＝EH，AD＝AE，∴△ADG≌△AEH（SAS），∴∠AHE＝∠AGD＝∠AGH+∠FGH，AG＝AH，∴∠AGH＝∠AHG，∵∠FHG+∠AHG+∠AHE＝180°，∴∠FHG+∠AGH+∠AGH+∠FGH＝180°，∵∠BFC＝∠FGH+∠FHG，∠BFC＝α，∠AGH＝β，∴α+2β＝180°．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉基本模型证明△BAD≌△CAE是解题的关键．。

初中几何经典模型总结（手拉手模型）模型可以让同学更快的进入到几何之中，产生兴趣。

也是近来学习初中几何不可或缺的一种重要方法。

下面给大家介绍一种经典几何模型---手拉手模型，这也是历年数学中考常考的几何压轴题型之一。

手拉手模型的概念:1、手的判别：判断左右：将等腰三角形顶角顶点朝上，正对读者，读者左边为左手顶点，右边为右手顶点。

2、手拉手模型的定义：定义: 两个顶角相等且有共顶点的等腰三角形形成的图形。

（左手拉左手，右手拉右手）例如：3、手拉手模型的重要结论三个固定结论:结论1:△ABC≌△AB'C'(SAS)BC=B'C'（左手拉左手等于右手拉右手）结论2：∠BOB'=∠BAB'（用四点共圆证明）结论3: AO平分∠BOC'（用四点共圆证明）例题解析：类型一共顶点的等腰直角三角形中的手拉手例1：已知：如图△ABC 和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°．求证：BD=CE．分析：要证BD=CE可转化为证明△BAE≌△CAD，由已知可证AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，因为∠BAC∠CAE=∠EAD ∠CAE，即可证∠BAE=∠CAD，符合SAS，即得证．解答：证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC∠CAE=∠EAD ∠CAE，即∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，AB=AC,∠BAE=∠CAD，AE=AD∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BD=CE．类型二共顶点的等边三角形中的手拉手例2：图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形。

(1)如图1，求证：AD=CE；(2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.①求证：∠CFA=60°；②求证：CF BF=AF.分析：（1）如图1，利用等边三角形性质得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE得出结论；（2）①如图2，利用（1）中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论；②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论．解答：证明：(1)如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形，∴BD=BE,AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°，∴∠ABC ∠CBD=∠DBE ∠CBD，即∠ABD=∠CBE，在△ABD和△CBE中，AB=AC∠ABD=∠CBEBD=BE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD=CE，(2)①如图2,由(1)得：△ABD≌△CBE，∴∠BCE=∠DAB，∵∠ABC=∠BCE∠CEB=60°，∴∠ABC=∠DAB ∠CEB=60°，∵∠CFA=∠DAB ∠CEB，∴∠CFA=60°，②如图3,在AF上取一点G,使FG=CF,连接CG,∵∠AFC=60°，∴△CGF是等边三角形，∴∠GCF=60°，CG=CF，∴∠GCB ∠BCE=60°，∵∠ACB=60°，∴∠ACG ∠GCB=60°，∴∠ACG=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，∵AF=AG GF，∴AF=BF CF.类型三共顶点正方形中的手拉手例3：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CE、AG,二者相交于点H。

初二数学中的“手拉手”模型如图1：两个公共顶点并且顶角相等的等腰三角形所组成的图形具有很特别的性质，我们形象地称其为“手拉手”模型；在这个图形种蕴含这两个全等三角形，而且这两个全等三角形可以看成其中一个绕着顶点旋转顶角地度数后变成另外一个。

在图1中，只需要连结BD，CE则容易证明△ABD≌△ACE；同时△ACE可以看成△ABD绕着点A顺时针旋转∠BAC的度数得到。

熟悉手拉手模型对于解题是十分有帮助的。

下面以一些初二阶段的考题为例子一起来巩固强化一下这个模型。

例1（15石狮八年级期末26题）△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE.（1）如图1，连结BE、CD，求证：CD=BE；（2）如图2，连结BD、CD，若∠BAC=∠DAE=60°，CD⊥AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，若∠BAC=∠DAE=90°，以点A为旋转中心旋转△ABC，使得点C恰好落在斜边DE上，试探究、、之间的数量关系，并加以证明．本分析：本题就是一道典型的手拉手模型问题，这边的两个等顶角共定点的等腰三角形是△ABC和△AED，因此图形中一定存在着两个全等的可以看成旋转得到的三角形。

有了这个理念就不难想到第二题连结BE；第三题连结BE，得到全等三角形，第二题中两个全等三角形是△ABE与△ACD；第三问全等的三角形是△ABE与△ACD。

发现全等在本题中是关键；例如第二题、三题就是通过全等把已知条件集中到同一个直角三角形中；利用勾股定理求解。

例2：如图3，在三角形ABC中AB=AC，∠BAC=90°，P是BC上的一点，证明：BP²+CP²=2AP²分析：这个题目中并没有直接的“手拉手”模型；但是题目中有一个已知的等腰直角三角形ABC，要证明的式子中有一个线段AP是以A为端点的，因此我们可以考虑以AP为直角边，构造以点A为顶点的另一个等腰直角三角形APD，这样就出现“手拉手”模型了，而模型中存在的两个旋转三角形也随之显现，能把相关线段集中到同一个直角三角形中。

