4月11日数学答案卷-d84abb7d564b4a2ea17ff33ec6788330 - 副本

卜人入州八九几市潮王学校区六校联考二零二零—二零二壹高三年级四月份测试数学试卷A 第一局部〔选择题一共40分〕一、选择题一共10小题，每一小题4分，一共40分．在每一小题列出的四个选项里面，选出符合题目要求的一项． 1.p ：x ∀∈R ，e 1x >p 的否认为〔〕A.0x ∃∈R ，0e 1x ≤B.x ∀∈R ，e 1x <C.0x ∃∈R ，0e 1x >D.x ∀∈R ，e 1x≤【答案】A 【解析】 【分析】 .【详解】∴p 的否认是“0x ∃∈R ，0e 1x ≤〞.应选：A. 【点睛】.2.以下函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是〔〕 A.3()2x f x =-+ B.12()log ||f x x =C.3()3f x x x =-D.()sin f x x =【答案】C 【解析】由奇函数的性质()()f x f x -=-和函数的单调性逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，()3()2f x f x x -=+≠-，不是奇函数，故A 错误；对于B ，()12()log ||f x x f x -=-=，所以()f x 为偶函数不是奇函数，故B 错误；对于C ，()3()3f x x x f x -=-+=-，所以()f x 为奇函数；由()2()31f x x '-=-，当()0,1x ∈时，()0f x '-<，故()f x 在()0,1上单调递减，故C 正确；对于D ，由正弦函数的单调性可知，函数()sin f x x =在()0,1上单调递增，故D 错误.应选：C.【点睛】此题考察了奇函数性质的应用和常见函数的单调性，考察了利用导数判断函数的单调性，属于根底题. 3.设集合{}2340A x Z xx =∈-->，{}2|1x B x e-=<，那么以下集合P 中，满足()ZP A B⊆⋂的是〔〕 A.{1,0,1,2}- B.{1,2}C.{1}D.{2}【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解指数不等式求得集合B ，即可确定()ZA B ，进而判断各选项即可.【详解】集合{}2340A x Z x x =∈-->，解得{4A x Z x =∈>或者}1x <-，{}2|1x B x e -=<，解得{}|2B x x =<，那么{}1,0,1,2,3,4Z A =-，所以(){}{}{}1,0,1,2,3,4|21,0,1ZA B x x ⋂=-⋂<=-，比照四个选项可知，只有C 符合()Z PA B ⊆⋂，【点睛】此题考察了一元二次不等式和指数不等式的解法，集合补集和交集的简单运算，属于根底题. 4.2a =，0.2log 0.3b =，11tan3c π=，那么a ，b ，c 的大小关系是〔〕A.c b a <<B.b a c <<C.c a b <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的单调性和正切函数的性质可得01c b a <<<<，即可得解.【详解】由对数函数的单调性可知21a =>=，0.20.20log 0.3log 0.21b <=<=，由正切函数的性质得112tantan 033cππ===<， 故01c b a <<<<. 应选：A【点睛】此题考察了利用对数函数单调性比较大小，考察了正切函数的性质，属于根底题. 5.假设一个n 面体有m 个面是直角三角形，那么称这个n 面体的直度为mn，如图是某四面体的三视图，那么这个四面体的直度为〔〕A.14B.12C.34D.1【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图，复原空间几何体，即可确定四面体中直角三角形个数，即可得解. 【详解】由三视图复原空间几何体如以下列图所示：那么四面体为P ABC -，由图可知，四面体中有4个直角三角形，分别为,,,Rt PAB Rt PAC Rt PBC Rt ABC △△△△，由题意可知这个4面体的直度为414m n ==， 应选：D.【点睛】此题考察根据三视图复原空间几何体，立体几何中新定义的简单应用，属于根底题. 6.向量(2,23)a=，假设(3)a b a +⊥，那么b在a 上的投影是〔〕A.34 B.34-C.43D.43-【答案】D 【解析】 【分析】 根据坐标先求得向量a，结合平面向量数量积的运算律求得a b ⋅，即可由平面向量投影的定义求得b 在a上的投影. 【详解】向量(2,23a =，那么(224a =+=，因为()3a b a +⊥，那么()30a b a +⋅=，即()2330a b a aa b +⋅=+⋅=，所以163a b⋅=-， b 在a 上的投影为164343a b a -⋅==-.应选：D.【点睛】此题考察由坐标求平面向量模，平面向量数量积的运算律简单应用，投影的定义和求法，属于根底题. 7.ABC ，那么“sin cos A B =〞是“ABC 是直角三角形〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】假设sin cos A B =，那么2A B π+=或者2A B π=+；假设2A π=，那么sin cos A B ≠；由充分条件和必要条件的概念即可得解.【详解】假设sin cos A B =，那么2A B π+=或者2A B π=+，不能推出ABC 是直角三角形；假设2A π=，那么sin cos A B ≠，所以ABC 是直角三角形不能推出sin cos A B =;所以“sin cos A B =〞是“ABC 是直角三角形〞的既不充分也不必要条件.应选：D.【点睛】此题考察了三角函数的性质和充分条件、必要条件的概念，属于根底题.8.“杨辉三角〞是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形〞早了300多年.如图是由“杨辉三角〞拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10,⋅⋅⋅构成的数列{}n a 的第n 项，那么100a 的值是〔〕 A.5049 B.5050C.5051D.5101【答案】B 【解析】【分析】观察数列的前4项，可得()12nn n a +=，代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅观察规律可得()11232nn n a n +=+++⋅⋅⋅+=，所以10010010150502a ⨯==. 应选：B.【点睛】此题考察了观察法求数列的通项公式，属于根底题.9.双曲线2212y x -=的渐近线与抛物线2:2(0)M y px p =>交于点(2,?)A a ，直线AB 过抛物线M 的焦点，交抛物线M 于另一点B ，那么||AB 等于〔〕A. 3.5B.4C.D.5【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程可得渐近线方程，将点A 的坐标求出后代入抛物线方程，即可求得抛物线的方程和焦点坐标，由A 和焦点坐标可得直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和抛物线方程，化简后由韦达定理可得A B x x +，即可由A B B x p A x ++=求解.【详解】双曲线2212y x -=，双曲线的渐近线方程为y =，不妨取y =，双曲线渐近线与抛物线交于点()2,A a ，那么将点A 代入可得(2,A ，将点A 代入抛物线方程可得24p =，那么2p =，所以抛物线2:4My x =，焦点坐标为()1,0，直线AB 过抛物线M 的焦点，那么由A 和焦点坐标可得直线AB 的方程为)1y x =-，直线AB 与抛物线交于,A B ，联立抛物线方程)214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，化简可得22520x x -+=， 那么52A B x x +=， 所以4.5A B x x p AB ++==，应选：C.【点睛】此题考察了双曲线与抛物线的综合应用，直线与抛物线相交所得弦长的求法，属于根底题. 10.关于函数2()(1)e x f x x ax =+-，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为1-； ②函数的极值点不可能是1-； ③函数必有最小值 其中正确结论的个数有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】D 【解析】 【分析】把函数()f x 的零点转化为函数21y x ax =+-的零点，即可判断①；求得()f x '后代入1x =-，根据()f x '是否为0即可判断②；设()2210xa x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，结合①可得当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，再证明4()0f x <即可判断③；即可得解.【详解】由题意函数()2()1e x f x x ax =+-的零点即为函数21y x ax =+-的零点，令210x ax +-=，那么240a =+>，所以方程必有两个不等实根1x ，2x ，设12x x <，由韦达定理可得121x x =-，故①正确；()()()22()2e 1e 21e x x xf x x a x a a x x x a ⎡⎤+=+++-⎣=++⎦'-，当1x =-时，()1112()e 201a a f x e --=--+-'=-≠，故1-不可能是函数()f x 的极值点，故②正确； 令()0f x '=即()2210x a x a +++-=，()()2224180a a a =+--=+>，设()2210xa x a +++-=的两个实数根为3x ，4x 且34x x <，那么当()3,x x ∈-∞，()4,x x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当()34,x x x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以4()f x 为函数极小值；由①知，当()1,x x ∈-∞时，函数()0f x >，所以当()3,x x ∈-∞时，()0f x >，又(0)0x f e =-<，所以()30,x ∈+∞，所以()4()00f x f ≤<，所以4()f x 为函数的最小值，故③正确.应选：D.【点睛】此题考察了函数与导数的综合问题，考察了推理才能，属于中档题.第二局部〔非选择题一共110分〕二、填空题一共5小题，每一小题5分，一共25分．11.在52x ⎫-⎪⎭的二项展开式中，2x -的系数为________〔用数字答题〕【答案】-80 【解析】 【分析】由二项定理展开式的通项，即可确定2x -的系数.【详解】在52x ⎫⎪⎭的二项展开式中，由展开式通项可得()535215522rrr r rr r T C C x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5322r-=-，解得3r =，所以系数为()()3355428802C ⨯⋅-=⨯-=-， 故答案为：80-.【点睛】此题考察了二项定理展开通项式的简单应用，指定项系数的求法，属于根底题. 12.设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，z 6z +=，那么z 的虚部为________，1z=________． 【答案】(1).4(2).342525i - 【解析】 【分析】设出复数z ，结合条件即可求得复数，进而由复数的定义和除法运算即可得解. 【详解】复数z 在复平面内对应的点位于第一象限， 设复数(),,,0,0z a bi a b R a b =+∈>>，所以za bi =-，因为满足5z =，z 6z +=，那么222526a b a ⎧+=⎨=⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，所以z 的虚部为4；由复数除法运算化简可得()()1134343434342525i i z i i i -===-++-， 故答案为：4；342525i -. 【点睛】此题考察了复数的概念和几何意义简单应用，复数的除法运算，属于根底题. 13.设无穷等比数列{}n a 的各项为整数，公比为q ，且1q ≠-，1322a a a +<，写出数列{}n a 的一个通项公式________． 【答案】()*2,n na n =-∈N 〔答案不唯一〕【解析】 【分析】根据题意可知首项与公比都为整数，结合不等可求得10a <，即可取一个负数作为首项得数列{}n a 的通项公式.【详解】无穷等比数列{}n a 的各项为整数，那么公比q 为整数，且1q ≠-，1322a a a +<，那么21112a q q a a +<，变形可得()2110a q -<，所以10a <，当12,2a q =-=时，数列{}n a 的一个通项公式为()*2n n a n N =-∈，故答案为：()*2n na n N =-∈.〔答案不唯一〕【点睛】此题考察了数列的简单应用，由等比数列的通项公式及不等式确定首项的范围，开放性试题只需写出一个符合要求的解即可，属于中档题.14.在平面直角坐标系中，点(0,1)A ，(1,1)B ，P 为直线AB 上的动点，A 关于直线OP 的对称点记为Q ，那么线段BQ 的长度的最大值是________.1【解析】 【分析】转化条件得Q 点轨迹为以O 为圆心，OA 为半径的圆〔不包括点F 〕，由max BQ OB OA 即可得解.【详解】A 关于直线OP 的对称点记为Q ，P 为直线AB 上的动点，∴OQ OA =，∴Q 点轨迹为以O 为圆心，OA 为半径的圆〔不包括点F 〕，如图，又OB==∴max221BQ OA .1.【点睛】此题考察了圆上点到定点间隔最值的求解，考察了转化化归思想，属于中档题.15.关于曲线22:4C xxy y -+=，给出以下四个结论：①曲线C 关于原点对称，但不关于x 轴、y 轴对称； ②曲线C 恰好经过4个整点〔即横、纵坐标均为整数的点〕； ③曲线C 上任意一点都不在圆223xy +=的内部；④曲线C 上任意一点到原点的间隔都不大于其中，正确结论的序号是________． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据关于原点、x 轴、y 轴对称的横纵坐标特点，代入即可判断①；取x 的整数值，代入求得y 的值即可判断②；由根本不等式确定22x y +的最大值，即可判断③；由两点间间隔公式及根本不等式，化简即可判断④；【详解】曲线22:4C xxy y -+=，对于①，将x -交换x ，y -交换y ，代入可得224x xy y -+=，所以曲线C 关于原点对称；将x -交换x ，代入可得224x xy y ++=，所以曲线C 不关于y 轴对称；将y -交换y ，代入可得224x xy y ++=，所以曲线C 不关于x 轴对称；所以①正确；对于②，当0x =时，代入可得2y =±，所以经过()()0,2,0,2-；当0y =时，代入可得2x =±，所以经过()()2,0,2,0-；当2x=时，代入可得2y =，所以经过()2,2；当2x =-时，代入可得2y =-，所以经过()2,2--；所以致少有六个整点在曲线C 上，所以②错误； 对于③，由224xxy y -+=可知224x y xy =++，而222xy xy +≥，所以42xy xy +≥，解得4xy ≤，即48xy +≤，那么228x y +≤，同理222x y xy ≥-+，解得2283x y +≥， 所以22883x y ≤+≤，那么③错误； 对于④，由③可知22883x y ≤+≤，≤综上可知，正确的为①④， 故答案为：①④.【点睛】此题考察了由曲线方程研究曲线性质的应用，由根本不等式确定取值范围的应用，属于中档题. 三、解答题一共6小题，一共85分．解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．16.()cos 2cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．〔I 〕求()f x 的最小正周期和单调递增区间； 〔II 〕当[0,]x π∈时，假设()(1,1]f x ∈-，求x 的取值范围．【答案】〔I 〕π，,,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ．〔II 〕20,,623πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】〔I 〕由正弦和角与差角公式，结合辅助角公式化简函数解析式，即可求得最小正周期，结合正弦函数图像与性质可求得单调递增区间；〔II 〕根据〔I 〕所得函数解析式，由[0,]x π∈可得112666x πππ-≤-≤，()(1,1]f x ∈-可知11sin 2,622x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，结合正弦函数的图像即可确定x 的取值范围．【详解】〔I 〕由正弦和角与差角公式，结合辅助角公式化简函数解析式可得2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以222T πππω=== 由222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈，得63k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．故()f x 的单调递增区间为：,,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．〔Ⅱ〕因为[0,]x π∈，那么112666x πππ-≤-≤，假设()(1,1]f x ∈-，那么11sin 2,622x π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，画出正弦函数sin y x =在11,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的函数图像如以下列图所示： 结合正弦函数图像可知，当2,666x πππ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦或者572,666x πππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭， 解得20,,623x πππ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭， 所以当()(]1,1f x ∈-时，x 的取值范围为20,,623πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【点睛】此题考察了三角函数式的化简，正弦函数图像与性质的综合应用，属于根底题.17.体温是人体安康状况的直接反响，一般认为成年人腋下温度T 〔单位：C ︒〕平均在36C 37C ︒-︒之间即为正常体温，超过37.1C ︒即为发热．发热状态下，不同体温可分成以下三种发热类型：低热：37.138T ≤≤；高热：3840T <≤；超高热〔有生命危险〕：40T >．某位患者因患肺炎发热，于12日至26日住院治疗．医生根据病情变化，从14日开场，以3天为一个疗程，分别用三种不同的抗生素为该患者进展消炎退热．住院期间，患者每天上午8：00服药，护士每天下午16：00为患者测量腋下体温记录如下：〔I 〕请你计算住院期间该患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值；〔II 〕在19日—23日期间，医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进展某一特殊工程“a 工程〞的检查，记X 为高热体温下做“a 工程〞检查的天数，试求X 的分布列与数学期望；〔III 〕抗生素治疗一般在服药后2-8个小时就能出现血液浓度的顶峰，开场杀灭细菌，到达消炎退热效果．假设三种抗生素治疗效果互相HY ，请根据表中数据，判断哪种抗生素治疗效果最正确，并说明理由． 【答案】〔I 〕平均值为39.55C ︒〔II 〕分布列见解析，65．〔III 〕“抗生素C 〞治疗效果最正确，理由见解析. 【解析】 【分析】〔I 〕根据所给表格，可计算体温不低于39C ︒的各天体温平均值； 〔II 〕由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2〔III 〕根据三种抗生素治疗后温度的变化情况，结合平均体温和体温方差，即可做出判断. 【详解】〔I 〕由表可知，该患者一共6天的体温不低于39C ︒，记平均体温为x ，()139.439.740.139.939.239.039.55C 6x =+++++=︒． 所以，患者体温不低于39C ︒的各天体温平均值为39.55C ︒ 〔Ⅱ〕X 的所有可能取值为0，1，2()3032351010C C P X C ===， ()213235631105C C P X C ====， ()1232353210C C P X C ===，那么X 的分布列为：所以()012105105EX =⨯+⨯+⨯=． 〔Ⅲ〕“抗生素C 〞治疗效果最正确，理由如下：①“抗生素B 〞使用期间先连续两天降温后又上升0.1C ︒，“抗生素C 〞使用期间持续降温一共计1.2C ︒，说明“抗生素C 〞降温效果最好，故“抗生素C 〞治疗效果最正确②“抗生素B 〞治疗期间平均体温39.03C ︒，方差约为：“抗生素C 〞平均体温38C ︒，方差约为，“抗生素C 〞治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间是节点降温效果明显，故“抗生素C 〞治疗效果最正确． 【点睛】此题考察了平均数的求法，古典概型概率求法，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，分析实际问题方案的解决方法，属于中档题. 18.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=︒．〔I 〕求证：AD PC ⊥；〔II 〕求二面角_____的余弦值； 从①PAB C ，②P BD C --，③P BC D --这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并答题．注：假设选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．〔III 〕假设M 是棱PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F ，MF 与PC 都不平行． 【答案】〔I 〕见解析〔II 〕见解析〔III 〕见解析 【解析】 【分析】〔I 〕根据面面垂直的性质及线面垂直的断定定理，可证明AD ⊥平面PCD ，进而证明AD PC ⊥；〔II 〕在平面PCD 内过点D 作DHDC ⊥，交PC 于H ，以D 为原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，写出各个点的坐标，并求得各平面法向量，由法向量法即可求得各二面角的大小；〔III 〕假设棱BC 上存在点F ，//MFPC ．设,BF BC λ=表示出MF ，PC ，设MF PC μ=，可得关于,λμ的方程组，方程组无解即可确定MF 与PC 不平行. 【详解】〔I 〕证明：因为平面ABCD ⊥平面PCD ，平面ABCD 平面PCD CD =，AD ⊂平面ABCD ，AD DC ⊥，所以AD ⊥平面PCD ，又因为PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥．〔Ⅱ〕选择①：在平面PCD 内过点D 作DH DC ⊥，交PC 于H ．由〔I 〕可知，AD ⊥平面PCD ，所以AD DH ⊥．故,,AD CD DH两两垂直，如图，以D 为原点，,,DA DC DH 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，那么()(()()()0,0,0,0,,2,0,0,2,1,0,0,2,0DP A B C -．因为DH ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．而(2,1,PA =，(2,2,PB =，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =那么由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20220x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，取2z=，有()3,0,2m =．所以2cos ,7n m n m n m ⋅=== 由题知二面角P AB C 为锐角，故二面角PAB C 选择②：〔下面给出关键点供参考，假设与上面建系一样，〕平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n=；平面PBD 的一个法向量为()3,2m =-；二面角P BD C --为钝角：二面角P BD C --的余弦值为 选择③：〔下面给出关键点供参考，假设与上面建系一样，〕 平面ABCD 的法向量()0,0,1n=；平面PBC 的法向量(1,2,2m=；二面角P BC D --为锐角；二面角P BC D -- 〔Ⅲ〕假设棱BC 上存在点F ，//MFPC ．设[],0,1BF BC λλ=∈．依题意，可知11,,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,0BC =-， ()2,,0BF λλ=-，()22,1,0F λλ=-+，312,,2MF λλ⎛=-+ ⎝⎭，(0,3,PC =，设MF PC μ=，那么1203322λλμ-=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，而此方程组无解，故假设不成立，所以结论成立．【点睛】此题考察了面面垂直的性质及线面垂直的断定定理应用，由空间向量法求二面角大小，线线平行的向量证明方法，属于中档题.19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l 与x 轴垂直时，3AB =.〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕当直线l 与x 轴不垂直时，在x 轴上是否存在一点P 〔异于点F 〕，使x 轴上任意点到直线PA ，PB 的间隔均相等？假设存在，求P 点坐标；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕存在点(4,0)P 【解析】 【分析】〔1〕由题意可得方程222223,1,2,b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解方程后即可得解；〔2〕设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题意120121020122(1)()0()()my y x y y x k x x k x +-+-+==-，联立方程组表示出12y y +、12y y ，代入即可得解.【详解】〔1〕由题意得222223,1,2b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得:2a=，b =1c =.所以椭圆的HY 方程为：22143x y +=.〔2〕依题意，假设直线l 的斜率不为零，可设直线:1(0)l x my m =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .假设存在点P ，设0(,0)P x ，由题设，01x ≠，且10x x ≠，02x x ≠.设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，那么1110y k x x =-，2220y k x x =-.因为11(,)A x y ，22(,)B x y 在1x my =+上， 故111x my =+，221x my =+，而x 轴上任意点到直线PA ，PB 间隔均相等等价于“PF 平分APB ∠〞， 继而等价于120k k +=.那么12121020y y k k x x x x +=+--12210121020()()()x y x y x y y x x x x +-+=--1201210202(1)()0()()my y x y y x x x x +-+==--.联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得：22(34)690m y my ++-=， 有122634my y m -+=+，122934y y m -=+. 那么0012221020102018662460(34)()()(34)()()m m mx m mx k k m x x x x m x x x x --+-++===+--+--，即040m mx -+=，故04x =或者0m =〔舍〕.当直线l 的斜率为零时，(4,0)P 也符合题意.故存在点(4,0)P ，使得x 轴上任意点到直线PA ，PB 间隔均相等.【点睛】此题考察了椭圆方程的求解，考察了直线与椭圆的位置关系及转化化归思想的应用，属于中档题. 20.函数2()e ()x f x ax a R =-∈.〔1〕假设曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ；〔2〕()f x 在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围；〔3〕写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围.〔请直接写出结论〕 【答案】〔1〕e2a =；〔2〕(,e 2]-∞-；〔3〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕由题意结合导数的几何意义可得()01f '=，即可得解；〔22e 2x a x -≤在(0,1]x ∈上有解，设2e 2()x g x x -=，(0,1]x ∈，通过求导可得max ()(1)2g x g e ==-，由有解问题的解决方法即可得解；〔3〕令()0f x =，显然0x =不成立，假设0x ≠，那么2x e a x =，令()2xe h x x =，求导后画出函数()hx 的草图数形结合即可得解. 【详解】〔1〕因为2()e ()x f x ax a R =-∈，故()e 2x f x ax '=-.依题意(1)e 20f a ='-=，即e2a =. 当e2a =时，e (1)02f =≠，此时切线不与x 轴重合，符合题意， 因此e2a =. 〔2〕当[0,1]x ∈时，()f x 最大值不小于2⇔2()e 2x f x ax =-≥在[0,1]x ∈上有解，显然0x =不是解，即2e 2x a x-≤在(0,1]x ∈上有解，设2e 2()x g x x -=，(0,1]x ∈， 那么3e 2e 4()x x x g x x-='+. 设()e 2e 4x x h x x =-+，(0,1]x ∈， 那么()e (1)0x h x x '=-≤.所以()h x 在(0,1]单调递减，()(1)40h x h e ≥=->， 所以()0g x '>，所以()g x 在(0,1]单调递增， 所以max()(1)2g x g e ==-.依题意需2a e ≤-，所以a 的取值范围为(,e 2]-∞-.〔3〕当0a ≤时，()y f x =有0个零点；当2e 04a <<时，()y f x =有1个零点当2e 4a =时，()y f x =有2个零点；当2e 4a >时，()y f x =有3个零点.·【点睛】此题考察了导数的综合应用，考察了数形结合思想和转化化归思想，考察了推理才能，属于中档题. 21.集合{}{}12|,,,0,1,1,2,,nn S X X x x x i n ==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅(2)n ≥，对于()12,,,n n A a a a S =⋅⋅⋅∈，()12,,,n n B b b b S =⋅⋅⋅∈，定义A 与B 的差为()1122,,,n nA B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-；A 与B 之间的间隔为1122(,)n nd A B a b a b a b =-+-+⋅⋅⋅+-．〔I 〕假设(0,1)A B -=，试写出所有可能的A ，B ；〔II 〕,,n A B C S ∀∈，证明： 〔i 〕(,)(,)d A C B C d A B --=； 〔ii 〕(,),d A B (,),d A C (,)d B C 三个数中至少有一个是偶数；〔III 〕设n P S ⊆，P 中有m 〔2m >，且为奇数〕个元素，记P 中所有两元素间间隔的平均值为p d ，证明：(1)2pn m d m+≤． 【答案】〔I 〕(0,0),A =(0,1)B =；(0,1),A =(0,0)B =；(1,0),A =(1,1)B =；(1,1),A =(1,0)B =〔II 〕〔i 〕见解析〔ii 〕见解析 〔III 〕见解析 【解析】 【分析】〔I 〕根据定义，结合()0,1A B -=即可确定所有可能的A ，B ；〔II 〕〔i 〕由{}12,,,0,1n x x x ⋅⋅⋅∈，令()()()121212,,,,,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，讨论0ic =和1i c =即可代入绝对值式子化简，即可证明；〔ii 〕设()12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，()12,,,n B b b b =⋅⋅⋅，()12,,,n n C c c c S =⋅⋅⋅∈，(),d A B k =，(),d A C l =，(),d B C h =．记()0,0,,0n O S =⋅⋅⋅∈，设t 是使1i i i i b a c a -=-=成立的i 的个数，结合〔i 〕中的结论可得2h l k t =+-，由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数，得证. 〔III 〕记(),,,d A B A B P ∈∑为P 中所有两个元素间间隔的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字中一共有i t 个1，i m t -个0，那么可得(),d A B ∑，根据P 为奇数可得()()211,2,,4i i m t m t i n --≤=⋅⋅⋅，因此()()21,4n m d A B -≤∑，即可证明不等式成立.【详解】〔I 〕根据定义及()0,1A B -=，可知有以下四种情况：()()0,0,0,1A B ==；()()0,1,0,0A B ==； ()()1,0,1,1A B ==；()()1,1,1,0A B ==〔Ⅱ〕令()()()121212,,,,,,,,,,,n n n A a a a B b b b C c c c =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=，〔i 〕证明：对1,2,,in =⋅⋅⋅，当0i c =时，有i i i i i ia cbc a b ---=-，当1ic =时，有()11i i i i i i i ia cbc a b a b ---=---=-．所以()1122,n n n n n n a c b c a b a b a b d A B +---=-+-+⋯+-=．〔ⅱ〕证明： 设()12,,,n A a a a =⋅⋅⋅，()12,,,n B b b b =⋅⋅⋅，()12,,,n n C c c c S =⋅⋅⋅∈，(),d A B k =，(),d A C l =，(),d B C h =．记()0,0,,0n O S =⋅⋅⋅∈，由〔I 〕可知，()()(),,,d A B d A A B A d O B A k =--=-=， ()()(),,,d A C d A A C A d O C A l =--=-=， ()(),,d B C d B A C A h =--=，所以()1,2,,i i b a i n -=中1的个数为k ，()1,2,,i i c a i n -=的1的个数为l ．设t 是使1ii i i b a c a -=-=成立的i 的个数，那么2h l k t =+-．由此可知，k ，l ，h 三个数不可能都是奇数， 即()()(),,,,,dA B d A C d B C 三个数中至少有一个是偶数．〔Ⅲ〕记(),,,d A B A B P ∈∑为P 中所有两个元素间间隔的总和，设P 中所有元素的第i 个位置的数字中一共有i t 个1，i m t -个0，那么()()()1,,,niii d A B t m t A B P ==-∈∑∑．因为m 为奇数，所以()()211,2,,4i i m t m t i n --≤=⋅⋅⋅,且12im t -=或者12+m 时，取等号．所以()()()21,,,4n m d A B A B P -≤∈∑．所以()()()()222111,,,42p mmn m m n d d A B A B P C C m-+=≤=∈∑．【点睛】此题考察了集合新定义的综合应用，对分析问题、解决问题的才能要求高，读懂题意并正确分析解决思路是关键，对思维才能要求高，属于难题.。

