哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅱ》(第7版)配套题库【章节题库】(第18~20章)【圣才出品】
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固有频率。
图 18-5 解：用能量法求解。系统的动能为
以系统的平衡位置为零势能点，则系统的势能为
设系统振动的规律为 则最大动能为
最大势能为
系统为保守系统，有 得
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4．图 18-6 所示均质滑轮质量为 m1 ，半径为 R ，物体 AB 质量为 m2 ，弹簧刚度系数 为 k ，轮相对绳无滑动，系统沿铅直方向振动而无侧向摆动，求系统的运动微分方程、固有
2．三跟刚度系数分别为 c1,c2,c3 的弹簧与重物 A 连接如图 18-2 所示，重物仅沿竖直 方向平动，则该系统的当量（等效）弹簧刚度系数 c 的计算式是（ ）。
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A．c＝ c1＋c2＋c3
B． 1 1 1 1 c c1 c2 c3
频率与周期。
图 18-6
解：用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，系统具有一个自由度，选线位移 y 为广
义坐标，静平衡位置为坐标原点，系统的动能为
而 所以系统的动能为
系统的势能为
考虑到平衡时 得系统的势能为
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则拉格朗日函数为
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第 18 章 机械振动基础
一、选择题 1．在图 18-1 所示质量弹簧系统中，已知物块的质量是 m，弹簧的刚度系数是 c，且
物块在静平衡位置时弹簧的静压缩量是 s 。若取物块的静平衡位置为坐标原点 O，x 轴
铅直朝上，则物块的运动微分方程是（ ）。
运动微分方程及固有频率。
图 18-7
解：这是一个单自由度保守系统，以转角 为广义坐标。
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（1）求平衡位置。
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以 AB 杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，则系统的势能为
，即
＝
①
由
得平衡位置0 ，即
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图 18-3 解：上边两根弹簧的相当刚性系数
或 下边两根弹簧的相当刚性系数为
k34 k3 k4
则系统化为如图 18-3（b）所示系统。该系统两根弹簧又是并联。因此总的相当刚性 系数
系统的固有频率则为
2．图 18-4 所示系统中重物 A 的质量 m1＝1kg，视滑轮 B 为均质圆盘，质量 m2＝2kg。
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3．图 18-5 所示为一振动记录仪的简图，质量为 m 的物块 E 的下端支撑在刚度系数为 k1 的弹簧上，上端与指针 BOA 的 B 点铰接。指针可绕水平轴转动，对轴 O 的转动惯量为 JO ， 并用刚度系数为 k2 的水平弹簧与振动仪的外壳相连。求系统在图示平衡位置做微幅振动的
图 18-8 解：因系统为保守系统，所以可用能量法。 物块在平衡位置附近做微幅振动，如图 18-8（b）所示，设运动规律为
则系统的动能为
最大动能为
C．
c
c1
c2c3 c2 c3
D． 1 1 1 c c1 c2 c3
C1
A
C2
C3
图 18-2 【答案】A 【解析】C1、C2、C3 并联，所以等效弹簧刚度系数 c＝c1＋c2＋c3。
二、计算题 1．如图 18-3（a）所示系统，振动质量为 m，在四根弹簧支持下作铅直振动。弹簧刚 性系数分别为 k1、k2、k3 和 k4。求振动的固有频率。
②
（2）根据系统机械能守恒建立振动微分方程求固有频率。
因为 AB 杆作平面运动，且该系统为保守系统，所以系统的机械能守恒，即
其中，系统的动能为
仍以 AB 杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，于是系统的势能与式
①相同。所以，系统的机械能为
将上式对时间 t 求导，化简后得到
此方程为二阶非线性微分方程。令 角。展开
图 18-4 解：用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。系统具有一个自由度，以系统静平 衡位置为坐标原点，取图示 x 为广义坐标，则系统的动能为 式中 代入动能表达式得 系统为保守系统，系统的势能为 则拉格朗日函数为 将拉格朗日函数代入拉格朗日方程 得 有 所以系统的固有频率为
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由拉格朗日方程
得 有
所以系统的固有频率为 周期为
5．均质细杆长为 l ，质量为 m ，两端可分别在光滑的水平及铅垂滑道内滑动，如图 18-7 所示。弹簧的刚度系数均为 k ，且在 AB 杆处于水平位置时，其长度均为原长。滑轮 A 、B 质量不计。求：（1） AB 杆的平衡位置，以0 表示；（2） AB 杆绕此平衡位置作微振动的
..
A． m x mg c(x s )
..
B． m x mg c(x s )
..
C． m x mg c(x s )
..