第08讲模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形(3类热点题型讲练)目录【类型一共顶点的等边三角形】 (1)【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (21)【类型一共顶点的等边三角形】例题：（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）如图，已知点C 是AB 上一点，ACM △、CBN △都是等边三角形，连接AN 交CM 于点E ，连接BM 交CN 于点F ．(1)求证：NAC BMC(2)连接EF ，判断CEF △的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)CEF △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定和性质，（1）由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，证明 SAS ACN MCB ≌，即可得证；（2）由（1）可得EAC FMC ，继而得到ACE MCF ，证明 ASA ACE MCF ≌，得CE CF ，根据等边三角形的判定即可得出结论；掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ACM △与CBN △为等边三角形，∴60ACM BCN ，AC MC ，NC BC ，∴ACM MCN BCN NCM ，即ACN MCB ，在ACN △和MCB △中，AC MC ACN MCB NC BC，∴ SAS ACN MCB ≌；∴NAC BMC ；（2）CEF △为等边三角形．理由：∵180ACB ，60ACM BCN ，∴180606060MCF ACE ，∵NAC BMC ，即EAC FMC ，在ACE △和MCF △中，EACFMC AC MC ACE MCF，∴ASA ACE MCF ≌∴CE CF，∵60MCF ，∴CEF △是等边三角形．【变式训练】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，等边三角形BCD 和等边三角形ACE ，连接AD ，BE ，其中AC BC ．(1)求证：AD BE ；(2)如图2，当点A C 、、B 在一条直线上时，AD 交CE 于点F ，BE 交CD 于点G ，求证：BG DF ；(3)利用备用图补全图形，直线AD ，BE 交于点H ，连接CH ，若3DH ，5CH ，直接写出BH 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8BH 【分析】（1）由“SAS ”可证ACD ECB △≌△，可得AD BE ；（2）由“ASA ”可证BCG D CF ≌，可得BG DF ；（3）如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，由面积法可求CP CN ，可证60BH C CH A ，由直角三角形的性质可求 2.5PH HN ，由“AAS ”可证BCP D CN ≌，可得 5.5D N BP ，即可求解．【详解】（1）证明：BCD ∵ 和ACE △是等边三角形，BC CD ，AC CE ，60BCD ACE ，BCE DCA ，在ACD 和ECB 中，AC CE ACD ECB CD BC，()ACD ECB ≌SAS ，AD BE ；（2）证明：AC D EC B ∵ ≌，EBC ADC ，∵点C 在线段AB 上，60BCD ACE ，60DCE BCD ，在BCG 和DCF 中，90EBC ADC BC CD BCG DCF，()BCG DCF ≌ASA ，BG DF ；（3）解：如图3，过点C 作CP BE 于P ，CN AD 于N ，EBC ADC∵，DBH EBC，60DHB DCB，120BHA2．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）数学课上，张老师带领学生们对课本一道习题层层深入研究．教材再现：如图，ABD △，AEC △都是等边三角形．求证：BE DC ．(1)请写出证明过程；继续研究：(2)如图，在图1的基础上若CD 与BE 交于点O ，AB 与CD 交于点M ，AC 与BE 交于点N ，连接AO ，求证：AO 平分DOE ；(3)在（2）的条件下再探索OA ，OC ，OE 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)OE OA OC ，理由见解析．【分析】（1）根据等边三角形性质得出AB AD ，AE AC ，60BAD BDA DBA CAE ，求出BAE DAC ，根据SAS 证ABE ADC △≌△即可；（2）过点A 分别作AG BE ，AH DC ，垂足为点G ，H ，由得到ABE ADC △≌△，从而ABE ADC S S ，故有AM AN ，根据角平分线判定即可求证；（3）在OE 上截取一点Q ，使得OQ OA ，证明AOQ △是等边三角形，即可证明 SAS OAC QAE ≌，从而得证．由（1）知：ABE ADC △≌△，BE ∴ABE ADC S S ，∴11··22BE AM DC AN ，∴AM AN ，由（1）知：ABE ADC△≌△， ，∴ADC ABE∴ADC BDO ABE BDO 在BOD中，为边在直线AD 右侧作等边三角形ADE ．(1)如图1，当点D 在BC 边上时，连接CE ，此时AB ，CD ，CE 之间的数量关系为______，ACE ______；(2)如图2，当点D 在BC 的延长线上时，连接CE ，（1）中AB ，CD ，CE 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论及证明过程；(3)如图3，当点D 在射线BC 上运动时，取AC 的中点F ，连接EF ，当EF 的值最小时，请直接写出CFE 的度数．【答案】(1)CE CD AB ；60(2)不成立，CE CD AB ，证明见解析(3)30【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明ABD ACE ≌△△，可得ACE B ，CE BD ，即可得到AB ，CD ，CE 之间的数量关系；（2）同（1）中原理证明ABD ACE ≌△△，可得AB ，CD ，CE 之间新的数量关系；（3）本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，根据ABD ACE ≌△△，证明BDG CFE ≌，则可得EF DG ，当GD BC 时，取最小值，则EF 此时也去最小值，即可求得此时CFE 的值，见手拉手模型则考虑证全等，将EF 转换到ABD △中等量的中线看最小值，是解题的关键．【详解】（1）解：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，,60AB BC B ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，60ACE B ，CE DC BD DC BC AB ，即CE CD AB ，故答案为：CE CD AB ；60 ；（2）不成立，CE CD AB ，证明如下：证明：ABC ∵ 是等边三角形，ADE V 是等边三角形，,AB AC AD AE ，BAC DAE ，AB BC ，BAC DAC DAE DAC ，即BAD CAE ，在BAD 与CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE， SAS BAD CAE △≌△，CE BD ，CE CD BD CD BC AB ，即CE CD AB ；（3）解：如图，连接CE ，取AB 的中点G ，连接DG ，【类型二共顶点的等腰直角三角形】例题：（2023春·全国·八年级专题练习）ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ．(1)如图1，点D 、E 在AB ，AC 上，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？（直接写出答案不证明）(2)如图2，点D 在ABC 内部，点E 在ABC 外部，连接BD ，CE ，则BD ，CE 满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【答案】(1)BD CE ，BD CE(2)BD CE ，BD CE ，理由见解析【分析】（1）根据等腰直角三角形结合线段的和差即可得到结论；（2）延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，证明ABD ACE ≌△△，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答；【详解】（1）解：∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∴AB AD AC AE ，即BD CE ，∵点D ，E 在AB ，AC 上，AD AC ，∴BD CE ；（2）BD CE ，BD CE ，理由如下：延长BD ，分别交AC 、CE 于F 、G ，∵ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ，∴AB AC ，AD AE ，∵BAD BAC DAC ，CAE DAE DAC ，∴BAD CAE ，在ABC 和ADE V 中，AB AC BAD CAE AD AE，∴ABD ACE ≌△△，∴BD CE ，ABD ACE ，∵A F B G F C ，180AFB ABD BAC GFC ACE CGF ，∴90CGF BAF ，即BD CE ；【点睛】本题是三角形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断ADB 的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）AE BD ，AE BD ；（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由见解析【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明 SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴AC BC ，CD CE ，∴90ACE ECB BCD ECB ，∴ACE BCD ，∴ SAS ACE BCD ≌，∴AE BD ，CAE CBD ，∵90CAE AOC ，AOC BOH ，∴90BOH CBD ，∴90AHB ，∴AE BD ．故答案为：AE BD ，AE BD ．（2）90ADB ，2AD CM BD ；理由如下：如图2中，∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ，∴45CDE CED ，∴180135AEC CED ，由（1）可知：ACE BCD ≌，∴AE BD ，135BDC AEC ，∴1354590ADB BDC CDE ；在等腰直角三角形DCE 中，CM 为斜边DE 上的高，∴CM DM ME ，∴2DE CM ，∴2AD DE AE CM BD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．2．（2023秋·山东日照·八年级校考阶段练习）已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点D 是直线BC 上的一动点（点D 不与B ，C 重合），连接CE ．（1）在图1中，当点D 在边BC 上时，求证：BC =CE +CD ；（2）在图2中，当点D 在边BC 的延长线上时，结论BC =CE +CD 是否还成立？若不成立，请猜想BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）在图3中，当点D 在边BC 的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC ，CE ，CD 之间存在的数量关系及直线CE 与直线BC 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由见解析；（3）BC CD CE ；CE BC ，理由见解析【分析】（1）证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC =BD +CD =CE +CD 成立；（2）同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），可得BD =CE ，即可证得BC BD CD CE CD 成立，故BC =CE +CD 不成立；（3）补全图形，同样证明△BAD ≌△CAE （SAS ），利用全等三角形的性质即可作出结论：BC CD CE ；CE BC ．【详解】（1）证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形∴AB =AC ，AD =AE ，90BAC DAE∴90BAD DAC CAE DAC∴BAD CAE∴△BAD ≌△CAE （SAS ）∴BD =CE∴BC =BD +CD =CE +CD（2）结论BC =CE +CD 不成立，猜想BC =CE -CD ，理由如下：∵90BAC DAEBAC CAD DAE CADBAD CAE又∵AB =AC ，AD =AEBAD CAE SAS BD CEBC BD CD CE CD（3）BC CD CE ；CE BC ；理由如下：补全图形如图3，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴∠ABD =135°，由（1）同理可得，在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD EAC AD AE，(1)如图1，若30CAD ，10DCB ，求DEB 的度数；(2)如图2，若A 、D 、E 三点共线，AE 与BC 交于点F ，且CF BF ，AD (3)如图3，BE 与AC 的延长线交于点G ，若CD AD ，延长CD 与AB 交于点△BNM≌△BNT （SAS ），利用全等三角形的性质，可得结论．【详解】（1）解：如图1中，90ACB DCE Q ，ACB BCD DCE BCD ，ACD BCE ，在ACD 和BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE，ACD ≌ SAS BCE ，30CAD CBE ，10DCB ∵，901080ECB ，180803070CEB ，45CED ∵，704525DEB ；（2）如图2中，过点C 作CQ DE 于Q ．∵，AD CD90ADC ，同理：ACD ≌BCE ，90ADC BEC ，90BCT ECB ∵，90ECB CBG ，BCT CBG ，在CBT 和BCG 中，90BCT CBG CB BC CBT BCG，CBT ≌ ASA BCG ，BT CG ，CT BG ，BM CG ∵，BM BT ，在BNM 和BNT 中，45BM BT NBM NBT BN BN，BNM ≌ SAS BNT ，MN NT ，CN MN CN NT CT BG ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【类型三共顶点的一般等腰三角形】例题：（2023秋·广东·八年级校联考期末）若ABC 和ADE V 均为等腰三角形，且AB AC AD AE ，当ABC 和ADE 互余时，称ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，ABC 的边BC 上的高AH 叫做ADE V 的“余高”．(1)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，若连接BD ，CE ，判断ABD △与ACE △是否互为“底余等腰三角形”：______（填“是”或“否”）；(2)如图1，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，当0180BAC 时，若ADE V 的“余高”是AH ．①请用直尺和圆规作出AH ；（要求：不写作法，保留作图痕迹）②求证：2DE AH ．(3)如图2，当90BAC 时，ABC 与ADE V 互为“底余等腰三角形”，连接BD 、CE ，若6BD ，8CE ，请直接写出AB 的长．【答案】(1)是(2)见详解(3)5【分析】（1）根据题意可得90ABC ADE ，90ACB AED ，四边形内角和为360 ，求出【变式训练】1．（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．(1)如图1，当60BAD CAE 时，①ABD △、ACE △的形状是____________；②求证：BE DC ．(2)若60BAD CAE ，①如图2，当AB AD AC AE ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ，时，BE DC 是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE∴ABD △、ACE △是等边三角形，故答案为：等边三角形．②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，∴AB AD ，AE AC ，60DAB CAE ，∵DAC DAB BAC ，BAE CAE BAC ，∴DAC BAE ，在△BAE 与△DAC 中，∵AB AD BAE DAC AE AC，∴ SAS BAE DAC ≌ ．∴BE DC ．（2）①当AB AD ，AE AC 时，成立．理由：如图，∵AB AD ，BAE DAC ，AE AC ，∴ SAS BAE DAC ≌ ，∴BE DC ；②当AB DB ，AC EC 时，不成立．理由：如图，∵60BAD CAE ，∴AB DB AD ，AC EC AE ，∴BAE 与DAC △不全等，∴BE DC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC ，CD CE ，ACB 与DCE 为“同源角”．(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ，则 EMD ______°．(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．【答案】(1)AD BE ，详见解析(2)45(3)详见解析【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE 可求出45DCE ACB ，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ，然后根据“8”子三角形即可求出EMD 的度数；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ，BE AD ．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP ，ACQ BCP ，进而可证结论成立．【详解】（1）AD BE ．理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，所以ACB DCE ，所以ACD BCE ．在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE所以 SAS ACD BCE △≌△．所以AD BE ．（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，∴ACB DCE ．∵90ACE ，∴45DCE ACB ．由（1）可知≌ACD BCE V V ，∴ADC BEC ．∵MOE COD ，∴45EMD DCE ．故答案为：45；（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，所以CAQ CBP ，BE AD ．因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，所以AQ BP ．在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP所以 SAS ACQ BCP △≌△，所以CQ CP ，ACQ BCP ．又因为90BCP PCA ，所以90ACQ PCA ．所以90PCQ ，所以PCQ △是等腰直角三角形．【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）规定：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图①，在ABC 与ADE V 中，AB AC ，当BAC BAD BAE 、、、满足条件____时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”；(2)如图②，在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，BE CD 、相交于点M ，连AM ，求证：MA 平分BMD(3)如图③，在四边形ABCD 中，180BAD BCD ，AD AB ，AC BC DC ，求BAD 的度数．【答案】(1)BAE BAC BAD ；(2)见解析(3)60BAD【分析】（1）顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．据此推导出BAC BAD BAE 、、的关系便可；（2）过点A 作AM BE 于点M ，作AN CD 于点N ，再证明ABE ACD ≌得AM AN ，再根据角平分线的判定定理得结论；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，连接AE ，证明ABC ADE △≌△，进而得ACE △是等边三角形，便可得60BAD CAE ．【详解】（1）∵在ABC 与ADE V 中，AB AC ，∴当BAC DAE 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，∵BAE DAE BAD ，∴BAE BAC BAD ，故当BAE BAC BAD 时，ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，故答案为BAE BAC BAD ；（2）过点A 作AH BE 于点H ，作AN CD 于点N ，∵在ABC 与ADE V 互为“兄弟三角形”，AB AC ，∴BAC DAE ，AD AE ，∴BAE CAD ，∴ SAS ABE ACD ≌，∴AH AN （全等三角形的对应高相等），∴MA 平分BMD ；（3）延长CD 至E ，使得DE BC ，如图③，∵180BAD BCD ，∴360180180 ABC ADC ，∵180ADC ADE ，∴ABC ADE ，∵AB AD ，∴ SAS ABC ADE ≌，∴AC AE BAC DAE ，，∴BAD CAE ，∵AC BC DC DE DC CE ，∴AC CE AE ，∴60CAE ，∴60BAD ．【点睛】此题考查了新定义，等腰三角形的定义，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形和全等三角形是解本题的关键．。

初二数学知识点：手拉手模型
初中三大变换：平移、旋转、翻折。

下面介绍的是旋转变换里面的手拉手模型：
全等三角形的5种判定方法：
①SSS（边边边）
②SAS（边角边）
③ASA（角边角）
④AAS（角角边）
⑤HL（斜边直角边）
在初中阶段旋转变换中最经典的两个模型是：
①倍半角模型
②手拉手模型
那到底什么是手拉手角模型？我们一起来看一道中考题。

其中第3小问就是典型的手拉手模型，一起来看一下具体应该如何去解？
四、题型识别归纳与方法总结
我们一起回顾一下刚刚的解题过程，可以总结这类题型的特征以及解决这类题型的相关技巧。

五、练习题
这一道题的第一问就是手拉手模型！。

全等型“手拉手”数学模型详解手拉手模型是最常见的一类证明全等或相似的重要数学模型，全等型手拉手模型主要有以下三个特征：双等腰、共顶点、顶角相等.【模型解析】模型一：等边三角形△ABC 和△CDE 均为等边三角形，点C 为公共顶点，如下图：结论：△ACE ≌△BCD .【例题1】如图，△ABD 与△BCE 都是等边三角形，连接AE 与CD，延长AE 交CD 于点F .求证：AE = DC，∠AFD = 60° .证明：∵△ABD 与△BCE 都是等边三角形，∴AB = DB , EB = CB , ∠ABD = ∠EBC = 60°，又∵∠ABE + ∠EBD = ∠DBC + ∠EBD = 60°，∴∠ABE = ∠DBC，∴△ABE ≌△DBC（SAS），∴AE = DC ，∠EAB = CDB .∵∠DAE + ∠EAB = ∠DAB = 60°，∴∠DAE + ∠CDB = 60°，∵∠AFC = ∠DAE + ∠ADB + ∠CDB = 60°+ 60°= 120°，∴∠AFD = 180°- ∠AFC = 180°- 120°= 60° .模型二：等腰三角形等腰△ABC 和等腰△CDE，点C 是公共顶点，∠ACB = ∠DCE = a , 如下图：结论：△ACD ≌△BCE .模型三：等腰直角三角形等腰Rt△AOB 和等腰Rt△EOF，点O 为公共顶点，如下图：AE = BF , AE⊥BF .现将△EOF 绕点O 顺时针旋转一周，可以分为以下几种情况来考虑：结论：①图二、三、五，当A、O、F 三点不共线时，△AOE ≌△BOF；②图一、四、六，△AOB ∽△EOF；③由图六可知，点E、F 的运动轨迹是圆弧（注意特殊位置的最值问题）. 模型四：正方形正方形ABCD 和正方形CEFG ，点C 是公共顶点，如下图：结论：△BCG ≌△DCE .【例题2】如图①所示，四边形ABCD 是正方形，点E 是AB 的中点，以AE 为边作正方形AEFG，连接DE , BG .（1）发现：①线段DE、BG 之间的数量关系是 DE = BG；②线段DE、BG 之间的位置关系是DE⊥BG；（2）探究：如图②，将正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【提示】（1）、（2）中，用手拉手模型证明三角形全等即可解题 .【模型应用】【例题3】如图，在长方形ABCD 中，AB = 3 , BC = 4 , E 为BC 上一点，且BE = 1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG 的最小值是多少？【解析】如图，当CG⊥B'G 时，此时CG 最小 .解法的实质就是构造了一个和△BEF 全等、共顶点的三角形，或者说是将△BEF 绕点E 旋转了45°.△FBE ≌△GB'E ≌△EOG，四边形B'EOG 是矩形，∠B'EO = 90°，从而可知△EOC 是等腰直角三角形，OE = OC , ∠EOC = 90°，由EC = 3，可知OC = 3√2/2，所以CG = 1 + 3√2/2 .【例题4】在正方形ABCD 中，CD = 2 , 若点P 满足PD = 1，且∠BPD = 90°，请直接写出点A 到BP 的距离为多少？【解析】其实点P 的轨迹就是以点D 为圆心，PD 长为半径的圆，∠BPD = 90°，可知BP 与该圆相切 .第一种情况：如图所示，连接AP , 过点A 作AF⊥AP，AE⊥BP，交BP 于点F，E .可证：△ABF ≌△ADP（ASA），∴FB = PD = 1 , AF = AP，∴△PAF 是等腰直角三角形 .设AE = EF = x , 在Rt△AEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 - BE2 , 即x2 = 2^2 - （x + 1）2 ,解得：x1 = （-1 + √7）/2 , x2 = （-1 - √7）/2 （舍去），此时点A 到BP 的距离是（-1 + √7）/2；第二种情况：如图所示，连接AP，过点A 作AF⊥AP，交PB 延长线于点F，AE⊥BP，垂足为点E .可证：△ABF ≌△ADP（ASA），∴FB = PD = 1 , AP = AF ,∴△PAF 是等腰直角三角形 .设AE = EF = x , 在Rt△AEB 中，由勾股定理可得：AE2 = AB2 - BE2 , 即x2 = 2^2 - （x - 1）2 ,解得：x1 = （1 + √7）/2 , x2 = （1 - √7）/2 （舍去）, 此时点A 到BP 的距离是（1 + √7）/2 .。