2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷（答案在最后）本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分。

考试用时120分钟。

祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()1,2a =- ，()3,4b =- ，()3,2c = ，则()2a b c +⋅= （）A.()15,12- B.0C.3- D.11-2.已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A.)+∞B.⎡⎣C.[)3,+∞D.(⎤⎦3.下面四个数中，最大的是（）A.ln3B.()ln ln3 C.1ln3D.()2ln34.数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（m ，n +∈N ）则9a =（）A.9B.1C.8D.455.复数2i12im z -=+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A. B. C.D.7.能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A.228B.210C.240D.2388.抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<.过A ，B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQS S =△△，则λ=（）A.2B.23C.3D.13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A.0B.4C.8D.1610.已知函数()()0,,22f x x t t ππωϕωϕ⎛⎫=++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则（）A.ωπ= B.53ωπ=C.()91f =D.()91f =-11.如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A.该三棱台的体积最小值为74B.112DH =C.111128E ADH ABC A B C V --=D.,44EH ⎛∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出函数()ln 2ex x xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：______.13.两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ~，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=______.14.双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O 上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.15.（13分）数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S .16.（15分）已知椭圆2212:1x C y a +=和()2222:10x C y a b b+=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，（1）证明：12BA BA ⊥；（2）设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值.参考公式：()()3322m n m n m mn n+=+-+17.（15分）空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为3π，图1图2（1）如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；（2）如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ α∥，PQ n ⊥且PQ m ⊥，（i ）证明：直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d .18.（17分）已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，（1）若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；（2）记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<.19.（17分）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数()n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(),M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y 均为正整数），（1）求()6ϕ和()15ϕ；（2）现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足()(),1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有()1,1a M xa -=，证明：若n x X ∈，则(),,dc x M M x n n ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（3）设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又()11,ec M x n =，()22,e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值.2024届高中毕业生四月模拟测试数学参考答案与评分标准选择题：题号1234567891011答案CBDBAAADACDBCBD填空题：12.2221ln2e ex y -=+--（合理即可）13.0.8614.2解答题：15.（13分）解：（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则18n n a a n +=+，则()()()12818182n n n a a n a n n --=+-=+-+-()218121441a n n n =⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+-=-+.……5分（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-：当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，在11b =时，()11n n S n -=-⋅；11b =-时，()1nn S n =-⋅.……13分16.（15分）（1）证明：当1a >时，1C 的离心率1e =，1a <时，1C 的离心率1e =；因为a b ≠==，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10a b >>>；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B x l y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫⎪⎝⎭-=-，因此12BA BA ⊥；……4分（2）解：由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B I 与2C 的方程22211x y aa x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421a x a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P ax a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，……9分因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()()()()()()24334262422224443114331141111a a a a aaa a aa a f a a a a-+--+-++-+-===++'+，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<+，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∈+∞，因此()f a在a =且最大值为14f=，……14分因此PQ 最大值为max 322PQ ==.……15分17.（15分）（1）解：设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设CA b =，CB a =，在ABC △中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为3π，且它们交于点C ，则3ACB π∠=，从而221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（a b =时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以22CH ab =≤，所以点C 到平面α的距离32h ≤，其最值为32；……5分（2）（i ）证：如图，过点P 作直线l n ∥，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又PQ α∥且DB α⊂，于是PQ DB ∥，又l n ∥，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为PQ n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又l m P = ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，则PH BD ⊥，又AD BD D = ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为3π，则直线m 与l 之间的夹角也为3π，则3APD π∠=，于是23PAH PDH APD ππ∠+∠=-∠=，即直线m ，n 与平面α的夹角之和为定值23π；……11分（2）（ii ）解：因为BD ⊥平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又3APD π∠=，由（1）问同法算得332PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<，……15分18.（17分）（1）解：()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；……1分i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x '>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,+∞上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……3分ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令10x >，20x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……5分若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；……7分若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x >，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =.……9分（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；……11分则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---……11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；……14分欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+=- -++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.……17分19.（17分）（1）解：6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8；……2分（2）证明：因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，……4分设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M x n ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p xkp s kp kp s kps s N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M xp M t p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M xp ϕ=，记()21n xN p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N x pq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；……8分i.0st ≠时，记(),cM x n c =，则()()()()1,,,k n ddcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),dM c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；ii.若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,ddcdc dcM c n M x n M k p n ==，又()11,dcM k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dcdeq M c n M p k n pk M pq xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,dcM M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：……11分（3）因为12231e e =+，所以12231e e xx +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111kk k k kk k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k kn n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x n x ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.……17分。