D． m x mg c(x s )
x
c
图 18-1 【答案】D
【解析】根据牛顿运动定律有 F ma, 所以有物块的运动微分方程：
mg c(x s) m x
鼓轮 D 由两个半径为 r 和 2r 的同心均质圆盘固结构成，总质量 m3＝3kg，对其质心 C 的
固转半径
弹簧水平，刚度系数 k＝4000N／m。鼓轮为纯滚动，不计滚动摩阻。绳
子与滑轮间无滑动。求系统的固有频率。
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，注意到 统微振动的运动微分方程，即
，其中 为从平衡位置开始度量的微小转
，并将式②代入，经化简、整理得系
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系统的固有频率为
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6．质量为 m 的物块 W 固定在水平杆 AB 的 B 端，刚度系数为 k 的铅直弹簧支撑在水 平杆 EF 的 F 点，杆 AB、EF、CD 的质量不计，图 18-8（a）所示位置为系统的静平衡位置。 求系统微幅振动的固有频率。
图 18-5 解：用能量法求解。系统的动能为
以系统的平衡位置为零势能点，则系统的势能为
设系统振动的规律为 则最大动能为
最大势能为
系统为保守系统，有 得
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4．图 18-6 所示均质滑轮质量为 m1 ，半径为 R ，物体 AB 质量为 m2 ，弹簧刚度系数 为 k ，轮相对绳无滑动，系统沿铅直方向振动而无侧向摆动，求系统的运动微分方程、固有
2．三跟刚度系数分别为 c1,c2,c3 的弹簧与重物 A 连接如图 18-2 所示，重物仅沿竖直 方向平动，则该系统的当量（等效）弹簧刚度系数 c 的计算式是（ ）。
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A．c＝ c1＋c2＋c3
B． 1 1 1 1 c c1 c2 c3
频率与周期。
图 18-6
解：用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，系统具有一个自由度，选线位移 y 为广
义坐标，静平衡位置为坐标原点，系统的动能为
而 所以系统的动能为
系统的势能为
考虑到平衡时 得系统的势能为
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第 18 章 机械振动基础
一、选择题 1．在图 18-1 所示质量弹簧系统中，已知物块的质量是 m，弹簧的刚度系数是 c，且
物块在静平衡位置时弹簧的静压缩量是 s 。若取物块的静平衡位置为坐标原点 O，x 轴
铅直朝上，则物块的运动微分方程是（ ）。
运动微分方程及固有频率。
图 18-7
解：这是一个单自由度保守系统，以转角 为广义坐标。
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（1）求平衡位置。
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以 AB 杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，则系统的势能为
，即
＝
①
由
得平衡位置0 ，即
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图 18-3 解：上边两根弹簧的相当刚性系数
或 下边两根弹簧的相当刚性系数为
k34 k3 k4
则系统化为如图 18-3（b）所示系统。该系统两根弹簧又是并联。因此总的相当刚性 系数
系统的固有频率则为
2．图 18-4 所示系统中重物 A 的质量 m1＝1kg，视滑轮 B 为均质圆盘，质量 m2＝2kg。
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图 18-8 解：因系统为保守系统，所以可用能量法。 物块在平衡位置附近做微幅振动，如图 18-8（b）所示，设运动规律为
则系统的动能为
最大动能为
C．
c
c1
c2c3 c2 c3
D． 1 1 1 c c1 c2 c3
C1
A
C2
C3
图 18-2 【答案】A 【解析】C1、C2、C3 并联，所以等效弹簧刚度系数 c＝c1＋c2＋c3。
二、计算题 1．如图 18-3（a）所示系统，振动质量为 m，在四根弹簧支持下作铅直振动。弹簧刚 性系数分别为 k1、k2、k3 和 k4。求振动的固有频率。
②
（2）根据系统机械能守恒建立振动微分方程求固有频率。
因为 AB 杆作平面运动，且该系统为保守系统，所以系统的机械能守恒，即
其中，系统的动能为
仍以 AB 杆的水平位置作为弹性力势能和重力势能的零势能位置，于是系统的势能与式
①相同。所以，系统的机械能为
将上式对时间 t 求导，化简后得到
此方程为二阶非线性微分方程。令 角。展开
图 18-4 解：用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。系统具有一个自由度，以系统静平 衡位置为坐标原点，取图示 x 为广义坐标，则系统的动能为 式中 代入动能表达式得 系统为保守系统，系统的势能为 则拉格朗日函数为 将拉格朗日函数代入拉格朗日方程 得 有 所以系统的固有频率为
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由拉格朗日方程
得 有
所以系统的固有频率为 周期为
5．均质细杆长为 l ，质量为 m ，两端可分别在光滑的水平及铅垂滑道内滑动，如图 18-7 所示。弹簧的刚度系数均为 k ，且在 AB 杆处于水平位置时，其长度均为原长。滑轮 A 、B 质量不计。求：（1） AB 杆的平衡位置，以0 表示；（2） AB 杆绕此平衡位置作微振动的
..
A． m x mg c(x s )
..
B． m x mg c(x s )
..
C． m x mg c(x s )
..
D． m x mg c(x s )
x
c
图 18-1 【答案】D
【解析】根据牛顿运动定律有 F ma, 所以有物块的运动微分方程：
mg c(x s) m x
鼓轮 D 由两个半径为 r 和 2r 的同心均质圆盘固结构成，总质量 m3＝3kg，对其质心 C 的
固转半径
弹簧水平，刚度系数 k＝4000N／m。鼓轮为纯滚动，不计滚动摩阻。绳
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，其中 为从平衡位置开始度量的微小转
，并将式②代入，经化简、整理得系
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6．质量为 m 的物块 W 固定在水平杆 AB 的 B 端，刚度系数为 k 的铅直弹簧支撑在水 平杆 EF 的 F 点，杆 AB、EF、CD 的质量不计，图 18-8（a）所示位置为系统的静平衡位置。 求系统微幅振动的固有频率。