初二手拉手数学模型典型例题问题描述：
在一次班级活动中，学生们要进行手拉手的游戏。

如果每个学生和其他所有学生都握手一次，一共握了28次手。

问这个班级有多少名学生？
解题思路：
假设班级中有n名学生，那么每个学生要和其他n-1名学生握手，而每次握手会计算两次，因此总握手次数为n(n-1)/2。

根据题目的描述，总握手次数为28。

因此，我们可以得到一个方程，n(n-1)/2=28。

解题步骤：
1. 将方程n(n-1)/2=28展开，得到n^2 n 56 = 0。

2. 使用求根公式，求得n的值。

即 n = (-b ± √(b^2-
4ac))/2a，其中a=1，b=-1，c=-56。

3. 求得n的值后，检验得到的解是否符合题意，即是否为正整数。

综上所述，这个问题是一个典型的手拉手数学模型例题。

通过建立方程、求解方程，我们可以得到班级中学生人数的解。

这种类型的问题有助于学生理解数学模型在实际问题中的应用，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。

相似三角形重要模型-手拉手模型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

手拉手模型相似是手拉手模型当中相对于手拉手全等模型较难的一种模型，在实际的应用和解题当中出现时，对于同学们来说，都比较困难。

而深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“手拉手”模型(旋转模型)。

手拉手相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。

模型1.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

1)手拉手相似模型(任意三角形)条件:如图，∠BAC =∠DAE =α，AD AB =AE AC=k ；结论：△ADE ∽△ABC ，△ABD ∽△ACE ；EC BD =k .2)手拉手相似模型(直角三角形)条件:如图，∠AOB =∠COD =90°，OC OA =OD OB =k (即△COD ∽△AOB )；结论：△AOC ∽△BOD ；BD AC =k ，AC ⊥BD ，S ABCD =12AB ×CD .3)手拉手相似模型(等边三角形与等腰直角三角形)条件:M 为等边三角形ABC 和DEF 的中点；结论：△BME ∽△CMF ；BE CF =3.条件:△ABC 和ADE 是等腰直角三角形；结论：△ABD ∽△ACE .1(2023秋·福建泉州·九年级校考期末)问题背景：(1)如图①，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用：(2)如图②，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC =∠DAE =90°，∠ABC =∠ADE =60°，AC 与DE相交于点F ，点D 在BC 边上，DF CF=233，求AD BD 的值；拓展创新：(3)如图③，D 是△ABC 内一点，∠BAD =∠CBD =30°，∠BDC =90°，AB =4，AC =23，求AD 的长．【答案】(1)见解析；(2)AD BD =2；(3)AD =5【分析】问题背景(1)由题意得出AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，则∠BAD =∠CAE ，可证得结论；尝试应用(2)连接EC ，证明△ABC ∽△ADE ，由(1)知△ABD ∽△ACE ，由相似三角形的性质得出AE AD =EC BD =3，∠ACE =∠ABD =∠ADE ，可证明△ADF ∽△ECF ，得出DF CF =AD CE=233，则可求出答案．拓展创新(3)过点A 作AB 的垂线，过点D 作AD 的垂线，两垂线交于点M ，连接BM ，证明△BDC ∽△MDA ，由相似三角形的性质得出BD MD =DC DA ，证明△BDM ∽△CDA ，得出BM CA =DM AD=3，求出BM =6，由勾股定理求出AM ，最后由直角三角形的性质可求出AD 的长．【详解】问题背景(1)证明：∵△ABC ∽△ADE ，∴AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，AB AC =AD AE，∴△ABD ∽△ACE ；尝试应用(2)解：如图，连接EC ，∵∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，∴△ABC∽△ADE，AE=3AD由(1)知△ABD∽△ACE，∴AEAD=ECBD=3，∠ACE=∠ABD=∠ADE=60°，∴AEEC=ADBD，∵∠AFD=∠AEFC∴△ADF∽△ECF∴DFCF =ADCE∵DF CF =233∴DFCF=ADCE=233∴AD=233CE∴AE=3AD=2CE∴ADBD=AEEC=2，拓展创新(3)解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD=30°，∴∠DAM=60°，∴∠AMD=30°，∴∠AMD=∠DBC，又∵∠ADM=∠BDC=90°，∴△BDC∽△MDA，∴BDMD=DCDA，又∠BDC=∠ADM，∴∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM，即∠BDM=∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴BMCA=DMAD=3，∵AC=23，∴BM=23×3=6，∴AM=BM2-AB2=62-42=25，∴AD=12AM=5．【点睛】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．2(2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习)【模型呈现：材料阅读】如图，点B，C，E在同一直线上，点A，D在直线CE的同侧，△ABC和△CDE均为等边三角形，AE，BD 交于点F，对于上述问题，存在结论(不用证明)：(1)△BCD≌△ACE(2)△ACE可以看作是由△BCD绕点C旋转而成；⋯【模型改编：问题解决】点A ，D 在直线CE 的同侧，AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，直线AE ，BD 交于F ，如图1：点B 在直线CE 上，①求证：△BCD ∽△ACE ； ②求∠AFB 的度数． 如图2：将△ABC 绕点C 顺时针旋转一定角度．③补全图形，则∠AFB 的度数为；④若将“∠BAC =∠DEC =50°”改为“∠BAC =∠DEC =m °”，则∠AFB 的度数为．(直接写结论)【模型拓广：问题延伸】如图3：在矩形ABCD 和矩形DEFG 中，AB =2，AD =ED =23，DG =6，连接AG ，BF ，求BF AG 的值．图1 图2 图3【答案】【模型改编：问题解决】①见解析；②65°；③图见解析，115°；④90°+m °2【模型拓广：问题延伸】233【分析】【模型改编：问题解决】①先证明△ABC ∽△EDC ，可得AC EC =BC DC，再证明∠ACE =∠BCD ，可得△BCD ∽△ACE ；②由△BCD ∽△ACE ，可得∠DBC =∠EAC ，再结合三角形的外角可得答案；③连接EA 并延长交BD 于F ，同理可得：△BCD ∽△ACE ，∠CEF =∠BDC ，再结合三角形的外角可得答案；④先求解∠CDE =∠DCE =12180°-m ° =90°-12m °，结合③的思路可得答案；【模型拓广：问题延伸】连接BD 、DF ，先证明△ADB ∽△GDF ，可得∠ADB =∠GDF ，AD DG =BD DF ，证明∠ADG =∠BDF ，可得△BDF ∽△ADG ，可得BF AG =BD AD，从而可得答案．【详解】【模型改编：问题解决】①∵AB =AC ，ED =EC ，∠BAC =∠DEC =50°，∴∠ABC =∠ACB =180°-50° ÷2=65°，∠EDC =∠ECD =180°-50° ÷2=65°，∴△ABC ∽△EDC ，∴AC EC =BC DC，∵∠ACE =180°-∠ACB =115°，∠BCD =180°-∠DCE =115°，∴∠ACE =∠BCD ，∴△BCD ∽△ACE ；②由①知，△BCD ∽△ACE ，∴∠DBC =∠EAC ，∴∠AFB =∠DBC +∠CEA =∠EAC +∠CEA =∠ACB =65°③补图如下：连接EA 并延长交BD 于F ，图2同理可得：△BCD ∽△ACE ∴∠CEF =∠BDC ，∴∠AFB =∠BDC +∠CDE +∠DEF =∠CEF +∠CDE +∠DEF =∠CED +∠CDE =50°+65°=115°，④∵∠BAC =∠DEC =m °，CE =DE ，∴∠CDE =∠DCE =12180°-m ° =90°-12m °，同理③可得∠AFB =∠CED +∠CDE =m °+90°-12m °=90°+m °2，故答案为：90°+m °2；【模型拓广：问题延伸】连接BD 、DF ，图3∵在矩形ABCD 和矩形DEFG 中，AB =2，AD =ED =FG =23，DG =6，∴AB AD =GF DG =33，又∵∠BAD =∠DGF =90°，∴△ADB ∽△GDF ，∴∠ADB =∠GDF ，AD DG=BD DF ，∵∠ADG =∠GDF +∠ADF ，∠BDF =∠ADB +∠ADF ，∴∠ADG =∠BDF ，∴△BDF ∽△ADG ，∴BF AG =BD AD，∵AD =23，AB =2，∴BD =AB 2+AD 2=4，∴BF AG =BD AD =423=233．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的证明三角形相似是解本题的关键．3(2023春·湖北黄冈·九年级专题练习)【问题呈现】△CAB 和△CDE 都是直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°,CB =mCA ,CE =mCD ，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当m =1时，直接写出AD ，BE 的位置关系：；(2)如图2，当m ≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m =3,AB =47,DE =4时，将△CDE 绕点C 旋转，使A ,D ,E 三点恰好在同一直线上，求BE 的长．【答案】(1)BE ⊥AD (2)成立；理由见解析(3)BE =63或43【分析】(1)根据m =1，得出AC =BC ，DC =EC ，证明△DCA ≌△ECB ，得出∠DAC =∠CBE ，根据∠GAB +∠ABG =∠DAC +∠CAB +∠ABG ，求出∠GAB +∠ABG =90°，即可证明结论；(2)证明△DCA ∽△ECB ，得出∠DAC =∠CBE ，根据∠GAB +∠ABG =∠DAC +∠CAB +∠ABG ，求出∠GAB +∠ABG =90°，即可证明结论；(3)分两种情况，当点E 在线段AD 上时，当点D 在线段AE 上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．【详解】(1)解：∵m =1，∴AC =BC ，DC =EC ，∵∠DCE =∠ACB =90°，∴∠DCA +∠ACE =∠ACE +∠ECB =90°，∴∠DCA =∠ECB ，∴△DCA ≌△ECB ，∴∠DAC =∠CBE ，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG=∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴BE⊥AD；故答案为：BE⊥AD．(2)解：成立；理由如下：∵∠DCE=∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，∴∠DCA=∠ECB，∵DC CE =ACBC=1m，∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC=∠CBE，∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，=∠CBE+∠CAB+∠ABG =∠CAB+∠CBA=180°-∠ACB=90°，∴∠AGB=180°-90°=90°，∴BE⊥AD；(3)解：当点E在线段AD上时，连接BE，如图所示：设AE=x，则AD=AE+DE=x+4，根据解析(2)可知，△DCA∽△ECB，∴BE AD =BCAC=m=3，∴BE=3AD=3x+4=3x+43，根据解析(2)可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE2+BE2=AB2，即x2+3x+432=472，解得：x=2或x=-8(舍去)，∴此时BE=3x+43=63；当点D在线段AE上时，连接BE，如图所示：设AD=y，则AE=AD+DE=y+4，根据解析(2)可知，△DCA∽△ECB，∴BE AD =BCAC=m=3，∴BE=3AD=3y，根据解析(2)可知，BE⊥AD，∴∠AEB=90°，根据勾股定理得：AE 2+BE 2=AB 2，即y +4 2+3y 2=47 2，解得：y =4或y =-6(舍去)，∴此时BE =3y =43；综上分析可知，BE =63或43．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．4(2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习)如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α．点D 是△ABC 所在平面内不与点A 、C 重合的任意一点，连接CD ，将线段CD 绕点D 顺时针旋转α得到线段DE ，连接AD 、BE ．(1)如图1，当α=60°时，求证：BE =AD ．(2)当α=120°时，请判断线段BE 与AD 之间的数量关系是，并仅就图2的情形说明理由．(3)当α=90°时，且BE ⊥AB 时，若AB =8，BE =2，点E 在BC 上方，求CD 的长．【答案】(1)见解析，(2)BE =3AD ，理由见解析(3)82【分析】(1)先证明△ABC 和△DCE 是等边三角形，再证明△ADC ≌△BEC ，可推出BE =AD ；(2)过A 作AH ⊥BC 与H ，先根据含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理可求出BC =3AC ，同理求出CE =3CD ，可得出BC EC =3AC 3DC=AC DC ，证明∠DCA =∠BCE ，然后证明△EBC ∽△DAC 即可求解；(3)过E 作EF ⊥BC 于F ，可判断△BEF 是等腰直角三角形，然后可求出EF ，BF ，CF 的长度，由(2)同理可证出△EBC ∽△DAC ，最后根据相似三角形的性质即可求解．