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学（答案在最后）2024注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设命题p ：对任意的等比数列{}{}1,n n n a a a ++也是等比数列，则命题p 的否定p ⌝为（）A.对任意的非等比数列{}{}1,n n n a a a ++是等比数列B.对任意的等比数列{}{}1,n n n a a a ++不是等比数列C.存在一个等比数列{}n a ，使{}1n n a a ++是等比数列D.存在一个等比数列{}n a ，使{}1n n a a ++不是等比数列2.已知()()i 1i 2z -+=-（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z =（）A.12i-+ B.12i-- C.12i+ D.12i-3.已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.3-C.34.若函数()log 21(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象所过定点恰好在椭圆22(0,0)x y m n m n +=>>上，则m n +的最小值为（）A.6B.12C.16D.185.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设向量(),sin ,,sin 2B m a A n b ⎛⎫== ⎪⎝⎭若m ∥n ，则B =（）A.π6B.π3C.2π3D.5π66.已知函数()24y f x x =-在区间()1,2上单调递减，则函数()f x 的解析式可以为（）A.()24f x x x =- B.()2f x x =C.()sin f x x=- D.()f x x=7.已知,A B 分别是圆221:1C x y +=与圆()222:()(4)360C x a y a -+-= 上的动点，若AB 的最大值为12，则a 的值为（）A.0B.1C.2D.38.已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为,A O 为坐标原点，若12AF AF AO -=，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列对函数()sin cos f x x x =+的判断中，正确的有（）A.函数()f x 为奇函数B.函数()f xC.函数()f x 的最小正周期为π2D.直线π4x =是函数()f x 图象的一条对称轴10.甲､乙两名同学分别从,,,a b c d 四门不同的选修课中随机选修两门.设事件X =“,a b 两门选修课中，甲同学至少选修一门”，事件Y =“乙同学一定不选修c ”，事件Z =“甲､乙两人所选选修课至多有一门相同”，事件W =“甲､乙两人均选修d ”，则（）A.()()P X P Z =B.()()P Y P W =C.X 与Y 相互独立D.Z 与W 相互独立11.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，O 为11A C 与11B D 的交点，则下列条件中能成为“11AC A C =”的必要条件有（）A.四边形11ACC A 是矩形B.平面11ABB A ⊥平面11ACC AC.平面11BDD B ⊥平面ABCDD.直线,OA BC 所成的角与直线,OC AB 所成的角相等三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线()ln f x x =在点()00,P x y 处的切线过原点()0,0O ，则0x =__________.13.已知圆台12O O 的高为3，中截面（过高的中点且垂直于轴的截面）的半径为3，若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1：2的两部分，则该圆台的母线长为__________.14.已知函数()f x 的图象关于点()1,0中心对称，也关于点()0,1-中心对称，则()()()()1,2,3,,2024f f f f 的中位数为__________..四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141,16a S =-=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12n T <.16.（15分）2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.等旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：单位：人市民春节旅游意愿愿意不愿意青年人8020老年人4060（1）根据小概率值0.005α=的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.（2）从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为X ，试求X 的分布列和数学期望.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82817.（15分）已知函数()()2ln 20a f x a x x a x=--≠.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；（2）求()f x 在区间(]0,1上的最大值.18.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,PAB BC ∥1,2AD AB BC CD AD ===，M 为AD 的中点.（1）试判断PMC 是否为正三角形，并给出证明；（2）若直线PA 与平面PBD 所成角的正弦值为5，求平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值.19.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，动点A 在圆224x y +=上，动点B 在直线2x =-上，过点B 作垂直于2x =-的直线与线段AB 的垂直平分线交于点M ，且OA OM ⊥，记M 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程.（2）若直线1:0l x y m --=与曲线C 交于,D E 两点，2:0l x y n --=与曲线C 交于,P Q 两点，其中m n <，且,DE PQ同向，直线,DP QE 交于点G .（i ）证明：点G 在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；（ii ）当DEG 的面积等于n m 时，试把n 表示成m 的函数.2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试数学参考答案及评分标准2024.4一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以p ⌝：存在一个等比数列{}n a ，使{}1n n a a ++不是等比数列.故选D.2.B【解析】由题意得()()()21i 2i i 12i 1i 1i 1i z -=-=-=-+++-，所以12i z =--.故选B.3.A【解析】由题易得3tan 3α=-，所以πtan tanπ6tan π61tan tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+故选A.另：角α为第二象限角，3tan 3α=-，不妨令5π6α=，则π2πtan tan 63α⎛⎫-== ⎪⎝⎭故选A.4.C【解析】由题意得，函数()log 21(0a y x a =-+>，且1)a ≠的图象所过定点为()3,1，则911m n+=，()919101016n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭，当且仅当12,4m n ==时等号成立.故选C.5.C【解析】由m ∥n得sinsin 2B a b A =，由正弦定理得sin sin sin sin 2sin cos sin 222B B BA B A A ==.因为ABC 中sin sin 02B A ≠，所以1cos 22B =.又0πB <<，所以π23B =，即2π3B =.故选C.6.A【解析】内层函数24t x x =-在区间()1,2上单调递增，所以()f t 在区间()3,4上单调递减.函数()24f x x x =-在区间()3,4上单调递减，()2x f x =在区间()3,4上单调递增，函数()sin f x x =-在区间()3,4上单调递增，()f x x =在区间()3,4上单调递增.故选A.7.D【解析】由题意知AB 的最大值等于12，则圆1C 与圆2C相内切，所以615=-=.又0a ，所以3a =.故选D.8.B【解析】由题意可得2,AF b AO a ==，且12cos bF F A c∠=，所以在12AF F中，由余弦定理得，1AF ===.因为12AF AF AO -=，b a =，平方化简整理得，222442c a b ab =++.又222c a b =+，所以232a ab =，即32a b =，所以22229444a b c a ==-，得22134a c =，则132e ==.故选B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.BCD【解析】因为()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 为偶函数，故选项A 不正确.因为222()sin cos 2|sin ||cos |1|sin 2|1f x x x x x x =++=+=+1+，所以()f x，最小正周期为π2，函数()f x 图象的对称轴为()π4k x k =∈Z ，故选项B ，C ，D 正确.故选BCD.10.AC【解析】因为()()()()21123334222222444114C C C C 151511,,1,C 6C 2C C 6C C 4P X P Y P Z P W =-====-===，故选项A 正确，B 错误；因为()()()()()()()11221122233222224114C CC C C C 51,C C 12C C 6P XY P X P Y P ZW P Z P W +=====≠，所以X 与Y 相互独立，Z 与W 不相互独立，故选项C 正确，D 错误.故选A C.11.ACD【解析】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，由11AC A C =得，四边形11ACC A 为矩形，选项A 正确；假设平面11ABB A ⊥平面11ACC A ，因为平面11ABB A ⋂平面1111,ACC A AA AC AA =⊥，AC ⊂平面11ACC A ，所以AC ⊥平面11ABB A ，因为AB ⊂平面11ABB A ，所以AC AB ⊥，与四边形ABCD 为正方形矛盾，故选项B 错误；由四边形ABCD 是正方形，得AC BD ⊥，因为11,AC AA AA ⊥∥1BB ，所以1AC BB ⊥.又因为1BB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B ，又AC ⊂平面ABCD ，所以平面11BDD B ⊥平面ABCD ，选项C 正确；因为四边形11ACC A 为矩形，所以OA OC =，又正方形ABCD 中，,AD CD OD =是公共边，所以OAD OCD ≅ ，所以OAD OCD ∠∠=，又BC ∥,AD AB ∥CD ，所以,OAD OCD ∠∠分别为直线,OA BC 所成的角与直线OC ，AB 所成的角（或其补角），由OAD OCD ∠∠=，知选项D 正确.故选ACD .三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.e【解析】因为()ln f x x =，所以()1f x x'=，所以()f x 在点()00,P x y 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-.又切线过原点()0,0O ，则0ln 1x -=-，所以0e x =.13.5【解析】设圆台的上､下底面圆的半径分别为,r R ，因为中截面的半径为3，所以6r R +=.又中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1:2的两部分，所以()()π331π392r r R r ++==+-，解得1r =，所以5R =.又圆台的高为35==.14.20232【解析】由()f x 的图象关于点()1,0中心对称，也关于点()0,1-中心对称，得()()()()20,2f x f x f x f x +-=+-=-，两式相减得()()22f x f x ---=，所以()()22f x f x +-=.因为当1x =时，由()()20f x f x +-=，得()10f =，当0x =时，由()()2f x f x +-=-，得()01f =-.又()()22f x f x +-=，所以()()()()1,2,3,,2024f f f f 成首项为0､公差为1的等差数列，所以()20242023f =，所以()()()()1,2,3,,2024f f f f 的中位数为()()()()10121013120242023222f f f f ++==.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d .由题可得，()4143434411622d dS a ⨯⨯=+=⨯-+=-，解得2d =-，所以12n a n =-.（2）证明：由（1）可得()()111111,212122121n n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭为正整数，所以11111111111111123355721212212422n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=-< ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ .16.解：（1）零假设0H ：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.依题意，得单位：人市民春节旅游意愿合计愿意不愿意青年人8020100老年人4060100合计12080200所以220.005200(80602040)10033.337.879100100120803x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯.根据小概率值0.005α=的独立性检验，推断0H 不成立，即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.（2）从样本中按比例分配选取10人，则青年人愿意出游､青年人不愿意出游､老年人愿意出游､老年人不愿意出游的人数分别为4123､､､，再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且()()()()011322164646141101010C C C C C C 1580900,1,2,3C 210C 210C 210P X P X P X P X =========()314046C 6141010C C C C 241,4C 210C 210P X =====，即X 的分布列为X01234P152108021090210242101210所求数学期望为()1580902418012342102102102102105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.17.解：（1）当1a =时，()()1ln 2,0,f x x x x x∞=--∈+，则()22211212x x f x x x x-'++=-+=，解2210x x -++=可得12x =-（舍去）或1x =.当01x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故函数()f x 的单调递增区间是(]0,1，单调递减区间是()1,∞+，函数()f x 的极大值为()13f =-，没有极小值.（2）由题意得()()()()222222222,0,x a x a a a x ax a f x x x x x x ∞'-+--=-+=-=-∈+.若1a ，当(]0,1x ∈时，()()0,f x f x ' 在区间(]0,1上单调递增，此时()f x 的最大值为()212;f a =--若01a <<，当()0,x a ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，(],1x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，此时()f x 的最大值为()ln 3f a a a a =-；若20a -<<，则012a <-<，当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增，,12a x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()()0,f x f x '<单调递减，此时()f x 的最大值为ln 322a a f a a ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若2a - ，则12a-，当(]0,1x ∈时，()()0,f x f x ' 在区间(]0,1上单调递增，此时()f x 的最大值为()212f a =--.综上，2max2,21,()ln 3,01,ln 3,20.2a a a f x a a a a a a a a ⎧⎪---⎪⎪=-<<⎨⎪⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩或 18.解：（1）PMC 为正三角形.证明如下：如图，设MC BD O ⋂=，连接,MB PO .因为BC ∥1,,2AD AB BC CD AD M ===为AD 的中点，所以四边形,ABCM MBCD 均为菱形，所以,MC BD MC ⊥∥AB ，所以AB BD ⊥.因为PD ⊥平面,PAB AB ⊂平面PAB ，所以PD AB ⊥.因为PD BD D ⋂=，所以AB ⊥平面PBD ，所以MC ⊥平面PBD .又PO ⊂平面PBD ，所以MC PO ⊥.又易知O 为MC 的中点，所以PM PC =.因为PD ⊥平面,PAB PA ⊂平面PAB ，所以PD PA ⊥，所以12PM AD AB MC ===，所以PMC 为正三角形.（2）由（1）知AB ⊥平面PBD ，所以APB ∠为直线PA 与平面PBD 所成的角，所以10sin 5APB ∠=，所以6tan 3AB APB PB ∠==，所以62PB AB =.因为,PMC BMC均为正三角形，所以2BO PO AB ==，所以PB ==，所以PO BO ⊥.又,MC PO MC BO O ⊥⋂=，所以PO ⊥平面ABCD .又MC BD ⊥，所以以O 为原点，,,OB OC OP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.令2AB =，则())()(0,1,0,,,0,0,C BD P，所以()(,0,,BC CP DP ==-=.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n CP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则1y z ==，所以平面PBC的一个法向量()n =.由PD ⊥平面PAB，得DP =是平面PAB 的一个法向量，所以|||cos ,|||||n DP n DP n DP ⋅〈〉==⋅105=，所以平面PAB 与平面PBC夹角的余弦值为5.19.（1）解：由题意得，MB MA ==设(),M x y ，则222|2|4x x y +=++，化简整理得24y x =，所以动点M 的轨迹C 的方程为()240y x x =≠.（2）（i ）证明：设()()()()11223344,,,,,,,D x y E x y P x y Q x y ，联立20,4,x y m y x --=⎧⎨=⎩整理得2440y y m --=，则Δ16160m =+>，得1m >-，且12124,4y y y y m +==-，同理34344,4y y y y n +==-.设,DE PQ 的中点分别为,K T ，则2K T y y ==，由题意可知存在实数λ，使()()1122GK GD GE GP GQ GT λλλ=+=+=，所以,,G K T 三点共线，即点G 在定直线2y =上.（ii ）解：由（i）得，12DE y y =-===同理PQ =，设DEG 的底边DE 上的高为h ，梯形DEQP 的高为1h，则由相似比得1DE h h h PQ ===+，解得h +-+====，所以DEG的面积()1212DEGSm =⨯=++ .又DEG S n m =-，所以()()2111m n m n m +=-=+-+=.整理得()21m +=()21m =++()()2[211,1n f m m m ==++->-.。

绝密★启用前 姓 名2021年高三下学期4月调研考试 数学（理） 含答案注意事项：1.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页．2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z 1对应的点与复数（为虚数单位）对应的点关于虚轴对称，则z 1等于A ．B ．C ．D ． 2．若集合，，则“”是“A ∩B =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．计算：A ．B ．C ．D ．4．抛物线的准线被圆所截得的线段长为4，则P =A ．1B ．2C ．4D ．85．某商场在今年元宵节的促销活动中，对该天９时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时到10时的销 售额为5万元，则11时到13时的销售额为A ．20万元B ．32.5万元C ．35万元D ．40万元6．函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<解析式为A ．B ．C．D．7．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的表面积为80，则OA 与平面所成的角的余弦值为A．B．C．D．8．若实数满足约束条件则z=的取值范围是A．[0,6] B．[1,6] C．[1,5] D．[0,5]9．若非零向量满足，则夹角的余弦值为A．B．C．D．10．若数列满足，且对于任意的N＊都有，则等于A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A．48B．32C．16D．12．设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