【详解】(1)解：∵旋转，∴CD =ED ，当α=60°时，又AB =AC ，∴△ABC 和△DCE 是等边三角形，∴AC =BC ，DC =EC ，∠DCE =∠ACB =60°，∴∠ACD =∠BCE ，∴△ADC ≌△BEC ，∴AD =BE ；(2)解：BE =3AD 过A 作AH ⊥BC 与H ，∵AB =AC ，∠BAC =α=120°，∴∠ACB =30°，CH =12BC ，∴AC =2AH ，又由勾股定理得AH 2+CH 2=AC 2，∴CH =32AC ，∴BC =3AC ，同理CE =3CD ，∵DC =EC ，∠CDE =α=120°，∴∠DCE =30°=∠ACB ，∴∠DCA =∠BCE ，∵BC =3AC ，CE =3CD ，∴BC EC =3AC 3DC =AC DC ，∴△EBC ∽△DAC ，∴BE AD =BC AC =3，即BE =3AD (3)解：如图，过E 作EF ⊥BC 于F ，当α=90°时，∵AC =AB =8，∴∠ACB =45°，BC =AB 2+AC 2=2AC =82，∵BE ⊥AB ，∴∠EBF =45°=∠BEF ，∴BF =EF ，∵BE =EF 2+BF 2=2EF =2，∴EF =BF =2，∴CF =BF +BC =92，∴CE =EF 2+CF 2=241，由(2)同理可证△EBC ∽△DAC ，∴EC DC =BC AC=2，即241DC =2，∴DC =82．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键在于正确寻找全等三角形或相似三角形．5(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC 和△AEF 中，AB =AC ，AE =AF ，∠BAC =∠EAF =30°，连接BE ，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．【答案】(1)BE=CF，30(2)BE=CF，∠BDC=60°，证明见解析(3)BF=CF+2AM(4)7+74或7-74【分析】(1)根据已知得出∠BAE=∠CAF，即可证明△BAE≌△CAF，得出BE=CF，∠ABE=∠ACF，进而根据三角形的外角的性质即可求解；(2)同(1)的方法即可得证；(3)同(1)的方法证明△BAE≌△CAF SAS，根据等腰直角三角形的性质得出AM=12EF=EM=MF，即可得出结论；(4)根据题意画出图形，连接BD，以BD为直径,BD的中点为圆心作圆，以D点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P,P1，延长BP至M，使得PM=DP=1，证明△ADP∽△BDM，得出PA=22BM，勾股定理求得PB，进而求得BM，根据相似三角形的性质即可得出PA=221+7=2+142，勾股定理求得BQ,PQ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】(1)解：∵∠BAC=∠EAF=30°，∴∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF，∠ABE=∠ACF设AC,BD交于点O，∵∠AOD=∠ACF+∠BDC=∠ABE+∠BAO∴∠BDC=∠BAO=∠BAC=30°，故答案为：BE= CF，30．(2)结论：BE=CF，∠BDC=60°；证明：∵∠BAC=∠EAF=120°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵AB=AC，AE=AF，∴△BAE≌△CAF∴BE=CF，∠AEB=∠AFC∵∠EAF=120°，AE=AF，∴∠AEF=∠AFE=30°，∴∠BDC=∠BEF-∠EFD=∠AEB+30°-∠AFC-30°=60°，(3)BF=CF+2AM，理由如下，∵∠BAC=∠EAF=90°，∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，又∵△ABC和△AEF均为等腰直角三角形∴AB=AC,AE=AF，∴△BAE≌△CAF SAS，∴BE= CF，在Rt △AEF 中，AM ⊥BF ，∴AM =12EF =EM =MF ，∴BF =BE +EF =CF +2AM ；(4)解：如图所示，连接BD ，以BD 为直径,BD 的中点为圆心作圆，以D 点为圆心，1为半径作圆，两圆交于点P ,P 1，延长BP 至M ，使得PM =DP =1，则△MDP 是等腰直角三角形，∠MDP =45°∵∠CDB =45°,∴∠MDB =∠MDP +∠PDC +∠CDB =90°+∠PDC =∠ADP ，∵AD DB =12,DP DM =12，∴△ADP ∽△BDM ∴PA BM =12=22，∴PA =22BM ，∵AB =2，在Rt △DPB 中，PB =DB 2-DP 2=22 2-12=7，∴BM =BP +PM =7+1∴PA =221+7 =2+142过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，设QB =x ，则AQ =2-x ，在Rt △APQ 中，PQ 2=AP 2-AQ 2，在Rt △PBQ 中，PQ 2=PB 2-BQ 2∴AP 2-AQ 2=PB 2-BQ 2∴2+142 2-2-x 2=7 2-x 2解得：x =7-74，则BQ =7-74，设PQ ,BD 交于点G ，则△BQG 是等腰直角三角形，∴QG =QB =7-74在Rt △DPB ,Rt △DP 1B 中，DP =DP 1DB =DB ∴Rt △DPB ≌Rt △DP 1B ∴∠PDB =∠P 1DB又PD =P 1D =1，DG =DG ∴△PGD ≌△P 1DG ∴∠PGD =∠P 1GD =45°∴∠PGP 1=90°，∴P 1G ∥AB ∴S △ABP 1=12AB ×QG =12×2×7-74=7-74，在Rt △PQB 中，PQ =PB 2-BQ 2=7 2-7-74 2=7+74∴S△ABP =12AB ×PQ =12×2×7+74=7+74，综上所述，S△ABP=7+74或7-74故答案为：7+74或7-74．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．6(2023·山东济南·九年级统考期中)问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形ABCD和等腰Rt△CEF按如图1所示的位置摆放(点B、C、E在同一条直线上)，其中∠ECF=90°．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究(1)如图2，将等腰Rt△CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE．请直接写出BF与DE的关系；(2)如图3，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成菱形ABCD和等腰△CEF，其中CE=CF，∠BCD=∠FCE，其他条件不变，求证：BF=DE；深入探究：(3)如图4，将(1)中的正方形ABCD和等腰Rt△CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF=90°且CECF =CDBC=34，其它条件不变．①探索线段BF与DE的关系，说明理由；②连接DF，BE若CE=6，AB=12，直接写出DF2+BE2=．【答案】(1)BF=DE，BF⊥DE；(2)见解析；(3)①DEBF=34，DE⊥BF，见解析；②500【分析】(1)由正方形的性质，等腰直角三角形的性质，得到BC=CD，CE=CF，证明△BCF≌DCE，得到BF=DE，∠CBF=∠CDE，结合对顶角相等，即可得到BF⊥DE；(2)由菱形的性质，旋转的性质，先证明ΔBCF≌ΔDCE，即可得到结论成立；(3)①由矩形的性质，直角三角形的性质，先证明ΔBCF∽ΔDCE，得到BF与DE的数量关系，再由余角的性质证明位置关系即可；②连接BD，先求出矩形的边长，直角三角形的边长，与(1)同理先证明BF⊥DE，然后利用勾股定理，等量代换，即可得到DF2+BE2=500．【详解】解：(1)如图：∵正方形ABCD和等腰Rt△CEF中，∴BC=CD，CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，∴∠BCD+∠DCF=∠ECF+∠DCF，即∠BCF=∠DCE，∴△BCF≌DCE，∴BF=DE，∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DFG=90°∴BF⊥DE．(2)证明：如图：∵∠BCD=∠FCE，∴∠BCF=∠DCE，∵四边形ABCD为菱形∴BC=CD，又∵CE=CF∴△BCF≌△DCE(SAS)，∴BF=DE；(3)①∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，∴∠BCD=∠FCE∴∠BCF=∠DCE，又∵CECF=CDBC=34∴△BCF∽△DCE，∴DEBF=CECF=34；∴∠CBF=∠CDE，设CD与BF交于点G∵∠BGC=∠DGF∴180°-∠CBF-∠BGC=180°-∠CDE-∠DGF，∴∠DQB=∠BCD=90°∴DE⊥BF．②如图：连接BD在矩形ABCD中，CD=AB=12，∵CE=6，6CF =12BC=34，∴CF=8，BC=16，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF=∠CDE，∵∠BGC=∠DGF，∴∠BCG=∠DQG=90°，∴BF⊥DE；在直角△BCD中，有BD2=BC2+CD2=162+122=400，在直角△BDQ中，BD2=BQ2+DQ2=400；在直角△CEF中，EF2=CE2+CF2=62+82=100，在直角△EFQ中，EF2=EQ2+FQ2=100；∴BQ2+DQ2+EQ2+FQ2=400+100=500；在直角△BEQ和直角△DFQ中，由勾股定理，则∵BQ2+EQ2=BE2，DQ2+FQ2=DF2，∴DF2+BE2=BQ2+DQ2+EQ2+FQ2=500；故答案为：500．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，找到证明三角形相似和三角形全等的条件进行解题．7(2023春·广东·九年级专题练习)已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到△EOF，连接AE，CF．(1)如图1，当∠BAC=90°且AB=AC时，则AE与CF满足的数量关系是；(2)如图2，当∠BAC =90°且AB≠AC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图3，延长AO到点D，使OD=OA，连接DE，当AO=CF=5，BC=6时，求DE的长．【答案】(1)AE=CF；(2)成立，证明见解析；(3)511 3【分析】(1)结论AE=CF．证明ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，可得结论．(2)结论成立．证明方法类似(1)．(3)首先证明∠AED=90°，再利用相似三角形的性质求出AE，利用勾股定理求出DE即可．【详解】解：(1)结论：AE=CF．理由：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，AO⊥BC，∵∠AOC=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．(2)结论成立．理由：如图2中，∵∠BAC=90°，OC=OB，∴OA=OC=OB，∵∠AOC=∠EOF，∴∠AOE=∠COF，∵OA=OC，OE=OF，∴ΔAOE≅ΔCOF(SAS)，∴AE=CF．(3)如图3中，由旋转的性质可知OE =OA ，∵OA =OD ，∴OE =OA =OD =5，∴∠AED =90°，∵OA =OE ，OC =OF ，∠AOE =∠COF ，∴OA OC =OE OF ，∴ΔAOE ∽ΔCOF ，∴AE CF =OA OC，∵CF =OA =5，∴AE 5=53，∴AE =253，∴DE =AD 2-AE 2=102-253 2=5113．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．课后专项训练1(2023秋·北京顺义·九年级校考期中)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠ADE =90°．连接BD ，CE ．则BD CE的值为()A.12B.22C.2D.2【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质可推出∠DAE =∠BAC =45°，AE =2AD ，AC =2AB ，从而可得出∠EAC =∠DAB ，AE AD =AC AB=2，证明△DAB ∽△EAC 即可得出结论．【详解】解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴∠DAE =∠BAC =45°，AE =2AD ，AC =2AB ，∴∠EAC =∠DAB ，AE AD =AC AB =2，∴△DAB ∽△EAC ，∴BD CE =AD AE=22．故选B ．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解题关键．2(2023春·浙江金华·九年级校考期中)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB ，AC 为边分别向外作正方形ABFG 和正方形ACDE ，CG 交AB 于点M ，BD 交AC 于点N ．若GM CM =12，则CG BD=() A.12 B.34 C.255 D.13013【答案】D【分析】设AG =a =AB ，BC =2a ，由“AAS ”可证△ABC ≌△CHD ，可得AB =CH =a ，DH =BC =2a ，利用勾股定理分别求出CG ，BD 的长，即可求解．【详解】解：如图，过点D 作DP ⊥BC ，交AC 的延长线于点P，交BC 的延长线于点H ，∵AG ∥BF ，∴△AGM ∽△BCM ，∴AG BC =GM CM=12，∴设AG =a =AB ，BC =2a ，∴CG =GF 2+FC 2=a 2+(3a )2=10a ，∵DH ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴∠DHC =∠ABC =∠ACD =90°，AB ∥DH ，∴∠DCH +∠ACB =90°=∠ACB +∠BAC ，∴∠DCH =∠BAC ，在△ABC 和△CHD 中，∠ABC =∠DHC ∠BAC =∠DCH AC =CD，∴△ABC ≌△CHD (AAS )，∴AB =CH =a ，DH =BC =2a ，∴BD =BH 2+DH 2=(3a )2+(2a )2=13a ，∴CG BD =10a 13a =13013．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．3(2023春·浙江丽水·九年级专题练习)如图，在△ABC 中，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，过点D 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ．连接EF 交线段CD 于点O ，若CO =22，CD =32，则EO ⋅FO 的值为( )．A.63B.4C.56D.6【答案】B【分析】由题意易得出∠DEC=∠DFC=90°，即说明点C，E，D，F四点共圆，得出∠DEO=∠FCO，从而易证△DOE∽△FOC，得出EOCO=DOFO．由题意可求出DO=CD-CO=2，即可求出EO⋅FO=CO⋅DO=4．【详解】解：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，∴点C，E，D，F四点共圆，∴∠DEF=∠FCD，即∠DEO=∠FCO．又∵∠DOE=∠FOC，∴△DOE∽△FOC，∴EOCO=DOFO，∴EO⋅FO=CO⋅DO．∵CO=22，CD=32，∴DO=CD-CO=2，∴EO⋅FO=CO⋅DO=22×2=4．故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆的知识，圆周角定理．确定点C，E，D，F四点共圆，从而可得出证明△DOE∽△FOC的条件是解题关键．4(2022·广西梧州·统考一模)如图，在△ABC中，∠C=45°，将△ABC绕着点B逆时针方向旋转，使点C的对应点C′落在CA的延长线上，得到△A′BC′，连接AA′，交BC′于点O．下列结论：①∠AC′A′= 90°；②AA′=BC′；③∠A′BC′=∠A′AC′；④△A′OC′∽△BOA．其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用旋转的性质和等腰三角形的性质推出∠AC A =90°，即可判断①的正确性；通过点A 、B、A、C 四点共圆可以判断出②③④的正确性．【详解】解：由题意可得：BC=BC ，∠C=∠A C B∵∠C=45°∴∠BC A=45°∵∠AC A =∠A C B+∠BC A∴∠AC A =90°，故①正确；∵∠BC A=∠C=45°∴∠C BC=90°∵∠ABC=∠A BC ∴∠A BA=90°∴∠A BA+∠AC A =180°，∠C AB+∠C A B=180°∴点A 、B、A、C 四点共圆∵∠AC A =90°，∠BAC ≠90°∴A A是直径，BC 不是直径∴A A≠BC ，故②错误；∵点A 、B、A、C 四点共圆∴∠A BC =∠A AC ，故③正确；∵点A 、B、A、C 四点共圆∴∠AA C =∠ABC ，∠A C B=∠A AB∴△A OC ∽△BOA，故④正确；∴正确结论的个数是3个故选C．【点睛】本题考查了图形的旋转、等腰三角形的性质、四点共圆、圆周角定理的推论以及相似的判定等知识点，灵活运用这些知识点是解题的关键．5(2023·广东深圳·校联考模拟预测)如图，已知▱ABCD ，AB =3，AD =8，将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为．【答案】558【分析】先利用平行四边形的性质得到CD =AB =3，BC =AD =8，∠D =∠ABC ，再根据旋转的性质得到∠DAG =∠BAE ，AE =AB =3，EF =BC =8，∠E =∠ABC ，接着证明△ADC ∽△AEH ，然后利用相似比求出EH ，从而得到FH 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD =AB =3，BC =AD =8，∠D =∠ABC ，∵将▱ABCD 绕点A 顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，∴∠DAG =∠BAE ，AE =AB =3，EF =BC =8，∠E =∠ABC ，∴∠E =∠D ，∵∠DAC =∠HAE ，∴△ADC ∽△AEH ，∴AD AE =DC EH ，∴83=3EH ，∴EH =98，∴FH =EF -EH =8-98=558，故答案为：558．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转、三角形相似的判定利用三角形相似比求线段的长，根据旋转的性质得到∠DAG =∠BAE ，然后根据两组对应角分别相等的两三角形相似得出AD AE=DC EH 是本题的关键．6(2022·安徽·模拟预测)如图，将边长为3的菱形ABCD 绕点A 逆时针旋转到菱形AB C D 的位置，使点B 落在BC 上，B C 与CD 交于点E ．若BB =1，则CE 的长为．【答案】34/0.75【分析】延长D D 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ∥DM 交B C 于点N ，根据菱形的性质和旋转的性质证明△ABB ≌△ADD ≌△DCM ≌B C M ，求得C D =B C =2，CM =C M =1，再根据CN ∥DM ，得CN MC =B C B M ，CN DC=CE DE ，代入即可求解．【详解】解：如图，延长D D 交BC 的延长线于点M ，过点C 作CN ∥DN 交B C 于点N ，∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=AD=3，∠B=∠ADC=∠D ，AB∥CD∴∠DCM=∠B由旋转的性质得：AB =AB=3，AD =AD=3，∠BAB =∠DAD =∠MB C ，B C =D C =3，∠ADC=∠D ，∴△ABB ≌△ADD ∴DD =BB =1∴DC =D C -DD =2∵∠CDM+∠ADC=∠DAD +∠D ∴∠BAB =∠DAD =∠CDM∴△ABB ≌△DCM≌B C M，∴DM=AB =3，∠M=∠AB B∴C M=CM=3-2=1∵CN∥DM∴△B CN∽△B MC ∴CNMC =B CB M∵B C=BC-BB =2∴CN1=23∴CN=23∵CN∥DM∴△CNE∽△DC E∴CNDC =CEDE∴232=CE3-CE∴CE=34故答案为：34【点睛】本题考查菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键．7(2021·湖南益阳·统考中考真题)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，将△ABC绕A点顺时针方向旋转角α(0°<α<90°)得到△AB C ，连接BB ，CC ，则△CAC 与△BAB 的面积之比等于．【答案】9:4【分析】先根据正切三角函数的定义可得ACAB=32，再根据旋转的性质可得AB=AB,AC=AC ,∠BAB=∠CAC =α，从而可得ACAC =ABAB=1，然后根据相似三角形的判定可得△CAC ∼△BAB ，最后根据相似三角形的性质即可得．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°,tan∠ABC=32，∴ACAB=32，由旋转的性质得：AB=AB ,AC=AC ,∠BAB =∠CAC =α，∴ACAC=ABAB=1，在△CAC 和△BAB 中，ACAC=ABAB∠CAC =∠BAB，∴△CAC ∼△BAB ，∴S△CACS△BAB=ACAB2=94，即△CAC 与△BAB 的面积之比等于9:4，故答案为：9:4．【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．8(2023秋·山东济南·九年级校考阶段练习)如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°．(1)求证：△ACD∽△BCE；(2)若AC=3，AE=8，求AD．【答案】(1)见详解(2)AD=103 3【分析】(1)根据30°的正切值得ACBC=DCEC，即可证明相似．(2)先证明∠BAE=90°，进而求出BE=10，再根据△ACD∽△BCE得出ADBE=ACBC=DCEC=33，即可求出AD=33BE=1033．【详解】(1)∵∠ACB=∠DCE=90°∴∠ACD=∠BCE∵∠ABC=∠CED=∠CAE=30°∴tan∠ABC=ACBC =33，tan∠CED=DCEC=33∴AC BC =DCEC∴△ACD∽△BCE(2)∵由(1)，△ACD∽△BCE∴ADBE =ACBC=DCEC=33∵∠ABC=∠CED=∠CAE=30°∴∠BAC=60°∴∠BAE=90°∵AC=3，∠ABC=30°∴AB=2AC=6∵AE=8∴BE=10∴AD=33BE=1033【点睛】本题考查相似三角形的判定、特殊角三角函数值及勾股定理，根据特殊角得出对应线段成比例是解题关键．9(2023·安徽滁州·九年级校考阶段练习)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M．求证：(1)△BAE∽△CAD；(2)MP⋅MD=MA⋅ME．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得AC=2AB，AD=2AE，∠BAE=∠CAD=135°，即可证△BAE∽△CAD；(2)由△BAE∽△CAD可得∠BEA=∠CDA，即可证△PME∽△AMD，可得MP⋅MD=MA⋅ME．【详解】(1)证明：∵等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，∴AB =BC ，AE =DE ，∠BAC =∠DAE =45°，∴AC =2AB ，AD =2AE ，∠BAE =∠CAD =135°，∴AC AB =AD AE=2，∴△BAE ∽△CAD ，(2)∵△BAE ∽△CAD ，∴∠BEA =∠CDA ，且∠PME =∠AMD ，∴△PME ∽△AMD ，∴ME MD =MP AM，∴MP ⋅MD =MA ⋅ME ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理的应用，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．10(2023秋·湖北孝感·九年级校联考阶段练习)问题背景：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，将△CAE 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBF ，AD 的延长线交BF 于点P ．问题探究：(1)当点P 在线段BF 上时，证明EP +FP =2BP ．①先将问题特殊化，如图2，当CE ⊥AD 时，证明：EP +FP =2BP ；②再探究一般情形，如图1，当CE 不垂直AD 时，证明：EP +FP =2BP ；拓展探究：(2)如图3，若AD 的延长线交BF 的延长线于点P 时，直接写出一个等式，表示EP ，FP ，BP 之间的数量关系．【答案】(1)①见解析，②见解析(2)EP -FP =2PB【分析】①结论：PE +PF =2PB ．根据旋转的性质△ACE ≌△BCF ，再证明四边形CEPF 是正方形，可得结论．②结论不变，如图2中，过点C 作CG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥BF 交BF 的延长线于点H ．证明△CHF ≌△CGE ，可以推出FH =EG ，再利用正方形的性质解决问题即可．(2)结论：EP -FP =2PB ，证明方法类似②．【详解】(1)①证明：∵CE ⊥AD ，∴∠AEC =∠PEC =90°，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =AB ，∵将△CAE 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBF ，∴△ACE ≌△BCF ，CF =CE ，∠ECF =90°，∠BFC =∠AEC =90°，∴∠BFC =∠ECF =∠PEC =90°，∴四边形CEPF 是矩形，∵CE =CF ，∴四边形CEPF 是正方形，∴CE =EP =FP =CF ，∠EPF =90°，∴∠BPD =90°=∠CED ，∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线，∴BD =CD =12BC ，在△CED 和△BPD 中，∴∠CED =∠BPD∠CDE =∠BDP CD =BD，∴△CED ≌△BPD (AAS )，∴CE =BP ，∴BP =EP =CE =FP ，∴EP +FP =2BP②结论成立，证明：过点C 作CG ⊥AD 于点G ，过点C 作CH ⊥BF 交BF 的延长线于点H ．则∠CGE =∠CGD =∠CHF =90°．由旋转性质可知，△CBF≌△CAE，∴CF=CE，∠CFB=∠CEA，∠ACE=∠BCF，∵∠CFH=180°-∠CFB，∠CEG=180°-∠CEA，∴∠CFH=∠CEG，∴△CHF≌△CGE，∴∠FCH=∠ECG，CH=CG，FH=EG．∴∠FCH+∠BCF+∠DCG=∠ECG+∠ACF+∠DCG=90°．∴∠HCG=90°．∴四边形CGPH是正方形．∴CG=GP=PH，∴EP+FP=GP+PH=2CG．∵CD=BD，∠CGD=∠BPD=90°，∠CDG=∠BDP，∴△CDG≌△BDP．∴CG=BP．∴EP+FP=2PB．(2)解：EP-FP=2PB．理由：如下图所示，过C作CN∥BP交AP于点N，CM∥DP交BP的延长线于点M，则四边形CNPM是平行四边形，△BPD∽△BMC，∴CN=PM,CM=PN，BPBM =BDBC=12，∴BM=2BP，∴PM=BP，∵∠APB=90°，∴∠NPM=90°，∴四边形CNPM是矩形，∴∠M=∠CNE=∠CNP=90°，在△CFM和△CEN中，∠H=∠CNE=90°∠CFH=∠CEN CF=CE，∴△CFM≌△CEN(AAS)，∴CM=CN，FM=EN，∴四边形CNPM是正方形，∴PM=CN=PN，∴EP-FP=PN+EN-FP=PN+FM-FP=PN +PM=2PM，∴EP-FP=2BP．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．11(2022·河南·九年级专题练习)规定：有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图，四边形ABCD和AMPN就是嵌套四边形．(1)问题联想：如图①，嵌套四边形ABCD，AMPN都是正方形，现把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，连接BM'，DN'交于点O，则BM'与DN'的数量关系为，位置关系为；(2)类比探究：如图②，将(1)中的正方形换成菱形，∠BAD=∠MAN=60，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的结论，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，将(1)中的嵌套四边形ABCD和AMPN换成是长和宽之比为2:1的矩形，旋转角换成α(90°<α<180°)，其他条件不变，请直接写出BM'与DN'的数量关系和位置关系．【答案】(1)BM =DN ，BM ⊥DN ；(2)BM =DN 成立，BM ⊥DN 不成立，BM 与DN 相交，且夹角为60°.理由见解析；(3)BM =2DN ，BM ⊥DN .【分析】(1)根据SAS证明△ABM'≌△AND'，进而得到BM =DN ，∠ABM'=∠ADN'，再利用三角形内角和可推出∠BOD=90°，即BM ⊥DN ；(2)根据旋转和菱形的性质证明ΔABM ≌ΔADN ，再推出∠BOD=∠BAD=60°，故可求解；(3)根据旋转和矩形的性质证明ΔABM ∼ΔADN ，得到BM =2DN ，再推出∠BOD=∠BAD=90°即可求解．【详解】(1)如图设AB，DN 交于点H，，∵四边形ABCD，AMPN都是正方形，把正方形AMPN以A为中心顺时针旋转150°得到正方形AM'P'N'，∴AB=AD,AM'=AD', ∠BAM =∠DAN =150°∴△ABM'≌△AND'，∴BM =DN ，∠ABM'=∠ADN'，∵∠ADN'+∠DHA+∠DAH=180°，∠ABM'+∠BHO+∠BOD=180°，又∠DHA=∠BHO∴∠BOD=∠BAD=90°，即BM ⊥DN 故答案为：BM =DN ，BM ⊥DN ；(2)BM =DN 成立，BM ⊥DN 不成立，BM 与DN 相交，且夹角为60°.理由：设AB，DN 交于点E，由旋转的性质可得∠BAM =∠DAN =150°.∵四边形ABCD，AM P N 都是菱形，∴AB=AD，AM =AN ，∴ΔABM ≌ΔADN ，∴BM =DN ，∠ABM =∠ADN .。