华大新高考联盟2024届高三4月教学质量测评数学（理科）本试题卷共4页.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 2．选择题的作答：选出答案后，用2B 铅笔把答题卷．上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．非选择题的作答：用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4．考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|3160,{|ln(52)}A x x xB x y x =-≤==-，则A B = （ ）A. 5|02⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤<x x B. 516|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C. 2|05x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D. 216|53x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭2. 已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R ，则“||z =”是“25a =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次向左移动的概率为23，向右移动的概率为13．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X 的位置，则(0)P X >=（ ）A.50243B.52243C.29D.17814. 青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足5lg L V =+．已知小明和小李视力的五分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为12,V V ，则21V V ∈（ ） A. (1.5,2)B. (2,2.5)C. (2.5,3)D. (3,3.5)5. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ） A.6.2B. 6.4C. 6.6D. 6.86. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1BB 上靠近1B 的三等分点，点F 是线段11D C 上靠近1D 的三等分点，则平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -形成的截面图形为（ ） A 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形7. 1tan1902cos 701tan 370sin 40︒︒︒︒+-=-（ ） A tan 20︒B. tan 70︒C. tan10︒-D. tan 40︒-8. 已知圆柱12O O 中，AD ，BC 分别是上、下底面的两条直径，且//,4AD BC AB BC ==，若M 是弧BC 的中点，N 是线段AB 的中点，则（ ） A. ,,,,AM CN A C M N =四点不共面 B. ,,,,AM CN A C M N ≠四点共面 C. ,AM BD ACM ⊥△直角三角形 D. ,AM CN ACM ≠△为直角三角形9. 若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（ ） A. 19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B. 19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. 19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D. 19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦10 已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，现有如下说法：..为.①若π3ϕ=，函数()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5ω=； ②若直线π4x =为函数()f x 图象的一条对称轴，5π,03⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 图象的一个对称中心，且()f x 在π5π46,⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为1817； ③若1()2f x =在π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上至少有2个解，至多有3个解，则164,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 则正确的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 311. 若关于x 的不等式2(ln ln )2e x a x a +≤在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. (20,e ⎤⎦ C (0,e]D. (0,2e]12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,,(2,2)M N A 在抛物线C 上，0AM AN k k +=，其中1AM k >，则|sin sin |FMN FNM ∠-∠的最大值为（ ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线C 的实轴长为8；小红：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3； 小强：双曲线C 的离心率为32； 小同：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”）14. 已知在ABC 中，点M 在线段BC 上，且π10,14,6,4AM AC MC ABC ===∠=，则AB =______．.15. 已知等边ABC 的外接圆O 的面积为36π，动点M 在圆O 上，若MA MB MB MC λ⋅+⋅≤，则实数λ的取值范围为______．16. 已知空间四面体ABCD 满足,26AB AC DB DC AD BC =====，则该四面体外接球体积的最小值为______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分.17. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y /cm 9101011121313141414（1）观察散点图可知，天数x 与作物高度y 之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y 关于天数x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（其中ˆˆ,ab 用分数表示）； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm ，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑.参考数据：101710i ii x y ==∑. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23,22n n a S n a ==+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若存在*n ∈N ，使得112231111n n n a a a a a a a λ+++++≥ 成立，求实数λ的取值范围． 19. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；（2）已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B，求1DEEC 的值． 20.已知函数()ln(1)f x x =+-． （1）求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若(1,π)x ∈-，讨论曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴长为2，左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 与椭圆C交于M ，N 两点，其中M ，N 分别在x 轴上方和下方，11,MP PF NQ QF ==，直线2PF 与直线MO 交于点1G ，直线2QF 与直线NO 交于点2G ．（1）若1G 坐标为11,36⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程； （2）若2112435MNG NF G MNG S S S ≤≤ ，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222sin 2sin cos x y ααα⎧=-⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3πcos 04a ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（1）求曲线C 的极坐标方程以及直线l 的一般方程； （2）若π4AOB ∠=，求a 的值以及曲线C 上的点到直线l 距离的最大值． ［选修4—5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()|24||3|f x x x =-++．（1）求不等式()112128f x ⎛⎫≤⎪⎝⎭的解集； （2）若()1f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的.1. 若集合{}2|3160,{|ln(52)}A x x xB x y x =-≤==-，则A B = （ ）A. 5|02⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤<x x B. 516|23x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ C. 2|05x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭D. 216|53x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集确定集合A ，根据对数函数的定义域确定集合B ，再根据集合的交集运算得结果.【详解】因为集合{}()2162|3160|0,{|ln 52}35A x x x x x B x y x x x ⎧⎫⎧⎫=-≤=≤≤==-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 则A B = 216|53x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：D ．2. 已知(21)(1)i()z a a a =-++∈R ，则“||z =”是“25a =”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由||z =a 的等量关系，求解a ，从而判断选项.【详解】因为z ==2520a a -=，解得0a =或25a=，故“z =”是“25a =”的必要不充分条件. 故选：B ．3. 如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O 出发，每次向左移动的概率为23，向右移动的概率为13．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X 的位置，则(0)P X >=（ ）A.50243B.52243C.29D.1781【答案】D 【解析】【分析】由题意当0X >时，X 的可能取值为1,3,5，且2(5,)3X B ，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当0X >时，X 的可能取值为1,3,5，且2(5,)3X B ， 所以()()()()0531P X P X P X P X >==+=+=5432125511212C C 33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1781=. 故选：D ．4. 青少年视力问题是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V满足5lg L V =+．已知小明和小李视力的五的分记录法的数据分别为4.5和4.9，记小明和小李视力的小数记录法的数据分别为12,V V ，则21V V ∈（ ） A. (1.5,2) B. (2,2.5)C. (2.5,3)D. (3,3.5)【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到方程组，求出21V V =，根据552.5981003243≈<<=()2.5,3. 【详解】依题意，214.95lg 4.55lg V V =+⎧⎨=+⎩，两式相减可得，22110.4lg lg lg V V V V =-=，故0.42110V V ==，而552.5981003243≈<<=()2.5,3. 故选：C ．5. 某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（ ） A.6.2 B. 6.4C. 6.6D. 6.8【答案】D 【解析】【分析】先求出总的平均工资，再根据分层抽样的方差公式求解即可.【详解】所有人的平均工资为5054031034100⨯+⨯+⨯=千元，故该公司所有员工工资的方差为()()(){}2221504544083410634 6.8100⎡⎤⎡⎤⎡⎤⨯+-+⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：D6. 已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1BB 上靠近1B 的三等分点，点F 是线段11D C 上靠近1D 的三等分点，则平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -形成的截面图形为（ ） A. 三角形 B. 四边形C. 五边形D. 六边形【答案】C 【解析】【分析】如图，由题意，根据空间线面的位置关系、基本事实以及面面平行的性质定理可得//l AE ，进而//FI AE ，结合相似三角形的性质即可求解．【详解】如图，设6AB =，分别延长11AE A B 、交于点G ，此时13B G =， 连接FG 交11B C 于H ，连接EH ，设平面AEF 与平面11DCC D 的交线为l ，则∈F l ，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，平面AEF ⋂平面11ABB A AE =，平面AEF ⋂平面11DCC D l =， 所以//l AE ，设1l D D I = ，则//FI AE ， 此时1FD I ABE △∽△，故1ID =43，连接A I ， 所以五边形AIFHE 为所求截面图形， 故选：C ．7. 1tan1902cos 701tan 370sin 40︒︒︒︒+-=-（ ） A. tan 20︒ B. tan 70︒C. tan10︒-D. tan 40︒-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合三角函数的基本关系式、诱导公式和倍角公式，准确化简、运算，即可求解.详解】由sin1011tan1902cos701tan102sin202sin20cos10sin101tan370sin401tan10sin402sin20cos201cos10+++-=-=----()222cos10sin1011sin201tan20cos 10sin 10cos20cos20cos20++=-=-=-. 故选：A ．8. 已知圆柱12O O 中，AD ，BC 分别是上、下底面的两条直径，且//,4AD BC AB BC ==，若M 是弧BC【的中点，N 是线段AB 的中点，则（ ） A. ,,,,AM CN A C M N =四点不共面 B. ,,,,AM CN A C M N ≠四点共面 C. ,AM BD ACM ⊥△为直角三角形 D. ,AM CN ACM ≠△为直角三角形【答案】D 【解析】【分析】根据圆柱中的直线与直线、直线与平面的位置关系，逐项判断即可得结论.【详解】因为点M BC ∉，而BC ⊂平面ACN ，结合圆柱结构，所以M ∉平面ACN ，故,,,A C M N 四点不共面；圆柱12O O 中，AD ，BC 分别是上、下底面的两条直径，且//,4AD BC AB BC ==，若M 是弧BC 的中点，N 是线段AB 的中点，故122BM BN AB ====，所以AM CN ====，故AM CN ≠；连接2AO ，则依题有2AO 为AM 在平面ABCD 内的射影，在平面ABCD 内显然BD 与2AO 不垂直，故AM 与BD 不垂直；22MC MB AC AM MC ===+=2AC ，则ACM △为直角三角形，故选：D ．9. 若函数2()(2)1f x x m x =--+在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则实数m 的取值范围为（ ） A. 19,13,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B. 19,23,22⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C. 19,13,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D. 19,23,22⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】由题意，根据二次函数的图象与性质建立不等式组，解之即可求解. 【详解】令()()221g x x m x =--+，则21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,22102m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或21,2210,2m g -⎧≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解得392m ≤≤或112m -≤≤， 即实数m 得取值范围为1[,1][3,229- .故选：C ．10. 已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>，现有如下说法： ①若π3ϕ=，函数()f x 在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，且ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5ω=； ②若直线π4x =为函数()f x 图象的一条对称轴，5π,03⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 图象的一个对称中心，且()f x 在π5π46,⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为1817； ③若1()2f x =在π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上至少有2个解，至多有3个解，则164,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭； 则正确的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】①选项，根据条件得到()1483k k ω=+∈Z ，再利用()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，得出12ω≤，从而得出143ω=，即判断出选项①错误；②选项，根据条件建立,ωϕ的方程组，从而得到126,Z 171207k k ωω+⎧=-∈⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，即可判断出选项②正确；③选项，根据条件，直接求出方程的解，从而建方程组2ππ28ππ32ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，得出164,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即可得出结果.【详解】对于①，因为πππ6324x +==时，()f x 有最小值，所以ππsin 143ω⎛⎫ ⎪⎝⎭+=-， 所以()ππ3π2π43Z 2k k ω+=+∈，得到()1483k k ω=+∈Z ， 因为()f x 在区间ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，所以πππ34ω-≤，即12ω≤，令0k =，得143ω=，故①错误；对于②，根据题意，有()()1122ππ2πZ 425ππZ 3π5ππ7π26412k k k k T ωϕωϕω⎧+=+∈⎪⎪⎪+=∈⎨⎪⎪=≥-=⎪⎩， 得出121212(2)6,,Z 171207k k k k ωω-+⎧=-∈⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，即126,Z 171207k k ωω+⎧=-∈⎪⎪⎨⎪<≤⎪⎩，得到617ω=或1817，故②正确；对于③，令()Z π2π6x k k ωϕ++∈=或()Z 5π2π6x k k ωϕ++∈=， 则()Z 2ππ6k x k ϕωω-++∈=或()Z 2π5π6k x k ϕωω-++∈=， 故需要上述相邻三个根的距离不超过π2，相邻四个根（距离较小的四个）的距离超过π2，即2ππ,28ππ,32ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得164,3ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故③正确， 故选：C ．11. 若关于x 的不等式2(ln ln )2e x a x a +≤在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. B. (20,e ⎤⎦ C. (0,e] D. (0,2e]【答案】D 【解析】【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式2(ln ln )2e x a x a +≤转化成()2ln 2e xax ax x ≤，根据结构相同设函数()e ,xf x x x =∈R ，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为2e xa x≤，令()()2e ,0,xg x x x∞=∈+，求导确定最值即可得实数a 的取值范围.【详解】依题意得，()2ln 2e xax ax x ≤，故()()ln 2eln 2e ax x ax x ≤，令()e ,x f x x x =∈R ，则()()1e xf x x +'=，令()0f x '=可得=1x -，所以(),1x ∞∈--时，()0f x '<，则()f x 在(),1∞--上单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0f x '>，则()f x 在()1,∞-+上单调递增；且当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >；则由()()()ln 20f ax f x x ≤>，得()ln 2ax x ≤，则2e xa x ≤ 令()()2e ,0,x g x x x ∞=∈+，则()()2221e x x g x x-'=， 故当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，故()min 12e 2g x g ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，则2e a ≤，则实数a 的取值范围为(]0,2e a ∈. 故选：D ．12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点,,(2,2)M N A 在抛物线C 上，0AM AN k k +=，其中1AM k >，则|sin sin |FMN FNM ∠-∠的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】先求出抛物线方程，联立，结合韦达定理求得M ，N 的坐标，从而求得直线MN 的方程，求出点F 到直线MN 的距离d ， 表示出|sin sin |FMN FNM ∠-∠，利用换元，结合基本不等式从而可求答案.【详解】点(2,2)A 在抛物线C 上，把点(2,2)A 代入2:2(0)C y px p =>中得2222p =⋅，则1p =， 所以抛物线为2:2C y x =，直线()():221AM y k x k -=->， 与抛物线方程联立可得，2244ky y k -+-0=，则442M k y k -⋅=，则22M ky k-=，0AM AN k k +=，则AN k k =-，所以用k -替换可得22N k y k+=-，则2222M N M NMN N M M Ny y y y k y y x x --===--212M N y y =-+， 则()222122,k k M k k ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭，故()222122,k k N k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪⎝⎭， 直线22:k MN y k --=()222112k x k ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即21112y x k =-+-， 则点F 到直线MN的距离1)d k >， ()()222221218M N k k x x kkk -+--=-=，()()()2222224412121M N k k k x x k kk--+=⋅=，()()222222212144M N k k k x x kk k -+++=+=， 而1111sin sin 1122M N FMN FNM dd FM FN x x ∠-∠=-=-=++()1124M N M N M N x x d x x x x -=+++==，令45=-t k k ，因为1k >，所以451t k k=->，故211sin sin 16168t FMN FNM t t t ∠-∠==≤==++， 当且仅当()161)t t t=>，即4t =时等号成立， 故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用点线距及三角函数表示出目标式；二是利用换元法和基本不等式求解最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 关于双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，四位同学给出了四个说法：小明：双曲线C 的实轴长为8；小红：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3； 小强：双曲线C 的离心率为32； 小同：双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为1；若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是______．（横线上填“小明”、“小红”、“小强”或“小同”） 【答案】小强【解析】【分析】假设小明、小红的说法均正确得双曲线方程，根据双曲线的几何性质再验证小强与小同的说法即可得结论.详解】假设小明说法正确，则28a =，即4a =，又小红说法正确，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3b =，则此时双曲线为22:1169x y C -=，则5c ==，双曲线的离心率为54，双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为541c a -=-=， 综上，小明、小红、小同的说法正确的，小强的说法错误. 故答案为：小强.14. 已知在ABC 中，点M 在线段BC 上，且π10,14,6,4AM AC MC ABC ===∠=，则AB =______．【答案】【解析】【分析】由题意，根据正弦定理、余弦定理计算即可求解. 【详解】在AMC 中，由余弦定理，得361001961cos 26102AMC +-∠==-⨯⨯，则2π3AMC ∠=，即π3AMB ∠=，在ABM 中，3π10,,4πAM ABM AMB =∠=∠=， 由正弦定理得10sin sin 43ππAB=，解得AB =．故答案为：15. 已知等边ABC 的外接圆O 的面积为36π，动点M 在圆O 上，若MA MB MB MC λ⋅+⋅≤，则实数λ的取值范围为______．【【答案】[)72,+∞ 【解析】【分析】根据正三角形的几何性质可得外接圆半径，再由正弦定理得边长AB ，取线段AC 的中点N ，取线段BN 的中点P ，根据向量的线性运算及数量积的运算性可得2MA MB MB MC MB MN ⋅+⋅=⋅，且MB MN ⋅= 221,4MP BN - 再由三角形三边关系列不等式得结论.【详解】依题意，设ABC 的外接圆的半径为R ，则2π36πR =，故6R =， 在等边ABC 中由正弦定理得12sin60AB=，则AB =；取线段AC 的中点N ，连接BN，则9BN AB ==， 所以()2MA MB MB MC MB MA MC MB MN ⋅+⋅=⋅+=⋅ ；取线段BN 的中点P ，连接BP ，则O 在线段BN 上，且133ON BN ==，所以93322OP NP ON =-=-=，则MB MN ⋅= 221,4MP BN - 又()22223225624MP MP MO OP ⎛⎫=≤+=+= ⎪⎝⎭ ，故225813644MB MN ⋅≤-= ，则72λ≥． 故答案为：[)72,∞+.16. 已知空间四面体ABCD 满足,26AB AC DB DC AD BC =====，则该四面体外接球体积的最小值为______． 【答案】36π 【解析】【分析】设,E F 分别为,BC AD 的中点，连接,,,AE DE BF CF ，结合三角形全等可证EF 是线段AD的垂直平分线，同理可证EF 是线段BC 的垂直平分线，故而判断球心在EF 上，由三角形两边之和大于第三边可得R 的范围，结合图形判断球心的位置以及半径，从而求出结果. 【详解】设,E F 分别为,BC AD 的中点，连接,,,AE DE BF CF ，由已知，,,AB DB AC DC BC BC ===，故ABC DBC △≌△，因为E 是BC 的中点，所以AE DE =， 因为F 为AD 的中点，故EF AD ⊥，即EF 是线段AD 的垂直平分线； 同理可得，EF 是线段BC 的垂直平分线，故球心在EF 上， 设球的半径为R ，球心为O ，则36OB OC OA OD +≥⎧⎨+≥⎩，即2326R R ≥⎧⎨≥⎩，故3R ≥，此时O 为线段AD 的中点，且3R =，故所求外接球体积的最小值为36π． 故答案为：36π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共5小题，每小题12分，共60分.17. 某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化天数x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作物高度y /cm 9101011121313141414（1）观察散点图可知，天数x 与作物高度y 之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y 关于天数x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（其中ˆˆ,ab 用分数表示）； （2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm ，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.参考公式：()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑.参考数据：101710i ii x y ==∑. 【答案】（1）202633ˆ3yx =+； （2）0.7cm -. 【解析】【分析】（1）根据表格数据利用公式求出ˆˆ,a b即可求解. （2）将22x =代入回归方程求得预测值，然后根据残差定义求解即可【小问1详解】 依题意，123456789105.510x +++++++++==，11233444101210y -+++++++=+=，故()()()()10101110102222111071010 5.51220385105ˆ.53310iii ii i iii i x x y y x y xy bx x xx ====----⨯⨯====-⨯--∑∑∑∑， 20112612332ˆ3a=-⨯=，故所求回归直线方程为202633ˆ3yx =+. 【小问2详解】由（1）可知，当22x =时，2026222m 3ˆ2c 33y=⨯+=， 故所求残差为21.3220.7cm -=-.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23,22n n a S n a ==+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若存在*n ∈N ，使得112231111n n n a a a a a a a λ+++++≥ 成立，求实数λ的取值范围． 【答案】（1）1n a n =+；（2）1,16⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． .【解析】【分析】（1）当1n =时，求得12a =，当3n ≥时，得到()()11212n n S n a --=-+，两式相减化简得到11121221n n a a n n n n -⎛⎫-=-- ⎪----⎝⎭，结合叠加法，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）得到111112n n a a n n +=-++，求得122311111122n n a a a a a a n ++++=-+ ， 解法1：根据题意，转化为()222n n λ≤+，结合()2142224nn n n =⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式，即可求解； 解法2：根据题意，转化为()()211222n n λ≤-++，结合二次函数的性质，即可求解.【小问1详解】解：当1n =时，111222S a a ==+，解得12a =， 当3n ≥时，()()()1122,212n n n n S n a S n a --=+=-+， 两式相减可得，()()1212n n n a n a ----=-， 则11211112,2,12212332n n n n a a a a n n n n n n n n ---⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪--------⎝⎭⎝⎭， 32121212a a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭叠加可得，242111n a a nn n --=--，则1n a n =+， 而1,2n =时也符合题意，所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+． 【小问2详解】解：由（1）知1n a n =+，可得()()111111212n n a a n n n n +==-++++，故()1223111111111123341222n n n a a a a a a n n n ++++=-+-++-=+++ ；解法1：由112231111n n n a a a a a a a λ+++++≥ ，可得()()222n n n λ≥++， 即()222n n λ≤+，即则()2max 22nn λ⎡⎤≤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，又由()2114162224n n n n =≤⎛⎫+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当2n =时取等号，故实数λ的取值范围为1,16∞⎛⎤- ⎥⎝⎦． 解法2：由()1223111111222n n n a a a a a a n λ++++=-≥++ ， 可得()()22111112224162n n n λ⎛⎫≤-=--+ ⎪++⎝⎭+， 当24n +=，即2n =时，()()2max11122162n n ⎡⎤-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 则116λ≤，故实数λ的取值范围为1,16∞⎛⎤- ⎥⎝⎦．19. 已知四棱柱1111ABCD A B C D -如图所示，底面ABCD 为平行四边形，其中点D 在平面1111D C B A 内的投影为点1A ，且1AB AA ==2,120AD ABC ︒∠=．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11ADD A ；（2）已知点E 在线段1C D 上（不含端点位置），且平面1A BE 与平面11BCC B，求1DEEC 的值． 【答案】（1）证明见解析（2）113DEEC =【解析】【分析】（1）不妨设1AD =，根据线面垂直的性质证明1A D AD ⊥，利用勾股定理证明AD DB ⊥，再根据线面垂直和面面垂直的判定定理即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 不妨设1AD =，因为1A D ⊥平面,ABCD AD ⊂平面ABCD ，故1A D AD ⊥， 在ADB 中，2,1,60AB AD DAB ==∠= ，由余弦定理，222222cos 21221cos603BD AB AD AB AD DAB ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯= ，得BD =，故222AD BD AB +=，则AD DB ⊥，因为11,,A D DB D A D DB ⋂=⊂平面1A BD ，所以AD ⊥平面1A BD ， 而AD ⊂平面11ADD A ，所以平面1A BD ⊥平面11ADD A ； 【小问2详解】由（1）知，1,,DA DB DA 两两垂直，如图所示，以D 为坐标原点，建立的空间直角坐标系D xyz -， 则()()()(()10,0,0,1,0,0,,,D A B A C -，故()11,AC A C AC =-= ，(1C ∴-，所以((11,A B DC ==-，设()101DE DC λλ=<<，则()12DE DC λλ==-，即()2E λ-，所以(12A E λ=-；设()111,,n x y z =为平面1A EB 的一个法向量，则1111111020nA B n A E x y z λ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+--=⎪⎩，的令12z λ=，则112,==-y x λ()2,2n λλ=-， 因为y 轴⊥平面11BCC B ，则可取()0,1,0m =为平面11BCC B 的一个法向量， 设平面1A EB 与平面11BCC B 的夹角为α，则cos n m n m α⋅===⋅解得14λ=，故113DE EC =．20.已知函数()ln(1)f x x =+-． （1）求曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；（2）若(1,π)x ∈-，讨论曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数． 【答案】（1）312y x =-； （2）2． 【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，结合最值求解. 【小问1详解】依题意，()()3211121f x x x '=+++，故()302f '=，而()01f =-，故所求切线方程为312y x +=，即312y x =-． 【小问2详解】 令()ln 12cos x x +=-，故()ln 12cos 0x x ++=，令()()ln 12cos g x x x =++ ()()32112sin 112g x x x x -=++'-+，令()()()32112sin 112h x g x x x x -==-++'+，()()()522132cos 141h x x x x -=---++'．①当π1,2x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时，()()522cos 0,10,10x x x -≥+>+>，()()0,h x h x ∴∴'<在π1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，即()g x '在π1,2⎛⎤- ⎥⎝⎦上为减函数，又()()32111111010,12sin122sin1120222222g g -=+>=-+⋅'<-⋅+<-'⨯=，()'∴g x 在()0,1上有唯一的零点，设为0x ，即()()00001g x x ='<<． ()g x ∴在()01,x -上为增函数，在0π,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数． 又()πππ0210,ln 12cos 444g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=->-=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππln 10,ln 10422g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+<=+-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()g x ∴在()01,x -上有且只有一个零点，在0π,2x ⎛⎤⎥⎝⎦上无零点； ②当π5π,26x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()()()3211110,12g x x g x x -<-++<+'单调递减，又12π5π5π5π0,ln 11ln402666g g -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=++<-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()g x ∴在π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦内恰有一零点；③当5π,π6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()522132cos 141h x x x x -=---++'为增函数， ()5225π135π1106465π1+6h x h -⎛⎫⎛⎫∴==-+-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎝'⎪⎭，()'∴g x 单调递增，又()5ππ0,06g g ⎛⎫><⎪⎝'⎭'，所以存在唯一()005π,π,06x g x '⎛⎫∈=⎪⎝⎭， 当05π,6x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<递减；当()0,πx x ∈时，()()0,g x g x '>递增，()()5πmax ,π06g x g g ⎧⎫⎛⎫≤<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，()g x ∴在5π,π6⎛⎫⎪⎝⎭内无零点．综上所述，曲线()y f x =与曲线2cos y x =-的交点个数为2． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴长为2，左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 与椭圆C交于M ，N 两点，其中M ，N 分别在x 轴上方和下方，11,MP PF NQ QF ==，直线2PF 与直线MO 交于点1G ，直线2QF 与直线NO 交于点2G ．（1）若1G 坐标为11,36⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程； （2）若2112435MNG NF G MNG S S S ≤≤ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）22314x y +=（2）⎛ ⎝【解析】【分析】（1）根据重心的定义，求解得到点A 的坐标，用待定系数法即得椭圆的方程；（2）根据重心的几何性质并结合图象，将三角形的面积拆分，然后利用面积关系即可求解得到m 的取值范围．【小问1详解】依题意，1b =，故椭圆222:1x C y a+=，易知点111,36G ⎛⎫ ⎪⎝⎭为12MF F △的重心，则1131,2OM OG ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，故11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得22114143a a =⇒+=， 所以椭圆C 的方程为22314x y +=．【小问2详解】解法一：易知点12,G G 分别为1212,MF F NF F △△的重心， 设121212,F F M F F N S S S S == ，设点()()1122,,,M x y N x y ， 则根据重心性质及面积公式得()21121133MNG MNF S S S S ==+ ， ()11121121211123333NF G S S S S S S S S =+--+=+ ，而()()21121212124125435,33333MNG NF G MNG S S S S S S S S S ⎛⎫≤≤∴+≤+≤+ ⎪⎝⎭ ， 所以12121221222S S S S S S ≤⎧⇒≤≤⎨≤⎩，则12122y y ≤≤-，所以1212,2y y ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦； 设直线:l x ty c =+，则联立椭圆方程得222,1x ty c x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元化简得，()222210t a y tcy ++-=，1212222221,tc y y y y t a t a --∴+==++， ()2222212121212222112122452,22y y y y y y y y t c y y y y y y t a +-+⎡⎤∴+===--∈--⎢⎥+⎣⎦，()2222222410892t c a t a t a ∴≤≤⇒-≤+对任意的t 恒成立，即得28901a a -≤⇒<≤，故实数a的取值范围为⎛ ⎝． 解法二：易知点2G 为12NF F △的重心，223NG NO =， ()2221111111221,,333MNG MNO MF NOF NF G NOF NG G OF NOG MNO S S S S S S S S S S ∴==⋅+=++= ， 此时，设点()()()()112212,,,,,0,,0M x y N x y F c F c -，则根据重心的性质可得11111,33G x y ⎛⎫⎪⎝⎭， ()1212121221111,2222MNO NOF S OF y y c y y S OF y cy =⋅⋅-=-=⋅⋅=- ，11111111236G F S OF y cy =⋅⋅= ， ()()11112122121211111,3626633NOG MNO NF G cy cy S S c y y S cy c y y cy ∴==-=-+-+=- ，()2122133MNG MNO S S c y y ==- 而112112245435,33NF G MNG NF G MNG MNG S S S S S ≤≤∴≤≤ ， 1121221*********2224511,,12,33211y y y y y y y y y y y y y y y y ---⎡⎤⎡⎤∴∈==-⇒∈--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--； 设直线:l x ty c =+，则联立椭圆方程得222,1x ty c x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元化简得，()222210t a y tcy ++-=，1212222221,tc y y y y t a t a--∴+==++， ()2222212121212222112122452,22y y y y y y y y t c y y y y y y t a +-+⎡⎤∴+===--∈--⎢⎥+⎣⎦，()2222222410892t c a t a t a ∴≤≤⇒-≤+对任意的t 恒成立，即得28901a a -≤⇒<≤，故实数a 的取值范围为⎛ ⎝． （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222sin 2sin cos x y ααα⎧=-⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3πcos 04a ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（1）求曲线C 的极坐标方程以及直线l 的一般方程； （2）若π4AOB ∠=，求a 的值以及曲线C 上的点到直线l 距离的最大值．【答案】（1）2cos ρθ=，0x y -+=；（2）a =1+. 【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换，结合参数方程、极坐标方程与普通方程的互化即可得解； （2）判断得点O 在圆C 上，利用圆的性质得到ACB ∠，进而得到圆心到直线的距离，从而求得a 的值，再确定圆C 上的点到直线l 距离的最大值，由此得解. 【小问1详解】依题意，曲线222sin :2sin cos x C y ααα⎧=-⎨=⎩可化为1cos2sin2x y αα-=⎧⎨=⎩，则()2211x y -+=，即2220x y x +-=，则22cos 0ρρθ-=， 故曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，而直线3π:cos 04l a ρθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭可化:cos sin 0l ρθρθ-=，则直线l 的一般方程为0x y -+=． 【小问2详解】依题意，圆心()1,0C ，半径为1r =， 易知点O 在圆C 上，又π4AOB ∠=，所以π2ACB ∠=，则点()1,0C 到直线l，所以d ，则0a =或a =，当0a =时，直线:0l x y -=过原点，不满足题意，舍去；故a =:20l x y --=，满足题意； 则圆心()1,0C 到直线l的距离d ==1+. ［选修4—5：不等式选讲]（10分）23. 已知函数()|24||3|f x x x =-++．（1）求不等式()112128f x ⎛⎫≤⎪⎝⎭的解集； （2）若()1f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）{0x x ≤或83x ⎫≥⎬⎭（2）()3,2-． 【解析】【分析】（1）根据指数函数的单调性得到不等式，求出()2437f x x x =-++≥，三段法解绝对值不等式，求出不等式解集；（2）画出()|24||3|f x x x =-++的图象，数形结合得到答案. 【小问1详解】依题意，()71122f x ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， 故()2437f x x x =-++≥，当3x <-时，4237x x ---≥，解得2x ≤-，故3x <-；当32x -≤≤时，4237x x -++≥，解得0x ≤，故30x -≤≤； 当2x >时，2437x x -++≥，解得83x ≥，故83x ≥； 综上所述，不等式()112128f x ⎛⎫≤⎪⎝⎭的解集为{0x x ≤或83x ⎫≥⎬⎭．【小问2详解】由（1）可知，()13,3,7,32,31,2,x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，作出函数()f x 的图象如图所示，观察可知，临界状态为直线1y kx =+过()2,5B 或与直线13y x =-平行， 当直线1y kx =+过()2,5B 时，215k +=，解得2k =，当直线1y kx =+与直线13y x =-平行时，3k =-，此时31y x =-+与1y kx =+重合， 故实数k 的取值范围为()3,2-．。