手拉手模型1、等边三角形条件：△OAB.△OCD均为等边三角形结论：；；导角核心：八字导角2、等腰直角三角形条件：△OAB.△OCD均为等腰直角三角形结论：；；导角核心：3、任意等腰三角形条件：△OAB.△OCD均为等腰三角形.且∠AOB = ∠COD结论：；；核心图形：核心条件：；；例题讲解：A类1：在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE.连接AE与CD. 等边三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？证明：（1）△ABE≌△DBC；（2）AE=DC；（3）AE与DC的夹角为60°；（4）△AGB≌△DFB；（5）△EGB≌△CFB；（6）BH平分∠AHC；解题思路：1：出现共顶点的等边三角形.联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；2：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG.连接AG,CE,二者相交于H. 等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？问（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？解题思路：1：出现共顶点的等腰直角三角形.联想手拉手模型2：利用边角边证明全等；3：八字导角得角相等；3：如图.分别以△ABC 的边AB、AC 同时向外作等腰直角三角形.其中 AB =AE .AC =AD. 等腰直角三角形要得到哪些结论？要联想到什么模型？∠BAE =∠CAD=90°.点G为BC中点.点F 为BE 中点.点H 为CD中点。

探索GF 与多个中点，一般考虑什么？GH 的位置及数量关系并说明理由。

解题思路：1：有两个共顶点的等腰直角三角形.联想手拉手全等.连接BD.CE.△BAD≌△EAC2：多个中点.联想中位线.得线段关系B类1：如图1.已知∠DAC=90°.△ABC是等边三角形.点P为射线AD任意一点（P与A不重合）.连结CP.将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ.连结QB并延长交直线AD于点E.（1）如图1.猜想∠QEP=_______°；旋转60°，要做什么？出现等边三角形，要想到哪些？（2）如图2.3.若当∠DAC 是锐角或钝角时.其它条件不变.猜想∠QEP 的度数.选取一种情况加以证明；（3）如图3.若∠DAC=135°.∠ACP=15°.且AC=4.求BQ 的长．解题思路：1：旋转60°.出现等边三角形2：两个共顶点的三角形.联想手拉手全等 3：求线段长度.利用勾股定理2：在ABC ∆中.2AB BC ==.90ABC ∠=︒.BD 为斜边AC 上的中线.将ABD ∆绕点D顺时针旋转α(0180α︒<<︒)得到EFD ∆.其中点A 的对应点为点E.点B 的对应点为点F.等腰直角三角形绕顶点旋转，是什么模型？等腰直角三角形斜边的中线可以得到什么？求线段长有哪些方法？ 有特殊的钝角，需要做什么？BE 与FC 相交于点H.（1）如图1.直接写出BE 与FC 的数量关系：____________;（2）如图2.M 、N 分别为EF 、BC 的中点.求证：MN =CF 22;（3）连接BF.CE.如图3.直接写出在此旋转过程中.线段BF 、CE 与AC 之间的数量关系：.解题思路：1：等腰直角三角形斜边的中线把三角形分成两个相同的等腰直角三角形 2：等腰直角三角形绕顶点旋转.联想手拉手模型 3：等腰直角三角形中出现中点.联想斜边中点 4：利用勾股定理得线段关系3：在Rt △ABC 中.90ACB ∠=︒.D 是AB 的中点.DE ⊥BC 于E.连接CD ．线段的关系都有哪些？出现中点要想到什么？（1）如图1.如果30A∠=︒.那么DE与CE之间的数量关系是___________．（2）如图2.在（1）的条件下.P是线段CB上一点.连接DP.将线段DP绕点D逆时针旋转60°.得到线段DF.连接BF.请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系.并证明你的结论．（3）如图3.如果Aα∠=（090α︒<<︒）.P是射线CB上一动点（不与B、C重合）.连接DP.将线段DP绕点D逆时针旋转2α.得到线段DF.连接BF.请直接写出DE、BF、BP 三者之间的数量关系（不需证明）．解题思路：1：直角三角形斜边的中线是斜边的一半2：30°的直角三角形.得到等边三角形3：线段关系一般有和差倍.勾股定理4：等腰三角形共顶点旋转.联想手拉手模型C类1：已知：在△ABC中.∠BAC=60°．线段关系，一般有哪些？旋转60°，要做什么，还要联想什么？直角+中点，联想什么？（1）如图1.若AB=AC.点P在△ABC内.且∠APC=150°.PA=3.PC=4.把△APC绕着点A顺时针旋转.使点C旋转到点B处.得到△ADB.连接DP①依题意补全图1；②直接写出PB的长；（2）如图2.若AB=AC.点P在△ABC外.且PA=3.PB=5.PC=4.求∠APC的度数；（3）如图3.若AB=2AC.点P在△ABC内.且PA=3.PB=5.∠APC=120°.请直接写出PC 的长．图1 图2图3解题思路：1：共点的三条线段.利用旋转.构造手拉手模型.使之放在同一三角形中2：勾股定理.勾股数3：沿用前两问思路.构造手拉手相似给出共顶点的三条线段，要做什么？当看到3，4，5，要来你想什么？旋转60°，要做什么，还要联想什么？2：在□ABCD中.E是AD上一点.AE=AB.过点E作直线EF.在EF上取一点G.使得∠EGB=∠EAB.连接AG.（1）如图1.当EF与AB相交时.若∠EAB=60°.求证：EG =AG+BG；（2）如图2.当EF与AB相交时.若∠EAB= α（0º﹤α﹤90º）.请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3.当EF与CD相交时.且∠EAB=90°.请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系.并证明你的结论.解题思路：1：有60°角.联想等边三角形.联想手拉手2：线段和差.联想截长补短3：等腰三角形.构造手拉手模型4：三条线段的关系：和差倍、勾股定理课堂练习A类1：如图.已知ABC∆都是等边三角形.B、C、D在一条直线上.试说明CE与∆和ADE+相等的理由．AC CD2：如图.点C 是线段AB 上除点A 、B 外的任意一点.分别以AC 、BC 为边在线段AB 的同旁作等边△ACD 和等边△BCE.连接AE 交DC 于M.连接BD 交CE 于N.连接MN ．（1）求证：AE=BD ；（2）求证：MN ∥AB ．3：已知：如图.△ABC 、△CDE 都是等边三角形.AD 、BE 相交于点O.点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．（1）求证：AD=BE ；（2）求∠DOE 的度数；（3）求证：△MNC 是等边三角形．B 类1：在ABC △中.AB AC =.BAC ∠=α()060︒<α<︒.将线段BC 绕点B 逆时针旋转60︒得到线段BD ．（1）如图1.直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2.150BCE ∠=︒.60ABE ∠=︒.判断ABE △的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下.连结DE.若45DEC ∠=︒.求α的值2.如图1.在四边形ABCD中.BA=BC.∠ABC=60°.∠ADC=30°.连接对角线BD.（1）将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE.连接AE.①依题意补全图1；②试判断AE与BD的数量关系.并证明你的结论；（2）在（1）的条件下.直接写出线段DA、DB和DC之间的数量关系；（3）如图2.F是对角线BD上一点.且满足∠AFC=150°.连接FA和FC.探究线段FA、FB和FC 之间的数量关系.并证明.（图1）（图2）3．如图.在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC=CD.∠ACD=α.将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE.连接DE.AE.BD．（1）依题意补全图1；（2）判断AE与BD的数量关系与位置关系并加以证明；（3）若0°＜α≤64°.AB=4.AE与BD相交于点G.求点G到直线AB的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．C类1:已知：2,4PA PB ==.以AB 为一边做正方形ABCD .使P 、D 两点落在直线AB 的两侧。

专题一旋转中的几何模型模型一　“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．模型说明：如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC.图1 图2 图3等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。

1【问题提出】(1)如图①，△ABC,△ADE均为等边三角形，点D,E分别在边AB，AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD,CE．在图②中证明△ADB≅△AEC．[学以致用](2)在(1)的条件下，当点D,E,C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．[拓展延伸](3)在(1)的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4直接写出△DBC的面积S的取值范围．【思路点拨】(1)根据“手拉手”模型，证明△ADB≅△AEC即可；(2)分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得∠EDB的大小；(3)分别求出△DBC的面积最大值和最小值即可得到结论【详解】(1)∵ABC,ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠BAD=∠CAE在△ADB和△AEC中，AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC∴ABD ≅ACE (SAS )；(2)当D ,E ,C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∴∠AEC =180°-∠AED =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =120°，∴∠EDB =∠ADB -∠ADE =120°-60°=60°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°∴∠ADC =180°-∠ADE =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC∴∠ADB =∠AEC =60°，∴∠EDB =∠ADB +∠ADE =60°+60°=120°综上所述，∠EDB 的大小为60°或120°(3)过点A 作AF ⊥BC 于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∴DF =33-4此时S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33-4)=93-12；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3，∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∵AD =4∴DF =AF +AD =33+4此时，S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33+4)=93+12；综上所述，△DBC 的面积S 取值是93-12≤5≤93+12【点评】 利用“手拉手”模型，构造对应边“拉手线”组成的两个三角形全等是解题关键2已知正方形ABCD 和等腰直角三角形BEF ，BE =EF ，∠BEF =90°，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ．(1)探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图(1)中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(见图2)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图(1)中△BEF绕点B顺时针转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF中点G(见图3)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论．【思路点拨】(1)首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG= GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；(2)首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG⊥CG；(3)首先证明：△BEC≌△FEH，即可证得：△ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EG⊥CG．【解题过程】解：(1)EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．(2)仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG(3)仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．针对训练11已知ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF，CF，AF．(1)问题发现：如图1，当点E在线段AD上时，且∠AFC=35°，则∠FAC的度数是；(2)结论证明：如图2，当点E 在线段AD 的延长线上时，请判断∠AFC 和∠FAC 的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展延伸：若点E 在直线AD 上运动，若存在一个位置，使得ΔACF 是等腰直角三角形，请直接写出此时∠EBC 的度数．【答案】(1)55°；(2)∠AFC +∠FAC =90°，见解析；(3)15°或75°【解析】(1)55°，理由：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；∵∠AFC =35°，∴∠FAC =55°；(2)结论：∠AFC +∠FAC =90°，理由如下：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；(3)∠EBC =15°或75°分两种情况：①点E 在点A 的下方时，如图：∵ΔACF 是等腰直角三角形，∴AC =CF ，由(2)得ΔABE ≌ΔCBF ，∴CF =AE ，∴AC =AE =AB ，∴∠ABE =180°-30°2=75°，∴∠EBC =∠ABE -∠ABC =75°-60°=15°；②点E 在和点A 的上方时，如图：同理可得∠EBC =∠ABE +∠ABC =75°．2已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．(1)如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；(2)当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF 的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出∠BEF 的度数；(3)联结AF ，求证：DE =2AF ．【答案】(1)30°；(2)不变；45°；(3)见解析【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE=CD,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE=60°.又∵∠BCD=90°,∴α=∠DCE=30°.(2)∠BEF的度数不发生变化.在△CED中，CE=CD,∴∠CED=∠CDE=180°-α2=90°-α2，在△CEB中,CE=CB,∠BCE=90°-α,∴∠CEB=∠CBE=180°-∠BCE2=45°+α2,∴∠BEF=180°-∠CED-∠CEB=45°.(3)过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I易知四边形AGFH是平行四边形，又∵BF⊥DF，∴平行四边形AGFH是矩形.∵∠BAD=∠BGF=90°，∠BPF=∠APD，∴∠ABG=∠ADH.又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADH.∴AG=AH，∴矩形AGFH是正方形.∴∠AFH=∠FAH=45°，∴AH=AF∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°∴∠DAH=∠CDI又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，∴△AHD≌△DIC∴AH=DI，∵DE=2DI，∴DE=2AH=2AF模型二　对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。

全等与相似模型-手拉手模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

1)双等边三角形型条件：如图1，△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

图1图22)双等腰直角三角形型条件：如图2，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BFD。

3)双等腰三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ACM=∠BFM；④CF平分∠BFD。

图3图44)双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。

结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM =90°；④CN 平分∠BNE 。

1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP 的数量关系，并证明；(2)当∠BPC =120°时， ①直接写出∠P BP 的度数为；②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．【答案】(1)BP =CP ，理由见解析；(2)①60°；②PM =12AP ，见解析【分析】(1)根据等边三角形的性质，可得AB =AC ，∠BAC =60°，再由由旋转可知：AP =AP ，∠PAP =60°，从而得到∠BAP =∠CAP ，可证得△ABP ≌△ACP ，即可求解；(2)①由∠BPC =120°，可得∠PBC +∠PCB =60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC =60°，从而得到∠ABC +∠ACB =120°，进而得到∠ABP +∠ACP =60°．再由△ABP ≌△ACP ，可得∠ABP =∠ACP ，即可求解；②延长PM 到N ，使得NM =PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP =BN ，∠PCM =∠NBM ．进而得到BN =BP ．根据①可得∠P BP =60°，可证得△PNB ≌△PP B ，从而得到PN =PP ．再由△PAP 为等边三角形，可得P P =AP ．从而得到PN =AP ，即可求解．【详解】解：(1)BP =CP ．理由如下：在等边三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC =60°，由旋转可知：AP =AP ，∠PAP =60°， ∴∠PAP -∠BAP =∠BAC -∠BAP 即∠BAP =∠CAP在△ABP 和△ACP 中AB =AC∠BAP =∠CAP AP =AP∴△ABP ≌△ACP (SAS )．∴BP =CP ．(2)①∵∠BPC =120°，∴∠PBC +∠PCB =60°．∵在等边三角形ABC 中，∠BAC =60°，∴∠ABC +∠ACB =120°，∴∠ABP +∠ACP =60°．∵△ABP ≌△ACP ．∴∠ABP =∠ACP ，∴∠ABP +∠ABP ＇=60°．即∠P BP =60°；②PM =12AP ．理由如下：如图，延长PM 到N ，使得NM =PM ，连接BN ．∵M 为BC 的中点，∴BM =CM ．在△PCM 和△NBM 中PM =NM∠PMC =∠NMB CM =BM∴△PCM ≌△NBM (SAS )．∴CP =BN ，∠PCM =∠NBM ．∴BN =BP ．∵∠BPC =120°，∴∠PBC +∠PCB =60°．∴∠PBC +∠NBM =60°．即∠NBP =60°．∵∠ABC +∠ACB =120°，∴∠ABP +∠ACP =60°．∴∠ABP +∠ABP ＇=60°．即∠P BP =60°．∴∠P BP =∠NBP ．在△PNB 和△PP B 中BN =BP∠NBP =∠P BP BP =BP∴△PNB ≌△PP B (SAS )．∴PN =PP ．∵AP =AP ，∠PAP =60°， ∴△PAP 为等边三角形，∴P P =AP ．∴PN =AP ，∴PM =12AP ．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC 和△ADE 都是等边三角形．(1)将△ADE 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P (点P 与点A 重合)，有PA +PB =PC (或PA +PC =PB )成立；请证明．(2)将△ADE 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB =PA +PC ，证明见解析(3)图③结论：PA +PB =PC【分析】(1)由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；(2)在BP 上截取BF =CP ，连接AF ，证明△BAD ≌△CAE (SAS )，得∠ABD =∠ACE ，再证明△CAP ≌△BAF (SAS )，得∠CAP =∠BAF ，AF =AP ，然后证明△AFP 是等边三角形，得PF =AP ，即可得出结论；(3)在CP 上截取CF =BP ，连接AF ，证明△BAD ≌△CAE (SAS )，得∠ABD =∠ACE ，再证明△BAP ≌△CAF (SAS )，得出∠CAF =∠BAP ，AP =AF ，然后证明△AFP 是等边三角形，得PF =AP ，即可得出结论：PA +PB =PF +CF =PC ．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA +PB =PC 或PA +PC =PB ；(2)解：图②结论：PB =PA +PC证明：在BP 上截取BF =CP ，连接AF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴△CAP ≌△BAF (SAS )，∴∠CAP =∠BAF ，AF =AP ，∴∠CAP +∠CAF =∠BAF +∠CAF ，∴∠FAP =∠BAC =60°，∴△AFP 是等边三角形，∴PF =AP ，∴PA +PC =PF +BF =PB ；(3)解：图③结论：PA +PB =PC ，理由：在CP 上截取CF =BP ，连接AF ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，∴AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE =60°∴∠BAC +∠BAE =∠DAE +∠BAE ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE (SAS )，∴∠ABD =∠ACE ，∵AB =AC ，BP =CF ，∴△BAP ≌△CAF (SAS )，∴∠CAF =∠BAP ，AP =AF ，∴∠BAF +∠BAP =∠BAF +∠CAF ，∴∠FAP =∠BAC =60°，∴△AFP 是等边三角形，∴PF =AP ，∴PA +PB =PF +CF =PC ，即PA +PB =PC ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．3(2022·湖北·襄阳市九年级阶段练习)如图，已知△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形22OA <OM =ON ，∠AOB =∠MON =90°．(1)如图①，连接AM ，BN ，求证：△AOM ≌△BON ；(2)若将△MON 绕点O 顺时针旋转，①如图②，当点N 恰好在AB 边上时，求证：BN 2+AN 2=20N 2；②当点A ，M ，N 在同一条直线上时，若OB =4，ON =3，请直接写出线段BN 的长．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②46+322或46-322．【分析】(1)利用SAS 定理证明△AOM ≌△BON 即可；(2)①连接AM ，证明△AOM ≌△BON ，即可证BN 2+AN 2=2ON 2；②当点N 在线段AM 上时，连接BN ，在Rt △ANB 中构造勾股定理的等量关系；当点M 在线段AN 上时，同理即可求得．(1)证明：∵∠AOB =∠MON =90°，∴∠MON +∠AON =∠AOB +∠AON ，即∠AOM =∠BON ．∵△MON 和△AOB 是等腰直角三角形，∴OM =ON ,OA =OB ，∴△AOM ≌△BON (SAS )．(2)解：①证明：如图，连接AM ．∵∠AOB =∠MON =90°，∴∠MON -∠AON =∠AOB -∠AON ，即∠AOM =∠BON ．∵△MON 和△AOB 是等腰直角三角形，∴OM =ON ,OA =OB ,∠OAB =∠OBA =45°，∴△AOM ≌△BON .(SAS )∴∠MAO =∠OBA =45°,AM =BN ，∴∠MAN =90°，∴AM 2+AN 2=MN 2．∵△MON 是等腰直角三角形，∴MN 2=2ON 2，∴BN 2+AN 2=2ON 2．②46+322或46-322．∵△AOB 和△MON 都是等腰直角三角形，OB =4，ON =3，∴AB =42,MN =32．当点N 在线段AM 上时，如图，连接BN ，设BN =x ，由(1)可知△AOM ≌△BON ．∴∠OAM =∠OBN ，AM =BN =x ．∴∠NAB +∠ABN =∠OAM +∠OAB +∠ABN =∠OBN +∠ABN +∠OAB =∠OBA +∠OAB =180°-∠AOB =90°，∴∠ANB =180°-∠NAB +∠ABN =90°，∴△ANB 是直角三角形，AN 2+BN 2=AB 2．又∵AN =AM -MN =BN -MN =x -32，∴(x -32)2+x 2=(42)2，解得：x 1=46+322,x 2=-46+322(舍去)∴BN =46+322；当点M 在线段AN 上时，如图，连接BN ，设BN =x ，由(2)①可知△AOM ≌△BON ．∴∠OAM =∠OBN ，AM =BN =x ．∴∠NAB +∠ABN =∠OAM +∠OAB +∠ABN =∠OBN +∠ABN +∠OAB =∠OBA +∠OAB =180°-∠AOB =90°，∴∠ANB =180°-∠NAB +∠ABN =90°，∴△ANB 是直角三角形，AN 2+BN 2=AB 2．又∵AN =AM +MN =BN +MN =x +32，∴(x +32)2+x 2=(42)2，解得：x 1=46-322,x 2=-46-322(舍去)∴BN =46-322综上所述：BN 的长为46+322或46-322．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，三点共线分类讨论，对几何题目的综合把握是解题关键．4(2022·重庆忠县·九年级期末)已知等腰直角△ABC 与△ADE 有公共顶点A ,∠BAC =∠DAE =90°,AB =AC =4,AD =AE =6．(1)如图①，当点B ,A ,E 在同一直线上时，点F 为DE 的中点，求BF 的长；(2)如图②，将△ADE 绕点A 旋转α0°<α≤360° ，点G 、H 分别是AB 、AD 的中点，CE 交GH 于M ，交AD 于N ．①猜想GH 与CE 的数量关系和位置关系，并证明你猜想的结论；②参考图③，若K 为AC 的中点，连接KM ，在△ADE 旋转过程中，线段KM 的最小值是多少(直接写出结果)．【答案】(1)BF =58；(2)①GH =12CE ,GH ⊥CE ；证明见解析；②线段KM 的最小值是5-1．【分析】(1)如图：过点F 作FQ ⊥AE 于点Q ，先说明FQ 是△ADE 的中位线，然后再求得FQ 、BQ ，最后再运用勾股定理解答即可；(2)①连接BD 交CE 于P ，先证明△ABD ≌△ACE 可得AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ，然后再说明GM 是△ABD 的中位线可得GH =12CE ，然后再根据角的关系证明GH ⊥CE ﹔②如图：连接CG ，取中点O ，连接OK 、OM ，再根据勾股定理和三角形中位线的性质求得CG 和OK ,进而求得OM ,最后根据三角形的三边关系即可解答．【详解】解：(1)过点F 作FQ ⊥AE 于点Q ，∵点F 是DE 的中点，∴FQ 是△ADE 的中位线∴FQ =12AD =3,AQ =12AE =3，∴BQ =AB +AQ =7∴BF =FQ 2+BQ 2=32+72=58；(2)①GH =12CE ,GH ⊥CE ﹔证明:连接BD 交CE 于P ．∵∠ABC =∠DAE =90°，∴∠ABC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ．即∠BAD =∠CAE ；在△ABD 和△ACE 中，∵AB =AC ,∠BAD =∠CAE ,AD =AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD =CE ,∠ADB =∠AEC∵G ,H 分别是AB ,AD 的中点，∴GM 是△ABD 的中位线∴GH =12BD =12CE 且GH ⎳BD ∵∠AEN +∠ANE =90°,∠ANE =∠DNP ，∴∠ADP +∠DNP =90°∴∠DPN =90°∴∠HMN =∠DPN =90°，∴GH ⊥CE ﹔②如图：连接CG ，取中点O ，连接OK 、OM ∴CG =AG 2+AC 2=22+42=25，OK =12AG =1∵∠CMG =90°，O 为CG 的中点∴OM =12CG =5∵MK >OM -OK ∴当O 、K 、M 共线时，MK 取最小值OM -OK =5-1．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．5(2022·山西大同·九年级期中)综合与实践：已知△ABC 是等腰三角形，AB =AC ．(1)特殊情形：如图1，当DE ∥BC 时，DB EC ．(填“>”“<”或“=”)；(2)发现结论：若将图1中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α(0°<α<180°)到图2所示的位置，则(1)中的结论还成立吗？请说明理由．(3)拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点P 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠BAC =90°，且BP =1，AP =2，CP =3，求∠BPA 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将△BAP 绕点A 顺时针旋转90°得到△CAE ，连接PE ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出∠BPA 的度数．【答案】(1)=；(2)成立，理由见解析；(3)∠BPA =135°．【分析】(1)由DE ∥BC ，得到∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，结合AB =AC ，得到DB =EC ；(2)由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ，得到DB =CE ；(3)由旋转构造出△APB ≌△AEC ，再用勾股定理计算出PE ，然后用勾股定理逆定理判断出△PEC 是直角三角形，在简单计算即可．【详解】解：(1)∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠ADE =∠AED ，∴AD =AE ，∴DB =EC ，故答案为：=；(2)成立．证明：由①易知AD =AE ，∴由旋转性质可知∠DAB =∠EAC ，在△DAB 和△EAC 中AD =AE∠DAB =∠EAC AB =AC，∴△DAB ≌△EAC (SAS )，∴DB =CE ；(3)如图，将△APB绕点A旋转90°得△AEC，连接PE，∴△APB≌△AEC，∴AE=AP=2，EC=BP=1，∠PAE=90°，∴∠AEP=∠APE=45°，在Rt△PAE中，由勾股定理可得，PE=22，在△PEC中，PE2=(22)2=8，CE2=12=1，PC2=32=9，∵PE2+CE2=PA2，∴△PEC是直角三角形，∴∠PEC=90°，∴∠AEC=135°，又∵△APB≌△AEC，∴∠BPA=∠CEA=135°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，解本题的关键是构造全等三角形，也是本题的难点．6(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析(2)∠DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM【分析】(1)先判断出∠BAD=∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；(2)同(1)的方法判断出△BAD≌△CAE，得出AD=BE，∠ADC=∠BEC，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE．在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS ，∴BD=CE．(2)解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：由(1)的方法得，△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°-∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD≌△BCE是解本题的关键．7(2022·广东广州市·八年级期中)如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG，CE，二者相交于点H．(1)证明：△ADG≌△CDE；(2)请说明AG和CE的位置和数量关系，并给予证明；(3)连结AE和CG，请问△ADE的面积和△CDG的面积有怎样的数量关系？并说明理由．【答案】(1)答案见解析；(2)AG=CE，AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积【分析】(1)利用SAS证明△ADG≌△CDE；(2)利用△ADG≌△CDE得到AG=CE，∠DAG=∠DCE，利用∠DAG+∠AMD=90°得到∠DCE+∠CMG=90°，即可推出AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，证明△DPG≌△DNE，得到PG= EN，再利用三角形的面积公式分别表示出△ADE的面积，△CDG的面积，即可得到结论△ADE的面积=△CDG的面积.【详解】(1)∵四边形ABCD与DEFG都是正方形，∴AD=CD，DG=DE，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADC+∠CDG=∠EDG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDE，∴△ADG≌△CDE(SAS)，(2)AG=CE，AG⊥CE，∵△ADG≌△CDE，∴AG=CE，∠DAG=∠DCE，∵∠DAG+∠AMD=90°，∠AMD=∠CMG，∴∠DCE+∠CMG=90°，∴∠CHA=90°，∴AG⊥CE；(3)△ADE的面积=△CDG的面积，作GP⊥CD于P，EN⊥AD交AD的延长线于N，则∠DPG=∠DNE=90°，∵∠GDE=90°，∴∠EDN+∠GDN=90°，∵∠PDG+∠GDN=90°，∴∠EDN=∠PDG，∵DE=DG，∴△DPG≌△DNE，∴PG=EN，∵△ADE的面积=12AD⋅EN，△CDG的面积=12CD⋅GP，∴△ADE的面积=△CDG的面积.【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键.8(2023·福建福州市·九年级月考)如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．(1)请判断：线段BE与CD的大小关系是；(2)观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?(3)观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是,在如图中证明你的猜想.(4)这些结论可否推广到任意正多边形(不必证明),如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？【答案】(1)BE=CD(2)线段BE与CD的大小关系不会改变(3)AE=CG，证明见解析(4)这些结论可以推广到任意正多边形.如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．图形见解析.【分析】本题是变式拓展题，图形由简单到复杂，需要从简单图形中探讨解题方法，并借鉴用到复杂图形中；证明三角形全等时，用旋转变换寻找三角形全等的条件．【详解】(1)线段BE与CD的大小关系是BE=CD；(2)线段BE与CD的大小关系不会改变；(3)AE=CG．证明：如图4，正方形ABCD与正方形DEFG中，∵AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°，又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE，∴△ADE≌△CDG，∴AE=CG．(4)这些结论可以推广到任意正多边形．如图5，BB1=EE1，它们分别在△AE1E和△AB1B中，如图6，连接FF1，可证△AB1B≌△AF1F．【点睛】本题综合考查全等三角形、等边三角形和多边形有关知识．注意对三角形全等的证明方法的发散．模型2.“手拉手”模型(旋转模型)【模型解读与图示】“手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。