2021年高三4月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．若{}{}2|22,|log (1)M x x N x y x =-≤≤==-，则=A ．B ．C ．D ．2．设为虚数单位，则复数=A ．B ．C ．D ． 3．执行如图所示的程序框图，若输出值，则输入值可以是A ．B ．2C ．4D ．64．已知为等差数列,若,则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知、、为互不重合的三个平面，命题若，，则；命题 若上存在不共线的三点到的距离相等，则．对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“且”为真B ．命题“或”为假C．命题“或”为假D．命题“且”为假7．设，则二项式展开式的常数项是（）A．B．C．D．8．已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）A．B．C．或D．或9．在区间内随机取两个数分别记为，则使得函数有零点的概率为（）A．B．C．D．10．函数在区间上的最大值的最小值是（）A．B．C．1 D．2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案填在答题卡相应位置11．在等比数列中，，公比，若前项和，则的值为．12．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上xx元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为人．13．按如图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是______ ．14．当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为，则实数的值是 ． 15．在平面上有如下命题：“为直线外的一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数满足，且”，我们把它称为平面中三点共线定理，请尝试类比此命题，给出空间中四点共面定理，应描述为：三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把解答过程写在答题卡的相应位置． 16．（本小题满分13分）某地区有甲，乙，丙三个单位招聘工作人员，已知一大学生到这三个单位应聘的概率分别是0．4，0．5，0．6，且他是否去哪个单位应聘互不影响，用表示他去应聘过的单位数（1）求的分布列及数学期望；（2）记“数列（）是严格单调的数列”为事件，求事件 发生的概率． 17．（本小题满分13分）已知函数)0,0(3cos 32cos sin 2)(2>>-+=ωωωωa x x x a x f 的最大值为，是集合中的任意两个元素，且||的最小值为．（1）求，的值； （2）若，求的值． 18．（本小题满分13分）下图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，//，且= （1）求证：//平面；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）若，求平面与平面所成的二面角的大小．19．（本小题满分13分）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．（1）证明：直线的斜率互为相反数；（2）求面积的最小值；（3）当点的坐标为，且．根据（1）（2）结论试推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线的斜率是否仍互为相反数？②面积的最小值是多少？20．（本小题满分14分）已知函数．（1）求函数的极值；（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且，使得曲线在点处的切线∥,，则称为弦的伴随切线．特别地，当时，又称为弦的-伴随切线．①求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有-伴随切线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵：①求矩阵的逆矩阵；②求矩阵的特征值及相应的特征向量（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程为；①若以极点为原点，极轴所在的直线为轴，求曲线的直角坐标方程；②若是曲线上的一个动点，求的最大值（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数3)()()()()(2222cbacxbxaxxf+++-+-+-=（为实数）①求的最小值（用表示）；②若，求（1）中的最小值．xx届山东省济宁市兖州第一中学高三4月月考数学（理）试题参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A A C D C B B 二、填空题11．7 12．4320 13．14．-315．为平面外一点，则点在平面内的充要条件是：存在实数满足且三、解答题16．（1）解：记该生到甲，乙，丙个单位应聘分别为事件B，C，D，则P(B)=0．4,P(C)=0．5,P(D)=0．5，的可能取值是0，1，2，3--------------2分P（=0）=0．12 P（=1）=0．38 P（=2）=0．38 P（=3）=0．12------6分所以的分布列为所以，----9分（2）解：因为数列（）是严格单调的数列，所以数列，即<--12 分P(A)=P(<)=P(=0)+P(=1)+ P(=2)=0．88--------------------------------13分17．解：（I），--3分由最大值为2，故，又，------------6分……………………………………… 7分（II ）由3132sin ,3232sin 232)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπαα即知f 。

华大新高考联盟2023届高三4月教学质量测评数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2|3280,ln 74A x x x B x y x =--<==-，则A B = （ ）A. 4437x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. 4473xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 427xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. 427x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭2. 已知()()2023274ii 5i 1i z -=+⋅--，则在复平面内，复数z 所对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为211,,324，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A.1124B. 38C.12D.134. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()()cos 4cos cos 4sin x x +B. 11cos 4coscos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的C. 11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 13cos 4cos24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝5. 过点()2,5A的直线l 与函数()5112x f x x -=-的图象交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，()5,1B ，则cos ,OM ON AB +=（ ）A.B.C.D. 6. 已知正三棱台111ABC A B C -1AA =，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ） A. 40πB. 80πC. 30πD. 60π7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为θ的直线l 经过点(),0A a 和点B ，其中12121212,,2BF BD F D F B F D F F =⊥=，若cos θ=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±B. y x =±C. 53y x =±D. 43y x =±8. 若函数()22e e cos xx f x m x -=++在[)0,∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为n a ，每个月老鼠的总数量为n b ，数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，可知112212,14,84,98a b a b ====，则下列说法正确的是（ ） A. 66127a =⨯B. 6627b =⨯C. 66272S =⨯-D. 86773T -=10. 已知函数()()()11f x x x x =+-，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切，则与直线l 垂直的直线为（ ）的A. 420x y -+=B. 280x y -+=C. 50x y +-=D. 2430x y +-=11. 已知函数()22sincos 333x x xf x =-，则下列说法错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为6πB. ()π,0是函数()f x 图象一个对称中心C. 将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后得到一个偶函数 D. 函数()f x 在[]0,10π上有7个零点12. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，过点(),5A a a -作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若2PQPA=，则点A 到原点的距离为（ ）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若圆221:420C x y x y +-+=与圆222:810160C x y x y +-++=交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______.14. 已知25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中各项的系数之和为256，记展开式中10x -的系数为a ，则128a =______. 15. 如图，已知四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，N 是1BD 的中点，平面AMN 交1CD 于点H ，则，11D HD C=_______.16. 已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.的的17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1ni i a n i ==∑，且213,,3k k S a S ++是等比数列{}n b 的前三项. （1）求5b 的值；（2）求数列4332351n n n a a a -++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a 的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在[)2000,4000的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .19. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3πcos sin π02b A B ⎛⎫⎪++⎭+=⎝.（1）求sin c A 的值；（2）若()2sin tan tan b C a C c C -=.且ABC S λ≥△.求实数λ取值范围. 20. 已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中SB =，1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，平面SBA ⊥平面ABCD ，点M 在线段AD上，AM =N 在线段SC 上.的（1）求证：AC SM ⊥；（2）若平面ADN 与平面ABCD ，求SN 的值. 21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-；当点P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由. 22. 已知函数()()2ln 1f x mx x x =--（1）若函数()f x 在[]3,9上有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()21f x m f x +≤'+在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、选择题；本题共8小题.每小题5分.共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}(){}2|3280,ln 74A x x x B x y x =--<==-，则A B = （ ）A. 4437x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B. 4473xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C. 427xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D. 427x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意求解集合,A B ，进而可求A B ⋂. 【详解】由题意可得：{}(){}{}244|3280|2,ln 7474037A x x x x x B x y x x x x x ⎧⎫⎧⎫=--<=-<<==-=->=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以A B = 427x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 故选：C. 2. 已知()()2023274ii 5i 1i z -=+⋅--，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z ，进而判断复数z 所对应的点所在象限. 【详解】∵()()()()2023274i74i 73i 5i i 5i i 25i 11i 2i 221i z --=+⋅-=+-⋅-=+--=---， ∴复数z 所对应的点为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限. 故选：D.3. 某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为211,,324，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（ ） A.1124B. 38C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算. 【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为211132412⨯⨯=， 三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为21121121131113243243248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为131112824+=. 故选：A.4. 已知函数()f x 的部分图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A. ()()cos 4cos cos 4sin x x +B. 11cos 4coscos 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 11sin 4cos sin 4sin 22x x +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 13cos 4cos24x ⎫ ⎪⎭+⎛⎝【答案】B 【解析】【分析】根据图象可得出()f x 为偶函数，且()00f >，π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，然后逐项求解判断，即可得出答案.【详解】由图象可得，()f x 为偶函数，且()00f >，且π12f ⎛⎫<-⎪⎝⎭. A 项，若()()()cos 4cos cos 4sin x x f x +=，则()()()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +-=--()()()cos 4cos cos 4sin f x x x +==，所以()f x 为偶函数. 而ππcos 4cos c 0os 4sin 22π1cos 42f +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+>⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不满足题意，故A 项错误； B 项，若()11cos 4coscos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11cos 4cos cos 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数.()()()cos 4cos 0cos 014sin 00cos 4f ==+>+，ππcos 4cos c os 4sin 44π2cos 2f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+，因为2ππ3<<，所以2π1cos cos 32<=-，所以π12f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭满足题意，故B 项正确； C 项，若()11sin 4cossin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎭⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎭⎭⎝⎝⎝⎭⎝()11sin 4cos sin 4sin 22f x x x ⎛⎫⎛⎫=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 不是偶函数，故C 项错误； D 项，若()13cos 4cos24f x x ⎛⎫ ⎪⎭+=⎝，则()()()1313cos 4cos cos 4cos 2424x x f x f x f x ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，所以()f x 为偶函数.π33cos 4cos cos 24π144f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭+=+⎭>-⎝，故D 项错误.故选：B. 5. 过点()2,5A的直线l 与函数()5112x f x x -=-的图象交于M ，N 两点，若O 为坐标原点，()5,1B ，则cos ,OM ON AB +=（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性分析可得A 为线段MN 的中点，结合向量的坐标运算求解. 【详解】∵()5111522x f x x x -==---， 可知()f x 是由1y x=-向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到 故()2,5A函数()f x 的对称中心，则A 为线段MN 的中点，可得()()24,10,3,4OM ON OA AB +===-u u u r u u u r u u r u u u r，所以()cos ,OM ON AB OM ON AB OM ON AB+⋅+===+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C.6. 已知正三棱台111ABC A B C-1AA =，则该正三棱台的外接球的表面积为（ ） A. 40π B. 80πC. 30πD. 60π【答案】D 【解析】【分析】先求上、下底面正三角形的边长，根据外接球的性质结合勾股定理求半径，即可得结果. 【详解】若正三角形的边长为a，则其面积为212a a ×´=由题意可得：1136AB ,A B ==，取111,A A C C B B 的外接圆的圆心为2,O O ，正三棱台111ABC A B C -的外接球的球心1O ，连接211121OA,OO ,O A,O A ,O A ，过A 作底面的投影M ，可得221OA O M A ==，则1MA =，由1AA =，可得2OO MA ==，设外接球的半径为R ，则111A R O O A ==，可得()222211222221211312R OA OO OO R O A O O OO ⎧=+=+⎪⎨=+=+-⎪⎩，解得1R OO ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以该正三棱台的外接球的表面积24π60πS R ==. 故选：D.7. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，倾斜角为θ的直线l 经过点(),0A a 和点B ，其中12121212,,2BF BD F D F B F D F F =⊥=，若cos θ=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =± B. y x =±C. 53y x =±D. 43y x =±【答案】D 【解析】【分析】由条件分析得：D 是BF 1的中点，且12F F B △是底角为30 的等腰三角形，作出简图，根据正弦定理可得a b 、的关系，得出结果.【详解】由1212,BF BD F D F B =⊥可得D 是BF 1的中点，且12F F B △是以2F 为顶点的等腰三角形，又因为21212F D F F =，所以1230BF F ∠= ， 在2AF B 中，由正弦定理可得()22sin sin 60BF AF θθ=- ，即()2sin sin 60c c aθθ-=- ，即2sin sin 60cos cos 60sin c c aθθθ-==-由cos θ=可得sin θ==， 代入上式化简可得：35c a =，则22925c a =，则()222925a b a+=，解得43b a =. 故渐近线为：43y x =±. 故选：D .8. 若函数()22e e cos x xf x m x -=++在[)0,∞+上单调递增，则实数m 的取值范围为（ ）A. (],0-∞B. e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (],1-∞D. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得()0f x '≥在[)0,∞+上恒成立，构建()()g x f x '=，结合定点()00g =分析运算. 【详解】因为()22e ecos xx f x m x -=++，则()221e e sin 2x xf x m x -⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭，由题意可得()221e e sin 02x xf x m x -⎛⎫'=--≥ ⎪⎝⎭在[)0,∞+上恒成立，构建()()g x f x '=，则()221e e cos 4x xg x m x -⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，注意到()00g =，则()1002g m '=-≥，解得12m ≤，若12m ≤，则()22111e e cos cos cos 442x x g x m x m x m x -⎛⎫'=+-≥⨯-=- ⎪⎝⎭，当且仅当22e e x x-=，即0x =时，等号成立， 若102m ≤≤，因为cos 1≤x ，则cos m x m -≥-， 可得()11cos 022g x m x m '≥-≥-≥； 若0m <，因为cos 1x ≥-，则cos m x m -≥-， 可得()11cos 022g x m x m '≥-≥->； 综上所述：当12m ≤时，()0g x '≥在[)0,∞+上恒成立， 则()g x 在[)0,∞+上单调递增，可得()()00g x g ≥=，符合题意； 故实数m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】方法定睛：两招破解不等式的恒成立问题 （1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新生的老鼠数量为n a ，每个月老鼠的总数量为n b ，数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，可知112212,14,84,98a b a b ====，则下列说法正确的是（ ） A. 66127a =⨯ B. 6627b =⨯C. 66272S =⨯-D. 86773T -=【答案】AC 【解析】【分析】根据题意分析可得数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，结合等比数列分析运算. 【详解】由题意可得：1111126,72n n n n n n n a b b b a b b +++=⨯==+=， 即17n n b b +=，且114b =，所以数列{}n b 是以首项114b =，公比7q =的等比数列，则114727n nn b -=⨯=⨯，可得()1141777173n n n T +--==-， 当2n ≥时，116127n n n a b --==⨯，且112a =满足上式，故1127n n a -=⨯，可得111277127n nn n a a +-⨯==⨯，即数列{}n a 是以首项112a =，公比7q =的等比数列， 可得()121727217n n n S -==⨯--，综上可得：66127a =⨯，7627b =⨯，66272S =⨯-，76773T -=. 故A 、C 正确，B 、D 错误. 故选：AC10. 已知函数()()()11f x x x x =+-，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切，则与直线l 垂直的直线为（ ） A. 420x y -+= B. 280x y -+= C. 50x y +-= D. 2430x y +-=【答案】AD 【解析】【分析】首先求出函数的导函数，设切点坐标为()3000,x x x -，即可表示出切线方程，再将()1,0代入方程，即可得到关于0x 的方程，解得0x ，从而求出切线的斜率，再一一判断即可. 【详解】()()()()23111f x x x x x x x x =+-=-=-，则()231f x x '=-，设切点坐标为()3000,x x x -，则()20031f x x '=-，所以切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--，.又切线过点()1,0，所以()()()3200000311x x x x --=--，即32002310x x -+=，故()()2002110x x +-=，解得01x =或012x =-， 所以直线l 的斜率为211131224f ⎛⎫⎛⎫'-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()213112f '=⨯-=，对于A ：直线420x y -+=的斜率为4，符合题意，故A 正确； 对于B ：直线280x y -+=的斜率为12，不符合题意，故B 错误； 对于C ：直线50x y +-=的斜率为1-，不符合题意，故C 错误； 对于D ：直线2430x y +-=的斜率为12-，符合题意，故D 正确； 故选：AD11. 已知函数()22sincos 333x x xf x =-，则下列说法错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为6πB. ()π,0是函数()f x 图象的一个对称中心C. 将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后得到一个偶函数 D. 函数()f x 在[]0,10π上有7个零点 【答案】ABC 【解析】【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，再根据正弦函数性质一一判断即可. 【详解】()22sincos 333x x x f x =-22sin33x x=1222sin 233x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2π2sin 33x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即()2π2sin 33x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故最小正周期2π3π23T ==，故A 错误； 的又()0f =-，()4ππ2π2sin 33f ⎛⎫=--=⎪⎝⎭，即()()02π0f f +=-≠，所以()π,0不是函数()f x 图象的的一个对称中心，故B 错误；将函数()f x 的图象向右平移π6个单位得到24π2sin 39x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C 错误；令()0f x =，即2π2sin 033x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即2πsin 33x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以2ππ2π333x k -=+或2π2π2π333x k -=+，Z k ∈， 所以π3πx k =+或3π3π2x k =+，Z k ∈， 因为[]0,10πx ∈，所以函数()f x 在[]0,10π上有7个零点分别为π，3π2，4π，9π2，7π，15π2，10π，故D 正确；故选：ABC12. 已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，过点(),5A a a -作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若2PQPA=，则点A 到原点的距离为（ ）A. B. C.D.【答案】CD 【解析】【分析】根据p 的几何意义得到2p =，即可得到抛物线方程，设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用导数的几何意义求出切线方程，将点(),5A a a -代入方程，即可得到1x ，2x 是方程()22450x ax a -+-=的两个解，列出韦达定理，由2PQPA=求出a 的值，即可得到A 点坐标，从而求出距离. 【详解】因为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，所以2p =， 则抛物线2:4C x y =，即214y x =，所以12y x '=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则21114y x =，22214y x =，所以111|2x x y x ='=，221|2x x y x ='=， 所以点P 处的切线方程为()11112y y x x x -=-，将(),5A a a -代入方程得()111152a y x a x --=-，即()2112450x ax a -+-=，同理可得()2222450x ax a -+-=，所以1x ，2x 是方程()22450x ax a -+-=的两个解，所以122x x a +=，①()1245x x a =-，②所以直线PQ 的斜率121212142y y x x k a x x -+===-，由2PQPA =2x a -=-， 又1212x x x a -=-，所以=221x a =， 因为1x a ≠，所以1x a =-③，由①②③得234200a a +-=，解得2a =或103a =-， 所以点A 的坐标为()2,3-或1025,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以AO ==或AO ==.故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数表示出切线方程，设而不求得到直线PQ 的斜率，再利用弦长公式及已知条件求出a 的值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若圆221:420C x y x y +-+=与圆222:810160C x y x y +-++=交于P ，Q 两点，则直线PQ 的方程为______.【答案】240x y --= 【解析】【分析】根据题意可得：两圆方程之差即为直线PQ 的方程，运算求解即可. 【详解】∵圆1C 与圆2C 相交，则两圆方程之差即为直线PQ 的方程，将22420x y x y +-+=与22810160x y x y +-++=作差得48160x y --=， 整理得240x y --=，即直线PQ 的方程为240x y --=. 故答案为：240x y --=.14. 已知25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项的系数之和为256，记展开式中10x -的系数为a ，则128a =______. 【答案】896- 【解析】【分析】令1x =得到展开式中各项的系数之和求出n ，再写出展开式的通项，令1622105r-=-，求得r ，即可求出a ，从而得解.【详解】对于25442nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭令1x =可得展开式中各项的系数之和为()24256n -=，解得8n =，所以825442x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()82162285518844C 2C 24rrrr r r rr T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令1622105r -=-，解得3r =，所以()3358C 24a =⋅⋅-，所以()3358896128128C 24a -=-⋅=⋅.故答案为：896-15. 如图，已知四棱锥1D ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，N 是1BD 的中点，平面AMN 交1CD 于点H ，则，11D HD C=_______.【答案】25##0.4 【解析】【分析】将四棱锥补为三棱柱1ADD BCE -，由1D MH CEH 求解. 【详解】解：如图所示：补全四棱锥为三棱柱，作1//D E AB ，且1D E AB =， 因为ABCD 为平行四边形，所以//AB CD ， 则1////D E AB CD ，且1D E AB CD ==，所以四边形1ABED 和四边形1D DCE 都是平行四边形， 因为N 为中点，则延长AN 必过点E ， 所以A ，N ，E ，H ，M 在同一平面内， 因为1//DD CE ，所以1D MH CEH ， 又因为M 是棱1DD 上靠近点D 的三等分点，所以1123D H D M HC CE ==，则1125D H D C =， 故答案为：2516. 已知ln 3a =，11log 3b =，现有如下说法：①2a b <；②3a b ab +>；③b a ab -<-.则正确的说法有______.（横线上填写正确命题的序号）【答案】②③ 【解析】【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可. 【详解】因为ln 30a =>，11log 30b =>， 所以e ln 3log 3a ==，11e 22log 33log 3b a ==<=，所以2a b >，故①错误；()333311log e log 11log 11e log 273a b+=+=>=，所以3a b ab +>，故②正确； 333311e 1log e log 11log log 1113a b -=-=<=-，所以b a ab -<-，故③正确. 故答案为：②③四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，1ni i a n i ==∑，且213,,3k k S a S ++是等比数列{}n b 的前三项. （1）求5b 的值；（2）求数列4332351n n n a a a -++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1296（2）221525nn n n +-+【解析】【分析】（1）依题意可得312123n a a a a n n++++= ，利用作差法求出n a n =，再根据等比中项的性质得到方程求出k ，即可求出{}n b 的通项公式，再计算可得；（2）由（1）可得()()43323511433235n n n a n a a n n -+++=+-++，利用裂项相消法和分组求和法计算可得. 【小问1详解】 依题意312123n a a a a n n ++++= ，当1n =时11a =， 当2n ≥时311211231n a a a a n n -++++=-- ， 所以1n a n=，则n a n =，所以()12n n n S +=， 又23S ，1k a +，3k S +是等比数列{}n b 的前三项，所以12233k k S a S ++=⨯，即()()()23412k k k +++=，解得5k =或2k =-（舍去）， 而2113S b ==，266b a ==，所以16n n b -=，所以4561296b ==. 【小问2详解】由（1）可得()()43323511433235n n n a n a a n n -+++=+-++ 1114333235n n n ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭， 所以()143111113582821133511n n n T n n +-⎛⎫=-++-+++ ⎪⎝⎭-+ 221112235351525n n n n n n n ⎛⎫=-+-=+- ⎪++⎝⎭. 18. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的补偿方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a 的值以及所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）以频率估计概率，若从所有受灾居民中随机抽取4人，记受灾居民的经济损失在[)2000,4000的人数为X ，求X 的分布列以及数学期望()E X .【答案】（1）0.00009a =；所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元；（2）分布列见解析，() 1.6E X = 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可得a 的值；由频率分布直方图的平均值的求法可得所有受灾居民的经济损失的平均值；（2）求出受灾居民的经济损失在[)2000,4000的概率，根据()4,0.4 XB 可得X 的分布列以及数学期望.【小问1详解】由()20.000030.000150.0002020001⨯+++⨯=a 得0.00009a =；0.00015200010000.0002020003000⨯⨯+⨯⨯0.00009200050000.00003200070000.00003200090003360+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所有受灾居民的经济损失的平均值为3360元； 【小问2详解】受灾居民的经济损失在[)2000,4000的概率为0.0002020000.4⨯=， 由题意()4,0.4 X B ，()00440C 0.40.60.1296P X ==⨯=， ()11341C 0.40.60.3456P X ==⨯=， ()22242C 0.40.60.3456P X ==⨯=， ()33143C 0.40.60.1536P X ==⨯=， ()44044C 0.40.60.0256P X ==⨯=， 所以X 的分布列为X0 1 2 3 4 P0.12960.34560.34560.15360.0256数学期望()40.4 1.6E X =⨯=.19. 已知在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3πcos sin π02b A B ⎛⎫⎪++⎭+=⎝.（1）求sin c A 的值；（2）若()2sin tan tan b C a C c C -=.且ABC S λ≥△.求实数λ的取值范围.【答案】（1（2）(-∞ 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理得sin sin 0b C A B =，根据正弦定理角化边即可得结果； （2）根据题意结合余弦定理可得2π3B =，进而可得2ac b =，结合基本不等式和面积公式可求得ABC S ≥△，即可得结果.【小问1详解】因为(3πcos sin π02b A B ⎛⎫ ⎪++⎭+=⎝，则sin sin 0b A -=，整理得sin sin 0b C A B -=，由正弦定理可得sin 0b A =，故sin c A =. 【小问2详解】因为()2sin tan tan b C a C c C -=，由tan C 存在，则cos 0C ≠，两边同乘以cos C 可得：()2sin cos sin sin b C C a C c C -=，又因为()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得2cos 2b C a c -=， 由余弦定理可得222222a b c b a c ab+-⨯-=，整理得222a c b ac +-=-， 可得2221cos 22a cb B ac +-==-， 且()0,πB ∈，则2π3B =，由（1）可知：sin sin 0b C A B -=，可得2sin sin 2sin b C A B =，由正弦定理可得22abc b =，即2ac b =，由余弦定理可得222222cos 3b a c ac B a c ac ac =+-=++≥，当且仅当a c =时，等号成立，可得26b b ≥，可得6b ≥，即212ac b =≥，故11sin 1222ABC S ac B =≥⨯=△，由题意可得：λ≤，故实数λ的取值范围为(-∞.20. 已知四棱锥S ABCD -如图所示，其中SB =，1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，平面SBA ⊥平面ABCD ，点M 在线段AD 上，AM =N 在线段SC 上.（1）求证：AC SM ⊥；（2）若平面ADN 与平面ABCD，求SN 的值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接BM ，由面面垂直的性质得到SB ⊥平面ABCD ，即可得到SB AC ⊥，再利用平面几何的知识证明AC BM ⊥，即可得到AC ⊥平面SBM ，从而得证；（2）建立空间直角坐标系，设SN SC λ=，[]0,1λ∈，利用空间向量法得到方程，求出λ的值，即可得解.【小问1详解】连接BM ，因为SB AB ⊥，平面SBA ⊥平面ABCD ，平面SBA 平面ABCD AB =，SB ⊂平面SBA ，所以SB ⊥平面ABCD ，因AC ⊂平面ABCD ，所以SB AC ⊥，因为1AB =，AD =，390ABC ABS DAB ADC ====︒∠∠∠∠，底面ABCD 中过点C 作CE AD ⊥交AD 与点E ，则1CE AB ==， 所以2sin CE CD CDA ==∠，tan CE DE CDA==∠， 显然ABCE为矩形，所以BC AE AD DE ==-=，又AM =，所以AM AB AB BC ==ABM BCA △∽△，所以ABM BCA ∠=∠， 又90ABM MBC ∠+∠=︒，所以90BCA MBC ∠+∠=︒，所以AC BM ⊥，又SB BM B = ，,SB BM ⊂平面SBM ，所以AC ⊥平面SBM ，又SM ⊂平面SBM ，所以AC SM ⊥.为在【小问2详解】如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,C，()D，(S ，所以(0,SC =，(AS =-，()AD = ，设()0,,SN SC λ== ，[]0,1λ∈，则()1,AN AS SN =+=- ， 设平面ADN 的法向量为(),,n x y z = ，所以00AD n AN n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即)00x y z ⎧=⎪⎨-++=⎪⎩，令1z =，则x =，所以),0,1n = ， 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADN 与平面ABCD， 所以cos ,n m n m n m ⋅===⋅ ，解得13λ=或53λ=（舍去）， 所以13SN SC ===.21. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点P ，Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-；当点P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.【答案】（1）22163x y += （2）直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【解析】【分析】（1）设()11,P x y ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，即可得到2212b a -=-，再根据a c -=及222c a b =-求出a 、b ，即可得解；（2）首先求出A 点坐标，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，()11,P x y ，()22,Q x y ，表示出AP 的方程，联立求出1x ，把k 换为k -得2x ，即可求出21x x -、21y y -，从而求出直线PQ 的斜率，即可得解.【小问1详解】设()11,P x y ，椭圆C 左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ， 故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--， 即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -=-b -=-，解得b =，所以a =，即椭圆C 的方程为22163x y +=. 【小问2详解】 联立2216312x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ， 由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直，设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-，的由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=， 因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+， 把k 换为k -得22244221k k x k +-=+， 所以212821k x x k -=+， 所以()()()212112*********k y y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+， 所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1.22. 已知函数()()2ln 1f x mx x x =-- （1）若函数()f x 在[]3,9上有两个零点，求实数m 的取值范围.（2）若关于x 的不等式()()21f x m f x +≤'+在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）29e 2ln 31m <≤- （2）[]0,1【解析】 【分析】（1）原题可转化为()ln 11x g x x m-==在[]3,9上有两个不相等的根，然后取出()g x 的导函数，根据函数的单调性以及最值，结合端点处的函数值，即可推得22ln 31119e m -≤<，求解即可得出实数m的取值范围；（2）移项构造函数可得()22ln 21ln h x mx x x mx x m m x =--++--，然后求出导函数，根据二次求导可得()2112k x m x x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭.根据已知条件()210h m m =-≤，推得01m ≤≤.进而可得出()h x 的单调性，验证可得，01m ≤≤满足条件，即可得出答案.【小问1详解】由已知可得，()f x 定义域为()0,∞+.令()0f x =，则()ln 1m x x -=，显然0m ≠，所以ln 11x x m-=. 令()ln 1x g x x -=，[]3,9x ∈，则()()221ln 12ln x x x x g x x x ⋅---'==. 解()0g x '=，可得2e x =.所以当23e x ≤<时，()0g x '>，所以()g x 在)23,e⎡⎣上单调递增；当2e 9x <≤时，()0g x '<，所以()g x 在(2e ,9⎤⎦上单调递减. 所以，函数()f x 在2e x =处取得极大值，也是最大值()221e e g =. 又()ln 3133g -=，()()ln 912ln 31ln 3193993g g ---==<=， 所以，要使函数()f x 在[]3,9上有两个零点，则()1g x m =在[]3,9上有两个不相等的根，则应有22ln 31119em -≤<， 所以，29e 2ln 31m <≤-. 【小问2详解】由已知可得，()()ln 12ln 12f x m x x m x x mx x +⋅'=--=-. 设()()()21h x f x m f x '=+--22ln 21ln mx x x mx x m m x =--++--，1x ≥，则()ln 22m h x m x x x'=-+-.令()ln 22m k x m x x x =-+-，则()221122m m k x m x x x x ⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭. 由已知()2211210h m m m m =--++-=-≤，所以01m ≤≤.因为1x ≥，所以101x<≤，2101x <≤，所以21102x x <+≤. 又01m ≤≤，所以2112m x x ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，所以21120m x x ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭， 所以()0k x '≤，所以，()k x ，即()h x '在[)1,+∞上单调递减.又()1220h m m '=-+-=-≤，所以，()h x 在[)1,+∞上单调递减，所以，()()10h x h ≤≤，所以，实数m 的取值范围为[]0,1.【点睛】思路点睛：移项构造函数，通过求解函数的导函数（或二次求导），得出函数的单调性.进而结合已知，得出函数的最值，即可得出恒成立.。