手拉手模型的培优综合目录【知识点归纳】1【例题精讲】1【课后练习】11【知识点归纳】1.手拉手模型的定义：定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。

特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，(左手拉左手，右手拉右手)2.结论①：∆ABC≅∆A/B/C/(SAS)BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)结论②：∠BOB=∠BAB(利用三角形全等及顶角相等的等腰三角形底角相等)结论③：AO平分∠BOC/(利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明)【例题精讲】1(等腰三角形手拉手)已知△ABC中，AB=AC，(1)如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；(2)如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；(3)如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．2(等边三角形手拉手)(1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外分别作等边△ABD和等边△ACE，连接CD，BE．试探究CD与BE的数量关系，并说明理由．问题探究：(2)如图②，四边形ABCD中，∠ABC=45°，∠CAD=90°，AC=AD，AB=2BC=80，求BD的长．问题解决：(3)如图③，△ABC中，AC=2，BC=3，∠ACB是一个变化的角，以AB为边向△ABC外作等边△ABD，连接CD，试探究，随着∠ACB的变化，CD的长是否存在最大值？若存在，求出CD长的最大值及此时∠ACB的大小；若不存在，请说明理由．3(等腰直角三角形手拉手)【问题探究】(1)如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD=90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．【深入探究】(2)如图2，四边形ABCD中，AB=5，BC=2，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】(3)如图3，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AD=6，BD=10，则CD=．4(手拉手最值)如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB，AC上，AD= AE，连接BE，点M，N，P分别为DE，BE，BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段MN与NP的数量关系是，∠MNP的大小是；(2)探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△MNP面积的最大值．【课后练习】1已知在△ABC中，AB=AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点【问题解决】(1)如图1，若∠ABC=60°，射线BM在∠ABC内部，∠ADB=60°，求证：∠BDC=60°，小明同学展示的做法是：在BM上取一点E使得AE=AD，通过已知的条件，从而求得∠BDC的度数，请你帮助小明写出证明过程；【类比探究】(2)如图2，已知∠ABC=∠ADB=30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数②当射线BM在BC下方，如图3所示，请问∠BDC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，若改变，请求出∠BDC的度数；2点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；(3)如图3，若∠ADC=15°，CD=2，BD=n，请直接用含n的式子表示AD的长．3【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=32，则四边形ABCD(填“是”或“否”)真等腰直角四边形．(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是．(3)如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD>AD> AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长．4问题：如图1，在等边三角形ABC内，点P到顶点A、B、C的距离分别是3，4，5，求∠APB的度数？探究：由于P A、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP′处，连结P P′，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出∠APB的度数．请你写出解答过程：应用：请你利用上面的方法解答：如图2，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点，且∠EAF= 45°，求证：BE2+FC2=EF25问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边所在直线上的一动点(不与点B、C重合)，连接AD，以AD为边作Rt△ADE，且AD=AE，根据∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，得到∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE得出△BAD≌△CAE，发现线段BD与CE的数量关系为BD=CE，位置关系为BD⊥CE；(1)探究证明：如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE，AB=AC，AD=AE，且点D在BC边上滑动(点D不与点B，C重合)，连接EC．①则线段BC，DC，CE之间满足的等量关系式为；②求证：BD2+CD2=2AD2；(2)拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=13cm，CD=5cm，求AD 的长．6△ACB和△CDE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，将△CDE绕点D旋转．(1)如图1，当点B落在直线DE上时，若AC=26，CE=102，求BE的长；(2)如图2，直线BD、AE交于点F，再连接CF，求证：2CF=EF+DF；(3)如图3，AC=8，CD=4，G为ED中点，连接AG，BG，以AG直角边构造等腰Rt△AHG，过H作HI⊥AB 交AB于点I，连接GI，当HI最小时，直接写出GI的长度．7实验学校数学兴趣小组对特殊三角形外一点与该三角形三个顶点所形成的线段数量关系展开探究：(1)如图①，已知等边三角形ABC边CB的延长线上一点P，且满足∠APB=30°，求线段P A、PB、PC的数量关系，马超同学一眼看出结果为，P A2+PB2=PC2，你是否同意，请聪明的你说明理由；(2)在探究过程中，小组同学们发现，当点P不在任意边的延长线上时，所形成的图形形似“鸡爪”，于是兴趣小组同学们对“鸡爪”图形的特点展开深入探究：如图②，△ABC为等边三角形，∠APB=30°，(1)中的结论是否仍成立？小孙同学是这样做的：首先将线段AP朝外作等边三角形APD，连接BD，PC⋯⋯，请沿着小孙同学的思路尝试着走下去看看结论是否符合(1)中的结论；(3)如图③，“鸡爪”图形P ACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，请简述线段P A、PB、PC的的数量关系；(4)如图④，“鸡爪”图形P ACB中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠APB=45°，若PB=1，PC=2，请直接写出P A的长．8已知Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为直线BC上的一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为边作Rt△ADE，AD=AE，连接CE．(1)发现问题：如图①，当点D在边BC上时，①请写出BD和CE之间的数量关系，位置关系；②线段CE、CD、BC之间的关系是；(2)尝试探究：如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，(1)中CE、CD、BC之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸：如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC=6，CE=1，则线段AD的长为．9在△ABC中，∠A=90°，AB=AC．(1)如图1，△ABC的角平分线BD，CE交于点Q，请判断“QB=2QA”是否正确；(填“是”或“否”)；(2)点P是△ABC所在平面内的一点，连接P A，PB且PB=2P A．①如图2，点P在△ABC内，∠ABP=30°，求∠P AB的大小；②如图3，点P在△ABC外，连接PC，设∠APC=α，∠BPC=β，求α+β的值．。