2024年4月高三数学（文）全国卷模拟考试卷试卷满分150分，考试时间120分钟。

2024.4注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设21ii i z +=+，则z =（）A ．12B ．1CD2．设集合{}{}20,4A x x B x x =≥=≤，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]22-,C ．[]0,2D ．[)2,0-3．函数()2ln 1f x x x =-的大致图象为（）A．B．C．D ．4．若关于,x y 的不等式组1020x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域是直角三角形区域，则实数k =（）A ．1-B ．1C ．1-或0D ．0或15．已知命题“[]21,4,e 0xx m x∀∈--≥”为真命题，则实数m 的取值范围为（）A ．(],e 2-∞-B ．41,e 2⎛⎤-∞- ⎝⎦C ．[)e 2,-+∞D ．41e ,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．下图是某全国性冰淇淋销售连锁机构的某款冰淇淋在2023年1月至8月的月销售量折线图（单位：杯），则下列选项错误的是（）A ．这8个月月销售量的极差是3258B ．这8个月月销售量的中位数是3194C ．这8个月中2月份的销量最低D ．这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份7．已知向量()1,1a =- ，()3,4b =-，则cos ,a a b -= （）A ．52626B ．52626-C ．2613D ．26138．已知角π3α+的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点13,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则πcos 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．12-C ．12D ．329．某导航通讯的信号可以用函数()23sin 43f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭近似模拟，若函数()f x 在[]0,m 上有3个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．211π,π312⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．211π,π312⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．117π,π126⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．117π,π126⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知231ln ,,e 23a b c -===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>11．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路．下图展示了如何按照图①的分形规律生长成一个图②的树形图，则在图②中第5行的黑心圈的个数是（）A ．12B ．13C ．40D ．12112．在三棱锥D APM -中，524,,,π6AD MP MP AP MP DP APD ==⊥⊥∠=，则三棱锥D APM -的外接球的表面积为（）A ．17πB ．28πC ．68πD ．72π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在区间[]3,4-上随机取一个数x ，若x a ≤的概率为47，则=a .14．已知函数()f x 的导函数()()()214f x x x x a '=+++，若1-不是()f x 的极值点，则实数=a .15．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的面积为6π，点P 在椭圆C 上，且P 与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为49-．记椭圆C 的左、右两个焦点分别为12,F F ，则12PF F △的面积可能为．（横线上写出满足条件的一个值）16．如图，在ABC 中，π6DAC ∠=，2,AC CD D ==为边BC 上的一点，且AD AB ⊥，则AB =.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17．某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．直方图中,,a b c 成等差数列，时长落在区间[)80,90内的人数为200．(1)求出直方图中,,a b c 的值；(2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(3)从参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的学生中按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90恰好各一人的概率．18．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形CDEF 为等腰梯形，EF CD ，且平面ABCD ⊥平面,224CDEF AD DE EF ===．(1)证明：AE CE ⊥；(2)求三棱锥E BDF -的体积．19．已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，13a =且2111322n n n S S a +++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()1(1)1n nn a b n n +=-+，求{}n b 的前10项和10T ．20．已知抛物线2:2(04)C x py p =<<的焦点为F ．点()4,P m 在抛物线C 上，且5PF =．(1)求p ；(2)过焦点F 的直线1l 交抛物线C 于,A B 两点，原点为O ，若直线,OA OB 分别交直线2l ：332y x =-于,M N 两点，求线段MN 长度的最小值．21．已知函数()()()211e 12x f x a x a =+-+∈R ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)设()1212,x x x x <是函数()y f x '=的两个零点，求证：122x x +>．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 2ρθρθ+=．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)已知点()0,1T ，直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求TA TB -的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知,,a b c 均为正实数，且满足9444a b c ++=．(1)求114100c a b+-的最小值；(2)求证：22216941a b c ++≥.1．B【分析】利用分母实数化对z 进行化简，从而得到答案.【详解】由题意可得()()221i 1i (1i)2ii i i i 1i 1i 12z +++=====-+--+-，所以1z =．故选：B ．2．C【分析】先化简集合B ，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为{}0,A x x =≥{}[]242,2B xx =≤=-∣，所以[]0,2A B = ，故选：C 3．B【分析】根据定义域、特殊值可以对选项进行排除，从而得到正确选项.【详解】因为()f x 的定义域为()(),11,∞∞-⋃+，故排除C ；又()36ln20f =>，故排除A ；13ln 022f ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，故排除D ．故选：B ．4．C【分析】由已知，关于,x y 的不等式组表示的平面区域是直角三角形区域，则直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=或直线20kx y +-=垂直于直线1x =，从而得到k 值.【详解】由题意，当直线20kx y +-=垂直于直线0y x +=时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以1k =-.当直线20kx y +-=垂直于直线1x =时，表示的平面区域是直角三角形区域，所以0k =.故选:C ．5．A【分析】分离参数2e xm x ≤-，求函数()[]2e ,1,4xf x x x=-∈的最小值即可求解.【详解】因为命题“[]21,4,e 0xx m x ∀∈--≥”为真命题，所以[]21,4,e x x m x∀∈≤-．令()[]2e ,1,4,e xx f x x y x =-∈=与2y x=-在[]1,4上均为增函数，故()f x 为增函数，当1x =时，()f x 有最小值，即()1e 2m f ≤=-，故选：A ．6．B【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再根据极差，中位数的定义可判断A 和B ；根据折线图可判断C 和D.【详解】将数据按从小到大的顺序排列：707，1533，1598，3152，3436，3533，3740，3965，对于A ，极差是39657073258-=，故A 正确；对于B ，因为850%4⨯=，所以中位数是第四个数和第五个数的平均数，即3152343632942+=，故B 错误；对于C ，这8个月中2月份的销量最低，故C 正确；对于D ，这8个月中销量比前一个月增长最多的是4月份，增加了1619，故D 正确．故选：B ．7．B【分析】根据向量的坐标运算，先求()a ab ⋅- ，再分别求a r 和a b - ，利用()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-求解.【详解】因为()1,1a =- ，()3,4b =-，所以()2,3a b -=-，a =-= a b ，所以()cos ,a a b a a b a a b⋅--=⋅-==．故选：B 8．D【分析】利用三角函数的定义可求出πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再根据诱导公式求解即可.【详解】因为角π3α+的终边经过点12P ⎛ ⎝⎭，所以πsin 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππππcos cos sin 63232ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.9．A【分析】先求出函数的零点，然后根据()f x 在[]0,m 上有3个零点，则即可求出实数m 的取值范围.【详解】令2π4π,3x k k -=∈Z ，得ππ,64k x k =+∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ,64k x k =+∈Z ，可知()f x 在[)0,∞+上的零点依次为π5π2π11π,,,,612312x =，若()f x 在[]0,m 上有3个零点，则211π,π312m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．故选：A ．10．A【分析】利用当0x >时，ln 1x x ≤-判断a b >，通过函数1y x=在是减函数判断b c >.【详解】当0x >时，设()ln 1f x x x =-+，则()11f x x'=-，当01x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()10f x f ≤=，也就是说当0x >时，ln 1x x ≤-，用1x 代替x ，可得11ln 1x x≤-，即1ln 1x x ≥-，所以321ln1233>-=，即a b >．又知2211e 3e->=，所以b c >，所以a b c >>．故选：A 11．C【分析】本题是一个探究型的题目，从图①中读取信息：白球分形成两白一黑，黑球分型成一白两黑；由图②，从第二行起，球的总个数是前一行的3倍，白球的个数是前一行白球个数的两倍加上黑球的个数，黑球的个数是前一行黑球个数的两倍加上白球的个数.由此建立递推关系求解得到结果.【详解】设题图②中第n 行白心圈的个数为n a ，黑心圈的个数为n b ，依题意可得13n n n a b -+=，且有111,0a b ==，所以{}n n a b +是以111a b +=为首项，3为公比的等比数列，13n n n a b -∴+=①；又12n n n a a b +=+，12n n n b b a +=+，故有11n n n n a b a b ++=--，∴{}n n a b -为常数数列，且111a b -=，所以{}n n a b -是以111a b -=为首项，1为公比的等比数列，1n n a b ∴-=②；由①②相加减得：1312n n a -+∴=，1312n n b --=；所以4531402b -==．故选：C ．12．C【分析】根据线面垂直判定定理，证明线面垂直并作图，明确外接球的球心位置，利用正弦定理求得底面外接圆的半径，结合图中的几何性质，求得外接球的半径，可得答案.【详解】由题意可知，,MP PA MP PD ⊥⊥．且,PA PD P PA ⋂=⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以MP ⊥平面PAD ．设ADP △的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得2sin AD r APD =∠，即42sin150r ︒=，所以4r =．设三棱锥D APM -的外接球的半径为R ，则222(2)(2)R PM r =+，即2(2)46468R =+=，所以217R =，所以外接球的表面积为24π68πR =．故选：C ．13．2【分析】根据几何概型的概率公式，根据长度之比即可求解.【详解】显然0a ≥．区间[]3,4-长度是7，区间[]3,4-上随机取一个数,x x a ≤的解集为[],a a -，区间长度为2a ，所以x a ≤的概率为2477a =，所以2a =．故答案为：214．3【分析】设()24h x x x a =++，依题意有()10h -=，解出a 的值并检验即可.【详解】由()()()214f x x x x a '=+++，设()24h x x x a =++，若1-不是函数()f x 的极值点，则必有()10h -=，即140a -+=，所以3a =．当3a =时，()()()()22143(1)3f x x x x x x =+++=++'，故当3x >-时，()0f x '≥，当3x <-时，()0f x '<，因此3x =-是()f x 的极值点，1-不是极值点，满足题意，故3a =．故答案为：315．2（答案不唯一，在内的任何数都可以）【分析】根据给定条件，求出ab ，结合斜率坐标公式求出,,a b c ，再求出焦点三角形面积的范围即得.【详解】由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为6π，得π6πab =，解得6ab =，设点00(,)P x y ，显然00x ≠，由2200221x y a b+=，得2222002b y b x a -=，椭圆C 的上、下顶点坐标分别为(0,),(0,)b b -，则2220002200049y b y b y b b x x x a -+-⋅==-=-，即2249b a =，解得3,2a b ==，半焦距c =12PF F △的面积12001|2|2||PF F S c y y =⨯⨯= ，而0(2,2)y ∈-且00y ≠，因此12(0,PF F S ∈ ，所以12PF F △的面积可能为2.故答案为：216【分析】在ACD 中由正弦定理求出ADC ∠，即可求出ACD ∠，再代入求出AB ，最后由ABD △为等腰直角三角形得解.【详解】由题可知，在ACD 中，由正弦定理得sin sin sin CD AD ACDAC ACD ADC==∠∠∠，即2πsin sin sin6AD ACD ADC ==∠∠，得2sin 2ADC ∠=，又AC CD >，由图可得ADC ∠为钝角，所以3π4ADC ∠=，所以π4ADB =∠，则πππ4612ACD ∠=-=，则π2sinππππππ124sin 4sin cos cos sin π464646sin 6AD ⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AD AB ⊥，所以ABD △为等腰直角三角形，则AB AD ==．17．(1)0.04,0.03,0.02a b c ===(2)71.7，73(3)815【分析】（1）先求出c ,再利用面积和为1求出0.07a b +=，再结合等差数列求解a ，b ;（2）利用左右面积相等求中位数，由频率乘组距求和得平均数；（3）由分层抽样确定[)60,70和[)80,90的人数，再利用列举法求解概率.【详解】（1）由已知可得2001000100.02c =÷÷=，则()0.0050.020.005101a b ++++⨯=，即0.07a b +=，又,,a b c 成等差数列，20.02b a ∴=+，解得0.04,0.03a b ==．（2）()()0.0050.04100.450.5,0.0050.040.03100.750.5+⨯=++⨯= ，设中位数为x ，且[)70,80x ∈，()()0.0050.0410700.030.5x ∴+⨯+-⨯=，解得71.7x ≈，即中位数为71.7;平均数为()550.005650.04750.03850.02950.0051073⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=;（3）由（1）知:2:1a c =，按照分层抽样随机抽取6人中，参加课外兴趣班的时长在[)60,70内的有2643⨯=人，记为,,,A B C D ，参加课外兴趣班的时长在[)80,90内的有1623⨯=人，记为,x y ．从,,,,,x y A B C D 中随机抽取2人的所有基本事件有:()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,x y x A x B x C x D y A y B ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,y C y D A B A C A D B C B D C D ，共15种，其中，被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的事件有:()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,x A x B x C x D y A y B y C y D ，共8种．所以被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在[)60,70和[)80,90的恰好各一人的概率为815.18．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，再得到线线垂直，利用勾股定理求出线段长度，最后利用线段长度符合勾股定理证明线线垂直；（2）转换顶点，以B 为顶点，以DEF 为底面，从而13--==⨯⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC 即可得到体积.【详解】（1）连接AC ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面,CDEF CD AD CD =⊥，AD ⊂面ABCD ，AD ∴⊥平面CDEF ，又DE ⊂平面CDEF ，则AD DE ⊥，ADE ∴V 是直角三角形，即AE =．在梯形CDEF 中，作EH CD ⊥于H ，则1,DH EH ==CE ==．又AC =222AC CE AE =+，AE CE ∴⊥．（2）BC CD ⊥ ，平面ABCD ⊥平面CDEF ，平面ABCD ⋂平面CDEF CD =，BC ⊂面ABCD ，BC ∴⊥平面CDEF ．由（1）知11222DEF S EF EH =⨯⨯=⨯=△，11433--==⨯⨯=⨯ E BDF B DEF DEF V V S BC .19．(1)21n a n =+(2)1011【分析】（1）已知n S 与n a 的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对1n =时进行检验，得到数列{}n a 是等差数列，从而写出通项公式；（2）根据n a 得到n b ，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和10T .【详解】（1）由题意知：2111322n n n S S a +++=-，即()21123n n n S S a +++=-，当2n ≥时，()2123n n n S S a -+=-，两式相减，可得()()1120n n n n a a a a +++--=，因为0n a >，可得()122n n a a n +-=≥．又因为13a =，当1n =时，()212223S S a +=-，即2222150a a --=，解得25a =或23a =-（舍去），所以212a a -=（符合），从而12n n a a +-=，所以数列{}n a 表示首项为3，公差为2的等差数列．所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =+．（2）由题意得()()1112111(1)(1)(1)111n n n n n a n b n n n n n n ++++⎛⎫=-=-=-+ ⎪+++⎝⎭，所以10123910T b b b b b =+++++ 111111111110112233491010111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以101011T =.20．(1)2p =【分析】（1）根据点P 在抛物线C 上符合抛物线的方程和抛物线的定义得到两个方程，联立可解得p ；（2）联立直线1l 方程与抛物线方程得到,A B 两点坐标关系，表示出直线,OA OB ，分别与直线2l 方程联立得到,M N 两点横坐标，再由距离公式表示出线段MN 长度，整理后转换成二次函数求最值问题，进而得到线段MN 长度的最小值.【详解】（1）因为点()4,P m 在C 上，所以162pm =，因为5PF =，所以由抛物线定义得52p PF m ==+，解得4,2m p ==或1,8m p ==（舍）．所以2p =．（2）由（1）知，抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F ．若直线AB 的斜率不存在，则与抛物线只有一个交点，不合题意，所以直线AB 的斜率存在，设直线AB 的斜率为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线1l 的方程为1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，所以12124,4x x k x x +==-，从而有21x x -==由2114x y =得直线OA 的方程1114y x y x x x ==，联立143260x y x x y ⎧=⎪⎨⎪--=⎩解得1126M x x =-，同理2126N x x =-．所以1126N M N M MN x x x =-=-=-=-322443k k==--令()430k t t -=≠，则43tk -=，所以5MN ==，当且仅当1425,254t t==即34k =-时等号成立，所以线段MN 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中线段（距离）类的最值（范围）问题（1）几何法：利用圆锥曲线的定义、几何性质及平面几何中的定理、性质等进行求解；（2）代数法：把要求最值的几何量或代数式表示为一个或几个参数的函数，利用函数、不等式的知识进行求解.21．(1)230x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）由导函数的两个零点得()()12121e e x x x x a +=++和()()21211e e x xx x a -=+-，得到21211e e x x x x a -+=-，转化为证明()212121e e 2e e x x x xx x +->-，换元21t x x =-，证明()()2e 20th t t t =-++>即可.【详解】（1）当1a =时，()()212e 1,2e 2x xf x x f x x =-+=-'，则()()03,02f f '==，则切线方程为32y x -=，因此曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为230x y -+=．（2）证明：函数()()121e ,,xf x a x x x =+-'是()y f x '=的两个零点，所以()()12121e ,1e x xx a x a =+=+，则有()()12121e e x x x x a +=++，且()()21211e e x xx x a -=+-，由12x x <，得21211e e x x x x a -+=-．要证122x x +>，只要证明()()121e e2x x a ++>，即证()212121e e 2e e x x x x x x +->-．记21t x x =-，则0,e 1t t >>，因此只要证明e 12e 1t t t +⋅>-，即()2e 20tt t -++>．记()()2e 2(0)t h t t t t =-++>，则()()1e 1th t t '=-+，令()()1e 1t t t ϕ=-+，则()e tt t ϕ'=，当0t >时，()e 0tt t ϕ'=>，所以函数()()1e 1tt t ϕ=-+在()0,∞+上递增，则()()00t ϕϕ>=，即()()00h t h ''>=，则()h t 在()0,∞+上单调递增，()()00h t h ∴>=，即()2e 20tt t -++>成立.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，关键是利用零点代换得21211e e x x x x a -+=-，进而换元求解函数最值即可证明.22．(1)220x y +-=，22(2)9x y +-=【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的转化公式可得直线l 的直角坐标方程，利用消参法可得曲线C 的普通方程；（2）求出直线l的参数方程515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），联立曲线C 的普通方程，可得根与系数的关系式，利用t 的几何意义，即可求得答案.【详解】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入cos 2sin 2ρθρθ+=，得220x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为220x y +-=；由曲线C 的参数方程为3cos ,23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数），化为3cos 23sin x y αα=⎧⎨-=⎩，平方相加得曲线C 的普通方程为22(2)9x y +-=；（2）由（1）可得点()0,1T 在直线l 上，由此可得直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数），将其代入曲线C的普通方程中得280t -=，设点A 对应的参数为1t ，点B 对应的参数为2t，则12128t t t t +==-，所以12,t t 一正一负，所以12125TA TB t t t t -=-=+=.23．(1)125(2)证明见解析【分析】（1）结合已知等式，将114100c a b +-化为11944100a b a b ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式，即可求得答案；（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】（1）因为,,a b c 均为正实数，9444a b c ++=，所以1111114944944100100100c a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+-=+++-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1245≥=，当且仅当1914100a a b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即111,,3205a b c ===时等号成立．（2）证明：根据柯西不等式有()()22222229344(944)16a b ca b c ++++≥++=，所以22216941a b c ++≥．当且仅当3344a b c ==，即416,4141a b c ===时等号成立，即原命题得证.。

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2016-2017学年陕西省咸阳市高三（下)4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={0，1，2}，N=｛x|x=2a,a∈M｝，则集合M∩N=（)A．｛0} B．｛0，1} C．{1，2｝D．{0，2}2．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是（)A．46，45，56 B．46,45,53 C．47，45，56 D．45，47,533．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°4．已知p：，q：,则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系,随机调查了5名员工,得到如下统计数据表：收入x（万元）8。

08。

610。

011。

412.0支出y(万元） 4.1 5.26。

16。

77。

9根据上表可得回归本线方程,其中，，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（)A．9.05万元B．9.25万元C．9.75万元D．10。

决胜新高考——2024届高三年级大联考数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷包含单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题~第16题，共80分）、解答题（第17~22题，共70分）.本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置.3.答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答.在试卷或草稿纸上作答一律无效.4.如有作图需要，可用2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚.一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a ，b 满足1a = ，b = ()218b ab ⋅−=− ，则a与b的夹角等于（ ）A.30°B.60°C.120°D.150°2.若复数cos isin z θθ=+，则22i z −+的最大值是（ ） A.1B.1+1D.33.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）从小到大排列如下：甲队：7，12，12，20，20x +，31；乙队：8，9，10y +，19，25，28.这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x y +的值为（ ）A.3B.4C.5D.64.已知1124xx +=，222log 4x x +=，则12x x +的值为（ ） A.2B.3C.4D.55.若3sin 4cos 5αα+=，则tan 4πα+=（ ） A.7−B.7C.17D.17−6.经过抛物线2:4C y x =焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，与抛物线C 的准线交于点P ，若AF ，AP ，BF 成等差数列，则AB =（ ）A. B.C.83D.1637.贝塞尔曲线（Bezier curve ）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线.三次函数()f x 的图象是可由A ，B ，C ，D 四点确定的贝塞尔曲线，其中A ，D 在()f x 的图象上，()f x 在点A ，D 处的切线分别过点B ，C .若()0,0A ，()1,1B −−，()2,2C ，()1,0D ，则()f x =（ ）A.3254x x x −−B.333x x −C.3234x x x −+D.3232x x x −−8.已知函数()28f x x x =−，且点(),P x y 满足()()32f x f y +−≤，()0f y ≤，若记点P 构成的图形为Ω，则Ω的面积是（ ）A.643π− B.643π+ C.64π− D.64π+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若()10223200123202x x a a x a x a x a x +−=+++++ ，则（ ）A.01024a =B.11a =C.1910a =D.13519512a a a a ++++=−10.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A 表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B .改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布()25.40,0.05N ，现从中随机抽取M 个，这M 个芯片中恰有m 个的质量指标ξ位于区间()5.35,5.55，则下列说法正确的是（ ） （若()2,Nξµσ ，则()0.6826P µσξµσ−<+≈≤，()330.9974P µσξµσ−<+≈≤）A.()()P B A P B >B.()()P A B P A B <C.()5.35 5.550.84P ξ<<≈D.()45P m =取得最大值时，M 的估计值为5311.若正实数a ，b 满足12a b ab +=，则（ ） A.12b >B.有序数对(),a b （*,a b ∈N ）有6个C.a b +的最小值是12+D.222241210a b a b +−−+>三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.12.将函数()()sin 2f x x ϕ=+图象上的每个点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移6π个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，写出一个符合条件的ϕ的值__________.13.已知定义在R 上的()f x 满足102f−≠，且()()()4f x y f x f y xy ++=，则()0f =________. 14.已知一个顶点为P ，底面中心为O 的圆锥的体积为9π，该圆锥的顶点P 和底面圆周均在球1O 上.若圆锥的高为3，则球1O 的半径为_________；球1O 的体积的最小值是_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤.15.（13分）如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，E ，F 分别是BD ，1DD 的中点，M 是11A B 上一点，且BM ∥平面1EFA .（1）求1MA ；（2）求直线1EC 与平面1EFA 所成角的正弦值.16.（15分）已知函数()2ln 3f x a x x =++在1x =处的切线经过原点. （1）判断函数()f x 的单调性；（2）求证：函数()f x 的图像与直线5y x =有且只有一个交点. 17.（15分）在ABC △中，点D 在AB 边上，且满足AC ADBC BD=. （1）求证：ACD BCD ∠=∠；（2）若tan tan tan 0A B A B ++=，2CD =，求ABC △的面积的最小值.18.（17分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D −顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P .（1）求2P ；（2）①求证：数列12n P −是等比数列；②求()1nii iP =∑.19.（17分）已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左右顶点分别为A ，B ，且31,2 ，31,2−，()1,1，()2,0四个点中恰有三个点在椭圆C 上.若点P 是椭圆C 内（包括边界）的一个动点，点M 是线段PB 的中点.（1）若OM =PB 与OM 的斜率的乘积为34−，求PAB △的面积；（2）若动点D 满足0DB DP ⋅=，求DO 的最大值.决胜新高考——2024届高三年级大联考数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.A4.C5.B6.D7.C8.A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD 10.ACD 11.AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6k ππ−，k ∈Z 13.1−14.3；2438π 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解：（1）如图，以点A 为原点，分别以直线AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()3,0,0B ，()10,0,3A ，33,,022E，30,3,2F，()13,0,3B ，()13,3,3C ，所以333,,222EF =− ，133,,322EA=−−.设平面1EFA 的一个法向量为(),,n x y z =， 由100EA n EF n ⋅= ⋅=得3330223330222x y z x y z −−+= −++= ， 取1y =，则32x z = = ，故()3,1,2n =.设(),0,3M t ，则()3,0,3BM t =−.因为BM ∥平面1EFA ，所以()33230n BM t ⋅=−+×=，所以1t =，所以11MA =.（2）因为133,,322EC=，平面1EFA 的一个法向量为()3,1,2n =，设直线1EC 与平面1EFA 所成角为θ，故111sin cos ,EC n EC nEC nθ⋅===⋅所以直线1EC 与平面1EFA 16.（15分）解：（1）因为()1ln1134f a =++=，所以切点为()1,4. 因为()2af x x x′=+，所以()12f a ′=+， 所以切线方程为()()421y a x −=+−.因为切线经过原点，所以()()04201a −=+−，所以2a =.故()220f x x x′=+>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增. （2）设()()252ln 35g x f x x x x x =−=++−（0x >）， 则()()()2212252x x x x g x xx−−−+′==.因为当10,2x∈时，()0g x ′>，()g x 单调递增， 当1,22x∈时，()0g x ′<，()g x 单调递减，且32e ln1115338ln 22562ln 32ln 202222444g −=++−=−+==<，因为102g<，且当1,22x ∈ 时，()g x 单调递减，所以()1202g g << 所以当()0,2x ∈时，()0g x <， 所以函数()g x 在()0,2x ∈时没有零点，所以当()0,2x ∈时，函数()f x 的图像与直线5y x =没有交点. 当()2,x ∈+∞时，()0g x ′>，()g x 单调递增，又因为()52ln 530g =+>，且函数()g x 的图像是不间断的， 所以当()2,x ∈+∞时，函数()g x 有且只有一个零点， 函数()f x 的图像与直线5y x =有且只有一个交点.综上所述，函数()f x 的图像与直线5y x =有且只有一个交点. 17.（15分）解：（1）在ACD △中，由正弦定理sin sin AC ADADC ACD =∠∠，得sin sin AC ADC AD ACD∠=∠.在BCD △中，由正弦定理sin sin BC BDBDC BCD=∠∠，得sin sin BC BDC BD BCD ∠=∠. 因为AC AD BC BD =，所以AC BCAD BD=，所以sin sin sin sin ADC BDC ACD BCD ∠∠=∠∠. 因为ADC BDC π∠+∠=，所以ADC BDC π∠=−∠， 所以()sin sin sin ADC BDC BDC π∠=−∠=∠， 所以sin sin ACD BCD ∠=∠.又因为ACD ∠，()0,BCD π∠∈，且ACD BCD π∠+∠<， 所以ACD BCD ∠=∠.（2）因为tan tan tan 0A B A B +−=，所以)tan tan 1tan tan A B A B +−，所以()tan tan tan 1tan tan A BA B A B++==−因为0A B π<+<，所以3A B π+=，所以()23c A B ππ=−+=. 因为ABC ACD BCD S S S =+△△△， 所以1211sin sin sin 232323AC BC AC CD BC CD πππ×××=×××+×××， 所以()222AC BC AC BC AC BC ×++.因为AC BC +≥所以()222AC BC AC BC AC BC ×++≥ 所以16AC BC ×≥，当且仅当4AC BC ==时等号成立.所以ABC △的面积的最小值为1162×. 18.（17分）解：（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面. 所以当点Q 在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23， 在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，又因为123P =，所以222153339P =×=. （2）因为()1211113333n n n n P P P P +=+−=+， 所以11111111123323632n n n n P P P P + −=+−=−=−. 又因为123P =，所以1121102326P −=−=≠， 所以数列12n P −是等比数列.因为11111126323n nn P −−=×=×， 所以111232nn P =×+ ，所以11232ii i iP i =×+ .设13ii a i=，则()123111111233333nni i ia n ==×+×+×++× ∑ ，则()234111111112333333n n i i ia n +==×+×+×++×∑ ，所以()1234112111111111113333333nn n i i ia n += =×+×+×+×++×−×∑ ，所以()11111211111131333223313nn n n n i i ia n n ++=− =×−×=−×−× −∑，所以()13321443nni i n ia =+=−× ∑.又因为21122224ni n i n nn =++==∑， 所以()2133218834nni i n n niP =++ =−×+∑. 19.（17分）解：因为31,2 与31,2−关于x 轴对称，所以这两个点必定都在椭圆C 上，所以221914a b +=. 若点()1,1在椭圆C 上，则22111a b+=. 因为方程组22221914111a b a b += += 无解，所以点()1,1不在椭圆C 上.若点()2,0在椭圆C 上，则241a=，所以2a =，b =.综上可知：椭圆22:143x y C +=.（1）因为点M 是线段PB 的中点，点O 是线段AB 的中点， 所以MO AP ∥，12MO AP =，所以2AP MO ==34AP BP k k =−.设()00,P x y ，则()222001324AP x y =++=，00003224AP BP y y k k x x =×=−+−. 化简得20016150x x ++=，所以01x =−或015x =−，又因为点P 是椭圆C 内（包括边界）的一个动点，所以01x =−. 因为00003224y y x x ×=−+−，所以2094y =，所以032y =. 所以PAB △的面积为134322××=. （2）因为动点D 满足0DB DP ⋅=，所以点D 在以PB 为直径的圆上.因为点M 是线段PB 的中点，所以OM MD +≤. 因为12OM AP =，12DM PB =，所以()111222OD AP PB AP PB +=+≤.设2AP PB m +=，则当2m =时，点P 在线段AB 上，此时2OD ≤.当2m >时，设(),P x y ，点P 在以A ，B 为焦点的椭圆222214x y m m +=−上.若m >，则()()()22222222222247043434mx m y x y x y m m m m −−+−+=+>−−，所以2222221434x y x y m m +>+=−，所以点P 在椭圆C 外，不成立，故舍去.若m =，设(),P x y ，则22173x y +=，所以22137y x =−，因为2222104347x y x x +=+−≤，所以0x =，y =所以()12OD AP PB +≤所以DO 的最大值是O ，M ，P 三点共线时等号成立.另解：设()cos P m θθ，因为点P 是椭圆C 内（包括边界）的一个动点， 所以()22224sin cos 143m m θθ−+≤， 所以()22216sin 312m m θ−+≤，所以()2216312m m −+≤，所以27m ≤，所以m .当(0,P 时，DO 取得最大值是.。